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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística INTERVALO DE CONFIANÇA 1.

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA

O processo de construção do intervalo de confiança para a média de uma população depende se o desvio padrão da população () é conhecido ou deve ser estimado com base nos valores amostrais (desvio padrão amostral S), e também se o tamanho da amostra é grande (n  30). Mostramos abaixo o intervalo de confiança de acordo com o tamanho da amostra e do conhecimento do desvio padrão da população: X  z.

X  t.



n

: para amostra grande (n  30) ou com  conhecido



n

: para amostra pequena (n < 30) e com  conhecido

Obs: Caso o desvio padrão populacional – σ – seja desconhecido (não é fornecido ou não pode ser calculado), usaremos no seu lugar o desvio padrão amostral – s. fiança ), A questão fornecerá um n ív el d e co n fi an ça (ou gr au d e con fiança ), para podermos definir o nosso intervalo de confiança! Faremos uma ilustração do intervalo de confiança (IC) para a média populacional, no caso do desvio padrão populacional conhecido, que é dada pela seguinte fórmula:

IC  X  z .



n Teremos o seguinte desenho:

O centro deste intervalo é o

X

, o limite inferior é

X



z.



n

e o limite superior é

X



z.



.

n

E o desenho do intervalo de confiança sob a curva normal para determinado grau de confiança:

O desenho acima é visto para a variável X, e o desenho equivalente para a variável padronizada Z é mostrado a seguir. – e você? Eu Vou Passar – 1 http://www.euvoupassar.com.br

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2.

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO

A estimativa de proporções populacionais é muito semelhante à de médias populacionais, com uma simplificação: a distribuição t de Student não é usada , e assim evita-se completamente o problema t versus z.

Fórmula do Intervalo de confiança A proporção amostral (p) é utilizada como estimativa pontual da verdadeira proporção. Por exemplo, se estamos interessados em saber a proporção (ou porcentagem) de peças defeituosas num grande lote, e selecionando uma amostra de 40 peças, encontramos 5 peças defeituosas, então a proporção p da amostra é 5/40 ou 12,5%. A estimativa intervalar (intervalo de confiança) da proporção populacional é simétrica em relação à proporção amostral (p), tal como ocorre com o intervalo para a média populacional em relação à média amostral ( X ). E a sua fórmula é a seguinte:

p



z.

p . (1  p) n

QUESTÕES DE CONCURSOS 01. (FCC) A vida de determinado equipamento apresenta uma distribuição normal com um desvio-padrão populacional de 400 horas. Extrai-se uma amostra aleatória de 100 equipamentos e obtém-se uma vida média de 2.000 horas para este equipamento. Considerando a população de tamanho infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z), que P(Z >1,64) = 5%, tem-se um intervalo de confiança de 90% para a vida média dos equipamentos igual a: a) [1.800,00; 2.200,00] b) [1.967,20; 2.032,80] c) [1.934,40; 2.065,60] d) [1.639,20; 2.360,80] e) [1.344,00; 2.656,00]

Para responder a questão abaixo, considere que P(0 < z < 1,64) = 0,475. 02. (FCC) Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é: 2

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você?

Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística a) b) c) d) e)

64%  3,9% 64%  4,2% 64%  4,7% 64%  5,1% 64%  5,6%

03. (ESAF) Uma amostra aleatória de tamanho 400 de uma distribuição normal foi observada, verificandose uma média amostral igual a 20,3 com desvio padrão a 2,0. Um intervalo de confiança com 95% de nível de confiança para a média populacional será dado pôr a) (16,734; 23,866) b) (18,736; 21,864) c) (19,078; 21,522) d) (20,104; 20,496) e) (19,749; 20,851) 04. (ESAF) Uma empresa grande de processamento de dados leva a efeito uma pesquisa de opinião sobre o nível de satisfação de seus empregados com os respectivos empregos. Neste contexto 100 empregados, de uma população infinita, sob objetivos práticos, são selecionados ao acaso e questionados. Destes, 50 mostraram-se satisfeitos ou muito satisfeitos com seus empregos. Assinale a opção que caracteriza o intervalo com coeficiente de confiança de 95%, simétrico, para a proporção populacional desconhecida de empregados satisfeitos ou muito satisfeitos com seu emprego. (Use em seus cálculos o Teorema Central do Limite e a tabela da distribuição normal padrão dada abaixo, aproximando o valor encontrado na tabela para o inteiro imediatamente superior). A tabela abaixo dá os valores de P{0 < X < Z} = 0,4406. Z 1,0 1,5 1,9 2,0 a) b) c) d) e)

