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Capítulo 38. Física moderna y el átomo Relatividad 38-1. Una nave espacial pasa junto a un observador con una rapidez de 0.85 c. Una persona que

viaja en dicha nave observa que tarda 6.0 s en cruzar su cabina de lado a lado. ¿Qué duración registraría el observador para el mismo evento? [ El El tiempo propio t 0 = 6 s, el tiempo relativo t = ?] α = =

v c

=

0.85c c

= 0.850; t =

t 0

1 − α

2

=

6.0 s 1- (0.85)

2

;

t = 11.4 s

38-2. Un cohete A pasa junto a un laboratorio espacial B con una rapidez de 0.9c. Un técnico de

laboratorio registra 3.50 s como la duración de un evento ocurrido en el cohete. ¿Cuál es la duración del mismo evento para una persona que viaja a bordo del cohete? [ El El tiempo propio t 0 = ?; el tiempo relativo t = 3.50 s] v

0.9c

c

c

0.90; t = = 0.90

t 0

α

= =

t0

= t 1 − (0.90)2 = (3.5 s) 1 − 0.81 ;

1 − α 2

; t0

= t 1− α 2 ;

t 0 = 1.52 s

38-3. La luz parpadeante de una nave espacial pasa junto a un observador a 0.75c. El observador

registra que la luz parpadea con una frecuencia de 2.0 Hz. ¿Cuál es la frecuencia real de la luz parpadeante? ( Es Es importante distinguir el tiempo relativo de la frecuencia relativa.) La frecuencia relativa es 2.0 parpadeos por segundo, lo cual es un tiempo relativo de

0.5 s/parpadeo Tiempo relativo t = 0.50 s; tiempo propio t o = ?

= α = t

574

=

v c

=

0.75 c

t o

1 − α 2

= 0.75 ;

; t0

= t 1 − (0.75)2 = (0.50 s) 1 − 0.563 ;

Tippens, Física , 7e. Manual de soluciones. Cap. 37

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t 0 = 0.331 s/parpadeo f 0

=

1 t 0

=

1 0.331 s

; f o = 3.02 Hz

38-4. Una partícula colocada sobre una mesa tiene un diámetro de 2 mm cuando está en reposo.

¿Cuál deberá ser la rapidez de un observador para que al medir dicho diámetro obtenga 1.69 mm? ( La La longitud propia Lo = 2 mm.) L = L0 1 − α ; 2

α2

L2

(1.69 mm)2 ; = (1 − α ) ; α = 1 − 2 = 1 − (2.00 mm)2 L20 L0 2

L2

2

v

= 0.286; α = = 0.2 0.286 = 0.535 ; c

v = 0.535c

38-5. Hay una regla graduada azul de un metro a bordo de la nave A y una regla graduada roja de

un metro a bordo de la nave B. Si la nave A rebasa a la B a 0.85c, ¿cuál será la longitud de cada regla a juicio de una persona que viaja en la nave A? (Debe tener cuidado para distinguir la longitud propia de la longitud relativa.) El observador A ve la regla azul como longitud propia Lo y la regla roja como longitud relativa L. Laz = 1.00 m; Lro

= (1.00 m m)) 1 − (0.85)2 ; Lre = 52.7 cm

575


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38-6. Tres reglas graduadas de un metro pasan junto a un observador con rapidez de 0.1c, 0.6c y

0.9c, respectivamente. ¿Qué longitudes registrará dicho observador? ( Las longitudes propias L0 de cada una son 1.00 m) α =

0.1c

= 0.1; L = (1.00 m) 1 − (0.1c )2 ;

c

L = 99.5 cm α =

0.6c

= 0.6; L = (1.00 m) 1 − (0.6)2 ;

c

L = 80.0 cm α =

0.9c

= 0.9; L = (1.00 m) 1 − (0.9)2

c

L = 43.6 cm

38-7. ¿Qué masa se requiere para encender 1 millón de lámparas de 100 W durante 1 año? 2 6 15 E 0 = m0c = (1 × 10 )(100 W)(86 400 s/d)(365 d/año) = 3.154 × 10 J/año

m0

=

E 0 c2

=

3.154 (3

× 1015 J

× 108 m/s)2

; m0 = 35.0 g

38-8. Las partículas elementales llamadas mesones mu caen a través de la atmósfera a

2.97 × 108 m/s. En reposo, el mesón mu se desintegra en un promedio de 2 μ s después de haberse formado. ¿Cuál es la duración del ciclo de vida de esas partículas desde el punto de vista de un observador que está en la Tierra?

