Mehanizmi
Teorija mehanizama Prof. dr. sc. Mirko Husnjak
2009
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
M. Husnjak: Teorija mehanizama 1 Prof. dr. sc. Mirko Husnjak
TEORIJA MEHANIZAMA Bilješke s predavanja
Zagreb, 2009/10
Sadržaj: 1
Uvod ........................................................................................................................................................... 2
2
Struktura i klasifikacija mehanizama ......................................................................................................... 3
3
4
5
2.1
Članovi mehanizama ........................................................................................................................ 3
2.2
Kinematički parovi ............................................................................................................................ 4
2.3
Svojstvo reverzibilnosti nižih kinematičkih parova ........................................................................... 6
2.4
Kinematički lanci ............................................................................................................................... 7
2.5
Stupanj pokretljivosti mehanizma .................................................................................................... 8
2.6
Mehanizmi s pasivnim vezama ....................................................................................................... 10
2.7
Mehanizmi s unutrašnjim ili lažnim stupnjem slobode gibanja ..................................................... 12
2.8
Kinematička i strukturna shema mehanizma ................................................................................. 13
2.9
Strukturna analiza mehanizama ..................................................................................................... 14
Metode oblikovanja mehanizama ........................................................................................................... 18 3.1
Zamjena viših kinematičkih parova nižima ..................................................................................... 18
3.2
Ekspanzija rotoida .......................................................................................................................... 19
Osnovni tipovi mehanizama..................................................................................................................... 19 4.1
Ravninski mehanizmi s nižim kinematičkim parovima. .................................................................. 19
4.2
Prostorni mehanizmi s nižim kinematičkim parovima ................................................................... 22
Kinematička analiza mehanizama ............................................................................................................ 22 5.1
Kinematika pogonskih i radnih članova mehanizama. ................................................................... 22
5.2
Metode kinematičke analize .......................................................................................................... 25
5.2.1
Trenutni polovi brzina ........................................................................................................... 25
5.2.2
Kennedy‐Aronholdov teorem ............................................................................................... 25
5.2.3
Metoda plana brzina i ubrzanja ............................................................................................ 31
5.3 5.3.1 6
Analitičko određivanje položaja, brzina i ubrzanja ......................................................................... 34 Analiza položaja zglobnog četverokuta................................................................................. 34
Krivuljni mehanizmi ................................................................................................................................. 43 6.1
Osnovni tipovi krivuljnih mehanizama ........................................................................................... 43
M. Husnjak: Teorija mehanizama 1
7
8
6.2
Kinematičke karakteristike zakona gibanja .................................................................................... 45
6.3
Grafičke metode određivanja profila grebena ............................................................................... 49
6.4
Analitičke metode određivanja profila grebena ............................................................................. 50
6.4.1
Tanjurasti podizač sa zadanim zakonom gibanja s = s(j) . ................................................. 50
6.4.2
Oscilirajući ravni podizač ...................................................................................................... 51
6.4.3
Kružni podizač s translatornim gibanjem bez ekscentriciteta. ............................................. 52
6.4.4
Kružni podizač s translatornim gibanjem s ekscentricitetom ............................................... 52
6.4.5
Kružni podizač s oscilirajućim gibanjem pomicaljke ............................................................. 53
6.5
Određivanje osnovnih dimenzija krivuljnih mehanizama .............................................................. 55
6.6
Ovisnost polumjera temeljne kružnice o kutu pritiska ................................................................... 56
Epiciklički zupčanički prijenosnici ............................................................................................................. 61 7.1
Zupčanički prijenosnici s nepomičnim osovinama ......................................................................... 62
7.2
Planetarni zupčanički prijenosnici .................................................................................................. 64
7.3
Willisov princip ............................................................................................................................... 65
7.4
Diferencijal automobila .................................................................................................................. 71
Sinteza mehanizama ................................................................................................................................ 72 8.1
Grashoffovo pravilo ........................................................................................................................ 72
8.2
Određivanje graničnih i mrtvih položaja zglobnog četverokuta ..................................................... 76
8.3
Krajnji položaji klipno‐koljenčastog mehanizma ............................................................................ 77
8.4
Kut prijenosa kod zglobnog četverokuta ........................................................................................ 78
8.5
Kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma ........................................................................ 79
8.6 hoda
Određivanje dimenzija zglobnog četverokuta sa zadanim omjerom trajanja radnog i povratnog 81
8.7
Premještanje tijela iz jednog u drugi položaj.................................................................................. 83
2
UVOD Teorija mehanizama i strojeva je primijenjena nauka koja se bavi geometrijom gibanja dijelova strojeva i mehanizama (kinematika) i silama koje ostvaruju to gibanje (dinamika mehanizama). Pojmovi mehanizmi i strojevi često se upotrebljavaju kao sinonimi za označavanje takvih tehničkih naprava kod kojih se kao osnovna karakteristika javlja mehaničko gibanje. Pod pojmom mehanizam podrazumijevamo sistem međusobno povezanih tijela koji služi za ostvarivanje zadanog gibanja i prenošenja sila. Pojam stroja usko je vezan s namjenom. Stroj je takva tehnička naprava koja služi za mehanizaciju bilo kakvog procesa, pa tako u zavisnosti od vrste procesa razlikujemo energetske, tehnološke, transportne, regulacione strojeve. Strojeve možemo podijeliti na pogonske i radne. Kod pogonskog stroja se energija (mehanička, toplinska, kemijska) pretvara u mehaničku energiju. Kod radnih se strojeva mehanička energija koristi za obavljanje neke radne operacije. Sastavni dijelovi svih tih strojeva su mehanizmi koji omogućavaju pretvorbe energije.
ENERGIJA
POGONSKI STROJ
MEHANIČKA ENERGIJA
RADNI STROJ
OBAVLJANJE RADNE OPERACIJE
Slika 1. Pretvorbe energije kod pogonskih i radnih strojeva
M. Husnjak: Teorija mehanizama 3
1
B
B'
3
B''
3
4 A A''
2
2
O2
O4 1
A'
b
a
Slika 2. Prikazi jednostavnih mehanizama a) krivuljni maehanizam, b) zglobni četverokut
ČLANOVI MEHANIZAMA Tijela koja sačinjavaju mehanizam nazivamo članovima mehanizma. Pojednostavljeni presjek mehanizma motora s unutrašnjim izgaranjem (Slika 3), primjer je jednostavnog mehanizma sa četiri člana. Nepokretni član mehanizma nazivamo postoljem mehanizma, član koji rotira oko nepomične osi O nazivamo koljenčastim vratilom, član koji se giba pravocrtno u cilindru nazivamo klipom (klizačem), dok član koji povezuje koljenčastu osovinu i klip (sprežni član) nazivamo ojnicom. Kinematička shema motornog mehanizma (Slika 3 b) pojednostavljeni je crtež članova mehanizma i njihovih međusobnih veza. Članovi mehanizma su u ovom shematskom prikazu prikazani tako da su izostavljeni oni detalji koji su nevažni za kinematičku analizu. A
A O
O
a Slika 3. Motorni mehanizam (a) i njegova kinematička shema (b) Tablica 1. Članovi mehanizma
3
2
B
B
4
1 b
4
Član s jednostrukom vezom
Članovi s dvostrukom vezom i njihove modifikacije
Članovi s trostrukom vezom i njihove modifikacije
Član s četverostrukom vezom
Članovi mehanizma mogu imati različite geometrijske oblike. U kinematičkim shemama prikazujemo samo one pojedinosti koje su značajne za gibanje mehanizma, pa tako razlikujemo članove s jednostrukom, dvostrukom, trostrukom, četverostrukom vezom (Tablica 1.). Broj veza jednog člana mehanizma može biti po volji velik.
KINEMATIČKI PAROVI Spoj dvaju članova mehanizma koji omogućava relativno gibanje među članovima nazivamo kinematičkim parom. Kinematički par može imati najmanje 1, a najviše 5 stupnjeva slobode gibanja (slobodno kruto tijelo u prostoru ima 6 stupnjeva slobode gibanja). Kinematičke parove dijelimo na više i niže. Kod viših kinematičkih parova dodir dvaju članova mehanizma je u točki ili liniji, dok se niži kinematički parovi dodiruju u plohi. Dijelove kinematičkih parova po kojima se odvija dodir nazivamo elementima kinematičkog para. Radi ispravnog funkcioniranja kinematičkog para potrebno je osigurati neprekidni dodir njihovih elemenata. To se ostvaruje zatvaranjem kinematičkog para koje može biti geometrijsko ili kinematičko i dinamičko. Kinematičko zatvaranje postiže se konstrukcijskim oblikom kinematičkog para, dok se dinamičko postiže silama (težina, sila elastičnog člana, sile inercije i slično). Važna je podjela kinematičkih parova prema stupnju slobode gibanja. Pod stupnjem slobode gibanja kinematičkog para nazivamo broj međusobno nezavisnih gibanja koje može ostvariti pojedini član mehanizma u odnosu na drugi. Budući da slobodno kruto tijelo u prostoru ima 6 stupnjeva slobode bit će f=6‐p, gdje je p broj stupnjeva slobode kinematičkog para, a f broj kinematičkih veza.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 5 Kinematičke parove označavat ćemo prema broju stupnjeva slobode sa p1, p2, p3, p4 i p5 tako da indeks ujedno označava broj stupnjeva slobode gibanja.
Naziv
Broj veza
Broj stupnjeva slobode
Skica
Shematski prikaz
Tablica 2. Prikaz nekih kinematičkih parova
kugla‐ravnina
1
5
valjak‐ravnina
2
4
Sferni zglob
3
3
Kvadar‐ravnina
3
3
z
x
y
z y
x
z
y
x
z y x
6
z
y x
4
2
4
2
5
1
5
1
Cilindrični spoj
z Sferni zglob s zatikom
y
x
Klizač (translatoid)
z Rotacijski zglob (rotoid)
y x
SVOJSTVO REVERZIBILNOSTI NIŽIH KINEMATIČKIH PAROVA Niži kinematički parovi imaju svojstvo reverzibilnosti, što znači da su relativne putanje proizvoljne točke jednog člana u odnosu na drugi član jednake krivulje. Promotrimo to na primjeru rotoida: zamislimo najprije da je član 2 nepomičan, dok član 1 rotira. U tom će slučaju jedna točka člana 1 opisivati kružnicu u odnosu na član 2. Promijenimo li gibanje tako da zamislimo da je član 1 nepomičan, a da član 2 rotira tada će odgovarajuća točka člana 2 u odnosu na član 1 opisivati kružnicu.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 7
A
Slika 4. Svojstvo reverzibilnosti nižih kinematičkih parova
Viši kinematički parovi nemaju svojstvo reverzibilnosti. Jedan takav kinematički par prikazan je na slici 8. Ako pri tome zamislimo da ne postoji klizanje između članova 1 i 2 tada će u slučaju da je član 1 nepomičan proizvoljna točka člana 2 opisivati cikloidu. Obrnuto, ako je član 2 nepomičan, tada će neka točka člana 1 opisivati evolventu.
2
cikloida
1 evolventa Slika 5. Viši kinematički par
Primjeri viših kinematičkih parova u ravnini prikazani su na slici (Slika 6). Kod viših ravninskih kinematičkih parova je broj stupnjeva slobode jednak 2. Naime, jedan član u odnosu na drugi može se gibati translatorno i rotaciono. Pri tome valja imati na umu da kinematički par mora biti zatvoren, tj. da između tijela mora cijelo vrijeme biti ostvaren dodir.
2 1 Slika 6. Viši kinematički parovi u ravnini
KINEMATIČKI LANCI Kinematički lanac je sistem tijela međusobno povezanih kinematičkim parovima. Razlikujemo otvorene i zatvorene kinematičke lance. Zatvorene kinematičke lance možemo podijeliti prema broju zatvorenih petlji na lance s jednom, dvije ili više petlji.
8
Da bi iz kinematičkog lanca dobili mehanizam potrebno je jedan član kinematičkog lanca učiniti nepomičnim (postolje).
k j
j k
i
i
l l
j k
m
i n
Slika 7. Primjeri kinematičkih lanaca
STUPANJ POKRETLJIVOSTI MEHANIZMA Pod stupnjem pokretljivosti mehanizma odnosno kinematičkog lanca podrazumijevamo broj stupnjeva slobode pokretnih članova mehanizma u odnosu na nepokretni član (postolje). Broj stupnjeva slobode gibanja mehanizma zavisi o broju članova mehanizma, te o broju i stupnjevima slobode gibanja kinematičkih parova. Neka mehanizam ima ukupno n članova (uključujući i nepokretno postolje). Učvrstimo li jedan član bit će broj pokretnih članova n‐1. Kod prostornih mehanizama kad bi svi pokretni članovi bili slobodni ukupni broj stupnjeva slobode bio bi 6 (n‐1). Članovi mehanizma su međusobno povezani kinematičkim parovima. Ako broj kinematičkih parova označimo s k, a broj veza pojedinog kinematičkog para s fj, ukupni broj veza je k
v = å fj
(1)
j =1
Broj stupnjeva slobode prostornog mehanizma koji se sastoji od n međusobno povezanih članova je tada k
w = 6(n -1) - å fj
(2)
j =1
Ukupni broj veza u kinematičkim parovima možemo rasporediti po vrstama kinematičkih parova. Kinematički parovi s jednim stupnjem slobode (p1) imaju 5 veza, oni s dva stupnja slobode (p2) imaju 4 veze itd. Ako ukupni broj kinematičkih veza u mehanizmu s jednim stupnjem slobode označimo s p1, tada će broj veza koje pripadaju tim kinematičkim parovima biti 5p1. Analogno će biti broj veza koje su sadržane u kinematičkim parovima s dva stupnja slobode biti 4p2, gdje je p2 ukupni broj kinematičkih veza s dva stupnja slobode gibanje. Prema tome je broj stupnjeva slobode prostornog mehanizma:
w = 6(n - 1) - 5 p1 - 4 p2 - 3 p3 - 2 p4 - p5
(3)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 9 5
w = 6(n -1) - å (6 - i )pi
(4)
i =1
gdje je n ukupni broj članova mehanizma, a pi broj kinematičkih parova s i stupnjeva slobode gibanja Kod ravninskih mehanizama će svaki član i svaki kinematički par imati 3 vanjske veze, pa je
w = (6 - 3)(n - 1) - 5 - 3 p1 - (4 - 3)p2
(5)
dok kinematički parovi tipa p3, p4 i p5 ne mogu postojati kod ravninskih mehanizama. Broj stupnjeva slobode ravninskih mehanizama je prema tome
w = 3(n - 1) - 2 p1 - p2
(6)
Kod ravninskih mehanizama mogu postojati samo kinematički parovi s jednim i dva stupnja slobode gibanja. PRIMJER 1. Odrediti broj stupnjeva slobode gibanja prostornog mehanizma prikazanog na skici. Ukupni broj članova ovog mehanizma je n=4, dok je broj kinematičkih veza p1 = 2(R) , p2 = 1(C ) ,
p3 = 1(S ) . Broj stupnjeva slobode gibanja:
w = 6(n - 1) - 5 p1 - 4 p2 - 3 p3 - 2 p4 - p5 = 1
C S
R
R
Slika 8. Prostorni četverokut s jednim stupnjem slobode gibanja
PRIMJER 2. Odrediti broj stupnjeva slobode gibanja prostornog mehanizma prikazanog na skici 13. Ukupni broj pokretnih članova mehanizma n=4, a broj kinematičkih veza: p1 = 2(R) i p3 = 2(S) . Broj stupnjeva slobode gibanja:
w = 6(n -1) - 5p1 - 4 p2 - 3p3 - 2p4 - p5 w = 6 ⋅3- 5⋅2- 3⋅2 = 2
10
S S
R
R
Slika 9. Prostorni četverokut s dva stupnja slobode gibanja (jedan unutrašnji, jedan vanjski)
Ovaj mehanizam ima zapravo jedan unutrašnji stupanj slobode gibanja (rotacija člana 3 oko osi koja spaja središta sfernih zglobova), tako da je stvarni vanjski stupanj slobode gibanja w=1. O unutrašnjim ili lažnim stupnjevima slobode vidi kasnije.
