', z"), en coordenadas cilíndricas, donde el campo eléctrico es producido por una carga lineal sobre el eje z, está dado por E = (5O/r)8, ( V 1 m ).
Debe anotarse
primero
que d i tiene componentes en las direcciones' radial. Entonces E . dI = Ei dr, yasí
aro a~, ya; y que E tiene dirección A
VA B
=
-
fE '
1
dI
8
El punto
A
está a un potencial
=
-
50
f 3
dr
=
-
1 50 In -.
r
más alto que el punto
3
=
B.
54.9 V
Fig.5-3
3
m
52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP.
5
Como no hay trabajo en movimiento a lo largo de YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 8 4 > o a z' todos los puntos sobre el cilindro vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT r = constante deben estar al mismo potencial. En otras palabras, para una línea uniforme de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son
super ficies equipotencia les.
5.3
POTENCIAL Como el campo
DE UNA CARGA eléctrico
VA B
por una carga puntual ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q tiene dirección radial,
producido A
= -
PUNTUAL
fE'
di
=
-
B
f
rA
E, dr
'8
Q = -
-
4ltio
f
'A
'8
Q
dr
2 r
= -
4ltio
(1 1) -
rA
-
-
rB
Para una carga positiva Q el punto A está a un potencial más alto que el punto B cuando Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Si al punto de referencia B se le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces
rA
es menor que
r n-
o En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta infinito.
5.4
POTENCIAL
DE UNA D1STRIBUCION
DE CARGA
Si hay carga distribuida en algún volumen finito con una densidad de carga conocida p (C I m '), entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en la figura 5-4. Entonces en P .
dV= --
dQ dV
4ltio R
La integración
sobre el volumen
~p
da el potencial
V= f
~ vol
4ltio
--
total en P :
R
R Fig. 5-4
donde dQ está reemplazado por p du. Ahora, no debe confundirse R con r del sistema de coordenadas esféricas. R no es un vector sino la distancia desde dQ hasta el punto P . Finalmente, R casi siempre varía de lugar a través del volumen y entonces no puede removerse del integrando. • Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, la expresión de arriba para Vse cumple, siempre y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y P s o P t estén usados en lugar de p . Debe hacerse hincapié en que todas estas expresiones para el potencial en un punto externo están basadas en una r efer encia cer o en el infinito.
5.5
GRADlENTE
Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5 (a ) muestra dos puntos vecinos, M y N . de la región en que está definida una función escalar V. El vector separación de los dos puntos es
dr = dx e; + dye; + dz s,
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
M (x ,y ,z )
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS DE CARGA
53
ZYXWVUTSR
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z
N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + dx ; y + dy ; z + dz) ~
V(x,y,,)",
V (x , Y. z ) y
=
el
y
x
x (a )
(b) Fig. S-S
Por el cálculo,
el cambio
en V desde M hasta
N está dado
av ax
dV = -dx Ahora,
el operador
De lo que se deduce
nabla,
introducido
av ay
+ -dy
por
av az
+ -dz
en la sección 4-4, sobre
V
da
que
dV
=
VV· dr
El campo vectorial V V (también escrito grad V) se llama el gr a diente de la función escalar V. Se ve que para una I d r l fija, el cambio en Ven una dirección dada dr es proporcional a la proyección de VV en esa V. dirección. Así pues VV ya ce en la dir ección de má ximo incr emento de la función Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos M y N estén sobre la misma superficie equipotencial (si Ves un potencial), V(x, y, z) = C l [ver figura 5-5 (b)] . Entonces dV = O lo que implica que V V es perpendicular a dr . Pero dr es tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización VV debe estar a lo largo adecuada de N, éste representa cua lquier tangente a través de M. En consecuencia, de la superficie normal a M . Como dVestá en la dirección de aumento de V, apunta desde V(x, y, z)= C I hacia V (x, y , z ) = c 2 , donde C2 >c l• El gr a diente de una función potencia l es un ca mpo vector ia l el cua l es en todo punto nor ma l a la s super ficies equipote.ncia les. El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término contiene la derivada parcial de V con respecto a la distancia en dirección del vector unidad particular.
(cartesiano)
(cilíndrico)
av VV
=
a,:
av
a,
+ r ao
av
ao
+ rsenO acIJ a 4 >
Aunque V Ves válido para grad Ven cualquier nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.
