Testul nr. 1 I. (6 pct.) 1. 2. 3. 4.
(3 pct.) Momentul unei forţe în raport cu un punct. Definiţie şi proprietăţi. (1 pct.) Ce se înţelege printr -o legătură şi câte tipuri de legături (fără frecare) cunoaşteţi la un rigid? (1 pct.) Definiţi mişcarea de rotaţie a solidului rigid. (1 pct.) Enunţaţi teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic în mişcarea unui sistem de puncte
materiale sau
solid rigid faţă de un punct fix. II. (6 pct.) 5. (1 pct.) de a).
Să se determine coordonatele centrului de masă pentru placa plană şi omogenă din figura 1.1 (în funcţie
a
p
P
a
O
C D
y
M
a
B
2a
300
2a
4a
Figura 1.1
2a
x
A
Figura 1.2
Figura 1.3
6. (2 pct.) Se consideră bara din figura 1.2, articulată în A şi simplu rezemată în B. Ea este acţionată pe latura AC de forţa liniar distribuită de intensitate maximă p (N/m) şi de forţa concentrată P (N) în (N) în punctul E. Dimensiunile barei fiind
cele din figură, să se determine reacţiunile din articulaţia A şi reazemul B. 7. (1 pct.) Un mobil plecând din repaus se deplasează pe o dreaptă într -o mişcare uniform accelerată. Ştiind că după t 1 10 s el atinge viteza v 1 5 m / s , ce spaţiu străbătuse el după t 0 1 s ? 8. (2 pct.) Un punct M porneşte din vârful O al unui con cu unghiul la vârf 2 şi se mişcă pe o generatoare a conului cu viteza u constantă.. În acelaşi timp, conul se roteşte în jurul axei sale de simetrie cu viteza unghiulară constantă (figura 1.3). Care este viteza absolută a punctului M după t secunde de la începutul mişcării?
Rezolvare:Testu Rezolvare:Testu nr.1
Rezolvare:Testu Rezolvare:Testu nr.1
Testul nr. 2 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Torsorul unui sistem de forţe oarecare. Definiţie şi proprietăţi. 2. (1 pct.) Ce se înţelege prin reazem simplu ? Câte grade de libertate are un rigid cu un reazem simplu? Cu ce se
înlocuieşte un reazem simplu (în cazul fără frecare) ? 3. (1 pct.) Definiţi mişcarea de translaţie a solidului rigid. 4. (1 pct.) Enunţaţi teorema impulsului în mişcarea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rig id. II. (6 pct.) 5. (1 pct.) Să se determine coordonatele centrului de masă pentru placa sunt date în cm).
plană şi omogenă din figura 2.1 (dimensiunile
Asupra unei bare cotite ABCD acţionează forţa F , de modul 100 N. Să se determine momentul forţei F faţă de punctul A (figura 2.2). Dimensiunile sunt date în cm. 6. (2 pct.)
40
y
10 A
0 2
0 1
F
D
C B
E
4
z 1 0
8
4
4
8
10
x
Figura 2.1
Figura 2.2
Acul unui ceas care indică minutele este de 1,5 ori mai lung decât acul care indică orele. Să se calculeze raportul dintre viteza liniară a vârfului acului care indică minutele şi viteza liniară a vârfului acului care indică orele. 7. (1 pct.)
8. (2 pct.)
Un cărucior se deplasează pe un drum rectiliniu cu viteza constantă v 1 u . Pe cărucior este montat un tub 1
OA având forma unei parabole de ecuaţie y x 2 (figura 2.3). În interiorul tubului se mişcă cu viteza constantă 2
v 2
2 u un punct material M. Să se determine viteza absolută a punctului M la momentul de timp la care acesta trece
prin punctul de abscisă x = 3. y A y
1 6
x2
V2
V1
M 0 2
O
x
30 Figura 2.3
Figura 3.1
Rezolvare:Test nr.2
Testul nr. 3 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Reducerea unui sistem de forţe oarecare: Torsor minimal, axă centrală. 2. (1 pct.) Ce înţelegeţi prin încastrare? Câte grade de libertate are un solid rigid încastrat ? Cu ce se înlocuieşte o încastrare? 3. (1 pct.) Definiţi mişcarea rectilinie a punctului material. 4. (1 pct.) Enunţaţi teorema momentului cinetic în mişcarea unui sistem de puncte materiale sau solid rigid în raport cu un reper fix.
II. (6 pct.) 5. (1 pct.) Să se determine poziţia centrului de masă
pentru bara omogenă din figura 3.1. Dimensiunile sunt date în cm. plane şi omogene din figura 3.2 , de greutate G = 2000 daN, acţionează forţa concentrată P = 500 daN şi forţa uniform distribuită q = 250 dan/m. Dimensiunile sunt date în metri. Să se determine reacţiunile în articulaţia A şi reazemul B. 6. (2 pct.) Asupra plăcii
q P 2
30
2 0 3
2
A
G
r 6
B
Figura 3.2
Figura 4.1
7. (1 pct.) Se dau ecua ţiile parametrice ale mi şcării unui punct material în coordonate carteziene:
x 3 t 2
3 t 7
, y
4 t 1
unde timpul t este dat în secunde iar coordonatele x şi y în metri. Să se determine viteza punctului material la momentul de timp t = 1s. 8. (2 pct.) O piatră este aruncată pe verticală, de la nivelul solului, cu viteza v 0 10 m / s . După cât timp va atinge din
nou pământul?