00 0,3413 0,4332 0,4332 0,4772

06 0,3554 0,4406 0,4750 0,4803

08 0,3599 0,4429 0,4761 0,4812

0,40 – 0,60 0,49 – 0,51 0,30 – 0,70 0,20 – 0,80 0,45 – 0,55

05. (ESAF) Uma amostra aleatória simples de tamanho 9 de uma população com distribuição normal levou ao cálculo de uma média amostral igual a 32 e ao cálculo de uma variância amostral igual a 225. Construa um intervalo de 95% de confiança para a média da população. a) 27,1 a 36,9 b) 22,2 a 41,8 c) 12,4 a 51,6 d) 2,6 a 61,4 e) –17 a 81 06. (FCC) Em uma pesquisa de tributos de competência estadual, em 2008, realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma população considerada de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95,5% para a estimativa dessa proporção. Considerando normal a distribuição amostral da frequência relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuição normal padrão a probabilidade P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 95,5%, o intervalo é

a) b) c) d) e)

[0,70; 0,90] [0,72; 0,88] [0,74; 0,86] [0,76; 0,84] [0,78; 0,82]

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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística 07. (FCC) Em um determinado ramo de atividade, os salários dos empregados são considerados normalmente distribuídos com uma média  e uma variância populacional igual a 1.600 (R$) 2. Uma amostra aleatória com 100 destes empregados apresentou uma média de R$1.000,00 para os salários. Deseja-se, com base nesta amostra, obter um intervalo de confiança para a média  com um nível de confiança de 95%, considerando a população de tamanho infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(z > 2) = 0,025. O intervalo, com os valores em R$, é igual a a) [960,00; 1.040,00] b) [992,00; 1.008,00] c) [994,00; 1.006,00] d) [996,00; 1.004,00] e) [920,00; 1.080,00] 08. (ESAF) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) é a função de distribuição de uma variável normal padrão Z. a) 44,08 a 51,92 b) 41,78 a 54,22 c) 38,2 a 57,8 d) 35,67 a 60,43 e) 32,15 a 63,85 09. (FCC) A vida das lâmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma distribuição normal com variância populacionais igual a 400 (horas)2. Extrai-se uma amostra de 64 lâmpadas e verifica-se que a respectiva vida média é igual a 1.200 horas. Considerando a população de tamanho infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(Z < 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas é a) [1.160 , 1.240] b) [1.164 , 1.236] c) [1.180 , 1.220] d) [1.184 , 1.216] e) [1.195 , 1.205] 10. (CESGRANRIO) Um levantamento realizado a respeito dos salários recebidos por uma determinada classe profissional utilizou uma amostra de 100 destes profissionais, na qual foram observados uma média de R$ 2.860,00 e um desvio padrão de R$ 786,00. Qual será, em reais, o desvio padrão da distribuição das médias amostrais dos salários desta classe de profissionais? a) 3,64 b) 7,86 c) 78,60 d) 786,00 e) 7.860,00 Para responder à questão seguinte considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da função de distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente. Tabela 1 x F(x) 1,20 0,885 1,60 0,945 1,64 0,950

Tabela 2 x F(x) 1,37 0,90 1,81 0,95 2,36 0,98

Tabela 3 x F(x) 1,75 0,95 2,25 0,98 2,60 0,99

11. (FCC) O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuição normal com média  e desvio padrão desconhecido. Uma amostra de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para , com coeficiente de confiança de 96 é dado por: 4


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3,0  0,37 3,0  0,41 3,0  0,45 3,0  0,68 3,0  0,73

12. (FCC) Os salários dos empregados de determinado ramos de atividade apresentam uma distribuição normal com uma variância populacional desconhecida. Uma amostra aleatória de 16 empregados deste ramo foi analisada apresentando uma média igual a R$ 1.500,00 e um desvio padrão igual a R$ 200,00. Considerando a população de tamanho infinito e t0,025 o quantil da distribuição t de Student para teste unicaudal tal que P(t > t0,025) = 0,025 com n graus de liberdade, obteve-se um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. O intervalo obtido, com os valores em reais, foi igual a Dados: Graus de liberdade 14 15 16 a) b) c) d) e)

t0,025 2,15 2,13 2,12

[1.473,50; 1.526,50] [1.473,00; 1.527,00] [1.394,00; 1.606,00] [1.393,50; 1.606,50] [1.392,50; 1.607,50]

13. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0 < Z < 1,75) = 0,46 Deseja-se estimar a proporção (p) de processos julgados por um tribunal regional do trabalho durante o período de 2000 até 2008. Uma amostra aleatória de 10.000 processos, selecionada da população (suposta infinita) de todos os processos, revelou que 5.000 foram julgados no referido período. Um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança de 90% para p, baseado nessa amostra, é dado por a) 0,5  0,005 b) 0,5  0,0062 c) 0,5  0,0065 d) 0,5  0,0082 e) 0,5  0,01

14. (ESAF) Construa um intervalo de 95% de confiança para a média de uma população normal a partir dos dados de uma amostra aleatória simples de tamanho 64 desta população, que forneceu uma média de 48 e um desvio-padrão amostral de 16, considerando que (1,96) = 0,975, onde (z) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z. a) 44,08 a 51,92 b) 41,78 a 54,22 c) 38,2 a 57,8 d) 35,67 a 60,43 e) 32,15 a 63,85 A média e o desvio padrão amostral dos salários Z de uma amostra aleatória simples de 625 empregados de indústrias do ramo têxtil são, respectivamente, iguais a R$ 600,00 e R$ 400,00. Considere que Z siga uma distribuição normal padrão e que P(Z < 2,5) = 0,994. 15. (CESPE) O intervalo de confiança de 98,8% para o salário médio da população dos empregados de indústria têxtil é 5


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R$ 600,00 ± R$ 1,60. R$ 600,00 ± R$ 16,00. R$ 600,00 ± R$ 40,00. R$ 600,00 ± R$ 400,00. R$ 600,00 ± R$ 1.000,00.

16. (FGV) Uma amostra aleatória simples de tamanho 400 de uma variável populacional normalmente distribuída com média  desconhecida e variância igual a 25 foi observada e indicou uma média amostral igual a 12,52. O intervalo de 95% de confiança para  é dado por: Dados: Se Z tem distribuição normal padrão, P [0 < Z < 0,45] = 1,64; P [0 < Z < 0,475] = 1,96; P [0 < Z < 0,49] = 2,33 a) b) c) d) e)

(12,03 , 13,01) (11,65 , 13,39) (10,99 , 15,05) (10,44 , 15,60) ( 9,99 , 16,05)

17. (FGV) Um processo X segue uma distribuição normal com média populacional desconhecida, mas com desvio-padrão conhecido e igual a 4. Uma amostra com 64 observações dessa população é feita, com média amostral 45. Dada essa média amostral, a estimativa da média populacional, a um intervalo de confiança de 95%, é a) (41;49) b) (37;54) c) (44,875;45,125) d) (42,5;46,5) e) (44;46) De acordo com determinada pesquisa, o tempo médio de espera de um passageiro em uma rodoviária, desde a chegada ao terminal até o embarque no ônibus, é de 20 minutos. O desvio padrão dos tempos de espera é, também, de 20 minutos e o tamanho da amostra dessa pesquisa é n = 900. Considerando que a pesquisa tenha sido feita por amostragem aleatória simples, julgue os itens a seguir. 18. (CESPE) Com 95% de confiança, a estimativa intervalar do tempo médio de espera de um passageiro na população equivale a 20 minutos  20 minutos.

19. (CESGRANRIO) Um fabricante deseja fazer um estudo, com uma confiança de 95%, a respeito da aceitação de um dos seus produtos com a finalidade de lançá-lo em um novo mercado. Esse novo lançamento somente será comercialmente viável se o índice de aceitação do produto for, pelo menos, de 90%. Para tal, realizou uma pesquisa de mercado em uma das cidades onde seu produto já é comercializado. Foi perguntado aos consumidores se gostaram (aceitaram) do produto. O resultado foi o seguinte:

 850 consumidores responderam que gostaram do produto e  150 consumidores responderam que não gostaram do produto. Qual será a estatística de teste a ser utilizada nesse teste? a) -5,27 b) -1,96 c) -1,65 d) 1,96 e) 5,27 6


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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística 20. (CESGRANRIO) Em uma pesquisa de opinião, 400 pessoas de uma cidade são entrevistadas aleatoriamente e 50% se dizem favoráveis à construção de uma nova praça. Um intervalo de 95% de confiança para essa proporção, aproximadamente, é a) b) c) d) e)

[40% ; 60%] [45% ; 55%] [46,25% ; 53,75%] [47,5% ; 52,5%] [48,75% ; 51,25%]