(esférico)
sistema coordenado,
debe recordarse
que el operador
54
5.6
ENERGIA Y POTENCIAL
RELACION
ENTRE
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP. 5
E Y ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V
A partir de la expresión integral para el potencial de A respecto de B . el diferencial como vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dV=
de V puede escribirse
-E·dl
Por otro lado,
dV
= VV ·dr
di YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = dr es un pequeño desplazamiento arbitrario, se deduce que
Como
E=
-VV
La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuando la función potencial V es conocida, tomando simplemente el negativo del gradiente de V . Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las superficies equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo en V . Con el signo negativo se encuentra que el campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial V .
5.7
ENERGIA
EN CAM POS
ELECTRICOS
ESTATICOS
Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por carga, una distribución de n = 3 cargas puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga y con E = O en todas partes. Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para Q colocar la primera carga Q ., en la posición l es cero. Por 1 tanto, cuando Q2, se mueve hacia la región, se requiere un trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de Q •. El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es 00
WE = W1 + W2 + W3 =
O + (Q2 V2 .1 ) + (Q3 V3 .1 + Q3 V3 .2 )
El potencial V2 • notación, poco usual, campo eléctrico de la ción.) Ahora, si las tres
Fig. 5-6
debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la carga Q . en la posición 1". (Esta no aparecerá de nuevo en este libro.) El trabajo W E es la energía almacenada en el distribución de carga. (Ver problema 5.20 para un comentario sobre esta identificacargas se trajeran
a su sitio en orden
inverso,
el trabajo
total sería
WE = W3 + W2 + W¡
,;, O + Cuando
las dos expresiones
arriba
(Q2
se suman,
V2 • 3 ) + (Qt V1 • 3 + Qt V1 .i)
ei resultado
es dos veces la ~nergía almacenada:
El término Q. (V 1.2 + V 1.3) era el trabajo hecho contra los campos de Q2 región. Así que, V i , 2 + V r , 3 = V ., potencial en la posición 1. Entonces
y
Q3' únicas otras cargas en la
y
para una región que contiene n cargas puntuales. sumatorio se convierte en una integración,
Para una región con densidad
de carga p (C I m ') el proceso
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
Otras expresiones
(ver problema
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
5.15) para la energía almacenada
DE CARGA
55
son YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2
1 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR
~= -f-dv 2 (. En un circuito
eléctrico,
la energía almacenada
en un condensador 1
WE = -Q V
2
donde C es la capacitancia (en faradios), yen el condensador y Q es la magnitud
=
1
-CV
está dada por
2
2
Ves la diferencia de voltaje entre los dos conductores de la carga total sobre uno de los conductores.
que constitu-
EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal que e = lA/d. tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico. Despreciando el efecto de bordes, el campo es E = (V/d)a n entre las placas y E = O en cualquier otro lugar.
WE =
f
21 a : 2
dv
(V)2 2 d f e
=
+
v.= .. dv
Fig. 5-7 Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por medio de la ley de Gauss (sección 3.3).
Entonces
Problemas resueltos 5.1.
Halle el trabajo en el campo
E
=
realizado
al mover una carga puntual
(~ + 2Y~" + 2X8
y
Q
= - 20
J1.C desde el origen hasta (4, O, O) m
(V/m) y
Para una trayectoria a lo largo del eje x. di
dW
=
- Q E ' di
=
(20
x
=
dx a". (4.2. O)
1O-6)(~ + 2Y)dX
(0,0,0) y
W= (20x =
80pJ
1O-6)((~+ 2Y)dX
(4.0,0)
I Fig. 5-8
x
56
5.2.
ENERGIA
Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP.
5
5.1, mueva la carga desde (4, O, O) m hasta (4,2, O) m YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED y determine el trabajo
En el campo del problema realizado.
Ahora (sección figura 5-8) vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA di = dya y, y así
5.3.
f
= (20 x 10- 6 )
W
2
2xdy = (20 x 10- 6 )(2)(4) o
f
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
dy
= 320 J Ú
o
En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizado al mover la carga desde el origen hasta (4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos. La ecuación de la línea es x = 2y. de lo cual dx = 2 dy, dz = O. Entonces
y dy se cambian a x/2
x, y
Para integrar respecto de
5.4.
Y
l1 J
320
dx l L.
