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Capítulo 34. Reflexión y espejos Espejos planos 34-1. Un hombre de 1.80 m de estatura está a 1.2 m de un espejo plano grande. ¿Qué altura

tendrá su imagen? ¿Qué distancia hay entre él y su imagen? (Su (Su imagen es simétrica, invertida.) invertida.) 1.2 m

Distancia de la imagen q = distancia del objeto p: 1.8 m

s = 2 p = 2.4 m y’ = y = 1.8 m

34-2. ¿Cuál es la menor distancia focal necesaria para que una mujer de 1.68 m de estatura pueda

mirar en un espejo su imagen completa? ( La La imagen virtual está detrás del espejo. Los rayos demuestran que sólo se necesita la mitad de la longitud.) longitud.) Altura del espejo = (1/2) altura del objeto h =

5 ft, 8 in 2

1.68 m

; h = 2 ft, 10 in

No importa en dónde se pare.

*34-3. Un espejo plano se aleja de una persona inmóvil con una rapidez de 30 km/h. ¿Con qué

rapidez parece moverse la imagen de esa persona en dirección opuesta? Cada vez que el espejo se mueve, la imagen también se mueve, de modo que la velocidad se duplica: vi = 60 km/h

521

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 34

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*34-4. La palanca óptica es un dispositivo de medición muy sensible que aprovecha los

minúsculos giros de un espejo plano para medir pequeñas desviaciones. En la figura 34-19 se ilustra este dispositivo. Cuando el espejo está en la posición 1, el rayo de luz sigue la trayectoria IVR1. Si el espejo gira en un ángulo θ hasta la posición 2, el rayo seguirá la trayectoria IVR2. Demuestre que el haz reflejado gira describiendo un ángulo de 2θ , que es el doble del ángulo que ha descrito el espejo al girar. Recuerde los principios básicos del trazado de rayos y que el ángulo de incidencia siempre es igual al ángulo de reflexión. Mire la figura dibujada en la página siguiente.

*34-4. (Cont.) Demuestre que el rayo derivado rota en un ángulo equivalente a dos veces el

ángulo que gira el espejo. En la posición inicial horizontal, θ i = θ r. Ahora, en la figura: θ i 1 = θ i 1 + θ ; θ r 2 = θ r 1 + θ ; θ i 2 = θ r 2 = (θ i 1 + θ )

+ (θ r 1 + θ ); ∠ R1 R2 = 2θ

Espejos esféricos 34-5. Una lámpara de 3 cm de alto se coloca a 20 cm del frente de un espejo cóncavo que tiene

un radio de curvatura de 15 cm. Calcule la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma en él. Trace el diagrama de la trayectoria de los rayos de luz. [y = 3 cm, p = 20 cm] q=

pf p − f

=

(20 cm)(7.5 cm) 20 cm − 7.5 cm

;

q = 12 cm, real M =

y ' y

=

−q

p

; y' =

− qy

p

=

−(12 cm)(3 cm)

(20 cm)

;

y’ = −1.80 cm; q = 12.0 cm, y’ = −1.80 cm, real, invertida y disminuida

522


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34-6. Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 20 cm. ¿Cuáles son la naturaleza, el

tamaño y la ubicación de la imagen que se forma cuando un objeto de 6 cm de altura se coloca a 15 cm de este espejo? q=

pf p − f

=

(15 cm)(20 cm) 15 cm − 20 cm

; C

q = −60 cm, virtual y alargada M =

y ' y

=

−q

p

; y' =

− qy

p

=

−( −60 cm)(6 cm)

(20 cm)

Ima en virtual

F ;

y’ = +18 cm; q = −60 cm; y’ = 18.0 cm, virtual, erecta y alargada

34-7. Un lápiz de 8 cm de largo se coloca a 10 cm de un espejo divergente que tiene 30 cm de

radio. Determine la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma. Trace el diagrama de la trayectoria de los rayos. Para el espejo divergente: f = (R/2) = −15 cm q=

pf p − f

=

(10 cm)( − 15 cm) 10 cm − ( − 15 cm)