MEHANIZMI S PASIVNIM VEZAMA Promotrimo zglobni četverokut s jednakim nasuprotnim stranicama (zglobni paralelogram) prikazan na slici (). Broj stupnjeva slobode gibanja tog ravninskog mehanizma je w=1. Pri tome će zbog posebnog izbora duljine stranica mehanizam u bilo kojem položaju imati oblik paralelograma. Spojimo li dvije točke E i H koje su jednako udaljene od točaka A i D članom EH duljine EH=AD=BC dobit ćemo mehanizam prikazan na slici (Slika 10 b). Veza između članova 1 i 2 pomoću štapa 5 nije promijenila stupanj slobode gibanja mehanizma te takvu vezu nazivamo pasivnom vezom. U ovom smo primjeru to mogli postići zbog posebno odabrane geometrije mehanizma i dodatnog člana. Prema izrazu za broj stupnjeva slobode gibanja za mehanizam na slici (Slika 10 b) bit će međutim w=0, što bi značilo da se ne radi o mehanizmu, nego o statički određenoj rešetkastoj konstrukciji. To bi bio ispravan zaključak kada bi duljina štapa EH bila različita od duljina AD odnosno BC.
3
B
C
2
3
B
2
4 1
D
A
4 H
5
E A
C
1
D
Slika 10. Zglobni paralelogram bez i s pasivnom vezom
Dodavanje pasivne veze može izvesti samo tako da se zadovolje sasvim određeni geometrijski uvjeti (odabere li se da je EH ¹ AD , umjesto mehanizma dobit ćemo konstrukciju s nultim stupnjem slobode gibanja).
M. Husnjak: Teorija mehanizama 11 Kod proučavanja kinematičke strukture mehanizma ne vrši se analiza sila koje djeluju na mehanizam kao ni analiza čvrstoće članova mehanizama, a lokalne pasivne veze vrlo su česte u mehanizmima kada je potrebno vezu konstruirati tako da zadovolji uvjete čvrstoće ili druge konstrukcione uvjete.
A
B
C
Slika 11. Koljenasta osovina s tri ležaja
Tipičan primjer takve veze je koljenčasta osovina motora s unutrašnjim izgaranjem, kod koje je rotoid izveden tako da se sastoji od nekoliko ležajeva, od kojih jedan ima funkciju aksijalno radijalnog ležaja, dok su ostali radijalni ležajevi. Očito je da je broj stupnjeva slobode koljenaste osovine w=1, iako je broj veza takav da bi se pomoću jednadžbe za broj stupnjeva slobode mogao dobiti drugačiji rezultat. Takva izvedba koristi se zbog raspodjele sila na osovinu te omogućavanja toplinskih dilatacija osovine kod promjene temperature. Sa stanovišta statike takva je veza statički neodređena, ali kinematički gledano ona ima jednaku funkciju kao rotoid. I u ovom primjeru je očito da je prilikom izvedbe ovakve veze potrebno zadovoljiti vrlo stroge geometrijske uvjete (koaksijalnost svih ležajeva na osovini), kako umjesto mehanizma ne bismo dobili konstrukciju koja je nepomična. Broj stupnjeva slobode gibanja mehanizama s pasivnim vezama može se odrediti tako da se uzmu u obzir i takve veze u mehanizmu. Modificirana jednadžba kod prostornih mehanizama glasi:
w = 6(n -1) - 5p1 - 4 p2 - 3p3 - 2p4 - p5 + q 5
w = 6(n -1) - å (6 - i )pi + q
(7)
i =1
gdje je q broj pasivnih veza, a n ukupni broj članova mehanizma. U primjeru koljenčaste osovine bit će (pod uvjetom da ležajevi nisu podesivi, tj. da ne dozvoljavaju rotaciju oko bilo koje druge osi osim aksijalne):
n = 2; p1 = 1; p2 = 2;q = 8 te je:
w = 6 ⋅1 - 5 ⋅1 - 4 ⋅ 2 + 8 = 1
12
Ovu jednadžbu često koristimo za određivanje statičke neodređenosti neke veze q, jer je jednostavnije odrediti broj stupnjeva slobode w: 5
q = w - 6(n -1) + å (6 - i )pi
(8)
i =1
Primjeri (Slika 12) prikazuju pokazuju izvedbe rotoida s različitim statičkim neodređenostima q, ali s istim stupnjem slobode gibanja w=1.
q=0
q=2 1
1
2
2
q=5
q=0 1
1
2
2
Slika 12. Neke moguće izvedbe rotoida
1 2 3 Slika 13. Mehanizam Kardanskog zgloba
MEHANIZMI S UNUTRAŠNJIM ILI LAŽNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA Veze između članova mehanizma kao i broj članova mehanizma očito određuju njegovu kinematiku. Međutim, postoje i takve slobode gibanja pojedinih članova mehanizma, koji neće utjecati na osnovni stupanj slobode gibanja. Takve stupnjeve slobode gibanja nazivamo unutrašnjim ili lažnim stupnjevima slobode gibanja mehanizma.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 13 Primjer mehanizma s unutrašnjim stupnjem slobode gibanja gibanja prikazan je na slici (Slika 14 a). Ovaj krivuljni mehanizam, čija je osnovna funkcija prenošenje rotacionog gibanja grebena 2 na podizač 4 koji se giba translatorno, sastoji se od ukupno četiri tijela (postolja 1, grebena 2, kotačića podizača 3 i podizača 4). Članovi mehanizma su međusobno povezani s tri kinematička para s jednim stupnjem slobode gibanja i jednim kinematičkim parom s dva stupnja slobode gibanja. Prema tome je za ovaj mehanizam n=4, p1=3, p2=1, pa je stupanj slobode gibanja w=2. Ovaj prekobrojni stupanj slobode gibanja odnosi se na mogućnost rotacije valjčića 3 oko vlastite osi, a to gibanje (u slučaju da je valjak kružni) ne može utjecati na gibanje člana 4. Mehanizam bez unutrašnjeg stupnja slobode gibanja prikazan je na slici (Slika 14 b). Također je potrebno istaknuti da će gibanje kotačića podizača ovisiti o silama koje na njega djeluju na mjestu dodira s grebenom (sila trenja i normalna reakcija) i silama odnosno momentu trenja u zglobu O2.
1
1
4
3
3 2
2
a)
b)
Slika 14. Mehanizam sa i bez prekobrojnog stupnja slobode gibanja
Drugi primjer mehanizma s prekobrojnim stupnjem slobode gibanja jest prostorni mehanizam (Slika 15). Ovaj se stupanj slobode gibanja odnosi na mogućnost rotacije člana 3 oko uzdužne osi, što neće djelovati na odnos gibanja članova 2 i 4.
S S
R
R
Slika 15. Prostorni mehanizam s prekobrojnim stupnjem slobode gibanja
KINEMATIČKA I STRUKTURNA SHEMA MEHANIZMA
14
Pojmovi mehanizam i kinematički lanac su bliski. Pod mehanizmom podrazumijevamo takav kinematički lanac koji omogućuje prijenos gibanja i sila i kod kojeg je obično jedan član nepomičan. Mehanizam možemo prikazati pomoću detaljnog crteža, idejnom skicom, kinematičkom i strukturnom shemom. Pod kinematičkom shemom podrazumijevamo takav crtež koji sadrži samo one elemente mehanizma koji imaju utjecaja na njegovo gibanje. Kinematička shema određenog mehanizma prikazuje se u određenom mjerilu koje je potrebno za određivanje gibanja. U kinematičkim shemama članovi mehanizama prikazuju se pojednostavljeno. Ona je ujedno i osnovni crtež za proračun kinematike mehanizma. Pri strukturnoj analizi mehanizama i pri izboru metode proračuna služimo se strukturnom shemom mehanizma. U toj shemi simbolički prikazujemo članove mehanizma i kinematičke parove, ne vodeći računa o njihovim dimenzijama.
A B O
a 3
A
B
A 3
2 O
B
2
4
1
O
b
4 1 c
B'
Slika 16. Polukonstruktivna (a), kinematička (b) i strukturna (c) shema mehanizma
Na slici (Slika 16) prikazana je polukonstruktivna, kinematička i strukturna shema mehanizma kompresora. Ovakav mehanizam nazivamo klipno‐koljenčasti mehanizam koji primjenjujemo i kod motora s unutrašnjim izgaranjem, u parnim strojevima, pumpama, tiskarskim prešama i u mnogim drugim strojevima.
STRUKTURNA ANALIZA MEHANIZAMA Odnos broja članova mehanizma i broja kinematičkih parova kod ravninskih mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja može se analizirati pomoću jednadžbe
w = 3(n - 1) - 2 p1 - p2 gdje je: n ukupni broj članova mehanizma p1 broj kinematičkih parova s jednim stupnjem slobode gibanja
M. Husnjak: Teorija mehanizama 15 p2 broj kinematičkih parova s dva stupnja slobode gibanja Kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja (w=1) je:
3(n - 1) - 2 p1 - p2 - 1 = 0 Ukoliko mehanizam sadrži samo kinematičke parove s jednim stupnjem slobode tj. p2=0, bit će:
3(n - 1) - 2 p1 - 1 = 0 ili
3 p1 = n - 2 2 Budući da je broj kinematičkih parova cijeli broj slijedi da ukupni broj članova mehanizma koji sadrže samo kinematičke parove s jednim stupnjem slobode gibanja mora biti paran. Kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja, koji imaju samo jedan viši kinematički par (p2=1) bit će broj kinematičkih parova prvog reda:
p1 =
3n - 5 2
te prema tome ukupni broj članova mehanizma (zajedno s postoljem) mora biti neparan. Tablica 3. Ovisnost broja članova mehanizma i broja kinematičkih parova
Ukupni broj članova mehanizma n
3
4
5
6
7
8
9
10
Broj kinematičkih parova 1 reda p1
2
4
5
7
8
10
11
13
Broj kinematičkih parova 2 reda p2
1
0
1
0
1
0
1
0
B 4
3 A
A
4
2 OA
OB 1
3
2 OA 1
1
Slika 17. Mogući tipovi mehanizama s nižim kinematičkim parovima i jednim stupnjem slobode gibanja
16
B 4
1 3
1 3
A 5 O 2
2 1
Slika 18. Tipovi mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja koji sadrže i jedan viši kinematički par
PRIMJER 1. Zadan je šesteročlani Wattov kinematički lanac. Provesti sistematski pregled mogućih mehanizama iz ovog kinematičkog lanca, tako da pogonski član ima rotaciono gibanje, a radni član translacijsko. Inverzije mehanizama koje se zbog simetričnosti kinematičkog lanca ponavljaju izvesti samo jedanput. Svi kinematički parovi osim kod radnog člana neka budu rotoidi.
4
3
5
2
6
1
Slika 19. Strukturna shema Wattovog mehanizma
1. rješenje:
3 4 5 2 1
6
Slika 20. Prva varijanta mehanizma na temelju Wattove kinematičke sheme
Za postolje odabran je član 1, pogonski član je član 2, a radni je član 6. Ako se za pogonski član odabere član 6, a za radni član 2 dobije se jednaki mehanizam. Zbog simetrije strukturne sheme jednaki se mehanizmi dobiju izborom člana 4 za postolje, te članova 3 i 5 za pogonski odnosno radni. 2. rješenje
M. Husnjak: Teorija mehanizama 17
5 6 4 3
1
2 Slika 21. Druga varijanta mehanizma na temelju Wattove kinematičke sheme
Odaberemo li član 2 za postolje, član 3 kao pogonski, a član 1 kao radni dobije se mehanizam prikazan na slici (Slika 21). Ovaj mehanizam je zapravo motorni mehanizam s dodatnim mehanizmom koji se sastoji od članova 4, 5, 6 i 1 i takav mehanizam ne predstavlja rješenje. Izborom članova 3, 5 ili 6 za postolje dobivamo slične mehanizme koji iz istog razloga nisu rješenje zadatka. PRIMJER 2. Stephensonov mehanizam Zadana je strukturna shema Stephensonovog mehanizma sa šest članova Provesti sistematski pregled mogućih mehanizama iz ovog kinematičkog lanca, s tim da pogonski član ima rotaciono gibanje, a radni član translacijsko. Inverzije mehanizama koje se zbog simetričnosti kinematičkog lanca ponavljaju izvesti samo jedanput. Svi kinematički parovi osim kod radnog člana neka budu rotoidi.
3 4
2
1 Slika 22. Strukturna shema Stephensonovog mehanizma
Rješenja:
5
6
18
3
5
5 3
2
4
4
6
6
1
2
1
2
3
4
2
1
1 6
4 5
5
3
Slika 23. Mogući oblici Stephensonovog mehanizma kod kojih je radni član translatoid
PRIMJER 3. Wattov mehanizam Provesti analizu mogućih mehanizama iz Wattovog kinematičkog lanca (vidi primjer 1.), ako pogonski član vrši rotacijsko gibanje, a radni translacijsko uz uvjet da u mehanizmu može biti još jedan translatoid pored radnog člana. Rješenje:
1 6
1
6
5
4 5 3 2 2
1 1
3 4
1
Slika 24. Wattov mehanizam s dva translatoida
Dobili smo dva identična mehanizma. Ostale mogućnosti daju zbog simetrije isto rješenje ili su dobiveni mehanizmi nepodesni.