45
W= (20x1O- 6 )I
que es la suma de 80
y
-xdx= 400J Ú
2
o
datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2.
f.1 J ,
Q
Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual 1t/2), coordenadas esféricas, en el campo
E
10
5e- r /4 a
=
r
+ ---
=
5 p 'e desde el origen hasta (2 m, n/4,
(V/m)
a
r sen (J q,
En coordenadas esféricas, dI
=
z
dr s, + rdea s
+ rsenedq,a.
Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del segmento de = dq, = O, y dW
-QE'
=
dI
(-5
=
A lo largo del segmento 11. dr dW=
-QE'
dl=(-5
A lo largo del segmento 111. dr dW
de
=
=
=
-QE'
1O-6)(5e-' 1 4 dr)
x
=
o,
x
1O- 6 )(1Odq,)
y
de/> = O, y
dI
Fig. 5-9
O
=
Por consiguiente, W
=
(-25
x 10- 6 )
f
2
e- r /4 dr
x 10- 6 )
+ (-50
o
f
_12
dq, = -117.9 J Ú o
En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 J Ú. 5.5.
Sea el campo E = (k/ r )a" en coordenadas cilíndricas. Demuestre que el trabajo necesario para mover una carga puntual desde una distancia radial r hasta un punto situado a dos veces esa distancia radial, es independiente de r. Como el campo tiene solamente componente radial, dW = -QE'
dI = -QE,dr
-kQ = --
Para los límites de integración use r I y 2r W
= -
l.
2"
kQ
"
independiente de
r.
dr
f -
r
= -
kQ In 2
r
dr
CAP. 5]
5.6.
57
ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA
9 /2) Dada una carga lineal de ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p , = (10- YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e / m sobre el eje vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE z, halle VAB, donde A es (2 m, n/2, O)y Bes (4 m , n, 5 m ) .
VAS
= -
f
A
donde
E· dI S
Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di es E, dr .
5.7.
5.8.
=
En el campo del problema 5.6, hállese VBC • donde r , compárese éste con la suma de VAB y VBC •
4my
rC
=
VB C
= -9[lnr]::
= -9(1n4 -In
10) = 8.25 V
V AC
= -9[lnrt
= -9(ln2
10) = 14.49 V
V AB
+
V BC
= 6.24
-In
+ 8.25 V = 14.49 V =
V
10 m. Luego, determínese
V AC
Dado el campo E = ( -16/ r2 )a , (V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto (2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ). Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r sea B . Entonces VAB
5.9.
VAC Y
=
-
t
2
(-16)
7
dr
=
=
2 m sea A y r
=
4 m,
- 4 V
Una carga lineal de p , = 400 p Cj m yace a lo largo del eje x y la superficie de potencial cero pasa por el punto (O, 5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10). Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.
z
Como la carga lineal yace a lo largo del eje x, las coordenadas x de los dos puntos pueden ignorarse. r A= J 9+ 16= 5m
rB
=
y
J 25 + 144 = 13 m
Línea de carga
Entonces VA B
Pt
rA
=
-
f r. 27tE:or --
d
r
=
-
p, rA --In 27tE:o r B
=
6.88 V
Fig. 5-10
5.10.
Halle el potencial en r A = 5 m respecto de r » = 15 m producido por una carga puntual Q p C en el origen y referencia cero en el infinito. Debido a la carga puntual,
Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero. 12
V AB
=
500 x 10(1 47t(10 9/367t) 5" -
1) 15
=
0.60 V
=
500
58zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
[CAP. 5
la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrar ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y V IS ' s YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V15
=
-.JL (~) 47tt:o
=
0.30 V
15
Entonces
5.11.
Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemente alrededor de un anillo circular de 2 m de radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5 m del plano del anillo. Compare el resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual. Con la carga en una línea,
v-
f
-
Aquí
y
(40/3) X 10- 9 2x(2)
p, =
(ver figura 5-11)
R
p,dt oR
J 29
=
z
41U
m,
10- 8
e /m
= ~
dt
=
(2 m)dq,.
Fig. 5-11
Si la carga está concentrada en el origen.
v= 5.12.
(40/3) X 104Xio(5)
9
=
24.0
V
Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida de radio (figura 5-12).
uniformemente
sobre un disco..circular de 2 m
Como la carga está sobre una superficie, p.dS
V =
(40/3) con
P.
=
R
=
V
=
z
f 4XioR 10- 9
X
X(2)2
J 25 + r
2
10- 8/3x
10- 8
2
Cim
=~ (m) 2"
2
r dr dq,
f f o J 25
4x(10 9/36x) o
+ r2
=
23.1 V
Fig.5-12 5.13.
