Tevcic zbirk

VELEUČILIŠTE U KARLOVCU

Marina Tevčić : Zbirka zadataka iz Matematike 1

Karlovac, 2007.

SADRŽAJ 1. VEKTORI

1

2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 2.1. Ravnina 2.2. Pravac 2.3. Pravac i ravnina

14 14 21 31

3. MATRICE I DETERMINANTE 3.1. Matrice 3.2. Determinante 3.3. Sustavi linearnih jednadžbi

36 36 44 48

4. FUNKCIJE 4.1. Funkcije 4.2. Limes niza realnih brojeva 4.3. Neprekidnost i limes funkcije

62 62 77 81

5. DIFERENCIJALNI RAČUN 5.1. Derivacija nekih osnovnih funkcija 5.2. Osnovna pravila deriviranja 5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije 5.4. Logaritamsko deriviranje 5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije 5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije 5.7. Derivacije višeg reda 5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju 5.9. Diferencijal funkcije 5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije 5.11. Taylorova formula 5.12. L'Hospitalovo pravilo 5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije 5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije 5.15. Asimptote 5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije 5.17. Zakrivljenost krivulje

91 91 96 97 102 105 107 110 116 121 123 124 127 132 138 142 146 156

6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 6.1. Metoda sekante 6.2. Metoda tangente

159 159 164

7. LITERATURA

177

PREDGOVOR Sama ideja pisanja ove zbirke zadataka potekla je od profesora Dragutina Peršea, koji me je upozorio da studenti Veleučilištu u Karlovcu, nailaze na mnoge poteškoće zbog nedostatka odgovarajuće literature za vježbu. To me je ponukalo da na jednom mjestu skupim sve one zadatke, koje sam godinama rješavala zajedno sa studentima na predavanjima, auditornim vježbama, ispitima. Zbirka je podijeljena na 6 poglavlja, a neka od njih i na potpoglavlja. Organizirana je tako da prati propisani nastavni plan i program iz kolegija Matematika I. Nadam se da ćete ovu zbirku zadataka koristiti kao dopunski izvor zadataka za vježbu, ali tek nakon što ste usvojili teoretsko znanje na predavanjima ili iz pratećeg udžbenika, te samostalno riješili primjere obrađene na predavanjima, odnosno auditornim vježbama. Primjeri obrađeni u zbirci uglavnom su detaljno riješeni, samo ponegdje je preskočen jednostavni račun. Nakon svake cjeline, dani su još dodatni zadaci za vježbu uz predočenje konačnog rješenja. Rješavajući samostalno ove zadatke, doći ćete do rješenja. Kontrolirajući Vaša rješenja sa ovdje ponuđenim rješenjima, možda ćete naići na neke pogreške. Bit ću Vam zahvalna da me na njih upozorite. Trudit ću se ispraviti ih i ispravke unijeti u eventualno novo izdanje zbirke. Najveći teret oko čitanja, korigiranja, poboljšanja ovog rukopisa, podnijela je dipl.ing. matematike, gospođa Jasna Hoppe. Hvala ti, Jasna. Zahvaljujem recenzentima: profesoru Dragutinu Peršeu, profesorici Ljubici Štambuk, profesoru Darku Vyroubalu, koji su tekst pomno pregledali i dali korisne primjedbe i sugestije. Veliku podšku u radu davao mi je profesor Dane Momčilović, koji me je i uveo u sve one nepisane male tajne nastavničkog zvanja, bez njegove pomoći ne bi nastala ova zbirka. Ipak, najveći doprinos dali su studenti kojima sam predavala. Zajedno smo osmišljavali, prilagođavali zadatke, ponekad uživali rješavajući ih, ponekad nam je njihovo rješavanje zadavalo sitne glavobolje, ali u konačnosti trud se isplatio. Ovladali smo materijom, ali i dokazali sebi samima onu poznatu izreku našeg velikog matematičara i pjesnika, Vladimira Devidea: «Matematika nipošto nije suhoparna, dosadna i bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke uzvraća ljubav onome koji je razumije i voli.» I na kraju, dobra zabava svima Vama koji ćete se prihvatiti rješavanja zadataka iz ove zbirke. Karlovac, 01.10.2007.

Marina Tevčić

Zbirka zadataka iz Matematike 1

1

1. VEKTORI Primjer 1.

r

r

r

Neka su vektori AB = c , BC = a , CA = b stranice trokuta ABC.

r r r

a) pomoću vektora a, b, c izrazite vektore težišnica AD , BE , CF b) pokažite da i težišnice mogu biti stranice nekog trokuta c) pokažite da je ED =

1 AB 2

R.

a)

r 1r 1 AD = AB + BD = AB + BC = c + a 2 2 r 1 1r BE = BC + CE = BC + CA = a + b 2 2 r 1 1r CF = CA + AF = CA + AB = b + c 2 2 r

b) treba pokazati da vrijedi AD + BE + CF = 0

(

)

r 1 r r 1 r r 1 r 3 r 3 r 3 r 3 r r r 3 r r AD + BE + CF =  c + a  +  a + b  +  b + c  = a + b + c = a + b + c = ⋅ 0 = 0 2 2 2 2 2  2 2   2   

c) ED = EC + CD = −

(

)

r 1r 1r 1 r r 1 1r 1 b − a = − a + b = − ⋅ (− c ) = c = AB 2 2 2 2 2 2

Primjer 2. r r Nađite vektor a za koji vrijedi a x = −2 , a y = 3 i a = 7 . R.

r 2 2 2 a = ax + ay + az

7 = (− 2) + 3 2 + a z = 13 + a z ⇒ a z = 49 − 13 = 36 ⇒ a z = ±6 r r r r r r r r ⇒ a1 = −2 i + 3 j − 6k, a 2 = −2 i + 3 j + 6k 2

2

2

2

2


Primjer 3. r Odredite radij-vektor a ako se zna da mu je modul 2 3 i da sa koordinatnim osima zatvara jednake kuteve. R.

r

Ako je a radij-vektor, a α , β , γ

kutevi koje zatvara s koordinatnim osima, tada vrijedi :

ay a a cos α = rx , cos β = r , cos γ = rz . a a a Radij-vektor možemo napisati u obliku :

r r r r r r r r r r a = a x ⋅ i + a y ⋅ j + a z ⋅ k = a ⋅ cos α ⋅ i + a ⋅ cos β ⋅ j + a ⋅ cos γ ⋅ k r r r r r a = a ⋅ cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k .

(

)

Za kuteve α , β , γ vrijedi i jednakost : cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Kako je α = β = γ

⇒

1

3 ⋅ cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ±

3

(

=±

3 , pa je 3

r r r  3r r 3r 3 r  a = ±2 3 ⋅  i+ j+ k  = ± 2 i + 2 j + 2k 3  3  3

)

Primjer 4. Zadana su tri uzastopna vrha A = (1,−2,3 ) , B = (3,2,1) i C = ( 6,4,4 ) paralelograma ABCD. Nađite koordinate vrha D i koordinate sjecišta dijagonala. R.


3

r r r r rD = OD = OA + AD = OA + BC = rA + rC − rB = r r r r r r r r r r r = i − 2 j + 3k + 6 i + 4 j + 4k − 3 i + 2 j + k = 4 i + 6k ⇒ D = (4,0,6 )

(

) (

) (

)

r r 1 r r 1 1r 1r rS = OS = OA + AS = OA + AC = rA + (rC − rA ) = rA + rC = 2 2 2 2 r r 1 r r r 7r r 7r 1 r 7 7 = i − 2 j + 3k + 6 i + 4 j + 4k = i + j + k ⇒ S =  ,1,  2 2 2 2  2 2

(

) (

)

Primjer 5. Zadana su točke A = (1,2,3 ) i B = (8,7,6 ) . Nađite točku C koja dužinu AB dijeli u omjeru 2:3. R.

4


r r 2 r r 2 3r 2r rC = OC = OA + AC = OA + AB = rA + (rB − rA ) = rA + rB = 5 5 5 5 r r r r r r r r r 3 2 19 21  19 21 = i + 2 j + 3k + 8 i + 7 j + 6k = i + 4 j + k ⇒ C =  ,4,  5 5 5 5 5  5

(

) (

)

Primjer 6.

r

r

r

r

r

r

r

r

Nađite skalarni produkt vektora m = 3a − 2b i n = 5a − 6b , ako je a = 4 , b = 6 , a ϕ kut

r

r

između vektora a i b , ϕ =

π . 3

R.

(

)(

)

r r r r r r r r r r r r r r m ⋅ n = 3a − 2b ⋅ 5a − 6b = 15 ⋅ a 2 − 18 ⋅ a ⋅ b − 10 ⋅ a ⋅ b + 12 ⋅ b 2 = 15 ⋅ a 2 − 28 ⋅ a ⋅ b + 12 ⋅ b 2 = 1  π = 15 ⋅ 4 2 − 28 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ cos  + 12 ⋅ 6 2 = 15 ⋅ 16 − 28 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ + 12 ⋅ 36 = 336 2 3

Primjer 7.

r

r

r

r

r

r

Nađite a − 3b ako je a = 3 , b = 2 , a ϕ kut između vektora a i b , ϕ = R.

r r a − 3b =

(ar − 3br )⋅ (ar − 3br ) =

r r r r a2 − 6 ⋅ a ⋅ b + 9 ⋅ b2 =

π . 3

r2 r2 r r a − 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ϕ + 9 ⋅ b =

 π = 3 2 − 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ cos  + 9 ⋅ 2 2 = 9 − 18 + 36 = 27 3

Primjer 8.

r

r

r

r

r

r

r

Odredite parametar λ tako da vektori a = 4λ i − 3 j + 2λk i b = −λ i + 5k budu međusobno okomiti. R.

r r r r a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ⇒

4λ ⋅ (− λ ) + (− 3 ) ⋅ 0 + 2λ ⋅ 5 = 0 − 4λ2 + 10λ = 0 ⇒ λ 1 = 0, λ 2 =

5 2


5

Primjer 9. Odredite površinu trokuta ABC koji ima vrhove A = ( 4,4,2), B = (2,4,2), C = (3,3,6). R.

Označimo :

r r r r r r a = AB = rB − rA = −2 i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k . r r r r r r b = AC = rC − rA = − i − j + 4k

Površina trokuta je P =

r r i j r r a×b = − 2 0 −1 −1

1r r a×b . 2

r k r r r r r 0 = i ⋅ 0 − j ⋅ ( −8) + k ⋅ 2 = 8 j + 2k 4

r r a × b = 8 2 + 2 2 = 68

⇒

P=

68 = 4.123 2

Primjer 10.

( r r) ( r

r

Izračunajte površinu paralelograma određenog vektorima 2b − a i 3a + 2b

)

r

ako je a = 4 ,

r r r π b = 5 , a ϕ kut između vektora a i b , ϕ = . 4 R. r r Površina paralelograma je P = m × n .

r

r

r

r

r

r

Označimo m = 2b − a , n = 3a + 2b , pa je :

(

)( ) ( ) ( )

r r r r r r r r r r r r r r m × n = 2b − a × 3a + 2b = 2b × 3a + 2b × 2b − a × 3a − a × 2b = r r r r r r r r r r r r r r = 6 ⋅ b × a + 4 ⋅ b × b − 3 ⋅ (a × a ) − 2 ⋅ a × b = −6 ⋅ a × b − 2 ⋅ a × b = −8 ⋅ a × b

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

r r r r r r r v 2 P = m × n = − 8 ⋅ a × b = − 8 ⋅ a × b = 8 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin ϕ = 8 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ = 80 ⋅ 2 = 113 .137 2

6


Primjer 11. Kolika je duljina visine spuštene iz vrha C trokuta ABC, ako su A=(2,-3,1), B=(-2,1,4), C=(3,1,1). R.

2 ⋅ P AB × AC 1 Kako je površina trokuta P = ⋅ AB ⋅ v , a to daje v = . = 2 AB AB

r r r r r r r r AB = rB − rA = (− 2 − 2) ⋅ i + (1 + 3 ) ⋅ j + (4 − 1) ⋅ k = −4 i + 4 j + 3k r r r r r r r AC = rC − rA = (3 − 2) ⋅ i + (1 + 3 ) ⋅ j + (1 − 1) ⋅ k = i + 4 j r r r i j k r r r r r r AB × AC = − 4 4 3 = i ⋅ (− 12 ) − j ⋅ ( −3) + k ⋅ (− 16 − 4 ) = −12 i + 3 j − 20k 1 AB × AC = AB = ⇒

4 0

(− 12)2 + 3 2 + (− 20 )2

(− 4)2 + 4 2 + 3 2

v=

553 41

= 553

= 41

= 3.672

Primjer 12. Zadani su vrhovi tetraedra A=(1,-2,3), B=(-2,1,2), C=(3,5,-6), D=(4,2,1). Izračunajte volumen tog tetraedra. R. Volumen tetraedra je

V=

(

)

(

)

1 1 AB, AC, AD = AB × AC ⋅ AD . 6 6

r r r r r r r r AB = rB − rA = (− 2 − 1) ⋅ i + (1 + 2) ⋅ j + (2 − 3 ) ⋅ k = −3 i + 3 j − k r r r r r r r r AC = rC − rA = (3 − 1) ⋅ i + (5 + 2) ⋅ j + (− 6 − 3 ) ⋅ k = 2 i + 7 j − 9k r r r r r r r r AD = rD − rA = (4 − 1) ⋅ i + (2 + 2) ⋅ j + (1 − 3 ) ⋅ k = 3 i + 4 j − 2k


7

− 3 3 −1 AB × AC ⋅ AD = 2 7 − 9 = −122 3 4 −2

(

⇒

)

− 122

V=

6

= 20.3&

Primjer 13. Da li su točke A=(1,-1,1), B=(0,2,4), C=(1,3,3), D=(4,0,-3) komplanarne ? R. Točke A, B, C, D bit će komplanarne ako leže u istoj ravnini, a onda su i vektori AB, AC, AD komplanarni, što znači da im mješoviti produkt mora biti jednak 0.

r r r r r r r r AB = rB − rA = (0 − 1) ⋅ i + (2 + 1) ⋅ j + (4 − 1) ⋅ k = − i + 3 j + 3k r r r r r r r r AC = rC − rA = (1 − 1) ⋅ i + (3 + 1) ⋅ j + (3 − 1) ⋅ k = 0 ⋅ i + 4 j + 2k r r r r r r r r AD = rD − rA = (4 − 1) ⋅ i + (0 + 1) ⋅ j + (− 3 − 1) ⋅ k = 3 i + j − 4k

−1 3 3 AB × AC ⋅ AD = 0 4 2 = 0 3 1 −4

(

)

(

)

Dobili smo da je mješoviti produkt AB × AC ⋅ AD = 0 , što znači da su ti vektori komplanarni, a time su i točke A, B, C, D komplanarne.

Primjer 14.

r

r

r

r

r

r

r

r r

r

r

r

Odredite parametar t tako da vektori a = − i + 3 j + 2k , b = 2 i − 3 j − 4k , c = t i + 12 j + 6k

r

r

r

budu komplanarni. Rastavite vektor c u smjeru vektora a i b . R.

( )

Treba odrediti t tako da vrijedi : a × b ⋅ c = 0 .

−1 3 2 a × b ⋅ c = 2 − 3 − 4 = −6t − 18 t 12 6

( ) ⇒ ⇒

− 6t − 18 = 0 ⇒ t = −3 r r r r c = −3 i + 12 j + 6k

8


r r r c = λa + µb ⇒ − 3 = λ ⋅ (− 1) + µ ⋅ 2 r r r  12 = λ ⋅ 3 + µ ⋅ (− 3 ) ⇒ λ = 5 , µ = 1 ⇒ c = 5a + b 6 = λ ⋅ 2 + µ ⋅ (− 4 ) 

Primjer 15.

(r r ) na vektor br

r

Nađite skalarnu komponentu projekcije vektora d = a × b × c

r r r r r r r r r r r a = j + 2k, b = 2 i + j − k, c = 2 i + j + k .

ako su :

R.

r r r i j k r r r r r r r b × c = 2 1 − 1 = i ⋅ (1 + 1) − j ⋅ (2 + 2) + k ⋅ (2 − 2) = 2 i − 4 j 2 1

1 r i r r r r d = a× b×c = 0

(

)

r j 1

r k r r r 2 = 8 i + 4 j − 2k

2 −4 0 r r r d ⋅ b 2 ⋅ 8 + 1⋅ 4 + ( −1) ⋅ ( −2) 16 + 4 + 2 22 11 6 = = = dbr = r = 3 6 6 b 2 2 + 12 + ( −1) 2

Primjer 16.

r

r

r

r

r

r

r

Zadan je vektor a = 3 i + 6 j . Odredite vektor b u ravnini tako da je b ⊥ a i b = 5 . R.

r r r r r r r a ⊥ b ⇒ a ⋅ b = 0 ⇒ 3b x + 6b y = 0  a = 3i + 6 j   r r r ⇒ r  ⇒ 2 2 b = b x i + b y j  b = 5 ⇒ bx + by = 5  3b x + 6b y = 0 r r r r r r b 2 , b 1 b 2 i j , b 2 i+j ⇒ = ± = m ⇒ = − = −  x y 1 2 2 2 b x + b y = 5  Primjer 17.

r

r

r

Izračunajte površinu trokuta što ga razapinju vektori x = b − a

r r r r r r r r r r r r a = 2 i − j + k, b = i + j + 3k, c = 4 i − 2 j + k .

R.

(

) (

)

r r r r r r r r r r r r x = b − a = i + j + 3k − 2 i − j + k = − i + 2 j + 2k

r

r

r

r

i y = 2a + b − c

ako su


(

9

) (

) (

)

r r r r r r r r r r r r r r r r y = 2a + b − c = 2 2 i − j + k + i + j + 3k − 4 i − 2 j + k = i + j + 4k

r i r r x × y = −1 1

P=

r j 2 1

r k r r r r r r 2 = i ⋅ (8 − 2) − j ⋅ ( −4 − 2) + k ⋅ ( −1 − 2) = 6 i + 6 j − 3k 4

1 r r 1 2 81 9 ⋅ x×y = = 6 + 6 2 + ( −3 ) 2 = 2 2 2 2

Primjer 18.

r

r

r

r

r

r

Odredite parametar k tako da vektor a = − i + (k − 2 ) ⋅ j zatvara s vektorima b = −12 i − 5 j

r

r

r

i c = 4 i − 3 j jednake kuteve. R.

r v a⋅b (−1) ⋅ (−12) + (k − 2) ⋅ (−5) 22 − 5k cosα = r v = = a⋅b (−1)2 + (k − 2)2 ⋅ (−12)2 + (−5)2 1+ (k − 2)2 ⋅ 169 r r a⋅c (−1) ⋅ 4 + (k − 2) ⋅ (−3) 2 − 3k cos γ = r r = = 2 2 2 2 a⋅c (−1) + (k − 2) ⋅ 4 + (−3) 1+ (k − 2)2 ⋅ 25 Kako su kutevi α i γ jednaki, cos α = cos γ , što daje :

22 − 5k 1+ (k − 2) ⋅ 169 2

22 − 5k 13 ⋅ 1+ (k − 2)2

=

=

2 − 3k 1+ (k − 2)2 ⋅ 25

2 − 3k 5 ⋅ 1+ (k − 2)2

(22 − 5k ) ⋅ 5 = (2 − 3k ) ⋅ 13

⇒

22 − 5k 2 − 3k = 13 5

⇒ 14k = −84

r r r k = −6 ⇒ a = − i − 8 j

Primjer 19. Nađite kuteve trokuta s vrhovima A=(2,3,-1), B=(2,1,2), C=(3,0,0).

10


R.

r r r r r AB = rB − rA = 0 ⋅ i − 2 j + 3k  AB = 0 2 + ( −2) 2 + 3 2 = 13    r r r r r   ⇒ AC = rC − rA = i − 3 j + k  AC = 12 + ( −3) 2 + 12 = 11  ⇒ r r r r r   BC = rC − rB = i − j − 2k  2 2 2 BC = 1 + ( −1) + ( −2) = 6   cos α =

⇒ cos β =

cos γ =

AB ⋅ AC AB ⋅ AC BA ⋅ BC BA ⋅ BC CA ⋅ CB CA ⋅ CB

=

=

=

0 + ( −2) ⋅ ( −3) + 3 ⋅ 1 13 ⋅ 11

= 0.752617 ⇒ α = 41010 ' 56 ''

0 + ( −1) ⋅ 2 + ( −2) ⋅ ( −3) 13 ⋅ 6

= 0.452910 ⇒ β = 63 0 4 '10 ''

( −1) ⋅ ( −1) + 3 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ 2 11 ⋅ 6

= 0.246182 ⇒ γ = 75 0 44 ' 54 ''

Primjer 20. Točke A=(1,-2,3), B=(4,1,-1), C=(2,0,1) vrhovi su trokuta. Izračunajte duljinu težišnice spuštene iz vrha C. R.

r r 1 r r 1 1 r 1 r r ⋅ AB = rA − rC + ⋅ (rB − rA ) = ⋅ rA + ⋅ rB − rC = 2 2 2 2 r r r r r r r r r r 1 1 1 1 = ⋅ i − 2 j + 3k + ⋅ 4 i + j − k − 2 i + k = ⋅ i − ⋅ j 2 2 2 2

CC1 = CA + AC1 = CA +

(

)

(

2

) (

2

 1  1 ⇒ CC1 =   +  −  =  2  2

1 2 = 2 2

)


11

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite parametar

λ

tako da

r r r c = 3 i − 4 j jednake kuteve, ako je r

r

vektor

r a

zatvara

r r r a = (λ + 1) i + j .

r

s

vektorima

r r

r

r r r b = 5 i + 12 j

2. Zadan je vektor a = 4 i + 2 j . Odredite vektor b u ravnini tako da je b⊥a i

i

r b = 5.

3. Nađite duljine stranica i kuteve trokuta sa vrhovima : A=(-1,2,3) , B=(2,1,2), C=(0,3,0). 4. Točke A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) i piramide i visinu na bazu ABC.

D(2,3,8) su vrhovi piramide. Izračunajte volumen

r

r

r

5. Odredite površinu trokuta što ga zatvaraju vektori p = c − 2b i

r r r r r r r r r r r a = 2 i + 3 j − k , b = −3 j + 2k , c = i − 4 j + 2k .

6. Kolike su duljine dijagonala paralelograma ABCD, ako je

r a =2 2,

r r r π b = 3 , ∠(a, b) = 4

r r r q = b − a , ako su

r r r r AB = 5a + 2b , AD = a − 3b ,

?

7. Neka su točke A=(5,-1), B=(-3,0), C=(7,7) vrhovi trokuta. Odredite duljine težišnica trokuta.

r

r OB = b .

r OC = c r r r Izrazite vektor a kao linearnu kombinaciju vektora b i c . 8. Dani su vektori OA = a

i

Vektor

je težišnica trokuta OAB.

9. Odredite veličinu najvećeg kuta trokuta ∆ABC, ako je A(-1,2), B(1,-1), C(6,1).

10. Vektor BD prikažite kao linearnu kombinaciju vektora AB B(1,1), C(2,-3), D(-7,-2).

i BC , ako je A(-1,2),

r r r a = (1,1,1) , b = (1,−2,0) . Nađite takav vektor c da bude komplanaran r r r r r sa vektorima a i b , okomit na vektor a i da bude c ⋅ b = 14 .

11. Dani su vektori

r r r r a = ( −1,3,0) , b = (2,−4,1) , c = (3,4,5) , d = ( −1,−19,−8) . Izrazite r r r kao linearnu kombinaciju vektora a , b i c .

12. Zadani su vektori

r

vektor d

12


13. Odredite duljinu visine vB spuštene iz vrha B u trokutu ABC čiji su vrhovi A(1,-2,8), B(0,0,4) i C(6,2,0 ).

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

14. Odredite parametar t iz uvjeta da su vektori : a = −3 j + 9k , b = ln( t − 2) ⋅ i − 2 j + 6k ,

r r r r c = t ⋅ i − 2 j + 5k komplanarni. r

r

r

r

r

r

15. Vektor a = 3 i + j rastavite na komponente u smjeru vektora b = − i + j , c = 2 i + 3 j . Zadatak riješite analitički i grafički.

16. Točkama P i Q dužina AB podijeljena je na tri jednaka dijela. Ako je A(3,8), prva do nje P(4,13), odredite koordinate točke B. 17. Ako su A(-2,-2) i B(4,1) dva vrha, a S(0,1) sjecište dijagonala paralelograma ABCD, odredite vrhove C i D.

r r r r r r r 2π q = 3a − b , gdje je a = 2 , b = 5 , ∠(a, b) = . 3 r r Odredite koeficijent λ tako da vektori p i q budu međusobno okomiti. r

r

r

18. Zadani su vektori p = λa + 17b

i

19. Odredite površinu trokuta što ga čine vektori

r r r r r r r a = 2 i + 3 j − k , b = −3 j + 2k .

20. Odredite parametar k

r r r c = 12 i + 5 j

tako da vektor

jednake kutove, ako je

r a

r r r p = a − 2b

i

r r r q =b−a

ako su

r

r

r

zatvara sa vektorima b = −4 i + 3 j

i

r r r a = i + (k − 1) ⋅ j .

21. Odredite kut i površinu trokuta što ga čine vektori :

r r r r r r r r a = 8 i − 4 j + 12k , b = 4 i + 6 j + 2k .

22. Izračunajte površinu paralelograma ABCD ako su poznati vrhovi : A(2,-2,1), B(1,-1,2), C(-2,1,2). 23. Točke A = (1,−2,3) , B = ( 4,1,−1) , C = (2,0,1) vrhovi su trokuta. Odredite vektor težišnice

CC1 i njegov modul.

r

r

r

r

r

r

r

r

24. Izračunajte visinu paralelepipeda razapetog vektorima a = 2 i + 3 j − 5k , b = − i + j + 4k ,

r r r r r r c = 3 i − j − k ako mu je osnovica paralelogram razapet vektorima a i b .

25. Izračunajte površinu trokuta što ga čine vektori

r r r r r r r r r r r r a = 2 i − j + k , b = i + j + 3k , c = 4 i − 2 j + k .

r r r x =b−a

i

r r r r y = 2a + b − c

ako su


R. 1. λ = 7

r

r

r

r

r

r

2. b1 = − i + 2 j , b 2 = i − 2 j

3. AB = CA = 11 , BC = 2 3 , α = 62 0 57' 52' ' , β = γ = 58 0 31' 4' ' 4. V = 14 , v = 14 5. P = 3.202 6. d1 = 15 , d 2 = 24.35 7. AA ' = 5.408 , BB' = 9.487 , CC' = 9.605

r

r

r

8. a = 2c − b 9. β = 1010 53' 10. BD = −5 ⋅ AB + 2 ⋅ BC

r

r

r

r

r

r

r

11. c = 4 i − 5 j + k

r

12. d = −a + 2b − 2c 13. v B = 3.055 14. t = 3

r

15. a = −

7 r 4 r ⋅b + ⋅c 5 5

16. B = (6 , 23 ) 17. C = (2 ,4 ) , D = (− 4 ,1) 18. λ = 40 19. P = 7.81 20. k = 9 21. α = 73 0 23' 54' ' ,

P = 53.665

22. P = 118 23. CC1 =

1 r 1 r ⋅i− ⋅j, 2 2

24. v = 2.726 25. P = 4.5

CC1 =

2 2

13

14


2. ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU 2.1. Ravnina Primjer 1. Odredite vektor normale ako su zadane opće jednadžbe ravnina: (1) (2) (3) (4) (5)

3 x − 2y + z − 5 = 0 x + 4 y − 2z = 0 3x − z + 5 = 0 y − 3z = 0 x=4

R.

r

Opća jednadžba ravnine je Ax + By + Cy + D = 0 , gdje je vektor normale n = (A,B; C ) , pa je :

r

(1) n = (3,−2,1) r (2) n = (1,4,−2 )

r

(3) n = (3,0,−1) r (4) n = (0,1,−3 )

r

(5) n = (1,0,0 )

Primjer 2. Odredite jednadžbu ravnine:

r

r

r

r

(1) koja prolazi točkom T0 = (2,1,−1) i okomita je na vektor n = i − 2 j + 3k

(2) koja prolazi točkom T0 = (2,1,−1) i okomita je na os y R. (1)

r r r r T0 = (2,1,−1) , n = i − 2 j + 3k A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

1⋅ (x − 2) − 2 ⋅ (y − 1) + 3 ⋅ (z + 1) = 0 ⇒ x − 2y + 3z + 3 = 0 (2)

r r r r T0 = (2,1,−1) , n = 0 ⋅ i + 1⋅ j + 0 ⋅ k A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

0 ⋅ (x − 2) + 1⋅ (y − 1) + 0 ⋅ (z + 1) = 0 y −1= 0 ⇒ y =1


15

Primjer 3. Zadana je jednadžba ravnine x − 2z + 4 = 0 . Odredite vektor normale i nekoliko točaka te ravnine. R.

r x − 2z + 4 = 0 ⇒ n = (1,0,−2) Poznavajući jednadžbu ravnine, možemo odrediti po volji mnogo točaka te ravnine. Dovoljno je uvrstiti dvije koordinate po volji i iz jednadžbe odrediti treću. Npr.

točka na osi x :

y = 0, z = 0 ⇒ x − 2 ⋅ 0 + 4 = 0 ⇒ x = −4 ⇒ T = (− 4,0,0 )

točka na osi y :

x = 0, z = 0 ⇒ 0 − 2 ⋅ 0 + 4 = 0 ⇒ 4 = 0 ⇒ takva točka ne postoji točka na osi z :

x = 0, y = 0 ⇒ 0 − 2 ⋅ z + 4 = 0 ⇒ z = 2 ⇒ T = (0,0,2)

točka sa zadanim koordinatama, npr. :

x = −2, y = 0 ⇒ −2 − 2 ⋅ z + 4 = 0 ⇒ z = 1 ⇒ T = (− 2,0,1)

točka sa zadanim koordinatama, npr. :

x = −2, y = 4 ⇒ −2 − 2 ⋅ z + 4 = 0 ⇒ z = 1 ⇒ T = (− 2,4,1)

Primjer 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s ravninom 3 x − 2 y + 5 z − 4 = 0 ,

točkom T0 = (2,−1,−2) .

a prolazi

R.

r T0 = (2,−1,−2) , n = (3,−2,5 ) A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

3 ⋅ (x − 2 ) − 2 ⋅ (y + 1) + 5 ⋅ (z + 2) = 0 ⇒ 3 x − 2y + 5z + 2 = 0

Primjer 5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T0 = (1,0,−2) ,

π 1...x + 2 y + 3 z − 4 = 0 , π 2 ... 3 x + y − 2z + 5 = 0 .

a okomita je na ravnine

16


R.

r r π ⊥ π 1 ⇒ n ⊥ n1 r r π ⊥ π2 ⇒ n ⊥ n2 r n1 = (1,2,3 ) , v i r r n1 × n 2 = 1

 r r r r r r  ⇒ n je kolinearan sa n1 × n 2 ⇒ n = λ ⋅ (n1 × n 2 ) 

r n 2 = (3,1,−2 ) r r j k

2

r r r 3 = −7 ⋅ i + 11⋅ j − 5 ⋅ k

3 1 −2 r r r r n = λ ⋅ (n1 × n 2 ) , ako uzmemo npr. λ = −1 ⇒ n = (7,−11,5 ) r

Uvrštavajući T0 = (1,0,−2) , n = (7,−11,5 ) u jednadžbu ravnine, dobivamo:

7 ⋅ (x − 1) − 11 ⋅ (y − 0 ) + 5 ⋅ (z + 2 ) = 0 ⇒ 7 x − 11y + 5 z + 3 = 0

Primjer 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama A = (2,−1,3 ) , B = (3,1,2 ) , a paralelna je s r vektorom a = (3,1,−4 ) . R.

r

r

(r

)

Vektor a translatiramo u ravninu. Vrijedi n = λ ⋅ a × AB .

r a = (3,1,−4 ) , v i r a × AB = 3

AB = (x B − x A , y B − y A , z B − z A ) = (1,2,−1) r r j k r r r 1 − 4 = 7 ⋅ i − j + 5 ⋅k

1 2

(

−1

)

r r r n = λ ⋅ a × AB , ako uzmemo npr. λ = 1 ⇒ n = (7,−1,5 ) r

Ako vektor n = (7,−1,5 ) i jednu od točaka, npr. A = (2,−1,3 ) uvrstimo u jednadžbu ravnine:


17

A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

7 ⋅ (x − 2 ) − 1⋅ (y + 1) + 5 ⋅ (z − 3 ) = 0 ⇒ 7 x − y + 5z − 30 = 0

Primjer 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama A = (2,1,4 ) , B = (1,−1,2 ) , C = (− 1,0,2 ) . R.