Rezolvare: test nr.3
Testul nr. 4 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Cazuri de reducere a le unui sistem de forţe oarecare. 2. (1 pct.) Ce înţelegeţi prin articulaţie sferică? Câte grade de
libertate are un solid rigid ce are ca legătură o articulaţie sferică ? Cu ce se înlocuieşte o astfel de legătură? 3. (1 pct.) Definiţi mişcarea circular ă a punctului material. 4. (1 pct.) Definiţi noţiunea de impuls în cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale şi al unui solid rigid. Preciza ţi şi unitatea de m ăsur ă pentru impuls (in SI).
II. (6 pct.) 5. (2 pct.) Să se determine coordonatele centrului de masă pentru placa plană şi omogenă din figura 4.1. Dimensiunile sunt date în cm.
Forţele care alcătuiesc cuplul F , F au modulul F = 15 daN şi se găsesc la distanţa d 3 dm una de alta. Să se determine momentul acestui cuplu (în N m ). 7. (1 pct.) Un cilindru, având dimensiunile din figura 4.2 şi greutatea G = 5000 N, este aşezat pe un plan orizontal. Să se determine lucrul mecani c necesar răsturnarii cilindrului în jurul punctului A de intersecţie a unei generatoare cu planul
6. (1 pct.)
orizontal.
1 .2 m C
B
s
O
m 6 . 1
M
O
h1
G
D
A Figura 4.2
Figura 4.3
8. (2 pct.) Un disc de rază R se roteşte cu viteza unghiulară constantă
în jurul unei axe care trece prin centrul său şi este perpendiculară pe planul discului (figura 4.3). Pe un diametru al discului se mişcă, plecând din centrul său, un punct M după legea s R sin t . Sa se determine viteza absolut ă a punctului M la momentul de timp t
2
.
Rezolvare: test nr.4
Testul nr. 5 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale şi al unui solid rigid. 2. (1 pct.) Definiţi noţiunea de moment al unei for ţe în raport cu un punct. 3. (1 pct.) Ce componente are viteza şi accelera ţia unui punct material într-un sistem de coordonate carteziene Oxyz?. 4. (1 pct.) Enu nţaţi teorema de conservare a momentului cinetic a unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid.
z F
G
F
F 2 D
E
O C y
O
A
M
A
F 1
A x
B
B
C
Figura 5.1
Figura 5.2
Figura 5.3
II. (6 pct.) 5. (2 pct.) A supra
cubului OABCDEFG de latură a = 10 cm din figura 5.1 acţionează un sistem de dou ă for ţe, având punctele de aplicaţie, direc ţiile şi sensurile din figură ş i modulele F 1 5 N , F 2 10 2 N . Să se determine momentul rezultant al sistemului celor dou ă for ţe în raport cu punctul O. 6. (2 pct.) Asupra barei AB, de lungime l 3 m şi greutate G
600 daN , acţionează forţa F 400 daN , aplicată în 0
B perpendicular pe bară, şi momentul M 500 daN m . Bara este încastrată în A (figura 5.2). Stiind că 60 , să se
determine reacţiunile R A, M A în încastrarea A. 7. (1 pct.) Un mobil, plecând din repaus, se deplasează pe o dreaptă şi în 60 s atinge viteza de 18 m/s într -o mişcare uniform accelerată. Ce spaţiu a străbătut în acest timp? 8. (1 pct.) Placa dreptunghiulară OABC (OA = 3 dm, OC = 4 dm) se roteşte în planul său , în jurul punctului O cu viteza unghiulară constantă 2 rad / s (figura 5.3). Care este viteza punctului B?
Rezolvare: test nr.5
Testul nr. 6 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Echilibrul solidului rigid liber (ecua ţii de echilibru, numă r de grade de libertate). Echilibrul solidului rigid sup us la legături (generalităţi). 2. (1 pct.) Enunţaţi principiile mecanicii clasice (principiul iner ţiei, principiul acţ iunii for ţei, principiul ac ţiunii şi reacţiunii). 3. (1 pct.) Ce componente are viteza şi accelera ţia unui punct material într-un sistem de coordonate Frenet (naturale) ?. 4. (1 pct.) Definiţi noţiunea de moment cinetic în cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale şi al unui solid rigid. Preciza ţi şi unitatea de m ăsur ă pentru moment cinetic ( în SI). II. (6 pct.)
O sferă de greutate P este rezemată pe o suprafaţă cilindrică de rază r , fiind suspendată printr -un fir de punctul fix A (figura 6.1). Cunoscând lungimea l a firului şi unghiurile şi , să se determine tensiunea din fir şi reacţiunea suprafeţei cilindrice. 6. (2 pct.) Trei forţe de module F 1 F 2 F 3 P sunt aplicate asupra vârfurilor D, O şi E ale unui 5. (2 pct.)
paralelipiped dreptunghic (figura 6.2). AB AD a, OA 2a .