5.14.
Cinco cargas puntuales potencial en el origen.
iguales, Q
=
20 nC, están localizadas
en x
=
2,3,4,5
y 6 m. Encuentre
el
Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de una línea recta de longitud finita 2L (figura 5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del punto medio, tales que r¡ y'2 sean peque. ños comparados con la longitud, el potencial Vl2 es el mismo que para una línea infinita de carga.
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS DE CARGA
59
El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, es ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fL p,dz
VI =
o 47Uo(Z2
=
2p,
+
ri)I/2
[1n(z+Jz2+d)]L
47tlo
o
[In (L + J 13 + d ) - In r¡)
= ~
27tfo
En forma similar, el potencial en el punto 2 es
Ahora si
L ~ rl
y
(In2L - ln r.)
V I :::; ~
27tfo
Entonces
-L Fig. 5-13
lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.
5.15.
Hay una carga distribuida energía almacenada
Demuestre
en un volumen
que una expresión
equivalente
v con densidad p , que da lugar a un campo eléctrico con
para la energía almacenada
es
La figura 5-14 muestra el volumen v que contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera de radio R . Como p es nula fuera de v, WE = -
tf 2
pVdv= -J 1·
2
lo'
pVdv= volumen
1f 2
esferoidal
El vector identidad integrando, da: WE
= ~f 2
V' V A
(V ,
=
(V'O)Vdv volumen esferoidal
Esfera
A' VV + V(V' A), aplicado al
VO)dv - ~
volumen esferoidal
f
( O ' VV)dv volumen esferoidal
Esta expresión se cumple para un radio R arbitrariamente grande. Se debe hacer R ....•co. La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema de divergencia, a 1!
VO·dS
-j
2
superficie
esferoidal
Fig. 5-14
ENERGIA Y POTENCIAL
60
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
[CAP. vutsrqponml S
DE CARGA
Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumen encerrado parece una carga puntual. De esta manera, en la superficie, D aparece como k ti R2 Y V como k2 / R. Así que el integrando decrece con 1/ R3. Como el área de la superficie aumenta sólo con R2, se concluye que límf
V D · dS=O
~-co
superficie
esferoidal
La otra integral da, en el limite,
y como D
= (E. la energía almacenada está también dada por YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ó
5.16.
V = 2 x + 4y (V) en el espacio libre. Halle la energía Sea la función potencial ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA volumen de 1 m 3 centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1 m '.
E= -VV=
OV - ( -a ox
oV +-a
ay
x
OV) +-a
oz •
y
= -2a
'" -4a
almacenada
en un
(V/m)
Este campo es constante en magnitud (E = .jW V/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.) De todas maneras, es posible hablar de una densida d de ener gía para éste y otros campos. La expresión
sugiere que cada volumen minúsculo dv tendrá asignado un contenido w dv, donde
Para este campo, la densidad de energía es constante: 1
W
=-
2
10- 8
y así cada volumen de 1 m 3 contiene (10 8f361t)
5.17.
= --
(0(20)
J
36n
J/m 3
de energía.
Dos semiplanos conductores delgados, en 4J = O Y 4J = 1 tJ6 , están aislados uno del otro a lo largo del eje z. La función potencial para O ~ 4J ~ n J6 es V = (-604J/1t) V. Halle la energía almacenada entre los semi planos para 0.1 ~ r ~ 0.6 m y O ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre. Para encontrar la energía almacenada, W' E' en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densidad de energía (ver problema 5.16) a través de la región. Entre los semiplanos,
E= -VV= y
1 --r
a al/>
(-601/» --n
60
a.=-a. '
nr
(V/m)
así
WÉ
e = ~ 2
fo fo f 1
,,/6
0.6 0.1
(60)2 nr
300(
rd rd I/>
dz
= __ o ln6 = 1.51 nJ n
CAP. 5]
5.18.
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC 61
r = 0.01 m y r = 0.05 m está El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricos concéntricos en vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK dado por E = (10 5 / r )a , (V / m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada en una longitud de 0.5 m. Suponga espacio libre.
(10
5 )2 e h+ O.S 2" O.OS 1 2 WÉ= 2f€OE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dv= if fo . -rrdrd< jJdz= 0.224J
f o ol
h
5.19.
Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q = 4 nC, en las esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610 dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?
donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema. VI =
Q
Q
+
2
41t(0
R J2
Entonces
+
3
41t(0
R13
2QI
WE =
Q 41tEo
4
=
4
x'
10- 9 (1_ + _1 + _ 1) 1 1
J2
41tfo
R I4
2(4 x 10- 9 )(97.5)
VI =
=
=
97.5 V
780 nJ
Para sólo dos cargas,
E
2W o
WE
=
Q
=
VI =
I
VI
QI
(4
+ Q2
(4
-9
10)
x
V2 = x
2QI
10-
¡;
)
=
102 nJ
2
41tEoV
5.20.
VI
9
¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ·Q I = 3 nC radas por una distancia de d = 0.2 m?
por esto
VI
2WE
=
QI
W
=
QIQ2
E
41t/:0
V
+ Q2 =
2
=
QI
(4~:d)
+
d
Q 2 = - 3 nC, sepa-
Q2(4~:d)
9
(3 X 10- )2 41t( 10 9 /361t )(0.2)
_
y.
=
-405 nJ
Puede parecer paradójico que la energía almacenada se torne negativa aquí, mientras !fE 2 , y por consiguiente
WE =
-1
2
f
fE 2
dv
todo el espacio
es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energía almacenada en el campo, uno desprecia la energía infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior, U i = - 405 nJ, puede tomarse con el significado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las d ife re n c ia s de energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.
5.21.
Una concha esférica conductora de radio a , centrada en el origen, tiene un campo potencial
v_
{Yo
Voa jr
r ~a r> a
con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo representa. r< a r > c.
62zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
Obsérvese
que la carga total sobre la concha
Q
=
DA
=
DE CARGA
[CAP.
5
es, según la ley de Gauss,
Voa ) ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 (47ta ) YXWVUTSRQPONMLKJIHGFED = 47tEo Voa ~vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
EO (
mientras que el potencial en la concha es V = ~ . Así pues, WE = !Q V , resultado familiar para la energía alma-cenada en un condensador (en este caso, un condensador esférico con la otra placa de radio infinito).
Problemas suplementarios 5.22.
Halle el trabajo realizado al mover una carga Q = - 20 el origen hasta (4, 2, O) m en el campo
E
=
x2
=
el problema 5.4 utilizando Resp. - 117.9 J ll
desde
Z
2(x + 4 Y )8 x + 8 X 8 y
a lo largo de la trayectoria
J lC
(V/m) Resp.
8y.
5.23.
Repita radial.
una trayectoria
5.24.
Repita el problema 5.4 utilizando la trayectoria figura 5-15. Resp. -117.9 J ll
1.60 m J
de dirección
mostrada
en la
Y
~ - - - - - ll- - -
x
Fig.5-15
5.25.
Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 3 J lC desde (4 m, 7t, O) hasta (2 m, 7t/2, 2 m), coordeResp. - 0.392 J nadas cilíndricas, en el campo E = (10 5 /r)a, + 10 5 z8 z (Y/m).
· S.26.
Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q infinito hasta r = 2 m y desde el infinito hasta r = 4 m, en el campo E ,,;,(10 5 / r)a r (Y / m). . Resp. 1.39 x 10- 4 J
5.27.
Una carga total de (40/3) nC está distribuida en forma de un disco circular de radio 2 m. Halle el potencial producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Compare este potencial con el que se obtiene si toda la carga está en el centro del disco. Resp. 49,7 Y, 60 Y
, 5.28.
5.29.
=2
nC desde el
Z
U na carga lineal uniforme de densidad p ( = 1 nC/ m está arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestra en la figura 5 -16. Halle el potencial en (O, O, 5) m. Resp. 35.6 Y
(O, O, 5)
Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado a d metros medidos radial mente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal finita con L metros de longitud y densidad uniformePr(C/m). Aplique este resultado, como prueba, al problema 5.28.
y
x Resp.
~
27tfo
In
L/2 + Jd
2
+ 1 3 /4 ( V )
Fig.5-16
d
superficial
uniforme
de carga P . sobre el
5.30.
Demuestre que el potencial en el origen producido por una densidad de R. anillo Z = O, R ~ r ~ R + I es independiente
5.31.
Una carga total de 160 nC está inicialmente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del
CAP. 5]
ENERGIA Y POTENCIAL
ELECTRICO
DE LOS SISTEM AS
DE CARGA
63
plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales y repita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el límite vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P r = (160/61t) nCfm? Resp. 247 Y
5.32.