A, B, C su tri nekolinearne točke. Vektor normale na ravnine kroz te tri točke možemo zapisati

(r

r

) r

r

u obliku : n = λ ⋅ AB × AC . Ako uzmemo npr. λ =1 ⇒ n = AB × AC .

v i j k r r r AB × AC = − 1 − 2 − 2 = 2 ⋅ i + 4 ⋅ j − 5 ⋅ k −3

−1 − 2

r

Ako vektor n = (2,4,−5 ) i jednu od točaka, npr. C = (− 1,0,2 ) uvrstimo u jednadžbu ravnine:

A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

2 ⋅ (x + 1) + 4 ⋅ (y − 0 ) − 5 ⋅ (z − 2) = 0 ⇒ 2x + 4 y − 5 z + 12 = 0

Primjer 8. Odredite kut koji zatvaraju ravnine: (1) π1...x − 2 y + z + 2 = 0 , π 2 ...x + 2 y − z − 1 = 0 (2) π 1... − 2 x + 6 y − 8 z + 1 = 0 , π 2 ... 3 x + 9 y + 6 z − 1 = 0 (3) π 1... − 2 x + 6 y − 10 z − 2 = 0 , π 2 ... 3 x − 9 y + 15 z + 4 = 0 R. (1)

r r ϕ = ∠(π1, π 2 ) = ∠(n1, n 2 ) r r n1 = 1,− 2,1 , n 2 = 1, 2,−1

(

)

(

)

18


(

)

r r n1 ⋅ n 2 1⋅ 1 + − 2 ⋅ 2 + 1⋅ (− 1) 1 cos ϕ = r r = =− ⇒ ϕ = 120 0 , ψ = 180 0 − 120 0 = 60 0 2 n1 ⋅ n 2 1+ 2 + 1 ⋅ 1+ 2 + 1 r r n1 = (− 2,6,−8 ) , n 2 = (3,9,6 ) r r n1 ⋅ n 2 − 2⋅3 + 6⋅9 − 8⋅6 = 0 ⇒ ϕ = 90 0 ⇒ ravnine su okomite cos ϕ = r r = n1 ⋅ n 2 4 + 36 + 64 ⋅ 9 + 81 + 36

(2)

(3)

r r n1 = (− 2,6,−10 ) , n 2 = (3,−9,15 ) r r A 1 B 1 C1 = = = λ ⇒ n1 II n 2 A 2 B2 C2

r r r −2 6 − 10 2 2r = = =λ=− ⇒ n1 = − n 2 ⇒ n1 II n 2 , ϕ = 0 0 3 −9 15 3 3 Primjer 9. Odredite parametar m tako da ravnine : π1...m ⋅ x − 2 y + 3 z − 4 = 0 , π 2 ... 3 x + 5 y + 4 z + 1 = 0 R.

budu okomite.

r r r r π 1 ⊥ π 2 ⇔ n 1 ⊥ n 2 ⇔ n1 ⋅ n 2 = 0 r r n1 = (m,−2,3 ) , n 2 = (3,5,4 ) r r 2 n1 ⋅ n 2 = 0 ⇒ m ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 = 0 ⇒ 3m = −2 ⇒ m = − 3

Primjer 10. Odredite udaljenost točke T = (3,−2,5 ) od ravnine 2 x − 3 y − z + 7 = 0 . R.


19

Udaljenost točke T od ravnine jednaka je skalarnoj komponenti projekcije vektora AT (gdje je r A bilo koja točka ravnine π ) na smjer vektora normale n , po apsolutnoj vrijednosti.

r AT ⋅ n d = AT = r n r n

Točka A je bilo koja točka ravnine π , nađemo je tako da dvije koordinate uzmemo po volji, a treću izračunamo iz jednadžbe ravnine. Npr. uzmemo x=0, y=0, uvrstimo u jednadžbu ravnine:

2x − 3 y − z + 7 = 0 2⋅0 − 3⋅0 − z + 7 = 0

z = 7 ⇒ A = (0,0,7 )

r n = (2,−3,−1)

r r r r r r AT = (3 − 0 ) ⋅ i + (− 2 − 0 ) ⋅ j + (5 − 7 ) ⋅ k = 3 ⋅ i − 2 ⋅ j − 2 ⋅ k

r r AT n ⋅ 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ (− 2) − 1⋅ (− 2 ) AT ⋅ n 14 d = AT nr = r = r = = = 14 2 2 n n 14 2 2 + (− 3 ) + (− 1)

Primjer 11. Odredite udaljenost paralelnih ravnina:

π1... 3 x + 6 y − 2z − 6 = 0 ,

π 2 ... 3 x + 6 y − 2z + 14 = 0 .

R.

Udaljenost paralelnih ravnina izračunat ćemo tako da izračunamo udaljenost po volji odabrane točke ravnine π 2 od ravnine π 1 . Neka je T1 bilo koja točka ravnine π 1 , a T2 bilo koja točka ravnine π 2 .

20


T1...x = 0 , y = 0 ⇒ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ 0 − 2z − 6 = 0 ⇒ z = −3 ⇒ T1 = (0,0,−3 ) T2 ...x = 0 , y = 0 ⇒ 3 ⋅ 0 + 6 ⋅ 0 − 2z + 14 = 0 ⇒ z = 7 ⇒ T2 = (0,0,7 )

r

Vektor T1T 2 = (0,0,10 ) projiciramo na vektor normale n = (3,6,−2) :

( )

d= TT

r 1 2 n

r T1T2 ⋅ n 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 6 + 10 ⋅ (− 2) − 20 20 = = = = r 2 7 n 49 3 2 + 6 2 + (− 2)

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odrediter jednadžbu ravnine koja prolazi točkom A=(2,1,-1) i paralelna je s vektorima r a = (1,2,3 ) , b = (3,1,−2) . 2. Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i točku M=(4,-1,2). 3. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi polovištem dužine AB i okomita je na tu spojnicu, ako su A=(1,2,3) , B=(-1,2,1). r 4. Odredite jednadžbu ravnine koja je paralelna s vektorom m = ( 2,1,−1) i ima segmente a=3, b= -2 na osi x i y.

5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem

x +1 y −1 z + 2 = = 2 1 2

i okomita je na

ravninu 2x-y+3z-5=0. 6. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(1,0,-2), a okomita je na ravnine : π1 ... 3x+y-2z=0 , π2 ... 2x+4y+6z+3=0. 7. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkama T1=(1,0,5) , T2=(2,3,1), a paralelna je s pravcem

p ...

R. 1. 7x-11y+5z+2=0 2. 2y+z=0 3. x+z-2=0 4. 2x-3y+z-6=0 5. 5x-2y-4z-1=0 6. 7x-11y+5z+3=0 7. 2x-2y-z+3=0

x −1 y +1 z = = . 1 −2 6


21

2.2. Pravac Primjer 1. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom T = (1,−2,3 ) i :

r

r

r

r

(1) paralelan je s vektorom a = −5 i + 3 j + 2k (2) okomit je na XZ ravninu (3) paralelan je s osi x R.

r x − x0 y − y0 z − z0 , T0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) , s = (a, b, c ) = = a b c

r

r

r

r

r

r

r

(1) T0 = (1,−2,3 ) , p II a ⇒ s II a , s = λ ⋅ a , npr. uzmemo λ = 1 ⇒ s = a

x − 1 y − (− 2 ) z − 3 = = −5 3 2 x −1 y + 2 z − 3 ⇒ = = −5 3 2

r

r

r

r

r

r

r

r

(2) T0 = (1,−2,3 ) , p ⊥ XZ ⇒ s II j , s = λ ⋅ j , npr. uzmemo λ = 1 ⇒ s = j = (0,1,0 )

x − 1 y − (− 2 ) z − 3 = = 0 1 0 x −1 y + 2 z − 3 ⇒ = = 0 1 0

r

r r

r

(3) T0 = (1,−2,3 ) , p II x − osi ⇒ s II i , s = λ ⋅ i , npr. uzmemo λ = 1 ⇒ s = i = (1,0,0 )

x − 1 y − (− 2 ) z − 3 = = 1 0 0 x −1 y + 2 z − 3 ⇒ = = 1 0 0

Primjer 2. Zadana je jednadžba pravca. Odredite vektor smjera i nekoliko točaka tog pravca. (1) (2) (3)

y+2 z = −2 3 x −1 y + 3 − z + 3 = = 2 −2 3 3x − 1 = y = −z + 2 2

x −1=

22


(4)

3 − x y − 2 − 3z = = 1 0 2

(5)

x = 3λ − 2 y=0 z = −λ + 3

    

R.

r x − x0 y − y0 z − z0 (= λ ) , T0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) , s = (a, b, c ) = = a b c

x = λ ⋅ a + x0   y = λ ⋅b + y0  z = λ ⋅ c + z 0 

r y+2 z x − 1 y − (− 2) z − 0 = ⇒ = = ⇒ T0 = (1,−2,0 ) , s = (1,−2,3 ) − 2r 3 1 −2 3 Vektor smjera je s = (1,−2,3 ) , jedna od točaka je T0 = (1,−2,0 ) . Da bi odredili još neke točke (1)

x −1=

ravnine, rješavat ćemo parametarske jednadžbe pravca, birajući po volji vrijednost parametra λ.

x = λ +1   y = −2λ − 2  z = 3λ 

npr.

za λ = 0

  y = −2 ⋅ 0 − 2 = −2  ⇒ T1 = (1,−2,0 )  z = 3⋅0 = 0  x = 0 +1= 1

za λ = 1

  y = −2 ⋅ 1 − 2 = −4  ⇒ T2 = (2,−4,3 )  z = 3 ⋅1 = 3  x = 1+ 1 = 2

za λ = 2

  y = −2 ⋅ 2 − 2 = −6  ⇒ T3 = (3,−6,6 )  z = 3⋅2 = 6  x = 2 +1= 3

za λ = −1

  y = −2 ⋅ (− 1) − 2 = 0  ⇒ T4 = (0,0,−3 )  z = 3 ⋅ (− 1) = −3  x = −1 + 1 = 0


(2)

23

r x −1 y + 3 − z + 3 x − 1 y − (− 3 ) z − 3 ⇒ = = ⇒ T0 = (1,−3,3 ) , s = (2,−2,−3 ) = = 2 3 2 −2 −3 −2

1 3 = y − 0 = z − 2 ⇒ T =  1 ,0,2  , sr =  2 ,1,−1 0 2 1 −1 3  3  3 r r r Ako je vektor s vektor smjera pravca, onda je i vektor s1 = λ ⋅ s također vektor smjera. r Možemo odabrati λ = 3 i dobivamo s = (2,3,−3 ) kao vektor smjera. 3x − 1 (3) = y = −z +2 ⇒ 2

(4)

(5)

x−

r  3 − x y − 2 − 3z x−3 y−2 z−0 2 ⇒ T0 = (3,2,0 ) , s =  − 1,0,−  = = ⇒ = = 2 1 0 2 −1 0 3  − 3 x = 3λ − 2 = 3 ⋅ λ + (− 2)  r  y = 0 = 0⋅λ + 0  ⇒ T0 = (− 2,0,3 ) , s = (3,0,−1) z = −λ + 3 = (− 1) ⋅ λ + 3 

Primjer 3. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama T1 = (2,−1,3 ) i T2 = (3,2,5 ) . R.

r

Možemo uzeti T0 = T1 = (2,−1,3 ) , s = T1T2 = rT 2 − rT1 = (1,3,2 ) , pa je jednadžba pravca :

x − 2 y +1 z − 3 = = . 1 3 2

Primjer 4. Odredite

jednadžbu

x −1 y − 3 z + 4 = = . 3 −1 2

pravca

koji

prolazi

ishodištem

R. Paralelni pravci imaju isti vektor smjera, pa je

i

r s = (3,−1,2 ) , x −0 y −0 z−0 x y z = = . = , odnosno = dobivamo : 3 −1 2 3 −1 2

paralelan

je

s

pravcem

T0 = (0,0,0 ) . Uvrštavanjem

24


Primjer 5. Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na pravce

p 2 ...

x y +1 z − 2 = = 1 4 3

p1...

x − 5 y +1 z − 4 = = 3 2 1

,

i prolazi točkom T = (− 1,0,4 ) .

R.

r r r r r r r p ⊥ p 1 , p ⊥ p 2 ⇒ s ⊥ s1 , s ⊥ s 2 ⇒ s = λ ⋅ (s1 × s 2 )

r r r i j k r r r r r s1 × s 2 = 3 2 1 = 2 ⋅ i − 8 ⋅ j + 10 ⋅ k 1 4 3 r

Uzmemo npr. λ = 1 ⇒ s = (2,−8,10 )

⇒

x +1 y z−4 = = 2 −8 10

Primjer 6. Odredite kanonski oblik jednadžbe pravca određenog ravninama π1... x + 2 y + 3 z − 13 = 0 ,

π 2 ... 3 x + y + 4z − 14 = 0 (pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina). R.


25

r r r r r r r p ⊆ π1 , p ⊆ π 2 ⇒ s ⊥ n1 , s ⊥ n 2 ⇒ s = λ ⋅ (n1 × n 2 )

r r i j r r n1 × n 2 = 1 2 3 1

r k r r r 3 = 5 ⋅ i + 5 ⋅ j − 5 ⋅k 4

Uzmemo npr. λ =

r 1 ⇒ s = (1,1,−1) 5

Za jednadžbu pravca potrebna nam je i jedna točka tog pravca, ta točka leži i u ravnini π1 i u ravnini π 2 , pa njene koordinate zadovoljavaju jednadžbe ravnina π1 i π 2 .

x + 2y + 3z − 13 = 0   dvije jednadžbe sa tri nepoznanice 3 x + y + 4z − 14 = 0  Jednu od koordinata točke odabrat ćemo po volji, npr. uzmemo z = 0 i uvrstimo :

x + 2y − 13 = 0   ⇒ x = 3 , y = 5 ⇒ T = (3,5,0 ) 3 x + y − 14 = 0  ⇒

x−3 y−5 z = = 1 1 −1

Primjer 7. Odredite udaljenost točke T = (2,3,−1) od pravca

x −1 y z + 5 . = = 3 2 −2

R.

d(T, p ) = d(T, T ′) , gdje je T ′ projekcija točke T na pravac p

r d(T, p ) je ujedno duljina visine paralelograma razapetog vektorima s i T0 T

26


r r r P = T0 T × s = s ⋅ v = s ⋅ d(T, p )

r T0 T × s ⇒ d(T, p ) = r s

r x −1 y z + 5 = = ⇒ T0 = (1,0,−5 ) , s = (3,2,−2) , T0 T = (1,3,4 ) 3 2 −2

r r r i j k r r r r r r r T0 T × s = 1 3 4 = −14 ⋅ i + 14 ⋅ j − 7 ⋅ k = −7 ⋅ 2 ⋅ i − 2 ⋅ j + k 3 2 −2

(

)

r 2 T0 T × s − 7 ⋅ 2 2 + (− 2) + 12 7 ⋅ 3 21⋅ 17 = = = d(T, p ) = r 2 17 s 17 3 2 + 2 2 + (− 2)

Primjer 8. Odredite kut među pravcima p 1...

x y−2 z+3 x y+3 z , p 2 ... = = = = . 1 2 2 2 3 6

R.

r r ∠(p 1, p 2 ) = ∠(s1, s 2 )

r r s1 = (1,2,2) , s 2 = (2,3,6 ) r r s1 ⋅ s 2 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 20 cos ϕ = r r = = 21 s1 ⋅ s 2 12 + 2 2 + 2 2 ⋅ 2 2 + 3 2 + 6 2

⇒ ϕ = 17 0 45 ′10 ′′

Primjer 9.

x − 2 y + 4 z −1 x−λ y−3 z+5 , p 2 ... . = = = = 3 5 −2 2 1 0 Odredite parametar λ tako da se pravci p 1 , p 2 sijeku. Nađite : Zadani su pravci : p 1...

(1) sjecište tih pravaca (2) jednadžbu ravnine koju ti pravci određuju R. Ako se pravci sijeku, onda zadovoljavaju uvjete : r r r r a) s1 i s 2 nisu kolinearni ⇔ s1 ≠ k ⋅s 2

r

r

r

r

b) s1 , s 2 , T1T2 su komplanarni ⇔ (s1 ×s 2 ) ⋅ T 1T2 = 0


27

r T1 = (2,−4,1) , s1 = (3,5,−2 ) r T2 = (λ,3,−5 ) , s1 = (2,1,0 )

T1T2 = (λ − 2,7,−6 )

Provjeravanje uvjeta :

r

r

r

r

a) s1 ≠ k ⋅s 2 ⇒ s1 i s 2 nisu kolinearni

r r b) (s1 ×s 2 ) ⋅ T 1T2 = 0 ⇒

3

5 −2

2

1

0 = 0 ⇒ 2λ + 10 = 0 ⇒ λ = −5

λ−2 7 −6

(1) sjecište tih pravaca Sjecište dvaju pravaca je točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbe jednog i drugog pravca.

x − 2 y + 4 z −1 = = 3 5 −2 x+5 y−3 z+5 = = 2 1 0

    

Iz sistema jednadžbi možemo izdvojiti npr. slijedeće jednakosti :

5 x − 3 y − 22 = 0  x − 2y + 11 = 0  ⇒ x = 11, y = 11, z = −5 2y + 5z + 3 = 0 

⇒ S = (11,11,−5 ) (2) jednadžba ravnine koju ti pravci određuju

r r r r r r r r r r n ⊥ s1 , n ⊥ s 2 ⇒ n = λ ⋅ (s1 × s 2 ), npr. λ = 1 ⇒ n = s1 × s 2 r r r i j k r r r r r r s1 × s 2 = 3 5 − 2 = 2 ⋅ i − 4 ⋅ j − 7 ⋅ k ⇒ n = (2,−4,−7 )

2 1

0

28


Kako pravci leže u ravnini, možemo bilo koju točke jednog od pravaca uvrstiti u jednadžbu ravnine. Uzmemo npr. točku T1 = (2,−4,1) i dobivamo :

A ⋅ (x − x 0 ) + B ⋅ (y − y 0 ) + C ⋅ (z − z 0 ) = 0

2 ⋅ (x − 2) − 4 ⋅ (y + 4 ) − 7 ⋅ (z − 1) = 0 ⇒ 2x − 4 y − 7z − 13 = 0

Primjer 10. Odredite udaljenost paralelnih pravaca :

p1...

x y−3 z−2 , = = 1 2 1

p 2 ...

x − 3 y +1 z − 2 = = 1 2 1

R.

Udaljenost paralelnih pravaca najjednostavnije je odrediti tako da se nađe udaljenost točke jednog od pravca do drugog pravca. Tu udaljenost ujedno možemo shvatiti kao visinu

r

paralelograma kojeg razapinju vektori s1 i T1T2 .

r s1 × T1T2 r r P = s1 × T1T2 = s1 ⋅ d ⇒ d = r s1 r s 1 = (1,2,1) , T1 = (0,3,2) , T2 = (3,−1,2 ) , T1T2 = (3,−4,0 )

r i

r j

r k r r r r s1 × T1T2 = 1 2 1 = 4 ⋅ i + 3 ⋅ j − 10 ⋅ k 3 −4 0 r s1 × T1T2 ⇒ d= = r s1

4 2 + 3 2 + (− 10 )

2

12 + 2 2 + 12

=

125 6

=

5 ⋅ 30 6


29

Primjer 11. Odredite udaljenost mimosmjernih pravaca:

p1...

x +1 y z −1 x y +1 z − 2 , p 2 ... = = = = 1 1 2 1 3 4

R.

r

r

Vektori s1 , s 2 , T1T2

razapinju u prostoru paralelepiped. Duljina visine tog paralelepipeda

je udaljenost pravaca p1 i p 2 .

r r s 1 = (1,1,2 ) , T1 = (− 1,0,1) , s 2 = (1,3,4 ) , T2 = (0,−1,2 ) , T1T2 = (1,−1,1)

r r V (s1 × s 2 ) ⋅ T1T2 d= = r r B s1 × s 2

1 1 2 r r (s1 × s 2 )⋅ T1T2 = 1 3 4 = 2 1 −1 1

r i

r r j k

r r r r r s 1 × s 2 = 1 1 2 = −2 ⋅ i − 2 ⋅ j + 2 ⋅ k 1 3 4 ⇒ d=

2

(− 2)2 + (− 2)2 + 2 2

=

2 2 3

=

3 3

30


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite udaljenost pravca koji prolazi točkama A=(2,-1,-1), B=(6,-8,0) od pravca koji prolazi točkama C=(2,1,2), D=(0,2,-1). 2. Odredite udaljenost točke T=(2,1,-1) od pravca p …

x −1 y − 3 z = = . −4 0 3

3. Odredite međusobni položaj pravaca. Ako se sijeku, odredite sjecište i kut pod kojim se sijeku. Ako se ne sijeku, odredite udaljenost između njih.

x y+7 5−z x 4−y z , p2 ... = = = = 1 2 −2 2 −3 6 x −1 2 − y z −1 x −2 y −3 4−z , p2 ... = = b) p1 ... = = 1 1 3 1 2 −3 x +1 − y z −1 x y +1 2 − z c) p1 … , p2 … = = = = 1 −1 2 1 3 −4 x 1− y z x −1 − y z −1 d) p1 … = , p2 … = = = −1 1 −1 2 1 2 a) p1 ...

R. 1. d =

2. d =

6 6 101 5

3. a) pravci su mimosmjerni, d =

17 41 41

4 5 b) pravci leže u istoj ravnini, sijeku se u točki P =  , ,2  pod kutem ϕ = 49 0 50 ′ 3 3 

c) pravci su mimosmjerni, d = d) pravci su paralelni, d =

7 3

3 3


31

2.3. Pravac i ravnina Primjer 1. Odredite kut pravca

y = 3x − 1   i ravnine 2x + y + z − 4 = 0 . 3 x + 2z − 2 = 0 

R.

Kut između pravca p i ravnine π , definira se kao kut između pravca i njegove projekcije p' na ravninu π .

r r s ⋅n π  sin ϕ = cos − ϕ  = r r 2  s⋅n Pravac je zadan kao presječnica dviju ravnina:

y = 3x − 1  r r  ⇒ n1 = (3,−1,0 ) , n 2 = (3,0,2) . 3 x + 2z − 2 = 0 

r r r r r r r s ⊥ n1 , s ⊥ n 2 ⇒ s = λ ⋅ (n1 × n 2 )

r i

r j

r k r r r r r r n1 × n 2 = 3 − 1 0 = −2 ⋅ i − 6 ⋅ j + 3 ⋅ k , npr. λ = −1 ⇒ s = (2,6,−3 ) 3 0 2 r 2x + y + z − 4 = 0 ⇒ n = (2,1,1) r r s ⋅n sin ϕ = r r = s⋅n

2 ⋅ 2 + 6 ⋅1− 3 ⋅1 2 2 + 6 2 + (− 3 ) ⋅ 2 2 + 12 + 12 2

=

7 49 ⋅ 6

=

6 ⇒ ϕ = 24 0 5′41′′ 6

32


Primjer 2. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Odredite probodište pravca i ravnine ako ono postoji. Pravac je zadan jednadžbom p... (1) 2 x + 3 y + z − 1 = 0 (2) 2 x − 2 y − z + 3 = 0 (3) 2 x − 2 y − z − 4 = 0

x −1 y +1 z , a ravnina: = = 1 −2 6

R. (1)

r x −1 y +1 z = = ⇒ s = (1,−2,6 ) 1 −2 6 r π...2x + 3 y + z − 1 = 0 ⇒ n = (2,3,1)

p...

r

r

r r

Ako je p II π , onda je s ⊥ n , tj. s ⋅ n = 0 .

r r s ⋅ n = 1⋅ 2 − 2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1 = 2 ≠ 0 ⇒

pravac i ravnina nisu paralelni

Ako pravac probada ravninu, onda je probodište točka P = (x, y, z ) koja leži i na pravcu i u ravnini :

x = λ +1  x −1 y +1 z  = = = λ ⇒ y = −2λ − 1  p... 1 6 −2  z = 6λ  Za razne parametre λ dobivamo razne točke pravca. Treba odrediti λ tako da dobijemo točku koja ujedno leži i u ravnini, pa zahitjevamo da koordinate te točke zadovoljavaju jednadžbu ravnine 2x + 3 y + z − 1 = 0 . Uvrštavajući parametarske jednadžbe pravca dobivamo :

2x + 3 y + z − 1 = 0 2 ⋅ (λ + 1) + 3 ⋅ (− 2λ − 1) + 6λ − 1 = 0 2λ = 2 ⇒ λ = 1 x = 1+ 1 = 2

⇒

(2)

  y = −2 ⋅ 1 − 1 = −3   z = 6 ⋅1 = 6 

⇒

P = (2,−3,6 )

r x −1 y +1 z = ⇒ s = (1,−2,6 ) , T0 = (1,−1,0 ) = 1 −2 6 r π...2x − 2y − z + 3 = 0 ⇒ n = (2,−2,−1)

p...


r r s ⋅ n = 1⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ (− 2 ) + 6 ⋅ (− 1) = 0 ⇒

33 pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u

ravnini Ako pravac leži u ravnini onda je svaka točka tog pravca ujedno točka ravnine. Provjeriti ćemo da li točka T0 = (1,−1,0 ) koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :

π...2x − 2y − z + 3 = 0 ?

2 ⋅ 1 − 2 ⋅ (− 1) − 0 + 3 = 0 7≠0

⇒

T0 ∉ π

⇒ pravac je paralelan s ravninom, ali ne leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.

x = λ +1  x −1 y +1 z  p... = = = λ ⇒ y = −2λ − 1  1 −2 6  z = 6λ  Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :

π...2x − 2y − z + 3 = 0 2 ⋅ (λ + 1) − 2 ⋅ (− 2λ − 1) − 6λ + 3 = 0 0 ⋅ λ = −7

⇒ ne postoji parametar λ koji zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da ne postoji točka pravca koja bi ujedno bila i točka ravnine, što dalje povlači da pravac ne leži u ravnini. (3)

r x −1 y +1 z = = ⇒ s = (1,−2,6 ) , T0 = (1,−1,0 ) 1 −2 6 r π...2x − 2y − z − 4 = 0 ⇒ n = (2,−2,−1)

p...

r r s ⋅ n = 1⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ (− 2 ) + 6 ⋅ (− 1) = 0 ⇒

pravac je paralelan s ravninom ili pravac leži u

ravnini Provjeriti ćemo da li točka T0 = (1,−1,0 ) koja leži na pravcu ujedno zadovoljava i jednadžbu ravnine :

π...2x − 2y − z − 4 = 0 ?

2 ⋅ 1 − 2 ⋅ (− 1) − 0 − 4 = 0 0 = 0 ⇒ T0 ∈ π ⇒ pravac leži u ravnini Do istog zaključka mogli smo doći i tako da smo tražili probodište pravca i ravnine.

34


x = λ +1  x −1 y +1 z  p... = = = λ ⇒ y = −2λ − 1  1 −2 6  z = 6λ  Parametarske jednadžbe pravca uvrstit ćemo u jednadžbu ravnine :

π...2x − 2y − z − 4 = 0 2 ⋅ (λ + 1) − 2 ⋅ (− 2λ − 1) − 6λ − 4 = 0 0⋅λ = 0

⇒ svaki realni broj λ zadovoljava jednadžbu ravnine, što znači da postoji beskonačno mnogo točka koje zadovoljavaju ovu jednadžbu, što dalje znači da svaka točka pravca leži u ravnini odnosno da sam pravac leži u ravnini.

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite parametar

λ

tako da se pravci p1 ...

x y z x +1 y + 5 z , p2 ... = = = = 3 2 1 2 −3 λ

sijeku i napišite jednadžbu ravnine u kojoj leže. 2. Odredite parametar λ tako da se pravci p2 …

x−3 y+2 4−z = = 2 λ 5

p1 …

x +1 − y z −1 = = , 1 3 4

sijeku, te odredite jednadžbu ravnine koju određuju.

3. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcem

x −1 y +1 z +1 i točkom M=(2,0,1). = = 1 2 −1

4. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi pravcima : x y + 2 − z +1 x −1 y − 3 z + 2 , p2 ... . p1 ... = = = = 7 3 −5 7 3 5 5. Odredite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom T=(2,-3,2) i presječnicom ravnina : p1 ... 6x+4y+3z+5=0 , p2 ... 2x+y+z-2=0. 6. Nađite probodište pravca i ravnine : x +3 y −2 z +1 a) , x-2y+z-15=0 = = 3 −1 −5 x + 2 y −1 z − 3 b) , x+2y-2z+6=0 = = −2 3 2 7. Ispitajte međusobni položaj pravca i ravnine. Ako pravac probada ravninu, pronađite probodište. a) p ...

1− x y z + 1 , = = −1 2 1

π ... x − 2y + z + 5 = 0


35

x y + 1 1− z , π ... x + y + 3z + 4 = 0 = = 2 1 1 x y + 1 1− z , π … 2x + y − z − 4 = 0 c) p … = = 3 1 3 2 − x y −1 z − 2 d) p … , π … x + y + 3z − 7 = 0 = = 2 −1 1 b) p ...

R. 1. 2. 3. 4. 5.

5x-y-13z=0 λ = 4 , π... x − 13 y − 10 z + 11 = 0 5x-3y-z-9=0 17x-13y-16z-10=0 16x+7y+8z-27=0

6. a) p II π b) p ⊆ π 7.

7 2

3 2

a) pravac probada ravninu u točki P =  ,5,  pod kutem ϕ = 19 0 30′ b) pravac je paralelan sa ravninom, ali ne leži u ravnini

 12 23 5  , ,−  pod kutem ϕ = 49 0 20′  13 13 13 

c) pravac probada ravninu u točki P =  d) pravac leži u ravnini

36


3. MATRICE I DETERMINANTE 3.1. Matrice Primjer 1.

5 3 . 2 1

Nađite inverznu matricu matrice A =  R. a) pomoću proširene matrice

5 3  2 1

1 0  1 3 ~ 5 0 1 2 1 

1 0 ~ 0 1

−1 3   2 − 5

 3  1 1 0  5 ~ 5 1  0 1 0 − 5 

 1 3 0  1 5  ~ 5 2  1 0 1 −  5

 1 0 ~ 5  2 − 5

− 1 3  ⇒ A −1 =    2 − 5

b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)

A 12   (− 1)1+1 ⋅ 1 = A 22  (− 1)2+1 ⋅ 3

A A =  11  A 21 ~

(− 1)1+2 ⋅ 2  =  1  (− 1)2+2 ⋅ 5 − 3

T

− 2  ~   1 − 3 ⇒ A =    5    − 2 5 

det A = 5 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = 5 − 6 = −1 T

⇒ A −1 =

1 ~ 1  1 − 3 − 1 3  ⋅A = ⋅ = det A   − 1 − 2 5   2 − 5

Primjer 2.

 1 4 2   Nađite inverznu matricu matrice A = 0 3 2 .   3 5 1 R. a) pomoću proširene matrice

1 4 2  0 3 2 3 5 1 

1 0 0  1 4 2   0 1 0 ~ 0 3 2 0 0 1 0 − 7 − 5

2 0 0  1 4  2  0 1 0 ~ 0 1 3 − 3 0 1 0 − 7 − 5  1

0 0  1 0 0 ~ 3  − 3 0 1 1


 2 1 0 − 3  2 ~ 0 1  3  1 0 0 − 3 

⇒

1 0 −3

  2 4 0  1 0 − 3 3   1 2 0 ~ 0 1   3 3  0 0 1 7 1  3  

−

37

4 3 1 3 −7

1 − 0 9

 0  1 0 0  0  ~ 0 1 0  − 3 0 0 1  

 7 − 6 − 2 A = − 6 5 2   9 − 7 − 3 -1

b) pomoću adjunkte (Cramerovim pravilom)

A 11 = (− 1)

1+1

3 2 = 3 − 10 = −7 5 1

⋅

A 12 = (− 1)

⋅

A 13 = (− 1)

⋅

A 21 = (− 1)

⋅

1+ 2

1+ 3

2 +1

A 22 = (− 1)

⋅

A 23 = (− 1)

⋅

A 31 = (− 1)

⋅

2+ 2

2+3

3 +1

A 32 = (− 1)

⋅

A 33 = (− 1)

⋅

3+2

3+3

0 2 3 1

= −(− 6 ) = 6

0 3 = −9 3 5 4 2 5 1 1 2 3 1

= −(4 − 10 ) = 6 = 1 − 6 = −5

1 4 = −(5 − 12) = 7 3 5 4 2 3 2

=8−6 = 2

1 2 = −2 0 2 1 4 0 3

=3

det A = a11 ⋅ A 11 + a12 ⋅ A 12 + a13 ⋅ A 13 = 1⋅ (− 7) + 4 ⋅ 6 + 2 ⋅ (− 9) = −1  A 11 A =  A 21  A 31 ~

A 12 A 22 A 32

A 13  − 7 6 − 9 2 − 7 6 T ~     A 23  =  6 − 5 7  ⇒  A  =  6 − 5 − 2   − 9 7 A 33   2 − 2 3  3 

− 6 − 2  −6 5 2 9 − 7 − 3 7

38

⇒A


−1

2   7 − 6 − 2 − 7 6 T 1 1  ~ = ⋅ A = ⋅  6 − 5 − 2 = − 6 5 2  −1 det A   − 9 7 3   9 − 7 − 3

Primjer 3. Riješite matričnu jednadžbu

4  2 1 1  − 1 0  ⋅ X =  − 1 − 2 .    

R. 1. način

a b X= . c d 4  2 1 a b  1 ⋅ = Iz jednakosti     dobijemo dva sustava jednadžbi: − 1 0 c d − 1 − 2

Matrica X mora biti oblika

2a + c = 1  2b + d = 4   ,  čija su rješenja : a = 1, c = −1, b = 2, d = 0 . − a = −1  − b = −2   1 2 . − 1 0

Tražena matrica je X = 

2. način Jednakost A ⋅ X = B množimo slijeva s A −1 (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :

A⋅X =B

A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B Ι ⋅ X = A −1 ⋅ B X = A −1 ⋅ B 2 1  − 1 0

1 0  1 1 ~ 2 0 1 − 1 0 

1 0 ~ 0 1

0 − 1  1 2

  1 1 0 ~ 2  0 1 0 

1 2 1 2

0 − 1 ⇒ A −1 =   1 2 

4   1 2 0 − 1  1 X = A −1 ⋅ B =  ⋅  =   1 2   − 1 − 2  − 1 0 

 1 0  1 0 2  ~ 0 1 1 1  2  2

0 − 1 ~ 1 1 2 


39

Primjer 4. Riješite matričnu jednadžbu

 1 3  − 2 4  X⋅ =  . − 2 4  8 − 6

R. 1. način

a b X= . c d a b  1 3  − 2 4  Iz jednakosti  ⋅ =  dobijemo dva sustava jednadžbi: c d − 2 4  8 − 6 Matrica X mora biti oblika

a − 2b = −2  c − 2d = 8   ,  čija su rješenja : a = 0, b = 1, c = 2, d = −3 . 3a + 4b = 4  3c + 4d = −6 0 1  . 2 − 3 

Tražena matrica je X = 

2. način Jednakost X ⋅ A = B množimo s desna s A −1 (A mora biti regularna matrica) i dobijemo :

X⋅A = B

X ⋅ A ⋅ A −1 = B ⋅ A −1 X ⋅ Ι = B ⋅ A −1 X = B ⋅ A −1  1 3  − 2 4

1 0  1 3 ~ 0 1 0 10

⇒ A −1 =

1 0  1 3 ~ 2 1 0 1 

 1 0  1 0 1 1~ 0 1 5 10   

2 3 −  5 10 1 1   5 10 

1  4 − 3 ⋅ 10 2 1 

10  − 2 4  1 4 − 3 1 − 2 4  4 − 3 1  0 X = B ⋅ A −1 =  = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =      8 − 6 10 2 1  10  8 − 6 2 1  10 20 − 30 0 1  =  2 − 3 

40


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite inverznu matricu matrice :

 2 − 1  − 5 3 

(1) A = 

 3 1  − 1 0

(2) A = 

 1 4  2 7 

(3) A = 

0 1    1 − 3

(4) A = 

 1 2 4   (5) A = 1 1 2   − 2 1 3   − 1 0 − 1   (6) A = − 2 2 3    0 1 2   1 1 − 1   (7) A = − 1 0 − 1    1 − 1 2  R.

