´ MARCO A. PEREZ B. ´bec a ` Montr´ Universit´ e du Quebec e eal. eal. ´ ´ Departement epartement de Mathematiques. ematiques.
TOPOLOG´ IA ALGEBRAICA Notas de curso
S − {N , S } ∼
=
∼
=
S
×
Julio, 2012.
R
´ n basadas en un curso dado por Ferm´ın Dalmagro en la UCV entre finales Estas notas estan a ´ n es responsabilidad del autor. de 2006 y principios principios de 2007. Cualquier Cualquier error error u omision o
i
ii
TABLA DE CONTENIDOS
1
2
3
4
CATEGOR´ IAS Y FUNTORES
1
1.1
Categor´ ıas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Sucesiones en Mod − R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Los funtores Ext y Tor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
HOMOTOP´ IA
1
11
2.1
Grupo fundamental o de Poincar´ e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Homotop´ıa de funciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Aplicaciones del grupo fundamental de S 1
2.4
Revestimientos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
HOMOLOG´ IA SINGULAR
25
3.1
Homolog´ıa singular y sus propiedades
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Sucesi´ on exacta del par
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3
Escisi´ on
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Sucesi´ on exacta de Mayer-Vietoris
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5
Complejos CW y su homolog´ıa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
VARIEDADES DIFERENCIABLES
41
4.1
Estructuras y aplicaciones diferenciables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2
Fibrados vectoriales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.3
Fibrado tangente a una variedad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.4
Fibrado de formas sobre una variedad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.5
Cohomolog´ ıa de de Rham
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
BIBLIOGRAF´ IA
57
iii
iv
CAP´ ITULO 1
CATEGOR´ IAS Y FUNTORES 1.1
Categor´ıas
Una categor´ıa C es una clase de objetos Ob( C ) tal que para cada par de objetos X e Y existe un conjunto de flechas o morfismos Hom C (X, Y ) sujeto a las siguientes condiciones: (1) Para todo X , Y y Z y morfismos f : X −→ Y y g : Y −→ Z , existe una flecha h : X −→ Z llamada composici´on de f y g, que denotamos por g ◦ f . Dicha composici´ on es asociativa. En este caso, diremos que el siguiente tri´angulo es conmutativo: f
X g
◦
Y g
f
Z (2) Para cada objeto X ∈ Ob(C ) existe un morfismo id X ∈ HomC (X, X ) tal que para todo Y ∈ Ob(C ) y para todo f : X −→ Y y g : Y −→ X se tiene f ◦ idX = f y idX ◦ = g. Dadas dos categor´ıas C y D, diremos que C es una subcategor´ıa de D si cada objeto de C es un objeto de D, y para cada par de objetos X e Y en C se tiene HomC (X, Y ) ⊆ HomD (X, Y ). Ejemplo 1.1.1. Los siguientes son ejemplos de categor´ıas: (1) Conj, donde Ob(Conj) son los conjuntos, y HomConj (X, Y ) son las funciones de X en Y . (2) Top, donde Ob(Top) son los espacios topol´ogicos, y HomTop(X, Y ) son las funciones continuas de X en Y . (3) Top1 , donde Ob(Top1 ) son los espacios topol´ogicos (X, x0 ) con X ∈ Ob(Top) y x0 ∈ X , y los morfismos HomTop1 ((X, x0 ), (Y, y0 )) son las funciones continuas de X en Y tales que f (x0 ) = y0 . (4) Top2 , donde Ob(Top2 ) son los espacios topol´ogicos (X, A) con X ∈ Ob(Top) y A ⊆ X , y los morfismos HomTop2 ((X, A), (Y, B)) son las funciones continuas de X en Y tales que f (A) ⊆ B. 1
(5) Var, donde Ob(Var) son las variedades diferenciables, y Hom Var (X, Y ) son las funciones diferenciables de X en Y . (6) Mod − R (resp. R − Mod), donde Ob(Mod − R) (resp. Ob(R − Mod) son los m´odulos por la derecha (resp. por la izquierda) sobre un anillo R, y HomMod−R (X, Y ) (resp. HomR−Mod (X, Y )) son los homomorfismos de X en Y . M´ as adelante estudiaremos con m´as detenimiento cada una de estas categor´ıas. Recordemos que (R, +, ·) es un anillo conmutativo unitario si (R, +) es un grupo abeliano y si las siguientes condiciones se satisfacen para todo a,b,c ∈ R: (1) a · b = b · a. (2) (a · b) · c = a · (b · c). (3) a · (b + c) = a · b + a · c. (4) Existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · a, para todo a ∈ R. Ejemplo 1.1.2. Z, Q y R son ejemplos de anillos. odulo sobre R Sea (M, +) un grupo abeliano y R un anillo conmutativo unitario. Diremos que M es un m´ si existe una operaci´on · : R × M −→ M tal que las siguientes condiciones se satisfacen para todo a, b ∈ R y x, y ∈ M : (1) a · (x + y) = a · x + a · y. (2) (a + b) · x = a · x + b · x. Sean M y N R-m´ odulos y f : M −→ N . Diremos que f es un homomorfismo de R-m´ odulos si para todo x, y ∈ M y todo a ∈ R las siguientes condiciones se satisfacen: (1) f (x + y) = f (x) + f (y). (2) f (a · x) = a · f (x).
Ejercicio 1.1.1. Pruebe que todo Z-m´ odulo en un grupo abeliano. Rec´ıcprocamente, todo grupo abeliano puede verse como un Z-m´ odulo. Pruebe tambi´en que todo m´odulo sobre un cuerpo es un espacio vectorial.
Ejercicio 1.1.2. Estudiar la estructura anular de Z p := Z/p· Z. Si p es primo, demuestre que Z p es un cuerpo. Dadas dos categor´ıas C y D, un funtor de C en D es una asignaci´on F : C −→ D tal que: (1) A cada objeto X ∈ Ob(C ) le asigna un objeto F (X ) en D. (2) A cada morfismo f ∈ HomC (X, Y ) le asigna un morfismo F (f ) ∈ HomD (F (X ), F (Y )) sujeto a las siguientes condiciones: 2
(a) Para cada diagrama conmutativo en C f
X
Y g
g
◦
f
Z se tiene un diagrama conmutativo en D F (X )
F (f )
F (Y )
F ( g
F (g)
◦
f )
F (Z )
(b) Para cada X ∈ Ob(C ) se tiene F (idX ) = idF (X) . Un cofuntor o functor contravariante de C en D es una asignaci´on F : C −→ D tal que: (1) A cada objeto X ∈ Ob(C ) le asigna un objeto F (X ) en D. (2) A cada morfismo f ∈ HomC (X, Y ) le asigna un morfismo F (f ) ∈ HomD (F (Y ), F (X )) sujeto a las siguientes condiciones: (a) Para cada diagrama conmutativo en C f
X g
◦
Y g
f
Z se tiene un diagrama conmutativo en D F (X )
F (f )
F ( g
F (Y ) F (g)
◦
f )
F (Z )
(b) Para cada X ∈ Ob(C ) se tiene F (idX ) = idF (X) . Ejemplo 1.1.3. Sea H 0 : Top −→ Conj el funtor que asigna a cada espacio topol´ogico X el conjunto H 0 (X ) formado por todas las componentes conexas de X , y a toda funci´on continua f : X −→ Y la funci´on H 0 (f ) : H 0 (X ) −→ H 0 (Y ) definida por: H 0 (f )(C ) = componente conexa de f (C ). 3
Este funcor distingue a R de Rn , para todo n ≥ 2. Si R y Rn son homeomorfos, entonces tambi´en lo son R − {0} y Rn − {(0, . . . , 0)}. Al aplicar H 0 , tenemos que H 0 (R − {0}) es un conjunto de dos elementos y H 0 (Rn − { (0, . . . , 0)}) es un conjunto de un elemento. Por lo tanto, R y Rn , con n ≥ 2, no pueden ser homeomorfos.
Dada una categor´ıa C y f ∈ HomC (X, Y ), diremos que: (1) f es un monomorfismo si para todo Z ∈ Ob(C ) y h1 , h2 ∈ HomC (Z, X ), la igualdad f ◦ h1 = f ◦ h2 implica h1 = h2 . (2) f es un epimorfismo si para todo Z ∈ Ob(C ) y g1 , g2 ∈ HomC (Y, Z ), la igualdad g1 ◦ f = g2 ◦ f implica g1 = g2 . (3) f es un isomorfismo si existe g ∈ HomC (Y, X ) tal que g ◦ f = idX y f ◦ g = idY .
Ejercicio 1.1.3. Probar que en la categoria Conj, (1), (2) y (3) son equivalentes a inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.
Ejercicio 1.1.4. Pruebe que los isomorfismos son invariantes por funtores y cofuntores.
Ejercicio 1.1.5. ¿Son invariantes los epimorfismos?
1.2
Sucesiones en Mod − R
Una sucesi´ on semi-exacta (o complejo de cadena) en Mod − R es una sucesi´on de R-m´ odulos y homomorfismos ∂ n 1 ∂ n · · · An−1 −→ An −→ An+1 −→ · · · −
donde cada An es un R-m´ odulo y cada ∂ n es un homomorfismo de R-m´ odulos, tales que ∂ n ◦ ∂ n−1 = 0, es decir Im(∂ n−1 ) ⊆ Ker(∂ n ). ∂ n
1
−
∂
n Una sucesi´ on exacta · · · −→ An−1 −→ An −→ An+1 −→ · · · es exacta si Ker(∂ n ) = Im(∂ n−1 ). Recuerde que para todo homomorfismo g : M −→ N , el n´ucleo Ker(g) y la imagen Im(g) se definen como
Ker(g) := {x ∈ M / g(x) = 0}, Im(g) := {y ∈ N / existe x ∈ M tal que g(x) = y}.
Un complejo de cadenas es una sucesi´on semiexacta ∂ n+1
∂
n A = · · · −→ An+1 −→ An −→ An−1 −→ · · ·
4
Dados dos complejos de cadena A y C , una transformaci´ on de cadena g : A −→ C es una sucesi´on de homomorfismos de R-m´ odulos (gn : An −→ C n / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadrado es conmutativo: ∂ n An An−1 gn
gn−1
C n
C n−1
δ n
Ejercicio 1.2.1. Probar que los complejos de cadena y las transformaciones de cadena constituyen una categor´ıa, a la cual denotaremos por Cad(R).
Ejercicio 1.2.2. Dado un R-m´ odulo M y un subm´odulo N ⊆ M , diremos que x, y ∈ M son equivalentes ∼ − ∈ (x y) si x y N . Es f´acil ver que ∼ es una relaci´on de equivalencia. Denotamos por M/N el conjunto de clases de equivalencia M/N := {x mod N : x ∈ M }. Probar que M/N es un R-m´ odulo.
Ejercicio 1.2.3. Considere la asignaci´on H n : Cad(R) −→ Mod − R dada por (1) H n (A) := Ker(∂ n )/Im(∂ n+1 ) (n-´esimo grupo de homolog´ıa) para cada complejo de cadena A. (2) Para cada transformaci´on de cadena g : A −→ C , sea H n (g) : H n (A) −→ H n (C ) el homomorfismo definido por H n (g)(x + Im(∂ n+1 )) := gn (x) + Im(δ n+1 ). Pruebe que H n (g) est´a bien definido. Luego demuestre que H n es un funtor.
Un complejo de cocadenas es una sucesi´on semi-exacta ∂ n
1
−
∂
n A = · · · −→ An−1 −→ An −→ An+1 −→ · · ·
on de cocadenas g : A −→ C es una colecci´on Dados dos complejos de cocadena A y C , una transformaci´ de homomorfismos de R-m´ odulos (gn : An −→ C n / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadrado es conmutativo: ∂ n−1 An−1 An gn
gn−1 C n−1
δ n−1
C n
Denotaremos por CoCad(R) la categor´ıa de los complejos de cocadena y las transformaciones de cocadena.
5
Ejercicio 1.2.4. Considere la asignaci´on H n : CoCad(R) −→ Mod − R dada por (1) H n (A) := Ker(∂ n−1 )/Im(∂ n ) (n-´esimo grupo de cohomolog´ ıa) para cada complejo de cadena A. (2) Para cada transformaci´on de cocadena g : A −→ C , sea H n (g) : H n (A) −→ H n (C ) el homomorfismo definido por H n (g)(x + Im(∂ n )) := gn (x) + Im(δ n ). Pruebe que H n (g) est´a bien definido. Luego demuestre que H n es un funtor.
Un R-m´ odulo P se dice proyectivo si para todo diagrama P g M
N
f
0
existe un homomorfismo h : P −→ M tal que f ◦ h = g. En otras palabras, tenemos un diagrama conmutativo P ∃
M
h
g N
f
0
Un R-m´ odulo L se dice libre si existe un conjunto B tal que todo elemento de L es combinaci´on lineal finita de elementos de B, y dicha combinaci´on es u ´ nica.
Ejercicio 1.2.5. Dada una familia de R-m´ odulos (M α : α ∈ Λ), consideremos el conjunto M =
M α =
α∈Λ
f : Λ −→
α∈Λ
M α , f (α) ∈ M α
,
al cual denominaremos producto de R-m´ odulos. Demuestre que M tiene estructura de R-m´ odulo. Probar lo mismo para el conjunto
α∈Λ
M α :=
f ∈
M α / f (α) = 0, salvo para un n´umero finito de ´ındices α .
α∈Λ
Este R-m´ odulo se conoce como suma directa.
Note que si Λ = {1, 2, . . . , n} entonces
n i=1 M i
=
n i=1 M i .
