Tipos de Funciones. Funciones. 40 Ejercicios para practicar practicar con soluciones
1
Representa Representa en en los mismos ejes ejes las s iguientes funcion es: a) y = x 2;
b) y = 2x2;
c) y =
Solución:
2
y=x 2 y=2x 1 2 y= x 3
2
Representa Representa las siguientes funciones: a) y = x 2 b) y = x 3 c) y = x 4 Solución: 20 15 10 5
-4
-2
2
4
-5 - 10 - 15
3
Representa las siguientes rectas: a) y = 4 b) y = 4 - x
c) x = 4
1
1 2 x 3
Solución: a)
b)
y
c)
y
x
4
x
Solución: a)
b) y = 4 - x
b)
y
c) y =
c)
y
x
5
x
Representa las siguientes rectas: a) y = 2x - 1
y
2 x −3 5
y
x
Representa en los mismos ejes las s iguientes funcion es: a) y = x 2; b) y = x 2 + 1; Solución:
2
y=x 2 y=x +1 2 y=x -2
2
x
c) y = x 2 - 2
6
Representa en los mismos ejes las s iguientes funcion es: a) y = 2x 2- 2;
b) y = x 2;
c) y =
1 3
x 2 + 1
Solución:
2
y=x 2 y=2x -2 1 2 y= x +1 3
7
8
9
Escri be la ecuación de un a recta que tenga la misma ord enada en el ori gen que cada una de las que se dan a continuación: a) y = 4x - 3 b) y = -2x + 5 c) y = 4x d) y = 1 - x Solución: a) y = mx - 3 Siendo m cualquier número
b) y = mx + 5
c) y = mx
d) y = mx +1
Escri be la ecuación de una recta paralela a cada una de las que se dan a cont inuaci ón: a) y = 2x + 1 b) y = -3x - 2 c) y = -x + 3 d) y = x - 10 Solución: a) y = 2x + n b) y = -3x + n Siendo n cualquier número
c) y = -x + n
d) y = x + n
Basándote en la gráfica de y = x 2 indica la modificación que sufre para convertirse en la gráfica de las siguientes parábolas. 1 2 1 a) y = x b) y = 4x2 c) y = x 2 - 1 4 4
3
Solución: a)
b)
c)
a) La parábola se abre, creciendo más lentamente. b) La parábola se cierra, creciendo más deprisa. c) Igual que en a y además desciende una unidad.
10 Representa las sigui entes parábolas por trasl ación de y = x 2. a) y = (x - 2)2 b) y = x 2 - 2 c) y = (x - 2)2 + 2
Solución: a)
b)
c)
11 Explica qué movimiento se produce en cada caso respecto a la funci ón y = x 3 + 2x: a) y = (x + 1)3 + 2 (x + 1) b) y = x 3 + 2x 2 + 2
Solución: a) Traslación horizontal 1 a la izquierda. b) Traslación vertical 1 hacia arriba.
12 Representa las sigui entes parábolas por trasl ación de y = x 2. a) y = (x - 1)2 b) y = x 2 - 1 c) y = (x - 1)2 + 1
4
Solución: a)
b)
c)
13 En una mina, pagan un fij o a cada minero de 500 Euros más un i ncenti vo de 200 Euros p or cada m 3 excavado. Define mediante una función el sueldo de los mineros.
Solución: Conocemos la pendiente m = 200 y un punto de la recta (0,500) S = 200M + S0; S = 200M + 500
14 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = 3x 2 + 6x + 1 b) y = -x 2 + x + 2 c) y = 4x 2 - 12x + 3
Solución: a) x v = b) x v = c) x v =
−b 2a
−b 2a
−b 2a
= = =
−6 6 1 2 3 2
= −1;
y(-1 ) = −4
⇒ v = (-1,-4)
;
⎛ 1 ⎞ 9 y⎜ ⎟= ⎝ 2 ⎠ 4
⎛ 1 9 ⎞ ⇒ v=⎜ , ⎟ ⎝ 2 4 ⎠
;
⎛ 3 ⎞ y ⎜ ⎟ = −6 ⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ ⇒ v = ⎜ ,−6 ⎟ ⎝ 2 ⎠
eje : x = −1 eje : x =
1 2
eje : x =
3 2
15 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = x 2 + 4x + 3 b) y = x 2 - 2x + 1 c) y = 2x 2 - 3x + 1
Solución: a) x v = b) x v = c) x v =
−b 2a −b 2a
−b 2a
= = =
−4 2 2 2 3 4
= −2;
= 1;
;
y(-2 ) = -1 ⇒ v = (-2,-1)
y(1) = 0
⇒ v = (1,0)
⎛ 3 ⎞ − 1 ⎛ 3 − 1 ⎞ ⇒ v=⎜ , ⎟ ⎟= ⎝ 4 ⎠ 8 ⎝ 4 8 ⎠
y⎜
eje : x = -2 eje : x = 1 eje : x =
5
3 4