× 108 m/s α = = 0.990 ; 3.00 × 108 m/s 2.97

t =

t 0

1 − α

2

=

2.0 μ s 1 − (0.99)

2

; t = 101 μ s

576


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La teoría cuántica y el efecto fotoeléctrico 38-9. Una superficie de cobre emite los primeros fotoelectrones cuando la longitud de onda de la

radiación incidente es 282 nm. ¿Cuál es la frecuencia de umbral para el cobre? ¿Cuál es la función de trabajo para una superficie de cobre? f 0

=

c λ 0

× 108 m/s) = 282 × 10−9 m/s (3

15 f 0 = 1.06 × 10 Hz – 34

W = hf 0 = (6.63 × 10

J/Hz)(1.06 × 1015 Hz); – 19

W = 7.028 × 10 W = 7.03

J

1 ev ⎞ × 10−19 J ⎛⎜ −19 ⎟ ⎝ 1.6 × 10 J ⎠ W = 4.40 eV

38-10. Si la función de trabajo fotoeléctrico de un material es 4.0 eV, ¿qué frecuencia mínima

debe tener la luz para la emisión de fotoelectrones? ¿Cuál es la frecuencia de umbral?

⎛ 1.6 × 10−19 J ⎞ W = 4.0 eV ⎜ = 6.40 × 10−19 J; W = hf 0 ; ⎟ ⎝ 1 eV ⎠ f 0

=

W h

× 10−19 J = 6.63 × 10−34 J/Hz 6.4

14 f 0 = 9.65 × 10 Hz

38-11. La energía E de un fotón en joules se calcula a partir del producto hf . Con frecuencia

tenemos la longitud de onda de la luz y necesitamos calcular su energía en electrón-volts. Demuestre que E = 1240 λ , de modo que si λ está en nanómetros, E será la energía en electrón-volts. E

=

hc λ

; Eλ = hc = (6.63

E λ = (1.99

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) = 1.99 × 10−25 J ⋅ m

1 ev ⎞⎛ 1 nm ⎞ ; × 10−25 J ⋅ m) ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 1.6 × 10−19 J ⎠⎝ 1 × 10−9 m ⎠ Ελ = 1240 eV⋅nm

577



Cuando λ está en nm, E estará en J: E =

1240 λ

38-12. Aplique la ecuación obtenida en el problema 38-11 para comprobar que una luz con

longitud de onda de 490 nm tiene una energía de 2.53 eV. Demuestre también que un fotón provisto de una energía de 2.10 eV tiene una longitud de onda de 590 nm. E =

1240

=

λ

1240 490 nm

; E = 2.53 J

λ =

1240 E

=

1240 2.10 eV

; λ = 590 nm

*38-13. La frecuencia de umbral para cierto metal es de 2.5 × 10 Hz. ¿Cuál es la función de 14

trabajo? Si una luz de 400 nm de longitud de onda brilla sobre esa superficie, ¿cuál será la energía cinética de los fotoelectrones emitidos? – 34

W = hf 0 = (6.63 × 10 W = 1.66

J/Hz)(2.5 × 1014 Hz); W = 1.66 × 10 – 19 J

1 ev ⎞; × 10−19 J ⎛⎜ −19 ⎟ ⎝ 1.6 × 10 J ⎠ W = 1.04 eV

Ek =

hc λ

− W =

(6.63

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) − 1.66 × 10−19 J ; −9 400 × 10 m 3.31 × 10-19 J E k =

E = 3.31

1 ev ⎞; × 10−19 J ⎛⎜ ⎟ ⎝ 1.6 × 10−19 J ⎠ 2.07 eV E k =

578



*38-14. Cuando una luz de frecuencia 1.6 × 10 Hz incide en la superficie de un material, los 15

electrones empiezan de inmediato a abandonar la superficie. ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos por esa superficie cuando está iluminada por una luz de frecuencia 2.0 × 1015 Hz? Ek

= hf − hf 0 = h( f − f0 );

E k = 2.65

E k = (6.63 x 10-34 J/Hz)(2.0

× 1015 Hz − 1.6 × 1015 Hz) ;

1 eV ⎞ × 10−19 eV ⎛⎜ ⎟ ⎝ 1.6 × 10−19 J ⎠ 1.66 eV E k =

*38-15. La función de trabajo de una superficie de níquel es 5.01 eV. Si una superficie de níquel

se ilumina con una luz con longitud de onda de 200 nm, ¿cuál será la energía cinética de los electrones emitidos? hc − W ; λ λ