6
Una sucesi´ on exacta corta es un diagrama f
g
0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 tal que Ker(g) = Im(f ), f es inyectivo y g es sobreyectivo. pN
i
M Ejemplo 1.2.1. Si M y N son R-m´ odulos, 0 −→ M −→ M ⊕ N −→ N −→ 0 es una sucesi´on exacta corta, donde iM (x) = (x, 0) y pN (x, y) = y. Note que pM ◦ iM = idM y pN ◦ iN = idN .
Ejercicio 1.2.6. Probar que todo m´odulo libre es proyectivo.
f
g
Ejercicio 1.2.7. Sea 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 una sucesi´on exacta. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) Existe h : M −→ M tal que g ◦ h = idM . (2) Existe k : M −→ M tal que k ◦ f = idM
(3) Existe h : M −→ M y k : M −→ M tal que g ◦ h + k ◦ f = idM .
(4) M ∼ = M ⊕ M .
1.3
Los funtores Ext y Tor
Dado un R-m´ odulo M , denotaremos por Hom(M, −) al funtor Mod − R −→ Mod − R definido de la siguiente manera: (1) Hom(M, N ) = {homomorfismos de M en N }, para cada N ∈ Mod − R. (2) Para cada homomorfismo f : N −→ N , Hom(M, f ) : Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) es el homomorfismo dado por Hom(M, f )(g) = f ◦ g, para todo g ∈ Hom(M, N ). Dado un R-m´ odulo N , consideramos la sucesi´on exacta β
α
0 −→ N −→ N −→ N −→ 0, donde N es el R-m´ odulo generado por N : α(r1 · x1 + · · · + rn · xn ) = r1 · x1 + · · · + rn · xn , donde la suma de la izquierda es una suma formal y la de la derecha es la suma en N , N = Ker(α) y β es la inclusi´ on. Proposici´ on 1.3.1. La sucesi´on 0 −→ Hom(M, N )
Hom(M,β)
−→
Hom(M, N )
es exacta. 7
Hom(M,α)
−→
Hom(M, N )
Se define Ext 1 (M, N ) como Ext1 (M, N ) := CoKer(Hom(M, α)) = Hom(M, N )/Im(Hom(M, α)). Si N es proyectivo entonces Hom(M, α) es un epimorfismo. Entonces Ext1 (M, N ) = 0 si N es proyectivo. En cierta forma, Ext mide la proyectividad de N .
Ejercicio 1.3.1. Defina el funtor Ext1 : Mod − R −→ Mod − R.
Repasemos el producto tensorial de m´odulos. Dados dos R-m´ odulos M y N , existe un R-m´ odulo K y una aplicaci´ on bilineal α : M ⊕ N −→ K que satisface la siguiente propiedad universal: para todo R-m´ odulo K y toda aplicaci´on bilineal β : M ⊕ N −→ K existe una u ´ nica aplicaci´ on lineal β : K −→ K que hace el siguiente diagrama conmutativo: α M ⊕ N K β
β
K Se puede probar que dicho m´odulo K es u ´ nico salvo isomorfismos. Damos la construcci´on de dicho K . Sea D el grupo libre generado por M ⊕ N = M × N , D = {r1 · (x1 , y1 ) + · · · + rn · (xn , yn ) : ri ∈ R, xi ∈ M, yi ∈ N, ∀ 1 ≤ i ≤ n, con n ∈ N}. Sea H el subm´odulo de D generado por
{(x1 + x2 , y) − (x1 , y) − (x2 , y), (x, y1 + y2 ) − (x, y1 ) − (x, y2 ), (a · x, y) − a · (x, y), (x, b · y) − b · (x, y)}. El m´odulo K se define por K = M ⊗ N := D/H , y la aplicaci´on bilineal α : M × N −→ K viene dada por α(x, y) = [(x, y)] = x ⊗ y. Dado un R-m´ odulo M y un homomorfismo f : N −→ N , M ⊗ f : M ⊗ N −→ M ⊗ N es el u ´ nico homomorfismo que hace conmutativo al siguiente diagrama: M × N
α
M × f M × N
M ⊗ N M ⊗ f
α
Ejercicio 1.3.2. Pruebe que: (1) M ⊗ − es funtorial. (2) M ⊗ N ∼ = N ⊗ M . 8
M ⊗ N
Ejercicio 1.3.3. Pruebe que si 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 es una sucesi´on exacta entonces β⊗M
α⊗M
N ⊗ M −→ N ⊗ M −→ N ⊗ M −→ 0 es una sucesi´on exacta.
Sean M y N dos R-m´ odulos y considere una resoluci´ on libre de N : β
α
0 −→ N −→ N −→ N −→ 0. Sabemos que la sucesi´on β⊗M
α⊗M
N ⊗ M −→ N ⊗ M −→ N ⊗ M −→ 0 es exacta. Se define Tor 1 (N, M ) como Tor1 (N, M ) := Ker(N, M ). Ejercicio 1.3.4. Demuestre que Tor 1 es funtorial. ¿Es cierto que Tor 1 (M, N ) = Tor1 (N, M )?
9
10
CAP´ ITULO 2
HOMOTOP´ IA 2.1
Grupo fundamental o de Poincar´ e
Trabajaremos con la categor´ıa Top1 de los espacios punteados (X, x0 ). Dados dos puntos x0 y x1 en un espacio topol´ogico X , un camino σ que comienza en x0 y termina en x1 es una aplicaci´on continua σ : [0, 1] −→ X tal que σ(0) = x1 y σ(1) = x1 . Dados dos caminos σ y α que comienzan en x0 y terminan en x1 , diremos que σ es homot´ opico a α si existe una aplicaci´on continua H : [0, 1] × [0, 1] −→ X tal que: (1) H (0, t) = x0 , (2) H (1, t) = x1 , (3) H (s, 0) = σ(s), (4) H (s, 1) = α(s). Denotaremos por α ∼H σ si α es homot´opico a σ.
↵
↵
x1
x0
x1
0
Proposici´ on 2.1.1. ∼ es una relaci´on de equivalencia.
11
Demostraci´ on: Veamos primero que ∼ es una relaci´on reflexiva. Basta considerar H (s, t) = α(s). Ahora veamos que ∼ es sim´etrica. Supongamos que α ∼H σ. Luego σ ∼H α, donde H (s, t) = H (1−s, t). Por u ´ ltimo, veamos que ∼ es transitiva. Supongamos que α ∼H σ y que σ ∼H β . Entonces α ∼H β , donde H (2s, t), si s ∈ [0, 1/2) H (s, t) = H (2s − 1, t), si s ∈ [1/2, 1].
Denotemos por Ω(X, x0 ) el conjunto de los caminos cerrados que comienzan y terminan en x0 . Consideremos el conjunto cociente π1 (X, x0 ) := Ω(X, x0 )/ ∼ . Veamos que este conjunto posee estructura de grupo. Dadas dos clases [ α] y [σ], definimos [σ] ∗ [α] := [σ ◦ α], donde σ ◦ α(s) :=
α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2, σ2s − 1, si 1/2 < s ≤ 1.
Con esta operaci´on, π1 (X, x0 ) posee estructura de grupo. Primero verifiquemos que ∗ est´ a bien definida. Supongamos que σ1 ∼H 1 σ2 y α1 ∼H 2 α2 . Se tiene que σ1 ◦ α1 ∼H 3 σ2 ◦ α2 , donde H 3 (s, t) =
si 0 ≤ s ≤ 1/2, H 1 (2s, t), H 2 (2s − 1, t), si 1/2 < s ≤ 1.
Por lo tanto, ∗ est´a bien definida.
↵2
2 x0
H 1
⇤
x0
x0
1
H 2
x0
↵1
2 ↵2
H 3
x0
x0
1 ↵1
(1) Axioma del elemento neutro: Definamos el camino e(t) = x0 . Es f´acil ver que [σ] ∗ [e] = [σ] y [e] ∗ [σ] = [σ]. En el case σ ◦ σ0 ∼H σ, la funci´on H est´ a dada por H (s, t) =
σ(s), si 0 ≤ s ≤ 2−t 2 , x0 , si 2−t < s ≤ 1. 2
Considere las rectas L1 : y = 2x y L2 : y = −2x + 2. El siguiente diagrama explica el axioma del elemento neutro. 12
0
L2 L1
(1 0)
,
(2) Dada una clase [σ], definamos [σ]−1 = [σop ], donde σop (s) = σ(−s). Tenemos que [σ] ∗ [σop ] = [e], donde σ ◦ σop ∼H e a trav´es de la funci´on H (s, t) =
σ(s), si 0 ≤ s ≤ 2t , x0 , si 2t < s ≤ 2−t 2 , 2−t σop (s), si 2 < s ≤ 1.
op
x0
op
x0
Ejercicio 2.1.1. Probar que el producto ∗ es asociativo.
e) de X Con la operaci´on ∗, el par (π1 (X, x0 ), ∗) se conoce como el Grupo Fundamental (o de Poincar´ en x0 .
Ejercicio 2.1.2. Dado un morfismo f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) en Top1 , sea π1 (f ) : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) la aplicaci´ on dada por π1 (f )([σ]) = [f ◦ σ], para todo [σ] ∈ π1 (X, x0 ). Probar que π1 (f ) est´a bien definida, es decir, si σ ∼ α en (X, x0 ), entonces f ◦ σ ∼ f ◦ α en (Y, y0 ). Probar adem´as que π1 (−) es un funtor Top1 −→ Grp.
13
2.2
Homotop´ıa de funciones
Dados dos morfismos f, g : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) en Top1 , diremos que f es homot´ opica a g (denotado por f ≈ g) si existe una funci´on continua H : I × X −→ Y tal que H (0, x) = f (x) y H (1, x) = g(x). Denotaremos por [f ] a la clase de equivalencia de f . Proposici´ on 2.2.1. ≈ es una relaci´on de equivalencia.
Diremos que un morfismo f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) en Top1 es una equivalencia de homotop´ıa si existe otro morfismo g : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) tal que f ◦ g ≈ idY y g ◦ f ≈ idX . En este caso, diremos que (X, x0 ) y (Y, y0 ) son homot´ opicos, y denotaremos esta condici´o n por (X, x0 ) ≈ (Y, y0 ). Diremos que un espacio (X, x0 ) es contr´actil si idX ≈ constante. Proposici´ o n 2.2.2. Sean f, g : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) dos morfismos en Top1 . π1 (f ) = π1 (g).
Si [f ] = [g] entonces
Demostraci´ on: Tenemos que probar que f ◦ σ ∼ g ◦ σ, para todo [σ] ∈ π1 (X, x0 ). Sabemos que existe una funci´on continua H : I × X −→ Y tal que H (0, x) = f (x) y H (1, x) = g(x). Definimos
H (s, t) =
H (2s, σ(t)), si 0 ≤ s ≤ 1/2, − H (2s 1, σ(t)), si 1/2 < s ≤ 1.
Note que H (0, σ(t)) = f ◦ σ(t) y H (1, σ(t)) = g ◦ σ(t).
Corolario 2.2.1. Si (X, x0 ) es contr´actil entonces π1 (X, x0 ) = {0}.
Demostraci´ on: Tenemos que idX ≈ c0 , donde c0 es la funci´on constante x → x0 . Entonces π1 (idX ) = π(c0 ). Luego, para todo camino σ centrado x0 , se tiene [σ] = π1 (idX )([σ]) = π1 (c0 )([σ]) = [e].
Proposici´ on 2.2.3. Todo subespacio conexo de Rn es contr´actil.
Demostraci´ on: Fijamos x0 ∈ X , donde X es un subespacio convexo de Rn . Sea H : I × X −→ X la funci´ on continua dada por H (s, x) = s · x + (1 − s) · x0 . Tenemos H (0, x) = x0 (contante) y H (1, x) = x = idX (x).
14
Ejercicio 2.2.1. Sea (X, x0 ) un espacio topol´ ogico contr´ a ctil. f, g : (X, x0 ) −→ (X, x0 ) son homot´opicas.
Entonces todo par de funciones
Diremos que un espacio X es simplemente conexo si π1 (X, x0 ) = {0}, para todo x0 ∈ X . Proposici´ on 2.2.4. Sea {U, V } un cubrimiento abierto de X . Si U y V son subespacios simplemente conexos de X y U ∩ V es conexo por arcos, entonces X es simplemente conexo.
Demostraci´ on: Consideremos s´olo el caso no trivial en el que U ∩ V = ∅. Consideremos un camino σ en X , debemos probar que σ es homot´opico a e. Los casos σ ⊆ U y σ ⊆ V son triviales. Consideremos el caso no trivial.
x0
Tenemos que {σ−1 (U ), σ −1 (V )} es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por el Lema del Cubrimiento de Lebesgue, existe λ > 0 tal que para todo x ∈ [0, 1], B(x, λ) ⊆ σ −1 (U ) o σ(x, λ) ⊆ σ−1 (V ). Como I es un espacio compacto, existe una partici´ on x0 = 0 < x1 < · · · < xn = 1 tal que para todo intervalo de la partici´ on [xj−1 , xj ] ⊆ σ −1 (U ) o [xj−1 , xj ] ⊆ σ −1 (V ). Podemos suponer sin p´ erdida de generalidad que para todo i = 1, . . . , n − 1, σ(xi ) ∈ U i ∩ U j , donde U i = σ([xi−1 , xi ]). Hagamos una prueba para n = 2, tenemos el siguiente gr´afico:
U x0
(
x1
)
(x2)
Los caminos β y la parte derecha de σ son homot´opicos porque β −1 ◦ σ ∼ σ(x1 ). Adem´as, la parte izquierda de σ compuesta con β es homot´opica a 0. De esto se sigue el resultado.
Corolario 2.2.2. La espera S n es simplemente conexo, para todo n ≥ 2. 15
Demostraci´ on: Sean N y S los polos Norte y Sur de la esfera, respectivamente. Como U = S n − {N } y V = S n − {S } son simplemente conexos, y como U ∩ V = S n − {N, S } es conexo por arcos, se tiene que S n es simplemente conexo.
