THE MAT MATHE HEMAT MATICA ICAL L ANALY ANALYSIS SIS OF SNAKES AND LADDERS. BY: ITZEL VALDÉS, CARLA RIVAS, DANIA RODRIGUEZ, NICOLE CASTRO. Before Monopil, !en"#, $re"%n&#'o( #n' #ll &)e *o'ern "#*e(, &)e +l#(i- one( )ere /er pop%l#r #n' *o(& of &)e* (&ill 0ein", in p#r&i%l#r one:-Sn#1e( #n' L#''er(- )i) ori"in #n 0e &r#e' 0#1 &o &)e 23&) en&%r4 # (i*ple "#*e o% pro0#0l )#/e &rie' #& le#(& one #n' if o% )#/en5& #f&er o% re#' &)i( #r&ile o% *# &r. &r. M#n of %( )#/e (pen& )o%r( pl#in" i&, 0%&6 7#/e o% #(1e' o%r(elf )o lon" 'oe( #n #/er#"e "#*e re#ll l#(&8. Le& %( e9pl#in &)e *#&)e*#&i 0e)in' &)i( "#*e &)#& #n "i/e #n #n(er fo& &)i( #n' *ore %e(&ion(. #re #re (i*pl i*ple, e, &)e &)e "#*e i( pl# i& on # 0o#r' i&) 2; 9 2; "ri' n%*0ere' fro* 2 &o 2;;. Yo Yo #n pl# i&) one or &o &o 'ie 'ie,, o% o% *o/e *o/e &)e &)e n%*0er of (%#re( &)#& &e 'ie or &)e 'ie (#, 0%& if o% f#ll in # (%#re i&) # (n#1 (n#1e, e,&) &)en en o% o% )#/e )#/e &o *o/e 0#1 &o &)e (%#re )ere &)e &#il of &)e (n#1e i( #n' if o% f#ll in # (%#re i&) # l#''er &)en o% o% *o/e *o/e &o &)e &)e (%# (%#rre )ere &)e en' of &)e l#'' l#''er er i(. i(. o% nee' e9#&l ? in &)e 'ie &o in, if o% "e& #n o&)er For this analysis we used this 10 x 10 Snakes and Ladders game board. n%*0 n%*0er er o% o% # #n5 n5&& *o/e *o/e %n&il o% "e& # ?, &)e e9#& n%*0er o% nee' &o re#) &)e (%#re (%#re 2;;. Rules
Analysis
1
.ase 2 x = /
Public Sub snake() .ase 21 Dim n As Double
x = /2
Dim x As Double
.ase ,
Dim i As Double
x = //
Dim t As Double
.ase 31
Dim dado As Double
x = ,4
Dim aleatorio1 As Double
.ase 41
Dim aleatorio2 As Double
x = 01
Dim A() As Double
.ase x = 1
n = nput!ox("#o$ many times you $ant to play%") ReDim A(1 &o n)
'or i = 1 &o n x= t= Do ntil x = 1 aleatorio1 = rnd*(1+ ,) aleatorio2 = rnd*(1+ ,) dado = aleatorio1 - aleatorio2 t=t-1 x = x - dado Select .ase x .ase / x = 1/ .ase 0
.ase 0 x = 4 .ase 03 x = 43 .ase 0 x = 4 .ase 4 x = 2/ .ase ,/ x = , .ase ,2 x = 10 .ase 3, x = 3 .ase /4 x = 2,
2
.ase /0
Randomi*e
x = 11
rnd* = nt(Rnd() < b 6 A - 1) - A
.ase 1,
End 'unction
x=, .ase s 5 1
Public Sub imprimir9matri*(!yRe A() As Double)
x = 1 6 dado
Dim 71 As Double
.ase Else
Dim 1 As Double
x=x
Dim i As Double
End Select
7oop 71 = 7!ound(A+ 1)
A(i) = t
1 = !ound(A+ 1)
8ext i
'or i = 71 &o 1
imprimir9matri* A
>orks?eets("#o@a1").ells(i+ 1):alue = A(i) End Sub
8ext i
Public 'unction rnd*(!y:al A As nte;er+ !y:al b As nte;er) As nte;er
e
(i*%l#&e' 2;,;;; &i*e( &)e "#*e o0&#inin" 2;,;;; #n(er( for &)e %e(&ion e propo(e #& &)e 0e"innin". To pre(en& &o &)e re#'er # o*ple&e i'e# of &)e re(%l&( e prep#re' #n (&#&i(&i#l #n#l(i(.
