Apuntes de Matemática I Versión 1.0 – Marzo 23, 2015.
Giovanni Vielma
[email protected] Departamento de Física y Matemática Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda
1 1.1
LÍMITES
EVALU EV ALUANDO ANDO LÍMITE LÍMITESS NUMÉRI NUMÉRICAMENT CAMENTE E Y GRÁFICA GRÁFICAMENTE MENTE
Vamos a investigar el comportamiento de la función definida por f (x ( x ) x 1 en las cercanías de x de x 1. Primeramente, lo haremos tomando valores cada vez más cercanos a uno pero mayores, es decir, nos aproximaremos por la derecha de este número. La Tabla 1.1 Tabla 1.1 muestra muestra los valores de f (x ( x ) para x para x 1.1, x 1.1, x 1.01 y x x 1.001. En esta tabla podemos apreciar que la función, es decir y decir y ,, se acerca al valor 2 a medida que nos acercamos más y más a x a x 1.
= +
= =
x 1 1.1 1.01 1.00 1.001 1
= =
= =
= =
=
( x ) = f (x + 1 = 2.1 + 1 = 2.01 + 1 = 2.001
y 1.1 1.01 1.00 1.001 1
>
Tabla 1.1 cuando una función presenta un comportamiento como este se escribe l´ım ım (x 1)
x 1+
→
+ =2
esta notaci notación ón se lee “lím “límite ite cuando cuando x tiende de a 1 por por la dere derech cha a de la func funció ión n f (x ( x ) x tien límite lateral por la derecha.
igual a 2”, 2”, este límite límite se denomi denomina na = x + 1 es igual
Seguidamente analizamos el comportamiento de f de f (x ( x ) x 1 en las cercanías de x de x 1 tomando valores cada vez más cercanos a uno pero menores, es decir, nos aproximaremos por la izquierda de este número. La Tabla 1.2 Tabla 1.2 muestra muestra los valores de f (x ( x ) para para x x 0.9, x 0.9, x 0.99 0.99 y x x 0.999. 0.999. En esta esta tabla tabla podemo podemoss apreci apreciar ar que la funció función, n, es decir decir y y ,, se acer acerca ca al valo valorr 2 a medi medida da que nos acercamos más y más a x a x 1.
= +
=
=
=
=
=
x 1 0.9 0.99 0.99 0.999 9
<
( x ) = f (x + 1 = 1.9 + 1 = 1.99 + 1 = 1.999
y 0.9 0.99 0.99 0.999 9
Tabla 1.2
2
LÍMITES
cuando una función presenta un comportamiento como este se escribe l´ım (x 1)
+ =2
x 1−
→
esta notación se lee “límite cuando x tiende a 1 por la izquierda de la función f (x ) límite lateral por la izquierda.
= x +1 es igual a 2”, este límite se denomina
De lo anterior se sigue que l´ım (x 1)
x 1+
→
+ = x l´→ım1− (x + 1) = 2
Como ocurre con esta función en x 1, cuando los limites laterales son iguales se dice que el límite existe y se escribe
=
l´ım (x 1)
+ =2
x 1
→
A continuación esbozaremos la gráfica de la función. Note que f (x )
= x + 1
es una función lineal (Véase la Figura 1.1). y f (x ) 2
= x + 1
1
−1
1
x
Figura 1.1
Las siguientes definiciones generalizan este concepto.
Definición 1.1 Escribimos l´ım f (x )
x c −
→
= L
y decimos el límite lateral por la izquierda de f (x ) cuando x se aproxima c es igual a L si podemos hacer los valores de f (x ) arbitrarimente cercanos a L tomando x suficientemente cerca de c con x menor que c (Véase la Figura 1.2).
LÍMITES
3
y
L
f (x )
x
0
→
c
x
Figura 1.2
Definición 1.2 Escribimos l´ım f (x )
x c +
→
= L
y decimos el límite lateral por la derecha de f (x ) cuando x se aproxima c es igual a L si podemos hacer los valores de f (x ) arbitrarimente cercanos a L tomando x suficientemente cerca de c con x mayor que c .
Definición 1.3 Escribimos l´ım f (x )
x c
→
= L
y decimos el límite de f (x ) cuando x tiende a c , esigual a L si podemos hacer que los valores de f (x ) estén arbitrariamente cerca de L (tan cercano a L como queramos) tomando x suficientemente cerca de c (a cada lado de c ) pero no igual a c .