Ejercicio 2.2.2. Hacer la prueba para n = 2.
Ejercicio 2.2.3. Probar que si un espacio topol´ogico es conexo por arcos, entonces π1 (X, x0 ) no depende de la elecci´on de x0 .
Lema 2.2.1. π1 (S 1 , 1) = Z. Considere la funci´on e(t) = exp(2πit). Considere el conjunto cociente R/Z, donde [t] = [t ] si 2πt − 2πt = n para alg´ un n ∈ Z. Considere la aplicaci´ on ρ(exp(2πit)) = [t]. Tenemos que ρ est´ a bien definida porque e es peri´odica. M´as a´ un, ρ es un homeomorfismo porque ρ es biyectiva y S 1 es un espacio compacto. R e
R/Z
S 1
ρ
Proposici´ on 2.2.5. Para todo camino σ : I −→ S 1 tal que σ(0) = σ(1) = 1, se tiene: (1) Existe σ : I −→ R tal que σ (0) = 0 y e ◦ σ = σ. (2) Si α : I −→ S 1 es otro camino con α(0) = α(1) = 1 y H es una homotop´ıa de σ en α, entonces existe H : I × I −→ R tal que σ ∼H α .
R
σ I
e S 1
σ
Note que como e(σ (1)) = 1, se tiene e−1 (1) = Z, de donde σ termina en un entero. Sea Y = I o Y = I × I , luego 0 = 0 o 0 = (0, 0). Consideremos una funci´on f : Y −→ S 1 . Busquemos una funci´ on f : Y −→ R tal que f (0) = 0, e ◦ f = f . Note que la funci´on e satisface e(−1/2, 1/2) ⊆ S 1 − {−1} (homeom´ orficamente). R
f Y
e f
16
S
Demostraci´ on: Note que e es un homeomorfismo local, en particular ( −1/2, 1/2) ∼ =e S 1 − {−1}. (1) Si f (Y ) ⊆ S 1 − {−1} entonces f = e−1 |(−1/2,1/2) ◦ f . (2) En caso contrario, sea Γ un cubrimiento abierto por arcos conexos de S 1 de longitud menor que π. Luego, f −1 (Y ) es un cubrimiento abierto de Y . Por el Lema del Cubrimiento de Lebesgue, existe λ > 0 tal que si |x − z | < λ entonces existe U ∈ Γ tal que x, z ∈ f −1 (U ) implica que f (x) = −f (z), f (x) de donde se sigue que f (z) = −1. Sea N ∈ N tal que Y ⊆ B(0, N λ). Definamos f . Sea y ∈ Y . Notamos que f (y) =
f
Adem´ as
f (y) (N −1) N
·y
·
f
f
(N −1) ·y N N −2 ·y N
f · f
N −2 N N −3 N
·y ·y
y f N ··· f (0)
.
(N − 1) y ·y = y− < , N N N − k N − (k + 1) y ·y− ·y = < . N N N
Sea ψ : S 1 − {−1} −→ (−1/2, 1/2) la inversa local de e. Tenemos f (y) = ψ
f
f (y) (N −1) N
·y
f
(N −1) N
·y
f
(N −2) N
·y
+ψ
f (0) = ψ(1) + · · · + ψ(1) = 0 + · · · + 0 = 0, e ◦ f (y) = f (y).
+ ···+ ψ
y f N f (0)
,
Corolario 2.2.3. Si σ ∈ Ω(S 1 , 1) entonces σ1 (1) ∈ Z y σ ∼ β =⇒ σ (1) = β (1).
Demostraci´ on del Lema 2.2.1: Definamos la aplicaci´ on χ : π1 (S 1 , 1) −→ Z por χ([σ]) = σ (1). Supongamos que χ([σ]) = m = σ (1) y χ([β ]) = n = β (1). Tenemos χ([σ] ∗ [β ]) = χ([σ ◦ β ]) = m + n. Se tiene que χ es un homomorfismo de grupos. Ahora, para cada n ∈ Z, se tiene que n es imagen de σ(t) = exp(2πint), es decir, que χ es un epimorfismo. Por ´ultimo, supongamos que χ([σ]) = 0. Entonces σ (1) = 0. De donde σ comienza y termina en 0. Se sigue que σ ∼ 0 y por tanto e ◦ σ ∼ e(0) = 1. Entonces, [σ] = 0. Por lo tanto, χ es tambi´en un monomorfismo.
17
2.3
Aplicaciones del grupo fundamental de S 1
Sea A ⊆ X un subespacio de X . Se dice que A es un retracto de X si existe un diagrama conmutativo i
A
X r
i d A
A Ejercicio 2.3.1. ¿Si X es un espacio de Hausdorff y A es un retracto de X , entonces A debe ser cerrado? cerrado? Si A es un retracto de X , tenemos el siguiente diagrama conmutativo en Grp: Grp: π1 (i)
π1 (A, a)
i d dπ
1
( A A,
a )
π1 (X, a) π1 (r)
= π
1 ( i d d
) π1 (A, a)
A
De donde π (r) es un epimorfismo y π1 (i) es un monomorfismo. r
i
Un retracto r : X −→ A se dice retracto por deformaci´ on on si la composici´on on X −→ A −→ X es homot´opica opica a la identidad idX : X −→ X . A
i i d
X i d
X
r
A
A
π1 (A)
π1 (i)
i d
i
X
π1 (X ) π1 (r) π1 (A)
i d
π1 (i)
π1 (X )
De este diagrama se sigue que π1 (r) es un monomorfismo. En efecto, sea b ∈ Ker(π Ker(π1 (r)), luego i ◦ π1 (r )(b )(b) = 0 = id(b id(b) = b =⇒ Ker(π Ker(π1 (r)) = {0}. Ejemplo Ejemplo 2.3.1. (1) Sea X un subconjunto convexo de Rn y A = {x0 }, para alg´ un un x0 ∈ X . Enton Entonces ces A es retracto por deformaci´ on on de X . Basta considerar consid erar la l a homotop homo top´´ıa H (x, t) = (1 − t) · x + t · x0 . 18
(2) El c´ırculo ırc ulo S 1 es retracto de D2 − {0}. Sea r : D2 − {0} −→ S 1 la funci´on on dada por r(x) = 2 2 funci´ on on H : D − {0} × I −→ D − {0} dada por H (x, t) = (1 − t) · x + t ·
x ||x ||x|| .
La
x ||x||
es la homotop´ıa ıa deseada.
Ejercicio 2.3.2. ¿Puede ser que S 1 fuese retracto por deformaci´on on del disco?
Teorema 2.3.1 (Teorema (Teorema del Punto Fijo de Brower). Brower). Toda funci´on on continua de D2 en D2 tiene un punto fijo.
Demostraci´ on: on: Sea f : D2 −→ D2 una funci´ funci´on on contin continua ua tal que f ( f (x) = x, para para todo x ∈ D2 . Escribimos f ( f (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)). Existe t ∈ R tal que
||(1 − t) · (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) + t · (x, y)|| = 1. 1. Tal t (positivo) es unico u ´ nico y denotamos t := g (x, y). Se puede demostra demostrarr que g es una funci´on on continua. Podemos definir una retracci´on on r(x, y) = (1 − g (x, y)) · f ( f (x, y) + g(x, y) · (x, y). La funci´on on H ((x, ((x, y), s) = (1 − s) · (x, y) + s · r(x, y) es la homotop´ homotop´ıa deseada. De donde, D2 es retracto a S 1 , obteniendo as´ as´ı una contradicci´ on, on, pues se rompe la continuidad de f .
Ejercicio 2.3.3. Probar que r(x, y) en la prueba anterior es una retracci´on.
´ Ejercicio 2.3.4. Probar el Teorema Fundamental del Algebra usando homotop´ıas. ıas.
Dados dos espacios topol´ogicos ogicos X e Y , Y , existe una manera sencilla de calcular el grupo fundamental de X × Y : Y : π1 (X × Y, (x0 , y0 )) ∼ = π1 (X, x0 ) ⊕ π1 (Y, y0 ). Para probar este isomorfismo, considere la sucesi´on on p
i
2 1 (Y, y0 ) −→ (X × Y, (x0 , y0 )) −→ (X, x0 ),
donde i1 (y) = (x0 , y) y p2 (x, y) = x. Esta sucesi´on on da lugar a una sucesi´on on exacta en Grp: Grp: π1 (i1 )
π1 ( p2 )
0 −→ π1 (Y ) Y ) −→ π1 (X × Y ) Y ) −→ π1 (X ) −→ 0, 19
la cual se parte, pues la funci´on on i2 : X −→ X × Y dada por x → (x, y0 ) satisface la igualdad π1 ( p2 ) ◦ π1 (i2 ) = idπ1 (X ) . De esto se sigue que el isomorfismo anterior.
Ejercicio 2.3.5. Probar que la sucesi´on on anterior es exacta.
2.4
Revestimientos
Una funci´on on continua p : (E, e0 ) −→ (B, b0 ) es un revestimiento si existe un cubrimiento abierto Γ de B tal que para todo U ∈ Γ existe una familia {V α }α∈Λ de abiertos disjuntos de E tal que p−1 (U ) U ) = α∈Λ V α y ∼ p|V α : V α = U . U . El espacio B es conexo y localmente conexo por arcos. Los elementos de Γ se conocen como abiertos distinguidos y para cada U ∈ Γ, los correspondientes V α son l´ aminas aminas sobre U . U .
.. V ↵3
V ↵2 V ↵1
E
Ejemplo Ejemplo 2.4.1. (1) La funci´ funci´ on on e : (R, 0) −→ (S 1 , 1) dada por e(i) = exp(2πit exp(2πit)) es un revestimiento, tomando el cubrimiento 1 de abiertos distinguidos Γ = {U 1 = S − {1}, U 2 = S 1 − {−1}}. Tenemos que e−1 (U 1 ) = n∈Z (n, n + 1) y e−1 (U 2 ) = n∈Z n − 12 , n + 12 .
(2) La funci´ funci´ on on S 1 −→ S 1 dada por z → z n es tambi´ tambi´en en un revestimiento, revestimiento, donde cada arco de longitud 2 π/n es un abierto distinguido, y cada uno de estos arcos tiene n preim´ agenes. agenes. (3) El Espacio Proyectivo Real de dimensi´on on n se define como el cociente de RPn := Rn+1 − {0}/ ∼, 0 tal que y = λx. donde y ∼ x si existe λ = λx. Note que en S n , dos puntos son equivalentes si, y s´olo olo si n n n ∼∼ n −→ son antipodales. antipodales. Adem´ as, as, S / = RP . La proyec proyecci´ ci´ on on can´onica onica p : S RP es un revestimiento, en el que cada abierto tiene dos preim´agenes. agenes. N´ otese otese adem´as as las siguientes igualdades: RP1 = {y = 1} ∪ { ∗ } = S 1 , RP2 = {z = 1 } ∪ RP1 ⊆ R2 ∪ RP1 ,
.. .
20
Lema 2.4.1. Sea p : (E, e0 ) −→ (B, b0 ) un revestimiento y f : (Y, y0 ) −→ (B, b0 ) una funci´on continua, donde (Y, y0 ) es un espacio conexo y localmente conexo por arcos. Si existe un levantamiento de f , entonces dicho levantamiento es ´unico. (E, e0 )
f (Y, y0 )
p
f
(B, b0 )
Demostraci´ on: Suponemos que g, h : (Y, y0 ) −→ (E, e0 ) son dos levantamientos de f , por lo que p ◦ h = p ◦ g = f . Sea A = {y ∈ Y : h(y) = g(y)}. Note que A es un cerrado no vac´ıo. Ahora veamos que A es tambi´en abierto. Sea y ∈ A y sea U un abierto que contiene a y. Luego, g(y) pertenece a alguna l´ amina de U , digamos V α . De la misma manera, h(y) pertenece a alguna otra l´amina de U , digamos V β . Tenemos y ∈ h−1 (V β ) ∩ g −1 (V α ), por lo que h−1 (V β ) ∩ g −1 (V α ) es un abierto no vac´ıo. Vamos a probar que h−1 (V β ) ∩ g −1 (V α ) ⊆ A. Si z ∈ h−1 (V β ) ∩ g−1 (V α ) entonces h(z) ∈ V β y g(z) ∈ V α . De aqu´ı, α = β porque V β y V α son disjuntos. As´ı se tiene p|V β (h(z)) = f (z) = p|V β (g(z)) =⇒ h(z) = g(z), porque p|V β es un homeomorfismo. Por lo tanto, z ∈ A. Como (Y, y0 ) es conexo, se tiene que A = Y , es decir g = h.
Proposici´ on 2.4.1 (Levantamiento de caminos). Si p : (E, e0 ) −→ (B, b0 ) es un revestimiento, entonces todo camino en B que comienza en b0 se levanta a un ´unico camino en E que comienza en e0 .
Demostraci´ on: Sea σ : I −→ (B, b0 ) un camino que comienza en b0 . (1) Si σ est´ a enteramente contenido en un abierto distinguido, entonces σ se levanta a (E, e0 ).
V ↵
0
p|V
E
p|V
↵
↵
b0
•
1
21
U
)
(2) Si σ no est´a enteramente contenido en un abierto distinguido, precedemos de la siguiente manera: σ −1 (Γ) = {σ−1 (U ) : U ∈ Γ} es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por argumentos de compacidad y por el Lema de Lebesgue, existe una partici´o n 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 tal que para todo 0 ≤ j < n existe U j ∈ Γ tal que σ([tj , tj+1 ]) ⊆ U j . Tenemos σ(tj ) ∈ U j ∩ U j +1 .