3 1  5 2

(1) A −1 = 

0 − 1  1 3 

(2) A −1 = 

− 7 4    2 − 1

(3) A −1 = 

3 1   1 0

(4) A −1 = 


(5) A

−1

(6) A

−1

(7) A −1

0 −1 2  =  7 − 11 − 2 − 3 5 1   1 −1 2  =  4 − 2 5  − 2 1 − 2 1 1 1  = − 1 − 3 − 2 − 1 − 2 − 1

2. Riješite matrične jednadžbe :

2 − 4   2 0 ⋅X =    8 14  − 1 3

(1) 

 1 0 3 1 ⋅X =    0 1 5 2

(2) 

 28 − 1  5 − 8 ⋅ = X − 19 5     − 3 7 

(3) 

0 1 − 5 3  ⋅X =    7 0  14 − 7

(4) 

 14 11  3 − 1 ⋅X =    − 2 − 13 1 3 

(5) 

2 9  3 1 ⋅X =    − 2 − 1 − 1 0

(6) 

5 18   1 4 ⋅X =    9 32 2 7 

(7) 

 5 2 2 1  ⋅ = X 10 3    3 − 1

(8) 

41

42


R.

 1 − 2  3 4 

(1) X = 

 2 − 1  − 5 3 

(2) X = 

 4 3   − 1 2

(3) X = 

3 1  5 2

(4) X = 

2 4  − 2 − 5

(5) X = 

2 1   3 − 1

(6) X = 

1 2  1 4

(7) X = 

 3 1  − 1 0

(8) X = 

3. Riješite matrične jednadžbe :

 − 5 3   − 1 2  =  14 − 7  3 1

(1) X ⋅ 

0 5 0 15  = 0 0 0 5 

(2) X ⋅ 

2 1  9 2   = 3 − 1 4 − 3

(3) X ⋅ 

3 1 13 4  =  1 0  8 3 

(4) X ⋅ 


1  10 2 4  = − 2 − 1  4 1

(5) X ⋅ 

 2 3 12 6  = − 2 1  6 1

(6) X ⋅ 

− 1 2   3 − 6  = − 4 8  1 − 2    

(7) X ⋅ 

3   0 − 1 4  = − 2 − 2 14 11

(8) X ⋅  R.

3 1  5 2

(1) X = 

3 1   1 0

(2) X = 

 3 1   − 1 2

(3) X = 

4 1   3 − 1

(4) X = 

3 1   1 0

(5) X = 

3 − 3   1 − 2

(6) X = 

1 4   3 − 1

(7) X = 

1 2   3 − 1

(8) X = 

43

44


3.2. Determinante Primjer 1.

Izračunajte vrijednost determinante :

2 6 −5 3 5 5 −3 2 −3 −2 6 −4 3 7 −2 4

R.

D=

2 5

6 5

−5 −3

3 2

−3 −2 6 −4 3 7 −2 4

+ (− 1)

1+ 3

5

= (− 1)

1+1

5

−3

5 ⋅2⋅ −2

6

2

⋅6⋅ −3 3

5

⋅3⋅ −3 − 2

4

5

4

5

⋅ (− 5 ) ⋅ − 3 − 2 − 4 + (− 1) 7

− 4 + (− 1)

1+ 2

−2

7

1+ 4

3

2

3

7

−3 6 −2

2 −4 + 4

−3 6 = −303 −2

Primjer 2.

x −1 x + 4 x − 5 Riješite jednadžbu : x + 2

x−4

x−3 x+2

=0

x x −1

R.

x −1 x + 4 x − 5 x+2 x−4 x−3 x+2

x−4 x x+2 x x+2 x−4 − (x + 4 ) ⋅ + (x − 5 ) ⋅ = x = (x − 1) ⋅ x + 2 x −1 x − 3 x −1 x −3 x +2 x −1

= (x − 1) ⋅ [(x − 4 ) ⋅ (x − 1) − x ⋅ (x + 2)] − (x + 4 ) ⋅ [(x + 2) ⋅ (x − 1) − x ⋅ (x − 3 )] + + (x − 5 ) ⋅ [(x + 2) ⋅ (x + 2) − (x − 4 ) ⋅ (x − 3 )] = −66 x + 44 ⇒ −66 x + 44 = 0 ⇒ x =

44 2 = 66 3

Primjer 3.

0 z4 Izračunajte vrijednost determinante D = 0

1

1

z

4

2

1 z

z

ako je z = 1 − i .


45

R.

0 z4 D= 0

1

1 z4

1 z = −z 4 ⋅ ( − z ) + 1⋅ ( −1) = z 5 − 1 z2

⇒

z = 1− i

⇒

r = 1 − i = 1 + 1 = 2   −1 π 7π = −1 ⇒ ϕ = 2π − arctg(1) = 2π − = tgϕ = 1 4 4  7π  7π  + i ⋅ sin  z = 2 ⋅  cos 4  4  5

( )

5   7π 7π  7π 7π   z =  2 ⋅  cos + i ⋅ sin 5 ⋅  = + i ⋅ sin  = 2 ⋅  cos 5 ⋅ 4 4  4 4     (4 ⋅ 8 + 3)π + i ⋅ sin (4 ⋅ 8 + 3)π  = 35 π 35 π    = 4 2 ⋅  cos + i ⋅ sin   = 4 2 ⋅  cos 4 4  4 4    5

  3π  3π    3π    3π    = 4 2 ⋅  cos 8π +   = 4 2 ⋅  cos  + i ⋅ sin   =  + i ⋅ sin 8π + 4  4   4   4       2 2  = 4 2 ⋅  − + i⋅  = −4 + 4 ⋅ i 2 2  

⇒

D = z 5 − 1 = (1 − i) − 1 = (− 4 + 4 ⋅ i) − 1 = −5 + 4 ⋅ i 5

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte vrijednost determinante :

0 −1 2 2 (1) 4 4 0 −1

1 0 0 1

1 2 4 1

6 3 2 8 −3 2 (2) 2 −3 1 8 −3 1

3 4 1 5

46


1 −1 3 − 4 −1 2 0 4 (3) 3 0 4 −2 −4 5 −2 −8 a b c −d a b −c −d (4) a −b −c −d −a −b −c −d m+a (5) n + a

a

m−a

a

2n − a a −a a

2. Izračunajte vrijednost parametra λ za kojeg je vrijednost determinante:

1+ λ − 9 − 2 −5 5 3 − 12 − 6 1 9 0 −2

3 λ 1 1

jednaka 18.

−1 1 + 2i 1 0 −2 0 1− i 1 3. Izračunajte vrijednost determinante , gdje je i imaginarna 3 1 − 2i 0 0 0 1 4 −2+i jedinica.

4. Izračunajte vrijednost determinante

5. Izračunajte vrijednost determinante

z

1

0

D= z 1

4

1 0

ako je

z = −1 + i .

za

z = cos

2π 2π . + i ⋅ sin 3 3

2

z z4

1

z

z2

z2 z

1 z2

z 1


6. Riješite jednadžbu :

−1 −1 (1) x

x 3 =0 −1

x

2 1

x2

4 9 2 3 =0 1 1

(2) x

1

x+2 x −3

x −1

(3) x − 4

x+2 x =0 x + 4 x −1 x + 5

R. 1. (1) (2) (3) (4) (5)

D=0 D = −30 D = 266 D = 8abcd D = m⋅n⋅a

2. λ 1 = −4 , λ 2 = −2 3. D = 5 + 7i 4. D = −3 + 4i 5. D = 0 6. (1) x 1 = −5 , x 2 = 1 (2) x 1 = 2 , x 2 = 3 (3) x =

9 11

47

48


3.3. Sustavi linearnih jednadžbi Primjer 1. Riješite sustav jednadžbi :

x − 3y = 6   2x + 5 y = 1 

R. a) Cramerovim pravilom

−3 = 1⋅ 5 − (− 3 ) ⋅ 2 = 11 5 −3 = 6 ⋅ 5 − (− 3 ) ⋅ 1 = 33 5 6 = 1⋅ 1 − 6 ⋅ 2 = −11 1 D y − 11 D 33 x= x = =3 , y= = = −1 D 11 D 11

1 2 6 Dx = 1 1 Dy = 2 D=

⇒

b) Gaussovom metodom

 1 − 3 6  1 − 3 6   1 − 3 6   1 0 3   ~ ~ ~  2 5 1 0 11 − 11 0 1 − 1 0 1 − 1 ⇒

x=3 ,

y = −1

Primjer 2.

2x + y + 3z = 9   Riješite sustav jednadžbi : x − 2y + z = −2  3 x + 2y + 2z = 7  R. a) Cramerovim pravilom

2 1 3 −2 1 1 1 1 −2 D = 1 − 2 1 = 2⋅ − 1⋅ +3⋅ = 2 2 3 2 3 2 3 2 2 = 2 ⋅ (− 2 ⋅ 2 − 1⋅ 2) − (1⋅ 2 − 1⋅ 3 ) + 3 ⋅ (1⋅ 2 − (− 2) ⋅ 3 ) = 13 9 1 3 −2 1 −2 1 −2 −2 Dx = − 2 − 2 1 = 9 ⋅ − 1⋅ +3⋅ = 2 2 7 2 7 2 7 2 2 = 9 ⋅ (− 2 ⋅ 2 − 1⋅ 2) − (− 2 ⋅ 2 − 1⋅ 7 ) + 3 ⋅ (− 2 ⋅ 2 − (− 2) ⋅ 7 ) = −13


49

2 9 3 −2 1 1 1 1 −2 Dy = 1 − 2 1 = 2 ⋅ −9⋅ +3⋅ = 7 2 3 2 3 7 3 7 2 = 2 ⋅ (− 2 ⋅ 2 − 1⋅ 7 ) − 9 ⋅ (1⋅ 2 − 1⋅ 3 ) + 3 ⋅ (1⋅ 7 − (− 2) ⋅ 3 ) = 26 2 1 9 −2 −2 1 −2 1 −2 Dz = 1 − 2 − 2 = 2 ⋅ − 1⋅ +9⋅ = 2 7 3 7 3 2 3 2 7 = 2 ⋅ (− 2 ⋅ 7 − (− 2) ⋅ 2) − (1⋅ 7 − (− 2) ⋅ 3 ) + 9 ⋅ (1⋅ 2 − (− 2) ⋅ 3 ) = 39

⇒

x=

D x − 13 = = −1 , D 13

y=

Dy D

=

26 =2 , 13

z=

D z 39 = =3 D 13

b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak

 2 1 3 9   1 - 2 1 − 2   1 - 2 1 − 2  1 - 2 1 1        − 13 9 ~ 0 5 1 2 ~ 2 1 3 1 2 1       ~ 0 1 5 3 2 2 7  3 2 2 7  0 8 - 1 13  0 8 - 1         7 7 16  16   1 0 1 0   5 5   5 5   1 0 0 − 1  1 13   1 13    ~ 0 1 ~ 0 1 ~ 0 1 0 2  5 5   5 5  13 39  0 0 1 3  0 0 1 3   0 0 - 5 − 5        ⇒

x = −1 ,

y=2 ,

z=3

Primjer 3.

2x + 3 y − z = 1   Riješite sustav jednadžbi : x − y + z = 2  3 x + 2y = 5  R. a) Cramerovim pravilom

2

3

D = 1 −1 3

2

−1

1 = 2⋅ 0

−1 1

2

0

−3⋅

1 1 3 0

+ (− 1) ⋅

1 −1 3

2

=0

− 2 13  ~ 5 13 

50


1

3

−1

Dx = 2 − 1 5 ⇒

1 = 1⋅

2

D=0

0

−1 1

2

0

Dx = 4 ≠ 0

i

−3⋅

2 1 5 0

⇒

+ (− 1) ⋅

2 −1 5

2

=4≠0

sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje

b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i drugi redak

2 3 - 1 1  1 - 1 1 2  1 - 1 1 2         1 - 1 1 2 ~ 2 3 - 1 1 ~ 0 5 - 3 − 3 3 2 0 5 3 2 0 5 0 5 - 3 − 1       5 y − 3 z = −3

Ako pogledamo drugu i treću jednadžbu:

5 y − 3 z = −1

,

vidimo da smo naišli na

kontradiktorne jednadžbe, što znači da sustav nema niti jedno rješenje.

Primjer 4.

x − 2y + z = 4   Riješite sustav jednadžbi : 2x + 3 y − z = 3  4 x − y + z = 11  R. a) Cramerovim pravilom

1 −2 D= 2 4

3

−1 = 0

−1

1

1 −2 Dz = 2 4 ⇒

1

3

4 Dx = 3

−2

3

11 − 1

1 −1 = 0

1

1

4

1

Dy = 2

3

−1 = 0

4 11

1

4 3 =0

− 1 11

sustav nema niti jedno rješenje ili sustav ima beskonačno mnogo rješenja

Ako zbrojimo prvu i drugu jednadžbu, odnosno drugu i treću jednadžbu, dobijemo istu jednadžbu : 3 x + y = 7 , što znači da sustav ima beskonačno mnogo rješenja.

y = 7 − 3 x , a onda iz prve jednadžbe izrazimo z pomoću x : z = 4 − x + 2y = 4 − x + 2 ⋅ (7 − 3 x ) = −7x + 18 . Iz te jednadžbe izrazimo y pomoću x :


51

x=t

Sva rješenja sustava su :

  y = 7 −3⋅t  z = 18 − 7 ⋅ t 

, gdje je t bilo koji broj.


 1 - 2 1 4  1 - 2    2 3 - 1 3  ~ 0 7 4 - 1 1 11 0 7     1 1 - 2 1 4     3 5 ~ 0 1 −  ~ 0 7 7   0 0 0 0  0   

1 4  1 - 2 1 4     - 3 − 5 ~ 0 7 - 3 − 5 ~ - 3 − 5 0 0 0 0  1 18  0 7 7  3 5 −  1 7 7 0 0 0   

Sustav jednadžbi sveo se na :

1 18 ⋅z = 7 7 3 5 y − ⋅z = − 7 7 x+

    

18 1 − ⋅z 7 7 5 3 ⇒ y = − + ⋅z 7 7 z=z x=

     , gdje je z ∈ R    

Želimo usporediti rezultate s rezultatima dobivenim Cramerovim pravilom :

18 1 − ⋅ z → 7 x = 18 − z → z = 18 − 7 x 7 7 5 3 5 3 y = − + ⋅ z → y = − + ⋅ (18 − 7 x ) = 7 − 3 x 7 7 7 7

x=

Odaberemo x = t , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku:

x=t

  y = 7 − 3 ⋅ t  , gdje je t ∈ R z = 18 − 7 ⋅ t 

52


Primjer 5.

3 x + 2y − z = 0   Riješite sustav jednadžbi : 2x − y + 3z = 0  x + y − z = 0  R. a) Cramerovim pravilom

3

2

D = 2 −1 1

1

−1 3 = 1≠ 0

⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje x = y = z = 0 .

−1

b) Gaussovom metodom zamijenimo u prvom koraku prvi i treći redak

3 2 - 1 0  1 1 - 1 0  1 1 - 1 0  1 1 - 1 0 5         2 - 1 3 0 ~ 2 - 1 3 0 ~ 0 - 3 5 0 ~ 0 1 - 3 0 ~  1 1 - 1 0 3 2 - 1 0 0 - 1 2 0 0 - 1 2 0             2 2 1 0 3  1 0 3  0 1 0 0 0 0   5   5    0 ~ 0 1 0 0 0 ~ 0 1 ~ 0 1 3  3    1 0 0 0 1 0 0 0 1 0  0 0 3        ⇒ postoji samo jedinstveno trivijalno rješenje x = y = z = 0 .

Primjer 6.

3 x + 2y + z = 0   Riješite sustav jednadžbi : 5 x + 4 y + 3z = 0  4 x + 3 y + 2z = 0  R. a) Cramerovim pravilom

3 2 1 D= 5 4 3 =0 4 3 2

⇒ postoji i netrivijalno rješenje


53

Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-3) i pribrojimo drugoj jednadžbi, dobijemo : − 2x − y = 0 . Istu jednadžbu dobijemo ako prvu jednadžbu pomnožimo sa (-2) i pribrojimo trećoj jednadžbi. Iz te jednadžbe možemo izraziti y pomoću x : y = −2 x . Uvrštavanjem u prvu jednadžbu izrazimo z pomoću x : z = −3x − 2y = −3x − 2 ⋅ (− 2x ) = x

x=t

  y = −2 ⋅ t   z=t 

Sva rješenja sustava su :

, gdje je t bilo koji broj.


 1 3 2 1 0      5 4 3 0 ~ 0 4 3 2 0    0  

2 3 2 3 1 3

1   3 0  1 4   0 ~ 0 3   2 0 0  3  

2 3 1 1 3

1   1 0 - 1 0 0 3    2 0 ~ 0 1 2 0 2   0 0 0 0 0 3  


x−z =0   y + 2⋅z = 0 

x=z

  ⇒ y = −2 ⋅ z  , gdje je z ∈ R  z=z  x=t

  Odaberemo x = t , pa rješenje sustava možemo zapisati u obliku: y = −2 ⋅ t  , gdje je t ∈ R  z=t 

Primjer 7. Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :

2x + 3y - z = 3   x+z=3 

R.

2 3 − 1 3 0 3 − 3 − 3 1 0 1 3  1 0 1 3   ~ ~ ~  1 0 1 3 1 0 1 3  0 3 − 3 − 3 0 1 − 1 − 1

54



x+z=3   y − z = −1 

x =3−z ⇒ y = −1 + z z=z

   , gdje je z ∈ R  

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo zapisati u obliku:

x =3−t y = −1 + t z=t

z = t , pa rješenje sustava možemo

   , gdje je t ∈ R  

Primjer 8. Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :

2x 1 − 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 2   x 1 − 2x 2 − x 3 + x 4 = 1 

R.

2 − 3 1 2 2 1 − 2 − 1 1 1 1 − 2 − 1 1 1 1 0 5 1 1  ~ ~ ~  1 − 2 − 1 1 1 2 − 3 1 2 2 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 Sustav jednadžbi sveo se na :

x1 + 5x 3 + x 4 = 1   ⇒ x 2 + 3x 3 = 0 

x 1 = 1 − 5x 3 − x 4   x 2 = −3 x 3   , gdje su x 3 , x 4 ∈ R x3 = x3   x4 = x4

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odaberemo x 3 = α , možemo zapisati u obliku:

x 1 = 1 − 5α − β   x 2 = −3 α   , gdje su α , β ∈ R x3 = α   x4 = β

x 4 = β , pa rješenje sustava


55

Primjer 9.

Gaussovom metodom riješite sustav jednadžbi :

3 x 1 − x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 0   4x 1 + x 2 − 2x 3 + 5 x 4 = 0  x 1 + 2x 2 − 4 x 3 + 3 x 4 = 0 

R.

3 − 1 2 2  4 1 − 2 5 1 2 − 4 3  1 2 − 4 3  ~ 0 1 − 2 1 0 0 0 0 

0  1   0 ~ 4 0 3 0  1   0 ~ 0 0 0

2 − 4 3 0 1 2 − 4 3 0 1 2 − 4 3 0      1 − 2 5 0 ~ 0 − 7 14 − 7 0 ~ 0 − 7 14 − 7 0 ~ − 1 2 2 0 0 − 7 14 − 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0  1 − 2 1 0 0 0 0 0


x1 = −x 4 x1 + x 4 = 0

  ⇒ x 2 − 2x 3 + x 4 = 0 

  x 2 = 2x 3 − x 4   , gdje su x 3 , x 4 ∈ R x3 = x3   x4 = x4

Sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Odabemo x 3 = α , zapisati u obliku:

x 1 = −β

  x 2 = 2α − β   , gdje su α , β ∈ R x3 = α   x4 = β

Primjer 10.

x + 2y − z 1 = − 2x + 3 y + z 4 x+3 y−2 4−z + − =3 . Riješite sustav jednadžbi : −3 2 4 (x + 2z − 8) : (3x + y − 2) = 4 : 3 R.

x 4 = β , pa rješenje možemo

56


x + 2y − z 1  =  − 2x + 3 y + z 4  4 ⋅ (x + 2y − z ) = (− 2x + 3 y + z ) ⋅ 1  x+3 y−2 4−z   + − =3  ⇒ − 4 ⋅ (x + 3 ) + 6 ⋅ (y − 2) − 3 ⋅ (4 − z ) = 3 ⋅ 12 ⇒ −3 2 4   3 ⋅ (x + 2z − 8 ) = 4 ⋅ (3 x + y − 2)  (x + 2z − 8) : (3x + y − 2) = 4 : 3   4 x + 8 y − 4z = −2x + 3 y + z 6 x + 5 y − 5z = 0     ⇒ − 4 x − 12 + 6 y − 12 − 12 + 3z = 36  ⇒ − 4 x + 6 y + 3z = 72 ⇒  3 x + 6z − 24 = 12 x + 4 y − 8 − 9 x − 4 y + 6z = 16  

6

−5

5

D= −4

3 = −77

6

−9 −4 6

0

5

D x = 72

6

16 − 4

6

5

−5

6

3 =0

0

D y = − 4 72 − 9 16

6

−5 3 = −616 6

0

0 − 616 − 616 72 = −616 ⇒ x = =0 , y= =8 , z= =8 − 77 − 77 − 77 − 9 − 4 16

Dz = − 4

6

Primjer 11. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,-8), B=(-1,0), C=(-2,1). R.

f ( x ) = ax 2 + bx + c  a + b + c = −8    2 a ⋅ (− 1) + b ⋅ (− 1) + c = 0  ⇒ a − b + c = 0  ⇒  2 4a − 2b + c = 1 a ⋅ (− 2) + b ⋅ (− 2) + c = 1 a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = −8

1 D= 1

1

−8

1

−1 1 = 6

Da = 0

4 −2 1 1 Dc = 1

1 −1

4 −2

1 −8

1

1

− 1 1 = −6 −2 1

1 −8 1 Db = 1

0

1 = −24

4

1

1

−6 − 24 − 18 0 = −18 ⇒ a = = −1 , b = = −4 , c = = −3 6 6 6 1

⇒ f ( x) = −x 2 − 4x − 3


57

Primjer 12. U sustavu jednadžbi

x + y − 4z = 2   4 x − (λ + 2) ⋅ y + 2z = 3   5 x − 2y − z = 4 

odredite parametar λ

tako da

determinanta sustava bude jednaka -7 i nađite rješenja tog sustava. R.

1 1 −4 D = 4 − (λ + 2) 2 = 5 −2 −1 = [− (λ + 2) ⋅ (− 1) − 2 ⋅ (− 2)] − [4 ⋅ (− 1) − 2 ⋅ 5] + (− 4 )[4 ⋅ (− 2) + (λ + 2) ⋅ 5] = = −19λ + 12 ⇒ − 19 λ + 12 = −7 ⇒ λ = 1

⇒

x + y − 4z = 2   4 x − 3 y + 2z = 3  5 x − 2y − z = 4 

2

1

Dx = 3 − 3 4 −2 ⇒ x=

−4 2 =1 −1

1 2 −4 Dy = 4 3 5 4

2 = 13 −1

1

1

2

Dz = 4 − 3 3 = 7 5 −2 4

1 1 13 13 7 =− , y= =− , z= = −1 −7 7 −7 7 −7

Primjer 13.

Za koju vrijednost parametra λ sustav jednadžbi :

λx + 5y + 13z = 0   2x + 6y + (λ + 6) ⋅ z = 0   − x + 7y + 5z = 0 

ima i

netrivijalna rješenja ? R. Da bi homogen sustav jednadžbi imao i netrivijalna rješenja, mora mu determinanta biti jednaka nuli.

58


λ 5 13 D= 2 6 λ+6 = −1 7 5 = λ ⋅ [6 ⋅ 5 − (λ + 6 ) ⋅ 7] − 5 ⋅ [2 ⋅ 5 − (λ + 6 ) ⋅ (− 1)] + 13 ⋅ [2 ⋅ 7 − 6 ⋅ (− 1)] = = −7λ2 − 17λ + 180

⇒ − 7λ2 − 17λ + 180 = 0

7λ2 + 17λ − 180 = 0 ⇒ λ 1,2 = ⇒ λ1 = −

− 17 m 289 + 5040 − 17 m 73 = 14 14

45 , λ2 = 4 7

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Riješite sustav jednadžbi :

x1 + x 2 + x 3 = 6

  x2 − x3 + x4 = 2  (1)  x1 + x 3 − x 4 = 2  − x 1 − x 2 + x 4 = −2 

x + 2z − 8 4 = 3x + y − 2 3 (2) (2x − 3 y − z ) : ( x + 2y − z ) = 4 : ( −1) z−4 y−2 x+3 + − =3 4 2 3

x + 2y − z 1 = − 2x + 3 y + z 4

   x+3 y−2 4−z  (3) − + = −3  3 2 4  (3 x + y − 2) : ( − x − 2z + 8) = −3 : 4  

      


y +1 − 2z = 0 4 1 − 2x 1 − y 2 (4) + = 3 2 3 x − 4 y − 3z = 3 2 x−

59

        

x + 2y + 3z = 4   (5) 3 x + y − z = 1  2x + 4 y + 6z = 3  2x + y + 3z = 4   (6) 4 x + 2y + 6z = 3  x + 3 y − z = −1 

x + (k + 2) ⋅ y + z = −6   2 x + 3 y − 2z = 2   2x − y + 3z = −1 

2. U sustavu jednadžbi

odredite parametar k

tako da

determinanta sustava bude jednaka 29. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.

2x − 3 y + z = 2

  3. U sustavu jednadžbi 4 x + y − 3z = −4  odredite parametar k tako da determinanta x + (k + 1) ⋅ y − 4z = −5  sustava bude jednaka 2. Nađite rješenja tog sustava jednadžbi.

2x − (k + 1)y − 2z = 2   4. U sustavu jednadžbi : 2x − y + 3z = −1  odredite parametar k tako da determinanta  x − 3 y + z = −6  sustava bude 29 . Nađite rješenja tog sustava. 5. Riješite sustav jednadžbi :

3x − y = 0

  (1) x + y + z = 0  x − 3 y − 2z = 0 

60


x+y+z=0   (2) x + 3 y − z = 0   x + 2y = 0  kx + 4 y + 2z = 0   6. Za koju vrijednost parametra k sustav x − y + 4z = 0  5 x + 2y + 10z = 0 

ima netrivijalna rješenja?

Odredite ta rješenja.

2x + 6 y + 10 z = 0

7. U sustavu jednadžbi

  − x + (k + 3) ⋅ y + 5z = 0   k ⋅ x + 5 y + 13 z = 0 

odredite parametar k>0 tako da

sustav ima netrivijalna rješenja. Nađite ta rješenja. 8. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(1,2), B=(2,2) , C=(-1,8) . 9. Odredite polinom 2. stupnja koji prolazi točkama A=(-1,9) , B=(1,1) , C=(2,3) . R. 1. (1) x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 2 (2) x = 0 , y = 8 , z = 8 (3) x = 0 , y = 8 , z = 8 (4) x = 1 , y = −1 , z =

1 2

(5) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. (6) Sustav je nesnošljiv, nema niti jedno rješenje. 2. k = −5 , x = -1 , y = 2 , z = 1 3. k = 4 , x = 5 , y = 6 , z = 10 4. k = −4 , x = -1 , y = 2 , z = 1

5.

x=t

  (1) y = 3t  t ∈ R z = −4t 


x = −2 ⋅ t   (2) y = t  t ∈R  z=t  6. k = 3

18 ⋅t 7 10 y= ⋅t 7 z=t x=−

     t ∈R    

7. k = 4

x = −2t   y = −t  t ∈ R z = t  8. P( x ) = x 2 − 3 x + 4

9. P( x ) = 2x 2 − 4 x + 3

61

62


4. FUNKCIJE 4.1. Funkcije Primjer 1. Odredite područje definicije funkcija : (1) f ( x ) = 4 x 3 − 2x 2 + x − 5 (2) f ( x ) =

3x x−2

(3) f ( x ) =

x +1

(4) f ( x ) =

x2 + 2

(5) f ( x ) = 3 x + 1 (6) f ( x ) =

− x2 −1

(7) f ( x ) =

x2 − 9

(8) f ( x ) =

−x +

(9) f ( x ) =

1+ x 1− x

(10) f ( x ) =

1 2+x

x 3 − 2x 2 − 3 x x−4

(

(11) f ( x ) = log x 2 − 5 x + 6

)

 x 2 − 3x + 2   x + 1  

(12) f ( x ) = log

(

(13) f ( x ) = ln x − x

)

(14) f ( x ) = ln(1 − x ) (15) f ( x ) =

x +1− 5 − x + e 4

1

(16) f ( x ) = 2 2 x −1 (17) f ( x ) = 31−2 x (18) f ( x ) =

e x + e−x e x − e −x

(19) f ( x ) = cos 2 x − sin 2 x (20) f ( x ) = arccos

1 − 2x 4

1 x


63

R. (1) D = R = (− ∞,+∞ ) (2) x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 ⇒ D = R \ {2} = (− ∞,2) ∪ (2,+∞ ) (3) x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1 ⇒ D = [− 1,+∞ ) (4) x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ D = R = (− ∞,+∞ ) (5) D = R = (− ∞,+∞ ) (6) − x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ − x 2 ≥ 1 ⇒ x 2 ≤ −1 ⇒ D = ∅ (7) x 2 − 9 ≥ 0 ⇒ (x − 3 ) ⋅ (x + 3 ) ≥ 0 ⇒ D = (− ∞,−3] ∪ [3,+∞ ) (8) (− x ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 ) & (2 + x > 0 ⇒ x > −2) ⇒ D = (− 2,0]

 1+ x  ≥ 0  & (1 − x ≠ 0 ) ⇒ D = [− 1,1)  1− x 

(9) 

(

)

(10) x 3 − 2x 2 − 3 x ≥ 0 ⇒ x ⋅ (x + 1) ⋅ (x − 3 ) ≥ 0 & (x − 4 ≠ 0 ) ⇒ D = [− 1,0] ∪ [3,4 ) ∪ (4,+∞ ) (11) x 2 − 5 x + 6 > 0 ⇒ (x − 2) ⋅ (x − 3 ) > 0 ⇒ D = (− ∞,2) ∪ (3,+∞ ) (12)

(x − 1) ⋅ (x − 2) > 0 ⇒ D = (− 1,1) ∪ (2,+∞ ) x 2 − 3x + 2 >0⇒ x +1 x +1

(13)

  x < 0 ⇒ f ( x ) = ln( x − ( − x )) = ln(2x )...nije def . ⇒ D = ∅  x > 0 ⇒ f ( x ) = ln( x − x ) = ln 0...nije def . 

x = 0 ⇒ f ( x ) = ln(0 − 0) = ln 0...nije def .

(14) (ln(1 − x ) ≥ 0 ⇒ (1 − x ) ≥ 1 ⇒ x ≤ 0 ) & (1 − x > 0 ⇒ x < 1) ⇒ D = (− ∞,0] (15) (x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1) & (5 − x ≥ 0 ⇒ x ≤ 5 ) & (x ≠ 0 ) ⇒ D = [− 1,0 ) ∪ (0,5] (16) 2x − 1 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ 1 ⇒ x ≠

1 1  1  1   ⇒ D = R \   =  − ∞,  ∪  ,+∞  2 2  2  2  

(17) D = R = (− ∞,+∞ ) (18) e x − e − x ≠ 0 ⇒ e x ≠ e − x ⇒ e 2 x ≠ e 0 = 1 ⇒ 2x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 ⇒ D = R \ {0}

64


(19)

f ( x ) = cos 2 x − sin 2 x =

(1 − sin x ) − sin 2

2

x = 1 − 2 sin 2 x

1 2 2 ⇒− ≤ sin x ≤ 2 2 2 π π π  π  ⇒ − + kπ ≤ x ≤ + kπ ⇒ D = − + kπ, + kπ, k ∈ Z 4 4 4  4 

⇒ 1 − 2 sin 2 x ≥ 0 ⇒ 2 sin 2 x ≤ 1 ⇒ sin 2 x ≤

(20)

1 − 2x 1 − 2x ⇒ −1 ≤ ≤ 1 ⇒ −4 ≤ 1 − 2x ≤ 4 ⇒ −5 ≤ −2x ≤ 3 ⇒ 4 4 5 3 3 5  3 5 ⇒ ≥ x ≥ − ⇒ − ≤ x ≤ ⇒ D = − ,  2 2 2 2  2 2 f ( x ) = arccos

Primjer 2. Ispitajte koje su od danih funkcija parne, koje su neparne, a koje nisu ni parne, ni neparne : (1) f ( x ) = 5

(2) f ( x ) = (x − 1)

2

(3) f ( x ) = x 2 ⋅ 3 x + 3 sin x (4) f ( x ) = x 3 ⋅ cos x (5) f ( x ) = x (6) f ( x ) = 1 − x + x 2 − 1 + x + x 2 (7) f ( x ) = 2 x + 2 − x

 1− x    1+ x 

(8) f ( x ) = ln R.