Statistical analysis
M9i*%* Mni*%* R#n1 A/er#"e
End Sub
2= 2F ?.>?F
Mo'e Me'i#n $eren&ile ? $eren&ile V#ri#ne S&#n'#r' 'e(/i#&ion
2? ?? 2F ? ?;.?;?;? 2.>2=F;
B &)i( '#&# e #n 1no &)#& in #/er#"e,e e9pe& ? &o((e( of # 'ie in # re"%l#r Sn#1e( #n' l#''er( 3
"#*e,&)i( re(%l& i( re#ll er&#in if e on(i'er &)e n%*0er of e9peri*en&( re#liHe' 2;,;;; in &)i( #(eJ.
In &)i( "r#p)i i( e#( &o o0(er/e &)e *ini*%n,&)e *#9i*%n, *o'e,*e'i#n #n' &)e peren&ile(.
e #n o0(er/e &)i( '#&# in&)e folloin" "r#p)i &)#& il%(&r#&e( 'e 'i(per(ion of &)e o0&#ine' re(%l&( in &)e (i*%l#&ion #n' &)e fre%en i&) )i) e#) one i( o0&#ine':
T#l1in" 1no #0o%& pro0#0ili& e #n o0&#in &)e %*%l#&i/e 'i(&ri0%&ion f%n&ion (ine &)e pre/io%( re(%l&(, e %(e' &)e (#*e one( of &)e (&#&i(&i#l #n#l(i(.
Absolute Frequency 600 400
Frequency
200 0 0
20
40
60
80 100 120 140
Number of moes
nterBal
Absolute 'reCuency
RelatiBe 'reCuency
.ummulatiBe Probability
; ?; F; 2 3; / >; , 2;; 1 2?; 12 2F; &O&A7
; F2= F?3 222 22 >> 2 = 2;;;;
; ;.F2= ;.F?3 ;.222 ;.;22 ;.;;>> ;.;;2 ;.;;;= 2
; ;.F2= ;.>F3? ;.== ;.=>= ;.==> ;.===2 2
i&) &)i( �le e "r#p)e' &)e %*%l#&i/e 'i(&ri0%&ion f%n&ion for &)e e9peri*en&:
4
!ummulatie "robability 1.5
1
!ummuluatie "robability
An' &)e %*%l#&i/e 'i(&ri0%&ion( of &)e )i(&o"r#*5( in&er/#l(, )ere e #n o0(er/e le#rl &)e in&er/#l &)#& %i1l #%*%l#&e( pro0#0ili&, #"#in ne#r &)e #/er#"e.
0.5
0 -10 40
90 140
Number of moes
T)i( i( # /er e#( # &o o0(er/e &)e f#(& "roin" of &)e %*%l#&i/e pro0#0ili& in &)e @r(& in&er/#l( ne#r &)e #/er#"e /#l%e: ?.>?F &o((e( of
# 'ie4 #n' &)en "r#'%#ll &en'( &o 2. To @ni() &)i( (&#&i(&i#l #n#l(i( e pre(en& &)e fre%en )i(&o"r#* o0&#ine' of &)e '#&# inl%'in" &)e #0(ol%&e fre%en of e#) in&er/#l in &)e )i(&o"r#*, )ere e #n o0(er/e &)e *#9i*%* #n' &)e *o'e in &)e n%*0er( ne#r &)e #/er#"e of &)e re(%l&(.
