École Nationale d’Ingénieurs d’Ingénieurs de Tarbes
MACHINES THERMIQUES (THERMO2)
1ère année – Semestre 2/2*
EXERCICES - Rendement - Cycles Thermodynamiques - Écoulement en régime permanent
Vous devez vous munir de votre calculette à chaque cours Année scolaire scolaire 2009 - 2010
Thermodynamique
Exercices Première Partie
RENDEMENT ET CYCLES THERMODYNAMIQUES Exercice 1 : Cycle réalisable ? Un inventeur décrit le fonctionnement cyclique d’une machine au cours duquel le fluide reçoit une quantité de chaleur Qf de la source froide et fournit une quantité de chaleur Qc à la source chaude ainsi qu’une quantité de travail W au milieu extérieur. Une telle machine peut-elle fonctionner ? Exercice 2 : Moteur réversible ou irréversible Au cours d’un cycle, le fluide thermique d’un moteur ditherme reçoit 420 J d’une source chaude à 200 °C. La source froide est à 17 °C. Le travail fourni par le moteur est de 120 J. 1) Calculez le rendement de ce moteur thermique. 2) Le fonctionnement est-il réversible ? Réponses : 1) 0,286 ; 2) Fonctionnement irréversible Exercice 3 : Moteur thermique Un moteur thermique supposé réversible, reçoit une quantité de chaleur de 1000 J d’un thermostat à 100 °C et cède une quantité de chaleur Qf à la source froide (thermostat à ! f = 0 °C). 1) Représentez par un schéma, les échanges réalisés entre la machine et les sources de chaleur d’une part et la machine et le milieu extérieur d’autre part. 2) Déterminez la quantité de chaleur cédée à la source froide et le travail fourni au milieu extérieur. 3) Calculez le rendement de cette machine motrice. Réponses : 1) - 732 J ; 2) - 268 J
; 3) 0,27
Exercice 4 : Machine frigorifique Une machine frigorifique fonctionne avec une source froide de température ! f = -30 °C et une source chaude de température ! c = 25 °C. La quantité de chaleur échangée par le fluide moteur avec la source chaude est Qc = - 1000 J et celle échangée avec la source froide est Qf = + 700 J. a) Déterminez si ce cycle est réalisé de façon réversible ou irréversible.
1
b) Représentez par un schéma, les échanges réalisés entre la machine et les sources de chaleur d’une part et la machine et le milieu extérieur d’autre part. Calculez le travail échangé entre le fluide et le milieu extérieur. c) Calculez le coefficient de performance " de cette machine et le comparer à celui d’un cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes sources. Exercice 5 : Pompe à chaleur ou chauffage direct Une pièce est maintenue à 20 °C par chauffage, l’atmosphère extérieure étant à 4 °C. En régime permanent, les pertes thermiques sont de 4 kJ par seconde. 1) Quelle serait la puissance nécessaire à un radiateur électrique pour ce chauffage ? 2) Quelle serait la puissance, fournie à une pompe à chaleur réversible, qui amènerait au même résultat ? Exercice 6 : Chauffage et refroidissement d'une maison
Un récepteur thermique est utilisé pour assurer le chauffage (l'hiver) et le refroidissement (l'été) d'une maison. Donc, ce récepteur thermique joue le rôle d'une pompe à chaleur l'hiver et celui d'un climatiseur l'été. Le fluide moteur est du fréon. Il parcourt un circuit dans lequel, étant sous forme de vapeur, il est comprimé par un compresseur C et se condense dans un liquéfacteur L (aussi appelé condenseur). Puis il subit une détente au niveau d'une valve V et finit de se vaporiser dans l'évaporateur E avant de retourner dans le compresseur. C
E
L
V
Schéma de principe de l'installation
1) Dans un récepteur thermique, lequel des deux organes L ou E faut-il mettre en contact avec la source chaude et la source froide respectivement ? 2) En hiver la température extérieure moyenne est de 0 °C et la température intérieure est maintenue à 20 °C. a) Calculez la quantité de chaleur maximale qui peut être fournie à la maison au bout d’une heure si la puissance du compresseur électrique est de 4000 watts. b) En déduire le coefficient de performance maximal du récepteur thermique. 3) En été, la température extérieure moyenne est de 35 °C et la température intérieure est maintenue à 20 °C. Quel est le coefficient de performance maximal du récepteur thermique ? NB : On rappelle qu’un watt est égal à un joule par seconde. Réponses : 2.a) 210960 kJ
; 2.b) 14,65
; 3) 19,5
2
Exercice 7 : Moteur thermique avec une source de température variable On fait fonctionner un moteur thermique entre l’atmosphère, source froide à la température -1 T f = 288 K, et une masse d’eau de capacité thermique C = 10 kJ.K et de température variable T c. La température initiale de l’eau est T c,0 = 350 K. 1) Calculez le travail maximal que ce moteur est capable de fournir. 2) Déterminez le rendement d’un tel moteur.