Ek =

hc

Ek =

hc λ

=

(6.63

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) = 9.945 × 10−19 J = 6.22 eV −9 (200 × 10 m)

− W = 6.22 eV − 5.01 eV; 1.21 eV E k =

*38-16. El potencial de detención es un voltaje inverso que basta para evitar que los electrones

sean emitidos en una aplicación fotoeléctrica. Por lo tanto, el potencial de detención es igual a la energía cinética de los fotoelectrones emitidos. Calcule el potencial de detención para el problema 38-13. La energía cinética de los electrones emitidos en el –19

Prob. 38.13 es 3.31 × 10 Ek

= qVs = (1e)Vs ; V s =

J (véase arriba.)

E k

(1e)

=

9.945 × 10−19 J 1.6 × 10−19 C V s = 6.22 V

579



Ondas y partículas 38-17. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie para un protón (m = 1.67 × 10

−27

kg) cuando

se mueve con una rapidez de 2 × 107 m/s?

× 10−34 J/Hz) λ = = mv (1.67 × 10−27 kg)(2 × 107 m/s) (6.63

h

– 14

λ = 1.99 × 10

m

38-18. La longitud de onda de De Broglie de una partícula es 3 × 10− m. ¿Cuál es la cantidad 14

de movimiento de la partícula? mv =

h λ

=

× 10−34 J/Hz ; 3 × 10−14 m

6.63

mv = p; – 20

p = 2.21 × 10

kg m/s

38-19. Recuerde las fórmulas de la energía cinética y la cantidad de movimiento y demuestre

que, para una rapidez no relativista, la cantidad de movimiento de una partícula se puede calcular a partir de p = 2mE k , donde E k es la energía cinética y m es la masa de la partícula. p = mv; v =

p m

; E k =

mv 2

2

=

m⎛ p ⎞

2

p2

⎜ ⎟ = 2m ; 2 ⎝m⎠ p = 2mE k

*38-20. Calcule la energía cinética de un electrón si su longitud de onda de De Broglie es

2 × 10−11 m. λ =

h mv

; v=

h mλ

=

6.63 x 10-34 J/Hz ; (9.1 x 10-31kg)(2 x 10-11 m)

v = 3.64 x 107 m/s

Puesto que v << c, consideramos que v es no relativista, 2

– 31

½mv = ½(9.1 × 10 E k =

kg)(3.64 × 107 m/s)2; E k = 6.03 × 10 – 16 J

Si consideramos los efectos de la relatividad,

580



Ek

⎛ m0 ⎞ mo ⎟ c 2 = 6.10 × 10−16 J = (m − m0 )c2 = ⎜ − ⎝ 1 − α 2 ⎠

Así puede observar que el valor no relativista no difiere mucho de la marca.

*38-21. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de las ondas asociadas a un electrón que ha

sido acelerado a través de una diferencia de potencial de 160 V? (Véase el problema 38.21.) p = 2mEk

= 2m(qV );

p=

2(9.1

× 10−31kg)(1.6 × 10−19 C )(160 V) ;

× 10−34 J/Hz p = 6.83 × 10 kg ⋅ m/s ; λ = = p 6.83 × 10−24 kg ⋅ m/s 6.63

h

−24

– 11

λ = 9.71 × 10

m

−19

*38-22. La carga de un protón es +1.6 × 10

C y su masa en reposo es 1.67 × 1027 kg. ¿Cuál es

la longitud de onda de De Broglie en el caso de un protón que ha sido acelerado, a partir del reposo, haciéndolo pasar a través de una diferencia de potencial de 500 V? p = 2mEk p = 5.17

= 2m( qV );

p=

2(1.67

× 10−27 kg)(1.6 × 10−19 C )(500 V)

× 10−22 kg ⋅ m/s ;

× 10−34 J/Hz ; λ = = p 5.17 × 10−22 kg ⋅ m/s h

6.63

λ = 1.28 pm

Espectro atómico 38-23. Calcule la longitud de onda de las tres primeras líneas espectrales del hidrógeno atómico

en la serie de Balmer. (Para la serie de Balmer, n = 2. Las tres primeras líneas provienen de ni = 3, 4 y 5 ).