↵1
↵2
E
p
t0
t1
t2
El camino σ(0, t1 ) se levanta a un camino σ0 en una l´amina V α0 que contiene a e0 . De forma similar, σ(t1 , t1 ) se levanta a un camino σ1 en una l´amina V α1 que contiene a σ0 (t1 ), y as´ı sucesivamente. Se puede probar que σ = σ0 ◦ σ1 ◦ · · · ◦ σn es un levantamiento de σ que comienza en e0 .
Ejercicio 2.4.1. Complete los detalles del caso (2) en la demostraci´on anterior. Teorema 2.4.1. Si p : (E, e0 ) −→ (B, b0 ) es un revestimiento, toda homotop´ıa en B se levanta a una ´unica homoto´ıa.
Demostraci´ on: Sea H : (I × I, 0) −→ (B, b0 ) una homotop´ıa en B. (E, e0 )
H (I × I, 0)
H
(B, b0 )
Si H (I × I ) ⊆ U , donde U es un abierto distinguido que contiene a b0 , elegimos una l´amina V α0 de U que contiene a e0 , entonces ( p|V −α )−1 ◦ H es el levantamiento deseado de H . La prueba del caso no trivial se la dejamos al lector.
22
Ejercicio 2.4.2. Demuestre el caso (2) del teorema anterior.
Tenemos las siguientes consecuencias: (1) Para todo revestimiento p : (E, e0 ) −→ (B, b0 ), el homomorfismo π1 ( p) : π1 (E, e0 ) −→ π1 (B, b0 ) es un monomorfismo. En efecto. sea σ un camino cerrado en (E, e0 ) tal que π1 ( p)([σ]) = 0. Tenemos que [ p ◦ σ] = 0. Por unicidad de levantamientos, se tiene que σ es el u ´ nico levantamiento de p ◦ σ. Entonces tenemos p ◦ σ ∼ b0 =⇒ σ ∼ e0 =⇒ [σ] = 0. (2) Para todo b ∈ B, Card( p−1 (b0 )) = Card( p−1 (b0 )). Sea h : p−1 (b0 ) −→ p−1 (b1 ) la funci´on dada por h(e) = σe (1), donde σe es el levantamiento de σ que comienza en e. Esta funci´on resulta ser biyectiva. (3) Considere el diagrama h
(E, e0 ) p
(E, e0 )
p
(B, b0 ) Sea G el conjunto de los homeomorfismos h levantados de p. Como p ◦ (h1 ◦ h2 ) = ( p ◦ h1 ) ◦ h2 = p ◦ h2 = p. Entonces G es cerrado bajo la operaci´on de composici´on. Se puede probar que G posee estructura de grupo.
Ejercicio 2.4.3. La aplicaci´ on F : π1 (B, b0 ) −→ G dada por [σ] → h es un isomorfismo de grupos.
Teorema 2.4.2. Si π1 (f )(π1 (Y, y0 )) ⊆ π1 ( p)(π1 (E, e0 )) entonces f se levanta.
23
24
CAP´ ITULO 3
HOMOLOG´ IA SINGULAR 3.1
Homolog´ıa singular y sus propiedades
Consideremos los siguientes puntos en el espacio Rn . E 0 = (0, 0, . . . , 0), E 1 = (1, 0, . . . , 0), E 2 = (0, 1, . . . , 0), .. . E n = (0, 0, . . . , 1). Sea 0 ≤ q ≤ n. El conjunto ∆q := {λ1 E 1 + · · · + λq E q : λ1 + · · · + λq = 1} se denomina c´ apsula convexa o q -simple de E 0 , E 1 , . . . , Eq . Note que ∆1 , ∆2 y ∆3 tienen las siguientes formas en R3 . E 1
1
E 0 E 2
E 3
E 0 •
E 2
2
3 E 1
E 0
•
•
E 1
Sea X un espacio topol´ ogico. Un q -simple singular es una aplicaci´ on continua σ : ∆q −→ X . Note que un 0-simple es un punto, los 1-simples son segmentos de rectas, y los 2-simples son tri´angulos en X .
25
Fijemos un anillo A y sea S q (X ) el A-m´ odulo libre generado por los q -simples singulares. Definimos una i aplicaci´ on ∇q : ∆q −→ ∆q+1 , con i = 0, 1, . . . , n por
∇iq (E j ) :=
E j , si j < i, E j +1 , si j ≥ i.
y extendemos por linealidad. Por ejemplo, ∇02 (E 0 ) = E 1 , ∇02 (E 1 ) = E 2 , ∇02 (E 2 ) = E 3 , ∇12 (E 0 ) = E 0 , ∇12 (E 1 ) = E 2 , ∇12 (E 2 ) = E 3 , etc.
E 2 E 3 E 0
E 1 E 0
Definimos la aplicaci´on ∂ q : S q (X ) −→ S q−1 (X ) por q
∂ q (σ) :=
(−1)i σ ◦ ∇iq−1 .
i=0
Proposici´ on 3.1.1. La sucesi´on ∂ q
S (X ) : · · · −→ S q (X ) −→ S q−1 (X ) −→ · · · −→ S 1 (X ) −→ S 0 (X ) −→ 0 es un complejo de cadenas.
Primero probemos algunos lemas, antes de demostrar la proposici´on anterior.
Lema 3.1.1. Para todo i < j , ∇iq ◦ ∇jq−1 = ∇jq ◦ ∇i−1 q−1 .
Demostraci´ on: 0 < j < i: ∇iq ◦ ∇jq (E 0 ) = E 0 = ∇jq ◦ ∇i−1 q−1 (E 0 ). Ahora supongamos que 0 < · · · < j < · · · < i − 1 < i < · · · < n. Tenemos
∇iq
◦
∇jq−1 (E j ) =
∇iq (E j +1 ) =
E j +1 , si i < j + 1, = ∇jq ◦ ∇i−1 q−1 (E j ). E j +1 , si i ≥ j + 1.
26
Ahora probaremos que ∂ q−1 ◦ ∂ q (σ) = 0: q
∂ q−1
q
(−1)i σ ◦ ∇jq
i=1
q
(−1)i+j σ ◦ ∇iq ◦ ∇jq
=
j=0
i=0
(−1)i+j σ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1 +
=
j
q
∂ q−1
(−1)i σ ◦ ∇jq
i=1
(−1)i+j σ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1
j≥i=1
(−1)i+j σ ◦ ∇jq ◦ ∇i−1 q−1 +
=
j
(−1)i+j σ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1 .
j≥i=1
Haciendo i − 1 = j y j = i, se cancelan los sumandos.
Proposici´ on 3.1.2. S (−) : Top −→ Cad(R) define un functor de la categor´ıa de los espacios topol´ogicos en la categor´ıa de los complejos de cadena.
Considere una funci´on continua f : X −→ Y . Definimos S (f ) := f ∗ : S q (X ) −→ S q (Y ) como la aplicaci´on σ → f ◦ σ. σ ∆q X f Y Tenemos el siguiente diagrama de complejos de cadena: S (X ) : · · ·
S q (X )
∂ q
f ∗ S (Y ) : · · ·
···
S q−1 (X )
∂ q
∂ 1
S 0 (X )
f ∗
f ∗
S q (Y )
S 1 (X )
···
S q−1 (Y )
S 1 (Y )
0
f ∗ ∂ 1
S 0 (Y )
0
Veamos que f ∗ ◦ ∂ q = ∂ q ◦ f ∗ : q
f ∗ ◦ ∂ q (σ) = f ∗
q
i
(−1) σ ◦
∇iq−1
i=0
(−1)i f ◦ σ ◦ ∇iq−1 = ∂ q (f ◦ σ) = ∂ q ◦ f ∗ (σ).
=
i=0
Tenemos que f ∗ es una transformaci´on de cadenas. Adem´as, g∗ ◦ f ∗ (σ) = g∗ (f ◦ σ) = g ◦ (f ◦ σ) = (g ◦ f ) ◦ σ = (g ◦ f )∗ (σ), (idX )∗ (σ) = idX ◦ σ = σ = idS (X) (σ).
Dado un espacio topol´ogico X , denotaremos por H q (X ) el q -´esimo grupo de homolog´ıa del complejo S (X ): H q (X ) :=
Ker(∂ q : S q (X ) −→ S q−1 (X )) Im(∂ q+1 : S q+1 (X ) −→ S q (X )) 27
La sucesi´on de grupos H (X ) := (H q (X ))q≥0 se conoce como la homolog´ıa singular de X .
Proposici´ on 3.1.3. Si X es un espacio conexo por arcos, entonces H 0 (X ) ∼ = A.
Demostraci´ on: Consideremos la aplicaci´ on h : H 0 (X ) =
S 0 (X) Im(∂ 1 )
−→ A dada por
(λ1 x1 + · · · + λn xn ) + Im(∂ 1 ) → λ1 + · · · + λn . Esta aplicaci´ on est´a bien definida. En efecto, λ1 x1 + · · · + λn xn ∼ β 1 y1 + · · · + β m ym ⇐⇒ λ1 x1 + · · · + λn xn = β 1 y1 + · · · + β m ym + ∂ (γ 1 σ1 + · · · + γ k σk ) ⇐⇒ λ1 x1 + · · · + λn xn = β 1 y1 + · · · + β m ym + γ 1 (σ(E 1 ) − σ(E 0 )) + · · · + γ k (σ(E 1 ) − σ(E 0 )) Ahora apliquemos h: λ1 + · · · + λn = β 1 + · · · + β m + γ 1 z1 − γ 1 z2 + γ 2 z1 − γ 2 z2 + · · · , donde γ 1 z1 − γ 1 z2 + γ 2 z1 − γ 2 z2 + · · · = 0. Entonces, h est´ a bien definida. Es claro que h es un epimorfismo. Para ver que h es un monomorfismo, supongamos que h((λ1 x1 + · · · + λn xn ) + Im(∂ 1 )) = 0. Elegimos x0 ∈ X . Para cada xj , elegimos un camino σj que comience en x0 y termine en xj . Sea λ1 σ1 + · · · + λn σn ∈ S 1 (X ). Tenemos ∂ 1 (λ1 σ1 + · · · + λn σn ) = λ1 ∂ 1 (σ1 ) + · · · + λn ∂ 1 (σn )
n
= λ1 x1 + · · · + λn xn −
λj
· x0
i=j
= λ1 x1 + · · · + λn xn . Por lo tanto, (λ1 x1 + · · · + λn xn ) + Im(∂ 1 ) = 0.
Si A = Z, se puede probar que H 1 (X ) es el conmutador de π1 (X ). H 1 (X ) = π1 (X ).
Proposici´ on 3.1.4. Sea X un punto. Entonces H q (X ) =
0 A
28
si q = 0, si q = 0.
Si π1 (X ) es abeliano, entonces
Demostraci´ on: Note que S q (X ) = A. ∂ q
∂
1 · · · −→ A −→ A −→ · · · −→ A −→ A −→ 0.
Tenemos ∂ q (σ) = ∼qi=0
i
(−1) σ ◦
∇iq−1
=
0 si q es par, 1 si q es impar.
Ker(∂ )
q A Luego, nos queda que H q (X ) = Im(∂ q+1 ) = A = 0 si q es par y q > 0, y H q (X ) = es impar. El caso q = 0 se sigue del la proposici´on anterior.
Ker(∂ q ) Im(∂ q+1 )
=
0 0
= 0 si q
Lema 3.1.2. Si f, g : X −→ Y son dos funciones continuas tales que f ∼H g, entonces f ∗ = g∗ en cada H q (X ).
Demostraci´ on: Existe una homotop´ıa H : X × I −→ Y . Considere las funciones α0 , α1 : X −→ X × I dadas por α0 (x) = (x, 0) y α1 (x, 1). Tenemos que f = H ◦ α0 y g = H ◦ α1 . Luego, f ∗ = H ∗ ◦ (α0 )∗ y g∗ = H ∗ ◦ (α1 )∗ . Entonces basta probar que (α0 )∗ = (α1 )∗ . Como α0 y α1 son homot´opicas, existe una familia de homomorfismos β q : S q (X ) −→ S q+1 (X ) tal que en el diagrama
···
S q+1 (X )
X ∂ q+1
(α0 )∗ (α1 )∗
···
S q+1 (X × I )
S q (X )
∂ qX
(α1 )∗ (α0 )∗ X×I ∂ q+1
S q (X × I )
S q−1 (X )
···
(α1 )∗ (α0 )∗ ∂ qX×I
S q−1 (X × I )
···
X×I ◦ β 1 = (α1 )∗ − (α0 )∗ . Luego, para cada σ en H q (X ) tenemos: se cumple la relacic´on β q−1 ◦ ∂ qX + ∂ q+1 X×I ◦ β 1 (σ) = (α1 )∗ (σ) − (α0 )∗ (σ) β q−1 ◦ ∂ qX (σ) + ∂ q+1
0 + 0 = (α1 )∗ (σ) − (α0 )∗ (σ). Entonces, (α1 )∗ = (α0 )∗ .
Corolario 3.1.1. Si X es un espacio contr´actil entonces H q (X ) =
0
si q = 0, A si q = 0.
Demostraci´ on: Como X es contr´actil, idX ∼ c, donde c es una constante. Por el lema previo, (id X )∗ = c∗ = 0. Se sigue que H q (X ) = 0 para cada q > 0. El caso q = 0 se sigue porque X es conexo por arcos.
29
Corolario 3.1.2. Sea A ⊆ X . Si A es un retracto por deformaci´on de X entonces H q (X ) = H q (A), para cada q ≥ 0.
Demostraci´ on: Consideremos el diagrama conmutativo i
A
X r
i d A
idX
X
i
A Aplicando el funtor H q (−), obtenemos el diagrama i∗
H q (A)
i d H
( A )
H q (X ) r∗
idH q (X)
H q (X )
i
∗
q
H q (A)
Se sigue que r∗ es un isomorfismo.
Ejercicio 3.1.1. Dado un subespacio A ⊆ X , considere el cilindro A × I ⊆ X × I . H q (A × I ) = H q (A).