Exercice 8 : Fonctionnement d’un moteur entre deux masses d’eau Un moteur thermique réversible fonctionne entre deux masse d’eau (capacité thermique massique, c = 4185 J.kg -1.K -1) : - une masse d’eau mc = 500 kg, source chaude à la température initiale T c,0 = 360 K ; - une masse d’eau mf = 800 kg, source froide à la température initiale T f,0 = 288 K. 1) Calculez la température finale, T, atteinte lorsque le moteur cesse de fonctionner. 2) Déterminez les énergies échangées pendant la durée du fonctionnement du moteur, c’est-àdire : a) le transfert thermique Qc reçu de la part de la source chaude ; b) le transfert thermique Qf fourni à la source froide ; c) le travail fourni par ce moteur.
Exercice 9 : Pompe à chaleur et source de température variable Une pompe à chaleur fonctionne de manière réversible entre les deux sources suivantes : - un réservoir d’eau, source chaude de capacité thermique C = 20 kJ.K -1 ; l’eau est initialement à la température T c,0 = 288 K ; - l’atmosphère, source froide à la température T f,0 = 288 K, supposée constante. 1) À l’aide de la pompe à chaleur, on porte l’eau à la température T = 320 K . Exprimez le travail fourni à la pompe à chaleur en fonction de C, T, T c,0 et T f,0, puis calculez sa valeur. 2) Exprimez l’efficacité de cette pompe à chaleur en fonction de T, T c,0 et T f,0, puis calculez cette efficacité :
Exercice 10 : Cycle triangulaire On considère le cycle réversible suivant décrit par un gaz parfait. a ) Dans quel sens ce cycle doit-il être parcouru pour que le fonctionnement soit de type moteur? b ) Calculer le rendement. Application numérique ! = 1.4.
P A 2Po
Po
C Vo
B
2Vo
V
Réponse : b) 0,055
3
Exercice 11 : Cycle d'Otto
On considère un cycle d'Otto décrit par un gaz parfait représenté figure ci -dessous. Le cycle est réversible et décrit dans le sens moteur. • La transformation AB est une compression isentropique du gaz parfait. • La transformation BC est une transformation isochore du gaz parfait. La transformation CD est une détente isentropique du gaz parfait.
•
La transformation DA est une transformation isochore du gaz parfait. La pression, le volume et la température pour les points A, B, C, D, sont respectivement (PA, V A, T A), (PB, V B, T B), (PC, V C, T C), (PD, V D, T D). •
Figure 2
P
Pour le gaz, ! est constant ainsi que cM,V qui est la capacité thermique molaire du gaz parfait à volume constant.
C D
De plus, on pose
B
V2 =
V1
où a
représente le taux de compression.
A V1
a
V2
V
1) a) Donner les expressions littérales des quantités de chaleur Q BA , Q CB , Q DC , Q AD , pour une mole de gaz parfait, des transformations respectives AB, BC, CD et DA. b) Préciser le signe de ces quantités de chaleur. c) En déduire que le cycle d'Otto est un cycle moteur ditherme. 2) a) Calculer le rendement du cycle moteur d'Otto en fonction de T A, T B, T C, T D. b) Calculer le rendement du cycle moteur d'Otto en fonction de a et de !. c) Application numérique : Combien vaut le rendement pour a = 8 et ! = 1,4 ? NB : On rappelle qu'entre deux états d'équilibre 1 et 2, le premier principe s'écrit : m
#U
=
W+
1! 2
"Q
i
i =1
avec
• m, le nombre de transformations qui permettent de passer de l'état 1 à l'état 2 ; • Qi, la chaleur échangée entre le système et le milieu extérieur durant la transformation i ; • W , le travail échangé entre le système et le milieu extérieur pendant la transformation totale qui fait passer le système de l'état 1 à l'état 2. On rappelle que, pour une transformation adiabatique, la température T et le volume V sont reliés par la relation : TV = constante. !"1
Réponses :
2.b) (1-a 1- ) !