⎛1 1⎞ = R ⎜ 2 − 2 ⎟ ; (ni = 3, 4 y 5) λ ⎝ 2 ni ⎠ 1

581



(a)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ − 2 ⎞⎟ ; λ ⎝4 3 ⎠

(b)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ − 2 ⎟⎞ ; λ = 486.2 nm (ni = 4) λ ⎝4 4 ⎠

(c)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝4 5 ⎠

1

λ = 656.3 nm (ni = 3)

1

1

λ = 434.1 nm (ni = 5)

38-24. Calcule las longitudes de onda de las tres primeras líneas espectrales del hidrógeno

atómico en la serie de Paschen. (a)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝3 4 ⎠

λ = 1875 nm (ni = 4)

(b)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝3 5 ⎠

λ = 1280 nm (ni = 5)

(c)

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝3 6 ⎠

λ = 1100 nm (ni = 6)

1

1

1

38-25. Calcule el radio del nivel de Bohr n = 4 del átomo clásico de hidrógeno de Bohr.

r =

n 2ε 0 h 2 π me

2

=

× 10−12 C2 /N ⋅ m2 )(6.63 × 10−34 J/Hz)2 ; 34 19 2 π (9.1 × 10− J/Hz)(1.6 × 10− C)

(4) 2 (8.85

r = 850 pm 38-26. ¿Cuál es el radio clásico de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno?

r =

n 2ε 0 h 2 π me2

=

(1)2 (8.85 × 10−12 C2 /N ⋅ m2 )(6.63 × 10−34 J/Hz)2 π (9.1 × 10−34 J/Hz)(1.6 × 10−19 C)2 r = 53.2 pm

38-27. Calcule la longitud de onda del fotón emitido por un átomo de hidrógeno cuando el

electrón salta del nivel de Bohr n = 3 al nivel fundamental.

⎛1 1⎞ 1 1 = R ⎜ 2 − 2 ⎟ = (1.097 × 107 m−1 ) ⎛⎜ 2 − 2 ⎞⎟ λ ⎝1 3 ⎠ ⎝ 2 ni ⎠ 1

λ = 102.6 nm

582



*38-28. ¿Cuál es la longitud de onda máxima de un fotón incidente capaz de ionizar un átomo de

hidrógeno originalmente en su segundo estado excitado (n = 3)? Energía de ionización: E3 λ =

hc E 3

=

(6.63

=

−13.6 eV n

2

=

−13.6 eV 2

3

; E 3

= 1.511 eV = 2.42 × 10−19 J

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) ; 2.42 × 10−19 J λ = 823 nm

*38-29. ¿Cuáles son las longitudes de onda más corta y más larga posibles en la serie de Balmer?

[Como E = hc/ λ, la energía más elevada (el mayor nivel n) tiene la longitud de onda más corta y viceversa] Más corta: λ , ni = ∞:

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − ⎟⎞ λ ⎝2 ∞⎠ 1

λ = 365 nm Más larga: λ , ni = 3:

1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ λ ⎝2 3 ⎠ 1

λ = 656 nm

Problemas suplementarios 38-30. Al costo de 9 centavos por kilowatt, ¿cuál es el costo de la máxima energía que se puede

liberar de una masa de 1 kg? 2 8 2 16 E 0 = m0c = (1 kg)(3 ×10 m/s) ; E 0 = 9 × 10 J

Costo =

$ 0.09 ⎛

⎞ (9 × 1016 J) ⎜ 6 ⎟ kWh ⎝ 3.6 × 10 J ⎠ 1 kWh

9 Costo = 2.25 × 10 dólares

583



38-31. Un evento que se presenta en una nave espacial que viaja a 0.8c en relación con la Tierra

dura 3 s cuando lo observa una persona a bordo de una nave. ¿Cuánto duraría el evento si fuera observado por una persona en la Tierra? ¿Qué distancia habrá viajado la nave espacial durante este evento, según la persona que se encuentra en la Tierra? Tiempo propio es 3.0 s; t =

t o

3.0 s

=

1 − α

2

1 − (0.8)

2

; t = 5.00 s

8

s = vt 0 = ( 0.8c)t 0; s = (0.8)(3 ×10 m/s)(5.0 s); 9 s = 1.20 × 10 m

38-32. Cuando una luz monocromática de 450 nm de longitud de onda incide en un cátodo,

algunos fotoelectrones son emitidos con una velocidad de 4.8 × 105 m/s. ¿Cuál es la función de trabajo para esa superficie en electrón-volts? ¿Cuál es la frecuencia de umbral? Ek W

