TORSIÓN 2018-2 – H504 – Mag. Ing. Malena Serrano
La clase de hoy tratará los siguientes temas: ❑
Torsión en barras rectas de sección circular ❑
Esfuerzos y deformaciones en el rango elástico ❑
Ángulo de giro en el rango elástico
La torsión ocurre al aplicar un par de torsión en una barra recta
http://www.awdwiki.com/images/bmw-330xi-e46transmission.jpg
El comportamiento de ejes de sección circular y no circular es muy diferente
Las secciones planas permanecen planas antes, durante y después de la deformación
Las secciones planas NO permanecen planas
En las barras de sección circular, la torsión genera fuerzas y esfuerzos cortantes
= = න La ecuación nos permite calcular la resultante de los esfuerzos cortantes, mas no su distribución. Este problema es estáticamente indeterminado.
Los esfuerzos cortantes ocurrirán en planos perpendiculares a la sección transversal que pasan por el eje del eje
= න =
La torsión ocasiona el giro relativo entre las secciones transversales del eje Aplicamos un torsor T en el extremo libre. Las secciones perpendiculares al eje giran en la misma dirección y sentido del torsor. Las secciones más alejadas, giran más.
En un eje de sección circular sometido a torsión pura, las secciones planas permanecen planas y los diámetros permanecen rectos Consideremos un eje de sección circular sujetado por placas rígidas en sus extremos: 1) Las circunferencias permanecen en sus planos. 2) Los cuadrados se deforman como rombos.
La geometría de la deformación de un eje sometido a torsión genera una ecuación de compatibilidad de deformaciones
arco = arco′ =
=
Ecuación de compatibilidad de deformaciones. La deformación angular del eje será máxima en la superficie:
=
=
La ley de Hooke nos permite plantear una relación constitutiva del material ✓ ✓
Material uniforme e isotrópico. Rango elástico y proporcional.
=
=
Distribución lineal de deformaciones
= Distribución lineal de esfuerzos
Los esfuerzos cortantes en un eje de sección circular (o anular) sometido a torsión varían linealmente con su distancia al centro
=
La ecuación de equilibrio nos permite terminar de calcular el valor de los esfuerzos cortantes en un eje sometido a torsión
=
න =
න = Pero = = න
J es el momento polar de inercia de la sección con respecto a su centro O.
=
En resumen, los esfuerzos de corte y las deformaciones angulares correspondientes varían linealmente con la distancia al centro del eje
=
=
Problema 1: (BJ6 Ejemplo 3.01) Un eje cilíndrico hueco de acero mide 1.5 m de longitud y tiene diámetros interior y exterior iguales a 40 y 60 mm, respectivamente. a) ¿Cuál es el máximo par de torsión que puede aplicarse al eje si el esfuerzo cortante no debe exceder 120 MPa? b) ¿Cuál es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante en el eje?
a) E: El máximo par permisible T que puede aplicarse al eje es el par para el que á . Considerando que no se supera la resistencia de cedencia del acero, se escribe la siguiente ecuación:
= 120 á =
á =
E: Se determina el momento polar de inercia de la sección, y luego se reemplaza en la expresión anterior para hallar el máximo par de torsión.
0.04 1 1 0. 0 6 = 2 = 2 2 2 = 1.021 x10−
)(1.021 x10− ) (120 x 10 á = = 0.03 = 4.08 . b) E: El valor mínimo del esfuerzo cortante ocurre en la superficie interior del eje, y se determina a través de la relación proporcional entre c1 y c2.
0. 0 2 í = á = 0.03 120
í = 80
Para calcular los esfuerzos en ejes de sección variable es necesario calcular el torsor interno de cada sección
=
La forma de falla de ejes a torsión depende de si el material es dúctil o frágil
Falla dúctil
Falla frágil
Problema 2: (BJ6 Problema Modelo 3.1) El eje BC es hueco y tiene diámetros interior y exterior de 90 mm y 120 mm, respectivamente. Los ejes AB y CD son solidos y de diámetro d. Para la carga mostrada en la figura, determine a) los esfuerzos cortante máximo y mínimo en el eje BC, b) el diámetro d requerido en los ejes AB y CD si los esfuerzos cortantes permisibles en estos ejes son de 65 MPa.
a) E: En primer lugar, se dibuja el diagrama de cuerpo y se plantean las ecuaciones de equilibrio para hallar el par de torsión TBC que actúa en el tramo BC.
= 0
6 . = 0 = 6 .
= 0
(6 + 14) . = 0 = 20 .
E: Luego, se determina el momento polar de inercia y, en consecuencia, el esfuerzo cortante máximo en la barra que ocurre en la superficie exterior del eje.
0.090 1 1 0. 1 20 = 2 = 2 2 2 = 13.92 x10− .)(0.060) (20 x10 á = = 13.92 x10−
á = 86.2
E: A continuación, se determina el esfuerzo cortante mínimo, que ocurre en la superficie interior del eje, a través de la relación proporcional entre c1 y c2.
í = á í = 0.045 80.2 0.060 í = 64.7 b) E: Finalmente, se advierte que el par de torsión actuante en AB y CD es el mismo (6 kN.m) y se reemplaza en la ecuación del esfuerzo cortante ( ), para determinar el radio “c” de los ejes.