Să se reducă sistemul
de
for ţe
în
raport
cu
z
A
A
l
B
F 1
D
C F 2
B F 3
r
N
y
O E M
x
Figura 6.1
Figura 6.2
7. (1 pct.) Ecuaţiile parametrice ale mişcării unui punct material în coordonate carteziene sunt:
t 6
5 cos 2 t 3 6 Să se determine traiectoria mobilului şi viteza sa la momentul de timp t 1 2 s . 8. (1 pct.) Un corp de masă m 2 kg este aruncat de pe o clă dire înaltă de 25 m. Să se determine x 5 sin 2
, y
lucrul mecanic efectuat de forţa de greutate a corpului până în momentul atingerii solului.
punctul
O
dac ă
Rezolvare: test nr.6
Testul nr. 7 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Echilibrul solidului rigid supus la leg ături f ăr ă frecare. Reazemul simplu, articula ţia, încastrarea. 2. (1 pct.) Ce tipuri de for ţe acţioneaz ă pe un corp izolat dintr- un sistem de corpuri ş i ce principiu al mecanicii clasice trebuie respectat obligatoriu la izolarea lui? 3. (1 pct.) Definiţi noţ iunea de traiectorie a unui punct material. 4. (1 pct.) Definiţi noţiunea de energie cinetic ă în cazul unui punct material, al unui sistem de puncte materiale şi al unui solid rigid.
II. (6 pct.) 5. (2 pct.) Asupra cubului rigid de latur ă a = 20 cm din figura 7.1
F 1
F 2 F 3 1daN şi F 4
acţionează cinci forţe de module F 5 2 daN . Să se determine momentul rezultant în raport cu punctul O.
z D
L
F 2
6
E
6
K F 3
F 5 F 4
O
y
4 6
C A
F 1 B
x Figura 7.1 6. (1 pct.) date în cm. 7. (2 pct.)
r 20 Figura 7.2
Să se determine poziţia centrului de masă pentru placa plană şi omogenă din figura 7.2. Dimensiunile sunt
Paralelipipedul dreptunghic OABCDEFG de laturi OA = 3 dm, OB = 4 dm, OC = 5 dm se roteşte uniform în jurul diagonalei sale OF, cu viteza unghiulară constantă 2 rad / s . Să se determine vitezele vârfurilor F şi A. 8. (1 pct.) Se consideră un disc omogen de masă M = 2 kg şi rază R = 10 cm. Să se determine momentul de inerţie faţă de centrul O şi faţă de un punct A de pe periferie.
Rezolvare: test nr.7
Testul nr. 8 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Echilibrul sistemelor de puncte materiale şi de solide rigide. Condiţii de echilibru. Teoreme ş i metode utilizate pentru rezolvarea problemelor de statica sistemelor. 2. (1 pct.) Definiţi noţiunile de cuplu de forţe şi de moment al unui cuplu de forţe. 3. (1 pct.) Ce componente are viteza absolut ă şi accelera ţia absolută în mişcarea relativă a unui punct material? 4. (1 pct.) Daţi relaţiile de calcul a energiei cinetice a unui solid rigid în cazul mişcărilor de translaţie şi rotaţie.
II. (6 pct.)
Se consideră prisma rigidă din figura 8.1, asupra căreia acţionează forţele F 1, F 2,..., F 6 orientate ca în
5. (2 pct.)
6
figură şi egale în mărime, F 1 F 2 ... F 6 P . Să se determine forţa rezultantă R
F i .
i 1
z D F 5
F 3 F 4
E
O
a F 2
a
r
2a
F 1
A
a 2
C y
R
B
x
b
Figura 8.1
Figura 8.2
6. (1 pct.) Dintr-o sârmă groasă se construieşte corpul din figura 8.2. Să se determine poziţia centrului de masă dacă r = 10 cm, R = 20 cm, a = 3 cm şi b = 10 cm. 7. (2 pct.) O bară OL se roteşte în jurul unui punct fix O cu viteza unghiular ă constantă 2 rad / s şi mişcă inelul M pe o sârmă fixă aflată la distanţa l = 10 cm de punctul O (figura 8.3). Să se exprime viteza şi acceleraţia inelului M în funcţie de distanţa O’M = s.
L O
s M
l G
O
Q2
Q1 Figura 8.3
8. (1 pct.) Cu ce viteză trebuie lansat un
Figura 9.1
mobil pe un plan înclinat cu unghiul 300 faţă de orizontală pentru a urca
pe plan până la înălţimea h = 1 m. Se consideră g 10 m / s 2 şi se neglijează frecările.
Rezolvare: test nr.8
Testul nr. 9 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Cinematica mişcării absolute a punctului material. Noţiunile de traiectorie, vitez ă şi acceleraţie. 2. (1 pct.) Daţi relaţia de calcul a vectorului de pozi ţie al centrului de mas ă al unui sistem de puncte materiale ş i al unui solid rigid. 3. (1 pct.) Scrieţi formulele lui Euler pentru distribu ţia de viteze şi accelera ţii în mi şcarea general ă a solidului rigid. 4. (1 pct.) Definiţi noţiunea de lucru mecanic elementar şi lucru mecanic finit al unei for ţe.