30
Probar que
3.2
Sucesi´ on exacta del par
Consideremos un par (X, A), donde X es un espacio topol´ogico y A ⊆ X es un subespacio. La inclusi´ on i : A −→ X induce una transformaci´on de cadenas i∗ : S (A) −→ S (X ), S q (A)
∂ qA
S q−1 (A)
i∗ S q (X )
i∗ ∂ qX
S q−1 (X )
Tenemos la siguiente sucesi´on exacta corta 0 −→ S (A) −→ S (X ) −→ S (X, A) :=
S (X ) −→ 0. S (A)
Es decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo con columnas exactas: 0
S (A) : · · ·
0
S q+1 (A)
A ∂ q+1
S q (A)
i S (X ) : · · ·
S q+1 (X )
S (X, A) : · · ·
S q−1 (A)
S q (X )
···
i ∂ qX
S q−1 (X )
p (X,A) ∂ q+1
0 donde
∂ qA
i X ∂ q+1
p S q+1 (X) S q+1 (A)
0
···
p (X,A)
S q (X) S q (A)
∂ q
S q S q
1
−
0
(X) (A)
1
−
···
0
∂ q(X,A) (σ + S q (A)) = ∂ qX (σ) + S q−1 (A).
Teorema 3.2.1. Existe un homomorfismo de grupos, ∆ : H q (X, A) −→ H q−1 (A), llamado homomorfismo de conexi´ on, tal que la sucesi´on i
p
∆
∗
· · · −→ H q (A) −→ H q (X ) −→ H q (X, A) −→ H q−1 (A) −→ · · · ∗
es exacta.
31
Ejercicio 3.2.1. Si A ⊆ X ⊆ X entonces existe un homomorfismo de grupos ∆ : H q (X, X ) −→ H q−1 (X , A) tal que la sucesi´on i
i
∆
· · · −→ H q (X , A) −→ H q (X, A) −→ H q (X, X ) −→ H q−1 (X , A) −→ · · · ∗
∗
es exacta.
Como consecuencia de este ejercicio, se tiene H q (Dn , S n−1 ) ∼ = H q (S n−1 ). on fuerte si la Un retracto por deformaci´on r : X −→ A (i ◦ r ∼H idX ) es un retracto por deformaci´ homotop´ıa H : X × I −→ X cumple: (1) H (x, 0) = x, para todo x ∈ X . (2) H (x, 1) = r(x), para todo x ∈ X . (3) H (a, t) = a, para todo t ∈ I . x Ejemplo 3.2.1. La aplicaci´ on r : Dn − {0} −→ S n−1 dada por r(x) = ||x|| , es un retracto por deformaci´on n −{ } × −→ n −{ } fuerte. En este caso, la homotop´ıa H : (D 0 ) I D 0 viene dada por H (x, t) = (1 − t) · x+t · r(x).
Supongamos que X es la uni´on disjunta de dos abiertos A y B, ambos conexos por arcos, entonces H q (X ) ∼ = H q (A) ⊕ H q (B). Consideremos la sucesi´on exacta i
p
0 −→ S q (A) −→ S q (X ) −→ S q (B) −→ 0, donde p(σ) =
∗
0 σ
si σ(∆q ) ⊆ A, si σ(∆q ) ⊆ B.
Por exactitud, se tiene que S q (B) ∼ on se parte, ya que i∗ : S q (B) −→ S q (X ) es una = S q (X, A). Esta sucesi´ ∼ inversa lateral de p. Luego, S q (X ) = S q (A) ⊕ S q (B). De esto se sigue que H q (X ) ∼ = H q (A) ⊕ H q (B).
Proposici´ on 3.2.1. Si X es contr´actil, entonces H q (X, A) ∼ =∆ H q−1 (A), para todo q ≥ 1. En particular, H 1 (X, A) = 0 = H 0 (X, A).
Demostraci´ on: Basta considerar la sucesi´on 0 = H 1 (X ) −→ H 1 (X, A) −→ H 0 (A) ∼ = A −→ H 0 (X ) ∼ = A −→ H 0 (X, A) −→ 0.
Proposici´ on 3.2.2. Si A es retracto por deformaci´on de X , entonces H q (X, A) = 0.
32
3.3
Escisi´ on
Dado el triple U ⊆ A ⊆ X , diremos que U se puede escindir si H q (X − U, A − U ) ∼ = H q (X, A).
H q (A − U )
H q (X − U )
H q (X − U, A − U )
H q (A)
H q (X )
H q (X, A)
∆
∆
H q−1 (A − U )
H q−1 (X − U )
H q−1 (A)
H q−1 (X )
Teorema 3.3.1. Si U ⊆ int(A) entonces U se puede escindir. on fuerte de Dadas las inclusiones B ⊆ A y Y ⊆ X , diremos que (Y, B) es un retracto por deformaci´ (X, A) si existe un diagrama conmutativo (Y, B)
i
(X, A)
i d
id
(X, A)
i (Y, B)
y una homotop´ıa H : (X, A) × I −→ (X, A) tal que: (1) H (x, 1) = x, para todo x ∈ X . (2) H (x, 0) = r(x), para todo x ∈ X . (3) H (a, t) = a, para todo a ∈ Y . Corolario 3.3.1. Sea V ⊆ U . Si (X − U, A − U ) es un retracto por deformaci´on fuerte de (X − V, A − V ) y V se puede escindir, entonces tambi´en U . Proposici´ on 3.3.1. Si (Y, B) es un retracto por deformaci´o n de (X, A) entonces H q (Y, B) ∼ = H q (X, A).
Demostraci´ on: Tenemos el siguiente diagrama conmutativo H q (B)
∼ = H q (A)
H q (Y )
H q (Y, B)
∼ = H q (X )
H q−1 (B)
H q−1 (Y )
∼ = H q (X, A)
H q−1 (A)
∼ = H q−1 (X )
Por el Lema de los Cinco, se tiene que H q (Y, B) −→ H q (X, A) es un isomomorfismo.
33
Consideremos el disco unitario Dn+1 de Rn+1 . La esfera S n es el borde de Dn+1 . Considere los conjuntos E n+ = {y ∈ S n : yn+1 ≥ 0} y E n− = {y ∈ S n : yn+1 ≤ 0}. Pongamos X = S n , A = E n− , U = {y ∈ S n : yn+1 < 0} y V = {y ∈ S n : yn+1 ≤ −1/2}. Se tiene X − A = S n − E n− . Por un lado, (A − U, X − U ) es un retracto por deformaci´on fuerte de (X − V, A− V ). Por el otro, V se escinde de (X, A) porque V ⊆ int(A). Como consecuencia, U se escinde de (X, A). Se sigue que, H q−1 (S n−1 ) ∼ = H q (E n+ , S n−1 ) ∼ = H q (S n , E n− ) ∼ = H q (S n ).
n
Ejercicio 3.3.1. Probar que H q (S ) =
A
0
si q = 0, n, donde n > 0, en caso contrario.
Ejercicio 3.3.2. Probar que Hom(Rn , R) ∼ = Rn . Hom(M, R) ⊕ Hom(N, R).
3.4
Sugerencia: Usar el hecho de que (M × N, R) =
Sucesi´ on exacta de Mayer-Vietoris
Lema 3.4.1 (Lema de Barrat-Whitehead). Dado el diagrama conmutativo
···
An
f n
αn An
···
Bn
gn
γ n
β n f n
Bn
hn
C n
gn
C n
An−1
···
αn−1 hn
An−1
···
con filas exactas, donde cada γ n es un isomorfismo. Entonces la sucesi´on µ
ν
∆
n n n · · · −→ An −→ Bn ⊕ An −→ Bn −→ An−1 −→ · · · ,
donde (1) µn (a) = (f n (a), αn (a)). (2) ν n (b, a ) = β n (b) − f n (a ). (3) ∆n = hn ◦ γ n−1 ◦ gn .
Demostraci´ on: Tenemos ν ◦ µn (a) = ν (f n (a), αn (a)) = β n ◦ f n (a) − f n ◦ αn (a) = 0. Por lo que Im(µn ) ⊆ Ker(ν n ). Ahora, sea (b, a ) tal que ν n (b, a ) = 0. Luego, β n (b) = f n (a ). Entonces, γ n ◦ gn (b) = gn ◦β n (b) = gn ◦f n (a ) = 0. Por lo que gn (b) ∈ Ker(γ n ) = {0}. As´ı, b ∈ Ker(gn ) = Im(f n ), luego b = f n (a) para alg´ un a ∈ An . Ahora, f n (αn (a) − a ) = 0. De donde existe c ∈ C n+1 tal que a − αn (a) = hn+1 (c).
34
Sea c ∈ C n+1 tal que c = γ n+1 (c ), y considere hn+1 (c) ∈ An . Tenemos µ(a + hn+1 (c)) = (f n (a + hn+1 (c)), αn (a + hn+1 (c))) = (f n (a) + f n ◦ hn+1 (c), αn (a) + αn ◦ hn+1 (c)) = (b + 0, αn (a) + hn+1 ◦ γ n+1 (c)) = (b, αn (a) + hn+1 (c )) = (b, αn (a) + a − αn (a)) = (b, a ). Por lo tanto, Ker(ν n ) = Im(µn ). Ahora probemos que Ker(∆n ) = Im(ν n ). Tenemos ∆n ◦ γ n (b, a ) = ∆n (β n (b) − f n (a )) = ∆n ◦ β n (b) − ∆n ◦ f n (a ) = 0 − 0 = 0. Sea b ∈ Ker(∆n ), es decir, hn ◦ γ n−1 ◦ gn (b ) = 0. As´ı, γ n−1 ◦ gn (b ) ∈ Ker(hn ) = Im(gn ), de donde existe b ∈ B tal que gn (b ) = γ n ◦ gn (b) = gn ◦ β n (b). Luego, b − β n (b) ∈ Ker(gn ) = Im(f n ). As´ı existe a ∈ An tal que b = β n (b) + f n (a ) = ν n (b, a ). Por lo tanto, Ker(∆ n ) = Im(ν n ).
Teorema 3.4.1 (Sucesi´ on exacta de Mayer-Vietoris). Sea X un espacio topol´ogico, U y V abiertos en X , entonces existe un homomorfismo de conexi´on ∆q : H q (X ) −→ H q−1 (U ∩ V ) y una sucesi´on exacta µq
ν q
∆q
· · · −→ H q (U ∩ V ) −→ H q (U ) ⊕ H q (V ) −→ H q (X ) −→ H q−1 (U ∩ V ) −→ · · · , donde (1) µq (a) = ((iU )∗ (a), (iV )∗ (a)), iU : U ∩ V −→ U e iV : U ∩ V −→ V son inclusiones. (2) ν q (a, b) = (idU )∗ (a) − (idV )∗ (b). Ejemplo 3.4.1. Sea U = S 1 − {N } y V = S 1 − {S }, donde N y S son los polos Norte y Sur de la circunferencia, respectivamente. Por el Teorema de Mayer-Vietoris, se tiene una sucesi´on exacta β
α
γ
0 −→ H 1 (S 1 ) −→ A ⊕ A −→ A ⊕ A −→ A −→ 0. De donde H 1 (S 1 ) = A.
Ejercicio 3.4.1. Probar, usando el Teorema de Mayer-Vietoris, que H q (S n ) =
Ejercicio 3.4.2. Probar que S n−1 no es retracto por deformaci´on de Dn .
Ejercicio 3.4.3. Probar el Teorema del punto fijo de Brower.
Ejercicio 3.4.4. Calcular la homolog´ıa de un ramo de esferas.
35
A
0
si q = 0, n, en caso contrario.
3.5
Complejos CW y su homolog´ıa
Sea X un espacio topol´ogico localmente compacto y segundo numerable, por ende paracompacto. Para cada n ∈ N, sea J n una familia de ´ındices y Γn = {enα : α ∈ J n } una familia de subconjuntos de X , llamados n-celdas o celdas de dimensi´ on b, tales que Γ = n≥0 Γn es un cubrimiento de X . Por convenci´on, Γ−1 = ∅, y para n lo suficientemente grande, se tiene Γ n = {∅}. El conjunto
n
K n :=
{ejα : α ∈ J j y j = 0, 1, . . . , n}
j=0
se denomina n-esqueleto. Se define el borde de enα ∈ Γn al la intersecci´on e´nα := enα ∩ K n−1 , y al interior de enα como
e˙ := enα − e´nα .
La familia {Γn } es una estructura celular de X (o X es un complejo celular) si: (1)
n≥0
Γn es un cubrimiento de X .
(2) e˙ nα ∩ e˙ m = ∅ =⇒ α = β y n = m. β (3) Para todo enα existe una funci´on continua f αn : (Dn , S n−1 ) −→ (enα , e´nα ) tal que la restricci´on f αn |int(Dn ) : int(Dn ) −→ e˙ nα es un homeomorfismo. n m n Una celda em = ∅. Si em β es adyacente inmediata (o es una cara inmediata) de eα si e˙ β ∩ eα β es adyn m acente inmediata de eα entonces m ≤ n. En efecto, supongamos que m > n. Luego, e˙ β ⊆ K m − K m−1 y n enα ⊆ K n − K n−1 . Entonces e˙ m β ∩ e˙ α = ∅. m1 mk n m Una celda em β es adyacente (o una cara) a eα si existe una secuencia eβ , eβ1 , . . . , eβk de celdas tal que m1 m1 m2 m k eβ es adyacente inmediata a eβ1 , eβ2 es adyacente inmediata a eβ2 , y as´ı sucesivamente hasta que em βk es m adyacente inmediata a eα .
Ejercicio 3.5.1. Si X es un complejo celular, entonces Γ 0 = ∅.
Ejercicio 3.5.2. Probar que una celda posee un n´umero finito de caras inmediatas si, y s´olo si, ´esta posee un n´ umero finito de caras.