#istogram and Absolute Frequency
7imitations
Si*%l#&ion i( # poerf%ll &ool &)#& )elp %( @n'in" #n(er( or (ol%&ion( &o pro0le*( &)#& #n#l&i#ll o%l' 0e 'iK%l& or i*po((i0le &o @n', 0%& in *#n (o*e&i*e( &)e (of&#re, &)e #l"ori&)* or o&)er e9&ern#l f#&or( in%ene in &)e re(%l&( of &)e (i*%l#&ion, &)#& #n *#'e &)e #n#l(i( # li&&le i*prei(e. If o% #n& &o orro0or#&e &)e f%n&ion#li& of &)e pre/i%(l e9po(e' (o%re pro"r#*, o% onl )#/e &o open # ne 0oo1 in e9ell, pre(( Al&<22,in(er& # ne *o'%le, op &)e pro"r#* #n' r%n i&, 0%& &)e re#'er nee' &o on(i'er &)e li*i&#&ion( i& )#(.
5000 4000 3000 2000
Frequency
1000 0
$nteral
5
In o%r #n#l(i( #(e, &)e li*i&#&ion( e )#' ere: 2. T)e "ener#&or of r#n'o* n%*0er( of &)e BVA (of&#re, )i) eren5& re#l +"oo'- %nifor* r#n'o* n%*0er(, &)i( 'e@ien ill "i/e # 0i#( in &)e re(%l&. ?. T)e (i*%l#&ion i( #lle"e' for onl one pl#er, &)e "#*e on&%n%e( %n&il &)i( %ni%e pl#er re#)e( &)e 2;; (%#re, re*o/in" &)e pro0#0ili& &)#& &)e "#*e en'( 0efore if one of &)e o&)er pl#er( in. . T)e pro"r#* onl plo& &)e *#&ri9 i&) &)e n%*0er of &o((e( of # 'ie nee'e' &o in &)e for e#) "#*e pl#e' #pplie' 0 &)e %(er, #ll &)e (&#&i(&i(, &)e "r#p)( #n' &)e @n#l n%*0er( e pre(en&e' in &)i( #n#l(i( &)e re#'er ill )#/e &o *#1e %(e %f &)e &ool( in e9el &o o0&#in &)e*. arkoB c?ain analysis
An en&r in roi #n' ol%*nP of &)e &r#n(i&ion *#&ri9 "i/e( &)e pro0#0ili& of *o/in" fro* lo#&ion i &o lo#&ion P on &)e ne9& *o/e. T)ere #re (&ill (i9 po((i0le o%&o*e( i&) e%#l pro0#0ili& of 2Q3, 0%& &)i( &i*e, r#&)er &)#n 0ein" on(e%&i/e, &)e (o*e&i*e( reor' &)e lo#&ion( &)#& o%l' 0e P%*pe' &o if &)e pl#er l#n'( on # (n#1e or # l#''er. T)ere #re P%(& # o%ple of o&)er (en#rio( e nee' &o orre&l #''re(( #n' ell 0e #0le &o on(&r%& # f%ll (&o)#(&i &r#n(i&ion *#&ri9 for o%r "#*e.
G#*e( li1e Sn#1e( #n' L#''er( #re i'e#l #n'i'#&e( for M#r1o/ )#in #n#l(i( 0e#%(e, #& #n &i*e, &)e pro0#0ili&ie( of e/en&( &)#& ill )#ppen in &)e f%&%re #re %n#e&e' 0 )#& )#ppene' in &)e p#(&. If # pl#er i( #& "ri' (%#re G )en )e roll(, one of (i9 &)in"( o%l' )#ppen i&) e%#l pro0#0ili&J, #n' 0#(e' on &)e(e pro0#0ili&ie( &)e pl#er o%l' #'/#ne &o one of &)e ne9& (%#re(. T)e(e pro0#0ili&ie( #n 0e repre(en&e' #( # (p#r(e *#&ri9 )i) reor'( &)e pro0#0ili& of *o/in" fro* po(i&ion i on &)e "#*e 0o#r' &o po(i&ion P. T)i( *#&ri9 i( #lle' # Tr#n(i&ion M#&ri9.