Teorema 1.1
l´ım f (x )
x c
→
= L
si y sólo si
l´ım f (x )
x c
→+
Ejemplo 1.1 Estimar el valor de x 2 1 x →1 x 1 l´ım
Solución
− −
= L = x l´→ımc − f (x )
4
LÍMITES
x 1
>
1.1 1.01 1.001
y f (x ) 1.12 1.1 1.012 1.01 1.0012 1.001
=
−1 +1 = 2.1 −1 +1 = 2.01 −1 +1 = 2.001
Tabla 1.3
2
Note que la función x x −−11 no está definida cuando x 1, pero eso no importa, porque la definición de límite dice que debemos considerar valores de x cercanos a x 1, pero no iguales a 1. La Tabla 1.3 muestra los valores de f (x ) para x 1.1, x 1.01 y x 1.001. En esta tabla podemos apreciar que la función, es decir y , se acerca al valor 2 a medida que nos acercamos más y más a x 1. Sobre la base de los valores de la Tabla 1.3, hacemos la suposición de que
=
=
=
=
=
=
x 2 1 l´ım x →1+ x 1
− =2 −
De forma análoga en la Tabla 1.4 se muestra los valores de f (x ) para x 0.9, x 0.99y x 0.999. En estatabla podemos apreciar que la función, es decir y , se acerca al valor 2 a medida que nos acercamos más y más a x 1. Sobre la base de los valores de la Tabla 1.4, hacemos la suposición de que
=
=
x 2 1 l´ım x →1− x 1
− =2 −
de modo que x 2 1 x →1 x 1 l´ım
− =2 −
A continuación esbozaremos la gráfica de la función. Note que
f (x )
x 2
= x +−11 ⇒ ⇒
− 1) = (x +x 1)(x −1 f (x ) = x + 1, x =1 f (x )
por lo tanto, f es una función lineal con un agujero en x 1 (Véase la figura 1.3).
=
x 1
<
0.9 0.99 0.999
y f (x ) 0.92 0.9 0.992 0.99 0.9992 0.999
=
−1 +1 = 1.9 −1 +1 = 1.99 −1 +1 = 1.999
Tabla 1.4
Ejemplo 1.2 Probar que
=
=
LÍMITES
5
y f (x ) 2
2
= x x −−11
1
−1
x
1
Figura 1.3
y f (x )
x -0.1 -0.01 -0.001
=
|−0.1| = −1 0.1 |−−0.01 | 0.01 = −1 − |−0.001| = −1 −0.001 Tabla 1.5
= |x x |
l´ım f (x )
x 0
→
no existe.
Solución
| no está definida cuando x 0, pero eso no importa, porque la definición de límite dice Note que la función f (x ) | x x que debemos considerar valores de x cercanos a x 0, pero no iguales a 0. La Tabla 1.5 muestra los valores de f (x ) para x 0.1, x 0.01 y x 0.001. En esta tabla podemos apreciar que la función, es decir y , es siempre igual a 1 a medida que nos acercamos más y más a x 0. Sobre la base de los valores de la Tabla 1.5, hacemos la suposición de que
=
=
= =
=
l´ım x →0+
=
=
= |x x | = 1
De forma análoga, en la Tabla 1.6 se muestra los valores de f (x ) para x 0.1, x 0.01 y x 0.001. En esta tabla podemos apreciar que la función, es decir y , es igual al valor 1 a medida que nos acercamos más y más a x 0. Sobre la base de los valores de la Tabla 1.6, hacemos la suposición de que
= −
−
l´ım−
x 0
→
= −
= −
|x | = −1 x
Ya que los límites laterales, por la derecha e izquierda son diferentes, se desprende del teorema 1.1 que l´ım
x 0
→
|x | x
no existe. Seguidamente trazamos la gráfica de f . Recuerde que si x 0, entonces x
>
f (x )
= |x x | ⇒ ⇒
= x x f (x ) = 1 f (x )
| | = x , por lo tanto
=
6
LÍMITES
por otro lado si x 0, entonces x
<
| | = −x , así f (x )
= |x x | ⇒ ⇒
= −x x f (x ) = −1 f (x )
a partir de estas dos condiciones se sigue que f (x ) La gráfica de la función f (x ) tramos.
= −11
x 0 x 0
> <
= | x x | se muestra en la Figura 1.4 y es compatible con los límites unilaterales que encon-
y f (x ) |0.1| 1 0.1 |0.01 | 1 0.01 |0.001| 1 0.001
x 0.1 0.01 0.001
=
= = =
Tabla 1.6
y f (x )
= |x x |
1 x
0
−1 Figura 1.4
1.2
EVALUANDO LÍMITES ANALÍTICAMENTE
En la sección 1.1 vimos que el límite de f (x ) cuando x se aproxima a c no depende del valor de f en x c . Sin embargo, puede suceder que el límite sea precisamente f (c ). En tales casos, el límite puede ser evaluado por sustitución directa . Que es,
=
l´ım f (x ) f (c )
x c
→
=
Tales funciones son continuas en c . Examinaremos este concepto en la sección 1.7. En esta sección utilizamos las siguientes propiedades para el cálculo de límites.