(1) f ( x ) = 5 ⇒ f ( − x ) = 5 = f ( x ) ⇒ funkcija je parna (2) f ( x ) = (x − 1) ⇒ f ( − x ) = (− x − 1) = [− (x + 1)] = (x + 1) , f ( − x ) ≠ f ( x ) , f ( − x ) ≠ − f ( x ) ⇒ funkcija nije niti parna niti neparna 2

(3)

2

2

2

(

)

f ( x ) = x 2 ⋅ 3 x + 3 sin x ⇒ f ( − x ) = (− x ) ⋅ 3 − x + 3 sin(− x ) = x 2 ⋅ − 3 x + 3 ⋅ (− sin x ) = 2

(

)

= − x 2 ⋅ 3 x − 3 sin x = − x 2 ⋅ 3 x + 3 sin x = − f ( x ) ⇒ funkcija je neparna

(

)

(4) f ( x ) = x 3 ⋅ cos x ⇒ f ( − x ) = (− x ) ⋅ cos(− x ) = − x 3 ⋅ cos x = − x 3 ⋅ cos x = − f ( x ) ⇒ funkcija je neparna 3


65

(5) f ( x ) = x ⇒ f ( − x ) = − x = x = f ( x ) ⇒ funkcija je parna (6) f ( x ) = 1 − x + x 2 − 1 + x + x 2

f ( − x ) = 1 − (− x ) + (− x ) − 1 + (− x ) + (− x ) = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 = 2

2

) (

(

)

= − − 1 + x + x 2 + 1 − x + x 2 = − 1 − x + x 2 − 1 + x + x 2 = −f ( x ) ⇒ funkcija je neparna (7) f ( x ) = 2 x + 2 − x ⇒ f ( − x ) = 2 (− x ) + 2 − (− x ) = 2 − x + 2 x = 2 x + 2 − x = f ( x ) ⇒ funkcija je parna

 1− x   = ln(1 − x ) − ln(1 + x )  1+ x   1 − (− x )   1+ x   1− x   = ln f ( − x ) = ln  = −f ( x )  = ln(1 + x ) − ln(1 − x ) = −(ln(1 − x ) − ln(1 + x )) = − ln  1− x   1+ x   1 + (− x )  ⇒ funkcija je neparna

(8) f ( x ) = ln

Primjer 3. Odredite osnovni period slijedećih funkcija : (1) f ( x ) = sin 3 x

x 2 (3) f ( x ) = tg6 x x (4) f ( x ) = ctg 5

(2) f ( x ) = cos

R.



 

(1) f ( x ) = sin 3 x = sin(3 x + 2π ) = sin3 ⋅  x +



(2) f ( x ) = cos

x x  1  = cos + 2π  = cos  ⋅ (x + 4π ) = f (x + 4π) ⇒ T = 4π 2 2  2  

 

(3) f ( x ) = tg6 x = tg(6 x + π) = tg6 ⋅  x +



(4) f ( x ) = ctg

2π    2π  2π  = f  x + ⇒T= 3   3  3

π   π π  = f  x +  ⇒ T = 6   6 6

x  1 x  = ctg + π  = ctg ⋅ (x + 5π ) = f (x + 5π ) ⇒ T = 5π 5 5  5 

66


Primjer 4. Za zadane funkcije f ( x ) i g( x ) odredite kompozicije (f o g)( x ) i

(g o f )( x ) :

x −3 2 x −1 1 −2 (2) f ( x ) = , g( x ) = 2x + 3 x 1 (3) f ( x ) = e x −1 , g( x ) = − ⋅ ln(x + 1) 2 2 x (4) f ( x ) = x , g( x ) = 2 (1) f ( x ) = 2x + 3 , g( x ) =

R.

x −3 2 x (f o g)( x ) = f (g( x )) = f  − 3  = 2 ⋅  x − 3  + 3 = x − 3 + 3 = x  2   2  (g o f )( x ) = g(f ( x )) = g(2x + 3) = (2x + 3) − 3 = 2x = x 2 2

(1) f ( x ) = 2x + 3 , g( x ) =

x −1 1 , g( x ) = −2 2x + 3 x 1 1 2x + 3 2x + 3 (f o g)( x ) = f  x − 1 − 2  = = = = x −1 x − 1 − 2 ⋅ (2x + 3 ) x − 1 − 4 x − 6 − 3 x − 7  2x + 3  −2 2x + 3 2x + 3 1 1− x −1 1− x 1 − x − 2 ⋅ (2 + 3 x )  1 (g o f )( x ) = g  = x −2= x −2 = −2 = = 2 + 3x 2 + 3x 2 + 3x  x  2⋅ 1 + 3 x x 1 − x − 4 − 6x − 7x − 3 = = 2 + 3x 2 + 3x

(2) f ( x ) =

1 ⋅ ln(x + 1) 2 (f o g)( x ) = f (g( x )) = f  − 1 ⋅ ln(x + 1) = f − ln x + 1 = e −ln  2  1 1 1 = ln x +1 1 = = x + 1⋅ e e ⋅ x + 1 e ⋅e

(3) f ( x ) = e x −1 , g( x ) = −

(

)

(g o f )( x ) = g(f ( x )) = g(e x −1 ) = − 1 ⋅ ln(e x −1 + 1) = − ln( 2

x +1−1

= e − (ln

1 )= = e (ln x +1+1)

x +1+1

) ln( e1 + 1)

e x −1 + 1 =

x −1


(4) f ( x ) = x 2 , g( x ) = 2 x

(f o g)( x ) = f (g( x )) = f (2 x ) = (2 x )2 = 2 2x (g o f )( x ) = g(f ( x )) = g(x 2 ) = 2 x

67

( )

= 22

x

= 4x

2

Primjer 5. Nađite inverznu funkciju funkcije : (1) f ( x ) = 2x + 3 (2) f ( x ) = x 3 + 1 (3) f ( x ) =

2x − 2 2−x

(4) f ( x ) = x 2 − 2 , x ∈ [0, ∞ ) (5) f ( x ) = 1 − x 3 3

(6) f ( x ) = log

x 2

(7) f ( x ) = 1 + log( x + 2) (8) f ( x ) =

2x 1+ 2x

(9) f ( x ) = 3 x −1 + 2 (10) f ( x ) =

1 ⋅ e1− x 2

R. (1) f ( x ) = 2x + 3

y = 2x + 3 2x = y − 3 x=

y −3 y −3 x −3 ⇒ f −1 ( y ) = ⇒ f −1 ( x ) = 2 2 2

(2) f ( x ) = x 3 + 1

y = x3 + 1 x3 = y −1 x = 3 y − 1 ⇒ f −1 ( y ) = 3 y − 1 ⇒ f −1 ( x ) = 3 x − 1

68


2x − 2 2−x 2x − 2 y= 2−x (2 − x ) ⋅ y = 2x − 2 2y − xy = 2x − 2 2x + xy = 2y + 2 x ⋅ (2 + y ) = 2y + 2

(3) f ( x ) =

x=

2y + 2 2y + 2 2x + 2 ⇒ f −1 ( y ) = ⇒ f −1 ( x ) = , x ≠ −2 2+y 2+y 2+ x

(4) f ( x ) = x 2 − 2 , x ∈ [0, ∞ )

y = x2 − 2 x2 = y + 2 x = y+2 ⇒ f −1 ( y ) = y + 2 ⇒ f −1 ( x ) = x + 2 , x ≥ −2 (5) f ( x ) = 1 − x 3 3

y = 3 1− x 3 y 3 = 1− x 3 x 3 = 1− y 3 x = 3 1 − y 3 ⇒ f −1 ( y ) = 3 1 − y 3 ⇒ f −1 ( x ) = 3 1 − x 3 (6) f ( x ) = log

x 2

x y = log10    2 x 10 y = 2 x = 2 ⋅ 10 y ⇒ f −1 ( y ) = 2 ⋅ 10 y ⇒ f −1 ( x ) = 2 ⋅ 10 x (7) f ( x ) = 1 + log( x + 2)

y = 1 + log10 ( x + 2) y − 1 = log10 ( x + 2) 10 y −1 = x + 2 x = 10 y −1 − 2 ⇒ f −1 ( y ) = 10 y −1 − 2 ⇒ f −1 ( x ) = 10 x −1 − 2


2x 1+ 2x 2x y= 1+ 2x y ⋅ (1 + 2 x ) = 2 x

(8) f ( x ) =

y + y ⋅ 2x = 2x 2 x ⋅ (1 − y ) = y y 2x = 1− y  y   y   x   ⇒ f −1 ( y ) = log 2   ⇒ f −1 ( x ) = log 2  x = log 2    1− x   1− y   1− y  (9) f ( x ) = 3 x −1 + 2

y = 3 x −1 + 2 3 x −1 = y − 2 log 3 3 x −1 = log 3 (y − 2) x − 1 = log 3 (y − 2)

x = 1 + log3 (y − 2)

⇒ f −1 ( y ) = 1 + log 3 (y − 2) ⇒ f −1 ( x ) = 1 + log 3 (x − 2)

1 ⋅ e1− x 2 1 y = ⋅ e1− x 2

(10) f ( x ) =

2y = e1− x

(2y )2 = e1−x 2 log e (2y ) = log e (e1− x ) 2 ln(2y ) = 1 − x 2 x = 1 − ln(2y ) x = 1 − 2 ⋅ ln(2y ) ⇒ f −1 ( y ) = 1 − 2 ⋅ ln(2y ) Primjer 6. Odredite f ( x ) ako je : (1) f (2x − 1) = 4 x 2 − 3

 x  2 =x  x + 1

(2) f 

⇒ f −1 ( x ) = 1 − 2 ⋅ ln(2x )

69

70


R. (1) f (2x − 1) = 4 x 2 − 3

u = 2x − 1 2x = u + 1 x=

u +1 2 2

(

)

4 ⋅ u 2 + 2u + 1  u + 1 ⇒ f (u) = 4 x − 3 = 4 − 3 = u 2 + 2u − 2  −3 = 2 4   2 ⇒ f ( x ) = x + 2x − 2 2

 x  2 =x  x + 1 x u= x +1 u ⋅ (x + 1) = x x ⋅ (u − 1) = −u u x= 1− u

(2) f 

 u  ⇒ f (u) = x =    1− u 

2

2

 x  ⇒ f(x) =    1− x 

2

Primjer 7. Pretvorite u eksplicitni oblik y = f ( x ) implicitno zadane funkcije : (1) log x + log y = 1 (2) e xy = x R. (1)

log x + log y = 1 log(x ⋅ y ) = 1

log10 (x ⋅ y ) = 1 10 1 = xy 10 ⇒ y= x (2)

e xy = x ln e xy = ln x xy = ln x ⇒ y =

ln x x


ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite područje definicije funkcija :

1   2x + log 1  − 1 1− x  2  x −1

(1) f ( x ) =

log 2 x

(2) f(x) =

9 + 6x + x

2

+ x2 − x − 2

(3) f ( x ) = ln( x 2 − 2x + 1) (4) f ( x ) =

x2 + 1 3

9 − x2

(5) f ( x ) = log 1 (2x − x 2 ) + 2

(6) f ( x ) =

x 4

1− x 2 3 − −x 1+ x 2

(7) f ( x ) = log

2x − 1 1 − 3x

(8) f ( x ) = log

5x − x 2 4

(9) f ( x ) =

x 2 − 2x − 3 +

log 3 x 4 + 4x + x 2

(10) f ( x ) = 1 − x − 1 (11) f ( x ) = log 1 x 2

(12) f ( x ) =

x+5 3x + log(9 − x ) x − 1

x2 −1 (13) f ( x ) = 3 − x + x+2 1

(14) f ( x ) = 3 − x − 16 − x 2 + e 2 x

71

72


(15) f ( x ) = log 1 2

1 − 2x x+3

2. Zadane su funkcije f ( x ) = e x −1 , g( x ) = −

1 ⋅ ln( x + 1) . Odredite kompoziciju 2

(f o g)(x ) .

3. Ako su f ( x ) = 2 ⋅ x 2 − 3 i g( x ) = −4 ⋅ x + 2 , odredite ( f o f )( x ) , (g o g)( x ) , ( f o g)( x ) , (g o f )( x ) .

4. Ako su f ( x ) =

(g o g)( x ) . 5. Ako su

f (x) =

(g o f )( x ) .

3 1 1 2 ⋅ x − 3 i g( x ) = ⋅ x + , odredite 2 4 2

3 − x2 4

i

g( x ) =

3 2 ⋅ x − , odredite 2 3

f ( x ) = x − 2 i g( x ) = x 2 − x + 3 , (f o g)( x ) = (g o f )( x ) .

6. Ako su

7. Odredite

sva

rješenja

jednadžbe

g( x ) = 2x − x + 1 .

(f o g)( x ) , (g o f )( x ) , (f o f )( x ) ,

(f o f )( x ) , (g o g)( x ) , (f o g)( x ) ,

odredite

(f o g)(x ) = (g o f )(x )

sva rješenja jednadžbe

ako su

f ( x ) = 2x − 1 i

2

1 2 ⋅ x − 3 x + 1 i g( x ) = 2x − 3 . 2 vrijednosti korijena jednadžbe (g o f )( x ) = 0 . 8. Zadane su funkcije f ( x ) =

9. Odredite inverznu funkciju funkcije : (1) f ( x ) = 1 − log 2 ( x + 1) (2) f ( x ) = − log( x + π) (3) f ( x ) = −

1 ⋅ log 2 ( x + 3) + 1 2

(4) f ( x ) = log 3 x − log

3

x

Koliki je zbroj recipročnih


(5) f ( x ) = 2

1−

73

x 2

2 x −5 4x

(6) f ( x ) = 0.01 (7) f ( x ) =

2 − cos x 1 + cos x

(8) f ( x ) =

1 − sin x 1 + sin x

10. Ako je

x  2x  f , odredite inverznu funkciju f −1 ( x ) . =  3x + 2  x + 1

11. Ako je

 x  1 f , odredite inverznu funkciju f −1 ( x ) . =  2 x − 1 x

12. Dokažite da su funkcije

f1 ( x ) = 3 ⋅ 21− x + 1

 6  f 2 ( x ) = log 2    x − 1

i

inverzne.

x

 1 x   +2 1  2 + 2 i g( x ) = − ⋅ log 2 (2x − 5) inverzne. 13. Dokažite da su funkcije f ( x ) = x +1 2 2 14. Dokažite

f (x) = 4 ⋅ 2

−x

da je funkcija

inverzna

− 1.  1 x

15. Odredite f ( x ) ako je f   =

16. Odredite f ( x )

17. Ako je

g( x ) = 2 − log 2 ( x + 1)

ako je

1  1 f  =  x  1− x

3 . 2x + 7

Koliko je f ( −2) ?

3 f (2x − 1) = 4 x 2 − 3 . Koliki je f   ?  2

, koliko je

 1  f   1+ x 

?

funkcija

funkcije

74


f (x)

18. Odredite

ako je

 3 x − 1 x + 1 . f =  x + 2  x −1 2

2

1 1   19. Zadana je funkcija f ( x ) =  x −  +  x +  . Za koji x je f ( x ) = 1 ? 2  2 

20. Ako je

π  f ( x ) = 3 ⋅ sin x −  − 2 ⋅ cos x , dokažite da je f ( π − x ) = 5 ⋅ cos x . 2 

R. 1. (1) D = (− ∞,−1) (2) D = (− ∞,−3 ) ∪ (− 3,−1] ∪ [2,+∞ ) (3) D = (− ∞,0] ∪ [2,+∞ ) (4) D = R \ {− 3,3} (5) D = (0,2) (6) D = R

 1 2  

(7) D =  ,  3 5 (8) D = [1,4] (9) D = (− ∞,−2) ∪ (− 2,−1] ∪ [3,+∞ ) (10) D = [0,2] (11) D = (0,1] (12) D = [− 5,1) ∪ (1,8 ) ∪ (8,9 ) (13) D = [− 3,−2) ∪ (− 2,3] (14) D = [− 4,0 ) ∪ (0,3]

 2 1 ,   3 2

(15) D = −

Zbirka zadataka iz Matematike 1 2. (f o g)(x ) =

1 e⋅ x +1

3. ( f o f )( x ) = 8 x 4 − 24 x 2 + 15 , (g o g)( x ) = 16 x − 6 , ( f o g)( x ) = 32x 2 − 32x + 5 ,

(g o f )( x ) = −8 x 2 + 14

9 2 3 1 3 3 95 17 3 x + x− , (g o f )( x ) = x 2 − , ( f o f )( x ) = x 4 − x 2 + , 8 8 8 4 2 32 4 2 9 5 (g o g)( x ) = x + 4 8

4. ( f o g)( x ) =

3 2 3 9 9 5 11 x + , (g o g)( x ) = x − , ( f o g)( x ) = − x 2 + 2x + , 2 4 4 16 3 36 3 11 (g o f )( x ) = − x 2 + 2 24

5. ( f o f )( x ) = − x 4 +

6. x = 2

7. x 1 =

8.

1 3 , x2 = 2 2

1 1 + = −6 x1 x 2

9. (1) f −1 (x ) = 21− x − 1 (2) f −1 (x ) = 10 − x − π (3) f −1 (x ) = 41− x − 3 (4) f −1 (x ) = 3 − x (5) f −1 (x ) = 2 ⋅ log 1 x + 2 2

(6) f −1 (x ) =

5 2 ⋅ (1 + log x )

75

76


2−x   1+ x 

(7) f −1 (x ) = arccos

 1− x    1+ x 

(8) f −1 (x ) = arcsin

10. f −1 (x ) =

2x 2+x

11. f −1 (x ) =

1 2−x

15. f ( x ) =

3x 1 , f ( −2 ) = 2 + 7x 2

16. f (x ) = x 2 + 2x − 2 ,

17. f −1 (x ) = −

1 x

18. f (x ) =

x+4 3x − 2

19. x = m

1 2

 3  13 f  =  2 4


4.2. Limes niza realnih brojeva Primjer 1. Napišite nekoliko prvih članova niza : (a) a n = (− 1)

n

(b) a n =

1 n

1  , n...paran n (c) a n =  1 − 1 , n...neparan  n  

(d) a n = sin n ⋅

π  2

R. (a) -1,1,-1,1,-1,1,.... (b) 1 ,

1 1 1 1 , , , ... , , ... 2 3 4 n

(c) 0 ,

1 2 1 4 1 6 1 8 , , , , , , , , ... 2 3 4 5 6 7 8 9

(d) 1,0,-1,0,1,0,-1,0,....

Primjer 2. Odredite prvih pet članova niza. Da li je niz konvergentan ili divergentan ? (a) a n = 1 + (− 1) + n

1 n

3n + 1 2n + 1  1 1 − , n...paran  n (c) a n =  1 + 1 , n...neparan  n

(b) a n =

77

78


R. (a)

1 1 a1 = 1 + (− 1) + = 1 1 1 1 2 a 2 = 1 + (− 1) + = 2 2 2 1 1 3 a 3 = 1 + (− 1) + = 3 3 1 1 4 a 4 = 1 + (− 1) + = 2 4 4 1 1 5 a 5 = 1 + (− 1) + = 5 5 Niz je divergentan i ima dvije točke gomilanja :

0 ... za neparne n ... 2 ... za parne n ...

(b)

1 =0 n→ ∞ n 1  lim  2 +  = 2 n→ ∞ n  lim

3 ⋅ 1+ 1 4 1 = =1 2 ⋅ 1+ 1 3 3 3⋅2 +1 7 2 = = =1 2⋅2 +1 5 5 3 ⋅ 3 + 1 10 3 = = =1 2⋅3 +1 7 7 4 3 ⋅ 4 + 1 13 = =1 = 9 2⋅4 +1 9 5 3 ⋅ 5 + 1 16 = =1 = 11 2 ⋅ 5 + 1 11

a1 = a2 a3 a4 a5

1 1  3 +  lim 3 + lim  3+0 3 n→ ∞ n  3n + 1 n  = n→∞ . Niz je konvergentan, lim  = =  = lim  n→∞ 2n + 1 n→ ∞  1 1 2+0 2   2 + lim  2 +  nlim n→ ∞ n n  →∞  (c)

1 a1 = 1 + = 2 1 1 1 a 2 = 1− = 2 2 1 1 a3 = 1+ = 1 3 3 1 3 a 4 = 1− = 4 4 1 1 a5 = 1+ = 1 5 5


79

1  1  = lim 1 + lim = 1 + 0 = 1 n→ ∞  n  n → ∞ n→ ∞ n 1  1 lim 1 −  = lim 1 − lim = 1 − 0 = 1 n→ ∞  n  n→∞ n→∞ n

Niz je konvergentan i teži prema 1 : za neparne n ... lim 1 + za parne n ...

Primjer 3. Odredite limes niza :

(n + 1)2

(a) lim

2n 2

n→ ∞

(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3 )

(b) lim

n3

n→ ∞

(c) lim

n→∞

(

n +1− n

)

3n 2 − n + 2 (d) lim 3 n→∞ 2n − n 2 + 1

(

(e) lim 10 ⋅ n ⋅ n→∞

 n→∞ 

(f) lim1 +

1  n

(n

2

+1−n

)

5n

R. (a) 2 ( n + 1) lim

n→ ∞

2n 2

(n + 1) = 1 ⋅ lim n + 1 = 1 ⋅  lim n + 1 n→∞ = ∞ 1 =   = ⋅ lim     2 2 n→∞ n  2 n→ ∞  n   ∞  2 n→∞ n 2

2

2

lim 2

2

1 1 1 1  1   1  2 = ⋅  lim 1 +  = ⋅  lim 1 + lim  = ⋅ (1 + 0 ) = n n n → ∞ → ∞ → ∞ 2 n 2 2  2   n  (b)

lim

n→ ∞

(n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 3) =  ∞  = lim  n + 1 ⋅  n + 2  ⋅  n + 3  = n3

  ∞

n→ ∞

 n   n   n       

 1   2   3   1  2  3 = lim 1 +  ⋅ 1 +  ⋅ 1 +  = lim 1 +  ⋅ lim 1 +  ⋅ lim 1 +  = 1⋅ 1⋅ 1 = 1 n→ ∞  n   n   n  n→∞ n  n→∞ n  n→∞ n 

80

(c)


(

)

(

)

n +1+ n

lim n + 1 − n = (∞ − ∞ ) = lim n + 1 − n ⋅

n→ ∞

= lim

n→ ∞

1 n +1+ n

n→ ∞

n +1+ n

= lim

n→ ∞

(n + 1) − n n +1+ n

=

=0

(d)

2 3 1 3n 2 n 2 3 1 2  − 2 + 3 − 3 + 3 − 2 + 3 nlim 2 3 3n − n + 2  ∞  n  0 n = →∞ n n =   = lim n 3 n 2 n = lim n n lim 3 = =0 2 n→∞ 2n − n + 1 1 1 1 1 2 n 1 n→∞   ∞  n→∞ 2n 2− + 3 lim  2 − + 3  − 3 + 3 3 n→ ∞ n n n n  n n n  (e)

(

( n + 1 − n)) = 10 ⋅ lim (n ⋅ ( n + 1 − n)) = n +1+ n n ⋅ ((n = 10 ⋅ lim (n ⋅ ( n + 1 − n))⋅ = 10 ⋅ lim n +1+ n n lim 10 ⋅ n ⋅

n→ ∞

2

2

n→ ∞ 2

2

n→ ∞

n

= 10 ⋅ lim

n→ ∞

= 10 ⋅

n→ ∞

2

n2 + 1 + n

n n

= 10 ⋅ lim

n→ ∞

n2 1 n + 2 + 2 n n n

1 10 = =5 1+ 1 2

 1 (f) lim1 +  n→∞  n

5n

5

  1 n  = lim 1 +   = e 5  n→∞   n  

ZADACI ZA VJEŽBU Odredite limes niza : (1) a n =

(2) a n =

(n

2

)( ( )

)

− n + 1 ⋅ n2 − n − 1 2n ⋅ 1 − n 3

n +1−n n +1+ n

)

2

+ 1 − n2

2

+1+ n

= 10 ⋅ lim

n→ ∞

)=

1 1 1+ 2 + 1 n

=


 n2 + 2   (3) a n =  2  n +1

n2

n +1

(4) a n =

n+2

2 ⋅ 3n + 1 (5) a n = 2 − 5 ⋅ 3n n +1

(6) a n =

n +2

R.

1 2 −1 e 1 2 − 5 1

(1) − (2) (3) (4) (5) (6)

4.3. Neprekidnost i limes funkcija Primjer 1. Izračunajte :

4x 3 − 6x x →∞ 1 − 2 x 2

(a) lim

3x − 1 x →∞ x 2 + 1

(b) lim

x3 −1 x →∞ x 2 + 1

(c) lim



x3

x2



 − (d) lim  2 x →∞ 9 x − 4 3x + 2   (e) lim

x →∞

x2 + 3 x+2

81

82


x2 + 3 x+2

(f) lim

x → −∞

x

(g) lim

x →∞

x + x2 + 1

(h) lim

x → −∞

x x + x2 + 1

R.

4x 3 6x 6 − 3 4− 2 3 4x − 6x  ∞  x = lim x = 4 − 0 = −2 (a) lim =   = lim x 3 x →∞ 1 − 2x 3 x x → ∞ → ∞ 1 0−2 1 2x ∞ −2 − 3 3 3 x x x 3

3x 1 3 1 − 2 − 2 2 3x − 1  ∞  x x x x = 0−0 = 0 = 0 =   = lim 2 = lim (b) lim 2 → ∞ → ∞ x →∞ x + 1 x x 1 1+ 0 1 x 1 ∞ 1+ 2 + 2 2 x x x x3 1 1 1− 3 − 3 3 x −1  ∞  x = 1 − 0 = 1 = +∞ (c) lim 2 =   = lim x 2 x = lim → ∞ → ∞ x →∞ x + 1 x x 1 1 0+0 0 x 1 ∞ + 3 + 3 3 x x x x 3



x3

x2





x3

x2



=  = (∞ − ∞ ) = lim  − (d) lim  2 − 2 2  x →∞ 9 x − 4 x →∞  + + 3 x 2 3 x 2 ( )    3x − 2 

  x 3 − x 2 ⋅ (3 x − 2)   − 2x 3 + 2x 2  x3 x2      = = lim  − = lim   = xlim x → ∞ (3 x − 2 ) ⋅ (3 x + 2 ) x → ∞ (3 x − 2 ) ⋅ (3 x + 2 )  → ∞ (3 x − 2 ) ⋅ (3 x + 2 )  3 x 2 +       3 2 2x − 2x 2 + 3 −2+ 3 2 3 − 2x + 2x ∞ x = lim x = − 2 + 0 = − 2 = −∞ = lim =   = lim x 2 2 x →∞ x x → ∞ → ∞ 9 4 0−0 0 9x 4 9x − 4 ∞ − 3 − 3 3 x x x x x2 3 3 1+ 2 + 2 2 x x = lim x = 1+ 0 = 1 = 1 x →∞ x 2 2 1+ 0 1 + 1+ x x x

(e) lim

x2 + 3  ∞  =   = lim x+2  ∞  x →∞

(f) lim

t2 3 3 x → −∞ + 2 1+ 2 2 2 2 x +3 t +3 1+ 0 1 t t t = t = − x = lim = lim = lim = = = −1 t →∞ − t + 2 t →∞ − t t →∞ 2 2 − 1+ 0 − 1 x+2 + − 1+ t → +∞ t t t

x →∞

x → −∞


83

x 1 1 1 1 ∞ x (g) lim =   = lim = lim = = = x →∞ x →∞ 1 1+ 1+ 0 1+ 1 2 x + x 2 + 1  ∞  x →∞ x x2 1 1 1 + + + + x2 x x2 x2 x

(h)

−t x → −∞ −t t = t = − x = lim lim = lim = 2 2 x → −∞ t →∞ t →∞ − t + t +1 x + x + 1 t → +∞ −t t2 1 + 2 + 2 t t t −1 −1 −1 −1 = lim = = = = −∞ t →∞ − 1+ 1+ 0 − 1+ 1 0 1 − 1+ 1+ 2 t x

Primjer 2. Izračunajte :

3x + 6 x → −2 x 3 + 8

(a) lim

x3 − 8 x →2 x 2 − 4 x + 4

(b) lim

2− x−3 x →7 x 2 − 49

(c) lim

x2 − x − 2 x → −1 x3 + 1

(d) lim

(e) lim

x →1 3

x −1 x −1

R. (a)

3 ⋅ (x + 2) 3 ⋅ (x + 2 ) 3 3x + 6  0  =   = lim 3 = lim == lim 2 = 3 3 2 x → −2 x + 8 x → −2 (x + 2 ) ⋅ x − 2 x + 4 x → −2 x − 2 x + 4  0  x → −2 x + 2 3 3 1 = = = 4 + 4 + 4 12 4 lim

(

)

84


(

)

(x − 2) ⋅ x 2 + 2x + 4 = lim x 2 + 2x + 4 x3 − 8 x 3 − 23 0 = = lim = lim   2 x →2 x 2 − 4 x + 4 x →2 x →2 x−2 (x − 2)2  0  x →2 (x − 2)

(b) lim

x 2 + 2x + 4 12 = = x →2 −0 x−2 2−0−2 x 2 + 2x + 4 12 = = lim x →2+0 x−2 2+0−2 lim

⇒

12 = −∞ −0 12 = +∞ +0

(c)

lim x →7

2− x −3 0 2− x−3 2− x−3 2+ x−3 =   = lim 2 = lim 2 ⋅ = 2 2 x 7 x 7 → → x − 49 x −7 x − 72 2 + x − 3 0

= lim

22 −

(

x −3

)

2

= lim

4−x+3

= x−3 −1 7−x −1 1 = lim = lim = =− x →7 x →7 (x − 7) ⋅ (x + 7) ⋅ 2 + x − 3 (x + 7) ⋅ 2 + x − 3 14 ⋅ (2 + 2) 56 x →7

(x − 7) ⋅ (x + 7) ⋅ (2 +

x−3

(

)

x →7

(x − 7 ) ⋅ (x + 7) ⋅ (2 +

)

(

)

)

(x + 1) ⋅ (x − 2) = lim x − 2 = − 1 − 2 = −1 x2 − x − 2  0  =   = lim 3 2 2 x → −1 x +1  0  x →−1 (x + 1) ⋅ x − x + 1 x →−1 x − x + 1 1 + 1 + 1

(d) lim

(

)

(e)

x = t6

lim 3 x →1

(

)

(t − 1) ⋅ t 2 + t + 1 = x −1  0  t6 −1 t3 −1 =   = x → 1 = lim = lim 2 = lim t →1 3 6 x −1  0  t − 1 t →1 t − 1 t →1 (t − 1) ⋅ (t + 1) t →1

t 2 + t + 1 1+ 1+ 1 3 = = t →1 t +1 1+ 1 2

= lim


sin 4 x x →0 x

(a) lim

x sin  3 (b) lim x →0 x sin  5

tgx x →0 x

(c) lim


(d) lim x →0

(e) lim x →0

85

1 − cos x x2 sin 3 x x+2 − 2

R.

sin 4 x  0  sin 4 x =   = lim ⋅ 4 = 1⋅ 4 = 4 x →0 x  0  4 x →0 4 x

(a) lim

x sin  3 (b) lim x →0 x sin  5

(c) lim x →0

x x sin  sin   3  ⋅ x lim  3  ⋅ lim x x →0 3 x x 3 x →0 x 3 x ⋅5 5 3 = lim 3 = = lim 3 = lim = x →0 x →0 x x →0 3 ⋅ x 3 x x sin  sin  5  5  ⋅ x lim  5  ⋅ lim x x →0 5 x 5 x →0 x 5 5 5

tgx  0  1 sin x sin x 1 1 =   = lim ⋅ = lim ⋅ lim = 1⋅ = 1 x → 0 x → 0 x → 0 x x cos x x cos x 1 0

(d)

1 − cos x  0  1 − cos x 1 + cos x 1 − cos 2 x lim lim = = ⋅ = =   2 x →0 1 + cos x x →0 x 2 ⋅ (1 + cos x ) x2  0  x →0 x

lim

2

sin 2 x sin 2 x 1 1  sin x  lim = = ⋅ lim = lim  ⋅ lim 2 x →0 x 2 ⋅ (1 + cos x ) x →0 x → 0 x → 0 x → 0 1 + cos x 1 + cos x x  x  1 1 = 1⋅ = 1+ 1 2 = lim

(e)

lim x →0

sin 3 x x+2 + 2 0 ⋅ = =   = lim x + 2 − 2  0  x →0 x + 2 − 2 x + 2 + 2 sin 3 x

(

)

(

)

sin 3 x ⋅ x + 2 + 2 sin 3 x ⋅ x + 2 + 2 = lim = x → 0 (x + 2) − 2 x sin 3 x sin 3 x = lim ⋅ 3 ⋅ x + 2 + 2 = lim ⋅ lim 3 ⋅ x + 2 + 2 = 1⋅ 3 ⋅ 2 2 = 6 2 x →0 3 x →0 3x 3 x x →0 = lim x →0

(

)

(

)

86



 5 (a) lim 1 −  x →∞  x

x

 x 2 + 1  (b) lim  2 x →∞ x − 1  

x2

(c) lim x 1 + sin x x →0

R. (a)

5 x lim( −5 ) 5 1 1 x→∞ − ⋅( −5 )   t →0 t t t = lim(1 + t ) = lim(1 + t ) = lim(1 + t )  = e −5 = t → 0 t → 0 t → 0 t→0   5 x=− t t=−

x

( )

 5 lim 1 −  = 1∞ x →∞  x

(b)

 x + 1  lim  2 x →∞ x − 1   2

x2

( )

= 1∞

x2 = t t t t 2    t + 1  t −1 2  = x → ∞ = lim +  =  = lim  = lim1 + t →∞ t − 1   t → ∞  t − 1 t − 1 t →∞  t − 1 t→∞

t − 1 = 2z 2 z +1 t→∞ 2    = lim 1 + = = lim 1 +  z →∞ z →∞ z→∞  2z  

1  z

2 z +1

t = 2z + 1  = lim 1 + z →∞ 

1  z

2z

 ⋅ lim 1 + z →∞ 

1    =  lim 1 + z   z→∞

1  z

z

 = lim 1 + z →∞ 

1  z

2z

 ⋅ 1 + 

1 1   = z  

2

 2 2  ⋅1 = e ⋅1 = e 

(c)

( ) = lim(1 + sin x ) ∞

lim x 1 + sin x = 1 x →0

x →0

sin x    lim  x 

1    x →0 = lim (1 + sin x ) sin x  sin x →0  

1 x

1 x→0   = lim (1 + sin x ) sin x  = x →0 sin x → 0 sin  x →0 

= e1 = e

sin x x

=


87

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Izračunajte : (1) lim

x →1

x −1 x + 2x − 3 2

8x 3 − 1 (2) lim 1 6x 2 − 5x + 1 x→ 2

(3) lim

x 2 − 3x + 2 x3 − 8

(4) lim

x3 + 8 x2 + x − 2

x →2

x → −2

2. Izračunajte : (1) lim

x →∞

( 4x

2

+ x − 2x

)

(2) lim ( x + x 2 − x ) x →∞

(

)

(3) lim x − x 2 − x + 1 x →∞

(4) lim

x →∞

(x

2

− 2x − 1 − x 2 − 7 x + 3

3. Izračunajte :

3   1 −  3  1− x 1− x 

(1) lim  x →1

1   6 −  2 3+x 9−x

(2) lim  x → −3


x→4

(2) lim

x →1

1 + 2x − 3 x −2 x− 2−x 4x − 3 − 1

)

88



x →1

(2) lim

x →1

(3) lim

x →1

x −1

4

x + 15 − 2

3 − 3 x + 26 2x − 2 1− 3 x 4

x −1


1 − 1 + x ⋅ sin x x2

(2) lim

1 − sin x − 1 + sin x x

x →0

x →0

(3) lim x →0

sin 2x x + 16 − 4

1 − cos 2x x →0 x ⋅ sin x

(4) lim

tgx x → π sin 2 x

(5) lim

(6) lim

x + sin x 2x + sin x

(7) lim

sin( x + 1) 1+ x 3

x →∞

x → −1

7. Izračunajte : x

 x + 3 2 (1) lim   x →∞  x 

 2x + 3  (2) lim   x →∞ 2x + 2  

x +1

 x + 2 (3) lim   x →∞  x +1

x +1

Zbirka zadataka iz Matematike 1 (4) lim(1 + tgx )

ctgx

x →0

R. 1.

1 4 (2) 6 1 (3) 12 (4) − 4 (1)

2.