; 2.c) 0,565
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Exercice 12 : Cycle Beau de Rochas Le moteur d’un véhicule automobile à essence est un moteur atmosphérique à explosion commandée fonctionnant en quatre temps. Il est représenté par le cycle théorique suivant : — 1er temps (admission A0A1) : ouverture de la soupape d’admission est aspiration dans le cylindre à pression constante (pression atmosphérique), d’un mélange d’air et d’essence venant du carburateur, par la descente du piston entraîné par le vilebrequin (isobare A 0A1). — 2e temps (compression A1A2A3) : le mélange est comprimé par la remontée du piston (compression adiabatique A 1A2) puis explose à l’allumage de la bougie (compression isochore A2A3). — 3e temps (détente A3A4) : le piston est repoussé vers le bas (temps moteur) et entraîne le vilebrequin (détente adiabatique A 3A4). — 4e temps (échappement A 4A1A0) : les gaz brûlés se détendent à l’ouverture de la soupape d’échappement (détente isochore A4A1) puis sont chassés du cylindre à pression constante (pression atmosphérique) par la remontée du piston (isobare A 1A0).
On admettra que le gaz qui subit le cycle peut être supposé comme de l’air seul 1 (considéré comme un gaz parfait de capacité thermique massique cV = 0,717 kJ.kg -1.K-1 avec # = 1,4) tout au long du cycle. De même on considérera toutes les transformations comme réversibles. Le taux de compression du moteur correspond à a = V 1/V 2 = 8. a) Au début de la compression (point A 1), le mélange air + essence est à la pression P1 = 1 bar et la température T 1 = 290 K (17 °C). Déterminer la pression P2 et la température T 2 au point A2. b) Sachant que la quantité de chaleur massique reçue par l’air lors de la combustion de l’essence pendant l’étape A2A3 est q1 = 800 kJ.kg-1, déterminer la température T 3 au point A3. En déduire la pression P3 au point A3. c) Déterminer la pression P4 et la température T 4 au point A4. En déduire la quantité de chaleur q2 échangée par kilogramme de gaz pendant l’étape A4A1. Cette quantité de chaleur est-elle perdue ou gagnée par le gaz ? 1
La quantité d’essence dans le mélange air / essence est faible et la combustion de l’essence ne modifie pas fondamentalement la quantité de matière dans le cylindre. 5
d) Calculer le travail w par kilogramme de gaz fourni par ce moteur. En déduire le rendement de ce moteur. e) Montrer que le rendement peut se mettre sous la forme $ = 1 - a 1- et qu’il ne dépend donc que du taux de compression a. !
Exercice 13 : Cycle Diesel Le moteur d’un véhicule automobile au gazole est un moteur atmosphérique qui fonctionne par autoallumage (sans bougie) du carburant (inflammation spontanée du gazole finement pulvérisé injecté dans de l’air fortement comprimé et chaud). Le fonctionnement de ce moteur est représenté par le cycle théorique idéal de Diesel qui suit les quatre temps suivants : — 1er temps (admission A 0A1) : ouverture de la soupape d’admission et aspiration d’air (seul) dans le cylindre à pression constante (pression atmosphérique) par la descente du piston entraîné par le vilebrequin. — 2e temps (compression A1A2) : compression adiabatique de l’air par la remontée du piston (A1A2). — 3e temps (détente A 2A3A4, temps moteur) : injection progressive du gazole pulvérisé en fines gouttelettes provoquant l’inflammation spontanée du mélange air / gazole. Cette combustion se produit à pression relativement constante (isobare A 2A3). Les gaz se détendent ensuite en poussant le piston vers le bas et entraîne le vilebrequin (détente adiabatique A 3A4). — 4e temps (échappement A 4A1A0) : ouverture de la soupape d’échappement ramenant les gaz brûlés instantanément à la pression initiale (isochore A 4A1). Les gaz sont alors refoulés par la remontée du piston (isobare A 1A0).
On considèrera que : — Toutes les transformations sont supposées quasi statiques. — L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol -1, de capacité thermique massique à pression constante cP = 1 kJ.kg -1.K-1 avec # = cP/cV = 1,4 et R = 8,31 J.mol-1.K-1. — La quantité de carburant injectée est faible devant la quantité d’air et que la combustion du carburant ne modifie pas cette quantité d’air, autrement dit le gaz circulant dans ce moteur sera considéré comme une même quantité d’air seul tout au long du cycle.
1. Étude générale du cycle En début de compression (point A 1), l’air admis dans le moteur est à la pression P1 = 1 bar et à la température T 1 = 293 K (20 °C). Le taux de compression (rapport volumétrique V 1/V 2) est a = 15 et le taux de détente (rapport volumétriqueV 1/V 3) est b = 5. 6
a) Déterminer la pression P2 et la température T 2 en fin de compression (point A2). b) Calculer les températures T 3 et T 4 en début et en fin de détente (points A3 et A4) et la pression P4. c) Déterminer les quantités de chaleur massiques q1 et q2 (kJ.kg-1) échangées entre l’air et le milieu extérieur lors des transformations A2A3 et A4A1. d) Calculer le travail massique w (kJ.kg-1) fourni par ce moteur lors d’un cycle. En déduire le rendement de ce moteur.