= ½ mv2 = ½(9.1 × 10−31kg)(4.8 × 105 m/s)2 ; =

hc λ

(6.63

− E k =

E k = 1.05

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) − 1.05 × 10−19 J ; −9 450 × 10 m – 19

W = 3.37 × 10 W

= hf0 ; f 0 =

W h

=

× 10−19 J ;

3.37 (6.63

J

× 10−19 J

× 10−34 J/Hz) 14 f 0 = 5.09 × 10 Hz

En términos de electrón-volts: E c = 0.656 eV; W = 3.18 eV

38-33. En el átomo de hidrógeno, un electrón cae del nivel n = 5 al nivel n = 2 y emite un fotón

en la serie de Balmer. ¿Cuáles son la longitud de onda y la energía de la luz emitida? 1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝2 5 ⎠ 1

λ = 434 nm E =

hc λ

=

(6.63

× 10-34 J/Hz)(3 × 108 m/s) ; 434 × 10−9 m – 19

E = 4.58 × 10

584


J o 2.86 eV


38-34. Calcule la frecuencia y la longitud de onda de la línea H β de la serie de Balmer. La

transición es a partir desde el nivel n = 4 del átomo de Bohr. 1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ ; λ ⎝2 4 ⎠ 1

λ = 486.2 nm (ni = 4)

× 108 m/s) f = = λ 486 × 10−9 m (3

c

14 f = 6.17 × 10 Hz

38-35. Una nave espacial A pasa junto a otra nave B con una velocidad relativa de 0.2c. Un

observador que viaja en B cronometra que una persona a bordo de la nave A tarda 3.96 s exactamente en realizar una tarea. ¿Cuál será la duración del mismo evento cuando sea cronometrado por el observador A? (El evento sucede a bordo de A.) El observador A registra el tiempo propio t 0; el observador B registra el tiempo relativo t = 3.96 s. t=

t 0

1 − α

2

; t0

= t 1 − (0.20)2 = (3.96 s) 1 − 0.04 ; t 0 = 3.88 s −31

38-36. La masa de un electrón en reposo es de 9.1 × 10

kg. ¿Cuál es la masa de un electrón

que viaja con una rapidez de 2 × 108 m/s? ¿Cuál es la energía total del electrón? ¿Cuál es su energía cinética relativista? m0 × 108 m/s 9.1 × 10−31 kg = 0.667; m = = α = 2 3 × 108 m/s 1 − α 1 − (0.667)2

2

– 30

m = 1.22 × 10 – 30

2

E = mc = (1.22 × 10

kg

kg)(3 × 108 m/s)2; – 13

E = 1.10 × 10 2

J

– 30

E k = (m – m0 )c ; E k = (1.22 × 10

kg – 9.1 × 10 – 31 kg) (3 × 108 m/s)2; – 14

2.79 × 10 E k =

585


J


*38-37. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón cuya energía cinética es de

50 MeV?

⎛ 1.6 × 10−13 J ⎞ p E k = 50 MeV ⎜ = 8.00 × 10−12 J Ek = ½ mv2 ; v = ⎟ m ⎝ 1 MeV ⎠ 2

Ek

p = ½ m ⎛⎜ ⎞⎟ ; ⎝m⎠ −21

p = 3.82 × 10

= 2(9.1 × 10−31kg)(8 × 10−12 J) ;

p = 2 mE k

kg ⋅ m/s; λ =

h p

=

6.63 × 10−34 J/Hz 3.82 x 10−21kg ⋅ m/s

;

λ = 0.174 pm −27

*38-38. La masa en reposo de un protón es de 1.67 × 10

kg. ¿Cuál es la energía total de un

protón que ha sido acelerado hasta una velocidad de 2.5 × 108 m/s? ¿Cuál es su energía cinética relativista? 2.5 × 108 m/s

α =

3 × 108 m/s

E =

m0c 2

1 − (0.833)

2

= 0.833 =

(1.67 × 10−27 kg)(3 × 108 m/s)2

; E = 2.72 ×10 – 10 J

0.553

2

– 10

E k = E – m0c ; E k = 2.72 × 10

J – (1.67 × 10 – 27 kg)(3 × 108 m/s)2; – 10

E k = 1.22 × 10

J

*38-39. Calcule la masa y la rapidez de unos protones cuya energía cinética relativista es 235

MeV. La masa en reposo de un protón es 1.67 × 10−27 kg.