LÍMITES
7
1.2.1. LÍMITES DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES Sea c un número real. Entonces 1. Función Constante l´ım k k
=
x c
→
k
∈R
2. Función Identidad l´ım x c
=
x c
→
3. Función Potencial
l´ım x n
= c n x →c l´ım x n = c n x →c
n par n impar, n 1
>
4. Función Radical
x = c x →c l´ım x = c l´ım
n
n
n
n
x c
→
n par, c 0
>
n impar, n 1
>
5. Función Exponencial
l´ım a x
= a c x →c l´ım a x = a c x →c
a 1, a
> ∈R 0 < a < 1, a ∈ R
6. Función Logarítmica l´ım log a x log a c
= x →c l´ım log a x = log a c x →c 7. Función Seno
a 1, a
> ∈ R, c > 0 0 < a < 1, a ∈ R, c > 0
l´ım sen x sen c
x c
→
=
8. Función Coseno l´ım cos x cos c
x c
→
=
9. Función Tangente l´ım tan x tan c
x c
→
=
c . . . , 3π/2,
= −
10. Función Cotangente cos c l´ım cot x cotc x →c sen c
=
=
11. Función Secante l´ım sec x sec c
x c
→
=
= cos1 c
−
/2, π/2,3π/2,...
π
c . . . , 2π,
= − −
, 0, π, 2π, . . .
π
c . . . , 3π/2,
= −
−
/2, π/2,3π/2,...
π
12. Función Cosecante l´ım csc x csc c
x c
→
=
=
1 sen c
c . . . , 2π,
= − −
, 0, π, 2π, . . .
π
8
LÍMITES
Ejemplo 1.3 Calcular los siguientes límites 1. l´ım 4
=4 l´ım x = −2 x →−2 x 0
→
2.
3. l´ım x 2
→−1
x
= (−1)2 = 1
4. l´ım x 3
(2)3 = 8 = → l´ım x = 4 = 2 x →4 l´ım x = −8 = −2 x →−8 l´ım ln x = ln 1 = 0 x →1 x 2
5. 6. 7.
= e 0 = 1
8. l´ım e x x 0
→
9. l´ım
→−1
x
10.
3
3
x
1
1 2
1 2
→
=
/2
π
11. l´ım cos x cos(π) x
→
12. 13.
2 1
l´ım sen x sen(π/2)
x
π
=
2 1
2
=1
= −1 /4) = 1
l´ım tan x tan(π
x
→
/4
π
=
l´ım cot x cot(π/2)
x
→
/2
π
=
14. l´ım sec x sec(2π) x 2π
→
15.
1
= − = = =
=
cos( = sen(
x 3π/2
→
= 01 = 0
1 1 = cos(2 = = 1 ) 1
l´ım csc x csc(3π/2)
=
/2) π/2)
π
π
= sen(31
1 = =−1 /2) −1
π
1.2.2. PROPIEDADES DE LÍMITES Supongamos que n es un entero positivo, c y k son números reales y que los límites l´ım f (x )
x c
→
= L
y
l´ım g (x )
x c
→
= M
existen. Entonces 1. Multiplo escalar l´ım [k f (x )]
x c
→
2. Suma
= k x l´ı→mc f (x ) = kL
LÍMITES
9
l´ım [ f (x )
+ g (x )] = x l´ı→mc f (x ) + x l´ı→mc g (x ) = L + M
l´ım [ f (x )
− g (x )] = x l´ı→mc f (x ) − x l´ı→mc g (x ) = L − M
x c
→
3. Diferencia x c
→
4. Producto l´ım [ f (x ) g (x )]
= x l´ı→mc f (x ) · x l´ı→mc g (x ) = L · M
·
x c
→
5. Cociente l´ım f (x )
f (x ) x →c g (x )
L , M = = x l´ı→mc g (x ) = M 0
l´ım
x c
→
6. Potencia n
x c
7. Raíz l´ım
x c
→
n
= = → → = = l´ım f (x )
n
f (x )
n
l´ım f (x )
x c
l´ım f (x )
x c
→
n
L n
L , n par, L 0
>
Ejemplo 1.4 Calcular los siguientes límites 1. l´ım 4x 4 l´ım x 4( 1)
=
→−1
x
= − = −4 = l´ım x + l´ım x 2 = 9 + 92 = 3 + 81 = 84
→−1
x
+ → = → x x 2
2. l´ım
x 9
x 9
x 0
x 0
→
4. l´ım
x 1 e x
→
5. l´ım x
→
6.