En coordenadas
( -161 punto Resp.
r2 )a , ( Y
esféricas,
B. Ahora exprese VA
=
A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m. Dado el campo E YXWVUTSR = ZYXWVUTSRQPON del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el la diferencia de potencial V A - V B Y compare el resultado con ~roblema 5.8. el punto
1 m), halle el potencial
2 VD
= -
8 Y
5.33.
Si el potencial de referencia cero está en r = 10 m y una carga puntual Q = 0.5 nC está en el origen, halle los potenciales en r = 5 m Y" =15 m. ¿A qué distancia radial el potencial es igual en magnitud al potencial en r = 5 m, pero opuesto en signo? Resp. 0.45 Y, 0.15 Y,oo
5.34.
cartesianas. Halle la diferencia U na carga puntual Q = 0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas potencial V AB, donde el punto A es (2, 2, 3) m y B es (-2, 3, 3) m. Resp. 2.70 Y
5.35.
Halle el potencial en coordenadas eje y= ±d I2 . Suponga r ~ d .
5.36.
Repita
5.37.
Halle las densidades
el problema
esféricas producido por dos cargas puntuales Resp. (Q d sen 8)/(41tt.or 2)
5.35 con las cargas
sobre el eje z.
de carga sobre los conductores
iguales, pero opuestas
de
sobre el
(Q d cos 8)j(41tt.o r 2 )
Resp.
del problema
5J 7.
Resp.
5.38.
Una carga lineal uniforme de potencial
con P r = 2 nCI m yace en el plano z =0 paralelo al eje xeny
V AB para los puntos
A (2 m, 0,4 m) y B(O, O, O).
Resp.
-18.4
=3 m. Halle la diferencia
Y
5.39.
Una carga laminar uniforme, con P . = (I/61t) nCfm 2 , está en x =0 y una segunda carga laminar, (-1/61t) nCfm 2 , está en x =10 m. Halle VAB, VBC y VAC para A (IO m, O, O) Y C(O, O, O). Resp. - 36 Y, - 24 Y, - 60 Y
5.40.
Dados los campos eléctricos en coordenadas cilíndricas E = (51 r)a , (Y 1 m) para O < r ~ 2 m y E = 2.5 a, Y 1 m para r > 2 m, halle la diferencia de potencial VAB para A(I m, O, O) Y B(4 m, O, O). Resp. 8.47 Y
5.41.
U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m, tiene una distancia de separación de 2 cm y una difeResp. 11.1 nJ rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía almacenada, suponiendo que t. = t.o.
5.42.
El condensador descrito aplicado de 200 Y.
en el problema
5.41 tiene
con P .
=
un voltaje
Halle la energía almacenada. M antenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en 200 Y, mientras se aumenta d 2 a 2.2 cm. Halle la energía final almacenada. (Suger encia : Mtí, = t(i\C)V2) Resp. (a ) 4.4 ul ; (b) 4.2 jJ l
(a ) (b )
1-
o.sm ---j Fig.5-17
5.43.
Halle la energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales m de separación entre ellas. Resp. 180 nJ
5.44.
Repita
el problema
5.43 si la carga en 'el centro
es -2
nC.
iguales, Q
Resp.
-180
=
2 nC, dispuestas
nJ.
en línea con 0.5
64
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS
5.45.
5.46.
5.47.
DE CARGA
[CAP. 5
Cuatro cargas puntuales iguales, vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q = 2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/3) m de lado, una por una. Halle la energía en el sistema después que cada carga ha sido colocada. Resp. O, 108 nJ, 292 nJ, 585 nJ
lll Dado el campo eléctrico E = - 5e- rZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a r en coordenadas cilíndricas. Halle la energía almacenada en el volumen Resp. 7.89 x 10-10 a 3 descrito por r S; 2a y O S; z S; 5a .
Dado un potencial V = 3 x 2 + 4y2 (V). Halle la energía almacenada O:S;; Y S; 1 m y O S; z ~ 1 m. r esp. 147 pJ
en el volumen
descrito
por O S; x S; 1 m
Capítulo 6
Corriente, densidad de corrienteEDCBA y conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 6.1
INTRODUCCION onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C o r r ie n te e lé c tr ic a es la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a través 1 se usa generalmente para corrientes constantes y el símbolo ZYXWVU i de una superficie determinada. El símbolofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es el a m p e r e (1 A = 1 C I s. En el sistema SI, el ampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada). La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples, 1= VI R . Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carga negativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insuficiente. Por consiguiente, en electromagnetismo, la densidad de corriente J (A l m") recibe más atención que la corriente l .