Ima en virtual

; F

C

q = −6.00 cm, virtual M =

y ' y

=

−q

p

; y' =

− qy

p

=

−( −6 cm)(8 cm)

(10 cm)

;

y’ = +4.80 cm q = −6.00 cm, y’ = 4.80 cm; virtual, erecta y disminuida

523



34-8. Un espejo esférico convexo tiene una distancia focal de 25 cm. ¿Cuáles son la naturaleza, el

tamaño y la ubicación de la imagen de un objeto de 5 cm de alto colocado a 30 cm del espejo? Para el espejo divergente: q=

pf p − f

=

Ima en virtual

(30 cm)( − 25 cm) 30 cm − ( − 25 cm)

; F

q = −13.6 cm, virtual M =

y ' y

=

−q

p

; y' =

− qy

p

=

−( −13.6 cm)(5 cm)

(30 cm)

C

;

y’ = +2.27 cm q = −13.6 cm, y’ = 2.27 cm; virtual, erecta y disminuida

34-9. Un objeto de 5 cm de altura se coloca a medio camino entre el punto focal y el centro de

curvatura de un espejo esférico cóncavo que tiene 30 cm de radio. Calcule la ubicación y la amplificación de la imagen. f = ( R/2) = 15 cm; p = 22.5 cm q=

pf p − f

=

(22.5 cm)(15 cm) 22.5 cm − 15 cm

;

C F

q = 45 cm, real M =

y ' y

=

−q

p

; M =

−( 45 cm)

(22.5 cm)

;

M = −2.00 q = 45.0 cm, M = −2.00; real, invertida y alargada

34-10. Una fuente luminosa de 4 cm de altura se coloca frente a un espejo esférico cóncavo cuyo

radio mide 40 cm. Calcule la naturaleza, el tamaño y la ubicación de las imágenes que se forman con las siguientes distancias del objeto: (a) 60 cm, (b) 40 cm, (c) 30 cm, (d) 20 cm y (e) 10 cm. Trace los diagramas apropiados con las trayectorias correspondientes de los rayos de luz. ( Debido al espacio reducido, aquí no se dibujan los esquemas). Datos: f = (40 cm/2) = 20 cm; y = 4 cm, p = 60, 40, 30, 20 y 10 cm.

524



q=

pf p − f

(a) q =

; M =

(40 cm)

(30 cm)

20 cm − 20 cm

(20 cm)

10 cm − 20 cm

= −4 cm, invertida


= ∞, no hay imagen

−(∞)(4 cm)

(10 cm)(20 cm)


= 60 cm, real

−(60 cm)(4 cm)

(20 cm)(20 cm)

p

= 40 cm, real

−(40 cm)(4 cm)

30 cm − 20 cm

− q y

= 30 cm, real

(60 cm)

(30 cm)(20 cm)

y ' =

; y' =

−(30 cm)(4 cm)

40 cm − 20 cm

y ' =

(e) q =

p

(40 cm)(20 cm)

y ' =

(d) q =

−q

60 cm − 20 cm

y ' =

(c) q =

=

(60 cm)(20 cm)

y ' =

(b) q =

y '

= ∞, no hay imagen

= −20 cm, virtual

−( −20 cm)(4 cm)

(10 cm)

= 8 cm, erecta

34-11. ¿A qué distancia de un espejo esférico cóncavo de 30 cm de radio se deberá colocar un

objeto para que se forme una imagen invertida amplificada a 60 cm del espejo? Alargada e invertida significan que el objeto está entre F y C y la imagen está más allá del radio. f = (R/2) = (30 cm/2); f = +15 cm q = +60 cm , positivo puesto que la imagen es real. p =

qf q − f

=

(60 cm)(15 cm) 60 cm − 15 cm

;

C F

p = 20 cm

525



Amplificación 34-12. ¿Cuál es la amplificación de un objeto que está colocado a 10 cm de un espejo, su imagen

no está invertida y parece estar ubicada 40 cm detrás del espejo? ¿El espejo es divergente o convergente? ( Imagen erecta indica espejo divergente.) q = −40 cm , p = 10 cm M =