π
x 1
→
l´ım e
→
3
2
l´ım sen x
→
x
x 1
cos x =
x 3π/2
→
l´ım ln x
=
→
l´ım 2x l´ım sen x 20 sen0
3. l´ım 2x sen x ln x
x 9
→ = 3
→
π
= cos = −1 = −1 3
x 3π/2
π
2
=
l´ım sen x
→
= (1)(0) = 0
= lne 11 = 0e = 0
l´ım cos x
x
=
x 0
3
(sen(3π/2))2
= (−1)2 = 1
1.3 FORMA INDETERMINADA 0/0 Como señalamos arriba, funciones con la propiedad de sustitución directa se llaman continuas y serán estudiadas en la Sección 1.7. Sin embargo, no todos los límites pueden ser evaluados por sustitución directa, como muestran los siguientes ejemplos.
10
LÍMITES
Ejemplo 1.5 Encontrar el límite
x − 2 l´ım x →4 x − 4 Solución En este ejemplo no podemos hallar el límite sustituyendo porque f no esta definida en x 4. Tampoco podemos aplicar la Ley Cociente, ya que el límite del denominador es 0 como se muestra a continuación.
=
l´ım
x 4
→
x − 2 ր l´ım x →4 x − 4 ց
− = x 2
0
l´ım (x 4)
x 4
→
− =0
En su lugar, tenemos que hacer un poco de álgebra preliminar lo cual consiste en racionalizar el numerador, es decir, multiplicamos el numerador y el denominador de la función por la conjugada del numerador, esto es, x 2.
+
x − 2 l´ım = x →4 x − 4
− + → − + − → − + − → − +
l´ım
x 4
l´ım
=
x 4
=
x 4
=
x 4
l´ım l´ım
→
x 2
x 2
(x 4)
x 2
x )2
(2)2
(x 4) x 2 x 4 (x 4) 1
x + 2
x 2
Producto notable
Propiedad de fracciones
Propiedades de límites
1 4
Ejemplo 1.6 Encontrar el límite l´ım
x 0
→
Solución
−
Propiedades de potenciación
= 1 4+2 = 2 +1 2 =
+ = a 2 − b 2
(a b )(a b )
+ −
x 2 9 3 x 2 3x 3
+
a a
= 1, a = 0
LÍMITES
11
l´ım
x 0
→
l´ım
x 0
→
ր
+ −
x 2 9 3 x 2 3x 3
+
ց
+ − = x 2
l´ım x 2
x 0
→
l´ım
x 0
→
+ − x 2
x 2
+
9 3 3x 3
=
+ − + + + + + → + − → + + + + − → + + + → + + + + + → + + + → + + + + + + + +
l´ım
x 0
x 2
9
x 2
3x 3
x 2
x 0
=
l´ım
= = = = = = = = =
Ejemplo 1.7 Encontrar el límite
l´ım
=
x 0
l´ım
x 0
l´ım
x 0
x 2
x 2
9
2
3x 3
x 2
9
3x 3
3x 3
x 2
9 3
x 2
9 3
x 2
9 3
1
(0)2
(1 3(0))
1
(1 0)
0
1
9 3
(1)
1 (1) (3 3) 1
+
(1) (6) 1 6
9 3
+ = a 2 − b 2
(a b )(a b )
−
9
Propiedades de potenciación
Simplificación
Factor común
Propiedad de fracciones
9 3
1
(1 3x )
Producto notable
9 2
9
x 2
3x )
9 3
x 2
x 2 (1
+ 3x 3 = 0
9 3
x 2
x 2
0
(3)2
x 2
x 2
l´ım
x 0
x 2
3
9 3
3
Propiedades de límites
a a
= 1, a = 0
12
LÍMITES
x − 3 l´ım x →3 x 2 − 5x + 6 Solución
l´ım
x 3
→
x − 3 ր l´ım x →3 x 2 − 5x + 6 ց
l´ım x 2
x 3
→
x − 3 l´ım = x →3 x 2 − 5x + 6
− + − + + → − → − + + − → − + + − → − − + → − + + − 3
x
l´ım
x 2
x 3
x
=
l´ım
x 3
x 3
=
l´ım
= = =
x 3
5x 6
x 2
5x 6
x 3
x
3
x
3
x
(x 2)
x
3
Propiedades de límites
3
3
1
(1) 2 3 1
2 3
Ejemplo 1.8 Encontrar el límite x 2
−4 x →2 2 − x + 2 l´ım
Solución
−
Factorización
Propiedad de fracciones
1
(3 2)
+ = a 2 − b 2
(a b )(a b )
Propiedades de potenciación
3
1
l´ım
− 5x + 6 = 0
Producto notable
x 3
(x 3) (x 2)
0
2
x 3
l´ım
=
=
x 2
3
3
3
x
2
x
3
x
5x 6
− =
a a
= 1, a = 0
LÍMITES
13
l´ım x 2
x 2
→
ր
2
−4 x →2 2 − x + 2 x
l´ım
ց →
2
−4 = x →2 2 − x + 2 l´ım
x
− + + + + → − + − + + − + → − + + → − − ++ + → − − +− + → − − + + + → − − + + + → − − + + + → − − + + + → − + + + − + x 2
2
x 2
=
x 2
(2)
l´ım
l´ım
2
4 2
l´ım
x 2
2
4 2
4 2
−
2
Propiedades de potenciación
x 2
x 2
4 2 2
l´ım
x
2
x 2
l´ım
Factorización
a 2
− b 2 = (a − b )(a + b )
x 2
x
(x 2)
x 2
Simplificación
x 2
(x 2) 2
Calcular los siguientes límites
+ = a 2 − b 2
(a b )(a b )
x 2
= x l´ım2 1 = x l´ım2 (x 2) 2 = (2 2) 2 2 = (4) 2 4 = − (4) (2 + 2) = − (4) (4) = −16
EJERCICIOS PROPUESTOS
Producto notable
x 2
(x 2) (x 2) 2
=
0
x 2
(x 2) (x 2) 2
=
x 2
x 2
x 2
4
x 2
x 2
=
x 2
0
4 (x 2)
x 2
x 2
=
2
l´ım
x 2
=
4
x 2
l´ım
4
− + =
l´ım 2
x 2
− =
Factor común
x 2
Propiedad de fracciones
x 2
x 2
2
Propiedades de límites
a a
= 1, a = 0
14
1.