⎛ 1.6 x 10-13J ⎞ E = 3.76 × 10−11 J; Ek = mc2 − m0c 2 ; m = 2k + m0 Ek = 235 MeV ⎜ ⎟ c ⎝ 1 MeV ⎠ m=

3.76 × 10-11J 8

2

(3 × 10 m/s)

+ 1.67 × 10−27 kg ; – 27

m = 2.09 × 10 m=

586

m0

1 − α

2

;

1-α

2

=

m0 m

kg

2

; 1−α

2

m = ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ; ⎝m⎠


2

α

m = 1 − ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎝m⎠

2


2

⎛ 1.67 × 10−27 kg ⎞ 2 α = 1− ⎜ ⎟ ; −27 2.09 × 10 kg ⎝ ⎠ α

v

= ; c

α = 0.362

= 0.601;

v = α c = (0.601)(3 × 108 m/s) ; 8

v = 1.80 × 10 m/s

*38-40. ¿Cuánto trabajo se requiere para acelerar una masa de 1 kg desde el reposo hasta una

rapidez de 0.1c? ¿Cuánto trabajo se requiere para acelerar esta masa desde una rapidez inicial de 0.3c hasta una rapidez final de 0.9c? (Aplique el teorema trabajo-energía). 2

Recuerde que para las velocidades no relativistas: Trabajo = ½mv f – ½mv0

2

2 Trabajo= ½(1 kg)(0.1c) – 0; 14 Trabajo = 4.50 × 10 J

Ahora, considere las velocidades relativistas y las E c final e inicial basadas sobre α: α f

=

v f c

m0 c 2

=

; Ekf

1 − α f 2

− m0 c ; α 0 = 2

v0

m0 c2

; E k 0 =

c

1 − α 02

− m0c 2 ;

⎛ m c2 ⎞ ⎛ m c2 ⎞ 2 0 0 − − Trabajo = ΔEk = ⎜ m0 c ⎟ − ⎜ m0 c2 ⎟ ; ⎟ ⎜ 1 − α f 2 ⎟ ⎜ 1 − α 02 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2

Trabajo = E f – E 0 elimina los términos de m0c : m0c 2

Δ E k =

α f

=

1−α

v f

Δ Ek =

c

=

2 f

0.9c c

−

m0 c 2

1 − α 02

= 0.9;

m0 c 2

1 − 0.81

−

α 2f

= 0.81;

m0 c 2

1 − 0.09

α 0

=

v0 c

=

0.3c c

= 0.3;

α 02

= 0.09

= 2.294m0 c 2 − 1.05m0 c 2 ; Δ Ek = 1.25m0 c2

Δ Ek = 1.25m0c 2 = 1.25(1 kg)(3 × 108 m/s)2 ; Trabajo = Δ E k = 1.13 × 1017 J

587



*38-41. Una partícula de masa m viaja a 0.9c. ¿De acuerdo a qué factor su energía cinética

relativista es mayor que su energía cinética newtoniana? (En primer lugar ignore los efectos de la relatividad) 2 2 0.405m0c2 Ahora con relatividad: E k = ½m0v = ½m0(0.9c) ; E k = 2

2

α

0.9c ⎞ = ⎜⎛ ⎟ = 0.81; c ⎝ ⎠

Razón =

Erel E0

Ek

=

m0 c 2

1 − 0.81

− m0 c 2 = 2.294m0 c 2 − m0 c2 ;

E k = 1.294m0 c 2

1.294m0c 2

=

0.405m0 c 2 Razón = 3.20

*38-42. ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un fotón de 40 eV? ¿Cuál es la longitud de onda

de un electrón que tiene la misma cantidad de movimiento que ese fotón? E

= pc; p =

E c

=

(40 eV)(1.6 × 10−19 J/eV) (3 × 108 m/s) -26 p = 2.13 × 10 kg⋅ m/s

λ =

h p

=

(6.63 × 10−34 J/Hz) 2.13 × 10−26 kg ⋅ m/s λ = 31.1 nm

*38-43. Cuando una luz monocromática cuya longitud de onda es 410 nm incide en un cátodo, se

emiten fotoelectrones con una velocidad de 4.0 × 105 m/s. ¿Cuál es la función del trabajo para la superficie y cuál es la frecuencia de umbral? Ek W

= ½ mv2 = ½(9.1 × 10−31kg)(4 × 105 m/s)2 ; =

hc λ

− E k =

E k = 7.28 × 10−20 J

(6.63 × 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) − 7.28 × 10−20 J = 4.12 × 10−19 J −9 410 × 10 m