21. (CESPE) Um levantamento estatístico foi realizado com o objetivo de estimar o percentual populacional () de usuários satisfeitos com os serviços de transporte publico de uma cidade. De um grupo de 400 usuários selecionados por amostragem aleatória simples, 320 se mostraram satisfeitos com esses serviços. Considerando que P( Z < 2) = 0,9545, em que Z representa a distribuição normal padrão, assinale a opção correspondente ao intervalo de 95,45% de confiança do percentual. a) b) c) d) e)

80% ± 8% 80% ± 10% 80% ± 20% 80% ± 2% 80% ± 4%

22. (ESAF) Para estimar a proporção π de fumantes de uma Universidade, foi retirada uma amostra aleatória de 1600 universitários. Na amostra foi constatado que 20% dos universitários são fumantes. Sabe-se que, para construir um intervalo de aproximadamente 95% de confiança para a proporção, no caso de fumantes, o valor tabelado é aproximadamente igual a 2 desvios-padrão. Com essas informações, e considerando o mesmo nível de confiança, o intervalo de confiança para a proporção de fumantes é igual a: a) b) c) d) e)

 

P 0,2

   P 0,2   P 0, 2   P 0,2    P 0,2  

 0,2 . 0,8    2  95%   40   

 0,2 . 0,8    2    95%  40    0,15 . 0,85   2   95%  40   0,3 . 0,7   2   95%  40   0,2 . 0,8    95%  2  60    

23. (FCC) A duração de vida de um determinado equipamento apresenta uma distribuição normal com uma variância populacional igual a 100 (dias) 2. Uma amostra aleatória de 64 desses equipamentos forneceu uma média de duração de vida de 1.000 dias. Considerando a população de tamanho infinito, um intervalo de confiança de (1 − α) com amplitude de 4,75 dias para a média foi construído. Caso o

tamanho da amostra tivesse sido de 400, obtendo-se a mesma média de 1.000 dias, a amplitude do intervalo de confiança de (1 − α) seria de

a) b) c) d) e)

0,950 dias. 1,425 dias. 1,900 dias. 2,375 dias. 4,750 dias.

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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística 24. (FCC) Em uma cidade com uma grande quantidade de eleitores, certo candidato encomenda uma pesquisa visando verificar qual será a proporção de votos a seu favor, estabelecendo que o erro amostral da proporção seja no máximo 2%. Para a pesquisa considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos eleitores que manifestaram seu interesse em votar no candidato e que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P (|Z| ≤ 1,8) = 93%. O resultado da pesquisa

apresentou p = 0,5 e com um intervalo de confiança de 93%. O tamanho da amostra foi então de a) 8.000 b) 5.000 c) 4.000 d) 2.500 e) 2.025

25. (FCC) A população das medidas dos comprimentos de um tipo de cabo é considerada normalmente distribuída e de tamanho infinito. Seja μ a média desta população com uma variância populacional igual a 2,56 m 2. Uma amostra aleatória de 64 cabos apresentou um intervalo de confiança de (1  ), em metros, igual a [61,6 ; 62,4]. Se na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(Z  z)   , 2

então z é igual a a) 0,80 b) 1,20 c) 1,60 d) 2,00 e) 2,40

26. (FCC) Uma população normal e de tamanho infinito apresenta uma média μ e variância populacional igual a 0,81. Pretende-se obter, a partir de uma amostra aleatória de tamanho 144 dessa população, um intervalo de confiança de 95% para μ. Considerando na distribuição normal padrão (Z) as

probabilidades P(z > 1,96) = 0,025 e P(z > 1,64) = 0,05, o intervalo apresenta uma amplitude de a) b) c) d) e)

0,246 0,264 0,294 1,764 3,528

Instruções: Para resolver a questão de número 27, considere as informações a seguir. Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,84) = 0,80.

P(Z < 1,5) = 0,933.

P(Z < 1,96) = 0,975.

P(Z < 2,5) = 0,994.

27. (FCC) Desejando-se estimar a média  dos salários de uma população, que deve ser considerada de tamanho infinito, com desvio padrão conhecido e igual a R$ 100,00, selecionou-se uma amostra aleatória de 100 elementos da população que forneceu os resultados apresentados na tabela abaixo: Classes de salários (em reais) 1500 2500 2500 3500 3500 4500 4500 5500 Total

Frequência Absoluta x x + 15 y+9 y 100

Sabendo-se que x – y = 2, e utilizando para a estimativa pontual de  a média aritmética dos 100 salários apresentados, calculada considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, um intervalo de confiança para , com coeficiente de confiança de 95%, é, em reais, dados por 8


