TASA INTERNA DE RETORNO TIR La tasa interna de retorno - TIR -, es la tasa que iguala el valor presente neto a cero. La tasa interna de retorno también es conocida como la tasa de rentabilidad producto de la reinversión de los flujos netos de efectivo dentro de la operación propia del negocio y se expresa en porcentaje. También es conocida como Tasa crítica de rentabilidad cuando se compara con la tasa mínima de rendimiento requerida (tasa de descuento) para un proyecto de inversión específico. La evaluación de los proyectos de inversión cuando se hace con base en la Tasa Interna de Retorno, toman como referencia la tasa de descuento. Si la Tasa Interna de Retorno es mayor que la tasa de descuento, el proyecto se debe aceptar pues estima un rendimiento mayor al mínimo requerido, siempre y cuando se reinviertan los flujos netos de efectivo. Por el contrario, si la Tasa Interna de Retorno es menor que la tasa de descuento, el proyecto se debe rechazar pues estima un rendimiento menor al mínimo requerido. La TIR calcula la rentabilidad del Proyecto y el resultado es un % Supuestos:
La reinversión de los fondos a la misma TIR No tiene en cuenta las cantidades invertidas No tiene en cuenta la diferencia entre las de los proyectos
vidas
TIR = VA (Ingresos) – VA (costos y gastos) = 0 DEFINICION 1: “TIR es la Tasa de Descuento que hace el VPN = 0” VPN =0=−P+
FNE1 FNE 2 FNE n + + …+ 1 2 ( 1+i ) (1+i ) (1+i )n
DEFINICION 2: “TIR es la Tasa de Descuento que hace que la suma de los Flujos Descontados sea igual a la Inversión Inicial” P=
FNE1 FNE 2 FNE n + + …+ 1 2 ( 1+i ) ( 1+i ) ( 1+i )n
DEFINICION 3: La TIR es la i que hace que el Valor Futuro de la inversión sea igual a la suma de los Valores Futuros de los Flujos de Efectivo en el Año (n). Ejemplo práctico:
Cuando la TMAR = 15% la inversión se recupera al 15%, más una ganancia extra de S/. 157.26.
Si la TMAR = 20%, lo invertido se recupera al 20%, más una ganancia de S/. 18.77. Si la TMAR = 20.77% se recupera la Inversión a esa Tasa sin ninguna ganancia adicional. Si la TMAR > 20.77% no se alcanza a recuperar la Inversión.
Por tanto, los criterios de selección cuando se utiliza la TIR como método de análisis son: Si se mantiene una TMAR = 20% como en el cálculo del VPN entonces: Si; TIR ≥ TMAR ACÉPTESE LA INVERSIÓN TIR < TMAR RECHÁCESE LA INVERSIÓN. En el Caso anterior, TMAR = 20% y TIR = 20.77%, Como; TIR > TMAR debe hacerse la inversión. En el cuadro como cuando la TMAR pasa el valor de 20.77% que es la TIR de la Inversión, automáticamente el VPN se vuelve negativo. Condiciones para rechazar el Proyecto son: VPN <
0
TIR
TMAR
<
Cuando se utilizan ambos métodos para evaluar la rentabilidad de una inversión, la decisión por cualquier método debe ser la misma.
De la tabla se deduce que cuando el VPN = O, la TIR ≡ TMAR, lo que significa que la inversión se recupera sin ganancia adicional, exactamente a una TMAR que el inversionista fijó previamente. Esto quiere decir que, si al menos ganara esa tasa (TMAR), aceptaría invertir, y eso es exactamente lo que gana cuando el VPN se hace cero, por tanto, los criterios de aceptación de una inversión cuando VPN = 0 y TIR = TMAR son correctos. VENTAJAS EN EL USO DE LA TIR:
Puede calcularse utilizando únicamente los datos correspondientes al proyecto. No requiere información sobre el costo de oportunidad del capital, coeficiente que es de suma importancia en el cálculo del VAN.