2. 3.
LÍMITES
x + 5 − 3 l´ım x →4 x 2 − 3x − 4 2 − x l´ım 2 x →2 x − 2x x 2 − 9 l´ım x →3 2 − x + 1
4. l´ım
x 0
→
x 2
4
− x − 2
1.4 LÍMITES INFINITOS Vamos a investigar el comportamiento de la función definida por f (x ) Tabla 1.7 muestra los valores de f (x ) para x 0.1, x 0.01 y x 0.001.
=
=
=
= x 1 para valores cercanos a 0, pero mayores que 0. La
y f (x ) 1 10 0.1 1 100 0.01 1 1000 0.001
x 0.1 0.01 0.001
= = = =
Tabla 1.7 En esta tabla podemos apreciar que a medida que nos acercamos más y más a x 0 la función, es decir y , toma valores cada vez mas grandes positivos. Por lo tanto los valores de f (x ) no se acercan a un número, así
=
1 l´ım + x →0 x no existe. Para indicar el tipo de comportamiento exhibido por esta función, utilizamos la notación 1 l´ım + x →0 x
=∞
Esto no quiere decir que estamos considerando como un número. Tampoco significa que existe el límite. Simplemente 1 expresa la forma particular en que no existe el límite: f (x ) x se puede hacer tan grande como queramos tomando x lo suficientemente cerca de 0. En general, para una función con este comportamiento se escribe simbólicamente
∞
=
l´ım f (x )
x c
→+
=∞
para indicar que los valores de f (x ) tienden a ser más y más grande positivos a medida que x se toma cada vez más y más cerca de c , x c . 1 De forma análoga podemos investigar el comportamiento de la función definida por f (x ) x para valores cercanos a 0, pero menores que 0. La Tabla 1.8 muestra los valores de f (x ) para x 0.1, x 0.01 y x 0.001. En esta tabla podemos apreciar que a medida que nos acercamos más y más a x 0 la función, es decir y , toma valores cada vez mas grandes negativos. Por lo tanto los valores de f (x ) no se acercan a un número, así
>
=−
l´ım−
x 0
→
1 x
= −∞
=−
=
=−
=
LÍMITES
15
y f (x ) 1 −10.1 10 −10.01 100 −0.001 1000
x -0.1 -0.01 -0.001
= =− =− =−
Tabla 1.8
En general, para una función con este comportamiento se escribe simbólicamente l´ım f (x )
x c
→−
= −∞
para indicar que los valores de f (x ) tienden a ser más y más grande negativos a medida que x se toma cada vez más y más cerca de c , x c . Así
<
1
l´ım
x 0
→
x
no existe. La gráfica de esta función se muestra en la figura 1.5. y
y
= x 1 x
Figura 1.5
Consideremos ahora l´ım
x 0
→
1 x 2
De la gráfica de esta función, mostrada en la Figura 1.6 se desprende que 1 l´ım 2 + x →0 x
= ∞ = x l´→ım0− x 12
por lo cual se concluye que 1 x →0 x 2 l´ım
= ∞
16
LÍMITES
y
y
= x 1
2
x
Figura 1.6
Definición 1.4 Sea f una función definida en ambos lados de c , excepto posiblemente en c mismo. Entonces l´ım f (x )
x c
→
=∞
significa que los valores de f (x ) se pueden hacer arbitrariamente grandes positivos (tan grande como queramos), tomando x suficientemente cerca de c , pero no igual a c .
Definición 1.5 Sea f una función definida en ambos lados de c , excepto posiblemente en c mismo. Entonces l´ım f (x )
x c
→
= −∞
significa que los valores de f (x ) se pueden hacer arbitrariamente grandes negativos (tan grande como queramos), tomando x suficientemente cerca de c , pero no igual a c .