METODE OBLIKOVANJA MEHANIZAMA
ZAMJENA VIŠIH KINEMATIČKIH PAROVA NIŽIMA
M. Husnjak: Teorija mehanizama 19 Ako mehanizam sadrži više kinematičke parove tada je za strukturnu analizu mehanizma i za njegovo kinematičko opisivanje pogodnije zamijeniti više kinematičke parove nižima. Pri toj zamjeni dodaje se novi član mehanizmu i pri tome je potrebno zadovoljiti slijedeće uvjete: 1. stupanj pokretljivosti mehanizma mora ostati jednak 2. relativno gibanje članova mehanizma mora biti jednako
B
B
r2 r1 A OA
O4
B
4 D5
1
O2
r1 A OA
OB
O4
B
3 2
r2
2 O2
6
OB
4 D5
B
3 1
O4
6
3 O2
6
S
S
2
4 D5
1 1
Slika 25. Zamjena višeg kinematičkog para nižima
EKSPANZIJA ROTOIDA Ekspanzija rotoida sastoji se u povećanju promjera zgloba do te mjere da se unutar zgloba može smjestiti drugi član mehanizma. Pri tome se neće promijeniti kinamatika mehanizma ukoliko središta zglobova ostanu na istom mjestu. Promjene oblika mehanizma ekspanzijom rotoida vrši se često zbog konstruktivnih zahtjeva (zahtjevi čvrstoće). Nekoliko primjera ekspanzije rotoida prikazani su na slici 30.
B
A OA
OB
B
A OA
OB
B
A
OB
OA
Slika 26. Modifikacija mehanizma ekspanzijom rotoida
OSNOVNI TIPOVI MEHANIZAMA
RAVNINSKI MEHANIZMI S NIŽIM KINEMATIČKIM PAROVIMA.
20
Mehanizme sastavljene od međusobno povezanih čvrstih tijela možemo podijeliti na dvije grupe: mehanizme s nižim kinematičkim parovima i mehanizme s višim kinematičkim parovima. Mehanizme s nižim kinematičkim parovima nazivamo i štapnim mehanizmima. Najčešći mehanizam s nižim kinematičkim parovima je zglobni četverokut (slika 21). Ovaj se mehanizam sastoji od 4 člana, pri čemu je član 1 nepomičan, članovi 2 i 4 rotiraju oko nepomične osi, dok član 3 povezuje članove 2 i 4 pa ga nazivamo sprežnim članom. Članovi 2 i 4 mogu vršiti puni okret u odnosu na nepomični član (rotirajući član), ili pak mogu rotirati samo za određeni kut (oscilirajući član). Zavisno od toga zglobni četverokut može biti s dva rotirajuća člana, s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom i sa dva oscilirajuća člana. 2 A
c B
b
A0
d B0
a
2
0 Slika 27. Zglobmi četverokut s dva rotirajuća člana
Bg
B b A a
0
Bd
c
0
0
Tg 0
Ag d
A0
B0
Td
Ad
0
2
Slika 28. Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom
A d
A0
a
B
0
0 b
0 c
B0
0
Slika 29. Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana
Zamjena jednog ili dva rotoida s translatoidima daje mehanizme prikazane na slici (Slika 30).
0
M. Husnjak: Teorija mehanizama 21 Zamijenimo li samo jedan rotoid translatoidom dobit ćemo dva tipa mehanizama. Ukoliko je nepomičan član mehanizma onaj koji je povezan s translatoidom, tada takav translatoid nazivamo klipom, a u slučaju da je nepomičan član mehanizma koji sadrži dva rotoida, tada translatoid nazivamo kulisom. Odgovarajuće mehanizme nazivamo klipnim odnosno kulisnim mehanizmima. Kod zamjene dva rotoida s dva translatoida dobiju se tri tipa mehanizama: mehanizam elipsografa, kod kojeg su trajektorije točaka sprežnog člana elipse, dvokulisni mehanizam, i sinusni mehanizam kod kojeg se klip giba proporcionalnu sinusu kuta zakreta rotirajućeg člana, ako je kut među osima članova koji se gibaju jednak 90o. Iz četveročlanog mehanizma s dva translatoida povezanih zglobom dobije se samo jedan mehanizam kojeg nazivamo tangensnim mehanizmom zbog toga što je pomak klipa proporcionalan tangensu kuta rotirajućeg člana.
3 1
3
2
4
2
1
1
2
4
3
4 1
2
3
3 1
3
4
2
2 4 4
1
1
Slika 30. Mehanizmi nastali iz zglobnog četverokuta zamjenom rotoida translatoidom
Konstruktivni oblici ovih mehanizama mogu biti vrlo različiti. Shematski prikazi nekih od tih mehanizama vidljivi su na slikama (Slika 31 i Slika 32).
A
3 1
O1
O2
O1
2 O2
Slika 31. Kulisni mehanizam s periodičkim djelovanjem (malteški križ) i njegova kinematička shema
22
B a C b
b
A a Slika 32. Mehanizam elipsografa
PROSTORNI MEHANIZMI S NIŽIM KINEMATIČKIM PAROVIMA Kod prostornih mehanizama kod kojih su članovi spojeni samo rotoidima i kod kojih se osi rotacije rotoida sijeku u jednoj točki trajektorije svih točaka ležat će na koncentričnim kuglama. Takve mehanizme nazivamo sfernim mehanizmima. Strukturna svojstva tih mehanizama u mnogome su analogna ravninskim mehanizmima. Na slici (Slika 33) prikazan je poseban slučaj takvog mehanizma kod kojeg osi rotacije rotoida međusobno zatvaraju pravi kut. Takav mehanizam nazivamo Kardanskim mehanizmom (G. Cardano, 1501‐ 1576), a ponekad i Hookeovim zglobom i služi za prijenos rotacije s jedne na drugu osovinu koje se sijeku pod kutem. Detaljnija kinematička analiza pokazuje da će gonjena osovina rotirati promjenljivom kutnom brzinom kod jednolike rotacije pogonske osovine.
Slika 33. Kardanski ili Hookeov zglob
Prostorni zglobni četverokut služi za prijenos rotacionog gibanja s jedne na drugu osovinu. U ovisnosti o dimenzijama članova mehanizma možemo dobiti mehanizam s dva rotirajuća člana, s jednim rotirajućim i drugim oscilirajućim članom te s dva oscilirajuća člana.
KINEMATIČKA ANALIZA MEHANIZAMA
KINEMATIKA POGONSKIH I RADNIH ČLANOVA MEHANIZAMA.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 23 Broj stupnjeva slobode gibanja mehanizma zadane strukturne sheme i dimenzijama članova jednak je broju nezavisnih kinematičkih parametara ili broju poopćenih koordinata koje je potrebno poznavati da bi kinematika mehanizma bila u potpunosti određena. Član mehanizma kojemu je zadana jedna ili više poopćenih koordinata nazivamo ulaznim ili pogonskim članom mehanizma. U najvećem broju slučajeva pogonski član mehanizma izvodi jednostavno gibanje (rotacija oko nepomične osi ili pravocrtno gibanje) koje možemo ostvariti pogonskim motorom, međutim u slučajevima kad je mehanizam koji promatramo pogonjen nekim drugim mehanizmom gibanje pogonskog člana može biti vrlo složeno.
z
x
y
Slika 34. Pogonski član sa sfernim zglobom
x
A
Slika 35. Rotacioni i translatorni pogonski član
Na slici (Slika 34) prikazan je pogonski član sa sfernim kinematičkim parom. Njegov položaj određen je s tri koordinate (tri Eulerova kuta , i ), dok slika (Slika 35) prikazuje ulazne članove kod kojih je gibanje određeno samo jednom koordinatom (kut kod rotacionog ulaznog člana ili položaj x kod translacionog). Osnovni zadatak svakog mehanizma je pretvorba gibanja pogonskog člana u gibanje radnog člana. Neke od mogućih pretvorbi rotacionog gibanja pogonskog člana mehanizma s jednim stupnjem slobode gibanja u rotaciono ili translatorno gibanje radnog člana prikazano je na slici (Slika 36). Pogonski član obično označavamo brojem 1, dok je radni označen s brojem n. Kod mehanizma s više stupnjeva slobode gibanja potrebno je više pogonskih članova čije gibanje mora biti poznato. Slika 37 prikazuje mehanizam s dva stupnja slobode gibanja kod kojeg su pogonski članovi 1 i 2 dok je radni član n.
24
n 1
1
vn
Slika 36. Pretvorba gibanja ulaznog člana u gibanje izlaznog kod mehanizama s jednim stupnjem slobode gibanja
n
1 2
Slika 37. Pretvorba gibanja ulaznog člana u gibanje izlaznog kod mehanizama s dva stupnja slobode gibanja
U mnogim slučajevima kod konstruiranja mehanizama zakon po kojem se poopćene koordinate mijenjaju u funkciji vremena može se odrediti tek nakon dinamičke analize mehanizma pod utjecajem sila koje djeluju na mehanizam te masa i momenata tromosti članova mehanizma. Tada se gibanje mehanizma određuje u dva koraka: najprije se odrede funkcije položaja i prijenosne funkcije u ovisnosti o poopćenim koordinatama, a naknadno se određuje zakon promjene poopćenih koordinata kao i ostalih kinematičkih parametara o vremenu. Tako će npr. kod mehanizma s dva stupnja slobode gibanja najprije biti potrebno odrediti prijenosnu funkciju koja određuje poopćenu koordinatu položaja radnog člana (n) u ovisnosti o poopćenim koordinatama pogonskih članova (1 i 2):
jn = jn (j1 ,j2 )
(9)
Brzinu radnog člana određujemo deriviranjem koordinate položaja po vremenu
wn =
djn = un(11)w1 + un(22)w2 dt
(10)
gdje su 1, 2 i n kutne brzine članova 1, 2 i n, dok su un( 1) i un( 2) parcijalni prijenosni omjeri. 1
2
Kod mehanizma s jednim stupnjem slobode gibanja je
wn =
djn djn dj1 = = un1 w1 dt dj1 dt
(11)
djn wn = dj1 w1
(12)
gdje je
un1 =
omjer kutnih brzina radnog i pogonskog člana (prijenosni omjer).
M. Husnjak: Teorija mehanizama 25
METODE KINEMATIČKE ANALIZE Određivanje položaja, brzina i ubrzanja mehanizama može se provesti grafičkim, analitičkim i numeričkim metodama. Od mnogobrojnih grafičkih metoda spomenut ćemo samo metodu trenutnih polova brzina (za određivanje brzina) i metodu plana brzina i ubrzanja koje su primjenjive za mehanizme koji se gibaju ravninski.
TRENUTNI POLOVI BRZINA Relativni trenutni pol brzina može se definirati kao trenutni položaj dviju koincidentnih točaka dvaju tijela kojima su apsolutne brzine međusobno jednake. Iz toga automatski slijedi da je relativna brzina točke jednog tijela u odnosu na koincidentnu točku drugog tijela jednaka je nuli. Analiza gibanja pomoću trenutnih polova brzina svodi se na analizu rotacije jednog tijela u odnosu na drugo oko njihovog zajedničkog trenutnog pola brzina. Ukoliko promatramo gibanje tijela u odnosu prema nepomičnom članu (postolju) tada govorimo o apsolutnom trenutnom polu brzina. Položaj apsolutnog trenutnog pola brzina u odnosu na nepomičnu referentnu ravninu može se odrediti pomoću jednadžbe
w2 ´v A rPA = w22
(13)
ili u sjecištu okomica na vektore brzina dviju točaka tijela (Slika 38). vA vB
2 A
A
B
vA
2
rPA vP =0
1
P P
1
Slika 38. Određivanje apsolutnog trenutnog pola brzina krutog tijela
Kod mehanizama koji ima n članova broj trenutnih polova brzina je
ænö n(n -1) np = çç ÷÷÷ = . çè2÷ø 2
(14)
KENNEDY‐ARONHOLDOV TEOREM Tri trenutna pola brzina za tri kruta tijela koja se relativno gibaju (bez obzira da li su međusobno povezana kinematičkim vezama), leže na jednom pravcu. Dokaz teorema može se lako provesti redukcijom ad absurdum (Slika 39). Naime, pretpostavi li se da relativni trenutni pol brzina P tijela 2 i 3 ne leži na pravcu koji spaja relativne polove brzina P12 i P13 tijela 2 i 3 u odnosu na referentnu ravninu 1 može se dokazati da točka P može biti trenutni pol brzina jedino u slučaju da leži na pravcu koji spaja polove P12 i P13.
26
1
n
P12
vP
vP
3
2
2
3
P t
P13 Slika 39. Uz dokaz Kennedy‐Aronholdovog teorema
Ako su dva člana mehanizma j i k spojena zglobom očito je da trenutni pol brzina Pjk leži u osi zgloba za sve moguće položaje tih članova, te je točka Pjk stalni i trenutni pol brzina. Kad se jedan član, npr. klizač, giba pravocrtno po drugom tada trenutni pol brzina leži u beskonačnosti na normali na putanju klizača. Kod dodira dvaju tijela trenutni pol brzina bit će u točki dodira tijela u slučaju kad nema klizanja na dodirnim površinama, ali kad uz kotrljanje dolazi i do klizanja između tijela trenutni pol brzina bit će na zajedničkoj normali u točki dodira tijela (Slika 40).
n
k
n
Pjk
k j
Pjk
Pjk
t A
j
t A
P jk
rotoid
translatoid
kotrljanje bez klizanja
kotrljanje s klizanjem
Slika 40. Trenutni polovi brzina između dva kinematički povezana tijela kod planarnih mehanizama
Pri određivanju trenutnih polova brzina kod mehanizama najprije pronalazimo sve trenutne polove koji direktno zadovoljavaju njihovu definiciju, a zatim primjenom Kennedy‐Aronholdova teorema pronalazimo preostale trenutne polove brzina.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 27
B
B
P
3,4
3
3 P
A 4 2 O2
1
A
2,3
P
O4
4 P
P1,2 O 2
2,4
1,4
1
P
1,3
Slika 41. Trenutni polovi brzina zglobnog četverokuta
P13 1 vA3 A2 3
vA3 A3
vA2 t
A2 vP23
P12 1
P13
P23 21
2
Slika 42. Trenutni polovi brzina krivuljnog nehanizma
vA2
vA A
3 2
vA3
t
n vP23 P12 1
A3 A2
P23 21
3 31
P13 1
2
Slika 43. Trenutni polovi brzina krivuljnog mehanizma s oscilirajućom radnim članom
O4
28
Kod višečlanog mehanizma poželjno je voditi evidenciju o pronađenim polovima. Jednostavan način za to je da članove mehanizma prikažemo točkama u ravnini. U tom će slučaju dužina koja povezuje dvije točke predstavljeti trenutni pol, dok će pravac na kojem leže tri pola brzina prema Kennedy‐Aronholdovom teoremu biti prikazan trokutom. 1
4
2
3 A
2
1
3 B
3
A 1
4
C
C
1
1
a)
4
P12
P14 P13
4
2 3
P23 3
4
1 P12
P34
B
b)
1 P14
2
A 2
P12 1
P34
P23 B
P34
P24
2
P23
P23
3
A 2
P12 1
4
3 B
P34
4
P13 C
C
P14
1
P14 P34
1 c)
d)
1 P12
P14
P24
4 P34
P24
2
P13
3
P23 2 P12 A
3
1
P23 B
P34
4
P13 C 1 e)
P14 P34
Slika 44. Postupak određivanja trenutnih polova brzina kod ravninskog mehanizma (Whitworthov brzo‐povratni mehanizam)
Postupak određivanja trenutnih polova brzina kod Whitworthovog brzo‐povratnog mehanizma uz istovremeno vođenje evidencije o trenutnim polovima i pravcima koji zadovoljavaju Kennedy‐Aronholdov teorem prikazan je na slikama (Slika 44). Postupak određivanja trenutnih polova brzina:
M. Husnjak: Teorija mehanizama 29 1.
Uz kinematičku shemu mehanizma nacrtamo onoliko točaka koliki je broj članova mehanizma. Ove će nam točke poslužiti kao evidencija o pronađenim polovima brzina i pomoći kod primjene Kennedy‐Aronholdova teorema (Slika 44 b).