1 4 1 (2) 2 1 (3) 2 5 (4) 2

(1)

3. (1) − 1 (2)

1 6

4.

4 3 3 (2) 4 (1)

5. (1) 32

1 54 4 (3) − 3

(2) −

6. (1) −

1 2

89

90

(2) − 1 (3) 16 (4) 2

1 2 1 (6) 2 1 (7) 3

(5)

7. (1) e e (2) e (3) e (4) e



91

5. DIFERENCIJALNI RAČUN 5.1. Derivacije nekih osnovnih funkcija Primjer 1. Po definiciji derivacije dokažite : (1) f ( x ) = C ⇒ f ′(x ) = 0 (2) f ( x ) = x 2 ⇒ f ′(x ) = 2 x (3) f ( x ) = x 3 ⇒ f ′(x ) = 3 x 2 (4) f ( x ) = x n ⇒ f ′(x ) = n ⋅ x n−1 (5) f ( x ) =

1 1 ⇒ f ′(x ) = − 2 x x

x ⇒ f ′(x ) =

(6) f ( x ) =

1 2 x

(7) f ( x ) = sin x ⇒ f ′(x ) = cos x (8) f ( x ) = cos x ⇒ f ′(x ) = − sin x (9) f ( x ) = a x ⇒ f ′(x ) = a x ⋅ ln a R. (1) f ( x ) = C ⇒ f ′(x ) = 0

f ′( x ) = lim

∆x → 0

f ( x + ∆x ) − f ( x ) C−C = lim =0 ∆ x → 0 ∆x ∆x

(2) f ( x ) = x 2 ⇒ f ′(x ) = 2 x

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ( x + ∆x ) 2 − x 2 x 2 + 2 ⋅ x ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 − x 2 = lim = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x ⋅ (2x + ∆x ) = lim = lim (2x + ∆x ) = 2x ∆x → 0 ∆x →0 ∆x

f ′( x ) = lim

(3) f ( x ) = x 3 ⇒ f ′(x ) = 3 x 2

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ( x + ∆x ) 3 − x 3 x 3 + 3 x 2 ⋅ ∆x + 3 x ⋅ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 − x 3 = lim = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x ∆x ∆x ⋅ 3 x 2 + 3 x ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 = lim = lim 3 x 2 + 3 x ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 = 3 x 2 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x

f ′( x ) = lim

(

)

(

)

92


(4) f ( x ) = x n ⇒ f ′(x ) = n ⋅ x n−1 koristeći binomnu formulu dobivamo :

f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) n − x n = = x n + n ⋅ x n −1 ⋅ ∆x + ⇒

n ⋅ (n − 1) n− 2 2 n −1 n ⋅ x ⋅ (∆x ) + ... + n ⋅ x ⋅ (∆x ) + (∆x ) − x n 1⋅ 2

n ⋅ (n − 1) n− 2 f ( x + ∆x ) − f ( x ) n−2 n −1 ⋅ x ⋅ (∆x ) + ... + n ⋅ x ⋅ (∆x ) + (∆x ) = n ⋅ x n −1 + 1⋅ 2 ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = n ⋅ x n −1 ∆x → 0 ∆x

⇒ f ′( x ) = lim

(5) f ( x ) =

1 1 ⇒ f ′(x ) = − 2 x x

1 1 − f ( x + ∆x ) − f ( x ) x − (x + ∆x ) − ∆x = lim x + ∆x x = lim f ′( x ) = lim = lim = x 0 x 0 x 0 ∆x → 0 ∆ → ∆ → ∆ → ∆x ∆x ∆x ⋅ (x + ∆x ) ⋅ x ∆x ⋅ (x + ∆x ) ⋅ x −1 1 = lim =− 2 ∆x → 0 x ⋅ (x + ∆x ) x x ⇒ f ′(x ) =

(6) f ( x ) =

1 2 x

f ( x + ∆x ) − f ( x ) x + ∆x − x x + ∆x − x x + ∆x + x = lim = lim ⋅ = ∆ x → 0 ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆x x + ∆x + x (x + ∆x ) − x = lim ∆x 1 = lim = ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ⋅ x + ∆x + x ∆x ⋅ x + ∆x + x 2 x

f ′( x ) = lim

∆x → 0

(

)

(

)

(7) f ( x ) = sin x ⇒ f ′(x ) = cos x

f ( x + ∆x ) − f ( x ) sin( x + ∆x ) − sin x = lim = ∆ → x 0 ∆x ∆x ∆x   ∆x    (x + ∆x ) − x   (x + ∆x ) + x  2 ⋅ cos 2 ⋅ cos x +   ⋅ sin   ⋅ sin 2 2 2  2        = = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x   ∆x     ∆x    sin   sin   ∆x   ∆x  2  2        = lim ⋅ cos x + ⋅ lim cos x +   = ∆lim  = 1⋅ cos x = cos x   x ∆x → 0  ∆ x → 0 ∆x ∆ x 2  2  →0     2   2 2    

f ′( x ) = lim

∆x → 0


93

(8) f ( x ) = cos x ⇒ f ′(x ) = − sin x

f ( x + ∆x ) − f ( x ) cos( x + ∆x ) − cos x = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x   ∆x    (x + ∆x ) − x   (x + ∆x ) + x  − 2 ⋅ sin x + − 2 ⋅ sin   ⋅ sin   ⋅ sin 2 2 2  2        = = lim = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x     ∆x    ∆x   sin   sin   ∆x   ∆x  2  2        = lim − ⋅ sin x + ⋅ lim sin x +   = − ∆lim  = −1⋅ sin x = − sin x    x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2  2  →0   2     2 2    

f ′( x ) = lim

(9) f ( x ) = a x ⇒ f ′(x ) = a x ⋅ ln a

(

)

a x ⋅ a ∆x − 1 a ∆x − 1 f ( x + ∆x ) − f ( x ) a x + ∆x − a x = lim = a x ⋅ lim = = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ∆x   a ∆x − 1 = t ⇒ a ∆x = t + 1 / ln    t t x   = a x ⋅ ln a ⋅ lim = = ∆x ⋅ ln a = ln( t + 1) = a ⋅ lim t → 0  ln( t + 1)  t → 0  ln( t + 1)      ∆x → 0 ⇒ t → 0  ln a  f ′( x ) = lim

        1 1 1 x x   = a ⋅ ln a ⋅ lim = a ⋅ ln a ⋅ lim = a x ⋅ ln a ⋅ = 1  1 → t →0  1 t 0      t t  ⋅ ln( t + 1)  lim ln( t + 1)   ln( t + 1)  t  t →0   1 1 = a x ⋅ ln a ⋅ = a x ⋅ ln a ⋅ = a x ⋅ ln a 1 ln e    ln lim ( t + 1) t    t →0     Specijalno, f ( x ) = e x ⇒ f ′(x ) = e x ⋅ ln e = e x

Primjer 2. Po definiciji derivacije funkcije nađite derivacije slijedecih funkcija : (1) f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 (2) f ( x ) =

5 − 3x

(3) f ( x ) = 1 − x 2 (4) f ( x ) = cos 5 x

94


R. (1) f ( x ) = x 2 − 4 x + 6

(

) (

)

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ( x + ∆x ) 2 − 4 ⋅ ( x + ∆x ) + 6 − x 2 − 4 x + 6 = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ⋅ (2x + ∆x − 4 ) x 2 + 2 ⋅ x ⋅ ∆x + ( ∆x ) 2 − 4 x − 4 ⋅ ∆x + 6 − x 2 + 4 x − 6 = lim = lim = ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x = lim (2 x + ∆x − 4 ) = 2 x − 4 f ′( x ) = lim

∆x → 0

(2) f ( x ) =

5 − 3x

5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) − 5 − 3 x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) − 5 − 3 x 5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) + 5 − 3 x = lim ⋅ = ∆x → 0 ∆x 5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) + 5 − 3 x f ′( x ) = lim

= lim

∆x → 0

= lim

∆x → 0

(5 − 3 ⋅ (x + ∆x )) − (5 − 3 x ) = lim ∆x ⋅ ( 5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) + 5 − 3 x ) ∆x →0 ∆x ⋅ ( −3

5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) + 5 − 3 x

=

− 3 ⋅ ∆x

5 − 3 ⋅ (x + ∆x ) + 5 − 3 x

)=

−3 2 ⋅ 5 − 3x

(3) f ( x ) = 1 − x 2

1 − (x + ∆x ) − 1 − x 2 f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2

f ′( x ) = lim

1 − (x + ∆x ) − 1 − x 2 1 − (x + ∆x ) + 1 − x 2 ⋅ = 2 ∆x 1 − (x + ∆x ) + 1 − x 2 2

= lim

∆x → 0

2

(1 − (x + ∆x ) ) − (1 − x ) 2

= lim

2

2 ∆x ⋅  1 − (x + ∆x ) + 1 − x 2    ∆x ⋅ (− 2 x − ∆x ) = lim ∆x → 0 2 ∆x ⋅  1 − (x + ∆x ) + 1 − x 2    ∆x → 0

1 − x 2 − 2x ⋅ ∆x − (∆x ) − 1 + x 2 = ∆x → 0 2 2   ∆x ⋅  1 − (x + ∆x ) + 1 − x    − 2 x − ∆x − 2x −x = lim = = 2 2 ∆x → 0 1− x 2 1 − (x + ∆x ) + 1 − x 2 2 1 − x 2

= lim

(4) f ( x ) = cos 5 x

f ( x + ∆x ) − f ( x ) cos(5 ⋅ ( x + ∆x )) − cos 5 x = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 5  5 ⋅ (x + ∆x ) − 5 x   5 ⋅ (x + ∆x ) + 5 x    5  − 2 ⋅ sin − 2 ⋅ sin 5 x + ⋅ ∆x  ⋅ sin ⋅ ∆x   ⋅ sin  2 2 2     = lim   2 = = lim ∆x → 0 ∆ x → 0 ∆x ∆x f ′( x ) = lim


95

 5   5    sin ⋅ ∆x    sin ⋅ ∆x   5    = 2  ⋅ 5  = −5 lim sin 5 x + 5 ⋅ ∆x  ⋅ lim   2 = lim  − 2 ⋅ sin 5 x + ⋅ ∆x  ⋅   5    ∆x → 0 ∆x → 0 5 5 2 2 2   2 ⋅ ∆x → 0   ⋅ ∆x  ⋅ ∆x    2  2    = −5 ⋅ (sin 5 x ) ⋅ 1 = −5 ⋅ sin 5 x

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Po definiciji derivacije nađite derivaciju funkcije : (1) f ( x ) =

2 2x

(2) f ( x ) = 1 − 2x 3 (3) f ( x ) = 3 x 3 − 2 (4) f ( x ) =

2 1 − 4x

(5) f ( x ) = −4 x 2 − 3 x + 2 (6) f ( x ) = (2x − 3 )

2

R. (1) f ′( x ) = (2) f ′( x ) = (3) f ′( x ) = (4) f ′( x ) = (5) (6)

−1 x 2x − 3x 2 1 − 2x 3 9x 2 2 3x 3 − 2 4

(1 − 4x )3

f ′( x ) = −8 x − 3 f ′( x ) = 8 x − 12

96


5.2. Osnovna pravila deriviranja Primjer 1. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite :

1 cos 2 x 1 (2) f ( x ) = ctgx ⇒ f ′(x ) = − sin 2 x (1) f ( x ) = tgx ⇒ f ′(x ) =

R.

1 cos 2 x (sin x )′ ⋅ cos x − sin x ⋅ (cos x )′

(1) f ( x ) = tgx ⇒ f ′(x ) =

′  sin x  f ′( x ) =   =  cos x  =

(cos x )

2

=

cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ (− sin x ) = cos 2 x

cos x + sin x 1 = 2 cos x cos 2 x 2

2

(2) f ( x ) = ctgx ⇒ f ′(x ) = −

1 sin 2 x

′ ′ ′ ( (− sin x ) ⋅ sin x − cos x ⋅ cos x = cos x ) ⋅ sin x − cos x ⋅ (sin x )  cos x  = f ′( x ) =   = 2 sin 2 x (sin x )  sin x  =

(

)

− sin 2 x − cos 2 x − sin 2 x + cos 2 x 1 = =− 2 2 sin x sin x sin 2 x

Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, nađite derivacije funkcija : (1) f ( x ) = 5 x 3 + 3 x 2 −

1 x

sin x + cos x sin x − cos x (3) f ( x ) = 3 ⋅ 2 x + (x − 1) ⋅ e x

(2) f ( x ) =

(4) f ( x ) =

x4 ex

R.

′ 2 2 3 −1 2 1 1  3 3 2 1 3 −1 (1) f ′( x ) =  5 x + x −  = 5 ⋅ 3 ⋅ x + ⋅ x − (− 1) ⋅ x −1−1 = 15 x 2 + ⋅ 3 + 2 x 3 3 x x 


97

(2)

′ (sin x + cos x )′ ⋅ (sin x − cos x ) − (sin x + cos x ) ⋅ (sin x − cos x )′ =  sin x + cos x  = f ′( x ) =   (sin x − cos x )2  sin x − cos x  (cos x − sin x ) ⋅ (sin x − cos x ) − (sin x + cos x ) ⋅ (cos x + sin x ) = = (sin x − cos x )2 − (sin x − cos x ) − (sin x + cos x ) 2

= =

2

(sin x − cos x )

2

− 2 ⋅1

(sin x − cos x )

2

=

(sin x − cos x )

2

=

(

− 2 ⋅ sin 2 x + cos 2 x

(sin x − cos x )

2

(sin x − cos x )2

(

)′ = 3 ⋅ (2

x

)

⋅ ln 2 + 1⋅ e x + (x − 1) ⋅ e x = 3 ⋅ 2 x ⋅ ln 2 + x ⋅ e x

′ ′ ′  x4 ⋅ ex − x4 ⋅ ex 4 x 3 ⋅ e x − x 4 ⋅ e x x 3 ⋅ e x ⋅ (4 − x ) x 3 ⋅ (4 − x )  = = = = 2 e 2x e 2x ex ex 

( )

( )

( )

5.3. Derivacija složene i inverzne funkcije Primjer 1. Po definiciji derivacije dokažite : f ( x ) = ln x ⇒ f ′(x ) =

1 x

R.

 x + ∆x  ln  f ( x + ∆x ) − f ( x ) ln( x + ∆x ) − ln( x ) x   ′ f ( x ) = lim = lim = lim = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x 1 1 1 x ∆x  ∆x   x + ∆x    ⋅ ln1 + = lim ⋅ ln ⋅ ln 1 +  = lim ⋅ =  = lim ∆x → 0 ∆ x ∆ → ∆ → x 0 x 0 x  x ∆x  x  ∆x   x  x ∆x 1 1 1 1 1  ∆ x  ∆x u =   = ⋅ lim ln1 + = ⋅ lim ln(1 + u )u = ⋅ ln lim(1 + u)u  =  = x ∆ → → → u 0 x 0 u 0 x x  x x    ∆x → 0 ⇒ u → 0 =

)=

−2

(3) f ′( x ) = 3 ⋅ 2 x + (x − 1) ⋅ e x

 x4 (4) f ′( x ) =  x e

=

− 2 ⋅ sin 2 x − 2 ⋅ cos 2 x

1 1 1 ⋅ ln e = ⋅ 1 = x x x

Primjer 2. Koristeći osnovna pravila deriviranja, dokažite : (1) f ( x ) = log a x ⇒ f ′(x ) =

1 ln a ⋅ x

98


(2) f ( x ) = e x ⇒ f ′(x ) = e x

(3) f ( x ) = a x ⇒ f ′(x ) = a x ⋅ ln a

1

(4) f ( x ) = arcsin x ⇒ f ′(x ) =

1− x 2 1 (5) f ( x ) = arccos x ⇒ f ′(x ) = − 1− x 2 1 (6) f ( x ) = arctgx ⇒ f ′(x ) = 1+ x 2 1 (7) f ( x ) = arcctgx ⇒ f ′(x ) = − 1+ x 2

R. (1) f ( x ) = log a x ⇒ f ′(x ) = Iz log a x =

ln x ln a

1 ln a ⋅ x

slijedi :

′  ln x  (loga x ) =   = 1 ⋅ (ln x )′ = 1 ⋅ 1 = 1 ln a x ln a ⋅ x  ln a  ln a ′

(2) f ( x ) = e x ⇒ f ′(x ) = e x

( )′ =

⇒ ex

y = e x ⇔ x = ln y

1

(ln y )′

=

1 = y = ex 1 y

(3) f ( x ) = a x ⇒ f ′(x ) = a x ⋅ ln a

( )′ = (e )′ = e

y = a x = e x⋅ln a

x⋅ln a

⇒ ax

(4) f ( x ) = arcsin x ⇒ f ′(x ) =

x⋅ln a

′ ⋅ (x ⋅ ln a ) = e x⋅ln a ⋅ ln a = a x ⋅ ln a

1 1− x 2

y = arcsin x ⇔ x = sin y

(arcsin x )′ =

1

′

(sin y )

=

1 1 1 = = 2 cos y 1 − sin y 1− x 2

(5) f ( x ) = arccos x ⇒ f ′(x ) = −

π π  −1≤ x ≤ 1 , − ≤ y ≤  2 2 

1 1− x 2

y = arccos x ⇔ x = cos y 1 1 (arccos x )′ = 1 ′ = 1 = − =− 1 − cos 2 y 1− x 2 (cos y ) − sin y

(− 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ π)


(6) f ( x ) = arctgx ⇒ f ′(x ) =

99

1 1+ x 2

y = arctgx ⇔ x = tgy (arctgx )′ = 1 ′ = 1 = cos 2 y = 1 2 = 1 2 1 1 + tg y 1 + x (tgy ) 2 cos y

(7) f ( x ) = arcctgx ⇒ f ′(x ) = −

1 1+ x 2

y = arcctgx ⇔ x = ctgy (arcctgx )′ = 1 ′ = 1 = − sin 2 y = − 1 2 = − 1 2 1 + ctg y 1+ x (ctgy ) − 12 sin y

Primjer 3. Nađite derivacije složenih funkcija : (1)

f ( x ) = sin 3 (2 x )

(2)

f ( x ) = sin 3 x 4 + 2 x

(3)

f ( x ) = ln sin 3 x 4 + 2 x

(4)

f (x) =

(5)

f ( x ) = ln sin x

(6)

f (x) = e −x

(7)

f ( x ) = arctg(2 x )

(8)

f ( x ) = 4 cos x

(9)

f ( x ) = tgx − tgα

(10)

f ( x ) = arctg(ln x ) + ln(arctgx )

(

( ( ln(sin(3 x

(

4

)

))

+ 2x

)

))

R. (1)

′ f ′( x ) = sin 3 (2x ) = 3 ⋅ sin 2 (2 x ) ⋅ cos(2 x ) ⋅ 2 = 6 ⋅ sin 2 (2 x ) ⋅ cos(2 x )

(2)

(

( (

)

f ′( x ) = sin 3 x 4 + 2 x

))′ = cos(3x

4

)(

) (

)

(

+ 2 x ⋅ 12 x 3 + 2 = 12 x 3 + 2 ⋅ cos 3 x 4 + 2 x

)

100


(3)

( ( ( )))′ = ( 1 ) ⋅ cos(3 x sin 3 x + 2 x = (12 x + 2 )⋅ ctg(3 x + 2 x )

f ′( x ) = ln sin 3 x 4 + 2 x 3

(4)

f ′( x ) =

4

4

)(

)

+ 2 x ⋅ 12 x 3 + 2 =

4

( ln(sin(3x

4

+ 2x

))) = ′

(

)(

) (

)

(

1 1 1 6 x 3 + 1 ⋅ ctg 3 x 4 + 2x 4 3 = ⋅ ⋅ ⋅ cos 3 x + 2 x ⋅ 12 x + 2 = 2 ln sin 3 x 4 + 2x sin 3 x 4 + 2 x ln sin 3 x 4 + 2 x

( (

(5)

((

f ′( x ) = ln sin x

(6)

(

))

))′ =

1

1 1 1 cos x 1 ⋅ ⋅ cos x = ⋅ = ⋅ ctgx 2 sin x 2 sin x 2 sin x ⋅

( )′ = (e )⋅ ( −1) = −e

f ′( x ) = e − x

)

−x

−x

(7)

′ f ′( x ) = (arctg(2 x )) =

(8)

(

f ′( x ) = 4 cos x (9)

f ′( x ) =

(

)′ = 4

1

1 + (2 x )

2

cos x

⋅2 =

2 1 + 4x 2

⋅ ln 4 ⋅ (− sin x ) = − ln 4 ⋅ 4 cos x ⋅ sin x

)

′ 1 1 1 tgx − tgα = ⋅ ⋅ 2 tgx cos 2 x

(10)

′ f ′( x ) = (arctg(ln x ) + ln(arctgx )) =

1 1 1 1 ⋅ + ⋅ 2 1 + ln x x arctgx 1 + x 2

( (

))

)


101

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Nađite derivacije funkcija : (1) f ( x ) =

a 3

−

x2

b x⋅3 x

(2) f ( x ) = x 2 ⋅ cos x (3) f ( x ) =

(1 + x )⋅ arctgx − x 2

2

(4) f ( x ) = ln a ⋅ log a x − ln x ⋅ log x (5) f ( x ) = ln(ctgx )

(

(6) f ( x ) = ln sin x

(

(7) f ( x ) = ln x +

 

(8) f ( x ) =  x −

)

)

x2 + 1

( )

1 1 2  ⋅ arcsin x + ⋅ x − x 2 2

x −1

2. Zadana je funkcija f ( x ) =

x −1

3. Zadana je funkcija f ( x ) = ln

4. Ako je

f ( x ) = log e2

5. Ako je F( x ) =

. Dokažite da je njena derivacija

x + x2 + 1 x2 + 1 − x

1− x 2 1+ x 2

f ′(x) =

1

4 x⋅

(

. Dokažite da je njena derivacija f ′( x ) =

dokažite da je

f ′( x ) =

)

x +1

.

2 x2 +1

.

x . x −1 4

1 3 π tg x − tgx + x , f ( x ) = sin(ln x ) , pokažite da je F′( ) = f ′(1) . 3 4

6. Zadana je funkcija f ( x ) =

tgx − ctgx . Dokažite da je njena 1. derivacija f ′( x ) = 2 ⋅ sin 2x . tgx + ctgx

7.

f (x) =

Zadana

f ′(x) =

je

- 2sinx

(1 - cosx)2

funkcija

2 sin x + sin 2x . 2 sin x − sin 2x

Dokažite

da

je

njena

derivacija

.

8. Dokažite da je derivacija funkcije 9. Zadana je funkcija f(x) =

f (x) =

1 + cos 2x 1 − cos 2x

jednaka f ′( x ) =

− 2 ⋅ cos x sin 3 x

.

2 ⋅ ctgx sin 4 x − cos 4 x . Dokažite da je njena derivacija f ′(x) = . 2 sin x sin2 x

102


R. 1.

− 2a

(1) f ′( x ) = (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

4b

+

3 ⋅ x2 ⋅ 3 x 3⋅x⋅ x f ′( x ) = 2 x ⋅ cos x − x 2 ⋅ sin x f ′( x ) = x ⋅ arctgx 1 f ′( x ) = ⋅ (1 − 2 log x ) x 1 f ′( x ) = − sin x ⋅ cos x 1 f ′( x ) = ⋅ ctgx 2 1 f ′( x ) = 2 x +1 f ′( x ) = arcsin x 3

2

( )

5.4. Logaritamsko deriviranje Primjer 1. Nađite derivacije funkcija : (1) f ( x ) = x x

(2) f ( x ) = (ln x ) (3) f ( x ) = x (4) f ( x ) =

x

x

+ (cos x )

sin x

x+3

(x + 2)3 ⋅ 3 (x + 1)2

R. (1) f ( x ) = x x

y = xx Funkciju prvo logaritmiramo :

ln y = x ⋅ ln x Deriviranjem jednadžbe po x, smatrajući da je y funkcija od x, dobivamo :

1 1 / ⋅y ⋅ y ′ = 1⋅ ln x + x ⋅ y x y ′ = y ⋅ (ln x + 1) y ′ = x x ⋅ (ln x + 1) ⇒ f ′( x ) = x x ⋅ (ln x + 1)


(2) f ( x ) = (ln x )

103

x

y = (ln x )

x

ln y = x ⋅ ln(ln x ) 1 1 1 ⋅ y ′ = 1⋅ ln(ln x ) + x ⋅ ⋅ / ⋅y y ln x x 1   y ′ = y ⋅  ln(ln x ) +  ln x   1  1  x  x  y ′ = (ln x ) ⋅  ln(ln x ) +  ⇒ f ′( x ) = (ln x ) ⋅  ln(ln x ) +  ln x  ln x    (3) f ( x ) = x

x

+ (cos x )

sin x

f ( x ) = u( x ) + v( x ) ⇒ f ′( x ) = u′( x ) + v ′( x )

u=x

x

ln u = x ⋅ ln x 1 1 1 1 ⋅ u′ = ⋅ ⋅ ln x + x ⋅ / ⋅u u 2 x x 1 x x  u′ = u ⋅  ⋅ ⋅ ln x + x  2 x u′ = x

x

1 x x  ⋅  ⋅ ⋅ ln x + =x x  2 x

x

⋅

x 1  ⋅  ⋅ ln x + 1 x 2 

v = (cos x )

sin x

ln v = sin x ⋅ ln(cos x ) 1 1 ⋅ v ′ = cos x ⋅ ln(cos x ) + sin x ⋅ ⋅ (− sin x ) / ⋅ v v cos x  sin 2 x   v ′ = v ⋅  cos x ⋅ ln(cos x ) − cos x   v ′ = (cos x )

sin x

 sin 2 x   ⋅  cos x ⋅ ln(cos x ) − cos x  

⇒ f ′( x ) = u′( x ) + v ′( x ) = x

x

x 1  sin x ⋅ ⋅  ⋅ ln x + 1 + (cos x ) x 2 

 sin 2 x    ⋅  cos x ⋅ ln(cos x ) − cos x  

104


x+3

(4) f ( x ) =

(x + 2)3 ⋅ 3 (x + 1)2 x+3

y=

(x + 2)

3

ln y =

⋅ 3 (x + 1)

2

1 3 2 ⋅ ln(x + 3 ) − ⋅ ln(x + 2 ) − ⋅ ln(x + 1) 2 2 3

1 1 1 3 1 2 1 ⋅ y′ = ⋅ − ⋅ − ⋅ / ⋅y y 2 x + 3 2 x + 2 3 x +1 3 1 2 1  1 1 y′ = y ⋅  ⋅ − ⋅ − ⋅   2 x + 3 2 x + 2 3 x + 1

⇒ f ′( x ) =

x+3

(x + 2)3 ⋅ 3 (x + 1)2

3 1 2 1  1 1 ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅   2 x + 3 2 x + 2 3 x + 1

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) f ( x ) = x 2 x +1 + x sin x + 3 tgx (2) f ( x ) =

x

(3) f ( x ) = x

x x2 x

1  (4) f ( x ) =  1 +  x  x (5) f ( x ) = (arctgx ) (6) f ( x ) = x 2 x + x x . R.

 

(1) f ′( x ) = x 2 x +1 ⋅  2 ln x + (2) f ′( x ) = x

1 −2 x

2 x + 1 sin x  ln 3 ⋅ 3 tgx sin x  ⋅  cos x ⋅ ln x + +x + x  x  cos 2 x 

⋅ (1 − ln x )

(3) f ′( x ) = x x ⋅ (x + 2 x ⋅ ln x ) 2

x

1   1 1   (4) f ′( x ) =  1 +  ⋅  ln 1 +  −  x   x  1 + x    x x   (5) f ′( x ) = (arctgx ) ⋅  ln(arctgx ) + 2 1 + x ⋅ arctgx    1 lnx  (6) f′(x) = (2lnx + 2) ⋅ x2x +  2 − 2  ⋅ x x x x 

(

)


5.5. Derivacija implicitno zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije implicitno zadanih funkcija : (1) x 3 + 2 x 2 y + y 2 = 4 x + 3 (2) e y = x + y (3) x x = y y R. (1)

x 3 + 2x 2 y + y 2 = 4 x + 3 3 x 2 + 2 ⋅ 2x ⋅ y + 2x 2 ⋅ y ′ + 2y ⋅ y ′ = 4

(

)

y ′ ⋅ 2 x 2 + 2 y = 4 − 3 x 2 − 4 xy y′ =

4 − 3 x 2 − 4 xy 2x 2 + 2y

(2)

ey = x + y e y ⋅ y′ = 1+ y′

(

)

y′ ⋅ e y − 1 = 1 y′ =

1 1 = e −1 x + y −1 y

(3)

xx = yy x ⋅ ln x = y ⋅ ln y 1 1 1⋅ ln x + x ⋅ = y ′ ⋅ ln y + y ⋅ ⋅ y ′ x y ln x + 1 = y ′ ⋅ (ln y + 1) y′ =

ln x + 1 ln y + 1

Primjer 2. Nađite y ′( x ) u točki T = (0,1) funkcije y ⋅ e y = e x +1 . R.

105

106


y ⋅ e y = e x +1 1⋅ y ′ ⋅ e y + y ⋅ e y ⋅ y ′ = e x +1 y ′ ⋅ e y + y ⋅ e y = e x +1

(

)

y′ =

e x +1 ey + y ⋅ ey

y ′(T ) =

e 0 +1 e 1 = = 1 1 2e 2 e + 1⋅ e

Ako se traži samo vrijednost derivacije u nekoj točki, možemo koordinate točke uvrstiti odmah u nesređeni oblik.

y ⋅ e y = e x +1 1⋅ y ′ ⋅ e y + y ⋅ e y ⋅ y ′ = e x +1 / x = 0 , y = 1 y ′ ⋅ e 1 + 1⋅ e 1 ⋅ y ′ = e 0 +1 y ′ ⋅ (e + e ) = e y′ =

e 1 = 2e 2

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1) x 2 + 2 xy − y 2 = 2 x u točki T=(2,4)

y x 2 x y2 (3) 2 + 2 = 1 a b

(2) arctg  = ln

(4)

3

(x

2

+ y2

)

x 2 + 3 y 2 = 3 a2

(5) x + y + 2 = − xy (6) x ⋅ e y + x 2 ⋅ y = e (7) cos 2y − cos y + x ⋅ sin y = 0 R.