II. (6 pct.)
5. (1 pct.) O lampă de greutate G este suspendat ă într-un punct O situat în acela şi plan vertical cu punctele A şi B. De
două fire fixe legate de O ş i trecute peste doi scripe ţi mici (din A şi B), atârn ă greutăţile Q 1 şi Q 2 . Poziţia punctului O
este determinată prin unghiurile şi (figura 9.1). Să se determine valorile greutăţilor Q 1 şi Q 2 astfel ca lampa să rămână în repaus în poziţia din figură. 6. (2 pct.) Se consideră bara omogenă de greutate neglijabilă din figura 9.2. Dimensiunile sunt date în metri. Se dau: M 200 daN m , P 100 daN , q 50 daN / m . Să se determine reacţiunile în articulaţia A şi reazemul B. 2
y A
B v2
3
q
M
B P
30
Figura 9.2
B v1
2
A
A
x
Figura 9.3
7. (2 pct.) Două şosele se intersectează în punctul O sub un unghi drept (figura 9.3). Pe cele două şosele se deplasează două autoturisme spre punctul O, plecând simultan din A şi B, cu vitezele constante v 1 10 m / s, v 2 20 m / s . Să se
afle momentul de timp t 1 când distan ţa A’B’ dintre autoturisme este minimă . Se mai cunos c AO = 20 km şi B0 = 30 km. 8. (1 pct.) Un corp de masă M = 10 kg se deplasează astfel încât viteza centrului său de masă rămâne constantă şi egală cu vC 5 m / s. Care este impulsul sau?
Rezolvare: test nr.9
Testul nr. 10 I. (6 pct.)
Cinematica mişcării absolute a solidului rigid. Mişcarea generală (parametrii de poziţie, formulele lui Poisson şi ale lui Euler). 2. (1 pct.) Enunţaţi trei proprietăţi ale centrului de masă al unui sistem de puncte materiale sau al unui solid rigid. 3. (1 pct.) Ce ştiţi despre viteza şi acceleraţia unui punct material într -o mişcare circulară a acestuia? 4. (1 pct.) Daţi relaţiile de calcul a momentului cinetic al unui solid rigid în cazul mişcărilor de translaţie şi rotaţie. 1. (3 pct.)
II. (6 pct.)
Se consideră sistemul de forţe F 1, F 2, F 3 şi F 4 concurente în A (figura 10.1). Să se determine rezultanta lor, dacă: 5. (2 pct.)
F 1 F 4 100 N , F 2 120 N , F 3 80 N , 450 , 1050 , 60 0 y
y
B
F 2
F 3
A
F F 1
x
l / 3
F 4
Figura 10.1 6. (2 pct.)
l
Figura 10.2
v A
x
Figura 10.3
Bara omogenă din figura 10.2, de greutate G 200 daN , este articulată în A şi simplu rezemată în B.
Asupra barei acţionează forţa F 100 daN înclinată cu unghiul 60 0 . Să se determine reacţiunile din A şi B dacă 300 . 7. (1 pct.) Bara AB, de lungime l , alunecă cu extremităţile sale A şi B după direcţiile Ox şi Oy, astfel încât punctul A
se deplasează cu viteza constantă v. Să se determine viteza punctului B la momentul de timp la care OA
l 2
(figura
10.3). 8. (1 pct.) Roata de curea a unui electromotor se roteşte cu 1500 rot/min. După t 1 = 2 min curentul a fost întrerupt şi roata, rotindu-se într-o mişcare uniform încetinită, s -a oprit după t 2 6 s. Să se determine numărul de rotaţii efectuat de
roată în tot timpul mişcării.
Rezolvare: test nr. 10
Testul nr. 11 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Mişcarea de translaţie a solidului rigid: defini ţie, distribuţia de viteze şi accelera ţii. 2. (1 pct.) Cum apare şi cum se manifestă (ce introduce) frecarea de alunecare? 3. (1 pct.) Ce expresii au vectorii v O , a O , şi în mişcarea de translaţie a solidului rigid?
4. (1 pct.) Care este ecua ţia fundamentală a mişcării relative a punctului material?
II. (6 pct.)
5. (1 pct.)
Un sistem de forţe oarecare se reduce la o forţă unică, egală cu rezultanta R , şi care acţionează pe axa
centrală a sistemului dacă elementele torsorului de reducere O R , M O în raport cu punctul arbitrar O verifică condiţiile:
a) R 0 , M O 0 ; b) R 0 , M O 0 , R M O
0 ; c) R
0 , M O 0 , R M O
0 ;
d) R // M O . 6. (2 pct.) Se consideră o bară omogenă AB, de lungime l = 5 m şi greutate G = 180 N, articulată în A şi simplu rezemată în D (figura 11.1). De cap ătul B, prin intermediul unui fir, atârn ă greutatea P = 360 N, firul f ăcând cu direcţia 0 barei unghiul 30 . Să se determine reac ţiunile din articulaţia A şi reazemul D, dac ă 30
0
şi ED l 0 1,5 m.