⎛ 1 eV ⎞ ⎟ ⎝ 1.6 × 10−19 J ⎠

W = 4.12 × 10−19 ⎜

W = 2.58 eV W

= hf0 ; f 0 =

W h

=

4.12 × 10−19 J (6.63 × 10−34 J/Hz) 14 f 0 = 6.21 × 10 Hz

588



−27

*38-44. ¿Cuál es la velocidad de un neutrón (m = 1.675 × 10

kg) que tiene una longitud de

onda de De Broglie de 0.1 nm? ¿Cuál es su energía cinética en electrón-volt? λ =

h mv

; v=

h mλ

=

(6.63 × 10−34 J/Hz) ; (1.675 × 10−27 kg)(0.1 × 10−9 m) v = 3960 m/s

E k = ½(1.675 × 10

–27

kg)(3960 m/s)2; –20

E k = 1.31 × 10

J

*38-45. ¿Cuál es la velocidad de una partícula cuya energía cinética relativista es igual al doble

de su energía cuando su masa está en reposo? [ Nota: Las condiciones son que E k(rel.) = 2m0c2] 2 2 2 2 2 2 2 (m – mo )c =2m0c ; mc – m0c = 2m0c ; mc = 3m0c ; m = 3m0

m0

1 − α 2 α =

v c

1

1

3

9

= 3m0 ; 1 − α 2 = ; 1 − α 2 = ; α 2 = 1 − 0.111;

= 0.889;

v = 0.943c 8 v = 2.83 × 10 m/s

589



*38-46. Calcule la masa relativista y la rapidez de los electrones cuya energía cinética relativista

es 1.2 MeV. Ek

⎛ 1.6 × 10−13 J ⎞ E = 1.20 MeV ⎜ = 1.92 × 10−13 J; Ek = mc2 − mo c 2 ; m = 2k + m0 ⎟ c ⎝ 1 MeV ⎠

m=

1.92 × 10−13 J (3 × 108 m/s)2

+ 9.1 × 10−31kg ; –30

m = 3.04 × 10 m0

m=

1 − α 2

;

1−α

2

=

m0 m

2

; 1−α

2

m = ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ; ⎝m⎠

kg 2

2

α

m = 1 − ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ; ⎝m⎠

2

α

α

2

⎛ 9.1 × 10−31kg ⎞ = 1− ⎜ ⎟ ; −30 3.04 10 kg × ⎝ ⎠ v

= ; c

v = α c = (0.954)(3

α = 0.910

= 0.954 ;

× 108 m/s) 8 v = 2.86 × 10 m/s

Preguntas para la reflexión crítica 38-47. Una nave espacial azul viaja a 0.8c en relación con una nave espacial roja. En la nave

azul, una persona mueve un bloque azul una distancia de 8 m en 3.0 s. En la nave roja, una persona mueve un bloque rojo una distancia de 4 m en 2.0 s. (a) ¿Cuáles son las mediciones de esos cuatro parámetros desde el punto de vista de la persona que viaja en la nave azul? (b) ¿Cuáles son las mismas mediciones de la perspectiva de la persona que viaja en la nave roja? [α = 0.8c/c = 0.800] Para la persona en la nave azul, todas las mediciones azules son propias y las cifras rojas son relativas: Laz = 8.00 m; t ro

=

t 0ro

1 − (0.8)2

t b = 3.00s; Lro

=

2.0 s 0.6

= L0ro 1 − (0.8)2 = (4 m)(0.6) ; Lro = 2.40 m

; t ro = 3.33 s

590



Para la persona en la nave roja, todas las mediciones rojas son propias y las cifras azules son relativas: Lro = 4.00 m; t az

t ro = 2.00s; Laz

t 0az

=

1 − (0.8)2

=

= L0az 1 − (0.8)2 = (8 m)(0.6) ; Lb = 4.80 m

3.0 s 0.6 t az = 5.00 s

*38-48. Aplique el teorema trabajo-energía y compare el trabajo que se requiere para cambiar la

rapidez relativista con valores obtenidos de la física newtoniana. (a) Los cambios de rapidez de 0.1c a 0.2c. (b) Los cambios de rapidez de 0.7c a 0.8c. Trabajo newtoniano = Δ Ek

= ½mvv2 − ½mv02 m0 c 2

Trabajo relativista = Δ E k =

1−α

2 f

m0 c 2

−

(véase el problema 38-40)

1 − α

2 0

(a) Trabajo newtoniano = ½(1 kg)(0.2c)2 − ½(1 kg)(0.1c)2 15 Trabajo newtoniano = 1.35 x 10 J