5 1− x − y , y′ T = 2 x−y x+y (2) y ′ = x−y (1) y ′ =

(3) y ′ = −

b2 x ⋅ a2 y


107

 x   y   y + 2 xy

(4) y ′ = − 3 (5) y ′ = −

x + 2 xy

e y + 2xy x ⋅ ey + x2 sin y (7) y ′ = 2 ⋅ sin 2 y − sin y − x ⋅ cos y

(6) y ′ = −

5.6. Derivacija parametarski zadane funkcije Primjer 1. Nađite derivacije parametarski zadanih funkcija : (1)

   t3 y = − 2t  3  x = t2 −1

(2)

x = e − t   y = e 2 t  R. (1)

   t y = − 2t  3  dx = 2t dt dy 3t 2 = − 2 = t2 − 2 dt 3 dy dy dt t 2 − 2 ′ y (x) = = = dx dx 2t dt

x = t2 −1 3

(2)

x = e − t   y = e 2 t 

⇒

x = t2 −1   t2 − 2  y′ =  2t 

108


dx = e − t ⋅ ( −1) dt dy = e 2t ⋅ 2 dt dy dy dt 2e 2 t y ′( x ) = = = = −2 ⋅ e 3 t dx dx − e − t dt

⇒

x = e −t y ′ = −2 ⋅ e 3 t

  

Primjer 2.

x = t ⋅ ln t   Nađite y ′( x = 0) za funkciju : ln t  y=  t  R.

x = 0 ⇒ t ⋅ ln t = 0 ⇒ t ≠ 0, ln t = 0 ⇒ t = 1

dx 1 = 1⋅ ln t + t ⋅ = ln t + 1 dt t 1 ⋅ t − ln t ⋅ 1 dy t 1 − ln t = = 2 dt t t2 dy 1 − ln t 2 dy dt 1 − ln t y ′( x ) = = 2 = = t dx dx ln t + 1 t ⋅ (ln t + 1) dt

(

)

y′ x = 0 , t = 1 =

x = t ⋅ ln t

   1 − ln t y′ = 2 t ⋅ (ln t + 1) 

⇒

1 − ln1 1− 0 = =1 1 ⋅ (ln1 + 1) 1⋅ (0 + 1) 2

Primjer 3. Nađite y ′( x = 0) za funkciju :

x = a ⋅ cos t   y = b ⋅ sin t 

R.

x = 0 ⇒ a ⋅ cos t = 0 ⇒ a ≠ 0, cos t = 0 ⇒ t =

dx = a ⋅ (− sin t ) = −a ⋅ sin t dt dy = b ⋅ cos t dt

π 2


dy dy dt b ⋅ cos t b y ′( x ) = = = = − ⋅ ctgt ⇒ dx dx − a ⋅ sin t a dt b b π   π y ′ x = 0 , t =  = − ⋅ ctg  = − ⋅ 0 = 0 2 a a   2

ZADACI ZA VJEŽBU Nađite derivacije funkcija : (1)

x =t−4   y = 5t − 1  (2)

(

)

  y = t − arctgt  x = ln 1 + t 2

(3)

x = a ⋅ (t − sin t )   y = a ⋅ (1 − cos t ) 

(4)

1 cos t y = tgt

x=

    

R. (1)

x =t−4   y′ = 5  (2)

(

)

x = ln 1 + t 2    t y′ =  2  (3)

x = a ⋅ (t − sin t )    sin t y′ =  1 − cos t 

109

x = a ⋅ cos t b y ′ = − ⋅ ctgt a

   

110


(4)

1   cos t   1  y′ = sin t  x=

5.7. Derivacije višeg reda Primjer 1. Za zadane funkcije odredite drugu derivaciju :

 1+ x    1− x   

(1) f ( x ) = ln

(2) f ( x ) =

cos x − sin x cos x + sin x

(3) f ( x ) =

e 2 x − e −2 x e x + e −x

R.

 1+ x    1− x   

(1) f ( x ) = ln

1 1 1⋅ (1 − x ) − (1 + x ) ⋅ (− 1) 1− x 1 1− x 1− x + 1+ x ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1+ x 2 1+ x 1+ x 2 1+ x (1 − x ) (1 − x )2 1− x 1− x 1 1− x 2 1 1 ⋅ = = = ⋅ 2 (1 + x ) ⋅ (1 − x ) 1 − x 2 2 1 + x (1 − x )

f ′( x ) =

1

f ′′( x ) = −1⋅

(2) f ( x ) =

⋅

1

(1 − x )

2 2

⋅ (− 2 x ) =

cos x − sin x cos x + sin x

2x

(1 − x )

2 2


f ′( x ) = = =

111

(− sin x − cos x ) ⋅ (cos x + sin x ) − (cos x − sin x ) ⋅ (− sin x + cos x ) = (cos x + sin x )2

− sin x ⋅ cos x − sin 2 x − cos 2 x − sin x ⋅ cos x + sin x ⋅ cos x − cos 2 x − sin 2 x + sin x ⋅ cos x − 2 ⋅ sin 2 x − 2 ⋅ cos 2 x

(cos x + sin x )

2

f ′′( x ) = −2 ⋅

(3) f ( x ) =

=

−2

(cos x + sin x )

3

(cos x + sin x )2

(

− 2 ⋅ sin 2 x + cos 2 x

(cos x + sin x )

2

⋅ (− sin x + cos x ) =

)=

−2

(cos x + sin x )2

4 ⋅ (cos x − sin x )

(cos x + sin x )3

e 2 x − e −2 x e x + e −x

( ) ( ) 2

e 2 x − e −2 x e x − e −x = f(x) = x e + e −x e x + e −x

2

=

(e

x

)(

)

+ e −x ⋅ e x − e −x = e x − e −x e x + e −x

f ′( x ) = e x − (− 1) ⋅ e − x = e x + e − x f ′′( x ) = e x − e − x

Primjer 2. Odredite y ′′ u točki A=(0,1) za funkciju x 4 − xy + y 4 = 1 . R.

x 4 − xy + y 4 = 1 / ′ 4x 3 − y − x ⋅ y′ + 4y 3 ⋅ y′ = 0 4 x 3 − y − x ⋅ y ′ + 4 y 3 ⋅ y ′ = 0 / (A = (0,1))

4 ⋅ 0 3 − 1 − 0 ⋅ y ′ + 4 ⋅ 13 ⋅ y ′ = 0 1 ⇒ y′ A = 4 4x 3 − y − x ⋅ y ′ + 4y 3 ⋅ y′ = 0 / ′ 4 ⋅ 3 x 2 − y ′ − 1⋅ y ′ − x ⋅ y ′′ + 4 ⋅ 3 y 2 ⋅ y ′ ⋅ y ′ + 4 y 3 ⋅ y ′′ = 0

(

)

12 x 2 − 2y ′ + 12y 2 ⋅ (y ′) + y ′′ ⋅ − x + 4 y 3 = 0 2

y ′′ =

12x 2 − 2y ′ + 12y 2 ⋅ (y ′) x − 4y 3

2

=

112

Zbirka zadataka iz Matematike 1 2

1  1 1 12 + 12 ⋅ 12 ⋅   − + 4  4  = 2 16 = − 1 3 −4 16 0 − 4 ⋅1

12 ⋅ 0 2 − 2 ⋅ ⇒ y ′′ A =

Primjer 3. Odredite y ′′( x ) za funkciju y = x + arctgy . R.

y = x + arctgy / ′ 1 y′ = 1+ ⋅ y′ 1+ y 2  1   =1 y ′ ⋅ 1 − 2  1 y +   2  1 + y − 1  = 1 y ′ ⋅  2  1+ y 

1+ y 2 y2 1 y′ = 2 + 1 / ′ y y′ =

y ′′ = ( −2)y −3 ⋅ y ′ y ′′ = −

(

2 2 1+ y 2 2 ⋅ 1+ y 2 ′ y ⋅ = − ⋅ = − y3 y3 y2 y5

)

Primjer 4. Nađite y ′′′( x ) za funkciju :

x = e − t   y = t 3 

R.

dy dy dt 3t 2 y ′ = y ′( t ) = = = = −3 t 2 ⋅ e t −t dx dx −e dt dy ′ dy ′ − 3 ⋅ 2t ⋅ e t − 3 t 2 ⋅ e t dt ′ ′ ′ ′ y = y (t) = = = 6t ⋅ e 2t + 3t 2 ⋅ e 2 t = 3t 2 + 6t ⋅ e 2t , = −t dx dx −e dt

(

)


113

dy ′′ (3 ⋅ 2t + 6 ) ⋅ e 2 t + 3t 2 + 6t ⋅ 2 ⋅ e 2t = − 6t 2 + 18 t + 6 ⋅ e 3 t dy ′′ y ′′′ = y ′′′( t ) = = dt = dx dx − e −t dt

(

Primjer 5. Nađite y ′′( x ) u točki t =

)

(

)

x = a ⋅ (t − sin t )  π za funkciju :  2 y = a ⋅ (1 − cos t ) 

R.

dy dy dt a ⋅ sin t sin t y ′ = y ′( t ) = = = = dx dx a ⋅ (1 − cos t ) 1 − cos t dt dy ′ cos t ⋅ (1 − cos t ) − sin t ⋅ sin t dy ′ cos t − cos 2 t + sin 2 t (1 − cos t )2 = = y ′′ = y ′′( t ) = = dt = 3 dx dx a ⋅ (1 − cos t ) a ⋅ (1 − cos t ) dt − (1 − cos t ) −1 cos t − 1 = = = 3 3 2 a ⋅ (1 − cos t ) a ⋅ (1 − cos t ) a ⋅ (1 − cos t )

(

π  ⇒ y ′′ t =  = 2 

−1   π  a ⋅ 1 − cos    2  

2

=

−1

a ⋅ (1 − 0 )

2

=−

)

1 a

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da je druga derivacija funkcije f ( x ) =

x2 −1 2x 2 + x − 3

jednaka

f ′′( x ) =

e −2 x − e 2 x . 2. Nađite treću derivaciju funkcije f ( x ) = x e + e −x 3. Nađite treću derivaciju funkcije

(

 1+ x   . f ( x ) = ln   1− x 

)

4. Zadana je funkcija f ( x ) = ln x + x 2 + 1 .

Nađite njenu 2. derivaciju f ′′(x) .

−4

(2x + 3)3

.

114


5. Nađite drugu derivacija funkcije

f (x) =

cos x + sin x . cos x − sin x  sin 3 x + 1    sin 3 x − 1  .  

6. Nađite drugu derivaciju funkcije f ( x ) = ln

7. Nađite derivaciju

8. Zadana je funkcija

d2 y dx 2

parametarski zadane funkcije

x = e t ⋅ cos t y = e t ⋅ sin t

9. Nađite više derivacije funkcija : (1)

x = a ⋅ (cos t + t ⋅ sin t )   2. derivaciju y = a ⋅ (sin t − t ⋅ cos t ) 

(2)

x = arcsin t   2. derivaciju y = 1 − t 2  (3)

1 cos t y = tgt x=

   3. derivaciju  

(4)

  2. derivaciju y = arcsin t  x = et

(5)

(

)

  2. derivaciju y = t − arctgt 

x = ln 1 + t 2

R. 2. f′′′(x) = −ex − e−x 3. f ′′′(x) = 4. f ′′(x) =

6x 2 + 2

(1 − x )

2 3

-x

(x

2

)

+1

3

.

Izračunajte

d2 y dx 2

x = a ⋅ t2 y = b ⋅ t3 u T(t=0).

.


5. f ′′(x) = 6. f ′′(x) =

7.

4 ⋅ (sinx + cosx)

(cosx - sinx)3

-9 cos 2 (3x )

d2 y 3b = 2 dx 4a 2 t  d2 y   =2 2  dx   t =0

8. 

9. (1)

x = a ⋅ (cos t + t ⋅ sin t )    1 y ′′ =  3 a ⋅ t ⋅ cos t 

(2)

x = arcsin t y ′′ = − 1 − t 2

  

(3)

    4 3 ⋅ cos t  y ′′′ = sin 5 t  x=

1 cos t

(4)

x = et y ′′ =

(5)

(

t2 + t −1

)

e 2t ⋅ 1 − t 2 ⋅ 1 − t 2

(

)

x = ln 1 + t 2   1+ t 2  y ′′ =  4t 

    

115

116


5.8. Jednadžba tangente i normale na krivulju Primjer 1. Nađite jednadžbu tangente i normale u točki s apscisom x = −1 na krivulju

y = −4 x +

1 . x2

R.

x = −1 ⇒ y = −4 x +

y = −4 x +

(

1 1 ⇒ y (− 1) = −4 ⋅ (− 1) + = 4 + 1 = 5 ⇒ T = − 1, 5 2 x (− 1)2

)

1 /′ x2

y ′ = −4 + (− 2) ⋅ x −3 = −4 − y ′ (x = −1) = −4 −

2

(− 1)3

2 x3

= −4 + 2 = − 2

jednadžba tangente :

y − y 0 = f ′(x 0 ) ⋅ (x − x 0 ) y − 5 = −2 ⋅ (x − (− 1)) y − 5 = −2 x − 2

⇒ y = −2 x + 3 jednadžba normale :

1 ⋅ (x − x 0 ) f ′(x 0 ) 1 y−5 = − ⋅ (x − (− 1)) −2 1 1 y −5 = ⋅x + 2 2 1 11 ⇒ y = ⋅x + 2 2 y − y0 = −

Primjer 2. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju

x 2 ⋅ sin y − cos y + cos 2y = 0

 π T = 1,  .  2 R.

x 2 ⋅ sin y − cos y + cos 2y = 0 / ′ 2x ⋅ sin y + x 2 ⋅ cos y ⋅ y ′ − (− sin y ) ⋅ y ′ + (− sin 2y ) ⋅ 2 ⋅ y ′ = 0 y ′ ⋅ x 2 ⋅ cos y + sin y − 2 ⋅ sin 2y = −2x ⋅ sin y / y ′  1, π 

(

)

 2

  π  π  π   π y ′ ⋅ 12 ⋅ cos  + sin  − 2 ⋅ sin 2 ⋅   = −2 ⋅ 1⋅ sin   2  2  2   2 

u točki


(

117

)

y ′ ⋅ 12 ⋅ 0 + 1 − 2 ⋅ 0 = −2 ⋅ 1⋅ 1 y ′ ⋅ 1 = −2 ⇒ y ′  1, π  = −2  2


π = −2 ⋅ (x − 1) 2 π y − = −2 ⋅ x + 2 2 π+4 ⇒ y = −2 ⋅ x + 2 y−

jednadžba normale :

π 1 =− ⋅ (x − 1) 2 −2 π 1 1 y− = ⋅x− 2 2 2 1 π −1 ⇒ y = ⋅x + 2 2 y−

Primjer 3. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju :

t=

π . 2

x = t ⋅ cos t   y = t ⋅ sin t 

R.

π π π  ⋅ cos = ⋅ 0 = 0 x = t ⋅ cos t  π π   2 2 2 ⇒  t=  ⇒ T =  0,  y = t ⋅ sin t  2 π π π π 2  y = ⋅ sin = ⋅ 1 =  2 2 2 2  x=

dx = 1⋅ cos t + t ⋅ (− sin t ) = cos t − t ⋅ sin t dt dy = 1⋅ sin t + t ⋅ cos t = sin t + t ⋅ cos t dt dy dy dt sin t + t ⋅ cos t y ′ = y ′( t ) = = = dx dx cos t − t ⋅ sin t dt π π π π sin + ⋅ cos 1+ ⋅ 0  π 2 2 2 = 2 = 1 =−2 y ′  = π  2  cos π − π ⋅ sin π 0 − π ⋅ 1 − π 2 2 2 2 2

za vrijednost parametra

118



2 π = − ⋅ (x − 0 ) 2 π 2 π y − = − ⋅x 2 π 2 π ⇒ y = − ⋅x + 2 π y−


π 1 =− ⋅ (x − 0 ) 2 2 − π π π y− = ⋅x 2 2 π π ⇒ y = ⋅x+ 2 2 y−

Primjer 4. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju e y + xy = e u točki s apscisom x=0. R.

( )

e y + xy = e ⇒ x = 0 ⇒ e y + 0 ⋅ y = e ⇒ y = 1 ⇒ T = 0, 1 e y + xy = e / ′ e y ⋅ y ′ + 1⋅ y + x ⋅ y ′ = 0

(

)

y′ ⋅ e y + x = −y y′ = −

y ′ (0,1)

y e +x 1 1 =− 1 =− e e +0 y


1 ⋅ (x − 0 ) e 1 y −1= − ⋅ x e 1 ⇒ y = − ⋅ x +1 e y −1= −


y −1= −

1 ⋅ (x − 0 ) 1 − e


119

y −1= e ⋅ x ⇒ y = e⋅ x +1

ZADACI ZA VJEŽBU

y = x−4

1. Napišite jednadžbu tangente i normale na krivulju 2. Napišite jednadžbu tangente na krivulju f(x) =

1 sin x

u točki sa ordinatom 1.

u njenoj točki s apscisom x 0 =

 3π  − 2x  − 1  2 

3. Napišite jednadžbu tangente na krivulju y = sin

x0 =

π . 4

4. Napišite jednadžbu zajedničke tangente krivulja y = sin x

i

5. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju y = arcsin

u točki sa apscisom

y=x+ x −1 2

1 3 ⋅x . 3

u sjecištu sa x-osi.

6. U kojoj točki tangenta na krivulju y = e 2 x + 1 , paralelna s pravcem krivulju ? Napišite jednadžbu tangente. 7. Napišite jednadžbe tangente i normale na krivulju apscisom x=0.

π . 2

y = 2x − 1 , dira tu

f ( x ) = e x ⋅ ln( x + 1) u točki krivulje s 2

8. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju y = e4−x u sjecištu sa pravcem

y=1 .

9. Odredite jednadžbe tangente i normale na krivulju x 3 + y 3 − 2xy − 1 = 0 u točki T=(1,0) . 10. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju y 3 − x 3 + x 2 − y = 24

u točki T=(1,3).

11. Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju y 2 ⋅ (2 − x ) = x 3 u točki T=(1,1) . 12. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju

ey = x − y

u sjecištu sa x-osi.

13. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulju x 2 ⋅ e 2 y + 3 xy = 4 u točki gdje krivulja siječe x-os. 14. Odredite jednadžbu tangente i normale na krivulju

x = t ⋅ cos t   y = t ⋅ sin t 

u točki

t=

π . 2

120


15. Nađite jednadžbe tangente i normale na krivulje :

 x − 1  u sjecištu krivulje s x-osi  2 

(1) y = arcsin

(2)

x = arcsin t   za t = 1 y = 1 − t 2 

(3) x ⋅ y − x 3 − y 3 = 7 u točki T=(1,2) R. 1. t K y =

3 1 x − , nK y = −2x + 9 2 2

2. t K y = 1 3. t K y = 2x −

π −1 2

4. t K y = x 5. t K y =

1 1 x − , nK y = −2x + 2 2 2

6. T = (0,2) , t K y = 2x + 2 7. t K y = x , nK y = − x 8. t 1 K y = 4 x + 9 , n1 K y = − 9. t K y =

1 1 1 1 x + , t 2 K y = −4 x + 9 , n 2 K y = x + 4 2 4 2

2 2 3 3 x − , nK y = − x + 2 2 3 3

10. t K y =

1 77 x+ , nK y = −26 x + 29 26 26

11. t K y = 2x − 1 , nK y = − 12. t K y =

1 3 x+ 2 2

1 1 x − , nK y = −2x + 2 2 2

13. t 1 K y = 2x + 4 , n1 K y = − 14. t K y = −

7 4 2 1 x − 1, t 2 K y = − x + , n2 K y = x − 7 2 7 7 2

2 π π π x + , nK y = x + 2 2 2 π

15. (1) t L y =

1 1 ⋅ x − , nL y = −2 ⋅ x + 2 2 2


(2) t L y = − x + (3) t L y = −

121

π π , nL y = x − 2 2

1 23 , ⋅x+ 11 11

nL y = 11⋅ x − 9

5.9. Diferencijal funkcije Primjer 1. Nađite diferencijale funkcija :

( )

(1) y = arcctg e x (2) y = −3 − x

2

2

(3) x 2 + 2xy − y 2 = a 2 R.

( )

(1) y = arcctg e x

dy = y ′( x ) ⋅ dx =

(2) y = −3 − x

2

−1

( )

1+ e x

2

2

⋅e

x2

⋅ 2x ⋅ dx =

− 2x ⋅ e x 1+ e 2x

2

2

⋅ dx

2

dy = y ′( x ) ⋅ dx = −3 − x ⋅ ln 3 ⋅ (− 2x ) ⋅ dx = 2 ⋅ ln 3 ⋅ x ⋅ 3 − x ⋅ dx 2

(3) x 2 + 2xy − y 2 = a 2

2x + 2y + 2x ⋅ y ′ − 2y ⋅ y ′ = 0 x + y + (x − y ) ⋅ y ′ = 0 y′ =

x+y x+y ⇒ dy = ⋅ dx y−x y−x

Primjer 2. Nađite diferencijale 2. reda za funkcije : (1) y = −3 − x

2

(2) x 2 + 2xy − y 2 = a 2 R. (1) y = −3 − x

2

2

dy = 2 ⋅ ln 3 ⋅ x ⋅ 3 − x ⋅ dx

2

122


(

d 2 y = y ′′( x ) ⋅ (dx ) = 2 ⋅ ln 3 ⋅ x ⋅ 3 − x 2

(

2

)′ ⋅ (dx )

2

)

d 2 y = 2 ⋅ ln 3 ⋅ 3 − x + 2 ⋅ ln 3 ⋅ x ⋅ 3 − x ⋅ ln 3 ⋅ (− 2 x ) ⋅ (dx ) 2

2

(

)

d 2 y = 3 − x ⋅ 2 ⋅ ln 3 − 4 x 2 ⋅ (ln 3 ) ⋅ (dx ) 2

2

2

2

(2) x 2 + 2xy − y 2 = a 2

dy =

x+y ⋅ dx y−x

′ x+ y 2  ⋅ (dx ) d y = y ′′( x ) ⋅ (dx ) =  y−x (1 + y ′) ⋅ (y − x ) − (x + y ) ⋅ (y ′ − 1) ⋅ (dx )2 d2 y = (y − x )2 2

2

d2 y =

d2 y =

2y − 2x ⋅ y ′

(y − x )

2

(

⋅ (dx ) = 2

− 2 ⋅ x 2 + 2xy − y 2

(y − x )

3

x+y 2y − 2x ⋅ y−x

(y − x )

2

) ⋅ (dx )

2

=

⋅ (dx ) = 2

− 2 ⋅ a2

(y − x )

3

2 y 2 − 2 xy − 2 x 2 − 2 xy y−x

(y − x )

2

⋅ (dx )

2

⋅ (dx )

2

Primjer 3. Nađite diferencijale 4. reda za funkcije : (1) y = sin 2 x (2) y = x ⋅ ln x R. (1) y = sin 2 x

′ dy = y ′( x ) ⋅ dx = sin 2 x ⋅ dx = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ⋅ dx = sin 2x ⋅ dx ′ 2 2 2 d 2 y = y ′′( x ) ⋅ (dx ) = (sin 2x ) ⋅ (dx ) = cos 2x ⋅ 2 ⋅ dx 2 = 2 ⋅ cos 2x ⋅ (dx ) ′ 3 3 3 d 3 y = y ′′′( x ) ⋅ (dx ) = (2 ⋅ cos 2x ) ⋅ (dx ) = 2 ⋅ (− sin 2x ) ⋅ 2 ⋅ dx 3 = −4 ⋅ sin 2x ⋅ (dx ) ′ 4 4 4 d 4 y = y ( 4 ) ( x ) ⋅ (dx ) = (− 4 ⋅ sin 2x ) ⋅ (dx ) = −4 ⋅ cos 2x ⋅ 2 ⋅ dx 4 = −8 ⋅ cos 2x ⋅ (dx )

(

)

(2) y = x ⋅ ln x

1  ′ dy = y ′( x ) ⋅ dx = (x ⋅ ln x ) ⋅ dx = 1⋅ ln x + x ⋅  ⋅ dx = (ln x + 1) ⋅ dx x  1 ′ 2 2 2 d 2 y = y ′′( x ) ⋅ (dx ) = (ln x + 1) ⋅ (dx ) = ⋅ (dx ) x ′ 1  1 3 3 3 d 3 y = y ′′′( x ) ⋅ (dx ) =   ⋅ (dx ) = − 2 ⋅ (dx ) x x ′ 2  1 4 4 4 d 4 y = y ( 4 ) ( x ) ⋅ (dx ) =  − 2  ⋅ (dx ) = 3 ⋅ (dx ) x  x 


123

5.10. Primjena diferencijala na izračunavanje približne vrijednosti funkcije Primjer 1. Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost : (1) e 0.2 , za x = 0 i ∆x = 0.2 (2) ln(0.8 ) , za x = 1 i ∆x = −0.2 (3)

3

26 , za x = 27 i ∆x = −1

(

)

(4) ctg 46 0 , za x = 45 0 i ∆x = 10 R. (1) e 0.2 , za x = 0 i ∆x = 0.2

f ( x ) = e x , f ′(x ) = e x

e x + ∆x ≅ e x + e x ⋅ ∆ x e 0 + 0.2 ≅ e 0 + e 0 ⋅ 0 .2 = 1 + 1 ⋅ 0 .2 = 1 . 2 ⇒ e 0 .2 ≅ 1 .2 (2) ln(0.8 ) , za x = 1 i ∆x = −0.2

f ( x ) = ln x , f ′(x ) =

1 x

1 ⋅ ∆x x 1 ln(1 − 0.2 ) ≅ ln 1 + ⋅ (− 0.2 ) = 0 + 1⋅ (− 0.2) = −0.2 ⇒ ln(0.8 ) ≅ −0.2 1 ln(x + ∆x ) ≅ ln x +

(3)

3

26 , za x = 27 i ∆x = −1 1 1 f ( x ) = 3 x , f ′(x ) = ⋅ 3 3 x2 3

3

(

1 1 ⋅ ⋅ ∆x 3 3 x2 1 1 1 1 27 − 1 ≅ 3 27 + ⋅ ⋅ (− 1) = 3 − ⋅ = 2.962963 ⇒ 3 2 3 27 3 9 x + ∆x ≅ 3 x +

)

(4) ctg 46 0 , za x = 45 0 i ∆x = 10

f ( x ) = ctgx , f ′(x ) = − ∆x = 10 =

1 sin 2 x

π (rad) 180

ctg(x + ∆x ) ≅ ctgx −

1 ⋅ ∆x sin 2 x

3

26 ≅ 2.962963

124


(

)

(

)

ctg 45 0 + 10 ≅ ctg 45 0 −

(

)

π π 1 1 π ⋅ = 1− ⋅ = 1− 0 2 90 sin 45 180  2  180    2    2

(

)

⇒ ctg 46 0 ≅ 0.965093

ZADACI ZA VJEŽBU Zamijenivši prirast funkcije diferencijalom nađite približnu vrijednost : (1) 17 , za x = 16 i ∆x = 1 (2) ln(1.2 ) , za x = 1 i ∆x = 0.2

31 , za x = 32 i ∆x = −1 (4) tg 44 0 , za x = 45 0 i ∆x = −10

(3)

5

(

)

( ) (6) sin(29 ),

(5) cos 29 0 , za x = 30 0 i ∆x = −10 0

za x = 30 0 i ∆x = −10

R. (1) (2) (3) (4) (5) (6)

4.125 0.2 1.9875 0.965093 0.874752 0.485

5.11. Taylorova formula Primjer 1. Funkciju f ( x ) = 2 x 3 − x + 3 razvijte po potencijama binoma (x-1). R. Razvoj po potencijama binoma (x-1) podrazumijeva razvoj u okolini točke x 0 = 1.

f ( x ) = 2x 3 − x + 3 f ′( x ) = 6 x 2 − 1 f ′′( x ) = 12 x f ′′′( x ) = 12 f (4) (x) = 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f (1) = 2 − 1 + 3 = 4 f ′(1) = 6 − 1 = 5 f ′′(1) = 12 f ′′′(1) = 12 f ( 4 ) (1) = 0 ⇒ R 3 (1) = 0


125

f ′(1) f ′′(1) f ′′′(1) 2 3 ⋅ (x − 1) + ⋅ (x − 1) + ⋅ (x − 1) + R 3 ( x ) 1! 2! 3! 5 12 12 2 3 f ( x ) = 4 + ⋅ (x − 1) + ⋅ (x − 1) + ⋅ (x − 1) 1! 2! 3!

f ( x ) = f (1) +

⇒ f ( x ) = 4 + 5 ⋅ (x − 1) + 6 ⋅ (x − 1) + 2 ⋅ (x − 1) 2

3

Primjer 2. Funkciju f ( x ) = ln(x + 1) aproksimirajte polinomom 3. stupnja u okolini točke x 0 = 0 . Izračunajte ln(1.2) pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.

⇒ f (0) = ln(0 + 1) = ln1 = 0 1 =1 ⇒ f ′(0) = 0 +1 1 ⇒ f ′′(0 ) = − = −1 (0 + 1)2 2 ⇒ f ′′′(0 ) = =2 (0 + 1)3

f ( x ) = ln( x + 1) 1 f ′( x ) = x +1 1 f ′′( x ) = − (x + 1)2 2 f ′′′( x ) = (x + 1)3 f (4) (x) = −

6

⇒ R3 (x) =

(x + 1)

4

f

(4)

(ϑ ⋅ x ) 4 ⋅x = 4!

−

(ϑ ⋅ x + 1)4

f ′(0 ) f ′′(0 ) 2 f ′′′(0 ) 3 ⋅x + ⋅x + ⋅ x + R 3 (x) 1! 2! 3! (− 1) ⋅ x 2 + 2 ⋅ x 3 1 f (x) ≅ 0 + ⋅ x + 1! 2! 3! 1 1 ⇒ f(x) ≅ x − ⋅ x 2 + ⋅ x 3 3 2 f ( x ) = f (0 ) +

f ( x ) = ln( x + 1) ⇒ f (0.2) = ln(0.2 + 1) = ln(1.2) 1 1 2 3 ⇒ f (0.2) ≅ 0.2 − ⋅ (0.2 ) + ⋅ (0.2 ) = 0.182666 3 2 6 − (4) f (ϑ ⋅ x ) 4 ( ϑ ⋅ 0.2 + 1) 4 4 R3 (x) = ⋅ x ⇒ R 3 ( 0.2) = ⋅ (0.2 ) 4! 4! 6 ⋅ (0.2) 0.0004 = , 0 < ϑ<1 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ( ϑ ⋅ 0.2 + 1) (ϑ ⋅ 0.2 + 1) 4 4

R 3 ( 0.2) =

⇒ R 3 (0.2) < 0.0004

6

4!

⋅ x4 , 0 < ϑ < 1

126


Primjer 3. Funkciju f ( x ) = e x aproksimirajte polinomom 4. stupnja u okolini točke x 0 = 0 . Izračunajte e1 = e pomoću te aproksimacije. Ocijenite pogrešku. R.

f ( x ) = f ′( x ) = f ′′( x ) = f ′′′( x ) = f ( 4 ) ( x ) = f ( 5 ) ( x ) = e x ⇒ f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f ′′′(0) = f ( 4 ) (0) = f ( 5 ) (0) = e 0 = 1 1 1 1 1 ⋅ x + ⋅ x 2 + ⋅ x 3 + ⋅ x 4 + R 4 (x) 1! 2! 3! 4! 1 1 1 1 ⇒ f (1) ≅ 1 + ⋅ 1 + ⋅ 12 + ⋅ 13 + ⋅ 14 = 2.708333 ⇒ e ≅ 2.708333 4! 3! 2! 1! f (x) = 1+

ϑ⋅ x

ϑ

f ( 5 ) (ϑ ⋅ x ) 5 e e ⋅x = ⋅ x 5 ⇒ R 4 (1) = , 0 < ϑ<1 5! 5! 5! 1 e ⇒ < R 4 (1) < ⇒ 0.008333 < R 4 (1) < 0.022652 5! 5!

R 4 (x) =

Primjer 4. Funkciju f ( x ) = sin x aproksimirajte polinomom 10. stupnja u okolini točke x 0 = 0 . R.

f ( x ) = sin x f ′( x ) = cos x f ′′( x ) = − sin x f ′′′( x ) = − cos x

f ( 4 ) ( x ) = sin x f ( 5 ) ( x ) = cos x f ( 6 ) ( x ) = − sin x f ( 7 ) ( x ) = − cos x f ( 8 ) ( x ) = sin x f ( 9 ) ( x ) = cos x f (10 ) ( x ) = − sin x f (x) ≅ 0 +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

f (0) = sin 0 = 0 f ′(0) = cos 0 = 1 f ′′(0) = − sin 0 = 0 f ′′′(0) = − cos 0 = −1 f ( 4 ) (0) = sin 0 = 0 f ( 5 ) (0) = cos 0 = 1 f ( 6 ) (0) = − sin 0 = 0 f ( 7 ) (0) = − cos 0 = −1 f ( 8 ) (0) = sin 0 = 0 f ( 9 ) (0) = cos 0 = 1 f (10 ) (0) = − sin 0 = 0

1 0 −1 3 0 4 1 5 0 6 −1 7 0 8 1 9 0 ⋅ x + ⋅ x2 + ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅x + ⋅ x 10 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

x3 x5 x7 x9 ⇒ f (x) ≅ x − + − + 3! 5! 7! 9!


127

ZADACI ZA VJEŽBU Aproksimirajte funkciju f(x) u okolini točke x 0 polinomom : (1) f ( x ) = 3 x + 1 , x 0 = 0 , polinomom 2. stupnja (2) f ( x ) = 3 1 − x , x 0 = 0 , polinomom 4. stupnja (3) f ( x ) = cos x , x 0 = 0 , polinomom 6. stupnja

x , x 0 = 16 , polinomom 2. stupnja

(4) f ( x ) = R.

1 1 ⋅ x − ⋅ x2 3 9 1 1 5 3 10 (2) f ( x ) ≈ 1 − ⋅ x − ⋅ x 2 − ⋅x − ⋅ x4 3 9 81 243 x2 x4 x6 (3) f ( x ) ≈ 1 − + − 2! 4! 6! 1 1 2 (4) f ( x ) ≈ 4 + ⋅ (x − 16 ) − ⋅ (x − 16 ) 8 512 (1) f ( x ) ≈ 1 +

5.12. L'Hospital-ovo pravilo Primjer 1. Izračunajte :

 2x 2 − 3 x − 9 

 (1) lim 2 x →3 x − 4 x + 3    



ex

 (2) lim  2 x→∞ x + 3 x + 4   

(

)

 ln x 2 − 8 

 (3) lim 2 x →3 x − 2 x − 3    R.