= 65
=
.)() (6 x10 65 x 10 =
2
= 58.8 x10− = 38.9x 10− = 2 = 2(38.9 ) = 77.8
Problema 3: (BJ6 Problema Modelo 3.2) El diseño preliminar de un eje grande que conecta a un motor con un generador requiere el uso de un eje hueco con diámetros interior y exterior con de 4 pulg y 6 pulg, respectivamente. Sabiendo que el esfuerzo cortante permisible es de 12 ksi, determine el máximo par que puede ser transmitido a) por el eje como fue diseñado, b) por un eje sólido del mismo peso, c) por un eje hueco del mismo peso y de 8 pulg de diámetro exterior.
a) E: Se determina el momento polar de inercia de la sección, y luego se reemplaza en la expresión del esfuerzo cortante máximo para hallar el máximo par de torsión.
4 1 1 6 = 2 = 2 2 2
= 102.1 =
(3) 12 = 102.1 = 408 .
b) E: En este caso, primero se determina el área que tendría un eje sólido con el mismo peso. Luego, se determina el momento polar de inercia de la sección, y se reemplaza en la expresión del esfuerzo cortante máximo para hallar el máximo par de torsión.
() = () 3 2 = = 2.24
=
(2. 2 4 ) 12 = 1 2. 2 4 2 = 211 .
c) E: En este caso, primero se determina el área que tendría un eje hueco de 8 pulg de diámetro exterior con el mismo peso. Luego, se determina el momento polar de inercia de la sección, y se reemplaza en la expresión del esfuerzo cortante máximo para hallar el máximo par de torsión.
() = () 3 2 = 4 = 3.317
=
(4) 12 = 4 3.317 2 2 = 636 .
El ángulo de giro está en función del momento torsor aplicado y de las propiedades geométricas y mecánicas del eje ✓
Deformaciones pequeñas.
= = También: = =
=
Radianes
Problema 4: (BJ6 Ejemplo 3.02) ¿Qué par de torsión deberá aplicarse al extremo del eje del 3.01 para producir un giro de 2°? Utilice el valor de G = 77 GPa para el módulo de rigidez del acero.
E: Se identifican los datos del enunciado y se reemplazan dichos valores en la expresión del ángulo de giro ( ) para hallar el par de torsión T correspondiente.
= =
= 1.5 = 1.021 x10− = 77 x10 = 34.9 x10− = 2° (1. 5 ) − 34.9 x10 = (77 x10)(1.021 x 10−) = 1.829 .
Problema 5: (BJ6 Ejemplo 3.03) ¿Qué ángulo de giro creará un esfuerzo cortante de 70 MPa en la superficie interior del eje hueco de acero de los ejemplos 3.01 y 3.02?
E: Como primera alternativa, se utilizaría la expresión del esfuerzo cortante máximo para hallar el par de torsión T correspondiente. Luego se determinaría el ángulo de giro correspondiente al par de torsión hallado.
∗ í =
=
E: Como segunda alternativa, se utilizaría la ley de Hooke para calcular la deformación por cortante en la superficie interna del eje. Luego, se relacionaría dicha deformación con el ángulo de giro para resolver el problema.
í = í
∗ = í
E: Entonces, utilizamos la ley de Hooke para calcular la deformación por cortante en la superficie interna del eje.
70 x10 í í = = 77 x10 = 909 x10− E: Ahora, relacionamos la deformación hallada con el ángulo de giro para resolver el problema.
− ∗ 1500 ∗ 909 x10 í − = = = 68. 2 x 10 20
= 3.91°
Problema 6: (BJ6 Ejemplo 3.04) Para el ensamble de la figura, sabiendo que r A = 2 r B, determine el ángulo de rotación del extremo E del eje BE cuando el par T se aplica a E.
E: En primer lugar, se relaciona el par de torsión TAD con el par de torsión T aplicado en el extremo E para conocer su valor. Nótese que se aplican fuerzas iguales y opuestas F y F’ sobre los dos engranes en C.
= = 2∗ = 2 E: Considerando que el extremo D del eje AD está fijo, se define que el ángulo de rotación es igual al ángulo de giro del eje. Luego, se relacionan los ángulos de rotación de los engranes para calcular el valor de .
= = 2 = 4 = 2 = E: Considerando que ambos extremos del eje BE giran, se define que el extremo E gira con respecto al extremo B ( / ), y se utiliza la definición de “ángulo relativo de giro” para calcular el valor de .
/ = = = + / 4 = +
5 =
Para calcular el ángulo de giro de un eje compuesto por varias piezas hay que sumar los giros parciales
=
Para calcular el ángulo de giro de un eje de sección variable, se integra el giro diferencial de una rebanada diferencial dx
= = න
Ejercicios propuestos
Ejercicio propuesto: (BJ6 Problema modelo 3.3) El eje horizontal AD está sujeto a una base fija en D y se le aplican los pares mostrados. Un agujero de 44 mm de diámetro se ha perforado en la porción CD del eje. Sabiendo que el eje es de un acero para el que G = 77 GPa, determine el ángulo de giro en el extremo A.
: = 3.91°