16 Halla la ecuación de una recta que cumpla las sig uientes condicion es: a) Tenga pendiente 1 y o rdenada en el ori gen -1 b) Tenga pendiente 4 y qu e pase por el pu nto (2,1) c) Que pase por l os p unto s (1,0) y (0,1)
Solución: a) y = x - 1
b) y = 4x - 7
c) y = -x + 1
17 Halla la ecuación de una recta que cumpla las sig uientes condicion es: a) Tiene pendiente -2 y que pase por (1,1) b) Sea paralela a y = 4x - 2 y que pase por (0,4) c) Que pase por l os p unto s (0,6) y (2,4)
Solución: a) y = -x + 3
b) y = 4x + 4
c) y = -x +
18 Encuentra el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = x 2 + 4x + 3 b) y = 3x 2 + 6x - 1 c) y = 3x 2 - 12x + 5
Solución: a) x v =
−b
=
−4
= −2; y(-2 ) = -1 ⇒ v = (-2,-1) 2a 2 − b −6 b) x v = = = −1; y(-1 ) = −4 ⇒ v = (-1,-4) 2a 6 − b 12 c) x v = = = 2; y(2) = −7 ⇒ v = (2,-7) 2a 6
eje : x = -2 eje : x = −1 eje : x = 2
19 Halla la ecuación de una recta que cumpla las sig uientes condicion es: a) Paralela a y = 2x + 1 y que pase por (0,4) b) Paralela a y = 2x + 1 y que pase por (1,2) c) Que pase por l os p unto s (0,0) y (2,2)
Solución: a) y = 2x + 4
b) y = 2x
c) y = x
20 A partir de la recta y = 2x, representa por tr aslaci ón verti cal : a) y = 2x + 1 b) y = 2x - 3 c) y = 2x - 5 d) y = 2x + 2
6
Solución: a)
b)
y
y
x
c)
x
d)
y
y
x
x
21 Representa las siguientes funciones: a) y =- x 2 +1 b) y = x 3 - 3x 2 - x c) y = x 4 - 4x 2 + 2
Solución: 10 5
-4
-2
2
4
-5 - 10 - 15
22 Halla el dominio de las siguientes func iones racionales: a) f(x) =
4x + 2 x2 − 1
b) g(x) =
x 2 + 2x + 1 x2 + 1
Solución: Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para todos los números reales excepto los que anulan el denominador. a) Dom (f) = R - {1,-1} b) El denominador no se anula nunca, por tanto Dom (g) = R
7
23 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones cuando x + 1 2x + 1 a) f ( x) x 4 b) g(x) = c) h(x) = x+4 x −1
24
Solución: a) Cuando x → + ∞ ⇒f (x) → + ∞ b) Cuando x → + ∞ ⇒g (x) → 0 c) Cuando x → + ∞ ⇒h (x) → 2
Para la función y =
4 x
construye una tabla de valores y representa la gráfica de la función.
Solución: x -6 -5
4/x -0,66... -0,8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 1,33... -2 -4 error 4 2 1,33... 1 0,8 0,66...
25 Representa las siguientes funciones: 3 a) y = x −3 b) y = x ¿Qué diferencias observas en las gráficas de ambas funciones?
8
Solución: Diferencias entre las gráficas: a) y = 3/x es una función decreciente, mientras que y = -3/x es creciente. b) En y = 3/x si x > 0 y>0 si x < 0 y<0 En y = -3/x si x > 0 y<0 si x < 0 y>0 Son simétricas respecto de los ejes OX y OY
26 Calcula las asíntotas verticales de las sigu ientes funciones: 2x + 4 2 a) f(x) = b) g(x) = 2 4−x x + x −6
Solución: Las funciones tienden a ±∞ cuando su denominador se anula, por tanto: a) f(x) tiende a ∞c uando x tiende a 4, por tanto la asíntota vertical es; x = 4 b) g(x) tiende a ∞c uando x tiende a -3 y a +2, por tanto las asíntotas verticales son; x = -3 y x = 2
27 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones cuando x + 1 x +1 a) f(x) = 2x − 1 b) g(x) = c) h(x) = 2x + 1 x −1
9
Solución: a) Cuando x → + ∞ ⇒f (x) → + ∞ b) Cuando x → + ∞ ⇒g (x) → 0 c) Cuando x → + ∞ ⇒h (x) → 1
28 Representa en los mismos ejes las s iguientes funcion es: 3 a) y = x 8 b) y = x 22 c) y = x 30 d) y = x ¿Qué observas respecto de la constante del numerador?
Solución:
A medida que el numerador es mayor, las ramas de la hipérbola están más separadas de los ejes.