 2x 2 − 3 x − 9 

0

 2⋅2⋅x − 3

2⋅2⋅3 − 3

9

 =   = lim (1) lim 2 = = x →3 x − 4 x + 3  2⋅3 − 4 2    0  x → 3 2 ⋅ x − 4 

128






ex

∞



ex



∞

 ex 

∞

 =   = lim   =   = lim   = = ∞ (2) lim  2 x→∞ x + 3 x + 4     ∞  x →∞ 2 ⋅ x + 3   ∞  x →∞ 2  2

 2⋅x   2   ln x − 8   0   3 2x x 8 −   = lim  =   = lim  = (3) lim 2 2  x →3 x − 2 x − 3    0  x →3 2 ⋅ x − 2  x →3 x − 8 ⋅ (2 x − 2)  2  

(

)

2

(

)

Primjer 2. Izračunajte : (1) lim ((1 − cos x ) ⋅ ctgx ) x →0

(

(2) lim x 2 ⋅ ln x x →0 + 0

)

(3) lim ((π − 2 x ) ⋅ tgx ) x→

π 2

R. (1)

          sin x  1 − cos x 1 − cos x  0  =   = lim = lim = lim ((1 − cos x ) ⋅ ctgx ) = (0 ⋅ ∞ ) = lim  x →0 tgx   0  x →0 1  x →0 x →0 1      cos 2 x   ctgx  = lim sin x ⋅ cos 2 x = sin 0 ⋅ cos 2 0 = 0 ⋅ 1 = 0 x →0

(

)

(2)

   1    − ∞ ln x   = lim x 2 ⋅ ln x = (0 ⋅ (− ∞ )) = lim   = lim  x x →0 + 0 x → 0 + 0 1   ∞  x → 0 + 0 − 2  2   x   x3

(

)

   2   = lim  x  = 0  x →0 + 0 − 2   

(3)

         π − 2x   0  π − 2x   0  −2     =   = lim lim ((π − 2x ) ⋅ tgx ) = (0 ⋅ ∞ ) = lim =   = lim  = π π 1   0  x → π  ctgx   0  x → π  1  x→ x→ − 2 2 2 2    sin 2 x   tgx  π = lim 2 ⋅ sin 2 x = 2 ⋅ sin 2 = 2 ⋅ 1 = 2 π 2 x→

(

2

)


129


1   x −  x →1 x − 1 ln x   π   (2) lim  x ⋅ arctgx − ⋅ x  x →∞ 2   (1) lim

R. (1)

1    1⋅ ln x + x ⋅ − 1    ( ) ⋅ − − x ln x x 1 0 x 1     x =  =   = lim − lim  = (∞ − ∞ ) = lim x →1 x − 1 x 1 x 1 → → 1 ln x     (x − 1) ⋅ ln x   0   1⋅ ln x + (x − 1) ⋅  x  1            1⋅ ln x + x ⋅  ⋅ x ln x 0 ln x ln x     x =  = lim  = lim = lim  =   = lim x →1 1 x − 1  x →1 x ⋅ ln x + x − 1  x →1 x ⋅ ln x + x − 1  0  x →1   ln x +     1⋅ ln x + x ⋅ + 1 x x x        ln x + 1  ln 1 + 1 0 + 1 1  ln x + 1  = = = lim =  = lim x →1 ln x + 1 + 1 x →1 ln x + 2  ln 1 + 2 0 + 2 2    (2)

π   arctgx −    π  π   2  =  0  = lim  x ⋅ arctgx − ⋅ x  = (∞ − ∞ ) = lim  x ⋅  arctgx −   = (∞ ⋅ 0 ) = lim  x →∞ x →∞ x →∞ 1 2  2   0      x    1    2  − x2   ∞   − 2⋅x   =  −  = lim  = lim  1 + x  = lim   = −1 2 x →∞  1  x →∞  1 + x   ∞  x →∞  2 ⋅ x   − 2   x 

Primjer 4. Izračunajte : x (1) lim (sin x ) x →0

(

(2) lim 1 + 2 x x →∞

 x →1 

1

  

(3) lim x 1− x 

)

1 x

130


R. x (1) lim (sin x ) x →0

y = (sin x )

x

ln y = x ⋅ ln(sin x )

 1    ⋅ cos x    ln(sin x )  =  =  − ∞  = lim sin x lim (ln y ) = lim(x ⋅ ln(sin x )) = (0 ⋅ (− ∞ )) = lim x →0 x →0 x → 0 1 1    ∞  x →0 − 2     x   x   2 2  − 2 x ⋅ cos x + x ⋅ sin x  0  − x ⋅ cos x   0   = = 0  =   = lim = lim x →0 sin x cos x  1   0  x → 0  lim (ln y ) =0 ⇒ log e y =0 ⇒ y = e 0 =1 ⇒ lim y =1 ⇒ lim (sin x ) =1 x

x →0

x →0

(

(2) lim 1 + 2 x x →∞

(

)

x →0

1 x

) (

1

y = 1+ 2x x 1 ln y = ⋅ ln 1 + 2 x x

)

 1  ⋅ 2 x ⋅ ln 2   x  ln 1 + 2   ∞   1 =  =   = lim  1 + 2 lim (ln y ) = lim  ⋅ ln 1 + 2 x  = (0 ⋅ ∞ ) = lim  x →∞ x →∞ x x →∞ x →∞  x 1 ∞           x x  ln 2 ⋅ 2 ⋅ ln 2   ln 2 ⋅ 2   ∞   = ln 2  =   = lim  = lim  x x x →∞ 1 + 2   ∞  x →∞ 2 ⋅ ln 2  

(

)

(

x

)

(

lim (ln y ) = ln2 ⇒ log e y = log e 2 ⇒ y =2 ⇒ lim y =2 ⇒ lim 1 + 2 x

x →∞

x →∞

x →∞

)

1 x

=2

 1−1x  (3) lim x   x →1  

y=x ln y =

1 1− x

1 ⋅ ln x 1− x

 1    1  ln x   0    1 lim(ln y ) = lim = −1 ⋅ ln x  = (∞ ⋅ 0 ) = lim  =   = lim x  = x →1 x →1 1 − x x →1 1 − x   0  x →1 − 1 − 1         1  1 1 1 lim(ln y ) = −1 ⇒ log e y = −1 ⇒ y = e −1 = ⇒ lim y = ⇒ lim x 1− x  = x →1 x →1 x →1 e e   e


ZADACI ZA VJEŽBU Izračunajte :

 1 − cos x   2   x

(1) lim x →0

 e ax − e 2ax 

 (2) lim x →0  ln(x + 1)  (3) lim (π − 2 x ) ⋅ tgx x→

π 2

(4) lim (π − 2 ⋅ arctgx ) ⋅ ln x x →∞

 x

π



(5) lim   − π 2 ⋅ cos x  x →  ctgx 2

1  1 −   x sin x 

(6) lim x →0

( )

(7) lim x x x →0

(8) lim(ln x )

1− x

x →1

(9) lim (sin x )

tgx

π x→ 2

1

(10) lim (ctgx )ln x x →0

R. (1)

1 2

(2) − a (3) 2 (4) 0 (5)

−1

(6) 0 (7) 1 (8) 1 (9) 1 (10)

1 e

131

132


5.13. Intervali monotonosti, ekstremi funkcije Primjer 1. Odredite intervale monotonosti za funkcije : (1) y = x 2 + 4 x + 5 (2) y = x 3 + 6 x 2 + 9 x (3) y = 3 (x − 1) − 1 2

R. (1) y = x 2 + 4 x + 5

Df = R y ′( x ) = 2 x + 4

 u intervalu (− ∞,−2 ) f pada y ′( x ) < 0 ⇒ 2 x + 4 < 0 ⇒ x < −2   ⇒  y ′( x ) > 0 ⇒ 2 x + 4 > 0 ⇒ x > −2   u intervalu (− 2,+∞ ) f raste (2) y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

Df = R y ′( x ) = 3 x 2 + 12 x + 9 = 3 ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 3 )  u intervalu (− 3,−1) f pada   ⇒  y ′( x ) > 0 ⇒ −∞ < x < −3 & −1 < x < +∞   u intervalu (− ∞,−3 ) ∪ (− 1,+∞ ) f raste y ′( x ) < 0 ⇒ −3 < x < −1

(3) y = 3 (x − 1) − 1 2

Df = R y ′( x ) =

2

3 ⋅3 x −1 D f ′ = R \ {1} Derivacija funkcije različita je od nule u cijelom području definicije, ali u točki x=1 ne postoji.

 u intervalu (− ∞,1) f pada y ′( x ) < 0 ⇒ −∞ < x < 1  ⇒  y ′( x ) > 0 ⇒ 1 < x < +∞   u intervalu (1,+∞ ) f raste

Primjer 2. Odredite ekstreme funkcija :

x3 + x2 3 4 (2) y = (x + 1)

(1) y =


133

(3) y = 1 − 3 (x − 4 )

2

(

)

(4) y = 3 x 2 − 1

2

R. (1) y =

x3 + x2 3

Df = R y ′( x ) = x 2 + 2 x y ′′( x ) = 2 x + 2 Nužni uvjet (N.U.) : y ′(x 0 ) = 0 ili y ′(x 0 ) ne postoji

x 2 + 2 x = 0 ⇒ x 1 = 0 , x 2 = −2 Dovoljni uvjet (D.U.) : y ′′(x 0 ) ≠ 0 , tj. :

y ′′(x 0 ) > 0 ⇒ funkcija u x 0 postiže minimum

y ′′(x 0 ) < 0 ⇒ funkcija u x 0 postiže maksimum

y ′′(0 ) = 2 ⋅ 0 + 2 = 2 > 0 ⇒ za x 1 = 0 funkcija postiže minimum y min = y(0) = 0 y ′′(− 2) = 2 ⋅ (− 2) + 2 = −2 < 0 ⇒ za x 2 = −2 funkcija postiže maksimum 4 y max = y( −2) = 3 (2) y = (x + 1)

4

Df = R

y ′( x ) = 4 ⋅ (x + 1)

3

y ′′( x ) = 12 ⋅ (x + 1)

2

N.U. : y ′(x 0 ) = 0 ili y ′(x 0 ) ne postoji

4 ⋅ (x + 1) = 0 ⇒ x 0 = −1 3

D.U.: y ′′(x 0 ) ≠ 0 , odnosno y ( n ) (x 0 ) ≠ 0 , gdje je n paran broj

y ′′( x ) = 12 ⋅ (x + 1) ⇒ y ′′(− 1) = 12 ⋅ (− 1 + 1) = 0 2

2

y ′′′( x ) = 24 ⋅ (x + 1) ⇒ y ′′′( −1) = 24 ⋅ (− 1 + 1) = 0 y ( 4 ) ( x ) = 24 ⇒ y ( 4 ) ( −1) = 24 > 0 ⇒ x 0 = −1 funkcija postiže minimum

y min = y( −1) = 0 Dovoljan uvjet možemo ispitati i tako da provjerimo da li prva derivacija y ′ mijenja predznak u okolini točke x 0 . Odaberemo h, 0
y ′(x 0 − h) = y ′(− 1 − h) = 4 ⋅ ((− 1 − h) + 1) = 4 ⋅ (− h) = −4h 3 < 0 3

3

y ′(x 0 + h) = y ′(− 1 + h) = 4 ⋅ ((− 1 + h) + 1) = 4 ⋅ (h) = 4h 3 > 0 3

3

134


Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke x 0 i

y ′( x ) > 0 desno od x 0 ,

to : y ′( x ) < 0 lijevo od x 0

što znači da funkcija u točki

x0

postiže

i

minimum

y min = y( −1) = 0 . (3) y = 1 − 3 (x − 4 )

2

Df = R 2

y ′( x ) = −

3⋅ x − 4 D f ′ = R \ {4} 3


y ′(x 0 ) ne postoji za x 0 = 4 jer prva derivacija ima prekid u točki x 0 = 4 .

D.U.: prva derivacija y ′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
y ′(x 0 − h) = y ′(4 − h) = −

2

−2

>0 3⋅3 −h −2 y ′(x 0 + h) = y ′(4 + h) = − = 3 <0 3 ⋅ 3 (4 + h) − 4 3 ⋅ h 3 ⋅ 3 (4 − h) − 4 2

=

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke x 0 i

y ′( x ) < 0 desno od x 0 ,


y max = y( 4) = 1.

(

)

(4) y = 3 x 2 − 1

2

Df = R y ′( x ) =

to : y ′( x ) > 0 lijevo od x 0

4x

3 ⋅ x2 −1 D f ′ = R \ {− 1,1} 3


4x

= 0 ⇒ x 01 = 0 3 ⋅ x2 −1 y ′(x 0 ) ne postoji za x 02 = −1 i x 03 = 1 . 3

D.U.: prva derivacija y ′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
x0

postiže

i

maksimum


y ′(x 0 − h) = y ′(0 − h) =

135

4(0 − h)

=

− 4h

>0

(0 − h) − 1 4(0 + h) 4h y ′(x 0 + h) = y ′(0 + h) = = <0 3 2 2 3 ⋅ 3 (0 + h) − 1 3 ⋅ h − 1 3⋅

2

3

3 ⋅ h2 − 1 3

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke x 01 = 0 i to: y ′( x ) > 0 lijevo od x 01 i

y ′( x ) < 0 desno od x 01 ,


x 01

postiže

maksimum

y max = y(0) = 1 . y ′(x 0 − h) = y ′(− 1 − h) =

4(− 1 − h)

<0

(− 1 − h) − 1 4(− 1 + h) >0 y ′(x 0 + h) = y ′(− 1 + h) = 2 3 ⋅ 3 (− 1 + h) − 1 3⋅

2

3

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke x 02 = −1 i to : y ′( x ) < 0 lijevo od x 02

y ′( x ) > 0 desno od x 02 ,


x 02

postiže

i

minimum

y min = y( −1) = 0 . y ′(x 0 − h) = y ′(1 − h) = y ′(x 0 + h) = y ′(1 + h) =

4(1 − h) 3 ⋅ 3 (1 − h) − 1 4(1 + h) 2

3⋅

3

(1 + h)

2

−1

<0 >0

Prva derivacija mijenja predznak u okolini točke x 03 = 1 i to : y ′( x ) < 0 lijevo od x 03

y ′( x ) > 0 desno od x 03 ,


x 03

y min = y(1) = 0 .

Primjer 3. Kako od komada žice duljine L načiniti pravokutnik maksimalne ploštine? R.

L −x 2  L L P = x ⋅ y = x ⋅  − x  = ⋅ x − x 2 → max 2  2 L P′( x ) = − 2x 2 2x + 2y = L ⇒ y =

postiže

i

minimum

136


N.U.:

P′(x ) =

L L L , y0 = − 2x = 0 ⇒ x 0 = 2 4 4

D.U.:

L L L L2 P′′(x 0 ) = −2 < 0 ⇒ za x 0 = funkcija postiže maksimum Pmax = x 0 ⋅ y 0 = ⋅ = . 4 4 4 16 Od komada žice duljine L pravokutnik najveće ploštine je zapravo kvadrat sa stranicom duljine

L . 4

Primjer 4. Na osi parabole y 2 = 4 x dana je točka A udaljena 3 jedinice od tjemena u pozitivnom smjeru osi x. Nađite apscisu točke na paraboli koja je najbliža točki A. R.

d 2 = (3 − x ) + y 2 = (3 − x ) + 4 x → min ′ d 2 ( x ) = 2 ⋅ (3 − x ) ⋅ (− 1) + 4 = 2x − 2 ″ d2 ( x ) = 2 2

2

( ) ( )

N.U.:

(d )′ ( x) = 2x − 2 =0 ⇒ 2

x 0 = 1 , y 0 = 4 ⋅1 = 2

D.U.:

(d )″ ( x 2

0

)=2>0

Za x 0 = 1 funkcija postiže minimum

(dmin )2 = (3 − 1)2 + 4 ⋅ 1 = 8

. Točka T=(1,2) na paraboli

najbliža je točki A , a udaljenost točke T do točke A je dmin = 8 .


ZADACI ZA VJEŽBU 1.Odredite intervale monotonosti za funkcije : 2 2 (1) y = (x − 1) ⋅ (x + 2) (2) y = x ⋅ 2 − x 2

3 − x2 x+2 x2 −1 (4) y = 2 x +1 x +1 (5) y = 3 x (3) y =

2. Odredite ekstreme funkcija : 2 2 (1) y = (x − 1) ⋅ (x + 2)

x2 −1 x2 + 1 x 2 − 2x + 4 y= 2 x +x−2 x2 y= x −1 4 4 y =3− − 2 x x 2 y = x ⋅ e x−x

(2) y = (3) (4) (5) (6)

(7) y = x ⋅ 2 − x 2

x2 − x4 2 2 x − 2x + 1 (9) y = x2 + 1 3 − x2 (10) y = x+2 (8) y =

R. 1.

1  1   ,1...f ↓ ,  - 2,−  ∪ (1,+∞ )...f ↑ 2  2   − 2,−1 ∪ 1,+ 2 ...f ↓ , (- 1,1)...f ↑ (- ∞,-3) ∪ (− 1,+∞ )...f ↓ , (- 3,−2) ∪ (− 2,−1)...f ↑ (- ∞,0 )...f ↓ , (0,+∞ )...f ↑ 3  3    - ,0  ∪ (0,+∞ )...f ↓ ,  - ∞,- ...f ↑ 2  2  

(1) (- ∞,-2) ∪  −

(2) (3) (4) (5)

[

) (

]

137

138


2.

 1 81  ,   2 16 

(1) Tmin1 = (− 2,0 ) , Tmin2 = (1,0 ) , Tmax =  − (2) Tmin = (0,−1)

 2  3 (4) Tmin = (2,4 ) , Tmax = (0,0 ) (5) Tmax = (− 2,4 )

(3) Tmin =  4,  , Tmax = (0,−2)

 1 1  , −  , Tmax = (1,1)  2 2 ⋅ 4 e3   = (− 1,−1) , Tmax = (1,1)

(6) Tmin =  − (7) Tmin

 2 1  2 1    = , , T max 2  2 ,8  2 8     (9) Tmin = (1,0 ) , Tmax = (− 1,2) (10) Tmin = (− 3,6 ) , Tmax = (− 1,2) (8) Tmin = (0,0 ) , Tmax 1 =  −

5.14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije Primjer 1. Odredite točke infleksije, te intervale konveksnosti i konkavnosti za funkcije : (1) y = x 3 + 6 x 2 + 9 x (2) y = 3 x + 2

1 x−3 (4) y = x ⋅ e x

(3) y =

R. (1) y = x 3 + 6 x 2 + 9 x

Df = R y ′( x ) = 3 x 2 + 12 x + 9 y ′′( x ) = 6 x + 12 N.U. : y ′′(x 0 ) = 0 ili y ′′(x 0 ) ne postoji

y ′′( x ) = 6 x + 12 = 0 ⇒ x 0 = −2 D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
y ′′(x 0 − h) = y ′′(− 2 − h) = 6 ⋅ (− 2 − h) + 12 = −6 ⋅ h < 0 y ′′(x 0 + h) = y ′′(− 2 + h) = 6 ⋅ (− 2 + h) + 12 = 6 ⋅ h > 0


139

Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke x 0 i to : y ′′(x ) < 0 lijevo od točke x 0 , a

y ′′(x ) > 0 desno od x 0 , što znači da je x 0 apscisa točke infleksije.

y(− 2) = (− 2) + 6 ⋅ (− 2) + 9 ⋅ (− 2) = −2 3

2

Točka Ι = (− 2,−2) je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu (− ∞,−2) graf funkcije je konkavan, u intervalu (− 2,+∞ ) graf funkcije je konveksan.

(2) y = 3 x + 2

Df = R y ′( x ) =

1 3 ⋅ 3 (x + 2 )

y ′′( x ) = −

2

2

9 ⋅ 3 (x + 2 ) D f ′ = D f ′′ = R \ {− 2}

5

N.U. : y ′′(x 0 ) = 0 ili y ′′(x 0 ) ne postoji

y ′′( x ) = −

2 9 ⋅ 3 (x + 2 )

5

≠ 0 , ∀x ∈ R \ {− 2}

Druga derivacija nije definirana u točki x 0 = −2 , pa je to apscisa moguće točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
y ′′(x 0 − h) = y ′′(− 2 − h) = − y ′′(x 0 + h) = y ′′(− 2 + h) = −

2 9 ⋅ 3 ((− 2 − h) + 2) 2

5

9 ⋅ 3 ((− 2 + h) + 2)

5

=−

2

=

2

5 9 ⋅ 3 h5 9 ⋅ 3 (− h) 2 =− <0 3 5 9⋅ h

>0

Druga derivacija mijenja predznak u okolini točke x 0 i to : y ′′(x ) > 0 lijevo od točke x 0 , a

y ′′(x ) < 0 desno od x 0 , što znači da je x 0 apscisa točke infleksije.

y(− 2) = 3 − 2 + 2 = 0 Točka Ι = (− 2,0 ) je točka infleksije.

140


Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu (− ∞,−2) graf funkcije je konveksan, u intervalu (− 2,+∞ ) graf funkcije je konkavan

(3) y =

1 x−3

D f = R \ {3} y ′( x ) = − y ′′( x ) =

1

(x − 3 )2 2

(x − 3 )3 D f ′ = D f ′′ = R \ {3} N.U. : y ′′(x 0 ) = 0 ili y ′′(x 0 ) ne postoji

y ′′( x ) =

2

(x − 3 )3

≠ 0 , ∀x ∈ R \ {3}

Druga derivacija nije definirana u točki x 0 = 3 , no kako ni sama funkcija nije definirana u toj točki, nema točke infleksije. Da bi odredili intervale konveksnosti, konkavnosti promatramo ponašanje druge derivacije u okolini točke x 0 = 3 . Odaberemo h, 0
y ′′(x 0 − h) = y ′′(3 − h) = y ′′(x 0 + h) = y ′′(3 + h) =

2

((3 − h) − 3)

3

2

((3 + h) − 3)

3

= =

2

(− h)

3

=−

2 <0 h3

2 >0 h3


y ′′(x ) > 0 desno od x 0 .

Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu (− ∞,3 ) graf funkcije je konkavan, u intervalu (3,+∞ ) graf funkcije je konveksan.

(4) y = x ⋅ e x

y ′( x ) = (1 + x ) ⋅ e x

y ′′( x ) = (2 + x ) ⋅ e x D f = D f ′ = D f ′′ = R


141

N.U. : y ′′(x 0 ) = 0 ili y ′′(x 0 ) ne postoji

y ′′( x ) = (2 + x ) ⋅ e x = 0 ⇒ x 0 = −2

D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
y ′′(x 0 − h) = y ′′(− 2 − h) = (2 + (− 2 − h)) ⋅ e −2−h = −h ⋅ e −2−h < 0 y ′′(x 0 + h) = y ′′(− 2 + h) = (2 + (− 2 + h)) ⋅ e −2+h = h ⋅ e −2+h > 0



y(− 2) = (− 2) ⋅ e −2  

Točka Ι =  − 2,−

2   je točka infleksije. e2 

Intervali konveksnosti, konkavnosti : u intervalu (− ∞,−2) graf funkcije je konkavan, u intervalu (− 2,+∞ ) graf funkcije je konveksan.

ZADACI ZA VJEŽBU 1. Odredite intervale konveksnosti, konkavnosti za funkcije : (1) y = e (2) y =

−

1 x

3 − x2 x+2

2. Odredite točke infleksije za funkcije : (1) y = x ⋅ 2 − x 2 (2) y = e

−

1 x

(3) y =

x2 − x4 2

(4) y =

x2 −1 x2 + 1

(5) y =

x3 + 1 x2

(6) y =

x 2 − 2x + 1 x2 + 1

142


R. 1.

 

1 2

1 2

 

(1) (− ∞,0 ) ∪  0, ...konkavan,  ,+∞ ...konveksan (2) (− ∞,−2)...konkavan , (− 2,+∞ )...konveksan 2. (1) Ι = (0,0 )

1 1   2 2 e 

(2) Ι =  ,

  

 6 5  6 5  ,  , Ι 2 =  ,  6 72  6 72  

  

 3 1 3 1  ,  ,−  , Ι 2 =  3 2 3 2 

(3) Ι 1 =  −

(4) Ι 1 =  −

(5) Ι = (− 1,0 ) (6) Ι = (0,1)

5.15. Asimptote Primjer 1. Odredite asimptote krivulje :

x 2 − 6x + 3 (1) y = x−3 2 x +1 (2) y = x2 −1 R.

x 2 − 6x + 3 x−3 D f = R \ {3}

(1) y =

Pravac x = 3 je vertikalna asimptota jer vrijedi :

x 2 − 6 x + 3 9 − 18 + 3 − 6 = = = −∞ x →3 x−3 0 0

lim


143

Pravac y = x − 3 je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :

x 2 − 6x + 3 x 2 − 6x + 3  ∞  2x − 6  ∞  2 x−3 lim =   = lim = 1 =   = lim = lim 2 x → ±∞ x → ±∞ x x − 3x  ∞  x → ±∞ 2 x − 3  ∞  x → ±∞ 2  x 2 − 6 x + 3 − x ⋅ (x − 3 )   x 2 − 6x + 3  −3  − 3x + 3   = lim  lim  = −3 − 1⋅ x  = lim   = lim x → ±∞ x −3 x −3  x →±∞ x − 3  x →±∞ 1   x →±∞

(2) y =

x2 + 1

x2 −1 D f = R \ [-1,1] = (− ∞,−1) ∪ (1,+∞ )

Pravac x = 1 je vertikalna asimptota jer vrijedi :

lim

x →1

x2 +1 x −1 2

=

1+ 1 1− 1

=

2 = +∞ 0

Pravac x = −1 je vertikalna asimptota jer vrijedi :

lim

x → −1

x2 + 1 x2 −1

=

1+ 1 1− 1

=

2 = +∞ 0

Pravac y = x je desna kosa asimptota :

x2 + 1

1  2  x ⋅ 1 +   x2  x 2 − 1 = lim x + 1 = lim  =1 x → +∞ x 1 x ⋅ x 2 − 1 x → +∞ x ⋅ x ⋅ 1− 2 x 2

lim

x → +∞

144


 x2 + 1  x 2 + 1− x ⋅ x 2 − 1   lim − 1⋅ x  = lim = 2 x → +∞  x → +∞ x2 −1  x −1 

(x = lim

2

x → +∞

)

( (

) )

3x + 1 2

= lim

x → +∞

(

)

2

(

)

(

)

+1 − x ⋅ x2 −1 x2 + 1 + x ⋅ x2 −1 x2 + 1 − x2 ⋅ x2 −1 ⋅ = lim = x2 −1 x 2 + 1 + x ⋅ x 2 − 1 x → +∞ x 2 − 1 ⋅ x 2 + 1 + x ⋅ x 2 − 1

(

)

x2 ⋅ x2 −1 + x2 −1 + x ⋅ x2 −1

((

)

)

2

3x 3 3 = lim = =0 3 x → +∞ 2 x x → +∞ 2 x ∞

= lim

Pravac y = − x je lijeva kosa asimptota :

x2 + 1 lim

x → −∞

1   x 2 ⋅ 1 + 2  x  x − 1 = lim x + 1 = lim  = −1 x → −∞ x 1 x ⋅ x 2 − 1 x → −∞ x ⋅ x ⋅ 1− 2 x 2

2

 x2 + 1  x 2 + 1+ x ⋅ x 2 − 1 lim  + 1⋅ x  = lim = 2 x → −∞ x → −∞ x2 −1  x −1 

(x = lim x → −∞

= lim

x → −∞

2

)

( (

) )

(

)

2

x2 + 1 − x2 ⋅ x2 −1 +1 + x ⋅ x2 −1 x2 + 1 − x ⋅ x2 −1 = ⋅ = lim x2 −1 x 2 + 1 − x ⋅ x 2 − 1 x → −∞ x 2 − 1 ⋅ x 2 + 1 − x ⋅ x 2 − 1 3x 2 + 1

(

)

x2 ⋅ x2 −1 + x2 −1 − x ⋅ x2 −1

((

)

3 3 3x 2 = lim = =0 x → −∞ − 2 x 3 x → −∞ − 2 x ∞

= lim

)


ZADACI ZA VJEŽBU Odredite asimptote krivulje : 1

(1) y = e x (2) y =

x 2 − 2x − 3 9 − x2

3 − x2 (3) y = x+2 (4) y =

2x 3 + 1 x2

(5) y =

x 2 − 2x + 4 x2 + x − 2

(6) y =

x2 x −1

(7) y =

x2 − x − 6 2−x

(8) y =

x3

2 ⋅ (x + 1)

2

R. (1) x = 0 , y = 1 (2) x = −3 , y = −1 (3) x = −2 , y = − x + 2 (4) x = 0 , y = 2x (5) x = −2 , x = 1 , y = 1 (6) x = 1 , y = x + 1 (7) x = 2 , y = − x − 1 (8) x = −1 , y =

1 x −1 2

145

146


5.16. Ispitivanje toka i crtanje kvalitativnog grafa funkcije Primjer 1. Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju y =

x3

(x − 1)2

.

R. 1. područje definicije

D f = R \ {1}

2. sjecišta s koordinatnim osima : x-osi (y=0)... y-osi (x=0)...

0=

x3

(x − 1)2

⇒ x = 0 ⇒ T = (0,0 )

x=0 ⇒ y=

03

(0 − 1)2

= 0 ⇒ y = 0 ⇒ T = (0,0 )

3. asimptote Pravac x = 1 je vertikalna asimptota jer vrijedi :

lim

x →1

x3

(x − 1)

2

=

13

(1 − 1)

2

=

1 =∞ 0

Pravac y = x + 2 je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna :

x3

lim

(x − 1)2

x → ±∞

x

= lim

x → ±∞

x3

x ⋅ (x − 1)

2

2 x2 2x ∞ =   = lim = lim = 1 x → ±∞ x 2 − 2 x + 1 x → ±∞ x → ±∞ 2x 2 ∞

= lim

2  x 3 − x ⋅ (x − 1)2   x3     = lim  2x − x  = lim 4 x = 2   − ⋅ lim  1 x = lim 2 2 2   x →±∞  x →±∞ x − 2x + 1 x →±∞ 2x x → ±∞ (x − 1)    (x − 1)   

4. ekstremi

y ′( x ) = y ′′( x ) =

x 2 ⋅ (x − 3 )

(x − 1)3 6x

(x − 1)4

D f ′ = D f ′′ = R \ {1} N.U. : y ′(x 0 ) = 0 ili y ′(x 0 ) ne postoji

x 2 ⋅ (x − 3 )

(x − 1)3

= 0 ⇒ x1 = 0 , x 2 = 3


147

y ′(x 0 ) ne postoji za x 0 = 1 , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: y ′′(x 0 ) ≠ 0

y ′′(0 ) = y ′′(3 ) =

6⋅0

(0 − 1)4 6⋅3

(3 − 1)

4

 

=0 ⇒ =

Točka Tmin =  3,

u x 1 = 0 funkcija ne postiže ekstrem

18 >0 ⇒ 16

za x 2 = 3 funkcija postiže minimum y min =

27 4

27   je točka minimuma. 4 

5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0
(0 − h)2 ⋅ ((0 − h) − 3) = h 2 ⋅ (− h − 3) > 0 ((0 − h) − 1)3 (− h − 1)3 2 ( 0 + h) ⋅ ((0 + h) − 3 ) h 2 ⋅ (h − 3 ) y ′(x 1 + h) = y ′(0 + h) = = >0 ((0 + h) − 1)3 (h − 1)3 (3 − h)2 ⋅ ((3 − h) − 3) = (3 − h)2 ⋅ (− h) < 0 y ′(x 2 − h) = y ′(3 − h) = ((3 − h) − 1)3 (2 − h)3 2 2 ( 3 + h) ⋅ ((3 + h) − 3 ) (3 + h) ⋅ h y ′(x 2 + h) = y ′(3 + h) = = >0 ((3 + h) − 1)3 (2 + h)3 y ′(x 1 − h) = y ′(0 − h) =

Intervali monotonosti :

u intervalu (− ∞,1) ∪ (3,+∞ ) f raste u intervalu (1,3 ) f pada

6. točke infleksije, intervali konveksnosti, konkavnosti N.U. : y ′′(x 0 ) = 0 ili y ′′(x 0 ) ne postoji

y ′′( x ) =

6x

(x − 1)4

= 0 ⇒ x0 = 0

y ′′(x 0 ) ne postoji za x 0 = 1 , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke infleksije. D.U. : druga derivacija y ′′ mijenja predznak u okolini točke x 0 Odaberemo h, 0
y ′′(x 0 − h) = y ′′(0 − h) =

6 ⋅ (0 − h)

=

− 6h

<0

((0 − h) − 1) (− h − 1)4 6 ⋅ (0 + h) 6h y ′′(x 0 + h) = y ′′(0 + h) = = >0 4 ((0 + h) − 1) (h − 1)4 4

148




y(0 ) =

03

(0 − 1)2

=0

Točka Ι = (0,0 ) je točka infleksije. Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu (− ∞,0 ) graf funkcije je konkavan, a u intervalu (0,1) ∪ (1,+∞ ) graf funkcije je konveksan.

Primjer 2. Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju y = x ⋅ arctgx . R. 1. područje definicije

Df = R 2. sjecišta s koordinatnim osima : x-osi (y=0)... 0 = x ⋅ arctgx ⇒ x = 0 ⇒ T = (0,0 ) y-osi (x=0)...

x = 0 ⇒ y = 0 ⋅ arctg0 = 0 ⇒ y = 0 ⇒ T = (0,0 )


149

3. asimptote

π ⋅ x − 1 je desna kosa asimptota : 2 π x ⋅ arctgx = lim arctgx = lim x → +∞ x → +∞ x 2

Pravac y =

π   arctgx −  π  π 2 0   lim  x ⋅ arctgx − ⋅ x  = (∞ − ∞ ) = lim x ⋅  arctgx −  = (∞ ⋅ 0 ) = lim  = = x → +∞ x x → +∞ → +∞ 1 2  2   0 x 1 2 − x2 − 2x = lim 1 + x = lim = lim = −1 2 x → +∞ x → +∞ 1 + x x → +∞ 2 x 1 − 2 x

π ⋅ x − 1 je lijeva kosa asimptota : 2 π x ⋅ arctgx = lim arctgx = − lim x → −∞ x → −∞ x 2

Pravac y = −

π   arctgx +  π  π 2 0   lim  x ⋅ arctgx + ⋅ x  = (∞ − ∞ ) = lim x ⋅  arctgx +  = (∞ ⋅ 0 ) = lim  = = x → −∞ x x → −∞ → −∞ 1 2  2   0 x 1 2 − 2x − x2 = lim 1 + x = lim = lim = −1 2 x → −∞ x → −∞ 1 + x x → −∞ 2 x 1 − 2 x 4. ekstremi

y ′( x ) = arctgx + y ′′( x ) =

x 1+ x 2

2

(1 + x )

2 2

D f ′ = D f ′′ = R N.U. : y ′(x 0 ) = 0 ili y ′(x 0 ) ne postoji

arctgx +

(

)

x arctgx ⋅ 1 + x 2 + x = = 0 ⇒ x0 = 0 1+ x 2 1+ x 2

D.U.: y ′′(x 0 ) ≠ 0

y ′′(0 ) =

2

(1 + 0 )

2 2

= 2 > 0 ⇒ za x 0 = 0 funkcija postiže minimum y min = 0

150


Točka Tmin = (0,0 ) je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0
(0 − h) 2 1 + (0 − h) (0 + h) y ′(x 0 + h) = y ′(0 + h) = arctg(0 + h) + 2 1 + (0 + h)

y ′(x 0 − h) = y ′(0 − h) = arctg(0 − h) +


−h <0 1+ h2 h = arctgh + >0 1+ h2

= arctg(− h) +

u intervalu (− ∞,0 ) f pada u intervalu (0,+∞ ) f raste


y ′′( x ) =

2

(1 + x )

2 2

≠ 0, ∀x ∈ R ⇒ funkcija nema točke infleksije

y ′′( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇒ graf funkcije je konveksan


151

Primjer 3. 1

Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkciju y = x ⋅ e x . R. 1. područje definicije

D f = R \ {0}

2. sjecišta s koordinatnim osima : 1

x-osi (y=0)... y-osi (x=0)...