DESVENTAJAS EN EL USO DE LA TIR:
Por la forma en que se calculan, tanto la TIR como el VPN suponen implícitamente que todas las ganancias anuales (FNE) se reinvierten totalmente en la propia empresa, lo cual es falso. Esta práctica podría darse en algunos años, pero no en todos, su nombre de TASA INTERNA DE RENDIMIENTO, viene de la consideración de que es un rendimiento generado sólo por la reinversión interna en la empresa de todas la ganancias. La fórmula para calcular la TIR es un polinomio de grado n; "Un polinomio tiene tantas raíces como cambios de signo". El TIR es la obtención de la raíz del polinomio que significa que si éste tiene dos cambios de signo, se puede obtener hasta dos raíces, lo que equivale a obtener dos TIR, los cuales no tienen interpretación económica. Usualmente, sólo existe un cambio de signo, la inversión inicial con signo (-) y los demás miembros del polinomio son (+), interpretados como ganancias anuales. Si en cualquier práctica empresarial, durante un año dado, en vez de obtener ganancias, hay pérdidas o una inversión adicional que hace que los costos superen a las ganancias, se producirá un segundo signo negativo. Cuando se presenta esta situación, por ejemplo, en el año 3, la ecuación de cálculo aparecería como:
0=−P+
FNE1 FNE 2 FNE 3 FNE n + + +…+ ( 1+i )1 ( 1+i )2 ( 1+i )3 ( 1+i )n
En la cual, estos dos cambios de signo, en el año cero y en el año 3, se puede producir una doble raíz y por tanto una doble
TIR. Cuando se dan este tipo de casos, el método de la TIR no es útil para tomar decisiones. NOTA: Cuando al decidir la inversión en un solo proyecto, los métodos de VPN y TIR siempre arrojan el mismo resultado. Pero cuando se comparan dos o más proyectos, pueden resultar decisiones contrarias. En estos casos espreferible utilizar el VPN para tomar debido a la desventaja que presenta la TIR.
decisión,
CALCULO: Tomando como referencia los proyectos A y B trabajados en el Valor Presente Neto, se reorganizan los datos y se trabaja con la siguiente ecuación:
VPN =0=
FE 1
( 1+ K )
1
+
FE 2
( 1+ K )
2
+ …+
FE n
( 1+ K )n
−Inversion
FE: Flujos Netos de efectivo;
k=valores porcentuales
Método Prueba y error: Se colocan cada uno de los flujos netos de efectivo, los valores n y la cifra de la inversión inicial tal y como aparece en la ecuación. Luego se escogen diferentes valores para K hasta que el resultado de la operación de cero. Cuando esto suceda, el valor de K corresponderá a la Tasa Interna de Retorno. Es un método lento cuando se desconoce que a mayor K menor será el Valor Presente Neto y por el contrario, a menor K mayor Valor Presente Neto.
Método gráfico: Se elaboran diferentes perfiles para los proyectos a analizar. Cuando la curva del Valor Presente Neto corte el eje de las X que representa la tasa de interés, ese punto corresponderá a la Tasa Interna de Retorno (ver gráfico VPN).
Método interpolación: Al igual que el método anterior, se deben escoger dos K de tal manera que la primera arroje como resultado un Valor Presente Neto positivo lo más cercano posible a cero y la segunda dé como resultado un Valor Presente Neto negativo, también lo más cercano posible a cero. Con estos valores se pasa a interpolar de la siguiente manera:
k1 ? k2
VPN1 0 VPN2
Se toman las diferencias entre k1 y k2. Este resultado se multiplica por VPN1 y se divide por la diferencia entre VPN1 y VPN2. La tasa obtenida se suma a k1 y este nuevo valor dará como resultado la Tasa Interna de Retorno. Otros métodos más ágiles y precisos involucran el conocimiento del manejo de calculadoras financieras y hojas electrónicas que poseen funciones financieras. Como el propósito de esta sección es la de dotar al estudiante/interesado de otras herramientas, a continuación se mostrará un ejemplo aplicando el método de interpolación, el cual es muy similar al método de prueba y error. Proyecto A: Tasa de descuento = 15%
VPN = -39
Proyecto B: Tasa de descuento = 15%
VPN = 309
CALCULO TIR PROYECTO A POR EL MÉTODO DE INTERPOLACIÓN: Aplicando el método de prueba y error se llegó a una tasa del 14% (k1) que arroja un primer VPN de -13.13. Con una tasa del 13% (k2) se llega a un segundo VPN de 13.89 (por favor comprueben el resultado aplicando la ecuación de la TIR). Ahora se procederá a interpolar:
13%
13.89
? 14%
0 - 13.13
Diferencias de tasas = 14% - 13% = 1% o 0.01 Diferencias de VPN = 13.89 - (-13.13) = 27.02
Se multiplica la diferencia de tasas (0.01) por el primer VPN (13.89). Este resultado se divide por la diferencia de VPN (27.02).