En general, en los puntos donde una función tiene asintota vertical se presentan límites infinitos. Por ejemplo, las líneas, x . . . , 3π/2, π/2, π/2,3π/2,. . . son todas las asíntotas verticales de f (x ) tan x (Véase la Figura 1.7). Así
= −
−
=
x
l´ım − tan x
→
/2
π
=∞
y x
l´ım tan x + π/2
→
= −∞
Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo natural. La línea x es una asíntota vertical (Véase la Figura 1.8). Por lo tanto l´ım ln x
x 0+
→
= −∞
= 0 (el eje y )
LÍMITES
17
3
2
1
−2
π
−3
π
−
π
−
π
2
π
2
π
2
−1 −2 −3 −4 Figura 1.7: Función Tangente
1.4.1. PROPIEDADES DE LÍMITES INFINITOS Sean c y L números reales y sean f , g y h funciones tales que l´ım f (x )
x c
→
= ∞,
l´ım g (x )
x c
→
= L
y
l´ım h (x )
x c
→
1. Suma l´ım [ f (x )
+ g (x )] = ∞ l´ım [ f (x ) + h (x )] = ∞ x →c x c
→
2. Diferencia l´ım [ f (x )
− g (x )] = ∞
x c
→
3. Producto l´ım [ f (x ) g (x )]
= ∞, L > 0 l´ım [ f (x ) · g (x )] = −∞, L < 0 x →c ·
x c
→
4. Cociente l´ım
f (x )
x c g (x )
→
=∞, L > 0
f (x ) x →c g (x ) l´ım
= −∞, L < 0
g (x ) x →c f (x ) l´ım
= 0
=∞
3π 2
2π
18
LÍMITES
y
y ln x
=
x
1
Figura 1.8: Función Logaritmo Neperiano
1.5 LÍMITES EN EL INFINITO En la sección 1.4 se investigó los límites infinitos. allí se permitió que x se acercara a un número y el resultado fue que los valores de y se hicieron arbitrariamente grandes (positivo o negativo). En esta sección permitimos que x se haga arbitrariamente grande (positivo o negativo) y veremos que le pasa a y . Vamos a comenzar por investigar el comportamiento de la función definida por f (x )
= x 1
cuando x se hace grande. y f (x ) 1 0.1 10 1 0.01 100 1 0.001 1000 1 0.0001 10000
x 10 100 1000 10000
= = = = =
Tabla 1.9 La Tabla 1.9 muestra los valores de esta función para x 10, x 100, x 1000 y x 10000. A medida que x se hace más y más grande se puede ver que los valores de y se acercan más y más a 0. De hecho, parece que podemos hacer que los valores de f (x ) estén tan cerca de 0 como queramos tomando x suficientemente grande. Esta situación se expresa simbólicamente escribiendo
=
l´ım
=
=
=
1
→∞ x = 0
x
En general, utilizamos la notación l´ım f (x )
x
→∞
= L
para indicar que los valores de f (x ) se vuelven más y más cercanos a L cuando x se hace más y más grande.
LÍMITES
19
Definición 1.6 Sea f una función definida en algún intervalo (a ,
∞). Entonces l´ım f (x )
x
→∞
= L
significa que el valor de f (x ) se puede hacer arbitrariamente cercano a L tomando x suficientemente grande.
De forma análoga en la Tabla 1.2 se muestra los valores de esta función para x
= −10, x = −100, x = −1000 y x = −10000.
y f (x ) 1 −110 0.1 −1100 0.01 0.001 −1000 1 −10000 0.0001
x -10 -100 -1000 -10000
= =− =− =− =−
Tabla 1.10 A medida que x toma valores cada vez más y más grande negativos se puede ver que los valores de y se acercan más y más a 0. Esta situación se expresa simbólicamente escribiendo l´ım
1
→−∞ x = 0
x
La definición general es la siguiente.
Definición 1.7 Sea f una función definida en algún intervalo (
−∞, a ). Entonces l´ım f (x ) = L → −∞
x
significa que el valor de f (x ) se puede hacer arbitrariamente cercano a L tomando x suficientemente grande negativo.
El comportamiento numérico señalado arriba se verifica al observar la gráfica de la función f (x ) Figura 1.9.