Ejercicio 3.5.3. Si (X, Γ) es un complejo celular, entonces cada K n es un complejo celular. Ejemplo 3.5.1. (1) La esfera S n : Sabemos que S n se puede escribir como el cociente S n = Dn / ∼, donde x ∼ y ⇐⇒ x = y o x, y ∈ S n−1 . En este ejemplo, las 0-celdas son los puntos, Γ 0 = {{N }}, Γm = {∅} si m = n, y n n n n−1 n Γn = {S }. La funci´on f : (D , S ) −→ (S , {N }) es la aplicaci´on cociente. 36
(2) El espacio proyectivo real RPn : RPn es el conjunto de todas las rectas reales que pasan por el origen en Rn+1 . Damos en Rn+1 − {0} la siguiente relaci´ on de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ = 0 real tal que x = λy. El conjunto de las clases de equivalencia de Rn+1 − { 0} es precisamente RPn , RPn := ( Rn+1 − {0})/ ∼. Damos a RPn la siguiente estructura celular: R1 ⊆ R2 ⊆ R3 ⊆ · · · ⊆ Rn+1 ,
S 0 ⊆ S 1 ⊆ S 2 ⊆ · · · ⊆ S n , RP0 ⊆ RP1 ⊆ RP2 ⊆ · · · ⊆ RPn .
L Z = 1
y = 1
z
0
P
2
1
RP
Sea γ m =
0
= RP [
RP pm ,
∅
{y
RP
0
= 1} = RP [ R
1
= RP [
{Z = 1} = RP1 [ R2
si m ≤ n, si m > n.
´m = RPm ∩ RPm−1 , RP˙ m = RPm − RPm−1 = D˙m ∼ Tenemos K m = RPm , RP = Rm . La funci´on f m : (Dm , S m−1 ) −→ (RPm , RPm−1 ) es un homeomorfismo sobre el interior de Dm . (3) Espacios proyectivos complejos CPn : Sea CPn el conjunto de las rectas complejas en Cn+1 que pasan por el origen. Damos en Cn+1 − {0} la siguiente relaci´on de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ ∈ C∗ tal que x = λy. El conjunto de clases de equivalencia de Cn+1 − {0} es precisamente CPn . Note que Cn+1 ∼ = R2n+2 ⊇ S 2n+1 . CPn = ( Cn+1 − {0})/ ∼= S2n+1 / ∼ . A la clase de (z0 , . . . , zn ) en Cn+1 − {0} la denotamos por [z0 , . . . , zn ]. Damos a CPn la siguiente estructura celular: C1 ⊆ C2 ⊆ · · · ⊆ Cn+1 ,
S 1 ⊆ S 3 ⊆ S 5 ⊆ · · · ⊆ S 2n+1 , CP0 ⊆ CP1 ⊆ CP2 ⊆ · · · ⊆ CPn ,
on disjunta), CPm = CPn−1 ∪ Cm (uni´ γ m =
∅ m/2
CP
si m es impar, si m es par.
En este caso, las funciones f 2m : (D2m , S 2m−1 ) −→ (CPm , CPm−1 ) vienen dadas por f 2m (z0 , . . . , zm ) = [z0 , . . . , zm ,
1 − |z0 |2 − · · · − |zm |2 ].
Ejercicio 3.5.4. Redactar con detalles los ejemplos anteriores. 37
Una complejo celular (X, Γn : n ≥ 0) es un complejo CW si verifica las siguientes condiciones: W: La topolog´ıa de X es la topolog´ıa d´ ebil (weak) dada por la siguente definici´on de conjunto cerrado: A es cerrado en X si, y s´ olo si, A ∩ enα es cerrado en enα , para todo n ≥ 0 y para todo α ∈ J n . C: Cada celda posee una cantidad finita de caras (inmediatas). Es decir, la topolog´ıa d´ebil definida en X es compacta.
Ejercicio 3.5.5. Si X es un complejo CW, entonces todo esqueleto es tambi´en un complejo CW.
Proposici´ on 3.5.1. e˙ nα es abierto en K n .
Demostraci´ on: Hay que probar que K n − e˙ nα es cerrado. Tenemos que m n m m m (K n − e˙ nα ) ∩ em β = eβ − e˙ α ∩ eβ = eβ − ∅ = eβ es cerrado.
Proposici´ on 3.5.2. Si (X, Γ) es un complejo CW, entonces todo compacto en X intersecta s´ o lo a un n´ umero finito de interiores de celdas.
Demostraci´ on: Sea C un subconjunto compacto de X . Sea Z el conjunto que resulta de elegir un punto en cada interior de celda que intersecta a C . Para todo n y para todo α ∈ J n , si e˙ nα ∩ C = ∅ n ∈ n ∩ elegimos pα e˙ α C . Probemos que X es finito, para ello probaremos que Z es cerrado en C y que Z es discreto. Basta probar que todo subconjunto de Z es cerrado. Sea A ⊆ Z y sea enα una celda de X tal que A ∩ enα = ∅. Tenemos A ∩ enα = (A ∩ e˙ nα ) ∪ (A ∩ e´nα ). Si A ∩ e˙ nα = ∅ entonces A ∩ e˙ nα es un punto. Adem´as, A ∩ e´nα = ∅. De esto se sigue el resultado.
Ejercicio 3.5.6. Redactar los detalles de la prueba de la proposici´on anterior.
Corolario 3.5.1. Si X es un complejo CW compacto, entonces X tiene un n´ umero finito de celdas y por tanto coincide con alguno de sus esqueletos.
Para calcular la homolog´ıa de los complejos CW, comenzaremos calculando la homolog´ıa de sus esqueletos. Como K n−1 ⊆ K n , podemos considerar la sucesi´on exacta larga del par (K n , K n−1 ):
· · · −→ H q (K n−1 ) −→ H q (K n ) −→ H q (K n , K n−1 ) −→ H q−1 (K n−1 ) −→ · · · . 38
Teorema 3.5.1.
si q = n, (A-m´ odulo libre con tantos generadores como n-celdas), si q = n.
0,
H q (K n , K n−1 ) =
α∈J n
Demostraci´ on: Sea E el conjunto que resulta de elegir un punto en el interior de cada n-celda. Tenemos K n−1 ⊆ E ⊆ K n . Note que K n−1 es un retracto por deformaci´o n de K n − E , luego H q (K n−1 ) = H q (K n − E ). H q (K n−1 )
H q (K n )
∼ =
H q (K n , K n−1 )
H q−1 (K n−1 )
∼ =
=
H q (K n − E )
H q−1 (K n )
H q (K n , K n − E )
H q (K n )
=
H q−1 (K n − E )
H q−1 (K n )
Por el Lema de los Cinco, H q (K n , K n−1 ) = H q (K n , K n − E ). Note que K n − E es abierto en K n por ser discreto, entonces K n−1 se puede escindir de K n . As´ı tenemos H q (K n , K n−1 ) = H q (K n , K n − E ) ∼ = H q (K n − K n−1 , K n − E − K n−1 ) = H q
e˙ nα ,
e˙ nα − E =
H q (e˙ nα , e˙ nα − p),
H q (e˙ nα , e˙ nα − p) = H q (int(Dn ), S n−1 ) ∼ = H q (Rn , S n−1 ), debido al isomorfismo f αn |int(Dn ) : int(Dn ) ∼ = e˙ nα . Considerando la sucesi´ on exacta H q (e˙ nα , e˙ nα − p) −→ H q (Rn ) −→ H q (Rn , S n−1 ) −→ H q−1 (S n−1 ) n
n
n−1
donde H q (R ) = 0, se tiene H q (R , S
)∼ = H q (S n−1 ). De donde H q (e˙ nα , enα − p) =
esto se sigue el resultado.
Corolario 3.5.2. H q (K n ) =
si q = n, De A si q = n. 0
0 si q > n, H q (X ) si q < n.
Demostraci´ on: Usaremos inducci´on. Tenemos que H q (K 0 ) = 0 para q > 0, porque K 0 son puntos aislados de X . Supongamos ahora que H q (K n−1 ) = 0 para todo q > n − 1. Tenemos una sucesi´on exacta larga · · · −→ H q (K n−1 ) −→ H q (K n ) −→ H q (K n , K n−1 ) −→ · · · donde H q (K n−1 ) = 0 y H q (K n , K n−1 ) = 0. Entonces H q (K n ) = 0. Resta probar el caso q < n. Tomamos la sucesi´on exacta del par (K n+1 , K n ): H q+1 (K n+1 , K n ) −→ H q (K n ) −→ H q (K n+1 ) −→ H q (K n+1 , K n ) −→ · · · donde H q+1 (K n+1 , K n ) = H q (K n+1 , K n ) = 0. Entonces H q (K n ) ∼ = H q (K n+1 ).
39
Ejercicio 3.5.7. Calcular la homolog´ıa singular de CPn .
Ejercicio 3.5.8. Calcular la homolog´ıa singular de RPn .
40
CAP´ ITULO 4
VARIEDADES DIFERENCIABLES 4.1
Estructuras y aplicaciones diferenciables
Antes de dar a conocer la noci´on de variedad diferenciable, repasemos algunas cosas de teor´ıa de conjuntos. Un conjunto (I, ≤) se dice preordenado, o que ≤ es un orden parcial sobre I , si: (1) ≤ es reflexiva: i ≤ i, para todo i ∈ I . (2) ≤ es antisim´etrica: Si i ≤ j y j ≤ i entonces i = j. (3) ≤ es transitiva: Si i ≤ j y j ≤ k entonces i ≤ k.
Un elemento m ∈ I se dice maximal si para todo i ∈ I , m ≤ i implica que m = i. Dado un subconjunto J ⊆ I , diremos que p ∈ I es una cota superior de J si j ≤ p para todo j ∈ J . Diremos que J es una cadena en I (o un orden total) si para todo i, j ∈ J se tiene i ≤ j o j ≤ i.
Lema 4.1.1 (Lema de Zorn). Dado un conjunto preordenado (I, ≤). Si toda cadena en I tiene cota superior, entonces I posee alg´ un elemento maximal.
Ahora recordemos un poco de c´alculo en varias variables. Al estudiar la esfera S 2 = {x ∈ R3 : ||x|| = 1}, + se consideran varios subconjuntos particulares conocidos como hemisferios. Por ejemplo, E Z = {x ∈ − 2 2 2 S : x3 > 0} y E Z = {x ∈ S : x3 < 0} son los hemisferios norte y sur de S , respectivamente. De + − + − manera similar, se tienen los otros hemisferios E Y , E Y , E X y E X . Estos hemisferios son homeomorfos al + 2 disco abierto unitario de R2 , D2 = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)|| < 1}. Por ejemplo, la funci´on ϕ+ Z : E Z −→ D + −1 dada por ϕ+ : D2 −→ Z (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 ) es un homeomorfismo, pues posee una inversa continua ( ϕZ ) + −1 E Z dada por (ϕ+ (x, y) = (x,y, 1 − x2 − y 2 ). Si definimos homeomorfismos similares de los dem´ as Z ) + + + + + + − − − − − − 2 hemisferios a D , obtendremos una colecci´on {(E X , ϕX ), (E X , ϕX ), (E Y , ϕY ), (E Y , ϕY ), (E Z , ϕZ ), (E Z , ϕZ )}. + + ∩ E Y Ahora consideremos, por ejemplo la intersecci´on E Z = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ S 2 : x2 , x3 > 0}. Tenemos un diagrama ϕ+ ϕ+ Y Z + + {(x1 , x2 ) ∈ D2 : x2 > 0} E Z ∩ E Y {(x1 , x2 ) ∈ D2 : x2 > 0}
41
+ −1 − −1 N´ otese que ϕ+ = id y ϕ+ (x, y) = (x, −y). Se puede probar de manera similar que Z ◦ (ϕY ) Z ◦ (ϕY ) cualquiera de estas composiciones resulta siempre en una aplicaci´on infinitamente diferenciable. La colecci´on + + + + + − − − − − − {(E X , ϕ+ X ), (E X , ϕX ), (E Y , ϕY ), (E Y , ϕY ), (E Z , ϕZ ), (E Z , ϕZ )} es un ejemplo de lo que se conoce como estructura diferenciable.
Sea X un espacio topol´ogico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Sea n ∈ N. Una n-estructura diferenciable en X es una familia Γ = {(U, ϕU )} tal que: (1) {U } es un cubrimiento por abiertos conexos de X . (2) ϕU : U −→ Rn es un homeomorfismo sobre un abierto de Rn . (3) Para todo par de abiertos U y V en la colecci´on tales que U ∩ V = ∅, se tiene que la composici´on ϕU 1 −
ϕV
Rn ⊇ ϕU (U ∩ V ) −→ U ∩ V −→ ϕV (U ∩ V ) ⊆ Rn
es un difeomorfismo.
Ejercicio 4.1.1. Probar que las proyecciones estereogr´aficas de S 2 constituyen una estructura diferenciable.
Ejercicio 4.1.2. Probar que Rm y Rn no son homeomorfos si n = m.
Ejercicio 4.1.3. Demuestre que si X posee una n-estructura diferenciable, entonces dicho n es u ´ nico.
Sean Γ1 = {(U, ϕU )} y Γ 2 = {(V, ψV )} dos estructuras diferenciables. Diremos que Γ 1 y Γ 2 son compatibles si para todo (U, ϕU ) ∈ Γ1 y (V, ψV ) ∈ Γ2 , la composici´on 1
−
ϕ
ψV
U ϕU (U ∩ V ) −→ U ∩ V −→ ϕV (U ∩ V )
es un difeomorfismo.
Proposici´ on 4.1.1. Sean Γ1 y Γ2 dos estructuras direfenciables en X . Entonces Γ1 y Γ2 son compatibles si, y s´olo si, Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable.