A
D
B
P Figura 11.1 7. (2 pct.) O placă p ătrată ABCD de latur ă l = 1 m se rote şte în planul ei în jurul centrului O. S ă se determine şi să se reprezinte vitezele şi accelera ţiile vâ rfurilor A, B, C şi D, ştiind că viteza unghiular ă este constant ă şi egală cu 4 rad / s . 8. (1 pct.) Masa unei plăci plane şi omogene de formă circulară este M = 1 kg iar raza sa R = 30 cm. Să se determine momentul de inerţie polar faţă de centrul O al plă cii.
Rezolvare: test nr.11
Testul nr. 12 I. (6 pct.) 1. 2. 3. 4.
(3 pct.) Mişcarea de rotaţie a solidului rigid: defini ţie, distribuţia de viteze şi
acceleraţii, proprietăţi. (1 pct.) Ce teoreme şi metode pentru rezolvarea probleme lor de statica sistemelor cunoaş teţi? (1 pct.) Definiţi mişcarea absolut ă, mişcarea relativă şi mişcarea de transport în cazul unui punct material. (1 pct.) Definiţi momentele de iner ţie polar, axiale, planare ş i centrifugale în cazul unui sistem de puncte materiale.
II. (6 pct.)
laturi OA = 30 cm, OC = 50 cm şi OO’ = 40 cm acţionează un sistem de trei for ţe ca în figura 12.1. Cunoscând că F 1 10 daN , F 2 5 34 daN şi F 3 20 2 daN , să se 5. (2 pct.) Asupra unui paralelipiped dreptunghic de
determine momentul rezultant în raport cu punctul O.
z O
C
A
B
F 2
F 3 F 1
P
q
3
O
C
y
1
2
A A
M
B
B
x Figura 12.1 6. (2 pct.)
Figura 12.2
Se consideră bara de greutate neglijabilă din figura 12.2, solicitată de momentul M 150 kN m , forţa
P 100 kN şi sarcina uniform distribuită q 50 kn / m. Stiind că 60 0 şi că dimensiunile sunt date în metri, să se
determine reacţiunile în reazemul B şi articulaţia A. 7. (1 pct.)
t , y 3 cos t 4 , 3 3
Punctul M se deplasează în planul Oxy după legile x 2 sin
unde
coordonatele x şi y sunt date în metri iar timpul t în secunde. Să se determine viteza punctului la momentul de timp t 1 3 s . 8. (1 pct.) Un proiectil este lansat oblic din vârful unui turn. Ce tip de traiectorie parcurge proiectilul?
Rezolcare:test nr.12
Testul nr. 13 I. (6 pct.) 1. 2. 3. 4.
(3 pct.) Cinematica mi şcării relative a punctului material. Determinarea distribu ţiei de viteze (1 pct.) Enunţaţi axioma leg ăturilor. (1 pct.) Daţi trei exemple de corpuri care efectueaz ă o mişcare de rota ţie. (1 pct.) Care este ecua ţia fundamentală a mişcării absolute a punctului material?
şi acceleraţii.
II. (6 pct.)
Să se determine modulul for ţei F 3 astfel încât sistemul de forţe F 1, F 2, F 3 din figura 13.1 să fie în
5. (1 pct.)
echilibru. Se cunosc F 1 F 2 10 3 N . 6. (2 pct.) Se consideră sistemul de trei bare din figura 13.2, încastrate în A, articulate în B şi D şi simplu rezemate în C şi F. Se cunosc: P 1 12 kN , P 2 12 kN , M 50 kN M , q 2 kN / m . Să se determine reacţiunile în A, B, C, D şi
E. Dimensiunile pe figură sunt date în metri.
P 1 F 1 30 30
M
A
F 3
4
60
C
B 4
P 2
q
4
4
D
E 2
2
F 2
Figura 13.1
Figura 13.2
7. (1 pct.) Punctul M se deplaseaz ă în planul Oxy dup ă legile x
3 t , y 4 t 2 1. Să se determine traiectoria
punctului, precum şi componentele vectorilor viteză şi acceleraţie la un moment oarecare de timp t . după legea s A M t 2 (figura 13.3). Discul este articulat în A şi B cu manivelele O1 A şi O2 B care se rotesc în jurul punctelor O1 , respectiv O2 după legea
8. (2 pct.) Mobilul M se deplaseaz ă la periferia discului D de raza R 3
2
5 t
(radiani). Se cunosc: O1 A O2 B 20 cm, R 16 cm . Să se determine viteza absolută a punctului M la 48 momentul de timp t 2 s . B
y O
R
A
N
M
O2
F
A
L
O1
K
B
Figura 13.3
E
D
Figura 14.1
x
Rezolvare: test nr.13
Testul nr. 14 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Energia cinetică a unui sistem de puncte materiale şi a unui solid rigid: defini ţii, teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic î n mişcarea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid fa ţă de un reper fix. 2. (1 pct.) Câte grade de libertate are un punct material liber în spa ţiu? Care ar putea fi parametrii scalari independen ţi care să fixeze, la un moment dat, poziţ ia punctului în spa ţiu? 3. (1 pct.) Daţi trei exemple de corpuri care efectueaz ă o mişcare de transla ţie. 4. (1 pct.) Câte dintre cele 10 momente de iner ţie mecanice (polar, axiale, planare, centrifugale) sunt independente? Ce relaţii există între ele?