0 = x ⋅ e x ⇒ x = 0 , no D f = R \ {0} , što znači da funkcija ne siječe x-os D f = R \ {0} , što znači da funkcija ne siječe y-os

3. asimptote Pravac x = 0 je vertikalna asimptota, jer vrijedi :

 1 1  ex   lim x ⋅ e x  = (0 ⋅ ∞ ) = lim x →0 x → 0 1     x

1  1   − ex ⋅ 2  ∞ x  =   = lim  x 0 → 1 ∞      − 2  x 

  1 1  = lim e x  = e 0 = e ∞ = ∞  x →0     

Pravac y = x + 1 je kosa asimptota, ujedno lijeva i desna, jer vrijedi : 1 x

1

x⋅e lim = lim e x = e 0 = 1 x → ±∞ x → ±∞ x

  1x 1  1  e − 1 x  − ⋅ e 1 1        = lim  x2 lim  x ⋅ e x − 1⋅ x  = lim x ⋅  e x − 1 = lim  x → ±∞ x → ±∞ x → ±∞ x → ±∞ 1 1      − 2 x x  4. ekstremi

y ′( x ) =

1

x −1 x ⋅e x 1 x

e x3 D f ′ = D f ′′ = R \ {0} y ′′( x ) =

N.U. : y ′(x 0 ) = 0 ili y ′(x 0 ) ne postoji 1

x −1 x ⋅ e = 0 ⇒ x0 = 1 x

  1  = lim e x = e 0 = 1  x →±∞  

152


y ′(x 0 ) ne postoji za x 0 = 0 , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada kao moguća apscisa točke ekstrema. D.U.: y ′′(x 0 ) ≠ 0

y ′′(1) =

e1 =e>0 ⇒ 13

za x 0 = 1 funkcija postiže minimum y min = e

Točka Tmin = (1, e ) je točka minimuma. 5. intervali monotonosti Odaberemo h, 0
1 1 ( 0 − h ) − 1 0 −h − h − 1 −h y ′(0 − h) = ⋅e = ⋅e > 0 (0 − h) −h 1 1 ( 0 + h ) − 1 0 +h h − 1 h y ′(0 + h) = ⋅e = ⋅e < 0 (0 + h) h 1 1 ( 1 − h) − 1 1−h − h 1−h y ′(1 − h) = ⋅e = ⋅e < 0 (1 − h) 1− h 1 1 ( 1 + h) − 1 1+h h 1 + y ′(1 + h) = ⋅e = ⋅e h > 0 (1 + h) 1+ h

u intervalu (− ∞,0 ) ∪ (1,+∞ ) f raste


u intervalu (0,1) f pada


y ′′( x ) =

y ′′(x 0 )

1 x

e ≠ 0 , ∀x ∈ D f x3 ne postoji za x 0 = 0 , ali kako i sama funkcija ima prekid u toj točki, ta točka otpada

kao moguća apscisa točke infleksije. Funkcija nema točke infleksije. Odaberemo h, 0
y ′′(0 − h) =

e

1 0 −h

(0 − h)

3

1

y ′′(0 + h) =

e 0 +h

(0 + h)3

=

e

1 −h

(− h)3

<0

1

eh = 3 >0 h


153

Intervali konveksnosti, konkavnosti : U intervalu (− ∞,0 ) graf funkcije je konkavan, a u intervalu (0,+∞ ) graf funkcije je konveksan.

154


ZADACI ZA VJEŽBU Ispitajte tok i nacrtajte kvalitativni graf za funkcije :

x2 x−2 x3 + 1 (2) y = x2 x2 − x − 6 (3) y = x−2

(1) y =

(4) y = 1 − x 3 3

(5) y = x ⋅ e x − x R. (1)

(2)

2

Zbirka zadataka iz Matematike 1 (3)

(4)

(5)

155

156


5.17. Zakrivljenost krivulje Primjer 1. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje y( x ) =

1 u točki T = (2,1) . x −1

R.

y( x ) = y ′( x ) =

1 x −1 −1

y ′′( x ) =

⇒

y ′( 2) =

⇒

y ′′( 2) =

2

(x − 1)

3

y ′′(x )

k=

R=

(x − 1)

2

(1 + (y ′(x )) )

2 3

=

−1

= −1

(2 − 1)2 2

(2 − 1)3

2

(1 + (− 1) )

2 3

=2

2

=

2

3

=

2 2 2

=

1 2

=

2 2

1 1 2 = = = 2 k 2 2 2

Primjer 2. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje y( x ) = ln x R. Sjecište s x-osi :

y=0

 ⇒ x =1 y = ln x  y( x ) = ln x 1 1 y ′( x ) = ⇒ y ′(1) = = 1 x 1 −1 −1 y ′′( x ) = 2 ⇒ y ′′(1) = 2 = −1 1 x

k= R=

y ′′(x )

(1 + (y′(x )) )

2 3

=

−1

(1 + 1 )

1 1 4 = = =2 2 k 2 2 4

2 3

=

−1 2

3

=

−1 2 2

=−

2 4

u sjecištu s x-osi.


157

Primjer 3. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti parametarski zadane krivulje točki t = 0 .

  y = t ⋅ e t  x = et

R.

x = e t ⇒ x& = e t , &x& = e t x& (0 ) = e 0 = 1 , &x&(0 ) = e 0 = 1 y = t ⋅ e t ⇒ y& = e t + t ⋅ e t , &y& = e t + e t + t ⋅ e t = 2 ⋅ e t + t ⋅ e t y& (0 ) = e 0 + 0 ⋅ e 0 = 1 , &y&(1) = 2 ⋅ e 0 + 0 ⋅ e 0 = 2 k=

R=

x& ⋅ &y& − y& ⋅ &x&

(x&

2

+ y&

)

2 3

=

1 ⋅ 2 − 1⋅ 1

(1

2

)

2 3

+1

=

1 2

3

=

1 2 2

=

2 4

1 1 4 = = =2 2 k 2 2 4

Primjer 4. Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulje x 2 + xy + y 2 = 3 R.

x 2 + xy + y 2 = 3 2 ⋅ x + y + x ⋅ y′ + 2 ⋅ y ⋅ y′ = 0 2 + y ′ + y ′ + x ⋅ y ′′ + 2 ⋅ y ′ ⋅ y ′ + 2 ⋅ y ⋅ y ′′ = 0

2 ⋅ x + y + x ⋅ y ′ + 2 ⋅ y ⋅ y ′ = 0 / (x = 1, y = 1) 2 ⋅ 1 + 1 + 1⋅ y ′ + 2 ⋅ 1⋅ y ′ = 0 3 y ′ = −3 ⇒ y ′ T =(1,1) = −1 2 + y ′ + y ′ + x ⋅ y ′′ + 2 ⋅ y ′ ⋅ y ′ + 2 ⋅ y ⋅ y ′′ = 0 / (x = 1, y = 1) 2 + (− 1) + (− 1) + 1⋅ y ′′ + 2 ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 1⋅ y ′′ = 0 3 y ′′ = −2 ⇒ y ′′ T =(1,1) = −

2 3

u točki T = (1,1) .

u

158


y ′′(x )

k=

(1 + (y ′(x )) )

2 3

R=

=

−

2 3

=

(1 + (− 1) )

2 3

2 2 − 3 = 3 =− 1 =− 2 6 3 2 23 2 2

−

1 1 6 = = =3 2 k 2 2 6

ZADACI ZA VJEŽBU Odredite zakrivljenost i radijus zakrivljenosti krivulja : (1) y = arctg 1 +

 

1  u sjecištu s pravcem x = −1 x

(2) e y + xy = e

u točki T = (0,1)

x = t + e t  (3)  u točki T = (1,0 ) y = t ⋅ e t  (4)

x = a ⋅ cos t  π  u točkama t 1 = 0 , t 2 = 2 y = b ⋅ sin t 

2t  t + 2  (5)  u točki T = (1,2) t  y= t − 1  x=

R. (1) k = − (2) k =

2 , R= 2 2

e

(e

2

)

+1

3

, R=

(e

)

+1 e

2

3

3 5 5 5 , R= 25 3 a b2 (4) t 1 = 0 ⇒ k = − 2 , R = a b π b a2 t2 = ⇒ k=− 2 , R= 2 b a 17 17 (5) R = 24 (3) k =


159

6. NUMERIČKE METODE ZA PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE JEDNADŽBI 6.1. Metoda sekante (regula falsi) Primjer 1. Metodom sekante na intervalu [0,1] točnošću na bar tri decimale.

nađite realni korijen jednadžbe

x 3 + 3x − 1 = 0

R. Stavimo x 0 = a

i x 1 = b , zatim računamo niz

x n+1 = x n −

(x n ) , n = 2,3,4,...

po formuli :

xk − xn ⋅ f (x n ) , f (x k ) − f (x n )

gdje je x k ona prethodna aproksimacija, za koju je f (x n ) ⋅ f (x k ) < 0 .

Definiramo :

f (x ) = x 3 + 3 x − 1

Odaberemo : x 0 = 0 , x 1 = 1 Izračunamo : f (0 ) = −1 , f (1) = 3 Računamo daljne aproksimacije :

x 2 = x1 −

x 2 − x1 1− 0 ⋅ f (x 1 ) = 1 − ⋅ 3 = 0.25 f (x 2 ) − f (x 1 ) 3 − (− 1)

f (0.25 ) = −0.234 f (1) ⋅ f (0.25 ) < 0 ⇒ x k = x 1 = 1

x3 = x2 −

x1 − x 2 1 − 0.25 ⋅ f (x 2 ) = 0.25 − ⋅ (− 0.234 ) = 0.304 f (x 1 ) − f (x 2 ) 3 − (− 0.234 )

f (0.304 ) = −0.06 f (1) ⋅ f (0.25 ) < 0 ⇒ x k = x 1 = 1

x4 = x3 −

x1 − x 3 1 − 0.304 ⋅ f (x 3 ) = 0.304 − ⋅ (− 0.06 ) = 0.318 f (x 1 ) − f (x 3 ) 3 − (− 0.06 )

f (0.318 ) = −0.014 f (1) ⋅ f (0.25 ) < 0 ⇒ x k = x 1 = 1

s

160


x5 = x4 −

x1 − x 4 1 − 0.318 ⋅ f (x 4 ) = 0.318 − ⋅ (− 0.014 ) = 0.321 f (x 1 ) − f (x 4 ) 3 − (− 0.014 )

f (0.321) = −0.004 f (1) ⋅ f (0.25 ) < 0 ⇒ x k = x 1 = 1

x6 = x5 −

x1 − x 5 1 − 0.321 ⋅ f (x 5 ) = 0.321 − ⋅ (− 0.004 ) = 0.322 f (x 1 ) − f (x 5 ) 3 − (− 0.004 )

f (0.322 ) = −0.0006

10 8 6 4 2 f( x)

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

Ako navedeni algoritam programiramo u nekom od programskih jezika, računalo će koristiti veći broj znamenaka, pa ako dobro odaberemo početni interval, već nakon nekoliko koraka doći ćemo do točnog (približnog) rezultata.

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7

0.00000 0.25000 0.30435 0.31771 0.32106 0.32190 0.32211

-1.00000 -0.23438 -0.05877 -0.01479 -0.00372 -0.00094 -0.00024

1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000

0.25000 0.30435 0.31771 0.32106 0.32190 0.32211 0.32217

-0.23438 -0.05877 -0.01479 -0.00372 -0.00094 -0.00024 -5.94774e-5


161

Primjer 2. Metodom sekante nađite realne korijene sljedećih jednadžbi : (1) x 3 − 2 x − 5 = 0 (2) x 5 − x − 2 = 0 (3) x 3 − x + 1 = 0 R. (1) f ( x ) = x 3 − 2x − 5 na [2,3]

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.00000 2.05882 2.08126 2.08964 2.09274 2.09388 2.09431 2.09446 2.09452 2.09454

-1.00000 -0.39080 -0.14720 -0.05468 -0.02020 -0.00745 -0.00275 -0.00101 -0.00037 -0.00014

3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000

16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000 16.00000

2.05882 2.08126 2.08964 2.09274 2.09388 2.09431 2.09446 2.09452 2.09454 2.09455

-0.39080 -0.14720 -0.05468 -0.02020 -0.00745 -0.00275 -0.00101 -0.00037 -0.00014 -5.05686e-5

0

6

10 8 6 4 2 f( x)

10

8

6

4

2 2 4 6 8 10

2

4

8

10

162


(2) f ( x ) = x 5 − x − 2 na [1,2]

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1.00000 1.06667 1.11967 1.16045 1.19096 1.21330 1.22937 1.24079 1.24883 1.25446 1.25838 1.26109 1.26298 1.26428 1.26517 1.26579 1.26622 1.26652 1.26672 1.26686 1.26696 1.26702 1.26707 1.26710 1.26712 1.267146 1.267153 1.267157

-2.00000 -1.68583 -1.35993 -1.05607 -0.79496 -0.58404 -0.42127 -0.29979 -0.21127 -0.14786 -0.10298 -0.07148 -0.04950 -0.03422 -0.02363 -0.01630 -0.01124 -0.00775 -0.00534 -0.00368 -0.00254 -0.00175 -0.00120 -0.00083 -0.00057 -0.00039 -0.00019 -0.00013

2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000 2.00000

28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000 28.00000

1.06667 1.11967 1.16045 1.19096 1.21330 1.22937 1.24079 1.24883 1.25446 1.25838 1.26109 1.26298 1.26428 1.26517 1.26579 1.26622 1.26652 1.26672 1.26686 1.26696 1.26702 1.26707 1.26710 1.26712 1.267146 1.267153 1.267157 1.267161

-1.68583 -1.35993 -1.05607 -0.79496 -0.58404 -0.42127 -0.29979 -0.21127 -0.14786 -0.10298 -0.07148 -0.0495 -0.03422 -0.02363 -0.01630 -0.01124 -0.00775 -0.00534 -0.00368 -0.00254 -0.00175 -0.0012 -0.00083 -0.00057 -0.00039 -0.00019 -0.00013 -8.85003e-5

4 3 2 1 f( x)

3

2

1

0 1 2 3 4

1

2

3

4

5


163

(3) f ( x ) = x 3 − x + 1 na [− 2,−1]

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1.00000 -1.16667 -1.25311 -1.29344 -1.31128 -1.31899 -1.32228 -1.32368 -1.32428 -1.32453 -1.32464 -1.32468

1.00000 0.57870 0.28536 0.12954 0.05659 0.02430 0.01036 0.00440 0.00187 0.00079 0.00034 0.00014

-2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000 -2.00000

-5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000 -5.00000

-1.16667 -1.25311 -1.29344 -1.31128 -1.31899 -1.32228 -1.32368 -1.32428 -1.32453 -1.32464 -1.32468 -1.32470

0.57870 0.28536 0.12954 0.05659 0.02430 0.01036 0.00440 0.00187 0.00079 0.00034 0.00014 6.0475e-5

10 8 6 4 2 f( x)

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

164


6.2. Metoda tangente (Newtonova metoda) Primjer 1. Metodom tangente nađite realni korijen jednadžbe x 3 − 3 x − 5 = 0 R. Izaberemo x 1 ∈ [a, b ] , i računamo niz

(x n ) , n = 2,3,4,...

x n +1 = x n −

s točnošću 0.001.

po formuli :

f (x n ) , n = 1,2,3,... f ′(x n )

f ( x ) = x 3 − 3x − 5 Odaberemo : x 1 = 3 Izračunamo : f ′( x ) = 3 x 2 − 3

Definiramo :

Računamo aproksimacije :

x 2 = x1 − x3 = x2 −

f (x 1 ) 27 − 9 − 5 13 =3− =3− = 2.46 f ′(x 1 ) 27 − 3 24

f (x 2 ) 14 .89 − 7.38 − 5 = 2.46 − = 2.46 − 0.165 = 2.295 18 .16 − 3 f ′(x 2 )

f (x 3 ) 12 .088 − 6.885 − 5 = 2.295 − = 2.295 − 0.016 = 2.279 f ′(x 3 ) 15 .801 − 3 f (x 4 ) 11 .837 − 6.837 − 5 0 x5 = x4 − = 2.279 − = 2.279 − = 2.279 f ′(x 4 ) 15 .582 − 3 12 .582

x4 = x3 −

10 8 6 4 2 f( x)

10

8

6

4

2

0 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10


165

Računajući s većim brojem znamenaka, dobivamo : xi 3.00000 2.45833 2.29431 2.27914 2.27902

i 1 2 3 4 5

f(xi) 13.00000 2.48170 0.19400 0.00158 1.07752e-7

f'(xi) 24.00000 15.13021 12.79158 12.58350 12.58178

hi=-f(xi) / f'(xi) -0.54167 -0.16402 -0.01517 -0.00013 -8.56413e-9

xi+1= xi+ hi 2.45833 2.29431 2.27914 2.27902 2.27902

Primjer 2. Metodom tangente nađite rješenja jednadžbi :

1 na intervalu [− π, π] x sin x = x 2 2 x = 4x e x = 4 − e −3 x 0. 2 ⋅ e x = 1 − x 2 1 log x = x ln x = 2x − 4

(1) tgx = (2) (3) (4) (5) (6) (7) R.

(1) f ( x ) = tgx − i 1 2 3

i 1 2 3

i 1 2 3 4 5 6

1 x xi -π -3.43062 -3.42562

f(xi) 0.31831 -0.00586 -7.39415e-6

f'(xi) 1.10132 1.17339 1.17044

hi=-f(xi) / f'(xi) -0.28903 0.00499 6.31743e-6

xi+1= xi+ hi -3.43062 -3.42562 -3.42562

xi π 3.43062 3.42562

f(xi) -0.31831 0.00586 7.39415e-6

f'(xi) 1.10132 1.17339 1.17044

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.28903 -0.00499 -6.31743e-6

xi+1= xi+ hi 3.43062 3.42562 3.42562

xi -0.10000 -0.19801 -0.38070 -0.65694 -0.84892 -0.86037

f(xi) 9.89967 4.84970 2.22655 0.75100 0.04212 -0.00014

f'(xi) 101.01007 26.54612 8.06008 3.91189 3.67777 3.70215

hi=-f(xi) / f'(xi) -0.09801 -0.18269 -0.27624 -0.19198 -0.01145 3.65517e-5

xi+1= xi+ hi -0.19801 -0.38070 -0.65694 -0.84892 -0.86037 -0.86033

166


i 1 2 3 4 5 6

xi 0.10000 0.19801 0.38070 0.65694 0.84892 0.86037

f1 ( x ) = tgx , f 2 ( x ) =

f(xi) -9.89967 -4.84970 -2.22655 -0.75100 -0.04212 0.00014

f'(xi) 101.01007 26.54612 8.06008 3.91189 3.67777 3.70215

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.09801 0.18269 0.27624 0.19198 0.01145 -3.65517e-5

xi+1= xi+ hi 0.19801 0.38070 0.65694 0.84892 0.86037 0.86033

1 x 6.28 4.71 3.14 1.57

f1( x) f2( x)

6.28 4.71

3.14

1.57

0

1.57

3.14

4.71

6.28

1.57 3.14 4.71 6.28

(2) f ( x ) = sin x − x 2

i 1 2 3 4

i 1 2 3 4 5

xi 0.10000 -0.01300 -0.00016 -2.68703e-8

f(xi) 0.08983 -0.01317 -0.00016 -2.68703e-8

f'(xi) 0.79500 1.02591 1.00033 1.00000

hi=-f(xi) / f'(xi) -0.11300 0.01283 0.00016 2.68703e-8

xi+1= xi+ hi -0.01300 -0.00016 -2.68703e-8 0.00000

xi π 1.78647 1.20166 0.95131 0.88262

f(xi) -9.86960 -2.21465 -0.51135 -0.09081 -0.00661

f'(xi) -7.28319 -3.78695 -2.04251 -1.32200 -1.13010

hi=-f(xi) / f'(xi) -1.35512 -0.58481 -0.25035 -0.06869 -0.00585

xi+1= xi+ hi 1.78647 1.20166 0.95131 0.88262 0.87677


167

f1 ( x ) = sin x , f 2 ( x ) = x 2

6.28 4.71 3.14 1.57

f1( x) f2( x)

6.28 4.71

3.14

1.57

0

1.57

3.14

4.71

6.28

1.57 3.14 4.71 6.28

(3) f ( x ) = 2 x − 4 x

f1 ( x ) = 2 x , f 2 ( x ) = 4 x

18 16 14 12 10

f1( x)

8

f2( x)

6 4 2 10

8

6

4

2

0 2

2

4

6

8

10

168


i 1 2 3

i 1 2 3 4 5 6 7

xi 0.00000 0.30240 0.30990

f(xi) 1.00000 0.02359 1.66896e-5

f'(xi) -3.30685 -3.14521 -3.14076

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.30240 0.00750 5.31388e-6

xi+1= xi+ hi 0.30240 0.30990 0.30991

xi 3.00000 5.58870 4.71091 4.19189 4.01785 4.00017 4.00000

f(xi) -4.00000 25.76970 7.34568 1.50857 0.12779 0.00121 1.12152e-7

f'(xi) 1.54518 29.35736 14.15304 8.66804 7.22842 7.09167 7.09036

hi=-f(xi) / f'(xi) 2.58870 -0.87779 -0.51902 -0.17404 -0.01768 -0.00017 -1.58176e-8

xi+1= xi+ hi 5.58870 4.71091 4.19189 4.01785 4.00017 4.00000 4.00000

xi -1.00000 -0.72527 -0.52123 -0.42147 -0.40170 -0.40103

f(xi) 16.45342 5.29343 1.37020 0.19712 0.00624 6.84517e-6

f'(xi) -59.88873 -25.94351 -13.73546 -9.96704 -9.34198 -9.32150

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.27473 0.20404 0.09976 0.01978 0.00067 7.34342e-7

xi+1= xi+ hi -0.72527 -0.52123 -0.42147 -0.40170 -0.40103 -0.40103

xi 1.00000 1.47955 1.38707 1.38235

f(xi) -1.23193 0.40279 0.01871 4.62699e-5

f'(xi) 2.56892 4.35554 3.95636 3.93680

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.47955 -0.09248 -0.00473 -1.17532e-5

xi+1= xi+ hi 1.47955 1.38707 1.38235 1.38233

(4) f ( x ) = e x + e −3 x − 4 i 1 2 3 4 5 6

i 1 2 3 4

f1 ( x ) = e x , f 2 ( x ) = 4 − e −3 x 5 4 3 2 1

f1( x) f2( x)

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5


169

(5) f ( x ) = 0.2 ⋅ e x − 1 + x 2 i 1 2 3 4 5 6 7 8

i 1 2 3 4 5

xi 0.00000 4.00000 2.63001 1.54825 0.96920 0.77999 0.75761 0.75730

f(xi) -0.80000 25.91963 8.96177 2.33773 0.46651 0.04467 0.00061 1.19376e-7

f'(xi) 0.200000 18.91963 8.03482 4.03715 2.46556 1.99626 1.94186 1.94110

hi=-f(xi) / f'(xi) 4.00000 -1.36999 -1.08176 -0.57905 -0.18921 -0.02238 -0.00031 -6.14994e-8

xi+1= xi+ hi 4.00000 2.63001 1.54825 0.96920 0.77999 0.75761 0.75730 0.75730

xi -2.00000 -1.23808 -0.99375 -0.96157 -0.96099

f(xi) 3.02707 0.59082 0.06158 0.00107 3.51403e-7

f'(xi) -3.97293 -2.41817 -1.91346 -1.84668 -1.84547

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.76192 0.24433 0.03218 0.00058 1.90413e-7

xi+1= xi+ hi -1.23808 -0.99375 -0.96157 -0.96099 -0.96099

f1 ( x ) = 0.2 ⋅ e x , f 2 ( x ) = 1 − x 2 5 4 3 2 1

f1( x) f2( x)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

(6) f ( x ) = log x − i 1 2 3 4 5

1 x xi 1.00000 1.69721 2.29329 2.49248 2.50613

f(xi) -1.00000 -0.35947 -0.07559 -0.00458 -1.84574e-5

f'4(xi) 1.43429 0.60305 0.37952 0.33521 0.33251

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.69721 0.59609 0.19919 0.01365 5.55094-5

xi+1= xi+ hi 1.69721 2.29329 2.49248 2.50613 2.50618

170


f1 ( x ) = log x , f 2 ( x ) =

1 x 4 3 2

f1( x)

1

f2( x)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4

(7) f ( x ) = ln x − 2x + 4

f1 ( x ) = ln x , f 2 ( x ) = 2x − 4

5 4 3 2 1

f1( x) f2( x)

2

1

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8


i 1 2 3 4 5 6

i 1 2 3

171

xi 0.00100 0.00392 0.01004 0.01640 0.01883 0.01902

f(xi) -2.90976 -1.55062 -0.62174 -0.14315 -0.00998 -5.34007e-5

f'(xi) 998.00000 253.38959 97.65021 58.96789 51.10761 50.56253

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.00292 0.00612 0.00637 0.00243 0.00020 1.05613e-6

xi+1= xi+ hi 0.00392 0.01004 0.01640 0.01883 0.01902 0.01903

xi 2.00000 2.46210 2.44755

f(xi) 0.69315 -0.02318 -1.75186e-5

f'(xi) -1.50000 -1.59384 -1.59143

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.46210 -0.01454 -1.10081e-5

xi+1= xi+ hi 2.46210 2.44755 2.44754

Primjer 3. Metodom sekante i tangente nađite korijene jednadžbi : (1) (2) (3) (4) (5) (6)

x 3 + 3x − 1 = 0 x 3 − 3x − 5 = 0 e −x − x = 0 x ⋅ ln x − 10 = 0 cos x − 4 x = 0 sin x − x + 2 = 0

R. (1) f ( x ) = x 3 + 3 x − 1 (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7

0.00000 0.25000 0.30435 0.31771 0.32106 0.32190 0.32211

-1.00000 -0.23438 -0.05877 -0.01479 -0.00372 -0.00094 -0.00024

1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000

0.25000 0.30435 0.31771 0.32106 0.32190 0.32211 0.32217

-0.23438 -0.05877 -0.01479 -0.00372 -0.00094 -0.00024 -5.94774e-5

(b) metoda tangente i 1 2 3 4

xi 0.00000 0.33333 0.32222 0.32219

f(xi) -1.00000 0.03704 0.00012 1.31383e-9

f'(xi) 3.00000 3.33333 3.31148 3.31141

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.33333 -0.01111 -3.68672e-5 -3.9676e-10

xi+1= xi+ hi 0.33333 0.32222 0.32219 0.32219

172


5 4 3 2 1 f( x)

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

(2) f ( x ) = x 3 − 3 x − 5 (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.00000 0.83333 1.58610 2.02064 2.19479 2.25294 2.27108 2.27661 2.27829 2.27880 2.27895 2.27900

-5.00000 -6.92130 -5.76811 -2.81164 -1.01180 -0.32351 -0.09948 -0.03023 -0.00915 -0.00277 -0.00084 -0.00025

3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000 3.00000

13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000 13.00000

0.83333 1.58610 2.02064 2.19479 2.25294 2.27108 2.27661 2.27829 2.27880 2.27895 2.27900 2.27901

-6.92130 -5.76811 -2.81164 -1.01180 -0.32351 -0.09948 -0.03023 -0.00915 -0.00277 -0.00084 -0.00025 -7.63713e-5

(b) metoda tangente i 1 2 3 4 5

xi 3.00000 2.45833 2.29431 2.27914 2.27902

f(xi) 13.00000 2.48170 0.19400 0.00158 1.07752e-7

f'(xi) 24.00000 15.13021 12.79158 12.58350 12.58178

hi=-f(xi) / f'(xi) -0.54167 -0.16402 -0.01517 -0.00013 -8.56413e-9

xi+1= xi+ hi 2.45833 2.29431 2.27914 2.27902 2.27902


173

10 8 6 4 2 f( x)

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

(3) f ( x ) = e − x − x (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

1 2 3 4 5

2.00000 0.69816 0.58148 0.56873 0.56732

-1.86466 -0.20066 -0.02241 -0.00249 -0.00028

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

f(xk) 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

xi+1

f(xi+1)

0.69816 0.58148 0.56873 0.56732 0.56716

-0.20066 -0.02241 -0.00249 -0.00028 -3.08386e-5

f1 ( x ) = e − x , f 2 ( x ) = x 7 6 5 4 3

f1( x)

2

f2( x)

1 3

2

1

0 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

174


(b) metoda tangente xi 0.00000 0.50000 0.56631 0.56714

i 1 2 3 4

f(xi) 1.00000 0.10653 0.00130 1.9648e-7

f'(xi) -2.00000 -1.60653 -1.56762 -1.56714

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.50000 0.06631 0.00083 1.25375e-7

xi+1= xi+ hi 0.50000 0.56631 0.56714 0.56714

(4) f ( x ) = x ⋅ ln x − 10 (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3

5.00000 5.72236 5.72887

-1.95281 -0.01802 -0.00015

6.00000 6.00000 6.00000

0.75056 0.75056 0.75056

5.72236 5.72887 5.72893

-0.01802 -0.00015 -1.27614e-6

(b) metoda tangente i 1 2 3

xi 5.00000 5.74836 5.72894

f(xi) -1.95281 0.05340 3.2864e-5

f'(xi) 2.60944 2.74892 2.74553

hi=-f(xi) / f'(xi) 0.74836 -0.01943 -1.197e-5

xi+1= xi+ hi 5.74836 5.72894 5.72893

f 1( x ) = x ⋅ ln x , f 2 ( x ) = 10 16 14 12 10 8

f1( x)

6

f2( x)

4 2 4

2

0 2 4

2

4

6

8

10

12

14

16


175

(5) f ( x ) = cos x − 4 x (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4

0.00000 0.22423 0.24134 0.24258

1.00000 0.07804 0.00564 0.00041

1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

-3.45970 -3.45970 -3.45970 -3.45970

0.22423 0.24134 0.24258 0.24267

0.07804 0.00564 0.00041 2.90962e-5


xi π/2 0.31416 0.24324 0.24267

f(xi) -6.28319 -0.30558 -0.00241 -1.56579e-7

f'(xi) -5.00000 -4.30902 -4.24085 -4.24030

hi=-f(xi) / f'(xi) -1.25664 -0.07092 -0.00057 -3.69264e-8

xi+1= xi+ hi 0.31416 0.24324 0.24267 0.24267

f1 ( x ) = cos x , f 2 ( x ) = 4 x 6.28 4.71 3.14 1.57

f1( x) f2( x)

6.28 4.71

3.14

1.57

0

1.57

3.14

4.71

6.28

1.57 3.14 4.71 6.28

(6) f ( x ) = sin x − x + 2 (a) metoda sekante :

i

xi

f(xi)

xk

f(xk)

xi+1

f(xi+1)

1 2 3 4

2.00000 2.49606 2.55153 2.55409

0.90930 0.10557 0.00489 0.00019

4.00000 4.00000 4.00000 4.00000

-2.75680 -2.75680 -2.75680 -2.75680

2.49606 2.55153 2.55409 2.55419

0.10557 0.00489 0.00019 7.50926e-6

176



xi π/2 3.00000 2.56840 2.55423

f(xi) 1.42920 -0.85888 -0.02608 -5.48779e-5

f'(xi) -1.00000 -1.98999 -1.84017 -1.83240

hi=-f(xi) / f'(xi) 1.42920 -0.43160 -0.01417 -2.99486e-5

xi+1= xi+ hi 3.00000 2.56840 2.55423 2.55420

f1 ( x ) = sin x , f 2 ( x ) = x − 2 6.28 4.71 3.14 1.57

f1( x) f2( x)

6.28 4.71

3.14

1.57 1.57 3.14 4.71 6.28

0

1.57

3.14

4.71

6.28


7. LITERATURA 1. T. Bradić i drugi : Matematika za tehnološke fakultete (Element , Zagreb, 1998.) 2. J.N. Bronstein, K.A. Semendjajev : Matematički priručnik (Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.) 3. B. Dakić, N. Elezović: Matematika 4, udžbenik i zbirka zadataka za 4. razred prirodoslovnih gimnazija (Element, Zagreb, 2003.) 4. B. Dakić, N. Elezović: Priručnik za nastavnike uz udžbenik Matematike 4 (Element, Zagreb, 2004.) 5. B. Dakić : Zbirka zadataka iz matematika s pismenih ispita - 4 (Element, Zagreb, 1999.) 6. B.P.Demidovič : Zadaci i riješeni primjeri iz matematičke analize (Tehnička knjiga, Zagreb, 2003.) 7. P. Javor : Matematička analiza 1 (Element, Zagreb, 1995.) 8. P. Javor : Matematička analiza – Zbirka zadataka (Školska knjiga, Zagreb, 1994.) 9. P. Javor : Matematička analiza 2 (Element, Zagreb, 2003.) 10. V.P. Minorski : Zbirka zadataka iz više matematike (Tehnička knjiga, Zagreb, 1987.) 11. Ž. Pauše : Matematički priručnik 1 (Školska knjiga, Zagreb, 2003.) 12. Ž. Pauše : Matematički priručnik 2 (Školska knjiga, Zagreb, 2004.) 13. D. Perše : Matematika I (Veleučilište u Karlovcu, Karlovac, 2004.)

177

Tevcic zbirk

Recommend Documents