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(3410,40; 3449,60) (3410,00; 3450,00) (3420,60; 3459,40) (3400,40; 3439,60) (3409,40; 3450,60)

28. (FCC) O intervalo de confiança [224,8; 233,0] para a média populacional de uma variável X, normalmente distribuída, foi obtido por meio de uma amostra aleatória de tamanho 100. Para a obtenção do intervalo considerou-se a população de tamanho infinito, um nível de confiança de 90% e a informação de que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(Z > 1,64) = 0,05. A variância populacional da variável X é, no caso, a) 400. b) 441. c) 529. d) 625. e) 729. 29. (FCC) As medidas dos comprimentos de uma peça fabricada por uma empresa apresentam uma distribuição normal com desvio padrão desconhecido. Uma amostra aleatória de 9 peças apresentou uma média igual a 85 cm e um desvio padrão igual a 15 cm. Considerando a população de tamanho infinito e t0,005 o quantil da distribuição t de Student para teste unicaudal tal que P(t > t 0,005) = 0,005 com n graus de liberdade, obteve-se, com base nessa amostra, um intervalo de confiança de 99% para a média populacional. Este intervalo de confiança, em cm, é igual a Dados: n t0,005 a) b) c) d) e)

7 3,50

8 3,36

9 3,25

10 3,17

[67,50 ; 102,50]. [68,20 ; 101,80]. [68,75 ; 101,25]. [69,15 ; 100,85]. [69,50 ; 100,50].

30. (FCC) Em uma pesquisa eleitoral realizada com 600 eleitores escolhidos aleatoriamente, 360 mostraram-se favoráveis ao candidato X. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X com base nessa amostra. Para isto, considerou-se normal a distribuição da frequência relativa dos eleitores que são favoráveis ao candidato X, a população de tamanho infinito e que na distribuição normal padrão (Z) a probabilidade P(|Z|  1,96) = 95%. A amplitude deste intervalo é igual a a) 7,84%. b) 6,86%. c) 5,88%. d) 4,90%. e) 3,92%. 31. (FCC) Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal com uma variância igual a 2,25 e uma população considerada de tamanho infinito. Uma amostra aleatória de tamanho igual a 144, desta população, apresentou uma média igual a 20 e um intervalo de confiança de amplitude igual a 0,55, a um nível de confiança (1 − α). Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 100 e a média da amostra apresentasse o mesmo valor encontrado na amostra anterior, o intervalo de confiança, a um nível de confiança (1 − α), seria igual a

a) b) c) d) e)

[19,895 ; 20,105]. [19,865 ; 20,135]. [19,835 ; 20,165]. [19,670 ; 20,330]. [19,340 ; 20,660]. 9


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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística 32. (FCC) Uma pesquisa realizada com 8.400 habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70% deles estavam satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito e que, na curva normal padrão Z, a probabilidade P(Z > 1,96) = 0,025. Considerando a cidade com uma população de tamanho infinito, o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 95%, com base no resultado da amostra, é a) [65,10% ; 74,90%]. b) [66,08% ; 73,92%]. c) [67,06% ; 72,94%]. d) [68,04% ; 71,96%]. e) [69,02% ; 70,98%]. 33. (FCC) Em uma empresa, verifica-se que os salários de seus empregados apresentam uma distribuição normal com um desvio padrão de R$ 160,00. Selecionando aleatoriamente, sem reposição, 400 destes funcionários, obteve-se um intervalo de confiança de 95% para a média da população dos salários. Considerando na curva normal padrão Z a probabilidade P(Z > 1,96) = 0,025, a amplitude deste intervalo é igual a a) R$ 12,25. b) R$ 31,36. c) R$ 36,75. d) R$ 49,00. e) R$ 61,25. 34. (FGV) Para estimar a proporção p de pessoas acometidas por uma certa gripe numa população, uma amostra aleatória simples de 1600 pessoas foi observada e constatou-se que, dessas pessoas, 160 estavam com a gripe. Um intervalo aproximado de 95% de confiança para p será dado por: a) (0,066, 0,134) b) (0,085, 0,115) c) (0,058, 0,142) d) (0,091, 0,109) e) (0,034, 0,166) 35. (CESGRANRIO) Uma empresa de consultoria em recursos humanos deseja conhecer o salário médio praticado pelo mercado para a remuneração de uma determinada classe profissional. Para tal, terá de extrair uma amostra dos salários desses profissionais para inferir o valor do salário médio da população. É desejada uma confiança de 95%, e o erro de amostragem, considerado como aceitável, é de R$ 100,00. Estudos anteriores indicam que o desvio padrão dos salários observado na população constituída por esses profissionais é de R$ 600,00. Qual deverá ser o tamanho da amostra a ser utilizada para a estimação da média aritmética populacional dos salários dessa classe profissional? a) 30 b) 58 c) 139 d) 200 e) 322 36. (FCC) Em uma pesquisa realizada numa grande região, apurou-se que 90% dos habitantes eram favoráveis à implantação de uma indústria. O tamanho da amostra desta pesquisa foi de 1.600 e considerou-se normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes da região a favor desta implantação. O intervalo de confiança de 95,5% encontrado para a proporção foi igual a [88,5% ; 91,5%]. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 2.500 e apurando-se a mesma proporção anterior, tem-se que a amplitude do intervalo de 95,5% seria de a) 1,2% b) 2,4% c) 3,6% d) 4,8% e) 6,4% 37. (FCC) A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências de uma amostra aleatória de tamanho 100 da variável X, que representa os percentuais de aumento do IPTU do ano de 2013 relativamente ao ano de 2012, num determinado município. Eu Vou Passar – e você? 10 http://www.euvoupassar.com.br

Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística Classes de X 6% 10% 10% 14% 14% 18% 18% 22% 22% 26%

Frequências relativas 0,10 0,22 0,25 0,28 0,15

Suponha que X tem distribuição normal com média desconhecida, μ, e desvio padrão conhecido e igual a 5%. Utilizando para a estimativa pontual de μ a média aritmética dos 100 valores apresentados ( na

tabela acima), calculada considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, um intervalo de confiança para μ, com confiança de 95%,

é dado por a) (15,64% ; 17,64%) b) (15,66% ; 17,62%) c) (15,60% ; 17,68%) d) (15,34% ; 17,94%) e) (15,68% ; 17,60%)

38. (ESAF) Para estimar a proporção  de pessoas acometidas por uma virose, foi retirada uma amostra aleatória de 1600 pessoas. Na amostra foi constatado que 160 pessoas estavam acometidas pela virose. Sabe-se, para construir um intervalo com 95% de confiança para a proporção de pessoas acometidas pela virose, o valor tabelado é 1,96. Com essas informações, o intervalo de confiança é dado por: a) b) c) d) e)



 0,3    95%  40   40   1,96     95%  0,3   0,3   1,96     5%  40   40   1,96     5%  0,3   0,03    1,96     95%  40  

P0,10  1,96 

  P 0,10   P 0,10   P 0,10   P0,10 

39. (FCC) Uma amostra aleatória de 9 elementos foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com média μ e variância desconhecida. O desvio padrão da amostra apresentou o valor de 1,25 e o intervalo de confiança de (1 − α) para μ: [14, 16] foi obtido com base nesta amostra. Sabe -se que para

obtenção deste intervalo utilizou-se a distribuição t de Student com os correspondentes graus de liberdade, em que a probabilidade P (− T ≤ t ≤ T) = (1 − α). Se T > 0, e ntão o valor de T é a) 2,4 b) 2,7 c) 3,0 d) 3,6 e) 4,2

40. (ESAF) Para estimar por intervalo a média  de uma população normal com variância igual a 9, retirouse uma amostra de 16 elementos, obtendo-se x 5 . Para um nível de confiança de 95%, o valor tabelado é igual a 1,96. Desse modo, a semi-amplitude do intervalo ou erro de estimação – como também é chamado – é igual a: a) 2,94 b) 1,47 c) 0,5625 d) 0,7350 e) 0,47 Eu Vou Passar – e você? 11 http://www.euvoupassar.com.br 

Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística Considerando que, a fim de verificar se o pagamento de determinado benefício estava de acordo com critérios definidos, um analista tenha selecionado uma amostra aleatória de 100 pessoas, entre os 2.000 beneficiários existentes na base de dados, e considerando, ainda, que p representa a proporção populacional de benefícios corretamente pagos, julgue os próximos itens. 41. (CESPE) Considerando-se o nível de confiança de 95% e p hipoteticamente igual a 0,5, é correto afirmar que o erro amostral na estimação de p é inferior a 8%.