II. (6 pct.) 5. (2 pct.) Să se determine coordonate centrului de masă al plăcii plane omogene din figura 14.1. Se cunosc: AB = 20 cm, BD = 24 cm, ED = 10 cm, AN = 2 cm, NL = 18 cm, LK = 20 cm, FK = 8 cm.
q0 Q
M a
2a Figura 14.2
a
A
B
C
Figura 14.3
6. (2 pct.) Se consideră bara omogenă CD de greutate neglijabilă asupra căreia acţionează forţa concentrată Q, sarcina
uniform distribuită q 0 şi momentul M . Bara este articulată în A şi simplu rezemată în B. Să se determine reacţiunile în A şi B dacă Q 4,6 kN , q0 4 kN / m, M 10 kN m , a 1 m (figura 14.2). 7. (1 pct.) Un mobil porneşte din punctul A fără viteză iniţială şi se mişcă uniform accelerat pe panta AB (figura 14.3), apoi uniform încetinit pe plan orizontal până la oprirea în punctul C. Cunoscând lungimea AB x 1 , distanţa BC x2 şi timpul t în care mobilul parcurge tot parcursul ABC, să se afle acceleraţiile a 1 şi a 2 pe porţiunile AB, respectiv BC. 8. (1 pct.) Arborele unei maşini se roteşte uniform la turaţia n = 900 rot/min. Care este viteza unghiular ă în mişcarea de rotaţie a arborelui (în rad/s)?
Rezolvare: test nr.14
Testul nr. 15 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Momentul cinetic al u nui sistem de puncte materiale ş i al unui solid rigid: defini ţii, teorema momentului cinetic în mi şcarea unui sistem de puncte materiale sau a unui solid rigid în raport cu un reper fix. 2. (1 pct.) Câte grade de libertate are un solid rigid liber în spa ţiu? Care ar putea fi parametrii scalari independen ţi care să fixeze, la un moment dat, poziţia rigidului în spa ţiu? 3. (1 pct.) Daţi expresia accelera ţiei Coriolis din miş carea relativă a punctului material. 4. (1 pct.) Preciza ţi, pe scurt, î n ce constau cele dou ă probleme generale ale dinamicii şi anume problema direct ă şi problema inversă.
II. (6 pct.) 5. (1 pct.) Un corp de greutate G = 100 daN este suspendat prin intermediul a dou ă fire inextensibile, orientate ca în figura 15.1. Să se determine tensiunile din fire.
Un mobil se deplasează în linie dreaptă după legea x t 3 4 t 2 10 t 1 , unde coordonata x este exprimată în metri iar timpul t în secunde. Să se afle viteza şi acceleraţia mobilului la momentele de timp t 1 1 s şi t 2 2 s . Să se construiască diagrama vitezei (graficul v = v(t). Care este viteza minimă? 6. (2 pct.)
B
30
A
D R G
Figura 15.1 7. (2 pct.)
AB
a, BD
K
O Figura 15.2
Sa se determine coordonatele centrului de masă pentru bara omogenă din figura 15.2 dac ă a 2
iar porţiunea semircircular ă DKO are raza R = a.
Un corp de revoluţie, având momentul de inerţie faţă de axa de simetrie J 2000 kg m 2 , efectuează o mişcare de rotaţie cu turaţia constantă n 10 rot / min în jurul acestei axe. Care este valoarea momentului cinetic? 8. ( 1pct.)
Rezolcare: test nr.15
Testul nr. 16 I. (6 pct.) 1. (3 pct.) Impulsul unui sistem de puncte materiale şi al unui solid rigid: Definiţii, teorema impulsului, teorema mişcării centrului de masă . 2. (1 pct.) Scrieţi ecuaţiile axei centrale în cazul cel mai general. 3. (1 pct.) Scrieţi legile mişcării rectilinii şi uniforme şi rectilinii uniform variate a punctului material (legea spaţiului, a vitezei şi a accelera ţiei). 4. (1 pct.) Ce înţelegeţi prin sistem de referin ţă iner ţial?
II. (6 pct.) 5. (1 pct.) Să se determine coordonatele centrului de masă pentru placa plană omogenă din figura 16.1. Dimensiunile sunt date în cm. 6. ( 2 pct.) Se consideră bara AB = l = 4 m de greutate G = 0,4 kN, încastrată în A. La capătul B al barei atârnă greutatea P = 1 kN. Să se determine reacţiunile în încastrarea A ( figura 16.2). 15 0 1
0 3
2 1
30
A
B l P
30
Figura 16.1
Figura 16.2 3
7. (2 pct.) Un punct material se deplasează pe un cerc de rază R = 4 m după legea s 4,5 t , unde s este dat în metri
iar timpul t în secunde. Să se determine modulul acceleraţiei la momentul de timp la care modulul vitezei este v 1 6 m / s . 8. (1 pct.) Fiind dată o placă plană omogenă sub formă pătratică, de latură l = 10 cm, să se determine momentul de
inerţie polar faţă de centrul geometric şi faţă de unul din vârfuri.