−q

p

=

−( −40 cm)

10 cm

C ;

Ima en virtual

F M = −4.00

34-13. Una esfera de Navidad tiene una superficie plateada y su diámetro es de 3 in. ¿Cuál es la

amplificación de un objeto colocado a 6 in de la superficie de ese adorno? [R = D/2] f =

R 2

−q =

M =

=

−1.5 in

2

; f = −0.75 in (–) puesto que es convergente Ima en virtual

(6 in)( − 0.75 in) 6 in − ( − 0.75 in) −q

p

=

; q = −0.667 in, virtual C F R = 3 in

−(−0.667 in)

6.00 in M = +0.111

34-14. ¿Qué tipo de espejo se necesita para formar una imagen en una pantalla colocada a 2 m de

distancia cuando un objeto se coloca a 12 cm del frente del espejo? ¿Cuál es la amplificación? Debe ser un espejo convergente, ya que la imagen es real. También, respecto a la posición y el tamaño, debe ser alargada e invertida. Así , q = +2.00 m, p = 12 cm M =

f =

−q

p

=

pq p + q

−(2 m)

0.12 m =

C ; M = −16.7

(0.12 m)(2 m) 0.12 m + 2 m

F

;

f = +11.3 cm. Positivo significa que es convergente

526



*34-15. Un espejo cóncavo para afeitarse tiene una distancia focal de 520 mm. ¿A qué distancia

de él debe colocarse un objeto para que la imagen no aparezca invertida y tenga el doble de su tamaño real? M =

−q

p

−2 p =

pf

= +2; q = −2 p; q =

pf p − f

p − f

;

C F

; − 2( p − f ) = f ;

−2 p + 2 f = f ;

p=

f 2

=

Ima en virtual

520 mm 2 p = 260 mm

*34-16. Si se desea una amplificación de +3, ¿a qué distancia del espejo del problema 34-15

deberá colocarse el objeto? M =

−q

p

= +3; q = − 3 p; q =

−3 p + 3 f = f ;

p=

2 f 3

=

pf p − f

; −3 p =

2(520 mm) 3

pf p − f

; − 3( p − f ) = f ;

; p = 347mm

*34-17. Un objeto se coloca a 12 cm de la superficie de un espejo esférico. Si se forma una

imagen no invertida de un tercio del tamaño del objeto, ¿cuál es el radio del espejo? ¿El espejo es convergente o divergente? ( Es divergente, ya que la imagen es erecta y disminuida.) M =

f =

−q

p

1

−p

3

3

=+ ; q=

pq p + q

=

=

−(12 cm)

(12 cm)( − 4 cm) 12 cm + ( − 4 cm)

3

; q = −4 cm

; f = −6.00 cm, divergente

527



*34-18. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de 30 cm y forma una imagen invertida sobre

una pared a 90 cm de distancia. ¿Cuál es la amplificación? [f = (30 cm/2) = 15 cm; q = +90 cm] (90 cm)(15 cm)

p =

90 cm − 15 cm

= 18 cm; M =

−90 cm

18 cm

;

M = −5.00

Problemas suplementarios 34-19. ¿Cuáles son la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen que se forma cuando un

objeto de 6 cm de alto se coloca a 15 cm de un espejo esférico cóncavo que tiene una distancia focal de 20 cm? q =

(15 cm)(20 cm) 15 cm − 20 cm

y ' =

= −60 cm, virtual

−( −60 cm)(6 cm)

(15 cm)

C F

= 24 cm, erecta

Ima en virtual

q = −60.0 cm, y’ = 24.0 cm; virtual, erecta y alargada.

34-20. Una imagen no invertida tiene una amplificación de +0.6. ¿El espejo que la forma es

divergente o convergente? ¿Cuál es la distancia del objeto si la distancia de la imagen es −12 cm?