Ejercicio 4.1.4. Probar que si Γ es una estructura diferenciable y {V } es un refinamiento abierto de {U }, entonces Γ = {(V, ϕU |V )} es una estructura diferenciable compatible con Γ.
Ejercicio 4.1.5. Probar que las proyecciones estereogr´aficas y las proyecciones coordenadas son estructuras diferenciables compatibles en S n .
Ejercicio 4.1.6. Probar que si Γ1 ⊆ Γ2 entonces Γ1 y Γ2 son compatibles. 42
Sea ΩΓ el conjunto de todas las estructuras diferenciables de X compatibles con Γ. Damos la siguiente relaci´ on de orden en Γ Γ : Γ1 ≤ Γ2 si, y s´ olo si Γ1 ⊆ Γ2 . Veamos que ΩΓ tiene al menos un elemento maximal. Sea B una cadena en Ω Γ y sea Γ = O∈B O. Entonces Γ es una estructura diferenciable y por lo tanto cota superior de B. Por el Lema de Zorn, ΩΓ tiene al menos un elemento maximal.
Una variedad diferenciable es un espacio topol´ogico X con una estructura diferenciable prefijada, o con una estructura diferenciable maximal respecto a una estructura dada. Sea M un espacio topol´ogico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Una n-carta en M es un par (U, ϕU ) donde U es un abierto conexo de M y ϕU : U −→ Rn es un encaje o encamamiento (es decir, un homeomorfismo sobre su imagen abierta). Dos n-cartas (U, ϕU ) y (V, ϕV ) son compatibles si U ∩ V = ∅ y las aplicaciones 1
−
ϕ
1
−
ϕ
ϕV
ϕU
U V ϕU (U ∩ V ) −→ U ∩ V −→ ϕV (U ∩ V ) y ϕV (U ∩ V ) −→ U ∩ V −→ ϕU (U ∩ V )
son diferenciables. Una n-estructura diferenciable es un sistema de n-cartas compatibles dos a dos tal que {U } es un cubrimiento abierto de M . Dadas Γ1 = {(U, ϕU )} y Γ2 = {(V, ψV )} dos estructuras diferenciables en M . Diremos que Γ1 y Γ2 son compatibles si lo son miembro a miembro. Observacic´ on 4.1.1. on de (1) Si M posee una n-estructura diferenciable entonces n es u ´ nico. Tal n se denomina la dimensi´ M . (2) Γ1 y Γ2 son compatibles si, y s´olo si Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable. (3) Todo refinamiento de una estructura diferenciable es una estructura diferenciable compatible.
Ejercicio 4.1.7. ¿Ser compatible es una relaci´on de equivalencia?
Una estructura diferenciable Γ = {(U, ϕU )} es maximal si para toda carta (V, ψV ) de M , si (V, ψV ) es compatible con cada carta de Γ entonces (V, ψV ) ∈ Γ.
Teorema 4.1.1. Dada una estructura diferenciable Γ, existe una estructura diferenciable maximal que la contiene.
43
Demostraci´ on: Sea θ el conjunto de todas las estructuras diferenciables que contienen a Γ. Si ordenamos a θ por inclusi´ on, el resultado se sigue del Lema de Zorn.
Una variedad diferenciable es un espacio topol´ogico M de Hausdorff, segundo numerable, localmente compacto, conexo, junto con una estructura diferenciable maximal.
V U ∩ V U
ϕV
ϕU
ϕU (
)
∩
ϕV (
∩
)
∼ =
ϕU (U )
ϕV (V )
Observacic´ on 4.1.2. Dada una estructura diferenciable en M , siempre podemis asignar a M una estructura de variedad diferenciable. Lema 4.1.2. Sea M una variedad diferenciable con estructura maximal Γ = {(U, ϕU )}, y sea N un subconjunto abierto y conexo de M . Entonces {(U ∩ N, ϕU |N )} determina una estructura diferenciable en N , y en consecuencia N es una variedad diferenciable. En resumen, todo subconjunto abierto y conexo de una variedad diferenciable es tambi´en diferenciable. Lema 4.1.3. Si M 1 y M 2 son dos variedades diferenciables, entonces M 1 × M 2 tambi´en lo es. Ejemplo 4.1.1. (1) Los difeomorfismos locales de Rn determinan en Rn una estructura de variedad diferenciable. (2) S n es una variedad diferenciable. Basta dar la estructura diferenciable determinada por las proyecciones coordenadas. (3) M n (R) ∼ en lo es el subconjunto conocido como grupo lineal = R2n es una variedad diferenciable. Tambi´ general GLn (R) = {M ∈ M n (R) : det(M ) = 0}. (4) RPn es una variedad diferenciable con las proyecciones ortogonales. Sean M y N variedades diferenciables. Una aplicaci´on continua f : M −→ N es diferenciable en p ∈ M si para cada carta (U, ϕU ) en M con p ∈ U y cada carta (V, ϕV ) en N con f ( p) ∈ V , la aplicaci´ on 1
−
ϕ
f
ϕV
U ϕU (U ∩ f −1 (V )) −→ U ∩ f −1 (V ) −→ V −→ Rn
es diferenciable. Diremos que f es diferenciable si es diferenciable en cada punto. 44
f V −1
p
f
f ( p)
(V )
U
ϕU
ϕV
U
ϕV ◦
( p U
1 f ◦ ϕ− U |ϕ
U
V
(U ∩f −1 (V ))
(V )
ϕV (f ( p))
(U
Ejercicio 4.1.8. Probar que las variedades diferenciables junto con las aplicaciones diferenciables forman una categor´ıa. Dicha categor´ıa la denotaremos por Var.
4.2
Fibrados vectoriales
Dados tres espacios topol´ogicos E , B y F , un fibrado de E en B con fibra t´ıpica F es una aplicaci´on sobreyectiva p : E −→ B tal que para todo b ∈ B, p−1 (b) ∼ = F . Ejemplo 4.2.1. La proyecci´on B × F −→ B dada por (b, f ) → b es un fibrado, conocido como fibrado trivial. Diremos que p : E −→ B es localmente trivial si para cada punto b ∈ B existe un entorno abierto U de b y un homeomorfismo φU : U × F −→ p−1 (U ) tal que el siguiente diagrama conmuta: φU ∼ =
U × F π
p−1 (U ) p
U En este caso, diremos que (U, φU ) es una trivializaci´ on local de p en b. Dadas dos trivializaciones locales (U, φU ) y (V, φV ) de p en b, tenemos la composici´on φU
φV 1 −
−1
(U ∩ V ) × F −→ p (U ∩ V ) −→ (U ∩ V ) × F (a, b) → (a, g(a, b)), donde la aplicaci´on g se conoce como cociclo, y el siguiente diagrama conmutativo: (U ∩ V ) × F
φU
π
p−1 (U ∩ V ) p U ∩ V 45
φV
π
(U ∩ V ) × F
Un fibrado vectorial es un fibrado localmente trivial de fibre Rn y tal que los cociclos gφU ,φV : (U ∩V )×F −→ F cumplen una relaci´on gφU ,φV (a, v) = h(a) · v, donde h(a) ∈ GLn (R). En estas condiciones, tenemos una aplicaci´ on (U ∩ V ) × Rn −→ Rn dada por (a, v) → h(a) · v, donde h = hφU ,φV : U ∩ V −→ GLn (R).
U × F
E
U ∼ =
p−1 (U )
p
U
U
Ejercicio 4.2.1. Probar que: (1) hφU ,φU (a) es la matriz identidad. (2) hφU ,φV (a) = (hφV ,φU (a))−1 . (3) hφU ,φV ◦ hφV ,φW = hφU ,φW . Note que p : E −→ B es un fibrado vectorial de fibra Rn , con p sobreyectiva, si: (1) Existe un cubrimiento {U α }α∈Λ y una familia de aplicaciones continuas Φ α : U α × Rn −→ p−1 (U ) tales que el siguiente diagrama conmuta: Φα
U α × Rn
p−1 (U α )
p
π
U (2) Para todo α y β tales que U α ∩ U β = ∅, Φβ 1 −
Φ
α (U α ∩ U β ) × Rn −→ p−1 (U α ∩ U β ) −→ (U α ∩ U β ) × Rn
existe gαβ : U α ∩ U β −→ GLn (R) tal que Φ−1 β ◦ Φα (b, v) = (b, gαβ (b) · v).
Un fibrado vectorial p : E −→ B es diferenciable si B es una variedad diferenciable y los cociclos son aplicaciones diferenciables.
46
Teorema 4.2.1. Si p : E −→ B es un fibrado diferenciable entonces E es una variedad diferenciable y p es una aplicaci´ on diferenciable.
Demostraci´ on: Sea {U α , Φα }α∈Λ una familia de trivializaciones locales de p. Podemos suponer que {(U α , Φα )}α∈Λ es el sistema diferenciable maximal en B. Consideremos la composici´on 1
−
Φ
ϕα ×id
α p−1 (U α ) −→ U α × Rn −→ Rn × Rn = R2n .
−1 Veamos que {(ϕα × id) ◦ ϕ−1 (U α ) −→ R2n } es una estructura diferenciable en E . Supongamos que α :p U α ∩ U β = ∅: 1 2n ϕα ×id −
R
Φβ 1 −
n Φα
−1
−→ (U α ∩ U β ) × R −→ p
ϕβ ×id
(U α ∩ U β ) −→ (U α ∩ U β ) × Rn −→ R2n .
La composici´on −1 −1 (ϕβ × id) ◦ (ϕ−1 β ◦ Φα ) ◦ (ϕα × id) = (ϕβ ◦ ϕα , gαβ ) (∗)
es una aplicaci´on diferenciable.
Ejercicio 4.2.2. Probar que la composici´on (∗) es diferenciable.
Sean E 1 y E 2 dos fibrados vectoriales en B. Diremos que una aplicaci´ on F : E 1 −→ E 2 es fibrada si el diagrama F E 1 E 2 p
p 2
1
B conmuta, o equivalentemente, si F manda fibras en fibras.
Ejercicio 4.2.3. ¿Toda aplicaci´ on fibrada es diferenciable?
4.3
Fibrado tangente a una variedad
Sea M una variedad diferenciable con estructura diferenciable {(U α , ϕα )}. Sea p ∈ M y sea F (M, p) el conjunto de todas las aplicaciones diferenciables de alg´un entorno de p en R. Es claro que F (M, p) = ∅, pues contiene alguna carta. Note que si f, g ∈ F (M, p) y λ ∈ R, entonces: (1) λ · f ∈ F (M, p) y f + g ∈ F (M, p). (2) f · g ∈ F (M, p). 47
De (1) y (2) se tiene que F (M, p) es un ´algebra. Un vector tangente a M en p es una aplicaci´on lineal v : F (M, p) −→ R tal que v(f · g) = f ( p) · v(g) + on o identidad de Jacobi. Denotaremos por T p (M ) el g( p) · v(f ). Esta igualdad se conoce como derivaci´ espacio vectorial de todos los vectores tangentes a M en p. Ejemplo 4.3.1. Sea (U, ϕ) una carta de la estructura diferenciable de M tal que p ∈ U . Consideremos la πj ϕ ∂ composici´on xj : U −→ Rn −→ R, para alg´ un j. Tenemos que xj ∈ F (M, p). Sea x∗j = ∂X , donde j
p
∂ ∂x j Se tiene que x∗j es un vector tangente.
Proposici´ on 4.3.1. Los vectores
∂ ∂X 1
base de T p (M ).
p
∂ (f ) = ∂r j p
, ...,
(f ◦ ϕ−1 ).
ϕ( p)
son linealmente independientes, por lo que forman una
junto con la aplicaci´on p : T M −→ M dada
∂ ∂X n
El fibrado tangente a M es el conjunto T M = por p(v) = b si v ∈ T b (M ).
p
b∈M T b (M ),
(1) Trivializaciones locales de T M : Sea {(U α , ϕα )} la estructura maximal de M , tenemos el diagrama Φα
p−1 (U α )
U α × Rn
π
p
U α Cada ϕα : U α −→ Rn puede escribirse como ϕα = (x1 , . . . , xn ). Definimos ∂ Φα (b, (a1 , . . . , an )) = a1 · ∂X 1 n Φα
(2) Cociclos: (U α ∩ U β ) × R −→ p Φ−1 β
◦ Φα (b, (a1 , . . . , an )) =
Φ−1 β
Φβ 1 −
−1
∂ + · · · + an · ∂X n b
(U α ∩ U β ) −→ (U β ∩ U α ) × Rn ,
∂ a1 · ∂X 1
∂ + · · · + an · ∂X n b
−1 donde J (ϕα ◦ ϕ−1 β ) es la matriz de Jacobi de ϕα ◦ ϕβ .
=
b
∈ T b (M ).
b
b, J (ϕα ◦
ϕ−1 β )
ϕα (b)
·
a1 .. .
an
Sea f : M −→ N una aplicaci´ on diferenciable. Se define el diferencial de f como la aplicaci´on lineal df : T M −→ T N dada por df (v)(g) = v(g ◦ f ) 48
,
df q
v
T q M
T f (q ) N
f q (v
f (q
M
g
N
Ejercicio 4.3.1. Demuestre que: (1) df es una aplicaci´on fibrada. (2) d(f 1 ◦ f 2 ) = d(f 1 ) ◦ d(f 2 ). (3) Si df = 0 entonces f es constante. (4) Sean ϕ = (x1 , . . . , xn ) cartas de M y ψ = (y1 , . . . , ym ) cartas de N , entonces df
∂ ∂X j
n
=
p
i=1
∂ ∂ (yj ◦ f ) · ∂X j ∂y i
f ( p)
Un campo vectorial en M es una secci´on diferenciable del fibrado tangente, esto es una aplicaci´on X : M −→ T p (M ) tal que p ◦ X = idM .