2. Étude de la combustion a) La cylindrée du moteur (volume total maximum des cylindres du moteur) est V 1 = 2 litres. Déterminer la masse d’air impliquée dans chaque cycle et en déduire la quantité de chaleur Q1 (J) échangée pendant cette phase de combustion (A 2A3). b) La quantité de chaleur apportée par le carburant lors de sa combustion (A 2A3) est de q = 46,8.10 3 kJ.kg-1. En déduire la masse de carburant injectée à chaque cycle. c) A une vitesse de 130 km.h -1, le vilebrequin tourne à 3000 tr.min -1. Sachant qu’un cycle correspond à deux aller-retour du piston, c’est-à-dire deux tours de vilebrequin, déterminer la durée d’un cycle et la distance parcourue par le véhicule pendant ce cycle. d) En déduire la consommation c (en litres aux 100 km) de ce véhicule à 130 km.h -1 (la masse volumique du gazole est % = 0,8 kg.L-1). e) Connaissant le rendement du cycle, déterminer le travail W fourni par ce moteur lors d’un cycle et en déduire la puissance du véhicule.
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Thermodynamique
Exercices Deuxième Partie
ECOULEMENT EN REGIME PERMANENT Exercice 14 : Puissance d’une turbine Le débit massique à l’entrée d’une turbine à vapeur est de 1,5 kg/s et la puissance thermique cédée par la turbine est de 8,5 kW. Le tableau suivant regroupe les données connues pour la vapeur d’eau à l’entrée et à la sortie de la turbine (on prendra g = 9,81 m.s-2) : Entrée de la turbine
Sortie de la turbine
Pression (MPa)
2,0
0,1
Température (°C)
350
Titre
100 %
Vitesse (m/s)
50
200
Élévation au-dessus d’un plan de référence (mètre)
6
3
Calculez la puissance fournie par la turbine. Exercice 15 : Compresseur d’air Le compresseur d’air centrifuge d’une turbine à gaz reçoit l’air de l’atmosphère ambiante où la pression est de 1 bar et la température de 300 K. A la sortie du compresseur, la pression est de 4 bars, la température de 480 K et la vitesse de 100 m/s. Le débit massique de l’air à l’entrée du compresseur est de 15 kg/s. On suppose que l’air se comporte comme un gaz parfait et que le compresseur est calorifugé. La capacité thermique du gaz parfait est de 1,0035 kJ/(kg.K). Calculez la puissance
W ˙
nécessaire pour entraîner le compresseur.
Exercice 16 : Mélangeur Un dispositif mélange continûment de la vapeur d’eau saturée à 3,5 bars avec un courant d’eau (liquide saturé) à 15 °C pour produire de l’eau chaude (liquide saturé) à 80 °C avec un débit de 4 kg/s. Note : on néglige les variations d’énergies cinétique et potentielle et on suppose que le dispositif est calorifugé. Quel doit être le débit d’admission m˙ de la vapeur ? 1
8
Exercice 17 : Tuyère Soit une tuyère calorifugée. Elle est traversée par de la vapeur d’eau qui, à l’entrée, a une pression de 0,6 MPa, une température de 200 °C et une vitesse de 50 ms -1. Elle en sort à la pression de 0,15 MPa et à la vitesse de 600 ms -1. Déterminez la température finale de la vapeur d’eau si elle est surchauffée à l’état final ou le titre si on a un mélange liquide - vapeur. Exercice 18 : Compresseur de réfrigération Un inventeur prétend avoir mis au point un compresseur de réfrigération qui reçoit de la vapeur saturée de fréon 12 à –20 °C et la rejette à 1 MPa et 50 °C. La compression est adiabatique. Déterminez si le compresseur peut fonctionner suivant les caractéristiques décrites par l’inventeur. Exercice 19 : Pompe Dans un système de pompage, l’eau est portée de 100 kPa et 30 °C à 5 MPa. Calculez le travail par kilogramme que l’on doit fournir à cette eau dans la pompe, si l’on considère que l’évolution est isentropique. Exercice 20 : Turbine à vapeur Une turbine à vapeur reçoit de la vapeur d’eau à une pression de 1 MPa et une température de 300 °C. La vapeur sort de la turbine à une pression de 15 kPa. On mesure le travail à la sortie de la turbine et l’on constate qu’il est égal à 600 kJ/Kg de vapeur circulant dans la turbine. Calculez le rendement isentropique de la turbine. Exercice 21 : Vitesse à la sortie d’une tuyère