El espejo es divergente, ya que la imagen es disminuida, erecta y virtual M =

−q

p

= 0.6; p =

−q

0.6

=

−( −12 cm)

0.6

; p = 20 cm

528



34-21. Un objeto está colocado a 50 cm de un espejo convergente que tiene 40 cm de radio.

¿Cuáles son la distancia de la imagen y la amplificación? q=

pf p − f

(50 cm)(20 cm)

=

50 cm - 20 cm

;

q = 33.3 cm, real M =

y ' y

=

−q

=

p

−(33.3 cm)

(50 cm)

;

M = −0.667 q = 33.3 cm, M = −0.667; real, invertida y disminuida

34-22. ¿Cuál es la distancia focal de un espejo divergente si la imagen de un objeto ubicado a 200

mm de su superficie parece estar a una distancia de 120 mm detrás del espejo? f =

pq p + q

=

(200 mm)(−120 mm) 200 mm − ( − 120 mm)

; f = −75.0 mm

34-23. Una esfera de plata tiene 4.0 cm de diámetro. Localice la imagen de un objeto de 6 cm de

longitud colocado a 9 cm de la superficie de la esfera. ¿Cuál es la amplificación? [R = 4 cm/2 = 2 cm.] f = ( R/2) = (−2 cm/2) = −1 cm; p = 9 cm; q=

pf p − f

=

(9 cm)( − 1 cm) 9 cm − ( − 1 cm)

Ima en virtual

; q = −0.9 cm

M =

−q

p

=

−(−0.9 cm)

C F R = 4 cm

9.00 cm M = +0.100

529



34-24. Un objeto de 80 mm se coloca a 400 mm al frente de un espejo divergente cuyo radio es

de 600 mm. Determine la naturaleza, el tamaño y la ubicación de la imagen. f = ( R/2) = (−600 mm/2) = −300 mm q=

pf p − f

=

(400 mm)( − 300 mm) 400 mm − ( − 300 mm)

Ima en virtual

; q = −171 cm

y '

M =

y

=

−q

p

; y' =

−( −171 mm)(80 mm)

400 mm

;

C F R = 3 in

y’ = +34.3 mm

*34-25. Un objeto de 10 cm de altura ha sido colocado a 20 cm de un espejo esférico. Si se forma

una imagen no invertida de 5 cm, ¿cuál es la distancia focal del espejo? M =

f =

y ' y

=

5 cm 10 cm

pq p + q

=

= +0.5;

M =

(20 cm)( − 10 cm) 20 cm + ( − 10 cm)

−q

p

; q = − Mp = − (0.5)(20 cm); q = − 10 cm

; f = −20 cm

*34-26. ¿Cuál es la amplificación si la imagen de un objeto aparece a 15 cm de un espejo

divergente cuya distancia focal es −20 cm? [q = −15 cm; f = −20 cm] p =

qf q − f

M =

−q

p

=

=

( −15 cm)( − 20 cm) −15 cm − (−20 cm)

−( −15 cm)

60 cm

= 60 cm ;

; M = +0.250

530



*34-27. Un objeto se encuentra a 200 mm del vértice de un espejo esférico convexo que tiene

400 mm de radio. ¿Cuál es la amplificación del espejo? f = R/2 = −400 mm/2 = −200 mm; p = 200 mm q=

pq p − q

=

(200 mm)( − 200 mm) 200 mm − ( − 200 mm)

Ima en virtual p

; C

F

R = 400 mm.

q = −100 mm −q

Amplificación: M =

p

=

−(−100 mm)

200 mm

; M = +½

*34-28. Un espejo esférico convexo tiene −60 cm de radio. ¿A qué distancia se debe colocar un

objeto para que la imagen tenga un tercio del tamaño del objeto? f = R/ 2 = −60 cm/2 = −30 cm; M = − p

3

−q

p

=

=

1 3

pf p − f

;

;

q=−

p 3

;

M = +1/3

q=

Ima en virtual

pf p − f

( −1)( p − f ) = 3 f ;

− p + f − 3 f = 0 ;