Trabajo relativista: α f

Δ Ek =

m0c 2

1−α

2 f

−

=

m0 c 2

1 − α

2 0

v f c

=

=

0.2c ; α f2 c

= 0.04;

m0 c2

m0 c2

1 − 0.04

−

1 − 0.01

αo

=

v0 c

=

0.1c ; α 02 c

= 0.01

; Trabajo = 0.0156m0 c 2

Trabajo relativista = 1.40 × 1015 J; Trabajo newtoniano = 1.35 × 1015 J (b) Trabajo newtoniano = ½(1 kg)(0.8c)2 − ½(1 kg)(0.7c)2 Trabajo newtoniano = 6.75 × 1015 J Trabajo relativista: α f

Δ Ek =

m0 c 2

1 − α f 2

−

=

v f c

=

m0 c 2

1 − α 02

0.8c c

=

; α f2

m0 c 2

1 − 0.64

= 0.64; −

αo

m0 c2

1 − 0.49

=

v0 c

=

0.7c c

; α 02

= 0.49

; Trabajo = 0.266m0 c 2

Trabajo relativista = 24.0 × 1015 J; Trabajo newtoniano = 6.75 × 1015 J

591



*38-49. Un electrón del átomo de hidrógeno cae desde el nivel n = 5 hasta el nivel n = 1. ¿Cuáles

son la frecuencia, la longitud de onda y la energía del fotón emitido? ¿En qué serie se presenta este fotón? ¿Cuánta energía debe absorber el átomo para que el electrón salte de nuevo al nivel quinto? 1 1 = (1.097 × 107 m−1 ) ⎜⎛ 2 − 2 ⎟⎞ λ ⎝1 5 ⎠ 1

λ = 95.0 nm

× 108 m/s) f = = λ 95.0 × 10−9 m c

(3

15 f = 3.16 × 10 Hz

E

= hf = (6.63 × 10−34 J/Hz)(3.16 × 1015 Hz) E = 2.09 × 10

–18

J o 13.1 eV

La serie que tiene n = 1 como su nivel final es: Serie de Lyman -18 La energía absorbida debe ser la misma: E abs = 2.09 × 10 J o 13.1 eV

*38-50. En el experimento fotoeléctrico ilustrado en la figura 38-15, una fuente de fem está

conectada en serie con un galvanómetro G. La luz que incide sobre el cátodo de metal produce fotoelectrones. La fuente de fem está polarizada contra el flujo de electrones y retarda su movimiento. La diferencia de potencial V 0 que apenas es suficiente para contener los fotoelectrones más energéticos se conoce como potencial de detención. Suponga que una superficie está iluminada con una luz cuya longitud de onda es 450 nm, por lo cual los electrones son emitidos por la superficie con una rapidez máxima de 6 × 105 m/s. ¿Cuál es la función de trabajo para esa superficie y cuál es el potencial de detención? (a) E k = ½mv2 = ½(9.1 ×10 –31 kg)(6 × 105 m/s)2; E k, = 1.64 × 10-19 J o 1.02 eV W

592

=

hc λ

− E k =

(6.63

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) − 1.64 × 10−19 J ; −9 450 × 10 m


–19

W = 2.78 × 10

J


(b) El potencial de detención debe proporcionar energía igual a (1e)V 0 = E c: 1.64 × 10−19 J V 0 = 1.6 × 10−19 J/V

= 1.02 V V 0 = 1.02 V

*38-51. En un experimento fotoeléctrico, una luz de 400 nm incide sobre cierto metal y algunos

fotoelectrones son emitidos. El potencial necesario para contener el flujo de electrones es 0.20 V. ¿Cuál es la energía de los fotones incidentes en este caso? ¿Cuál es la función de trabajo? ¿Cuál es la frecuencia de umbral? 2 Trabajo = Δ E k = ½mv ; Δ E k = qV = (1e)V

Así, E k = eV o E k = eV o = hf – W, donde V 0 es el potencial necesario para contener el flujo E =

hc λ

=

(6.63

× 10−34 J/Hz)(3 × 108 m/s) = 4.97 × 10−19 J −9 400 × 10 m E = 3.11 eV

W = E – eV = 3.11 eV – 0.20 eV; W = 2.91 eV f 0

=

W h

=

(2.91 eV)(1.6 × 10−19 J/eV) (6.63 × 10−34 J/Hz) 14 f 0 = 7.02 × 10 Hz

593



Tippens_fisica_7e_soluciones_38.pdf

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