0.01 x 13.89 ÷ 27.02 = 0.00514
Este dato se suma a la primera tasa (13%) y su resultado arrojará la Tasa Interna de Retorno.
TIR = 0.13 + 0.00514 = 0.13514 = 13,514% TIR (Hoja Excel) = 13.50891%
Al comprobar el dato obtenido por el método de interpolación con el aplicado por la hoja electrónica de Excel, se puede anotar una diferencia de tan solo 0,00509%. Con este ejemplo se puede apreciar
las bondades de éste método cuando no es posible usar las nuevas tecnologías.
Los beneficios de la Tasa Interna de Retorno (TIR) son los siguientes: Se concentra en los flujos netos de efectivo del proyecto al considerarse la tasa interna de retorno como una tasa efectiva. Así mismo, este indicador se ajusta al valor del dinero en el tiempo y puede compararse con la tasa mínima de aceptación de rendimiento, tasa de oportunidad, tasa de descuento o costo de capital. Así mismo hay que tener en cuenta que la TASA INTERNA DE RETORNO no maximiza la inversión pero sí maximiza la rentabilidad del proyecto.
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE - CAUE Las situaciones que se pueden presentar al interior de una empresa para tomar decisiones económicas son muy diversas. Anteriormente se mostraron las técnicas para tomar decisiones en inversiones que producen ingresos. En ocasiones, es necesario seleccionar la mejor alternativa, desde el punto de vista económico, pero no existen ingresos en el análisis. Algunas situaciones donde sólo se presentan costos para el análisis económico son: a) Seleccionar entre dos o más equipos alternativos para un proceso industrial o comercial, que elabora una parte de un producto o servicio. El equipo no elabora un producto o servicio final que se pueda vender y obtener ingresos por la venta del mismo. b) Seleccionar entre dos o más procesos alternativos para el tratamiento de contaminantes producidos por una industria. El proceso de tratamiento es forzoso instalarlo, pues así lo exige la ley, pero esa inversión no producirá ingresos. c) Se requiere remplazar un sistema de procesamiento manual de datos por un sistema computarizado. O se requiere sustituir el procesamiento de datos, que actualmente se realiza con computadoras personales, por un procesamiento en red. La inversión que este cambio requiere no producirá ingresos, pero son inversiones necesarias en muchas industrias y negocios. El objetivo de este punto es mostrar las técnicas utilizadas para tomar decisiones cuando sólo existen datos de costos en el análisis, o en decisiones para remplazar equipos o sistemas actuales, por otros nuevos, desde luego con una inversión extra.
Algunos conceptos importantes que se deben tomar en cuenta para entender la utilización del CAUE son:
Valor de salvamento: Valor de salvamento (VS), valor de rescate (VR) o valor de recuperación (VR) son sinónimos que significan el valor de mercado de un activo, en cualquier momento de su vida útil. Valor de mercado a su vez, significa el valor monetario al que puede ser vendido un activo en el año (n). Vida útil del activo. Vida útil puede definirse simplemente como el período (expresado en años), que un activo sirve o está disponible en la actividad para la que fue diseñado.
CAUE por sus siglas, consiste en reducir todos los ingresos y todos los egresos a una serie equivalente de pagos, de esta forma los costos durante un año de una alternativa se comparan con los costos durante un año de la otra alternativa.
Normalmente el periodo de comparación es un año, de ahí el nombre de CAUE. Pero esto no quiere decir que no se pueda utilizar otro periodo de comparación como por ejemplo: Mensual, semestral, etc. La fórmula para estos indicadores es la misma. Todo depende de lo que se quiera medir. Si se quiere medir los costos se utilizará el CAUE (mientras menor sea mejor será la opción a elegir). Si se quiere medir los beneficios o ganancias se utilizará el mayor BAUE. Este criterio de evaluación es útil en aquellos casos en los cuales la TIR y el VAN no son del todo precisos. Usado para proyectos repetibles que tienen los mismos flujos de ingresos pero diferentes costos de inversión. La cuota es el CAUE; se elige el que tenga menor CAUE. n
CAUE=
VPN costo∗( 1+ r ) ∗r
(1+ r )n−1
VAN∗( 1+ i )n∗1 CAUE o BAUE= ( 1+i )n−1 Donde: i = Tasa de interés.