Rezolvare: test nr.16
Testele 17-18-19-20-21-22-23 Subiectele + Rezolvari teorie si probleme:
Rezolvare teorie: TESTUL 17 1.) def-Momentele de inerţie mecanice sunt mărimi scalare care caracterizează modul de răspândire a masei în interiorul unui sistem de puncte materiale sau unui solid rigid. Prin definiţie, momentele de inerţie ale unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan, o axă sau un punct (pol) sunt sumele produselor dintre masele punctelor materiale ale sistemului şi pătratele distanţelor de la aceste puncte la plan, axă sau pol, respectiv. J O
1
1
1
1
2
2
2
2
J x J y J z J O x y J x J y J z , J O y z J y J z J x , J O z x J z J x J y
astfel încât doar şase dintre ele sunt independente ( J x , J y , J z , J x y , J y z , J z x ).
2.)Miscarea de trasslatie K C 0
..rotatie x i y j z k ,
, K O 1
r i
r C M v C
x i i y i j z i k
3.)Dacă lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare care acţionează asupra unui sistem conservativ este nul într-un interval de timp, atunci energia mecanică a sistemului este constantă în acel interval. E m ec E V constant TESTUL 18 1.)Teorema
lui Steiner :
Momentul de inerţie faţă de o axă ( 1 ) este egal cu suma dintre momentul de
inerţie faţă de o axă ( ), paralelă cu ( 1 ), şi care conţine centrul maselor şi produsul dintre masa sistemului şi pătratul distanţei dintre cele două axe. J 1
2.). Miscarea de translatie E Miscarea
J M d 2
n
n
n
i 1
i 1
i 1 n
12 m i v i2 12 m i v C 2 12 v C 2 m i 12 M v C 2
de
E
rotatie
1
2 i 1
m i v i2
n
1
1
n
1
i 1 2
2
i 1
2
m i l i2 2 2 m i l i2
J 2
3.)Impulsul unui punct material de masă m, care are viteza v, este un vector coliniar şi de acelaşi sens cu viteza
v, definit prin relaţia: H ( vector ) = (deasupra la = def ) m v ( vector v ) TESTUL 19
1.)Impulsul unui punct material de masă m, care are viteza v , este un vector coliniar şi de acelaşi sens cu def
viteza v , definit prin relaţia: H m v
def
Impulsul unui solid rigid este definit prin relaţia:
H
D
v dm
Teorema impulsului (enunţ): Derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale
sau rigid este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului sau rigidului:
H
F ext
Teorema mişcării centrului de masă (enunţ): Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale sau rigid se
mişcă la fel ca un punct în care este concentrată toată masa sistemului (rigidului) şi asupra căruia acţionează
toate forţele exterioare: M a C F ext Teorema conservării impulsului (enunţ) : Dacă în timpul mişcării sistemul de puncte materiale (rigidul) este
izolat sau dacă suma forţelor exterioare este nulă, atunci impulsul sistemului (rigidului) se conservă. F ext 0 din H
F ext găsim că H 0 , adică H M v C = constant.
2.) 3.)Teorema conservării momentului cinetic (enunţ) : Dacă în timpul mişcării sistemul de puncte materiale (rigidul) este izolat sau dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu O 1 este nul, atunci momentul cinetic al sistemului (rigidului) în raport cu punctul O 1 se conservă. TESTUL 20
1.)Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale de mase m i , i 1, n , şi viteze v i , i 1, n , în raport cu un
punct fix O, se obţine cu relaţia:
K O
def n
K O i
i 1
n
i 1
r i m i v i
Momentul cinetic al unui solid rigid se defineşte prin relaţia:
K O
def
D
r v dm
Teorema momentului cinetic (enunţ) : Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale (rigid) calculat în raport cu un punct fix O1 este egală cu suma momentelor forţelor
exterioare care acţionează asupra sistemului (rigidului), momente calculate în raport cu acelaşi punct fix:
K O 1
M O 1 ,ext
Teorema conservării momentului cinetic (enunţ) : Dacă în timpul mişcării sistemul de p uncte materiale (rigidul) este izolat sau dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu O 1 este nul, atunci momentul cinetic al sistemului (rigidului) în raport cu punctul O 1 se conservă.
M O 1, ext 0 , din K O 1 M O 1 ,ext se obţine că K O 1 0 , adică K O 1 constant.
2.)Mişcarea punctului material în raport cu sistemul mobil se numeşte mişcare relativă. m a r F F t F C 3.)lucrul mecanic elementar corespunzător unei forţe F şi unei deplasări elementare dr a punctului de
aplicaţie al forţei este egal cu produsul scalar dintre forţă şi deplasarea elementară. lucrul mecanic finit TESTUL 21.
