Matemática II - Curso on line 2011. Unidad 2 – Grafos y Simetría
Resolución 1) Indicar en cada caso si la afirmación dada es verdadera o falsa. En caso de no serlo dar un contrajemplo de ello. a) Si un grafo es conexo necesariamente, desde cada vértice, sale una arista hacia cada uno de los vértices restantes.
B
Resolución: Es falsa ya que entre "B" y "D" no
C A
sale ninguna arista que los una y sin embargo de cualquier vértice se puede llegar a cualquier otro mediante una cadena.
D
E
b) Los grafos conexos, que poseen cuatro vértices, son todos planos. Resolución: Es verdadera ya que, los únicos grafos conexos no planos son el K3,3 y el K5 o aquellos que los contienen como subgrafos. Como en ambos casos se necesitan más de cuatro vértices, queda justificado. c) Si un grafo conexo es posible colorearlo con solamente dos colores, todos sus vértices deben ser de grado par. Resolución: Es Falsa. El que se muestra a la derecha hará que la respuesta sea falsa porque el
B D A
mismo contiene dos vértices de grado impar y sin embargo presenta
C
dos colores. Si en cambio, el enunciado hubiese agregado la condición de ser poligonal, hubiese resultado verdadera ya que ello es la condición para que un grafo sea coloreable con exactamente dos colores.
d) Solamente los grafos que son poligonales cumplen con la fórmula de Euler Resolución: Es falsa, todos los grafos conexos cumplen con la fórmula de Euler. El siguiente grafo no es poligonal ya que tiene una arista pendiente (grado 1) y sin embargo se verifica B
2) Construir, en los casos en que sea posible, un grafo con las características que se indican. a) Grafo conexo de 5 vértices que sea plano, que no tenga aristas múltiples y posea dos vértices de grado 3. B
Resolución:
C A
Grado(B)=Grado(D)=3 D
E
b) Grafo poligonal de seis vértices que admita un recorrido euleriano restringido. Resolución: Para ello es necesario que el grafo posea exactamente dos vértices de grado impar. B C
Grado(D)=Grado(E)=3
A
E
D
Observación: El ejercicio 1)a) – 2)a) y 2)b) se podrían haber respondido con el mismo gráfico, pero hicimos otras versiones para poder notar que hay diferentes respuestas a lo mismo. c) Grafo poligonal de cinco caras (incluida la cara del infinito), donde se precisen tres colores diferentes para poder diferenciar áreas pintadas. Resolución
d) Un grafo plano de cuatro caras que sea regular pero no completamente regular. Resolución
A
B
C
D
Todos los vértices tienen igual grado, pero las caras no están rodeadas por la misma cantidad de aristas.
e) Un grafo plano de cinco caras que sea completamente regular.
A
B
3) A partir de la siguiente matriz de adyacencia de vértices (tienen una arista en común) se pide: A B C D E F A B C D E F
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
0 a) Construir el grafo plano asociado a la misma. 1 0 b) Verificar que en el mismo se cumple la fórmula 1 Euler. de Euler. 1 0 c) Representar gráficamente en otro color el 1 grafo dual 1 0
a) Resolución: b) Según la fórmula de Euler: C + V = A + 2 A
Aquí tenemos. C=3+1=4 V=6 A=8
B E C
Efectivamente, se cumple que: 4+6=8+2
D F
c) Grafo dual
A S
P B R E D
C
Q
F
4) Dado el siguiente poliedro, hallar su grafo plano asociado y comprobar que en él se cumple la fórmula de Euler. G H F D E C
A B
Resolución: D
Nota: En éste caso el grafo plano asociado se puede representar como G
E
H
A
C
una vista en planta. Ello es posible a veces y no siempre.
F
B
Nuevamente, según la fórmula de Euler: C + V = A + 2 Aquí tenemos. C=6+1; V=8 y A=13 y es cierto que 7+8=13+2 Efectivamente se cumple.
5) ¿Cuáles de los polígonos regulares indicados a continuación permiten crear un mosaico por adición y sustracción de áreas? Justificar la razón matemática de ello acorde con la amplitud de los ángulos interiores.
El mosaico está construido con un hexágono donde se cortan y pegan tres porciones idénticas y se trasladan según distintos vectores dirección. Observar el detalle formado donde las translaciones realizadas a las porciones quitadas no son idénticas quedando así formados, triángulos equiláteros que también son figuras que teselan el plano.
6) Dada la siguiente figura plana aplicarle una rotación de centro “O” y amplitud 90º en sentido antihorario. A su imagen aplicarle una simetría con respecto al eje “e”. e ●