T)e @r(& i( # on'i&ion in )i) i& i( po((i0le &o l#n' in # lo#&ion 0 *ore &)#n one *e#n( fro* # (in"le roll. T)e (eon' on'i&ion &)#& in&ere(&( %( i( &)e 0o%n'#r (en#rio in )i) &)e pl#er i( lo(e &o &)e @ni(). Sine #n e9#& roll i( no& nee'e', &)ere #re *%l&iple #( &o "e& &o (%#re 2;;. 6
&ransition matrix
Af&er &)e (&o)#(&i pro0#0ili&ie( for e#) (%#re #re en&ere', &)e re(%l& i( # &r#n(i&ion *#&ri9 &)#& i( # 2;2 9 2;2 "ri', 0e#%(e prior &o &)eir @r(& roll(, pl#er( 0e"in &)e "#*e i&) &)eir &o1en( o &)e 0o#r' #( if&)ere ere # (%#re ;, i( (p#r(e in n#&%re. T)e(e (%#re( 'on& nee' &o 0e 'e@ne' #( (ep#r#&e (&#&e( (ine l#n'in" on one of &)e* in(&#n&l &r#n(por&( &)e pl#er &o &)e o&)er en'. In &)e 2;2 9 2;2 *#&ri9&)e(e ro( #n' ol%*n( #re f%ll of re'%n'#n& Hero(. To il%(&r#&e &)i( i'e#, e pre(en& &)e rele/#n& p#r&( of &)e &r#n(i&ion*#&ri9 &)#& e on(&r%&e':
?. T)e in&er*e'i#&e p#r&( of &)e &r#n(i&ion *#&ri9: STAR T 22 2? 2 2F 2 23 2 2> 2= ?; ?2 ?? ? ?F ?
14
1
10
2
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ;
0
/
; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ;
21
22
2
2/
; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ;
/1
/2
/
//
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ;
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ;
; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2. T)e (&#r& of &)e "#*e: STAR T
1
2
2
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2Q 3
?
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4
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; 2Q 3 2Q 3 2Q 3 2Q 3 2Q 3 2Q 3 ; ;
;
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STAR T 4 2 ; 23 ; 2 ; 2> ; 2= ; ?; ; ; ; 2 2Q3 ? 2Q3 2Q3 F 2Q3 2Q3 3 2Q3 ; > ; = ; F; ; F2 ; F? ; F ;
.T)e p#r&( in &)e &r#(i&ion *#&ri9 &)#& o% )#/e *ore pro0#0ili& &o re#) '%rin" &)e "#*e: 7
STAR T F 3 > = 3; 32 3? 3 3F 3 33
3
30
,
,1
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ; ;
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q 2Q 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ;
; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ;
,2
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
,
,/
; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
,3 ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ;
F.T)e @n#ll p#r&( of &)e *#&ri9 &)#& inl%'e &)e pro0#0ili& of innin" &)e "#*e &)e ol%*n( #n' ro( &)#& 'on 5& #ppe#r ore &)e one( i&) re'%n'#n& Hero(J: STAR T 3 33 3 3> 3= ; F 3 > = > >3 > >> >= =; =2 =?