C F R = −60 cm

p = −2f = −2(−30 cm); p = 60 cm

*34-29. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de un espejo esférico convexo para que produzca

una imagen que corresponda a la cuarta parte de la longitud de un objeto ubicado a 40 in del espejo? M =

−q

p

=

1 4

; q=

−p

4

−40 in + f = 4 f; f =

=

pf p− f

−40 in

3

;

− 1

4

=

f 40 in − f

;

;

f = −13.3 in; R = 2 f; R = −26.7 in

531



*34-30. Un espejo convexo tiene una distancia focal de −500 mm. Si un objeto se coloca a

400 mm del vértice, ¿cuál es la amplificación? q=

(400 mm)( − 500 mm) 400 mm − ( − 500 mm)

= −222 mm; M =

−q

p

=

− (− 222 mm)

400 mm

;

M = +0.556

*34-31. Con un espejo esférico se forma una imagen real a 18 cm de la superficie reflejante. La

imagen tiene el doble de tamaño que el objeto. Calcule la ubicación del objeto y la distancia focal de dicho espejo. Dado que la imagen es real y alargada, se hace un esquema como sigue: Nota: q = −18 cm, M = 2 (invertida) M =

−q

p

= −2;

p=

q 2

=

−( −18 cm)

2

;

C F

p = 9.00 cm f =

pq p + q

=

(9 cm)( − 18 cm) 9 cm +( − 18 cm) f = 6.00 cm

*34-32. Un espejo colocado a 2 m de un objeto produce una imagen no invertida tres veces

mayor. ¿El espejo es divergente o convergente? ¿Cuál es el radio del espejo? Una imagen erecta, alargada es consistente solamente para los espejos convergentes. M =

−q

p

= +3; q = −3 p = −3(2 m) ;

C

q = −6.00 m f =

pq p + q

=

(2 cm)( − 6 cm) 2 cm +( − 6 cm)

F

;

Ima en virtual

f = +3.00 cm, convergente

532



*34-33. La amplificación de un espejo es −0.333. ¿Dónde se ha colocado el objeto si su imagen

se forma sobre una cartulina a 540 mm del espejo? ¿Cuál es la distancia focal? M =

−q

p

= −0.333; p =

q 0.333

=

540 mm 0.333

;

p = 1.62 m f =

pq p + q

=

(1.62 m)(0.540 m) 1.62 m + 0.540 m

; f = +405 mm

*34-34. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de un espejo cóncavo para que produzca una imagen

de la cuarta parte del tamaño de un objeto colocado a 50 cm del espejo? La amplificación debe ser negativa si la imagen está disminuida por un espejo cóncavo: M =

−q

p

=−

1 4

; q=

p 4

=

(50 cm) 4

; q = 12.5 cm

f =

pq p + q

=

(50 cm)(12.5 cm) 50 cm + 12.5 cm

; f = +10 cm

*34-35. Un espejo esférico para afeitarse produce una amplificación de +2.5 cuando se coloca un

objeto a 15 cm de su superficie. ¿Cuál es la distancia focal del espejo? M =

−q

p

= +2.5; q = −2.5(15 cm) ;

C

q = −37.5 cm f =

pq p + q

=

(15 cm)( − 37.5 cm) 15 cm +( − 37.5 cm)

;

F

Ima en virtual

f = +25.0 cm, convergente

533



Problemas para la reflexión crítica 34-36. Un jugador de beisbol de 6 ft de estatura se coloca a una distancia de 30 ft enfrente de un

espejo plano. La distancia desde la parte más alta de su gorra hasta sus ojos es de 8 in. Trace un diagrama que muestre la ubicación de las imágenes que se formarán de sus pies y de la punta de su gorra. ¿Cuál es la longitud mínima que debe tener el espejo para que el jugador pueda ver su imagen completa? Si se aproxima 10 ft más al espejo, ¿cuál será la nueva distancia entre el objeto y la imagen? En el esquema de los rayos reflejados se aprecia que: y = ½(8 in) + ½(72 in – 8 in); ymín = 36 in y = ½(8 in) + ½(72 in – 8 in.); ymín = 36 in Puesto que la imagen del jugador se acerca a la misma velocidad que se mueve el jugador, la nueva distancia es 2(20 ft) = 40 ft

8

*34-37. La Luna tiene 3480 km de diámetro y está a 3.84 × 10 m de la Tierra. Un telescopio

sobre la Tierra utiliza un espejo esférico de 8.00 m de radio para formar una imagen de la Luna. ¿Cuál es el diámetro de la imagen así formada? ¿Cuál es la amplificación del 6

8

espejo? [ y = 3.48 × 10 m, p = 3.84 × 10 m] q=

pf p − f

M =

y ' y

=

=

(3.84 × 106 m)(4 m) 3.84 × 108 m − 4 m

−q

p

; M =

= 4.00 m (en F)

−4 m

3.84 × 108 m

Luna

; 8

M = −1.04 × 10− y ' = My = (−1.04 × 10−8 )(3.48 × 106 m) ; y = 3.62 cm

534



*34-38. Una imagen de 60 mm de longitud se forma sobre una pared a 2.3 m de una fuente

luminosa de 20 mm de alto. ¿Cuál es la distancia focal de este espejo? ¿Es divergente o convergente? ¿Cuál es la amplificación? ( La imagen está invertida de modo que si M es negativa la imagen es invertida.) q = p + 2.3 m; M =

−q

p

=

−( p + 2.3 m)

p

p

= −3 ;

C

p + 2.3 m = 3 p; p = 1.15 m; q = p + 2.3 m = 3.45 m f =

pq p + q

=

(1.15 m)(3.45 m)

F 2.3 m

;

1.15 m + 3.45 m

f = +0.862 m La longitud focal positiva indica que el espejo es convergente. M =

−q

p

=

−(3.45 m)

1.15 m

; M = −3.00

*34-39. Obtenga una fórmula para calcular la distancia focal de un espejo en función de la

distancia p al objeto y la amplificación M . Aplique esa fórmula al problema 34-25. Encuentre una relación similar que permita calcular la distancia q de la imagen en función de M y p. Aplíquela al problema 34-33. M =

−q

p

; q = − Mp; q =

pf p− f

; − Mp =

pf p − f

;

− M(p – f) = f; − Mp + Mf = f; Mf – f = Mp; f = M = 2.5, p = 15 cm; f =

M =

−q

p

; p=

−q

M

; p=

Mp ( M − 1)

qf q− f

;

=

−q

M

(2.5)(15 cm) (2.5 − 1) =

535

( M − 1) ; f = +25 cm

q f q − f

−(q – f) =M f; −q + f = Mf ; Mf – f = −q; f = M = −0.333, q = 540 mm; f =

p

−q

( M − 1)


=

−q

( M − 1)

−540 mm −0.333 − 1

; f = +405 mm


*34-40. Un espejo cóncavo de 800 mm de radio se coloca frente a frente con un espejo plano de

600 mm. Una fuente de luz colocada en el punto medio entre los espejos se acondiciona de manera que la luz se refleje primero en la superficie cóncava. ¿Cuáles son la posición y la amplificación de la imagen formada después de haberse reflejado en el espejo plano? (Sugerencia: considere la imagen formada por el primer espejo como el objeto para el segundo.) p C

q F 600 mm

p =

0.600 m 2

= 0.300 m;

f =

R 2

Imagen virtual

= 0.400 m

Encuentre primero q formada por el espejo esférico. q=

pf p − f

=

(0.300 m)(0.400 m) (0.300 m − 0.400 m)

;

q = −1.20 m (detrás del espejo)

Como el espejo plano está a 0.600 m a la izquierda del espejo esférico, la imagen final q’ = p’ es: q’ = 1.20 m + 0.600 m = 1.8 m; q’ = 1.8 m a la izquierda del espejo plano. M 1 =

−q

p

=

−( −1.2 m)

0.300 m

= +4; M 2 = +1; M 1 × M 2 = (+4)(+1) ;

M = +4

536



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