Soit le cas idéal d’un écoulement adiabatique et réversible de vapeur d’eau dans une tuyère. La vapeur entre dans une tuyère à 1 MPa et 300 °C, avec une vitesse de 30 m/s. La pression de la vapeur à la sortie est de 0,3 MPa. a) Quelles sont les hypothèses simplificatrices liées à un écoulement ERP et leurs conséquences. En déduire les expressions du 1 er principe et du 2 ième principe de la thermodynamique dans le cas d'un écoulement ERP. b) Calculer la vitesse de la vapeur à la sortie de la tuyère, en supposant que l’écoulement s’effectue en régime permanent (on négligera la variation d'énergie potentielle). c) En réalité, l’écoulement de la vapeur dans la tuyère n’est pas isentropique et son rendement est de 85 %. Calculer la vitesse de la vapeur d’eau à la sortie de la tuyère dans le cas réel. Exercice 22 : Cycle de Rankine
Dans une installation motrice à vapeur, l’eau décrit le cycle suivant : - détente isentropique de la pression P 1 à la pression P 2 , dans une turbine. La vapeur est sèche à l'entrée de la turbine, représentée par le point 1 sur le diagramme entropique joint; - condensation dans le condenseur à la pression P 2 et à la température T 2 constantes, jusqu'à l'état liquide saturant; 9
- compression isentropique de l’eau liquide de P 2 à P1 dans une pompe ; - chauffage à pression constante P 1, puis vaporisation à cette même pression dans la chaudière. À la sortie de la chaudière, le fluide se situe au point 1 et sa température est T 1 = 350 °C. Données : • Valeurs numériques des isobares : P 1 = 3 MPa et P 2 = 0,075 MPa. • Variables thermodynamiques de l'eau dans l'état liquide comprimé à P = P 1 h (kJ.kg-1) 387,42
P (MPa) 3
• De plus, on négligera les variations d’énergies cinétique et potentielle.
DIAGRAMME ENTROPIQUE T (°C)
P1
P2 •
1
s (kJ.kg -1.K-1)
1) a) Représenter le schéma de principe de cette installation motrice à vapeur, en indiquant le sens de parcours du fluide et en numérotant la position du fluide aux entrées et sorties des différents éléments (chaudière, condenseur, pompe, turbine). b) Donner l’allure du cycle sur le diagramme entropique (coordonnée T - s) joint, en numérotant la position du fluide par rapport au schéma de principe. 2) En utilisant les données des tables thermodynamiques de l'eau, déterminer l’enthalpie massique du fluide à la sortie de la turbine. 10
3) a) Calculer la quantité de chaleur q ' échangée dans la chaudière entre le milieu extérieur et 1 kg d’eau. b) Calculer la quantité de chaleur q'' échangée dans le condenseur entre le milieu extérieur et 1 kg d’eau. c) Calculer le rendement thermique du cycle. Exercice 23 : Centrale thermique élémentaire
Considérons le fonctionnement d’une centrale thermique élémentaire dont le schéma de principe est rappelé ci-dessous.
Cette installation est parcourue par de l’ eau dont les caractéristiques aux différents points sont regroupées dans le tableau suivant : Situation dans l'installation Pression Température ou titre Sortie de la chaudière (1)
2,0 MPa
300 °C
Entrée de la turbine (2)
1,8 MPa
290 °C
Sortie de la turbine, entrée du condenseur (3)
15 kPa
x = 90 %
Sortie du condenseur, entrée de la pompe (4)
liquide saturé
45 °C
Le fonctionnement de la pompe peut être décrit par une évolution isentropique. Le travail massique fourni à la pompe est w p = 4 kJ/kg. En revanche, le fonctionnement de la turbine s'éloigne de cette évolution idéale : la turbine est caractérisée par un rendement isentropique de 85 %. Pour l'ensemble du problème, on pourra négliger les variations d’énergies cinétique et potentielle du fluide qui s’écoule en régime permanent.
1) Précisez, en le justifiant, l'état du fluide à la sortie de la chaudière (1) et à l'entrée de la turbine (2). Déterminez l’enthalpie massique du fluide à l’entrée de la chaudière h5 et calculer la quantité de chaleur massique qc reçue par l’eau dans la chaudière. 2) Déterminez les pertes thermiques q perte dans la canalisation reliant la chaudière (1) à la turbine (2) et la quantité de chaleur massique qf échangée dans le condenseur. 3) Calculez le travail massique réel wturbine délivré par le fluide dans la turbine. 4) En déduire le rendement thermique de ce cycle.