29 Halla el dominio de las siguientes func iones racionales: a) f(x) =
1 x2 + x − 2
b) g(x) =
x2 + x − 2 x +1
Solución: Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para todos los números reales excepto los que anulan el denominador. a) Dom (f) = R - {1,-2} b) Dom (g) = R - {-1}
10
30 Calcula las asíntotas verticales de las sigu ientes funciones: 2x + 1 3 a) f(x) = b) g(x) = 2 2x + 1 x −1
Solución: Las funciones tienden a ±∞ cuando su denominador se anula, por tanto: a) f(x) tiende a ∞c uando x tiende a -1/2, por tanto la asíntota vertical es; x = -1/2 b) g(x) tiende a ∞c uando x tiende a -1 y a +1, por tanto las asíntotas verticales son; x = -1 y x = 1
31 Dadas las sigu ientes funciones: 2 3 −5 f(x) = g(x) = h(x) = + 2 x x x y las sigu ientes gráficas:
r(x) = 3x 2
As ig na a cada funci ón su gráfi ca.
Solución:
g(x) = −
32
5 x
Dada la función f(x) = a) g(x) =
r(x) = 3 x 2
f(x) =
2 x
h(x) =
3 x
+2
3 , represéntala gráficamente, y po r t raslación representa las siguientes funciones: x
3
+2 x 3 b) h(x) = − 3 x
11
Solución:
g(x) = 3/x +2 f(x)=3/x
h(x) = 3/x -3
Para representar la gráfica g(x) se traslada verticalmente la gráfica de f(x) dos unidades hacia arriba. La gráfica de h(x) se obtiene de trasladar verticalmente la gráfica de f(x) tres unidades hacia abajo
33 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones cuando x + y su dominio. 4x x −1 a) f(x) = x 2 + 2x − 1 b) g(x) = 2 c) h(x) = x +1 x − 2x + 1
Solución: a) Cuando x → + ∞ ⇒f (x) → + ∞; Dom f (x) = R b) Cuando x → + ∞ ⇒g (x) → 0; Dom g (x) = R - {1} c) Cuando x → + ∞ ⇒h (x) → 1; Dom h (x) = R - {-1}
34 Calcula las asíntotas hori zontales de las s iguientes funcion es: a) f(x) =
2x x 2 + 2x + 1
b) g(x) =
x 2 + 4x 2x 2 + 1
Solución: Una función tiene asíntota horizontal cuando al hacer tender la variable a ±∞ l a función tiende a un valor concreto: a) Cuando x tiende a ±∞ l a función tiende a 0, por tanto la asíntota horizontal es y = 0 b) Cuando x tiende a ±∞ l a función tiende a 1/2, por tanto la asíntota horizontal es y = 1/2
12
35
Dada la función f(x) = a) g(x) =
3 , represéntala gráficamente, y por traslación representa las sigu ientes funcio nes: x
3
x +2 3 b) h(x) = x −3
Solución: a)
b)
a) Se ha trasladado horizontalmente la gráfica f(x) (azul) dos unidades a la izquierda. b) Se ha trasladado horizontalmente la gráfica f(x) (azul) tres unidades a la derecha.
36
Dada la función f(x) =
−7
, la trasladamos horizontalmente 6 unidades a la izquierda y a continuación la x resultante la trasladamos verticalmente 2 unidades hacia arriba. ¿Qué función obtenemos? Solución: g(x) =
−7 +2 x+ 6
37 Halla el dominio de las siguientes func iones racionales: a) f(x) =
2x x 3 − x 2 − 4x + 4
b) g(x) =
x2 + 1 (x 2 − x − 2)(x + 3)
Solución: Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para todos los números reales excepto los que anulan el denominador. a) Dom (f) = R - {-2,1,2} b) Dom (g) = R - {-3,-1,2}
38 Calcula las asíntotas hori zontales de las s iguientes funcion es: a) f(x) =
4x + 1
− 3x − 10
b) g(x) =
13
4x 2 + 6x + 3 2x 2 − 1
Solución: Una función tiene asíntota horizontal cuando al hacer tender la variable a ±∞ l a función tiende a un valor concreto: a) Cuando x tiende a ±∞ l a función tiende a -4/3, por tanto la asíntota horizontal es y = -4/3 b) Cuando x tiende a ±∞ l a función tiende a 2, por tanto la asíntota horizontal es y = 2
39 Con ayuda de la calculadora crea una tabla que te permita estudiar la tendencia de las siguientes funciones cuando x + y su dominio. 1 x +1 a) f(x) = −2x + 2 b) g(x) = c) h(x) = 2x − 1 − 2x + 2
Solución: a) Cuando x → + ∞ ⇒f (x) → m ∞; Dom f (x) = R b) Cuando x → + ∞ ⇒g (x) → 0; Dom g (x) = R - {1} c) Cuando x → + ∞ ⇒h (x) → 1/2; Dom h (x) = R - {1/2}
40 Halla el dominio de las siguientes func iones racionales: x 1 a) f(x) = 3 b) g(x) = 2 2 x + 2x − 5x − 5 x + x −2
Solución: Las funciones racionales cuyos numerador y denominador están formados por polinomios, están definidas para todos los números reales excepto los que anulan el denominador. a) Dom (f) = R - {-3,-1,2} b) Dom (g) = R - {-2,1}
14