2.
Pronalazimo trenutne polove brzina koji direktno zadovoljavaju definiciju (relativni trenutni pol dvaju članova mehanizma, koji se međusobno gibaju, predstavljen je kao položaj dviju koincidentnih točaka tijela kojima su apsolutne brzine međusobno jednake). Na taj način (Slika 44 c), pronađeni su slijedeći polovi P12 zglob koji povezuje član 1 i 2, P23 zglob koji povezuje član 2 i klizač 3, P14 zglob koji povezuje tijela 1 i 4, P34 točka na normali na štap 4 u beskonačnoj udaljenosti
3.
Evidenciju
4.
Preostala dva trenutna pola brzina pronalazimo primjenom Kennedy‐Aronholdova teorema. Pri tome
Kod višečlanog mehanizma poželjno je voditi evidenciju o pronađenim polovima. Jednostavan način za to je da članove mehanizma prikažemo točkama u ravnini. U tom će slučaju dužina koja povezuje dvije točke predstavljeti trenutni pol, dok će pravac na kojem leže tri pola brzina prema Kennedy‐Aronholdovom teoremu biti prikazan trokutom (Slika 44 d).
P36
P13 P35
P24
P25 P12
2
4 P14
P26
P45
3
5 4
P46 1
1
2
6 P34
3
P23
1
5
6 P56
P15
P16
1 Slika 45. Primjer određivanja trenutnih polova brzina šesteročlanog mehanizma
30 25
B
C
2
E
3
1
4
D
A 6
h F b
1 6
3 34
4 26
12
14
3
1 4
16 13
23
2
24
36
15
6
35 h 46
45 b
5
56
Slika 46. Trenutni polovi brzina šesteročlanog štapnog mehanizma
p.p. 2 vS
S r
n.p. 1 Slika 47. Kotrljanje valjka po ravnoj podlozi
P1,2
G
2
5
E
5
M. Husnjak: Teorija mehanizama 31 A4 A3
B
A2
p.p.
3
B1 B2 B3 B4
A1
4
A
2 O2
1
O4
n.p.
Slika 48. Gibanje jednog tijela u odnosu na drugo može se prikazati kao kotrljanje pomične poloide po nepomičnoj
METODA PLANA BRZINA I UBRZANJA Ova se metoda zasniva na grafičkom prikazu vektorskih jednadžbi koje opisuju vezu među brzina i ubrzanjima dviju točaka A i B krutog tijela kod planarnog gibanja
v B = v A + v BA = v A + w ´ rBA
(15)
n t aB = aA + aBA = aA + aBA + aBA aB = aA + w ´(w ´rBA ) + e ´rBA
(16)
Kod mehanizama koji sadrže samo rotacione zglobove brzina i ubrzanje zgloba je jednaka bez obzira promatramo li zglob kao dio jednog ili drugog tijela koje povezuje. Kod mehanizama koji osim zglobnih veza sadrže i translacijske kinematičke parove potrebno je uzeti u obzir i Coriolisov teorem o relativnom gibanju
v Aa = v Ap + v Ar = v A' + v AA'
(17)
aAa = a Ap + a Ar + acor = a A' + aAA' + acor
(18)
acor = 2wp ´v Ar
(19)
Primjer: Kod zglobnog četverokuta prikazanog na slici zadano je OAA=0.2 m, AB=BC=OBB=0.5 m, OAOB=0.4 m, =60o, =2 rad/s.
32
a
C
vA
vBA Plan brzina
Plan položaja
b
Pv
vB vCB
B
vC
c
c aC
A
O
A
aCA
aB
b O
Plan ubrzanja
B
Pa aBA
t
aA
aBA a aBAn
Slika 49. Plan položaja, brzina i ubrzanja jednostavnog zglobnog četverokuta
Rezultati iz planova brzina i ubrzanja Točka
Brzina
Ubrzanje
m/s
m/s2
A
0.400
0.800
B
0.213
1.192
C
0.148
2.175
Primjer: Za brzopovratni mehanizam prikazan na skici potrebno je: a)
odrediti brzine i ubrzanje svih točaka mehanizma,
b)
relativni trenutni pol brzina članova 1 i 5 i pomoću njega provjeriti brzinu točke C.
Zadano: =10 rad/s (kutna brzina člana 1 u smjeru gibanja kazaljke na satu).
M. Husnjak: Teorija mehanizama 33 5 C B
4
2 A
1
h2
O1 h1 = 400 mm h2 = 900 mm
3
O1A=200 mm
h1
O3B=800 mm BC= 600 mm o =45
O3
0 Slika 50. Brzopovratni šesteročlani mehanizam
5
C
4
B
vC
Pv 2 vA'
A
h2 O1
1
c vB
a'
vCB b
vA vr
3 a
h1
O3 Slika 51. Plan brzina mehanizma iz primjera
34
P04
5 P45 C P25
0
B
P24
P34
P35 1
P23 217
5
2
4
P15 P14 2 P A 12
P13 P01 O1
3
4
1 3
P02
O3
P03
P05
Slika 52. Trenutni polovi brzina mehanizma
Iz poznatog položaja trenutnog pola brzina P15 i definicije trenutnog pola brzina (točka koja pripada članovima 1 i 5 i ima jednaku apsolutnu brzinu) može se jednostavno odrediti brzina klizača 5:
v5 = P01P15 ⋅ w1 = 0.217⋅10 = 2.17m/s
ANALITIČKO ODREĐIVANJE POLOŽAJA, BRZINA I UBRZANJA ANALIZA POLOŽAJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA Položaj pojedinih članova zglobnog četverokuta može se najjednostavnije odrediti grafički. Crtanjem mehanizma u nekoliko njegovih položaja dobija se uvid u gibanje pojedinih njegovih članova. Točnost takvog načina određivanja položaja zavisi o točnosti crtanja, mjerilu, točnosti mjerenja nacrtanih veličina i nije ponekad dostatna. Ukoliko su zadane samo duljine pojedinih članova, tada se zglobni četverokut može nacrtati u jednom od svoja dva moguća položaja.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 35 B
2 3
A OA
1 OB 4
Slika 53. Zglobni četverokut s nepomičnim članom OAOB, pogonskim članom OAA i radnim članom OBB, kojemu su zadane duljine pojedinih članova i položaj pogonskog člana.
Analitičko određivanje položaja može se izvesti na nekoliko načina. Ovdje je prikazan vektorski pristup rješavanja.
3
A r1 OA
1
r2
r
2 4
r4
B
2
r3
r1 OA
OB
1
r4 r2
4
r
O B r3 3
Slika 54. Analiza položaja zglobnog četverokuta. Prikazana su dva različita položaja zglobnog četverokuta s jednakim duljinama pojedinih članova i jednakim položajem pogonskog člana
Zadane su duljine pojedinih članova r1, r2, r3 i r4, te položaj pogonskog člana 1 dok je kut člana 4 jednak . Budući da je lanac zatvoren slijedi da je:
r1 + r2 + r3 + r4 = 0
(20)
Također je zatvoren i poligon koji čine vektori r1 , r i r4 , te je prema tome
r1 + r + r4 = 0 ili r1 + r = r4 i . Skalarnim množenjem vektora r sa samim sobom dobit će se jednadžba koja sadrži j1 :
r ⋅ r = r 2 = (r4 i - r1 ) ⋅ (r4 i - r1 ) = r42 - 2r1r4 cos j1 + r12 ,
(21)
odakle je veličina vektora r :
r = r42 + r12 - 2r1r4 cosj1 Ova jednadžba je zapravo kosinusni poučak za planarne trokute.
Iznos vektorskog produkta vektora r1 i r4 je
(22)
36
r1 ´ r4 = r1r4 sin(p - j1 ) = r1r4 sinj1 ,
(23)
r1 ´r4 = (r4 i - r )´(-r4 i ) = rr4 sin(p - g ) = rr4 sin g ,
(24)
r sin g = r1 sinj1 ,
(25)
a također je
pa prema tome slijedi
što je zapravo sinusni poučak za ravninske trokute. Iz jednadžbe (25) slijedi
ær ö g = arcsinççç 1 sinj1 ÷÷÷ èr ø
(26)
Na taj je način moguće odrediti duljinu r i kut .
Za trokut koji zatvaraju vektori r2 , r3 i r može se postaviti jednadžba:
r2 + r3 = r
(27)
r32 = r 2 + r22 - 2rr2 cos a
(28)
æ r 2 + r22 - r32 ÷ö ÷÷ . a = arccosçç ÷ø çè 2rr2
(29)
te je
odakle se može odrediti kut
Kod prve konfiguracije zglobnog četverokuta bit će j2 = a - g , dok je kod druge konfiguracije
j2¢ = 2p - a - g . Budući da su i poznati, mogu se odrediti i j2 i j2¢ . U cilju određivanja kuta j3 ili j3¢ , mora se odrediti kut , i može se pokazati da je u oba slučaja
r22 = r 2 + r32 - 2rr3 cos y, r2 sina = r3 sin y,
(30)
ær ö y = arcsinçç 2 sina÷÷÷ . çè r ÷ø 3
(31)
te da je:
Za prvu konfiguraciju zglobnog četverokuta će biti 2p - j3 = a + g , a za drugu konfiguraciju j3¢ = a - g . Koordinate x i y pojedinih točaka zglobnog četverokuta su:
M. Husnjak: Teorija mehanizama 37
x1 = r1 cosj1 , y1 = r1 sinj1 x2 = r2 cosj2 , y2 = r2 sinj2
(32)
x3 = r3 cosj3 , y3 = r3 sinj3 x4 = r4 cosj4 , y4 = r4 sinj4 Analiza brzina kod zglobnog četverokuta
Za zglobni četverokut koji je smješten u ravnini X,Y i koji je zadan vektorima r1 , r2 , r3 i r4 u zatvorenom poligonu (koji ne mora nužno biti planaran) činjenica da je poligon zatvoren zahtjeva da je
r1 + r2 + r3 + r4 = 0 Krutost članova mehanizma ogleda se u činjenici da su vektori
(33)
r1 , r2 , r3 i r4 vektori konstantnih veličina, što
pojednostavljuje njihovo deriviranje po vremenu.
r1 + r2 + r3 + r4 = 0 ,
(34)
Budući da se prva derivacija vektora konstantnog iznosa po vremenu dobije vektorskim množenjem s lijeva vektorom kutne brzine tog vektora, bit će
W1 ´ r1 + W2 ´ r2 + W3 ´ r3 + W4 ´ r4 = 0
(35)
U ovoj jednadžbi su W1 ,W2 ,W3 i W 4 apsolutne kutne brzine odgovarajućih članova u odnosu na koordinatni sustav XY. Ako je član 4 mehanizma nepokretan bit će:
w1 ´ r1 + w2 ´ r2 + w3 ´ r3 = 0
(36)
gdje su w1 , w2 , w3 i w4 kutne brzine odgovarajućih članova u odnosu na koordinatni sustav xy. U grafičkoj kinematici jednadžbu (36) rješavamo pomoću plana brzina. Kod planarnih mehanizama je
r1 = x1 i + y1 j , r2 = x2 i + y2 j , r3 = x3 i + y3 j ,
w1 = w1k w2 = w2k w3 = w3k
(37)
Uvrštavanje daje:
w1k ´( x1 i + y1 j ) + w2k ´(x2 i + y2 j ) + w3k ´(x3 i + y3 j ) = 0
(38)
-(w1 y1 + w2 y2 + w3 y3 )i + (w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 ) j = 0
(39)
odnosno:
iz čega slijede simultane skalarne jednadžbe:
w1 y1 + w2 y2 + w3 y3 = 0 w1 x1 + w2 x2 + w3 x3 = 0 Ako se pretpostavi da je poznata kutna brzina w1 tada će biti:
(40)
38
w2 y2 + w3 y3 = -w1 y1 w2 x2 + w3 x3 = -w1 x1
(41)
ili
-w1 x1 x3 -w1 y1 y3 x y -x y w2 = = 3 1 1 3 w1 x 2 x2 x2 y 3 - x 3 y 2 y3 y3
(42)
x2 -w1 x1 y -w1 y1 x y -x y = 1 2 2 1 w1 w3 = 2 x 2 x2 x2 y 3 - x 3 y 2 y3 y3
(43)
Za dva zglobna četverokuta koji su geometrijski slični, tj. kod kojih je
R1 = lr1 , R2 = lr2 , R3 = lr3 , R4 = lr4
(44)
omjeri kutnih brzina (prijenosne funkcije) jednake su i nezavisne od faktora . Svi će slični zglobni četverokuti imati jednake prijenosne funkcije. Ova se činjenica koristi kod sinteze mehanizama. Kako je:
x1 = r1 cos j1 , y1 = r1 sinj1 x2 = r2 cos j2 , y2 = r2 sinj2
(45)
x3 = r3 cos j3 , y3 = r3 sinj3 mogu se jednostavno izraziti prijenosni funkcije pomoću kuteva
w2 r1 sin(j1 -j3 ) = w1 r2 sin(j3 -j2 ) w3 r1 sin(j2 -j1 ) = w1 r3 sin(j3 -j2 )
(46)
Analizom rezultata za prijenosne omjere može se uočiti da oni ovise o geometriji zglobnog četverokuta te da će samo kod posebnih odnosa dimenzija biti konstantni. Jedan od posebnih slučajeva je kada je
y2 = 0, y1 = -y3 , kod kojeg će biti
w3 =1 w1 što se može realizirati paralelogramom (npr. sprežni mehanizam lokomotivskih kotača). Analiza ubrzanja kod zglobnog četverokuta
(47)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 39 Deriviranje jednadžbe za brzine po vremenu daje:
w 1 ´ r1 + w1 ´ r1 + w 2 ´r2 + w2 ´ r2 + w 3 ´ r3 + w3 ´ r3 = 0
(48)
Budući su vektori r1 , r2 i r3 konstantnog iznosa bit će:
w 1 ´ r1 + w1 ´(w1 ´ r1 ) + w 2 ´ r2 + w2 ´(w2 ´ r2 ) + w 3 ´ r3 + w3 ´(w3 ´ r3 ) = 0
(49)
Ova jednadžba je jednadžba kutnih ubrzanja za prostorne zglobne četverokute i ona povezuje geometriju kinematičkog lanca u proizvoljnom trenutku s kutnim brzinama i ubrzanjima u odnosu na nepomični član. Ravninski četveročlani mehanizam puno je značajniji za praksu. Ako se mehanizam nalazi u ravnini xy, bit će
r1 = x1 i + y1 j , r2 = x2 i + y2 j , r3 = x3 i + y3 j ,
w1 = w1k , w2 = w2k , w3 = w3k ,
e1 = w 1 = w 1k e2 = w 2 = w 2k e = w = w k 3
3
(50)
3
Nakon uvrštavanja u jednadžbu (50) slijedi:
w1k ´(x1 i + y1 j ) + w1k ´ éê w1k ´(x1 i + y1 j )ùú + ë û é +w2k ´(x2 i + y2 j ) + w2k ´ ê w2k ´(x2 i + y2 j )ùú + ë û +w3k ´(x3 i + y3 j ) + w3k ´ êé w3k ´(x3 i + y3 j )úù = 0 ë û
(51)
- éëe1 y1 + w12 x1 + e2 y2 + w22 x2 + e3 y3 + w32 x3 ùû i + + éëe1 x1 - w12 y1 + e2 x2 - w22 y2 + e3 x3 - w32 y3 ùû j = 0
(52)
te je nakon sređivanja:
što daje dvije skalarne jednadžbe:
e1 y1 + w12 x1 + e2 y2 + w22 x2 + e3 y3 + w32 x3 = 0 e1 x1 + e2 x2 + e3 x3 - w12 y1 - w22 y2 - w32 y3 = 0
(53)
Uz pretpostavku da su poznati položaji članova mehanizma x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , te njihov kutne brzine
w1 , w2 , w3 i kutno ubrzanje pogonskog člana 1 e1 mogu se gornje jednadžbe zapisati u obliku:
e2 y2 + e3 y3 = -e1 y1 - w12 x1 - w22 x2 - w32 x3 = A e2 x2 - e3 x3 = -e1 x1 + w12 y1 + w22 y2 + w32 y3 = B
(54)
te je:
A y3 B x3 Ax3 - By3 , e2 = = y2 y3 x3 y2 - x2 y3 x 2 x3
(55)
40
y2 A x B By - Ax2 . e3 = 2 = 2 y2 y3 x3 y2 - x2 y3 x 2 x3
(56)
Kao i kod kutnih (56) brzina svi će slični zglobni četverokuti imati jednaka kutna ubrzanja, jer faktor geometrijskog mjerila . PRIMJER: Zadan je zglobni četverokut sa slijedećim duljinama pojedinih članova: OAA=r1=1.5 m, AB=r2=3.5 m, OBB=r3=3 m, OAOB=r4=1 m. Kutna brzina pogonskog člana je konstantna i iznosi 1=10 rad/s, dok je kut koji pogonski član zatvara s osi x =120o.
Potrebno je odrediti položaj mehanizma, kutne brzine članova 2 i 3 te njihova kutna ubrzanja.
B
2 3
A OA
1 OB 4
Slika 55. Oznake uz primjer
Projekcije vektora koji određuju kinematički lanac bit će:
x1 = r1 cosj1 = -0.750m y1 = r1 sinj1 = 1.299m x2 = r2 cosj2 = 3.250m y2 = r2 sinj2 = 1.299m x3 = r3 cosj3 = -1.500m y3 = r3 sinj3 = -2.598m x4 = r4 cosj4 = -1.000m y4 = r4 sinj4 = 0.000m a kutne brzine:
-w1 x1 x3 -w1 y1 y3 x y -x y rad = 3 1 1 3 w1 = 0.600 w2 = x2 x2 s x2 y3 - x3 y2 y3 y3 x2 -w1 x1 y -w1 y1 x y -x y rad = 1 2 2 1 w1 = 0.800 w3 = 2 x2 x2 s x2 y3 - x3 y2 y3 y3 Kutna ubrzanja određuju se pomoću jednadžbi:
M. Husnjak: Teorija mehanizama 41
e2 y2 + e3 y3 = -e1 y1 - w12 x1 - w22 x2 - w32 x3 = A e2 x2 - e3 x3 = -e1 x1 + w12 y1 + w22 y2 + w32 y3 = B A y3 B x3 Ax3 - By3 rad e2 = = = 1.811 2 , y2 y3 s x3 y 2 - x 2 y 3 x2 x 3 y2 A x B By - Ax2 rad e3 = 2 = 2 = 1.637 2 . y2 y3 s x3 y 2 - x 2 y 3 x2 x 3 Primjer: Za Whitworthov brzopovratni mehanizam potrebno je analitički odrediti gibanje radnog (6) člana u ovisnosti o kutu zakreta pogonskog člana (2), ako su zadane dimenzije r, l i h (Slika 56).
x 6 5
O2
2r A
B 3
h
4
l
1
O4 Slika 56. Geometrija Whitworthovog brzopovratnog mehanizma
42
x
x
6
6
2
O2 r5 1
4
h
r1 r3
4
B 2
A H
3
1
h
2
A
r2
l
H
O2
r6 5
B
3 2 4
r4
4
l
5
O4
O4
Slika 57. Uvjeti zatvorenosti kod Whitworthovog brzopovratnog mehanizma
3
0,4 0.2 0.0 -0.2 -0.4
/2
3/2
1
0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5
2
3 3 1 2 1 3 /2
3
3/2
1 2
Slika 58. Dijagrami kuta zakreta, kutne brzine i kutnog ubrzanja radnog člana zglobnog četverokuta u ovisnosti o kutu pogonskog člana
v
a
x
x 6 5
O1
B
A 3 2 r
h
4
l
1
O4
Slika 59. Kinematika Whitworthovog brzopovratnog mehanizma
M. Husnjak: Teorija mehanizama 43
KRIVULJNI MEHANIZMI Krivuljni mehanizmi vrlo su važni sastavni dijelovi strojeva, posebno motora s unutarnjim izgaranjem, alatnih strojeva, instrumenata i sl. Kod automatskih strojeva s električnim, hidrauličnim ili pneumatskim vezama krivuljni mehanizmi se često koriste za upravljanje. Krivuljni mehanizmi u svom kinematičkom lancu sadrže pogonski član u obliku grebena koji prenosi gibanje na radni član mehanizma direktnim kontaktom pomoću višeg kinematičkog para. Greben krivuljnog mehanizma kao pogonski član može vršiti rotaciono, translatorno ili planarno gibanje, a može biti i nepomičan, dok vođeni član krivuljnog mehanizma pomicaljka (podizač) vrši rotaciono ili translatorno gibanje. Profil grebena određuje zakon gibanja vođenog člana mehanizma i on može biti konstruiran na dva načina: a)
za zadani zakon gibanja vođenog člana može se odrediti profil grebena koji će ostvariti zadano gibanje,
b) za zadani oblik grebena mogu se odrediti kinematičke i dinamičke karakteristike gibanja vođenog člana. Prvi način konstruiranja grebena je tipični primjer sinteze mehanizama, tj. projektiranja mehanizma koji će izvršiti zadano gibanje. Taj se zadatak može gotovo uvijek riješiti. Međutim, zbog poteškoća u izradi često se primjenjuju druge metode konstruiranja koje uzimaju u obzir tehnološku izvedivost profila grebena kao i ekonomiönost takve izvedbe (simetrični profili s kružnim ili ravnim dijelovima konture). Ovakvi tipovi grebena primjenjuju se kod automobilskih motora kod kojih greben mora biti izveden točno i ekonomično. Prednosti krivuljnih mehanizama sastoje se u tome da imaju mali broj članova, zauzimaju malo prostora, jednostavna je njihova sinteza i izrada, a među nedostatke spada smanjena mogućnost opterećenja višeg kinematičkog para (kontaktni pritisci, trenje, habanje). Kod povećanih opterećenja potrebno je upotrebiti kvalitetnije materijale za izradu grebena uz primjenu toplinskih obrada te konstruktivno smanjiti trenje i habanje primjenom pomicaljke s kotačićem.
OSNOVNI TIPOVI KRIVULJNIH MEHANIZAMA Krivuljni mehanizmi mogu biti izvedeni na vrlo različite načine. Pri tome ih također možemo i klasificirati na nekoliko načina: prema obliku grebena i pomicaljke, njihovom načinu gibanja, ostvarivanju stalnog kontakta između grebena i podizača i sl. Pri izboru oblika pomicaljke nastojimo odabrati geometrijski jednostavne oblike, a zadano gibanje postižemo ispravnim profiliranjem grebena u skladu s izabranim oblikom pomicaljke. To međutim ne mora uvijek biti tako, pa se u primjerima inverznih krivuljnih mehanizama mogu vidjeti izlazni članovi složenih geometrijskih oblika.
44
y
y
y
x
a
b
c
Slika 60. Krivuljni mehanizami s različitim oblicima grebena: (a) pločasti greben, (b) klinasti greben, (c) valjkasti greben
y
y
Slika 61. Krivuljni mehanizmi s različitim oblicima podizača
Drugi način podjele krivuljnih mehanizama može se izvršiti prema relativnom gibanju između podizača i nepomične podloge. Tako kod nekih krivuljnih mehanizama nalazimo pomicaljke koje se gibaju translatorno, dok kod drugih je izlazno gibanje pomicaljke oscilatorno. U svim krivuljnim mehanizmima potrebno je osigurati stalni dodir između grebena i pomicaljke (zatvaranje kinematičkog para). Ovaj dodir može se ostvariti djelovanjem sila (težina, sila opruge ili odgovarajućim kinematičkim vezama).
M. Husnjak: Teorija mehanizama 45
podizač
opruga podizač
opruga greben a)
b) greben
c)
d)
Slika 62. Ostvarivanje stalnog dodira između grebena i pomicaljke (a) i (b) dinamičko zatvaranje pomoću opruge (c) greben konstantne širine (kinematičko zatvaranje), (d) konjugirani grebeni
KINEMATIČKE KARAKTERISTIKE ZAKONA GIBANJA Kod određivanja profila grebena i njegovih osnovnih dimenzija potrebno je uzeti u obzir različite, često i kontradiktorne zahtjeve kao npr: 1. maksimalnu brzinu pomicaljke 2. maksimalno ubrzanje podizača 3. koeficjent dinamičnosti opterećenja 4. karakteristiku opruge 5. maksimalni zakretni moment na vratilu grebena 6. maksimalni pritisak između grebena i podizača Navedeni zahtjevi nisu očito svi koje postavljamo kod oblikovanja profila grebena i konstruiranja krivuljnog mehanizma. Npr. kod krivuljnih mehanizama motora s unutrašnjim izgaranjem izbor zakona gibanja podizača ovisit će i o promjeni zračnosti između grebena i podizača do koje dolazi kod zagrijavanja mehanizma i o konstruktivnom rješenju otklanjanje te zračnosti. Krivuljni mehanizmi imaju jedan stupanj slobode i najčešće pogonski član (greben) rotira konstantnom kutnom brzinom i tako dovodi u gibanje pomicaljku prema zadanoj jednadžbi gibanja. Pri tome ćemo kut zakreta pogonskog člana označiti s (t), a pomak pomicaljke sa y(t). Pri tome će y biti linearni pomak kod translatorne pomicaljke, dok će kod oscilirajuće pomicaljke to biti kut zakreta. Tokom rotacije grebena
46
pomicaljka će se periodički podizati i spuštati i za svaki okret grebena izvršit će jedan ciklus gibanja. Grafički prikaz tog gibanja u dijagramu kod kojeg je na apscisi nanesen kut zakreta grebena, a na ordinati pomak pomicaljke, prikazan je na slici (Slika 63). Jedan ciklus gibanja pomicaljke sastoji se od njenog pomicanja za iznos h, mirovanja u gornjem položaju, spuštanja na početnu visinu i mirovanja u donjem položaju.
y
h
spuštanje
podizanje
mirovanje u gornjem položaju
2
mirovanje u donjem položaju
Slika 63. Dijagram pomaka pomicaljke krivuljnog mehanizma
Važne karakteristike gibanja pomicaljke, kao npr. visina podizanja h, trajanje podizanja i mirovanja, trajanje spuštanja i sl. zadani su zahtjevima primjene krivuljnog mehanizma. Međutim postoji mnogo mogućih načina gibanja pomicaljke kojima možemo ostvariti jednako podizanje odnosno spuštanje. Najvažniji zadatak pri konstruiranju grebena je izbor načina gibanja pomicaljke y=y(). Kada je jednom izabran način gibanja određen je time i profil grebena kao i sve ostale kinematičke karakteristike gibanja krivuljnog mehanizma. Uz pretpostavku da je kutna brzina grebena =konst. brzina i ubrzanje pomicaljke može se odrediti pomoću jednadžbi
dy dy dj dy = =w dt dj dt dj
(57)
dv dv dj d 2y = = w2 2 dt dj dt dj
(58)
v=
a=
Supstitucijom z =
j uvodimo bezdimenzionalnu funkciju pomaka pomicaljke: b 1 f (z ) = y(z ) . h
(59)
y (z ) = h ⋅ f (z ) ,
(60)
Funkcija f() i njene derivacije po jednostavnije se prikazuju zbog njihovog bezdimenzionalnog oblika, a položaj, brzinu i ubrzanje pomicaljke tada računamo pomoću jednadžbi
v (z ) = h
w df (z ) w = h f ¢(z ) i b dz b
(61)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 47 2
2
æ w ö d 2 f (z ) æwö a(z ) = hçç ÷÷ = hçç ÷÷ f ¢¢(z ) . 2 çè b ÷ø dz çè b ÷ø
(62)
. Pregled nekoliko jednostavnih zakona gibanja pomicaljke Naziv
Jednadžbe gibanja
DIJAGRAMI
4
v h
2 Gibanje po zakonu parabole
y h 1.0
0.5 -2
ï f (z ) = 2z 2 ü ï ï f ¢(z ) = 4z ï ý0 £ z £ 0.5 ï ï ¢¢ f (z ) = 4 ï ï þ ï f (z ) = 1 - 2(1 - z )2 ü ï ï f ¢(z ) = 4(1 - z ) ï ý0.5 £ z £ 1 ï ï f ¢¢(z ) = -4 ï ï þ
-4
8
a 2 h
4 Cikloidno gibanje
v h 0.5
-4
1 sin2pz 2p f ¢(z ) = 1 - cos2pz f ¢¢(z ) = 2p sin2pz f (z ) = z -
y h
1.0
-8 5.0 2.5 Harmonijsko gibanje
a 2 h
v h 0.5
-2.5 -5.0
y h 1.0
1 f (z ) = (1 - cos pz ) 2 p f ¢(z ) = sin pz 2 p2 f ¢¢(z ) = cos pz 2
48
a 2 h
6 4 2 Dvostruko harmonijsko 0 gibanje -2 -4 -6 -8 -10
15 Gibanje po zakonu kubne parabole tip 1
10
v h
0.5
a 2 h
0
1.0
v h
5
y h
0.5
-5
y h
1.0
-10
1 f (z ) = (1 - cos pz ) 2 1 - (1 - cos2pz ) 8 p p f ¢(z ) = sin pz - sin2pz 2 4 2 p f ¢¢(z ) = (cos pz - cos2pz ) 2
ï f (z ) = 4z 3 ü ï 2ï f ¢(z ) = 12z ï ý 0 £ z £ 0.5 ï f ¢¢(z ) = 24z ïï ï þ ï f (z ) = 1 - 4(1 - z )3 ü ï 2 ï f ¢(z ) = 12(1 - z ) ïý0.5 £ z £ 1 ï f ¢¢(z ) = -24(1 - z ) ï ï ï þ
-15
6 Gibanje po zakonu kubne parabole tip 2
4
a 2 h
v h
2 0
0.5
y h 1.0
-2
f (z ) = z 2 (3 - 2z )
f ¢(z ) = 6z (1 - z ) f ¢¢(z ) = 6(1 - 2z )
-4 -6
6 Gibanje po polinomnom zakonu (3‐4‐5)
4
a 2 h
v h
2 0 -2 -4 -6
0.5
y h 1.0
f (z ) = 10z 3 -15z 4 + 6z 5
f ¢(z ) = 30z 2 - 60z 3 + 30z 4 f ¢¢(z ) = 60z -180z 2 + 120z 3
M. Husnjak: Teorija mehanizama 49
Gibanje po polinomnom zakonu (3‐5‐6‐7‐8)
a 2 h
6 4 2 0
v h
+ 26.73155z 6 -13.60965z 7 +
1.0
0.5
-2
f (z ) = 6.09755z 3 - 20.78040z 5 +
y h
+ 2.56095z 8
-4
-6
GRAFIČKE METODE ODREĐIVANJA PROFILA GREBENA Kod grafičkog određivanja profila grebena primjenjujemo metodu kinematičke inverzije, zamišljajući da je greben krivuljnog mehanizma nepomičan, a da se pomicaljka zakreće u suprotnom smjeru od rotacije grabena. Istovremeno se pomicaljka podiže u skladu s zadanim zakonom gibanja. Profil grebena određujemo tako da crtamo anvelopu tako određenih položaja pomicaljke kao što je to prikazano na slikama (Slika 64 i Slika 65). y
0 12 1
11
2
10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
9 3
8 4 7
5 6
Slika 64. Grafičko određivanje profila grebena krivuljnog mehanizma s pravocrtnim gibanjem pomicaljke
50
2 3
1
4
0
11
5
6
10 9
7 8
Slika 65. Grafičko određivanje profila grebena krivuljnog mehanizma s oscilirajućom pomicaljkom
ANALITIČKE METODE ODREĐIVANJA PROFILA GREBENA Analitičko određivanje profila grebena posebno je važno kod krivuljnih mehanizama velikih brzina zbog potrebe za velikom točnošću izrade grebena. Primjenom numerički upravljanih strojeva mogu se postići vrlo velike točnosti izrade što povećava potrebu za točnim analitičkim određivanjem konture grebena. Analitička metoda određivanja profila grebena se zasniva na određivanju jednadžbe anvelope porodice krivulja koje opisuju geometriju pomicaljke u proizvoljnom položaju u odnosu na greben. Postupak se može podijeliti na slijedeće faze: 1. Izbor podobnog koordinatnog sistema (pravokutni ili polarni). 2. Postavljanje jednadžbe izvodnice anvelope s jednim promjenljivim parametrom u obliku:
F(x , y ,j) = 0
(63)
3. Određivanje parcijalne derivacije funkcije F ( x , y ,j ) po parametru i izjednačavanje derivacije s nulom.
¶ F ( x , y ,j) =0 ¶j
(64)
4. Ove dvije jednadžbe zajedno predstavljaju jednadžbu anvelope. Ukoliko je moguće eliminirati parametar iz jednadžbi možemo zapisati njenu jednadžbu u obliku F(x,y)=0, a ako to nije moguće dobit ćemo parametarski zapis jednadžbe anvelope
x = x(j) i y = y(j) TANJURASTI PODIZAČ SA ZADANIM ZAKONOM GIBANJA s = s(j) .
(65)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 51
p
y D P R0
O
s
x
P0 R0
Slika 66. Krivuljni mehanizam s tanjurastim podizačem
Koordinate profila grebena (anvelope pravaca) u ovisnosti o parametru mogu se odrediti iz jednadžbi:
ü ds(j) ï sinj ï ï ï dj ï ý ï ds(j) cosjï y = [ Ro + s(j)]sinj + ï ï dj ï þ x = [ Ro + s(j)]cosj -
(66)
OSCILIRAJUĆI RAVNI PODIZAČ
y
p
P
R0 O
x P0
R0 b Slika 67. Oscilirajući ravni podizač
Iz geometrijskih odnosa na slici.
æR ö b = arcsinççç o ÷÷÷ èbø J = j - b - y(j) Jednadžbe profila grebena (anvelope kružnica) glase:
(67)
52
ì ü ï ï ï ï ï cos(j - b - y)cos(y + b ) ï ï x = bï cos j í ý d y ï ï ï ï 1 ï ï ï ï d j ï ï î þ
(68)
ì ï ïüï ï ï ï + sin( j b y )cos( y b ) ïý y = bï ísinj d y ï ïï ï 1ï ïï ï dj ï î þï
(69)
KRUŽNI PODIZAČ S TRANSLATORNIM GIBANJEM BEZ EKSCENTRICITETA.
y P k s()
P' R0 O
P0
x rk
Slika 68. Centrični kružni podizač s translatornim gibanjem
Iz geometrijskih odnosa na slici (Slika 68)
r = Ro + rk + s(j)
(70)
a jednadžbe profila grebena glase:
r cosj + x = r cos j rk
é ds(j) ù ú r2 + ê êë dj úû r sinj -
y = r sinj rk
ds(j) sinj dj 2
ds(j) cos j dj
é ds(j) ù ú r +ê êë dj úû
2
2
KRUŽNI PODIZAČ S TRANSLATORNIM GIBANJEM S EKSCENTRICITETOM
(71)
(72)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 53
y
k P
s()
P' R0 O e
e A
rk
x
P0
Slika 69. Ekscentrični kružni podizač s translatornim gibanjem
Iz geometrije zadatka:
OP ¢ = Ro + rk , OA = e, AP = AP ¢ + s(j) = (Ro + rk ) - e2 + s(j) (73) 2
Uz oznaku:
r = (Ro + rk ) - e2 + s(j)
(74)
é ds(j) ù ú sinj r cosj + êe + êë dj úû x = r cos j + e sinj rk 2 é ds(j) ù 2 ú r + êe + dj ûú ëê
(75)
é ds(j) ù ú cos j r sinj + êe + êë dj úû y = r sinj - e cosj rk 2 é ds(j) ù ú r 2 + êe + êë dj ûú
(76)
2
jednadžbe profila grebena glase:
KRUŽNI PODIZAČ S OSCILIRAJUĆIM GIBANJEM POMICALJKE
54
Slika 70. Podizač kružnog oblika s oscilirajućim gibanjem
Iz geometrije zadatka:
b = arccos
l 2 + b2 + (Ro + rk )2 2lb
(77)
J = j -(y + b )
(78)
Iz ovih jednadžbi slijedi:
x = b cos j - l cos J rk
y = b sinj - l sinJ rk
æ dy ö b cos j - l çç1 - ÷÷÷cos J çè dj ÷ø 2
æ dy ö b2 + l 2 çç1 - ÷÷÷ çè dj ø÷
æ dy ö b sinj - l çç1 - ÷÷÷sin J çè dj ø÷ 2
æ dy ö b + l çç1 - ÷÷÷ çè dj ø÷ 2
(79)
(80)
2
PRIMJER: Određivanje oblika grebena krivuljnog mehanizma kod kojeg se podizanje pomicaljke vrši po dvostruko‐harmonijskoj jednadžbi gibanja na visinu h=50 mm za vrijeme dok se greben zakrene za kut =. Po jednakom se zakonu vrši spuštanje pomicaljke. Polumjer temeljnog kruga grebena je Ro=50 mm. Sintezu provesti analitičkom metodom određivanjem jednadžbe anvelope za dva oblika pomicaljke: a) tanjurasta pomicaljka b) pomicaljka s kotačićem polumjera r=10 mm.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 55 DVOSTRUKO HARMONIJSKO GIBANJE 50 40 pomak 30 brzina 20 10 0 -10 ubrzanje
-20 -30 -40 -50
0
1
2
3
4 kut zakreta grebena
5
6
7
Slika 71. Dijagrami pomaka, brzina i ubrzanja pomicaljke u ovisnost o kutu zakreta grebena
Slika 72. Analitički određeni oblici grebena za dvostruko‐harmonijsko podizanje i spuštanje i za dva različita oblika pomicaljke
ODREĐIVANJE OSNOVNIH DIMENZIJA KRIVULJNIH MEHANIZAMA Kod sinteze krivuljnih mehanizama najprije je odreiti osnovne dimenzije mehanizma (minimalni polumjer grebena, duljina oscilirajućeg člana i sl.), a tek se nakon toga određuje profil grebena. Pri tome se za ostvarenje jednakog gibanja pomicaljke mogu odabrati različiti polumjeri temeljnog kruga grebena. Vrlo su česti konstrukcioni zahtjevi koji teže k minimalizaciji dimenzija grebena, međutim postoje i ograničavajući faktori, među kojima je najvažniji kut pritiska (kut između smjera djelovanja kontaktne sile između grebena i pomicaljke i smjera gibanja pomicaljke), koji se povećava sa smanjenjem polumjera temeljnog kruga. Utjecaj kuta pritiska na silu podizanja pomicaljke. Radijalni greben s pomicaljkom koja se giba translatorno prikazan je na slici. Točka O je središte rotacije grebena, a osnovne dimenzije podizača označene su sa b, c i d. Sila kojom greben djeluje na podizač je u smjeru normale na krivulju grebena pod kutem pritiska u odnosu na smjer gibanja podizača.
56
Slika 73. Sile kod krivuljnog mehanizma
Iz jednadžbi ravnoteže sila na podizač, uz zanemarenje promjera podizača, može se jednostavno izračunati sila podizanja Fn (uz pretpostavku da je promjer podizača zanemarivo mali):
Fn =
Fo + c(y + d ) + my æ 2c + b ÷ö cos a - m sin a sign y çç ÷ è b ÷ø
(81)
Iz rezultata je očito da sila podizanja Fn ¥ u graničnom slučaju kada izraz u nazivniku jednadžbe za silu pritiska teži k nuli, tj.
æ 2c + b ÷ö 1 - m tg a sign y ççç ÷ 0 è b ÷ø
(82)
ili
Fn ¥ ako a ak = ar ctg
b m sign y (2c + b)
(83)
Ovaj kritični kut pritiska k, kod kojeg je potrebna beskonačna sila za podizanje pomicaljke, bit će tim veći što je manji koeficjent trenja te što je dulja vodilica podizača c i kraća slobodna duljina podizača b. Za miran rad brzohodnih krivuljnih mehanizama prihvatljiva je maksimalna vrijednost kuta pritiska p=30o. Kod sporohodnih krivuljnih mehanizama s dobro konstruiranim vođenjem pomicaljke mogu se odabrati i veći kutevi pritiska, dok se kod lošijih izvedbi vođenja pomicaljke, kod kojih između pomicaljke i vodilice postoji veća zračnost, moraju odabrati manji dozvoljeni kutevi pritiska.
OVISNOST POLUMJERA TEMELJNE KRUŽNICE O KUTU PRITISKA
M. Husnjak: Teorija mehanizama 57
y
n
y()
t
dy d
y() Fn
Y0 O
P
dy d
R0 e
dy d
Slika 74. Određivanje kuta pritiska kod krivuljnog mehanizma
Iz geometrijskih odnosa veličina prikazanih na slici bit će
Yo = Ro2 - e2
tg a =
dy -e dj y + Ro2 - e2
(84)
.
(85)
Iz izraza za kut pritiska vidljivo je da on ovisi o načinu gibanja pomicaljke y=y(), ekscentricitetu e i o polumjeru temeljne kružnice R0. Kod zadanog načina gibanja pomicaljke y=y() možemo na veličinu maksimalnog kuta utjecati izborom odgovarajućih veličina polumjera temeljnog kruga R0 i ekscentriciteta e. Evidentno je da će se kut pritiska smanjivati izborom većeg polumjera temeljnog kruga, pri čemu će najmanji dozvoljeni polumjer temeljnog kruga biti onaj za koji će maksimalna veličina kuta pritiska biti manja od kritične veličine tog kuta ( amax < ak ). Kod spuštanja pomicaljke često se dozvoljava veći kut pritiska nego kod podizanja. Grafička konstrukcija za određivanje minimalnog polumjera temeljnog kruga prikazana je na slici (Slika 75).
58 y dy d podizanje
spuštanje
dy d
R0
S
P
područje u kojem je zadovoljen uvjet p max i s smax p e
Slika 75. Grafičko određivanje najmanjeg polumjera temeljnog kruga
Primjer: Odrediti najmanji polomjer temeljne kružnice ako se točkastt podizač giba u skladu sa slijedećim jednadžbama:
ìï æ öù h éê ïï çç p t ÷÷ú 1 cos 0 £ j £ b1 ï çè b1 ø÷÷úú 2 êëê ïï û ï y(j) = ïí h b1 £ j £ b2 ïï ïh é æp öù ïïï ê1 + cosçç (j - b2 - b1 )÷÷÷ú b1 + b2 £ j £ b1 + b2 + b3 ê çè b ø÷úûú 3 ïîï 2 ëê
(86)
gdje je h=40 mm, 1=60o, 2=180o , a najveći kut pritiska kod podizanja i spuštanja podizača je max=30o. Na temelju zadanih jednadžbi gibanja nacrtani je dijagram položaja podizača (Slika 76).
y mm 40 20 0
0
90
180
270
360
Slika 76. Dijagram podizanja pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena
Deriviranjem jednadžbi koje određuju položaj dobivamo slijedeće jednadžbe za brzine podizača:
M. Husnjak: Teorija mehanizama 59
ïïì h p æç p ÷ö sinç j ÷ 0 £ j £ b1 ïï 2 b1 çè b1 ÷÷ø ïï dy ï 0 =í b1 £ j £ b2 dj ïï ö ïh p æ p sinçç (j - b2 - b1 )÷÷÷ b1 + b2 £ j £ b1 + b2 + b3 ïïï ø÷ ïïî 2 b3 çè b3
dy d
(87)
mm 60 40 20 0
0
90
180
270
360
-20 Slika 77. Dijagram brzine pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena
Ponovnim deriviranjem određeno je i ubrzanje.
2 ì ï æp ö h æç p ÷ö ï ï ÷ 0 £ j £ b1 ç ÷ cosçç j ÷÷÷ ï çè b1 ÷ø ï 2 çè b1 ÷ø ï 2 dy ï b1 £ j £ b2 = íï 0 (88) dj 2 ï ï 2 ï æ ö æ ö ï ï h çç p ÷÷÷ cosçç p (j - b2 - b1 )÷÷÷ b1 + b2 £ j £ b1 + b2 + b3 ï ï èç b3 ø÷ ï 2 èç b3 ø÷ î
d2 y d2
mm
200
0 0
90
180
270
360
-200 Slika 78. Dijagram ubrzanja pomicaljke kao funkcija kuta zekreta grebena
Na temelju izračunatih veličina za brzinu podizača konstruiran je dijagram funkcije:
dy = f (y) dj
60 0
y
10
h
dy d
R0
P
P
e
Slika 79. Grafičko određivanje najmanjeg polumjera temeljne kružnice
0
y
10
Y0
R0
e
Slika 80. Dimenzije najmanje temeljne kružnice i položaj pomicaljke
M. Husnjak: Teorija mehanizama 61
y
0 12
1 2
11 R0
3
Y0
O
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
10
e
9
4 8 5 7
6
h
h
Slika 81. Konstrukcija grebena sa najmanjim polumjerom temeljne kružnice i točkastim podizačem
4 3
h
2 1 h
O 1 2 3 4
Slika 82. Usporedba grebena s jednakim zakonom podizanja i različitim polumjerima temeljne kružnice
EPICIKLIČKI ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI
62
ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI S NEPOMIČNIM OSOVINAMA Kod zupčaničkih prijenosnika kod kojih su diobene krivulje kružnice omjer ulazne i izlazne kutne brzine je konstantan.
2
t
t
1
m, t
D2
D1
z1 z2 Slika 83. Par čelnih zupčanika u zahvatu koji rotiraju oko nepomičnih osi
Općenito je taj prijenosni omjer za jedan par zupčanika određen izrazom:
i12 =
w1 r z = (-1)k 2 = (-1)k 2 w2 r1 z1
(89)
gdje je k=1 ukoliko je ozubljenje oba zupčanika vanjsko, a k=0 za unutarnje ozubljenje.
2 1 1
2
2
2
1 1
Slika 84. Zupčanički par zupčanika s vanjskim ozubljenjem i par kod kojeg je jedan zupčanik s vanjskim, a drugi s unutrašnjim ozubljenjem
Kod višestrukog prijenosnika (Slika 85) bit će:
i14 =
w1 r z = (-1)3 4 = - 4 w4 r1 z1
(90)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 63
4
1
2
3
1
2
3
4
Slika 85. Jednostavni zupčanički prijenosnik
Kod kaskadnih zupčastih prijenosnika (Slika 86) bit će
i16 =
w1 = i12i34i56 w6
(91)
gdje su
i12 = -
z2 z z , i34 = - 4 , i56 = 6 , z1 z3 z5
(92)
te je ukupni prijenosni omjer
i16 =
w1 z2 z4 z6 = . w6 z1 z3 z5 1
1
3
2
4 5
6 6
Slika 86. Složeni kaskadni zupčanički prijenosnik
(93)
64
2
2´
1
3
1 2
2
2´ 3
2´ 3
1
Slika 87. Zupčanički prijenosnici s nepomičnim osovinama
Prijenosni omjeri zupčaničkih prijenosnika prikazanih na slici (Slika 87) iznose: Prijenosnik a)
i12 =
w1 z =- 2 w2 z1
(94)
i2'3 =
w2 z =- 3 w3 z2'
(95)
w1 zz = i12 ⋅ i2'3 = 2 3 w3 z1 z2'
(96)
i12 =
w1 z2 = ; w2 z1
(97)
i2'3 =
w2 z3 = w3 z2'
(98)
w1 zz = i12 ⋅ i2'3 = 2 3 w3 z1 z2'
(99)
w1 z =- 2 w2 z1
(100)
w2 z3 = w3 z2'
(101)
w1 zz = i12 ⋅ i2'3 = - 2 3 w3 z1 z2'
(102)
i13 = Prijenosnik b)
i13 = Prijenosnik c)
i12 =
i2'3 =
i13 =
PLANETARNI ZUPČANIČKI PRIJENOSNICI
M. Husnjak: Teorija mehanizama 65 Najjednostavniji epiciklički ili planetarni zupčanički prijenosnik sastoji se iz centralnog zupčanika 1 (sunčani zupčanik), planetarnog zupčanika 2 i vodilice v koja povezuje osovine zupčanika. Kutne brzine zupčanika su
w1 i w2 dok kutnu brzinu vodilice označavamo s wv . Ovaj prijenosnik ima dva stupnja slobode gibanja. Kod mehanizma na slici 4 ukupni broj članova mehanizma je n =4, broj kinematičkih veza s jednim stupnjem slobode gibanja p1 = 3 , dok je broj viših kinematičkih veza s dva stupnja slobode gibanja p2 = 1 , te je prema tome broj stupnjeva slobode gibanja
w = 3(n - 1) - 2 p1 - p2 = 2 Općenito epicikličke prijenosnike s više od jednog stupnja slobode nazivamo diferencijalnim prijenosnicima ili kraće diferencijalima, dok epicikličke prijenosnike s jednim stupnjem slobode gibanja nazivamo planetarnim prijenosnicima.
WILLISOV PRINCIP Willisov princip pojednostavljuje postavljanje jednadžbi za određivanje prijenosnih omjera planetarnih zupčaničkih prijenosnika, dakle takvih prijenosnika kod kojih su osi rotacije pomične. Ovaj je princip također poznat i kao princip relativnih kutnih brzina. Njegova primjena kod ravninskih mehanizama vrlo je jednostavna, jer su kutne brzine tijela kod ravninskog gibanja okomite na referentnu ravninu u kojoj promatramo gibanje te ih možemo možemo opisati algebarski. Kod prostornih zupčaničkih prijenosnika potrebno je kutne brzine promatrati kao vektore što donekle otežava postavljanje jednadžbi.
2 2
p v
2
p v v
1
1
1
v
2
v
1
a
b
Slika 88. Elementarni epiciklički zupčanički par s prikazanim apsolutnim kutnim brzinama (a) i relativnim kutnim brzinama (b) u odnosu na podlogu
Elementarni epiciklički zupčanički par (Slika 88) sastoji se iz centralnog zupčanika (sunčanog zupčanika) 1, koji rotira oko nepomične osi kutnom brzinom 1, satelitskog zupčanika 2 i vodilice v. Vodilica rotira oko nepomične osi zupčanika 1 kutnom krzinom v. Zupčanik 2, čiji su zubi u zahvatu sa zupčanikom 1, ima apsolutnu kutnu brzinu 2, ali osovina tog zupčanika rotira oko osi zupčanika 1 kutnom brzinom koju određuje vodilica (v). Ovaj se mehanizam sastoji od n=4 tijela (podloga, dva zupčanika i vodilica) tako da je broj pokretnih tijela 3, a kinematički su ova tijela povezana s 3 rotaciona kinematička para s jednim stupnjem slobode (p1=3) (rotacija zupčanika 1 u odnosu na nepomičnu podlogu, rotacija vodilice u odnosu na podlogu i rotacija
66
zupčanika 2 u odnosu na vodilicu) i jednog kinematičkog para s dva stupnja slobode gibanja (p2=1), tako da je broj stupnjeva slobode gibanja:
w = 3(n - 1) - 2 p1 - p2 , što za ovaj planetarni mehanizam daje w=2 stupnja slobode gibanja. Odrediti prijenosni omjer, dakle omjer kutnih brzina zupčanika i vodilice zahtjeva analizu složenog gibanja zupčanika 2. Willis je međutim predložio pojednostavljeno postavljanje jednadžbi za određivanje prijenosnog omjera. Prema Willisu gibanje se promatra tako da se kutnim brzinama svih tijela doda kutna brzina ‐v. Time se ne mijenja relativno gibanje zupčanika, ali na taj se način zapravo promatramo relativno gibanje zupčanika u odnosu na vodilicu. Sada je, naime, kutna brzina vodilice jednaka wv - wv = 0 . Kutne brzine zupčanika 1 i 2 su sada w1 - wv odnosno w2 - wv (Slika 89), a omjer tih kutnih brzina možemo postaviti na isti način kako ih postavljamo za zupčanike s nepomičnim osovinama:
2
2 - v
v 1 1 - v Slika 89. Relativne kutne brzine zupčanika u odnosu na vodilicu.
w1 - wv z =- 2 , w2 - wv z1
(103)
gdje negativni predznak dolazi zbog toga što su oba zupčanika s vanjskim ozubljenjem, pa su im kutne brzine suprotnog smjera. Kod zupčanika kod kojih je jedan s unutrašnjim ozubljenjem kutne će brzine imati isti smjer (Slika 90) te je predznak pozitivan. Ova jednadžba izražava Willisov princip relativnih kutnih brzina. 2 v
2 1
v
1 v
Slika 90. Zupčanički par kod kojih je zupčanik 2 s unutrašnjim ozubljenjem
M. Husnjak: Teorija mehanizama 67
Slika 91. Epiciklički zupčanički prijenosnik. Satelitskih zupčanika može biti više, ali oni ne mijenjaju kinematiku prijenosnika
3
2 1
2´ v
v
Slika 92. Epiciklički zupčanički prijenosnik s dva stupnja slobode gibanja (diferencijalni prijenosnik)
Kod složenijih epicikličkih prijenosnika (Slika 92) bit će potrebno postaviti onoliko izraza za prijenosne omjere koliko ima zupčanika u zahvatu. Tako će za ovaj prijenosnik biti
w2 - wv z =- 1 w1 - wv z2
(104)
w3 - wv z2' = w2 - wv z3
(105)
Množenje jednadžbi (104) i (105) daje: (v ) = i31
w3 - wv zz = - 1 2' w1 - wv z2 z3
(106)
Ovaj prijenosnik ima dva stupnja slobode gibanja. Da bi dobili planetarni zupčanički prijenosnik potrebno je jedan od zupčanika (1 ili 3) učiniti nepomičnim. Na slici (Slika 93) prikazan je planetarni prijenosnik kod kojeg je nepomičan zupčanik 3. Prijenosni omjer takvog planetarnog prijenosnika možemo izračunati pomoću jednadžbe (4) uz w3 = 0 .
68
3
2 1
2´ v
v
Slika 93. Jednostavni planetarni prijenosnik (v ) = i31
0 - wv zz = - 1 2' w1 - wv z2 z3
(107)
Sređivanjem dobivamo
æ zz ö w1 = wv çç1 + 2 3 ÷÷÷ , çè z1 z2' ÷ø
(108)
dok je prijenosni omjer takvog planetarnog prijenosnika (v ) i1v = i1(3)v = 1 - i13 =
w1 zz =1+ 2 3 wv z1 z2'
(109)
4
4
3
3
2 1
v
2 v
v 1
Slika 94. Planetarni prijenosnik s dva planetna zupčanika
Za planetarni prijenosnik prema slici (Slika 94) možemo postaviti slijedeće jednadžbe:
w2 - wv z =- 1 w1 - wv z2
(110)
w3 - wv z =- 2 w2 - wv z3
(111)
w4 - wv z =+ 3 w3 - wv z4
(112)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 69
w4 = 0
(113)
w1 z = 1- 1 wv z4
(114)
što nakon sređivanja daje:
i1v = Primjer1. Davidov planetarni prijenosnik
2
2'
v
1
3
Slika 95. Shematski prikaz Davidova planetarnog prijenosnika
Kod Davidovog planetarnog prijenosnika potrebno je izračunati prijenosni omjer između vodilice v i zupčanika 1, iv1 =
wv , ako su poznati brojevi zubi zupčanika: z1=100, z2=99, z2'=100, z3=101. w1
Prema Willisovom principu bit će
w1 - wv z =- 2 w2 - wv z1
(115)
w2 - wv z =- 3 w3 - wv z2'
(116)
w3 = 0
(117)
pri čemu je zupčanik 3 nepomičan te je:
Množenje jednadžbi (115) i (116) daje:
w1 - wv z2 z3 , = -wv z1 z2' a nakon sređivanja može se jednostavno izvesti traženi prijenosni omjer:
iv 1 =
1 wv = w1 1 - z2 z3 z1 z2'
Uvrštavanje zadanih brojeva zubi zupčanika daje:
i v1 = 10000 .
(118)
70
Konični zupčanički par s nepomičnim osovinama
1
r2
21
2
r1 Slika 96. Konični zupčanici s prikazanim trenutnim osima rotacije
1 2
21
21
2 21
2
1
1
1
2
Slika 97. Konični zupčanički par s prikazanim kutnim brzinama
Konični zupčanički par s pomičnim osovinama
1
M. Husnjak: Teorija mehanizama
2p
2
71
21
21
1
2p 2
p
21
1
2p = 2 - p
p
Slika 98. Konični zupčanički par s pomičnim osovinama
DIFERENCIJAL AUTOMOBILA
M
M 1
2
D
M
L
D
L
1 3
2D
21
2L 1
D D - L
2
L
21 = 2 - 1
Slika 99. Diferencijal pogona automobila
D - 1
L - 1
D - L
Slika 100. Plan kutnih brzina diferencijala s prikazom apsolutnih kutnih brzina i relativnih kutnih brzina u odnosu na vodilicu satelitskih zupčanika
1 - p
72
2D
21
2L
2
1
D
2D
L
D
D - L
21
2
2L
1
D - L
L
Slika 101. Plan kutnih brzina diferencijala za dvije različite razlike kutnih brzina desnog i lijevog kotača
SINTEZA MEHANIZAMA
GRASHOFFOVO PRAVILO Zglobni četverokut se sastoji od četiri člana: pogonskog ili ulaznog člana OAA duljine r1, sprežnog AB duljine r2, radnog ili izlaznog člana OBB duljine r3 i postolja OAOB duljine r4. Različiti načini gibanja članova zglobnog četverokuta ovise o omjeru duljina njegovih članova. Postoje tri osnovna načina gibanja članova zglobnog četverokuta.
B´
B r2
r3
B˝
A
r1
A´ r4
OA
OB
A˝
Slika 102. Karakteristični položaji zglobnog četverokuta
Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom Zglobni četverokut kod kojeg su omjeri duljina članova odabrani tako da je pogonskom članu omogućena potpuna rotacija za 360o dok se radni član može gibati između dva krajnja položaja (mrtve točke), tako da je njegov kut zakretanja ograničen ( 0 £ j3 £ D j3 ) prikazan je na slici (Slika 103).