11
Exercice 24 : Cycle de puissance à vapeur Le cycle moteur de Carnot est celui qui permet d'obtenir, entre deux températures données (températures des sources chaude et froide), le rendement thermique maximum. Cependant un tel cycle n'est pas réalisable. Néanmoins, ce cycle peut être aménagé, et dans la pratique les cycles de Rankine et de Hirn ainsi que les cycles qui en dérivent lui sont préférés. Ainsi, le cycle idéal correspondant à une centrale thermique élémentaire à vapeur d'eau (dont le schéma de principe est rappelé dans la figure 1.a) est représenté par le cycle de Rankine illustré dans le diagramme entropique sur la figure 1.b). Dans cette installation motrice à vapeur, l’eau décrit le cycle suivant: - détente isentropique de la pression P1 à la pression P2 , dans une turbine. La vapeur est sèche à l'entrée de la turbine, représentée par le point 1 sur le diagramme entropique (figure 1.b); - condensation dans le condenseur à la pression P2 et à la température T 2 constantes, jusqu'à l'état liquide saturant; - compression isentropique de l’eau liquide de P2 à P1 dans une pompe; - chauffage à pression constante P1, puis vaporisation à cette même pression dans la chaudière. À la sortie de la chaudière, le fluide se situe au point 1 et sa température est T 1 = 600 °C.
a) Figure 1 :
b) a) Schéma de principe d'une une centrale thermique élémentaire à vapeur d'eau ; b) Représentation du cycle de Rankine dans le diagramme entropique.
Données : • Valeurs numériques des isobares : P1 = 150 bars et P2 = 0,10 bar. • On négligera les variations d’énergies cinétique et potentielle du fluide au cours des différentes évolutions. • Les valeurs des grandeurs sont à rechercher dans les tables de variables thermodynamiques de l’eau, et pour l'état liquide comprimé les enthalpies massiques de l'eau sont regroupées dans le tableau suivant : P (bars)
12
150
h (kJ.kg-1)
193,03
814,77
PARTIE A a) Déterminer le titre en vapeur et l’enthalpie massique du mélange liquide-vapeur à la sortie de la turbine (point 2). b) Déterminer le travail massique wturbine fournit par l'eau à la turbine.
12
c) En réalité, cette turbine ne fonctionne pas de façon idéale, c'est-à-dire de façon adiabatique " réel réversible. Son rendement isentropique est de 0,9 ( !turbine ). =
" isentropique
Quel travail récupère-t-on ? d) Exprimer le rendement du cycle de Carnot qui fonctionnerait entre les deux températures extrêmes T 1 et T 2. Calculer ce rendement.
PARTIE B Comparé au cycle de Carnot fonctionnant entre les deux mêmes température extrêmes, le rendement thermique du cycle de Rankine est d'autant meilleur que l'apport thermique est réalisé à une température (moyenne) élevée. Or la température moyenne sur le réchauffage 4-4' du liquide (figure 1.b) est faible. Pour améliorer cette situation, l'idée consiste à soutirer de la turbine une fraction y de la vapeur, lorsque la température de celle-ci est encore élevée (point 5 sur la figure 2), et à mélanger cette vapeur au liquide sortant de la pompe 1 (point 4). Le débit soutiré est réglé de façon que le fluide sortant du mélangeur soit saturé (point 6 sur la figure 3). Une deuxième pompe porte le liquide à la pression de la chaudière.
Figure 2 : Cycle avec soutirage de vapeur et mélangeur : y représente la fraction de vapeur soutirée.
Figure 3 : Diagramme entropique du cycle avec soutirage, où y représente la fraction de vapeur soutirée.
Dans le cas présent, la fraction y de vapeur est soutirée à la pression P'1 = 12 bars pour être mélangée à l'eau sortant de la pompe 1. Nous considèrerons pour cette étude un fonctionnement idéal entre les isobares P1 et P2 précédemment définis, c'est-à-dire (figure 3) : - une évolution isentropique de l'eau dans la turbine et les pompes 1 et 2 ; - une évolution isobare dans la chaudière, le condenseur et le mélangeur. 13
a) En considérant que le mélangeur est calorifugé et qu’il n’y a aucun travail mécanique échangé : • expliciter le principe de conservation de l’énergie. Exprimer la relation obtenue en fonction de la fraction y de vapeur soutirée, sachant que : • - la fraction y de vapeur peut s'exprimer sous la forme : y - la fraction (1- y) peut s'exprimer sous la forme : -
˙ m
2
=
˙ m
3
=
˙ m
4
et
˙ m
1
=
˙ m
6
=
˙ m
7
1 " y
=
˙5 m =
˙2 m ˙1 m
˙1 m
;
;
puisque l'on à un écoulement ERP.
En déduire la fraction y de la vapeur soutirée, b) Calculer : • les quantités de travail massique fournie par le fluide à la turbine et reçus par le fluide au niveau des pompes, après avoir exprimé le principe de conservation de l’énergie en fonction de y ; la quantité de chaleur massique reçue par le fluide dans la chaudière. • c) Déterminer le rendement thermique de cette installation. •
Exercice 25 : Cycle de réfrigération On étudie, ici, le fonctionnement d’un réfrigérateur. Le cycle décrit par le fluide est représenté ci dessous en diagramme entropique. Les pressions extrêmes sont 1,4 bar et 8 bars. Le débit du réfrigérant est 180 kg/h. La transformation 3 # 4 est sensiblement isenthalpique. 1) Faites une étude du cycle. 2) Calculez les quantités de chaleur enlevée en une heure à la source froide et restituée en une heure à la source chaude. 3) Calculez la puissance du compresseur 4) Calculez l’efficacité du cycle On donne ci-dessous quelques extraits des tables thermodynamiques du réfrigérant utilisé.
VAPEUR SÈCHE sous la pression de 8 bars (température d’ébullition 32,74°C). T(°C) Enthalpie massique (KJ/kg) Entropie massique Kj/(Kg.K)) 40 206,07 0,7021 50 213,45 0,7253 ÉTAT SATURANT (Equilibre liquide - vapeur). P (bar) Enthalpie massique Entropie massique (Kj/Kg) Kj/Kg.K liquide vapeur liquide vapeur saturant saturante saturant saturante 1.4 16,09 177,87 0,0663 0,7102 8 67,30 200,63 0,2487 0,6845 Réponses :
volume (m3/Kg) liquide saturant 0,0006828. 0,0007802
massique T (°C) vapeur saturante 0,1168 -21,91 0,02188 32,74
2) Qfroid = 19,9 MJ/h ; Qchaud = -25,44 MJ/h ; 3) 5,54 MJ/h ; 4) 3,59 14
Exercice 26 - Étude d'une centrale d'aspiration d'air avec soufflantes. Dans une cartonnerie, on doit réaliser l'aspiration d'air dans le caisson T, raccordé aux tables de fabrication, et le caisson P raccordé aux presses. Dans ces deux caissons, les pressions sont différentes. Pour réaliser ces deux aspiration, on utilise deux soufflantes, selon le schéma simplifié ci-dessous, où sont indiqués les indices à utiliser pour les grandeurs caractéristiques du fluide aux divers points du circuit, notés (1), (2), (3), (4) et (5).
Moteur B
soufflante B
Soufflante A •
(5)
(4)
•
vacuation à la cheminée
•
Moteur A
(2)
Mélangeur M
Caisson P (3)
Caisson T (1) Tables de fabrication
Presses
La soufflante A aspire 550 m 3 par minute d'air dans les conditions de pression et de température P1 et T 1 du caisson T. La soufflante B aspire simultanément l'air sortant de la soufflante A dans les conditions P2 et T 2 et 230 m3 par minute d'air dans le caisson P, dans les conditions P3 et T 3. Ces deux débits issus de la soufflante A et du caisson P se mélangent, avant l'entrée de la soufflante B, dans le mélangeur M (aucune partie mobile n'est susceptible de fournir du travail à l'air). À la sortie du mélangeur (donc à l'entrée de la soufflante B) ce mélange sera supposé parfaitement homogène dans les conditions P4 et T 4. L'air s'écoule en régime permanent dans l'ensemble de l'installation. Toutes les machines et tous les circuits sont supposés parfaitement calorifugés. Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle sont négligeables. Les caractéristiques de l'air aux divers points du circuit sont données dans le tableau cidessous : (1) (2) (3) (4) (5) Pression (Pa)
30 000
60 000
60 000
60 000
100 000
Température (K)
290
370
290
–
400
On admet que l'air véhiculé par les soufflantes est de l'air sec, assimilé à un gaz parfait caractérisé par : - une masse molaire : M = 28,96 g.mol-1 ; - une capacité thermique massique à pression constante : c p = 1005 J.kg-1.K-1. On rappelle qu'un gaz parfait obéit aux deux lois de Joules et qu'il est décrit par l'équation PV = nRT d'état suivante : avec R = 8,31 J.mol-1.K-1 . On rappelle également l'expression du premier principe dans le cas d’un écoulement en régime permanent : 15
•
*
W
•
+
•
Q+ ! me (he e
+
1 2
2
V e
•
+
gze ) = ! ms (hs s
+
1 2
2
V s
+
gzs )
1 - a) Établir l'expression de la masse volumique, % , d'un gaz parfait, en fonction de P, M et T . •