42. (ESAF) Uma amostra aleatória simples de tamanho 9 de uma população com distribuição normal levou ao cálculo de uma média amostral igual a 32 e ao cálculo de uma variância igual a 225. Construa um intervalo de 95% de confiança para a média da população. a) 27,1 a 36,9 b) 22,2 a 41,8 c) 12,4 a 51,6 d) 2,6 a 61,4 e) –17 a 81 43. (FCC) Uma variável aleatória X é normalmente distribuída com média , variância populacional igual a 576 e com uma população considerada de tamanho infinito. Por meio de uma amostra aleatória de tamanho 100, obteve-se um intervalo de confiança de (1 – ) para  igual a [105,8 ; 114,2]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 225, independente da primeira, forneceu uma média amostral igual a 108. Então, o intervalo de confiança de (1 – ) correspondente a esta outra amostra é igual a a) [103,8 ; 112,2] b) [104,5 ; 111,5] c) [105,2 ; 110,8] d) [105,9 ; 110,1] e) [106,6 ; 109,4] 44. Um engenheiro quer estimar o tempo médio de secagem de uma mistura de cimento usada para tapar buracos numa rodovia. O tempo médio, em minutos, de secagem observado para uma amostra aleatória de 36 buracos foi de 21 minutos, com variância de S2 = 4. Qual o intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de secagem dos buracos? Dados: t29gl = 2,02 ztab = 1,96 a) [20,89 ; 21,10] b) [20,32 ; 21,67] c) [20,34 ; 21,65] d) [19,93 ; 22,30] 45. (CESGRANRIO) Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 16 é selecionada de uma população de envelopes de carta. A largura dos envelopes dessa amostra apresenta média x 15 cm e desvio padrão amostral s = 0,4 cm. Considerando-se que a largura dos envelopes na população siga distribuição normal com média , a amplitude do intervalo de confiança de 95% para  (em cm) é a) 0,1065 b) 0,1705 c) 0,3920 d) 0,4263 e) 0,5140 

46. (FCC) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída representando o salário dos empregados em um determinado ramo de atividade. Uma amostra aleatória de 100 empregados foi selecionada e apurou-se um intervalo de confiança de 95% para a média de X como sendo [760,80; 839,20], supondo a população de tamanho infinito e sabendo-se que o desvio padrão populacional é igual a R$ 200,00. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 1.600 e obtendo-se a mesma média anterior, o intervalo de confiança de 95% apresentaria uma amplitude igual a 12


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R$ 78,40 R$ 39,20 R$ 49,00 R$ 58,80 R$ 19,60

47. (FGV) Para estimar a proporção p de pessoas acometidas por uma certa gripe numa população, uma amostra aleatória simples de 1600 pessoas foi observada e constatou-se que, dessas pessoas, 160 estavam com a gripe. Um intervalo aproximado de 95% de confiança para p será dado por: a) (0,066 , 0,134) b) (0,085 , 0,115) c) (0,058 , 0,142) d) (0,091 , 0,109) e) (0,034 , 0,166) 48. (FCC) Um estudo realizado em uma fábrica determinou que o intervalo de confiança de 90% para a vida média dos equipamentos, em horas, foi [891,80; 908,20]. Para esta conclusão, considerou-se a população normalmente distribuída, de tamanho infinito e uma amostra aleatória de 64 equipamentos. Se, na distribuição normal padrão (Z), a probabilidade P(Z > 1,64) = 5%, então, o desvio padrão populacional, em horas, desta população é igual a a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 60 49. (FCC) Os salários de todos os empregados de uma empresa apresentam uma distribuição normal com um desvio padrão igual a R$ 364,00. Uma pesquisa com 49 empregados, selecionados ao acaso, detectou uma média de R$ 1.560,00 para os salários desta amostra. Com base no resultado desta amostra e considerando que, na distribuição normal padrão (Z), a probabilidade P(Z > 2,05) = 2%, obtém-se que o intervalo de confiança de 96% para a média dos salários da empresa, em R$, é igual a a) [1.453,40; 1.666,60] b) [1.461,60; 1.658,40] c) [1.469,80; 1.650,20] d) [1.478,00; 1.642,00] e) [1.486,20; 1.633,80] 50. (CESGRANRIO) Uma universidade pesquisou o salário dos alunos formados em Direito no último ano. Sabe-se, por experiências realizadas em anos anteriores, que o desvio padrão dos salários dos recémformados é de R$ 1.000,00. O tamanho mínimo de amostra, necessário para estimar o salário médio dos bacharéis formados no ano passado, de modo que essa estimativa difira em, no máximo, de R$ 245,00 do valor verdadeiro, com um nível de 95% de confiança, é a) 8 b) 26 c) 64 d) 126 e) 640 51. (CESGRANRIO) Foi realizada uma pesquisa sobre a defasagem entre o nível de conhecimento e a necessidade no exercício de suas atividades. Para isso selecionou-se uma amostra aleatória de 64 oficiais. Os oficiais responderam a um questionário sobre o grau de dificuldade encontrado durante os primeiros anos do oficialato. Observou-se que apenas 10% das dificuldades enfrentadas se referiam a questões técnicas, o que revelou o grande preparo destes especialistas em suas áreas de formação. O intervalo de 95% de confiança para essa proporção tem comprimento de, aproximadamente, a) 0,1% b) 5,2% c) 7,5% d) 14,7% e) 29,4% Eu Vou Passar – e você? 13 http://www.euvoupassar.com.br

Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística 52. (CESGRANRIO) Numa região afetada por um surto epidêmico, selecionou-se uma amostra de 2.500 indivíduos, tendo-se encontrado 500 contaminados. Usando o nível de confiança de 95%, o tamanho mínimo de amostra, necessário para estimar a proporção da população contaminada, com um erro de 5%, é a) 125 b) 173 c) 246 d) 256 e) 500

53. (FCC) Seja X uma variável aleatória representando a duração de vida de um equipamento. O desvio padrão populacional de X é igual a 20 horas. Uma amostra aleatória de 100 equipamentos forneceu uma duração de vida média igual a 1.000 horas obtendo-se um intervalo de confiança de 95% para a média populacional igual a [996,08 ; 1.003,92] (considerando a população normalmente distribuída e de tamanho infinito). Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 400 e obtendo-se a mesma duração de vida média de 1.000 horas, o novo intervalo de confiança de 95% apresentaria uma amplitude de a) 1,96 horas. b) 2,94 horas. c) 3,92 horas. d) 5,88 horas. e) 7,84 horas. 54. (FCC) A vida das lâmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma distribuição normal com uma variância populacional igual a 400 (horas). Extrai-se uma amostra de 64 lâmpadas e verifica-se que a respectiva vida média é igual a 1.200 horas. Considerando a população de tamanho infinito e a informação da distribuição normal padrão (Z) que a probabilidade P(Z > 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas é a) [1.160 , 1.240] b) [1.164 , 1.236] c) [1.180 , 1.220] d) [1.184 , 1.216] e) [1.195 , 1.205] 55. (CESGRANRIO) Recente pesquisa para avaliar o percentual de eleitores favoráveis a um candidato a senador foi realizada de acordo com um plano de amostragem aleatória simples, sendo a amostra extraída de uma população infinita. O resultado apontou uma intenção de votos no candidato na ordem de 45%. Caso uma amostra de 100 eleitores fosse utilizada, o intervalo aproximado de 95% de confiança para a preferência dos eleitores nesse candidato seria: a) 45% ± 6% b) 45% ± 8% c) 45% ± 10% d) 45% ± 12% e) 45% ± 14%

56. (FGV) Uma amostra aleatória simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a média desconhecida de uma população normal. A média amostral encontrada foi 4,2, e a variância amostral foi 1,44. O intervalo de 95% de confiança para a média populacional é: a) 4,2 +/- 0,49 b) 4,2 +/- 0,64 c) 4,2 +/- 0,71 d) 4,2 +/- 0,75 e) 4,2 +/- 0,81

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Thiago Pacífico - Estatística Curso Completo de Estatística A média e o desvio padrão amostral dos salários Z de uma amostra aleatória simples de 625 empregados de indústrias do ramo têxtil são, respectivamente, iguais a R$ 600,00 e R$ 400,00. Considere que Z siga uma distribuição normal padrão e que P(Z < 2,5) = 0,994. 57. (CESPE) O intervalo de confiança de 98,8% para o salário médio da população dos empregados de indústria têxtil é a) R$ 600,00 ± R$ 1,60. b) R$ 600,00 ± R$ 16,00. c) R$ 600,00 ± R$ 40,00. d) R$ 600,00 ± R$ 400,00. e) R$ 600,00 ± R$ 1.000,00. 58. (FCC) Uma amostra aleatória de tamanho 400 revelou que 64% dos torcedores brasileiros acham que conquistaremos o hexacampeonato mundial de futebol. O intervalo de 95% de confiança para a proporção de torcedores na população que acreditam no hexacampeonato é: a) 64%  3,9% b) 64%  4,2% c) 64%  4,7% d) 64%  5,1% e) 64%  5,6%

GABARITO 01

02

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04

05

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C

C

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D

B

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C

C

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C

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C

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ANEXO TABELAS –

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thiagopacifico-estatistica-192.pdf

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