n = número de periodos a evaluar. CAUE=
P A −VP( , i , n) A F ,i ,n P
A=P
[
( 1+i )n−1
]
A=F
[
1 (1+i )n−1
]
i∗( 1+i )
n
BENEFICIO ACTUAL UNIFORME EQUIVALENTE
Una posibilidad para comparar proyectos repetibles de diferente vida útil, es recurrir al Factor de Recuperación del Capital y distribuir el VAN de cada proyecto con la tasa de costo de oportunidad del dinero en N cuotas iguales, siendo N el número de períodos de vida útil de cada proyecto. La cuota así determinada se denomina BAUE. BAUE=VAN ( n , 1 )
[
r (1+i )
n
(1+i )n−1
]
=i∗VAN ( n , ∞)
El criterio es elegir el proyecto con mayor BAUE (siempre que los proyectos tengan el mismo riesgo) CAUE o BAUE=
VAN∗( 1+ i )n∗1 ( 1+i )n−1
Donde: i = Tasa de interés. n = número de periodos a evaluar. CAUE=
∗i∗n) +C ( I ∗A P O
Donde: Io = Inversión inicial. A/p = Anualidad de un presente. i = Tasa de interés horizonte.
n = económico C = Costo anual de operaciones. COSTO ANUAL EQUIVALENTE El Costo Anual Equivalente (CAE) es el monto anual que equivale a la inversión realizada en el período 0 (Valor Actual del flujo de “n” CAE es igual a la inversión). INV =CAE x
[
−n
1−( 1+r ) r
[
1−( 1+r )−n CAE=INV x r
] −1
]
Inversión = 100 Vida útil = 3 años r = 10 % CAE = 100 x r / (1 + r)-3 CAE = 40.21
El CAE es útil cuando tenemos proyectos con beneficios netos iguales pero diferentes montos de inversión (generalmente con diferentes vidas útiles), siempre que sean repetibles: elegir el proyecto con menor CAE. Supongamos que el ejemplo anterior tendría una vida útil de 18 años con iguales beneficios netos, pero hay dos opciones: Maquinaria 1: costo de 100 y vida útil de 3 años. Maquinaria 2: costo de 200 y vida útil de 6 años.
Maquinaria 1: costo de 100 y vida útil de 3 años CAE1 = 40.21 Maquinaria 2: costo de 200 y vida útil de 6 años CAE2 = 45.92 Elegimos la maquinaria 1. Suponemos PROYECTOS REPETIBLES (se podrá volver a comprar cualquiera de las maquinarias con las mismas condiciones) y que cada una de las máquinas generará BENEFICIOS NETOS IGUALES. ¿Cómo cambiaría el ejemplo anterior si cada una de las máquinas tuviera costos de operación uniformes anualmente pero diferentes?
Ej.: Maq. 1, CO año de 100; Maq. 2, CO año de 80. CAE1* = 140.21
CAE2* = 125.92
¿Cómo cambiaría el ejemplo anterior si cada una de las máquinas tuviera costos de operación diferentes y no uniformes anualmente? Ej.: Maq. 1, CO1 de 70, CO2 de 80 y CO3 de 100; Maq. 2 CAE1** = 122.60
CAE2* = 125.92
VALOR ANUAL EQUIVALENTE El Valor Anual Equivalente (VAE) es el monto anual que equivale a un determinado VPN (Valor Actual del flujo de “n” VAE es igual al VPN). VPN =VAE x
[
1−( 1+ r )−n r
[
1−( 1+ r )−n VAE=VPN x r
] −1
]
Donde: Inversión = 100 FC1 = 80; FC2 = 140; r = 10 % VPN = 88.43 VAE = 88.43 x r / (1+r)-3 VAE = 50.95 El VAE es útil cuando comparamos proyectos con vidas útiles diferentes siempre que dichas vidas útiles se puedan igualar; es decir, siempre que los proyectos sean repetibles: elegir el proyecto con mayor VAE. Supongamos que comparamos el proyecto anterior con otro con una inversión de 100, vida útil de 4 años y flujos de caja anuales de 40, 70, 90 y 110 respectivamente. VANB = 136.96 / VAEB = 43.21
VANA = 88.43 / VAEA = 50.95