1.)Pentru un sistem de puncte materiale de mase m i , i 1, n , şi viteze v i , i 1, n , energia cinetică se defineşte
prin relaţia: def n
E
12 m i v i2
i 1
Energia cinetică a unui solid rigid se defineşte prin relaţia: def
E
D
1 2
v 2 dm
lucrul mecanic elementar
efectuat de forţa F este egal cu:
d L F d r F d r cos F , d r def
Lucrul mecanic finit corespunzător unei forţe variabile F şi unei deplasări finite între două poziţii A şi B se
defineşte prin relaţia:
def
L AB
AB F d r AB F x dx F y dy F z dz
Teorema energiei cinetice şi a lucrului mecanic în mişcarea unui sistem de puncte materiale sau rigid faţă de un punct fix: Variaţia energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale într -un interval de timp infinitezimal
este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare şi lucrul mecanic elementar al forţelor interioare, efectuate în acelaşi interval de timp: dE dLext dLint teorema conservării energiei mecanice. Enunţul său este: Dacă lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare care acţionează asupra unui sistem conservativ este nul într -un interval de timp, atunci energia mecanică a sistemului este constantă în acel interval. E m ec E V constant
2.) m a F Observând că a r , ecuaţia fundamentală (12.1) se scrie ca:
m r F r , r , t Unde m este masa
punctului material (constantă în timpul mişcării), a acceleraţia sa iar F rezultanta forţelor ce acţionează
asupra punctului. În general, forţa F este o funcţie de vectorul de poziţie r , viteza v r şi timpul t, adică F F r , r , t 3.) O echilibrare partial sau static se realizeaza atunci cand forta de inertie rezultanta este nula Fi=0 respectig Xg=0,Yg=0 ceea ce inseamna ca central de greutate trebuie sa se gaseasca pe axa de rotatie,sa fie fix si fara acceleratie.Echilibrarea dinamica a unui motor urmareste anularea componentelor torsorului fortelor de inertie,pentru a se elimina efectele daunatoare ale acestora. TESTUL 22 1.) Se considera un solid rigid ( C ) avand doua puncte,
si
, fixate (adica dreapta
Presupunem ca asupra rigidului actioneaza un sistem de forte exterioare arbitrare inlocuite cu torsorul
si
, care pot fi
. Sub influenta acestor forte rigidul va capata o miscare de rotatie in jurul axei
.Se utilizeaza teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic in raport cu punctul fix legatura sunt fixe.
este imobila).
si rezultanta
. Fortele de
a fortelor exterioare nu dau lucru mecanic deoarece punctele
Lucrul mecanic elementar produs de
este egal cu:
(1) Rigidul are o miscare de rotatie astfel incat energia cinetica are expresia:
si
Determinarea reactiunilor
Pentru obtinerea reactiunilor momentului cinetic
si
se aplica teoremele impulsului si
Teorema impulsului:
(4)
sau, in proiectie pe axele reperului mobil Oxyz,
,
,
Teorema momentului cinetic in raport cu punctul fix: pe axele reperului Oxyz ecuatiile:
2.)Se consideră un sistem de n puncte materiale A i , i 1, n , de mase m i , i 1, n , pentru care se cunosc
momentele de inerţie J x , J y , J z , J x y , J y z , J zx în raport cu axele reperului cartezian Oxyz. Momentul de inerţie al sistemului de puncte materiale în raport cu axa este dat de relaţia: J
n
n
i 1
i 1
m i d i2 m i A i B i2
d i A i B i
fiind distanţa de la punctul A i la dreapta .
def
3.)B) -> RASPUNS CORECT K O r H r m v TESTU 23
1.)Un rigid are o mişcare plan – paralelă dacă în tot timpul mişcării trei puncte necoliniare ale sale rămân într un plan fix din spaţiu. Planul determinat de cele trei puncte şi legat de rigid rămâne de asemenea în planul fix. Exemple de mişcări care efectuează mişcări plan -paralele sunt : biela unui motor, roata unui vehicul care se
deplasează pe un drum drept 2.)Momentul de inerţie J depinde de poziţia axei faţă de triedrul Oxyz prin intermediul unghiurilor , , pe care axa le face cu Ox, Oy şi Oz, respectiv. În funcţie de măsurile acestor unghiuri J poate avea valori extreme. Axele care trec prin O şi faţă de care momentele de inerţie au valori extreme se numesc axe principale de inerţie. Momentele de inerţie calculate în raport cu aceste axe se numesc momente principale de inerţie (le vom nota prin J 1 , J 2 , J 3 ). 3.)Problema directă : se cunosc forţele ce acţionează asupra punctului material şi se cere mişcarea sa
Pentru studiul mişcării se integrează ecuaţia vectorială
m r F r , r , t
În rezolvarea problemelor concrete de mecanică, ecuaţia
m r F r , r , t
se proiectează pe axele unui sistem
de coordonate convenabil aleS , AVEM ASTFEL Sistemul de coordonate carteziene:Sistemul de coordonate Frenet:Sistemul de coordonate polare:
Problema inversă: Se cunoaşte mişcarea punctului şi se cer forţele care-l acţionează.
Cunoscând vectorul r r t se obţin funcţiile vectoriale v r t şi a r t .
Ecuaţia m r F r , r , t
permite determinarea rezultantei F m a în mod unic, însă această expresie nu ne dă nici o indicaţie
asupra naturii fizice a rezultantei (există o infinitate de sisteme de forţe care au aceiaşi rezultantă).
Rezolcare probleme:
