MECÁNICA DEL CONTINUO I. SÓLIDOS ELÁSTICOS 1. El sólido elástico Hemos estudiado la mecánica del sólido rígido, caracterizado porque al ser sometido a fuerzas no se deforma. Sin embargo, este sistema es una idealización de la realidad. Ciertamente ente de gran vali validez dez en muchos casos. casos. No obstante, obstante, todos los los cuerpos se defor deform man en mayor o menor medida cuando son sometidos a la acción de una fuerza exterior. Tiene senti sentido, do, por lo tanto, que estudi estudiem emos, aunque aunque sea sea sim simplem plemente ente como introducci introducción ón al ampli plio tema de la resistencia de materiales, materiales, el comportamiento de un sólido elástico cuando es sometido etido a dif diferentes erentes tipos tipos de ensayos. nsayos. Cuando se aplica una fuerza a un sólido deformable, el efecto que provoca en él depende tanto de la fuerza aplicada como del área de la sección del cuerpo sobre la que se aplica. Por esta razón razón es conveni conveniente ente hablar hablar defuerzas de fuerzas por unidad de superficie o esfuerzos. Tod Todo esfue fuerzo aplica licado a un cuerpo se puede descomponer en un esfue fuerzo perpendicu icular lar a su superf superfiicie cie y un esfue sfuerzo rzo tangen tangente te a la la misma. A l prim primero lo lo ll llamaremos esfuerzo normal, normal, mientras entras que el el segund segundo o reci recibe be el nombre deesfuerzo de esfuerzo tangencial tangencial.. Separaremos su estudio studio para hacerlo cerlo más sencil ncillo, así que tratarem trataremos en en prim primer luga lugar deforma deformacione ciones s ocasi ocasionada onadas por esfuerz uerzos os normal normales es y despué después estudiarem tudiaremos def deformacione ciones s provocad provocadas as por la l a apli plicación cación de esfuerz uerzos os tangencial nciales es..
2. Ley de Hooke. Ensayo por tracción Se debe al trab trabaj ajo o de R. Hooke Hooke (1635-1703) el estable blecim cimiento de la rel relación ción básica sica entre esfuerzo y deforma ormación ción el elástica stica de de un un sóli sólido. ∆δ = δ − δ O Cuando un cuerpo es someti sometido do a un test test de tracción (figura 1), se obtiene una curva lO típi típica, ca, como la la que se muestra en la la figura fi gura 2. δ O Aparecen fuerzas rzas intermol ntermolecul eculares ares que se r oponen a la fuerz uerza a F aplicada, originándose un estado de equi equillibrio brio que se manifiesta esta ∆l = l − l O macroscópicam acroscópicamente por la la deformación ción experim ri mentad entada a por el sóli sólido, que se manti antien ene e r en estado de reposo. Si la fuerza fuerza aumenta de F valor, valor, el alarga alargamiento ∆l experim ri mentad entado o por el cuerpo aum aumentará entará en la la misma proporción, proporci ón, Figura 1 siem siempre que aqué aquélla no no supere cierto cierto valor valor máxim áximo, correspon correspondi dien ente te al seña señalado ado como A en el gráfico que muestra la fuerza aplicada frente a la deformación experimentada por el cuerpo. Si la fuerza supera el valor valor correspon correspondi dien ente al punto A, la proporci proporcionalidad directa directa desaparecerá, parecerá, y el el cuerpo se se F defor deform mará más con un mism mismo aumento de fuerza fuerza aplicada. Si Sin embargo, mientras entras no se se supere el valor valor de la fuerza rza correspond correspondiiente ente al punto B, el cuerpo recuperará recuperará su forma inicial cuando la fuerza sea reducida o ∆l eliminada. A partir rtir de este valor, valor, un aumento de la fuerza impli plicará cará un un creci crecim miento no lilineal de la deforma ormación, ción, de Figura 2 1
tal forma que, si cesa cesa la la fuerza, fuerza, el cuerpo no recupera su forma forma anterior, terior, manten anteniiendo endo una def deformación ción resi residual. Cua Cuando la fuerza rza adquiere quiere un valor valor rel relati ativam vamente ente grande, correspond correspondiiente al punto C, el cuerpo se rompe definiti nitivam vamente. L os puntos puntos A, B y C, reci recibe ben n los los nombres respectivos ctivos de límite de proporcionalidad, proporcionalidad, límite de elasticidad y punto de fractura. fractura. Hasta Hasta el punto A se cumple ple la ley que que Hooke descubrió: scubrió: “las de deform formacion acione es son son proporciona proporcionalles a las las fuerzas fuerzas defor deform madoras” adoras”,, que se expresa xpresamatemáticam áticamente mediante ediante la la igual igualdad, dad,
F = k∆l
[1]
dondek donde k es la la constante de proporciona proporci onallidad. Si Sin embargo bargo Hooke Hooke pronto se di dio o cuenta de que si cambiab biaba la la longitud ongitud y la la secci sección ón del material ri al sometido etido a ensayo, sayo, la constan constante te k cambiaba cambiaba de valor valor aunque aunque estuviera tuviera hecho del mismo material ri al.. Es Es deci decir, r, la constante constante de proporci proporcional onalidad dad depe dependía ndía de la geometría etría del cuerpo sometido etido a deformación. ción. Era Era evide evidente nte que esta no era la la forma apropiad propiada a de expresar sus resul resultados. tados. Observó que la la constante k era, sin sin embargo, proporcional a la sección del cuerpo e inversamente proporcional a su longitud, k = Y
S lO
siendo Y siendo Y la constante constante de proporci proporcionalidad. Sustituyen Sustituyendo do esta expresi expresión de k en la ecuación [1], obtuvo, F = Y
S lO
∆l ⇒
F ∆l = Y S lO
[2]
que es una una expresión xpresión más útil til, ya que expresa expresa una proporciona proporci onallidad dad directa directa (recordem (recordemos que es váli válida siem siempre que no se sobrepase el punto A de la figura anterior) entre el esfuerzo aplicado (fue (fuerz rza a por unida unidad de área) y la la deformación ción relati relativa va del cue cuerpo, sien siendo do la la constante constante de proporcionalidad, Y proporcionalidad, Y,, depe dependien ndiente te únicam únicamente ente del tipo tipo de material ri al del que está está hecho el cuerpo, pero inde i ndependi ndientedesu geo geom metrí etría a. A l coef coeficien ciente Y se le le denominam na módulo ódulo de Young. oung. En la la tabla bla 1 se muestran los los valores valores del módulo ódulo de Y oung correspondi correspondientes a algunas gunas sustancias. Tab Tabla 1 Módulo de Young de diferentes sustancias Material Y ( 1011 N/m N/m2) A cero cero 2,15 Aluminio 0,69 Bronce 0,95 Cobre 1,15 Hormigón 0,28 L atón 0,80 Vidrio 0,70 Madera 0,10
2
Ejemplo 1. Un alam alambre bre de de cobr cobre de de 2m 2mde largo argo y 1 mmde diám diámetro tro se util tiliza para elev elevar un objeto objeto de5kg demasa. ¿Qué alar alargam gamiento ento experi experim menta enta el alam alambre? bre? Resolución: Supondr Supondrem emos que el objeto objeto es elev elevado con veloci velocidad dad constante. Así podrem podremos asegur gurar quela fuerza que ha ha de ve vencer el alam alambre bre coinci coincide de con el el peso del obje objeto. De De acue acuerdo con la la ley leyde Hooke para para la la tracci tracción ón experimentada por el alam alambre bre de cobre, cobre, tendr tendrem emos que, que, 5·9,8 l−2 1,15·1011 = ⇒ l = 2,001m 2 −3 2 π ·(0,5·10 ) es decir, el alambre se alargará,
∆l = 1mm El ensa ensayo de def deformación ción que hem hemos tomad tomado como ej ejemplo plo del trabajo de Hooke, Hooke, reci recibe be el nombre de ensayo por tracción. tracción. Como vemos, la la de deformac ormaciión ind indiicada cada por el cocie cociente deform mación ación transve transversal de la la barra, rra, ∆δ δ O , que tendrá, tendrá, ∆l l O va acompañada de una defor evide evidentem ntemente, ente, signo signo contrario contrario a la anterior. ri or. L a relaci relación ón entre ambas bas deformacione ciones recibe recibe el nombre decoeficiente de coeficiente de Poisson, Poisson,
∆δ µ = −
∆l
δ O
[3]
lO
El coeficiente de Poisson toma valores típicos entre 0,25 y 0,35pa 0,35 para la la mayoría ayoría delos meta metales. Ejemplo 2. Supongam Supongamos que se compri prime un un bloque bloque cúbico cúbico de un cierto cierto material ateri al sóli sólido en una dir dirección ección úni únicamente, hasta consegui conseguirr un acortam acortamiento ento del 1% en la la misma. ¿E ¿En qué qué porcentaje disminuirá el volumen del bloque si el coeficiente de Poisson es de 0.3? Resolución: A partir del coeficiente de Poisson y de la igualdad [3], podemos obtener la variación relativa de las dimensiones transversales del bloque,
− µ
∆l lO
= −0,3(− 0,01) = 0,003 ⇒ 0,3%
Por lo tanto, si el volumen inicial del bloque era, VO = l 3O después ser será, 2 2 V = (− l O ·0,01+ l O )·(l O ·0,003+ l O ) = l 3O ·0,99·(1,003) = 0,996VO Por lo tanto, la variación relativa de volumen será, V − VO = 0,996 − 1= −0,004 ⇒ 0,4% VO
3. Ensayo por compresión uniforme Con frecue frecuenci ncia a nos encontram encontramos con fue fuerz rzas as que actúan perpendicul dicularm armente sobre sobre la la supe superfi rficie cie de un un cuerpo, cuerpo, distri distribu buiidas uni uniforme ormemente. A la fuerza norm normal al que que, por unida unidad desupe superfi rficie cie, se ejerce sobre sobre el cuerpo se le denominapresión na presión.. Una forma de conse consegui guirr que toda la supe superfi rficie cie de un cuerpo esté sometida etida a la la misma sobrepresi obrepresión consisti consistirá rá en sumergirl ergirlo o en un
Figura 3
3
fluido uido conteni contenido do en en un reci recipi pien ente estanco (tanque de presión), presión), tal como como el que se muestra en la la r figura gura 3. Al Al bajar al émbol bolo ej ejercie rciendo ndo una una fuerza fuerzaF , de acuerdo con con el Principio de Pascal Pascal,,1 dicha dicha fuerza se transm transmitirá tirá ínte íntegramente a todos todos los los puntos de del fluido, uido, en pa particul rticula ar al fluido uido que que está en contacto con la la superfi rficie cie de del cuerpo. L a sobrep sobrepresión ∆P que supone la apl aplicación cación de de esta esta fue fuerza rza provocará que el volum volumen del del cuerpo cuerpo VO se reduzca, sien siendo do la la relaci relación ón causa-efecto lineal (ley (l ey deHooke) para para este esteensayo la la si siguiente,
∆P = −Q
∆V
[4]
VO
dondeQ donde Q recibe recibe el nombre dem demódul ódulo decompre presibi sibillidad. dad. Ejemplo 3. Determinar el cam cambio bio rel relati ativo vo de volum volumen (%) (%) de un bloque bloque de metal, etal, cuyo módulo ódulo de compresibi presibillidad es 125 125 GPa, GPa, cuando cuando la la presión atmosfér osférica (0,1MP (0,1MPa) se reduce a cer cero haciendo el vacío. Resolución: La sobrepresión en e este ste caso sería una depre presión, sión, ya que la pre presión sión sobr sobre el cuerpo sereduce. duce. El El cambio bio relati relativo vo devolum volumen será, senci sencilllamente, 0 − 0,1·106 ∆V ∆P =− =− = 8·10−7 ⇒ 8·10−5% 9 VO Q 125·10 Entre el módul ódulo de compresibil bilidad, el módul ódulo de Y oung oung y el el coefici coeficie ente de Poiss Poi sson on se se cumple ple la si sigui guiente nte rel relación ción,, Q=
B
2
A
3 1
Y 3(1− 2µ )
[5]
Para dem demostrarlo, ostrarlo, supongamos (fi (figura 4) 4) que el cuerpo cuerpo tien ti ene e forma cúbi cúbica de ladol O . Ce Centrem ntremos nue nuestra atención tención en en el lado AB y anal analiicemos como le le afecta a su longi longitud tud la la compresión resión (∆P ) a la la que que es sometido etido el el cuerpo. La L a sobrepresi obrepresión apl aplicada cada en las caras 1 dará lugar a una disminución de la longitud del lado AB,
∆P = − Y
∆l 1 lO
⇒ ∆l 1 = −
l O ∆P
Y
[6]
Figura 4
Por otra otra parte, las las sobrepresi sobrepresione ones s en en las las caras2 caras 2 y 3 darán darán luga lugar a un aumento ento de la la longi longitud tud del lado AB, para cuyo cálculo utilizaremos la relación [3],
Y ∆l 2
∆P =
µ l O
⇒ ∆l 2 =
µ l O ∆P
Y
= ∆l 3
Por lo tanto, la deformación total de la longitud AB será,
1
El Pri Principi ncipio o de Pascal será estudi studiado en el el capí capítul tulo o dedica dicado do a la Mecáni Mecánica ca de los Flui Fluidos. dos.
4
[7]
∆l total = ∆l 1 + ∆l 2 + ∆l 3 = −
l O ∆P
Y
+2
µ l O ∆P
Y
=−
l O ∆P
Y
(1− 2µ )
[8]
Evide videntem ntemente ente esta deformación ción será experi experim mentada tada por todas las las arista ri stas del cubo. Como el volum volumen de un cubo es V = l 3 , su variaci variación ón será ∆V = 3l 2∆l , por lo tanto, tanto, 3l 3O ∆P (1− 2µ ) Y ∆P (1− 2µ ) =− = −3 ⇒ =Q 3 VO Y 3(1− 2µ ) Yl O
∆V
[9]
4. Ensayo por cizalla Supongamos que el sóli sólido es sometido tido a una deform ormación ación como como la la que se muestra en la la fi figura 5. L a sup supe erfi rficie cie infe inferior rior está está rígidam rígidamente nte liga li gada a la supe superfi rficie cie donde donde está apoyado oyado el cuerpo. L a fuerza r FS aplicada al cuerpo en en direcci dirección ón tange tangente nte a su superf superfiicie cie provoca que apare aparezca zca en el cuerpo una fuerza rza igual y de senti sentido do contrario contrario que se le opone. one. Figura 5 La fuerza fuerza por unida unidad de área área es el esfuerz uerzo, o, que en este caso recibe recibe el nombre de esfuerzo tangencial o de cizalla. cizalla. Si Siempre que que el esfue esfuerzo rzo apl apliicado cado sea sea pequeño, el lado de longitud ongitud L girará un pequeño ángul ángulo θ o, lo l o que es equi equival valen ente, te, la la supe superfi rficie cie supe superior rior se desplaza splazará rá una pequeña distancia ∆X. En estas condiciones, la ley de Hooke para la cizalla toma la forma,
Fs ∆X =G = Gtagθ ≈ Gθ A L
[10]
dondeG donde G recibe recibe el nombre demódulo demódulo de rigidez rigidez.. Se puede demostrar ostrar que G está está relaci relaciona onado do con Y y µ medi ediante ante la la expresión, xpresión, G=
Y 2(1+ µ )
[11]
Ejemplo 4. Dos fuer fuerzas paral aralel elas as y opuestas, cada una de 4000 N, se apli aplican tangencial ncialm mente ente en las las caras supe superior e inferior nferior de un bloqu bloque e metáli tálico cúbi cúbico de 25 cmde cmde lado. Determinar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo de la cara superior respecto de la inferior, sabi sabiendo que queel módul ódulo de cizal cizallla para para el metal es de80 GPa. GPa. Resolución: Como se aplican sendas fuerzas en las caras inferior y superior de 4000 N cada una, la deformación sería equivalente a dejar una cara fija y aplicar en la otra un esfuerzo tangencial de 8000 N. Entonces, 8·103 rad = 80·109θ ⇒ θ = 1,6·10−6 rad −2 2 (25·10 ) El desplazamiento de la cara superior respecto de la inferior será, ∆X = Lθ = 25·1,6·10−6 = 4·10−5 cm
5
5. Ensayo de torsión Conside onsideremos un cuerpo de forma cil cilíndrica ndrica con una una de sus caras fi fijadas rígi rígida damente a una una supe superfi rficie cie. Sobre la la otra cara, tal como como se muestra uestra en en la la figura fi gura 6, apl aplicamos un par de fuerzas rzas. El El efecto del del momen omento de dichas dichas fuerz uerzas as es provocar provocar un despl esplaza azamiento ento angular ngular de una generatri neratriz z del cil ci lindro. Siem Si empre que el momento de la la fuerza fuerza sea pequeño el ángulo lo será será y la la le ley de Hooke tomará la form forma,
M = Cθ
C=
2l
θ F
[12]
La constante de torsi torsión ón C de la barra barra cil cilíndrica ndrica depende nde de de sus dim dimensi ensione ones y del del material ri al del queestá está hecho, π R4
F
G
Figura 6
[13]
dondeR donde R es el radio del cilindro y l es su su long longiitud. tud.
6. Ensayo Ensayo de de fl f l exión Como último ejemplo de deformación elástica de un material sólido vamos a considerar la flexión de una una viga viga,, es deci decir, r, de una una barra barra sometida etida a fuerz uerzas as perpendi perpendicul culares ares a su eje longitudinal. El efecto que producen esta estas s fue fuerz rzas as sobre sobre las las vigas es doble. Por un lado se produce una deformación perpendicular al eje longitudinal l de la viga y, por otro, se generan esf esfuerz uerzos os tangencial nciales es en en esa a misma dirección. Distinguiremos dos casos. En primer lugar supondremos que la viga vi ga está está empotrada potrada en una pared, tal como muestra la figura d 7. En este caso, al aplicar una r fuerzaF en la dirección perpendicular a la viga, se Figura 7 gene generará rará en ella una una defor deform mación ación que se mide por el despl desplazam azamiento ento vertical verti cal d indicado, de forma exagerada, en la figura. Esta r def deformaci ormación, ón, que se genera nera por el par par de fuerzas fuerzas que que resul resulta ta de F y de la fuerza de reacción en la pared, está relacionada, dentro de los límites de linealidad, con dicha fuerza, mediante la ley de Hooke, b
F=
6
1 d C f
[14]
L a constan constante te Cf , recibe el nombre de constante de flexión y depende depende tanto del tipo tipo de sustancia sustancia del que está hecha la viga viga como de su su geometría. etrí a. Concr Concreta etam mente, ente, 4l 3 C f = Yab Yab3
[15]
L a segunda gunda for form ma de colocar colocar una viga viga que que vamos a conside considerar rar es la la que se muestra uestra en la la figura 8. En En este este caso caso la la viga viga des descans cansa a en dos puntos puntos de apoyo apoyo situad situados os en sus respecti respectivos vos extrem extremos. Hemos exagerado la deformación que provoca en la viga la aplicación de una fuerza. En este caso la ley de Hooke toma la misma for forma que antes, antes, es deci decir, r, responde a la ecuación [14], aunque la constante de flexión es ahora, C f =
l
3 3
4 Yba Yba
[16] Figura 8
Es interesante interesante destacar que cuando una viga vi ga es sometida a una flexión, la zona intermedia de la misma no se ve defor deformada por dicha di cha acci acción. ón. Para entender este compor comportam tamiento obser observe en el último caso considerado que mientras que la parte superior de la viga se “encog “encoge e”, la pa parte inferi inferior or se “est “estiira”. La L a figu fi gura ra 9 ayuda a visualizar este comportamiento. Debe existir una zona inte interme rmedia dia donde donde no se produce produce deform deformación ación elástica elástica del del cuerpo. cuerpo. A la hora de util utilizar una una viga viga para para soportar soportar un peso esta zona no juega juegapapel alguno alguno ya que Figura 9 no responde con su deformación a la fuerza aplicada presentando presentando una fuerza uerza de sentido sentido opuesto que la compe compense nse. Para Para abaratar baratar costes y eli eliminar nar pesos inne innecesarios ri os suele eliminarse, narse, en la medida de lo posible este material, resultando vigas con las conocidas Figura 10 formas de doble “T”, tal como podemos observar en la figura 10. Ejemplo 5. Una barra barra re rectangul ctangular ar tien tiene di dimensione siones: 2, 0.2 y 0.1m 0.1m, y está está apoyada por sus extrem tremos. Se admite que la flex flexión en vací vacío o es es des despr preci eciabl able e y al colocar colocarlle en su centro una masa de 2Tm el despl desplazam azamiento ento es de 5mm. Con Con estos estos datos datos calcúl calcúles ese e la fuerza fuerza de tracci tracción ón capaz de de aum aumentar la long longiitud de de la la barr barra en un un 2%. partirr de los datos del del probl problem ema podem podemos determinar el módulo ódulo de Young del del Resolución: A parti mater aterial del queestá hecha la la barr barra. Efectivam fectivamente, d 5·10−3 = 2,55·10−7 mN C f = = 3 F 2·10 ·9,8 23 −7 ⇒ Y = 3,9·1010 N 2 2,55·10 = 3 m 4 Y · ·0,2·0,1 Ahora determinaremos la fuerza que hay que aplicar a la barra en un ensayo de tracción para aumentar su longi longitud tud en en un 2%, F ∆l ∆l = Y ⇒ F = SY = (0,2·0,1)·3,9·1010·0,02 = 1,57·107 N S lO lO
7
7. Problemas resueltos 1. Una pequeña anil nilla está colgada colgada del techo mediante ediante dos alam alambres, uno de cobr cobre e de 3m de 2 longitud y 5mm de secci sección, ón, forma formando un ángul ángulo o de 30º con la la horizontal horizontal,, y otro otro de acero 2 de 2m y 2mm 2mm , forma formando un ángul ngulo de 60º con la la horizontal ori zontal.. ¿C ¿Cuánto uánto se habrán habrán alargado cadauno delos alam alambres al colga colgarr de la la anil nilla una pes pesa a de de 30kg?. 30kg?. representa ntar la situa situación ción descri descrita ta medi ediante ante un esquema. El El cabl cable de Resolución: Vamos a represe r acero está som sometido etido a la la fuerza fuerza detracción tracción T1 , mientras que el cable cable decobre experim ri menta enta la la r
fuerza de tracción T2 . Com Como el siste sistema está en equil uilibrio brio se cumpli plirá que, ue, r ⎧ T2 sen30º+ T1 sen60º− P = 0⎫ T ⎨ ⎬ 1 r − = T c o s 6 0 º T c o s 3 0 º 0 1 2 ⎩ ⎭ T2 Y De estesistem sistema resultan resultan los los valor valores es de ambas fuerzas, uerzas, r X P ⎧ T1 = 255N ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ T2 = 147N⎭ El alam alambre de acero se alargará, T l 255·2 ∆l 1 = 1 1O = = 1,2mm −6 11 S Y 2 · 1 0 · 2 , 1 5 · 1 0 1 1 mientras entras que el de cobre sealarga alargará rá una longi longitud, tud, 147·3 ∆l 2 = = 0,77mm −6 5·10 ·1,15·1011 2. La tracción tracción de rotura rotura de un alambre de cobre es aproxim aproxi madamente de 3·108 N/m N/m2. A) ¿Cuál es el peso máxim áximo que puede puedecolgarse colgarse deél si el diám diámetro de su sección cci ón es de 0,42 mm? B) B) Si se cuelga cuelga la mitad de de di dicho peso peso máxim áximo, ¿en ¿en qué porcentaje de de su su longi longitud tud sealarga alargará si 11 2 el módul ódulo de Youn Y oung g del cobre es 1,15·10 N/m N/m ? tracción de rotura rotura es el el esf esfuerz uerzo o normal máxim áximo que puede apl aplicarse al Resolución: L a tracción alambre en un ensayo de tracción. Por lo tanto, el peso máximo que podemos colgar de dicho dicho alam alambre será, será, ⎛ F ⎞ = 3·108 N ⇒ F = 3·108·π ·(0,21·10−3 )2 = 41,56N ⎜ ⎟ max m2 ⎝ S ⎠ max Cuando se cuel cuelga del alam alambre la la mitad deestepeso máxim áximo se alargará en un porcentaje, porcentaje, 20,78 ∆l 1 F = = = 0,0013 ⇒ 0,13% −3 2 11 l O Y S 1,15·10 ·π ·(0,21·10 ) 3. Un alambre de cierto cierto material terial,, de 0,25 mm mm de radio, radio, sufre sufre un al alargamiento de1 mmcuando se cuelga cuelga de él un cuerpo de 0, 0,6 kg de masa. Por Por otr otra a parte, rte, experim experimentauna torsi torsión ón de 1 rad -5 cuando se le apli plica un momento de 6,5·10 Nm en el extrem extremo li libre. Dete Determina rminarr el coef coeficie cientede Poiss Poi sson on del materi terial, al, sabie biendo que que existe xistela si sigui guienterela relación ción entre entre el módul ódulo de Y oung (Y), (Y ), el módu módullo de de cizall cizalla a o rigi rigide dez (G) (G) y el el coeficie ciente de Poiss Poisson on (µ), G=Y /2(1+µ). primer ensa ensayo yo podremos podremos determinar el módulo ódulo de Young Y oung de este este Resolución: Con el prim material,
8
Fl O 0,6·9,8·l O 0,30·1011·l O N 2 = ≈ 2 m S∆l π ·(0,25·10−3 ) ·1·10−3 Con el segundo ensayo podem podemos obtene obtenerr el coefici coefi cien ente te de torsión, torsión, que está está relaci relaciona onado do a su vez con el módul ódulo derigi rigide dez, −5 2l O 2·l O ·6,5·10−5 M 6,5·10 −5 = = 6,5·10 Nm⇒ G = 4 C = ≈ 0,11·1011·l O N 2 C= 4 − 3 m 1 θ π R π ·(0,25·10 ) Y =
A partir rtir de la rela relación ción que que existe xiste entre el coefi coeficie ciente de Poiss Poi sson on y los los módulos de Y oung oung y de rigi ri gide dez, tendrem tendremos, fi finalmente que que, 0,30·1011·l O Y Y G= ⇒ µ = − 1= − 1= 0,36 2(1+ µ ) 2G 2·0,11·1011·l O 4. El tirante tirante de una armadura es capaz de soportar soportar un peso de 105 N. El tirante está hecho de cable cable de hierro, hierro, cuyo módul módulo o de Y oung es de 2·1011 N/m N/m2, siendo su sección circular y su longi ongitud en reposo reposo de 1 m. A) Calcula cular el radi radio de la se sección cción del tirant tirante e sa sabie biendo que que el alarga alargam miento producido producido por dicho dicho peso es de 1,25 mm. B) B) Si Si el tirante ti rante fuera uera cabl cable e de secci sección ón cuadrada cuadrada, ¿cuá ¿cuáll sería rí a el lado ado del del cuadrado? Supong Suponga a que que no se produce contracción contracción lateral en el tirante. aciendo uso de de la la ley deHooke para el ensayo sayo de tracci tracción, ón, res resultará, ultará, Resolución: Hacien F lO 105·1 S −4 2 S= = = 4 · 1 0 m ⇒ r = = 11,28mm π Y ∆l 2·1011·1,25·10−3 L a secci sección ón del cable cable deb debe e ser ser la la misma aunque unque su forma forma geométrica étrica sea dif diferente. Por Por lo tanto, S = l 2 ⇒ l = S = 20mm 5. Una barr barra a de forma prism prismática, ática, de 60 cm de longitud ongitud en reposo, se alarga 0,6 mm mm por la la acción de una fuerza de tracción. Hallar el valor de dicha fuerza si el volumen inicial de la barra barra es de 16 cm3 y el módul ódulo de Youn Y oung g del materi teria al es 2,1·1011 N/m N/m2. Suponga que no no existe contracción lateral en la barra. Resolución: Con el volumen y la longitud iniciales de la barra podremos determinar su sección, V 16·10−6 S= = = 2,7·10−5 m2 −2 lO 60·10 Apli plicando ahora ahora la la ley de de Hooke para un ensayo sayo de tracción tracción resul resultará, tará, −3 0,6·10 ∆l F = SY = 2,7·10−5·2,1·1011· = 5600N −2 lO 60·10
9