M. Husnjak: Teorija mehanizama 73
B´
B r3
r2
B˝
A
r1
T˝
A´
r4 OA
OB
T´ 0
A˝
2
Slika 103. Zglobni četverokut s jednim rotirajućim i jednim oscilirajućim članom
Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana Drugačijim odabirom dimenzija članova zglobnog četverokuta može se postići gibanje koje je ilustrirano na primjeru zglobnog četverokuta (Slika 104). Kod ovog je mehanizma gibanje pogonskog i radnog člana ograničeno ( 0 £ j1 £ D j1 i 0 £ j3 £ D j3 ), tako da se oba člana mogu gibati oscilatorno.
r3 r1 OA
B
r2
A
r4
OB 0
Slika 104. Zglobni četverokut s dva oscilirajuća člana
Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana
A
r2 B
r1
r4 OA
2
r3 A0
OB
B0 0
2
Slika 105. Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana
74
Zglobni četverokut kod kojeg je omjer duljina članova takav da omogućuje potpunu rotaciju pogonskog i radnog člana prikazan je na slici (Slika 105). Da bi se odredio način gibanja članova zglobnog četverokuta koristi se Grashoffovo pravilo. Njega možemo izraziti na slijedeći način: 1.
Zglobni četverokut kod kojeg je zbroj duljina najkraćeg i najduljeg člana manji ili jednak zbroju duljina preostala dva člana pripada prvom razredu. Za zglobne četverokute koji pripadaju ovoj razredu način gibanja može se odrediti na slijedeći način:
2.
Ako je najkraći član mehanizma pogonski član tada će mehanizam imati jedan rotirajući i jedan oscilirajući član (Slika 103). Ako je najkraći član mehanizma nepomični član mehanizam će imati dva rotirajuća člana (Slika 105). U svim ostalim slučajevima mehanizama prve klase dobije se mehanizam s dva oscilirajuća člana.
Zglobni četverokut pripada drugom razredu ako je zbroj duljina najkraćeg i najduljeg člana veći od zbroja duljina preostala dva člana. Svi mehanizmi drugog razreda imaju dva oscilirajuća člana.
Dokaz Grashoffova pravila može se jednostavno izvesti promotrimo li mehanizam u njegovim karakterističnim položajima. Slika 106 prikazuje zglobni četverokut kod kojeg su dimenzije odabrane tako da pogonski član može izvesti punu rotaciju za 360o.
b
c
c
b
a
a d
d
a)
b)
c
b
c b
a
a d c)
d d)
Slika 106. Karakteristični položaji zglobnog četverokuta
Primijenimo li nejednadžbu trokuta za položaje mehanizma prikazane na slikama (Slika 106 a do c) bit će:
M. Husnjak: Teorija mehanizama 75
a+d
(119)
a+b
(120)
d -a < b + c
(121)
c < b -a + d
(122)
a+c
(123)
2a + c + d < 2b + c + d
(124)
a
(125)
a
(126)
Jednadžba (122) može se preurediti tako da je:
Zbrojimo li nejednadžbe (119) i (123) bit će:
odnosno nakon sređivanja:
Zbrajanje nejednadžbi (119) i (120) daje:
dok zbrajanje nejednadžbi (120) i (123) daje novu nejednadžbu:
a
(127)
Iz nejednadžbi (119), (120) i (123) može se zaključiti da zbroj duljine pogonskog člana i bilo kojeg drugog ćlana mora biti manji od zbroja duljina preostala dva člana dok se iz nejednadžbi (125), (126) i (127) može se zaključiti da pogonski član mora biti najkraći član mehanizma, ako želimo postići da izvodi punu rotaciju. Učvrstimo li najkraći član a dobit će se novi mehanizam kod kojeg članovi b i d mogu potpuno rotirati, dok inverzija zglobnog četverokuta kod kojeg je nepomičan član c daje mehanizam s dva oscilirajuća člana. Kod primjene zglobnog četverokuta najviše se primijenjuje inverzija kod kojeg pogonski član izvodi potpunu rotaciju dok radni član oscilira. A
B
A0 C
B0
Slika 107. Primjer zglobnog četverokuta s rotirajućim pogonskim članom. Prikazana je i putanja točke C sprežnog člana
76
B
A
B0
A0
Slika 108. Zglobni četverokut s dva rotirajuća člana
ODREĐIVANJE GRANIČNIH I MRTVIH POLOŽAJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA Kod sinteze zglobnog četverokuta potrebno je provjeriti granične (krajnje) i mrtve položaje mehanizma.
B 2
r2 3
r3
A 1
r1
4
r4 O2
O1
Slika 109. Zglobni četverokut s rotirajućim pogonskim članom i oscilirajućim radnim članom
r2 r1
B˝ 3´
B´ 2
1 O1
r2 r 1+
r3 4 r4
2
3
3 r3
1 O2
A´
O1
A˝
3˝
4 r4 O2
Slika 110. Krajnji položaji radnog člana zglobnog četverokuta
Za zadani zglobni četverokut krajnji položaji su definirani kao oni položaji mehanizma u kojima radni član dolazi do krajnjeg položaja (Slika 111) odnosno položaji kod kojih je kut koji zatvara pogonski i sprežni član jednak 180o ili 360o. Prema tome u trenutku kada se mehanizam nalazi u graničnom položaju nepomični zglob O1 , te točke A i B sprežnog člana leže na pravcu. Zglobni četverokut ima dva granična položaja.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 77 Kut za koji se može zakretati radni član zglobnog četverokuta određen je sa:
Dj3 = j3¢ - j3¢¢
(128)
r2 +
A˝
r1 1 O1
1´ 4 r 4
2
r2 r3
A´
1 r1
1˝
2
O2
r3
O1
3
B˝ 4 r4
3 O2
B´ Slika 111. Mrtvi položaji radnog člana zglobnog četverokuta
Mrtvi položaji radnog člana zglobnog četverokuta mogu se definirati kao položaji kod kojih je kut između sprežnog člana i radnog člana jednak 180o ili 360o. Prema tome, u trenutku kada se mehanizam nalazi u mrtvom položaju bit će točke O2, A i B na pravcu (Slika 111). Grafičko i analitičko određivanje krajnjih i mrtvih položaja svodi se na rješavanje trokuta (vidi Slika 110 i Slika 111).
KRAJNJI POLOŽAJI KLIPNO‐KOLJENČASTOG MEHANIZMA Slična analiza koja je provedena za zglobni četverokut može se provesti kod analize krajnjih i mrtvih položaja klipno‐koljenčastog mehanizma. Ako je pogonski član OA (kod mehanizma klipne pumpe ili kompresora) tada možemo govoriti o krajnjim položajima radnog člana (klizača B), kako je to prikazano na slici (Slika 112). Kod ovog mehanizma krajnji se položaji klipa mogu definirati kao položaji kod kojih je kut između koljena i ojnice jednak 180o ili 360o, kao što je to prikazano na slici. Grafičko i analitičko određivanje krajnjih položaja se svodi na rješavanje pravokutnog trokuta, a ukupni hod klipa se može odrediti prema jednadžbi:
Ds = smax - smin
(129)
smax = (r1 + r2 )2 - e2
(130)
smin = (r2 - r1 )2 - e2
(131)
gdje je:
U posebnom slučaju kada se radi o centričnom klipno‐koljenčastom mehanizmu (e=0) bit će:
D s = 2r1
(132)
78
A A˝
r2 +r 1 2 A´ r2
1r
1
e O r2 -r
B
B´
B˝
1
smin smax Slika 112. Krajnji položaji klipno‐koljenčastog mehanizma
KUT PRIJENOSA KOD ZGLOBNOG ČETVEROKUTA Kut prijenosa kod zglobnog četverokuta može se definirati kao kut između vektora brzine točke B radnog člana ( v B ) i relativne brzine točke B oko točke A sprežnog člana ( vBA ). Jednostavnom analizom kuteva s međusobno okomitim kracima može se pokazati da je to ujedno kut koji zatvara sprežni i radni član, a na slici (Slika 113) označen je sa .
B˝
B
r2
B´
min r3
A r1
A
A˝ OB
r3
r1
r4
OA
r2
B
vB vBA
r4 OB
OA
A´ Slika 113. Kut prijenosa kod zglobnog čeverokuta
r2
r3
A r1
1
OA
r r4 OB
Slika 114. Uz određivanje ekstremnih veličina kuta prijenosa
Gibanje zglobnog četverokuta znatno ovisi o kutu prijenosa jer će sila koja se sa sprežnog člana prenosi na ojnicu djelovati približno pod tim kutem. Zbog toga je poželjno da ovaj kut bude približno jednak 90o za vrijeme gibanja zglobnog četverokuta. Ovaj kut ovisi međutim o položaju mehanizma i tokom gibanja se mijenja.
M. Husnjak: Teorija mehanizama 79 Radi određivanja ekstremnih vrijednosti kuta prijenosa kod zglobnog četverokuta potrebno je analitički odrediti funkciju promjene kuta prijenosa u ovisnosti o položaju pogonskog člana. To se može najjednostavnije izvesti ako se u četverokut uvede pomoćna duljina r (Slika 114). Iz kosinusnog poučka primijenjenog na trokute OAAOB i ABOB slijedi:
r 2 = r12 + r44 - 2r1 r4 cos j1
(133)
r 2 = r22 + r32 - 2r2r3 cos g
(134)
r12 + r44 - 2r1 r4 cos j1 = r22 + r32 - 2r2r3 cos g
(135)
Izjednačenje ovih izraza daje:
a nakon deriviranja po varijabli 2 slijedi
dg r r sinj2 = 14 dj2 r2r3 sin g
(136)
sinj2 = 0
(137)
Derivacija će biti jednaka nuli uz uvjet:
a to može biti ispunjeno za j2 = 0 + k p (2=0o odnosno 2=180o).
B r2
min
B r2
r3 r1
A
r4
r1
OB
OA
r3 r4 OB
OA
Slika 115. Položaji mehanizma u kojima kut prijenosa poprima ekstremne vrijednosti
KUT PRIJENOSA KOD KLIPNO‐KOLJENČASTOG MEHANIZMA Kao i kod zglobnog četverokuta kut prijenosa se kod klipno‐koljenčastog mehanizma može definirati kao kut između brzine točke B i relativne brzine točke B oko točke A sprežnog člana. To je ujedno kut koji zatvara okomica na pravac gibanja točke B i sprežnog člana. Na slici (Slika 116) ovaj je kut označen s .
A 1r
1
e O
r2
2
vBA B
vB
Slika 116. Definicija kuta prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma
80
Tokom gibanja mehanizma ovaj se kut mijenja. Da bismo odredili ekstremne vrijednosti kuta prijenosa potrebno je odrediti funkciju promjene tog kuta u ovisnosti o položaju mehanizma (kut 1).
A yA
r2
1r
1
90o-
eO
2
B
Slika 117. Uz izvod jednadžbe za kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma
Iz prikaza na slci (Slika 117) ordinata točke A bit će:
y A = r1 sinj1
(138)
y A = r2 sin(90 o - g ) - e
(139)
r1 sinj1 = r2 cos g - e
(140)
odnosno:
Izjednačenje ovih izraza daje:
Deriviranjem po 1 dobivamo:
r1 cosj1 = -r2 sin g
dg dj1
(141)
odnosno:
dg r cosj1 =- 1 dj1 r2 sin g
(142)
Za ekstremne vrijednosti kuta prijenosa mora biti:
dg =0 dj1
(143)
Rješenje je očito:
j1 = 90 o i j1 = 270 o , a ekstremne veličine kuta prijenosa bit će:
cos gmin =
e + r1 r2
(144)
cos gmax =
e - r1 r2
(145)
M. Husnjak: Teorija mehanizama 81
A 1r
2
1
r2 min
e O
e O1 r1
B
B r2 A 2
Slika 118. Najmanji i najveći kut prijenosa kod klipno‐koljenčastog mehanizma
Za pravilan rad mehanizma poželjno je da je kut približno jednak 90o, jer je u slučaju velikog odstupanja prijenos sila sa sprežnog člana na klizač nepovoljan. U položaju klipno koljenčastog mehanizma kod kojeg je kut prijenosa 90o mehanizam se nalazi u mrtvoj točki, te je prijenos gibanja s ojnice na klizač nemoguć.
A r1 1 2 O
r2 B
e Slika 119. Mrtvi položaj klipno‐koljenčastog mehanizma
ODREĐIVANJE DIMENZIJA ZGLOBNOG ČETVEROKUTA SA ZADANIM OMJEROM TRAJANJA RADNOG I POVRATNOG HODA Uz pretpostavku da je kutna brzina pogonskog člana 1 konstantna bit će vremena potrebna da radni član zakrene iz vanjskog krajnjeg položaja u unutarnji proporcionalna odgovarajućim kutevima zakreta pogonskog člana (Slika 120).
hod atni r v po ni hod rad B
r2 A
r1
r3 B˝
B´
A´ r4
OA
T˝
OB T´
A˝ Slika 120. Radni i povratni hod zglobnog četverokuta
0
2
82
Na slici je vidljivo da je kut koji treba prevaliti pogonski član iz položaja A´ u položaj A˝ jednak , dok je kut u povratnom hodu od položaja A˝ do položaja A´ jednak . Omjer odgovarajućih vremena potrebnih da se pogonski zakrene za ove kuteve bit će:
t=
p+a p -a
(146)
Ovaj vremenski omjer pokazuje kako se brzo obavlja povratni hod. Ako je t > 1 radi se o brzo povratnom mehanizmu, dok je za t < 1 to mehanizam s kraćim radnim hodom od povratnog. Određivanje dimenzija zglobnog četverokuta sa zadanim jednim krajnjim položajem i vremenskim omjerom radnog i povratnog hoda vrlo je jednostavno i objašnjeno je na slijedećem primjeru. Primjer: Za zglobni četverokut zadan je krajnji položaj radnog člana (Slika 121) i vremenski omjer radnog i povratnog hoda =1.5. Potrebno je odrediti ostale dimenzije zglobnog četverokuta.
50 mm
B˝ r3
600
OA OB 40 mm
Slika 121. Skica uz primjer
p+a može se jednostavno izračunati da je p -a t -1 1.5 -1 p , što za zadane podatke daje a = p kut jednak a = p = = 36o t +1 1.5 + 1 5
2r 1
Iz zadanog vremenskog omjera radnog i povratnog hoda t =
B´ B˝ = 3
r2
r3 6
r2
r3
0
A˝ OA
600
r1 OB r1
A´
40 mm
Slika 122. Rješenje primjera sinteze zglobnog četverokuta sa zadanim omjerom radnog i povratnog hoda i krajnjim položajem radnog člana
M. Husnjak: Teorija mehanizama 83
PREMJEŠTANJE TIJELA IZ JEDNOG U DRUGI POLOŽAJ
B1
sA
B1
sB B2
B2
A2
A2
A1
A1
OA
OB P12
P12