b) Établir la relation entre le débit massique (que l'on notera D ou m ) et le débit volumique (que l'on notera d ). Calculer le débit massique d'air extrait des caissons T et P, c'est-à-dire aux points (1) et (3). 2 - a) Calculer le travail effectivement reçu par 1 kg d'air entre (1) et (2), c'est-à-dire dans la soufflante A (où les parties mobiles fournissent du travail à l'air) ; b) En déduire la puissance effectivement reçue par l'air dans la soufflante A. 3- a) Déterminer la température de l'air au point (4), c'est-à-dire après mélange des deux flux d'air; b) Calculer le travail effectivement reçu par 1 kg d'air entre (4) et (5), c'est-à-dire dans la soufflante B (les parties mobiles fournissant du travail à l'air). En déduire la puissance reçue correspondante. Exercice 27 : Étude de la réalisation d'un cycle Une machine thermique (voir schéma ci-dessous) est constituée de quatre composantes parcourues par un fluide, du fréon, dont le sens de parcours est représenté par les flèches. On considère que le fréon subit un écoulement en régime permanent aux bornes des quatre composantes. Chaque composante est reliée à une seule entrée et une seule sortie.
Dans l’état A, le fluide est sous forme de vapeur sèche à la pression P A = 8 bars. Dans l’état B, le fluide est sous forme de liquide saturant. Dans l’état D, le fluide est sous forme de vapeur saturante à T D = -20°C. Aux bornes des composantes 1 et 3, les transformations sont isentropiques. Aux bornes des deux autres composantes 2 et 4, les transformations sont isothermes, et s’effectuent à la température T 2 pour la transformation AB et à la température T 4 pour la transformation CD. Lors de la transformation AB, le fluide échange la quantité de chaleur massique q AB avec le milieu extérieur : q AB = - 130,58 kJ/kg. Lors de la transformation CD, le fluide échange la quantité de chaleur massique qCD avec le milieu extérieur : qCD = 108,25 kJ/kg. Les seuls travaux mis en jeu dans les composantes 2 et 4, sont les travaux des forces de pression liés à l'écoulement du fluide (travaux d'écoulement). On négligera les variations d’énergies potentielle et cinétique du fluide entre l'entrée et la sortie des quatre composantes. 16
1) Calculez la température T 2 de la transformation aux bornes de la composante 2. Représenter dans un diagramme entropique (T,s) le cycle des transformations subies successivement par le fréon au bornes des 4 composantes de cette machine thermique. 2) Compte tenu des évolutions au sein des composantes 1 et 3 et des états thermodynamiques des points A, B, C et D, précisez si les évolutions au sein des composantes 2 et 4 sont réalisables. Détaillez tous vos raisonnements. En déduire si le cycle est réalisable ou non réalisable. Expliquer ? Exercice 28 - Prévision de fonctionnement Un écoulement d’ammoniac en régime permanent entre dans un appareil à 100 kPa et 50 °C avec un débit massique de m = 1 kg/s. Deux jets sortent de l’appareil avec des débits massiques m et m égaux, l’un à 200 kPa et 50 °C, l’autre sous forme de liquide saturé à 10 °C. On affirme que cet appareil peut fonctionner dans une pièce à 25 °C si on lui fournit une puissance mécanique de 250 kW. •
•
1
e
•
2
1) Précisez les hypothèses simplificatrices ainsi que les conséquences liées à un écoulement ERP. Exprimez le principe de conservation de la masse ainsi que les 1 er et 2ième principes de la thermodynamique dans ce cas-là. En déduire les expressions du 1 er et du 2ième principes en fonction du débit d’entrée m . •
e
•
2) Calculez la puissance thermique Q (J/s ou watt) échangée entre la pièce à 25 °C et l’appareil si l'on néglige les variations d'énergies cinétique et potentielle ; 3) La variation du taux d'entropie du système constitué du volume de contrôle, du fluide entrant et du fluide sortant s'écrit, pour une évolution quelconque : •
! S 1
Exprimez
•
! S 1
=
!S vc !t
•
+
•
" ms ss # " me se
dans le cas d'un écoulement ERP et calculer sa valeur. •
4) Calculez la variation d’entropie ! S 2 de la pièce à 25 °C (pièce = source); 5) En déduire si le fonctionnement proposé ci-dessus pour l’appareil est possible ?
17