1.5.1. LÍMITES EN EL INFINITO DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 1. Función Constante l´ım k k
= x →∞ l´ım k = k x →−∞
k
∈R
2. Función Identidad l´ım x
→∞ = ∞ l´ım x = −∞ x →−∞ x
3. Función Potencial
= x 1 que se muestra en la
20
LÍMITES
y
y
= x 1 x
Figura 1.9
l´ım x n
=∞ x →∞ n l´ım x = ∞ x →−∞ l´ım x n = ∞ x →∞ l´ım x n = −∞ x →−∞
n par
n impar, n 1
>
4. Función Radical
x = ∞ n par x →∞ l´ım x = ∞ x →∞ n impar, n > 1 l´ım x = −∞ x →−∞ l´ım
n
n
n
5. Función Exponencial l´ım a x
=∞ x →∞ x l´ım a = 0 x →−∞ l´ım a x = 0 x →∞ l´ım a x = ∞ x →−∞
>
a 1, a
0
∈R
< a < 1, a ∈ R
6. Función Logarítmica
l´ım log a x
= ∞ a > 1, a ∈ R x →∞ l´ım log a x = −∞ 0 < a < 1, a ∈ R x →∞
7. Función Reciproca potencial 1 l´ım 0 x →∞ x n n par 1 l´ım n 0 x →−∞ x 1 l´ım n 0 x →∞ x n impar 1 l´ım n 0 x →−∞ x
= = = =
8. Función Arcotangente l´ım arctanx
= /2 →∞ l´ım arctanx = − /2 x →−∞ x
π
π
LÍMITES
21
1.6 FORMA INDETERMINADA ∞/∞
Ejemplo 1.9 Encontrar el límite l´ım
x
→∞
+
x 2 1 x 1
+
Solución
l´ım
x
→∞
l´ım
x
→∞
+
x 2 1 x 1
+
ր
+ −→ ∞ x 2
1
ց l´ım (x 1)
x
→∞
+ −→ ∞
22
l´ım
x
→∞
+ x 2
1
x 1
+
=
l´ım
+
x 2 1 x x 1 x
→∞
+ →∞ + + x 2
=
=
= =
x
x 2 1 x 2 x 1 x
l´ım
+
x
→∞
x
→∞
l´ım
x
→∞
x 2 1 2 x x 2 x 1 x x 1 1 x 2 1 1 x
x
→∞
l´ım 1
x 1→∞0 = 1 ++0 1 = 1 = =
x 2
+
a =
Propiedad de fracciones
a b a c c
Propiedad de fracciones
b
a b
+ = + b c
a a
= 1, a = 0
+
+ x l´→ım∞ x 12 1
Propiedades de límites en el infinito
+ x l´→ım∞ x
1 1 1
Ejemplo 1.10 Encontrar el límite l´ım
x
→−∞
Solución
+
l´ım 1
=
=
Propiedad de radicación
+
x
1
x 2 x 1 x
l´ım
l´ım
Definición de valor absoluto
+
x
LÍMITES
+
x 2 1 x 1
+
l´ım k k , k
→∞ =
x
∈ R y x l´→ım∞ x 1n = 0, n ∈ Z+
LÍMITES
23
l´ım
x
→−∞
l´ım
x
→−∞
+
x 2 1 x 1
+
ր
+ −→ ∞ x 2
1
ց l´ım (x + 1) −→ ∞ → −∞
x
l´ım
x
→−∞
+ x 2
x 1
+
1
=
+
l´ım
x 2 1 x x 1 x
+
x
→−∞
+ − →−∞ + + x 2
=
=
= = =
l´ım
l´ım → −∞
−
l´ım → −∞
x 2 1 x 2 x 1 x
+
x
−
x
x
→−∞
x 2 1 2 x x 2 x 1 x x 1 1 x 2 1 1 x
+
+
x 2
Propiedad de radicación
Propiedad de fracciones
Propiedad de fracciones
a = b
a b
a b a c c
+ = + b c
a a
= 1, a = 0
+
l´ım 1
x
→−∞
+ x →l´ım−∞ x 12
l´ım 1 + → −∞
x
=−
− +
l´ım
−
x
1
x 2 x 1 x
x
Definición de valor absoluto
1 0 − = 1 ++0 1 − = 1 = −11 = −1
1 l´ım x →−∞ x
Propiedades de límites en el infinito
1 + →l´ım −∞ k = k , k ∈ R y x →l´ım −∞ x n = 0, n ∈ Z
x
24
LÍMITES
Ejemplo 1.11 Encontrar el límite l´ım
x
→∞
+
x 4 x 2 3 x 3 x 2
+ −
−
Solución
l´ım
x
→∞
l´ım
x →∞
+
x 4 x 2 3 x 3 x 2
+ −
ր
+ x 4
x 2
− 3 −→ ∞
−
ց
l´ım (x 3
x
→∞
+ x − 2) −→ ∞
LÍMITES
l´ım
x
→∞
25
+ x 4
+ x 4
x 2
−3 = 3 x + x − 2
l´ım
x 3
x 3
x
→∞
−3 Definición de valor absoluto
+ x − 2
x 3
=
x 3
+ − →∞ + − + − x 4
=
x 2
l´ım
x
x 6
3
x 6 x 2
3
x
x 2
Propiedad de radicación
a =
Propiedad de fracciones
a b c d
b
a b
x 3
x 4
=
l´ım
3
x
→∞
x
x 2 x 6
3
+ x − 2
+ + = a + b + c d d d
x 3
= =
l´ım
x
→∞
l´ım
x
→∞
x 4 x 6
Propiedades de fracciones
3
+ x x 3 − x 23
x x 3 1
x
1
+ x 12 − x 23
1
+ x l´→ım∞ x 14 − x l´→ım∞ x 36
x 2
l´ım 1
1
2
+ x l´→ım∞ x 2 − x l´→ım∞ x 3 0 + 0 − 0 = 1+0−0 0 = 1 →∞
= =
0 1 0
EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular los siguientes límites 2x 3
− →∞ + − + −
1. l´ım x
x 2
4x 6 5x 2 1 2x 2
2. l´ım x
→∞
3. l´ım x
→∞
4.