01
02
0/
0,
04
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3
00
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
1
; ; ; ; ; ; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ; ; ; ;
= =F = =3 = => == 2;;
; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ; ; ;
2Q3 ; ; ; ; ; ; ;
2Q3 2Q3 2Q3 ; ; ; ; ;
2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ; 2Q3 ; 2Q3 ; ; ; ;
; 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 2Q3 ;
Yo% #n orro0or#&e &)i( &r#n(i&ion *#&ri9 )e1in" i& i&) &)e Sn#1e( #n' L#''er( 0o#r' pre(en&e' on p#"e 2. To 'e&er*ine &)e pro0#0ili&ie( of )#& i( "oin" &o )#ppen on &)e ne9& roll, e %(e &)e o%&p%& of &)e @r(& roll #( &)e inp%& for &)e (eon' roll. e 'o &)i( 0 *%l&iplin" 0 &)e &r#n(i&ion *#&ri9 #"#in. T)e re(%l&in" o%&p%& i( &)e (%perpo(i&ion of &)e pro0#0ili&ie( fro* e#) of &)e (&#r&in" lo#&ion(. e #l%l#&e &)e pro0#0ili& of 0ein" in # (p#e on &)e 0o#r' 'epen'in" on &)e (&#r&in" poin& of e#) &%rn, e (i*%l#&e &)i( roll( in o%r pro"r#* 'e(ri0e' on p#"e ? #n' , e #&)e' &)#& i( li1el &o o%p 0e)#/e( &)e 'ieren& (p#e( on &)e 0o#r', (o e#) roo* )#( # 'ieren& pro0#0ili& 'epen'in" on &)e n%*0er of roll 0ein" %(e'.
T)e '#r1er (%#re( repre(en& &)e re"ion( of )i")er pro0#0ili&, )ile &)e )i&e (%#re( repre(en& re"ion( of Hero pro0#0ili&. T)ere #re (i9 ()#'e' (%#re(, e#) i&) e%#l pro0#0ili&, repre(en&in" &)e (%#re( &)#& o%l'
8
)#/e 0een #)ie/e' i&) e#) 'i(&in& roll of &)e 'ie. Yo% #n (ee &)#& &o of &)e roll( re(%l&e' in &)e %(e of l#''er( .
S)o( @/e roll(
S)o( (i9 roll(
T)e re(%l&in" o%&p%& i( &)e (%perpo(i&ion of &)e pro0#0ili&ie( fro* e#) of &)e (&#r&in" lo#&ion(
I& ()o( &)e pro0#0ili& 'i(&ri0%&ion #f&er ?; *o/e( T)e(e (p#e( #re *ore li1el &o 0e o%pie' #f&er &o roll( 0e#%(e of &)e *%l&iple #( &o "e& &)ere. S)o( &)ree roll( Results
S)o( fo%r roll(
T)e re(%l&( of &)e M#r1o/ )#in( #n#l(i( #re il%(&r#&e' in # (i*ple olore' *#&ri9, )ere &)e re#'er #n o0(er/e i&) *ore olor (#&%r#&ion &)e (%#re( &)#& )#/e *ore pro0#0ili& &o re#) 'epen'in" &)e one &)#& o% #re. T)i( ill "i/e %( #n i'e# of &)e *o(& pro0#0l p#&) &)e "#*e ill e #n' &)e (%#re o% o%l'/i(i& i&) *ore er&#inl.
9
.onclusions
I&( po((i0le &o %(e %i&e (i*ple *#&) &o *o'el o%&o*e( of (ee*in"l o*ple9 "#*e(. If o% #n repre(en& o%r "#*e #( (o*e for* of +*e*orle((- @ni&e (&#&e *#)ine &)en, &)ro%") &)e %(e of M#r1o/ )#in #n#l(i(, o% #n e9#&l
#l%l#&e &)e pro0#0ili& 'i(&ri0%&ion of f%&%re (&#&e(. If # none9#& (ol%&ion i( #ll &)#& i( nee'e', or o% 'on& %n'er(&#n' &)e (%0&le&ie( of &)e pro0#0ili&ie(, &)en # (i*%l#&ion *o'el i( #n (of&#re i&) &)e #ppropri#&e n%*0er of e9peri*en&( #n pro'%e perfe&l #ep�le #ppro9i*#&ion( i&)o%& eli*in#&in" i&( li*i&#&ion(.
10