X (q ) q
M
4.4
Fibrado de formas sobre una variedad
Sea E un espacio vectorial de dimensi´on n, sea k ∈ N y B k (E, R) el conjunto de aplicaciones multi-lineales de E k en R, α : E k = E × · · · × E −→ R es lineal en cada variable y B k (E, R) es un espacio vectorial real.
49
Una aplicaci´ on α ∈ B k (E, R) es alterenada si para todo σ ∈ S k (donde S k es el grupo de permutaciones de orden k) se tiene α(a1 , . . . , ak ) = (−1)|σ| α(aσ(1) , . . . , aσ(k) ). Denotaremos por Λk (E ) el subespacio vectorial de B k (E, R) de las formas alternadas. Por conveci´on, Λ0 (E ) = otese que Λ1 (E ) = B 1 (E, R). Sea R. N´ Λ∗ (E ) = Λ0 (E ) ⊕ Λ1 (E ) ⊕ · · · ⊕ Λn (E ). Daremos a Λ∗ (E ) una estructura de ´algebra graduada. Sea ∧ : Λk (E ) × Λl (E ) −→ Λk+l (E ), con k + l ≤ n, el producto definido por α ∧ β (a1 , . . . , ak , . . . , ak+l ) =
1 · (k + l)!
(−1)|σ| α(aσ(1) , . . . , aσ(k) ) · β (aσ(k+1) , . . . , aσ(k+l) ),
σ∈S k+l
para todo α ∈ Λk (E ) y β ∈ Λl (E ).
Proposici´ on 4.4.1 (Propiedades). (1) ∧ es asociativo. (2) α ∧ β = −β ∧ α. (3) α ∧ α = 0.
Esta construcci´on es cofuntorial, esto es que si g : E −→ F es una aplicaci´on lineal, definimos g ∗ : Λl (E ) −→ Λk (F ) de la siguiente forma: g∗ (α) = α(g(a1 ), . . . , g(ak )), que satisface: (1) (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g∗ . (2) Si f es sobreyectiva entonces f ∗ es inyectiva (y viceversa). (3) Si f es inyectiva entonces f ∗ es sobreyectiva (y viceversa). (4) f ∗ (α ∧ β ) = f ∗ (α) ∧ f ∗ (β ).
Sea {e1 , . . . , en } una base de E , {e∗1 , . . . , e∗n } es una base de Λ 1 (E ) = E ∗ . Entonces
{e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ik : i1 < i 2 < · · · < ik } es una base de Λk (E ). Se sigue que dim Λk (E ) =
n k
. N´ otese que Λ n (E ) = R.
Dada una n-variedad M , q ∈ M , y 0 ≤ k ≤ n, tenemos a Λk (T q (M )) y consideramos la aplicaci´ on k k k π : Λ (M ) := q∈M Λ (T q (M )) −→ M dada por π(α) = q si α ∈ Λ (T q (M )).
Analicemos la topolog´ıa de Λk (M ). Sea {(U α , ϕα )} la estructura maximal diferenciable de M . Consideremos n hα π −1 (U α ) = q∈U α Λk (T q (M )) −→ U α ∧ Λk (Rn ) ∼ = U α × R( k) .
50
∂ ∂x 1
∂ ∂x n
Consideremos la base de T q (M ) dada por ,..., . Sea {dx1 |q , . . . , d xn |q } la base dual. Defiq q namos hα (dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q ) = (q,dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ) n y extendemos por linealidad. As´ı obtenemos una biyecci´on y U α × R(k ) es un espacio topol´ogico, damos a π−1 (U α ) la topolog´ıa inducida por h. Ahora consideremos las inclusiones iα : π −1 (U α ) −→ Λk (M ). Damos a Λk (M ) la topolog´ıa final dada por las iα .
La proyecci´on π : Λk (M ) −→ M es una funci´on continua. Sea A un abierto de M , entonces π−1 (A) es un abierto en Λk (M ). Luego, π −1 (A) ∩ π−1 (U α ) = π−1 (A ∩ U α ) es abierto en π −1 (U α ). Tenemos el siguiente diagrama conmutativo hα n π−1 (U α ) U α × R( k) π1
π U α
U α
=
As´ı obtenemos el siguiente resultado:
Proposici´ o n 4.4.2. La funci´ on π : Λk (M ) −→ M es un fibrado vectorial diferenciable con fibra π−1 (q ) = Λk (T q (M )).
n U α × R(k ) = U α × Λk (T q (M ))
h−1 α ∼ =
π−1 (U α ) π
π U α
U α
=
Al considerar dos cartas (U α , ϕα = (x1 , . . . , xn )) y (U β , ϕβ = (y1 , . . . , yn )) tenemos la composici´on 1
−
n n hα hβ q∈U α ∩U β Λk (T q (M )) −→ (U α ∩ U β ) × R(k ) (U α ∩ U β ) × R( k) −→
(q,dxi1 , . . . , d xik ) → (dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q ) → (q,
λj1 ,...,j k yj1 ∧ · · · ∧ yjk ),
n n donde los coeficientes λj1 ,...,j k vienen dados por la matriz de cambio de base asociada a ϕ−1 α ◦ ϕβ : R −→ R . Como ϕ−1 en lo es. α ◦ ϕβ es diferenciable, se tiene que cada λj1 ,...,j k tambi´
Dada una aplicaci´ on diferenciable f : N −→ M , se tiene el siguiente diagrama conmutativo: k
Λ (M )
f ∗
λk (N )
πM M
TM p
πN f
df
N
M
51
TN p
f
N
donde la aplicaci´on f ∗ : Λk (M ) −→ Λk (N ) viene dada por f ∗ (α)(v1 , . . . , vk ) = α(f (v1 ), . . . , f (v k )). N´ otese que (f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f ∗ y (idM )∗ = idΛk (M ) . Una k-forma diferencial es una secci´on diferenciable de π : Λk (M ) −→ M , es decir una aplicaci´on diferenciable ω : M −→ Λk (M ) tal que π ◦ ω = idM . Estudiemos la representaci´ on local de ω. Consideremos una carta (U α , ϕα ) de M . Tenemos el siguiente diagrama conmutativo: h−1 α ∼ =
n U α × R( k)
π−1 (U α ) π
p
Λk (M ) π
1
U α
Tenemos ω(q ) =
ω
M
f i1 ,...,ik (q )dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
q,
i1 <···
donde f i1 ,...,i k : U α −→ R es una funci´on diferenciable. Localmente, tenemos ω=
f i1 ,...,i k dxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
i1 <···
4.5
Cohomolog´ıa de de Rham
Teorema 4.5.1 (Derivada exterior). Existe un u ´ nico morfismo (lineal) de fibrado d : Λk (M ) −→ Λk+1 (M ) tal que: (1) d2 = 0. (2) d(α ∧ β ) = d(α) ∧ β + (−1)|α| α ∧ d(β ).
Denotaremos por Λk (M ) el espacio de todas las k-formas diferenciales en M . Por el teorema anterior, se tiene un complejo d
d
0 −→ Ω0 (M ) −→ Ω1 (M ) −→ · · · −→ Ωk (M ) −→ Ωk+1 (M ) −→ · · · −→ Ωn (M ) −→ 0. Tal complejo se conoce como complejo de de Rham. El k-´esimo grupo de cohomolog´ıa de de Rham se define como el k-´esimo grupo de cohomolog´ıa del complejo anterior: Ker(dk ) k H dR (M ) := . Im(dk−1 ) Dada una k-forma diferencial ω y k campos vectoriales X 1 , . . . , X k , definimos ω(X 1 , . . . , Xk ) : M −→ R de la siguiente manera: ω(X 1 , . . . , Xk )(q ) := ω(q )(X 1 (q ), . . . , Xk (q )). 52
Denotemos por X(M ) el conjunto de los campos vectoriales en M . Usando la caracterizaci´ on anterior, podek mos ver a ω como una aplicaci´on ω : X(M ) −→ F (M ).
Ejercicio 4.5.1. Demuestre que ω es una k-forma diferenciable si, y s´olo si, para todo X 1 , . . . , Xk ∈ X(M ) se tiene ω(X 1 , . . . , Xk ) ∈ F (M ).
Consideremos la representaci´on local de d para probar que d2 = 0: n
d(f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =
j=1
d2 (f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =
i,j
∂f · dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ∂x j ∂ 2 f · dxi1 ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxij ∂x i ∂x j
= 0.
Ejemplo 4.5.1. (1) Sea M = R. Tenemos el complejo de de Rham d
0 −→ Ω0 (R) −→ Ω1 (R) −→ 0, donde d(f ) = f . As´ı, 0 H dR (R) = Ker(d) = {f : R −→ R / f es constante} ∼ = R. 1 H dR (R) = 0.
(2) Sea M = R2 . Tenemos el complejo de de Rham d
d
0 −→ Ω0 (R2 ) −→ Ω1 (R2 ) −→ Ω2 (R2 ) −→ 0. 0 2 Como hicimos en el ejemplo anterior, se puede ver que H dR (R2 ) ∼ (R2 ) = 0. = R. Adem´as es claro que H dR 1 Falta calcular H dR (R2 ). Consideremos la representaci´on local de una 1-forma f · dx + g · dy. Tenemos que si ∂f ∂g d(f · dx + g · dy) = · dy · dx + · dx · dy = 0 ∂y ∂x entonces ∂g ∂f − dx · dy = 0, por el Teorema de Green. ∂x ∂y
1 Luego, existe h : R2 −→ R diferenciable tal que ∇h = (f, g). De esto se sigue que H dR (R2 ) = 0.
k k Lema 4.5.1 (Lema de Poincar´e). H dR (M × R) = H dR (M ). De donde se tiene que k (Rn ) = H dR
R
0
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si k = 0, 0. si k =
Teorema 4.5.2 (Sucesi´ on de Mayer-Vietoris). Sea M una variedad y {U, V } un cubrimiento por abiertos de M . Entonces para todo k se tiene una sucesi´on exacta β
α
0 −→ Ωk (M ) −→ Ωk (U ) ⊕ Ωk (V ) −→ Ωk (U ∩ V ) −→ 0, donde α es la siguiente aplicaci´ on inducida por las inclusiones iU : U −→ M y iV : V −→ M : α(ω) = ((iU )∗ (ω), (iV )∗ (ω)), y β es la aplicaci´ on dada por β (θ1 , θ2 ) = θ2 |U ∩V − θ1 |U ∩V . Teorema 4.5.3. Dada una variedad M y {U, V } un cubrimiento por abiertos de M , existe una aplicaci´on k+1 k ∆ : K dR (U ∩ V ) −→ H dR (M ) que hace exacta la siguiente sucesi´on: β
∆
k+1 k+1 k+1 k k k · · · −→ H dR (U ) ⊕ H dR (V ) −→ H dR (U ∩ V ) −→ H dR (M ) −→ H dR (U ) ⊕ H dR (V ) −→ · · · .
Ejemplo 4.5.2. Como aplicaci´on del teorema anterior, podemos probar que la cohomolog´ıa de de Rham de la esfera S n viene dada por R si k = 0, n, k H dR (S n ) = 0 en otro caso.
Consideremos los abiertos U = S n − {N } ∼ = Rn y V = S n − {S } ∼ = Rn , donde N y S representan los polos Norte y Sur de la esfera, respectivamente. Tenemos que U ∩ V = S n − {N, S } ∼ = S n−1 × R.
S 2 − {N, S } ∼
=
∼
=
1
1
S
S
×
R
0 Veamos qu´e ocurre para n = 1. Es claro que H dR (S 1 ) ∼ = R. Supongamos que k = 1. En este caso, ∼ U ∩ V = R R. Por el teorema anterior, tenemos la siguiente sucesi´on exacta: 0 0 0 0 1 1 1 0 −→ H dR (S 1 ) −→ H dR (U ) ⊕ H dR (V ) −→ H dR (U ∩ V ) −→ H dR (S n ) −→ H dR (U ) ⊕ H dR (V ) −→ · · · 1 0 −→ R −→ R ⊕ R −→ R ⊕ R −→ H dR (S n ) −→ 0 ⊕ 0 = 0.
Por uno de los teoremas fundamentales de isomorfismos, y por la exactitud de la sucesi´on anterior, tenemos que 1 1 H dR (S 1 ) = R ⊕ R/Ker(R ⊕ R −→ H dR (S 1 )) = R ⊕ R/Im(R ⊕ R −→ R ⊕ R). De la misma manera, se tiene que Im(R ⊕ R −→ R ⊕ R) = R ⊕ R/Ker(R ⊕ R −→ R ⊕ R) = R ⊕ R/Im(R −→ R ⊕ R) = R ⊕ R/R ∼ = R. 54
As´ı, nos queda
1 H dR (S 1 ) = R ⊕ R/R ∼ = R.
0 Supongamos que el resultado se cumple para n − 1. Es claro que H dR (S n ) = 0. Consideremos la sucesi´ on exacta k−1 k k k H dR (U ∩ V ) −→ H dR (S n ) −→ H dR (U ) ⊕ H dR (V ) k−1 k k k H dR (S n−1 × R) −→ H dR (S n ) −→ H dR (Rn ) ⊕ H dR (Rn ) k−1 k H dR (S n−1 ) −→ H dR (S n ) −→ 0. k−1 k Si 0 < k < n, tenemos H dR (S n−1 ) = 0 y por la exactitud de la ´ultima sucesi´on nos queda H dR (S n ) = 0. Ahora supongamos que k = n. Tenemos la sucesi´on exacta n−1 n 0 −→ H dR (S n−1 ) −→ H dR (S n ) −→ 0. n−1 n De donde H dR (S n ) ∼ (S n−1 ) ∼ = H dR = R.
0 Ejercicio 4.5.2. Sea M una variedad conexa, probar que H dR (M ) ∼ = R.
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