− x + 6 x 4 + 2x x 2 + 1 1 − x
l´ım → −∞
x
x 5
4
= x n 1−m , m < n y a a = 1, a = 0
1 3 + − x 2 x 4 x 6
→∞
x
x m x n
l´ım
=
2
+ x x 6 − x 36
Propiedades de límites en el infinito
l´ım k k , k
→∞ =
x
∈ R y x l´→ım∞ x 1n = 0, n ∈ Z+
26
LÍMITES
1.7 CONTINUIDAD En la sección 1.2 nos dimos cuenta de que a menudo el límite de una función cuando x se acerca a c se puede encontrar simplemente calculando el valor de la función en c . Las funciones con esta propiedad se llaman continuas en c . Veremos que la definición matemática de continuidad se corresponde estrechamente con el significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo es el que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción ni cambio abrupto.)
Definición 1.8 Una función es continua en un número c si l´ım f (x ) f (c )
=
x c
→
Observe que definición 1.8 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a : 1. f (c ) esta definida (es decir, c está en el dominio de f ) 2. l´ım f (x ) x c
→
3. l´ım f (x ) f (c )
=
x c
→
Si no se cumple alguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función es discontinua en x c . Si el límite no existe la discontinuidad se denomina esencial, esta además puede ser tipo salto infinito, si al menos uno de los limites laterales es infinito, o tipo salto finito si los limites laterales existen pero son diferentes. Asimismo, la discontinuidad se denomina evitable si el límite existe pero no se cumple la condición 1 o la condición 3. Si la discontinuidad es evitable la función se puede redefinir para que sea continua en este punto como se muestra en el siguiente ejemplo.
=
Ejemplo 1.12 Estudiar la continuidad de la siguiente función en x
f (x )
Solución
1, x 0 y x 1.
= −− =
x 1, ln x , x 2 , 2,
=
= x > 1 0 < x < 1 −1 < x ≤ 0 x < −1
La gráfica de esta función se muestra en la Figura 1.10. x 1
=−
1. f ( 1) no esta definida
−
l´ım x 2 ( 1)2 x →−1+ l´ım − 2 2
= − =1 2. ⇒ x l´→ım−1 f (x ) ∃ = x →−1 3. como f (−1) == x l´→ım−1 f (x ) en este punto la función tiene una discontinuidad de tipo salto finito. x = 0 1. f (0) = 02 = 0
LÍMITES
27
l´ım ln x x →0+ l´ım− x 2 02
= −∞ 2. ⇒ x l´ı→m0 f (x ) ∃ como 0 = = x →0 3. como f (0) == x l´ı→m0 f (x ) en este punto la función tiene una discontinuidad de tipo salto infinito x 1
=
1. f (1) no esta definida l´ım x 1 0 x →1+ l´ım− ln x ln 1
− = 2. ⇒ x l´ı→m1 f (x ) = 0 = = 0 x →1 3. como f (1) = x l´ı→m0 f (x ) en este punto la función tiene una discontinuidad evitable Como la función presenta discontinuidad evitable en x = 1 la podemos redefinir haciéndola en este punto igual al valor del limite, esto es
f (1)
= 0 = x l´ı→m1 f (x )
la función redefinida viene dada por
f (x )
=
0, x 1, ln x , x 2 , 2,
−
x 1 x 1 0 x 1 1 x 0 x 1
= >
< < − < ≤ <−
y
2 1
−1
1
x
Figura 1.10
EJERCICIOS PROPUESTOS Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los valores de x correspondientes.
1. f (x )
= −
x 2 x 2
x 1 0 x 1 , x 0, x 1 x 0
>
< ≤ <
=
=
28
2. f (x )
3. f (x )
= =
ln x 1 x 2 x
x 1 0 x 1 x 0
≥
< < x = 0, x = 1 e < 2x − 1 x > 1 x 0.5 0 < x < 1 1 −1 < x < 0 x = −1, x = 0, x = 1 x −1 x ≤ −1
LÍMITES