6.2
CARGAS
EN MOVIMIENTO
Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, como se muestra en la figura 6-1 (a). Esta fuerza, F= + Q E , no es opuesta y produce una aceleración constante. De esta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partícula se halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas, como se muestra en la figura 6-1 (b), se estrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de dirección al azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan, y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como ve lo c id a d d e c o r r im ie n to U, a lo largo de la dirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capas más exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoría e le c tr ó n ic a d e lo s g a s e s , estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partícula cargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico,
u
=
jlE
donde u , la m o vilid a d , se mide en unidades m 2 IV· s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un número de átomos del orden de 1028• Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo libres para moverse cuando se aplica un campo. La movilidad u varía con la temperatura y la estructura cristalina del sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la temperatura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad jl se reduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisis de circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinar la r e s is tivid a d para cada material y especificar un aumento de esta resistividad con temperatura creciente.
u
-~+~Q~.====~--------~ ~ E
--------------------~ (b) Líquido o gas
(a) Vacío
Fig.6-1
65
66
6.3
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Y CONDUCTORES [CAP. 6
DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION,
J
Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK p en un volumen v aparece en la figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Se supone que las partículas mantienen su posición relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de carga pasa una superficie S ello origina una c o r r ie n te d e c o n ve c c ió n , con densidad
Si la sección transversal defedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v varía o si la densidad p no es constante a través de v, entonces J no será constante con el tiempo. Más aún, J será cero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras, el concepto de una densidad de corriente causada por una nube de partículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de la teoría de campos electromagnéticos.
6.4
DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION,
~
U
J=pU
S
Fig.6-2
J
De más interés es la c o r r ie n te d e c o n d u c c ió n que aparece dentro de los conductores de sección transversal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por
que, en vista de la relación U
= llE ,
puede escribirse J=
(1E
donde ( 1 = PJl es la c o n d u c tivid a d del material en s ie m e n s p o r m e tr o (S / m). En conductores metálicos los portadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3). Por consiguiente, para los electrones, tanto P como Jl son negativos, lo que produce una conductividad (1, positiva, tal como en el caso de portadores de carga positivos. Se deduce que J y E tienen la misma dirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es convencional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargas positivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a P y jJ como positivos. La relación J = ( 1 E se conoce como fo r m a p u n tu a l d e la le y d e O h m . El factor ( 1 tiene en cuenta la densidad de electrones libres que se mueven (P) y la facilidad relativa con que se mueven a través de la ess tructura cristalina (Jl). Como podría esperarse, es una función de la temperatura. Fig.6-3
6.5
CONDUCTIVIDAD
(1
En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativos como positivos, algunos con carga sencilla y otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podría incluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos los iones negativos son iguales y lo mismo todos los iones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura 6-4(a). En un conductor metálico, sólo los electrones de valencia están para moverse. En la figura 6-4(b) se muestran en movimiento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad de carga de los electrones libres para moverse, P e ' por su movilidad, Jle' Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En la estructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, a temperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moverse fuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea un p a r e le c tr ó n -h u e c o disponible para
CAP. 6]
J E
CORRIENTE,
----
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
-e
--e ---e
67
--B
J
J
E
E
~
--0
O- onmlkjihgfedcbaZYXW
-G
a = PeIJe o = » .» : fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +P+IJ+ (b) Conductor
o gas
O-
o--- -e
-= -e
(o ) Liquido
o---
a
= PeIJe
+
PhIJ"
(e) Semiconductor
EDCBA
F ig .6 - 4
conducción. Tales materiales se denominan semiconductores in tr ín s e c o s . Los pares electrón-hueco tienen un tiempo de vida breve y desaparecen por recombinación. Sin embargo, otros se van formando por lo que todo el tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura 6-4(c), la conductividad consiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos de valencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores tip o p o tip o n . El comportamiento intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra en los materiales del tipo n o de huecos extra en los del tipo p . Así, en la conductividad u , una de las densidades, P e o P h ' excederá a la otra.
6 .6
1
C O R R IE N T E
La corriente
total 1 (en A) que atraviesa 1=
una superficie
S está dada por
f sJ·dS
(ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial de superficie d S. Así pues, un resultado positivo en 1 indica que la corriente a través de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto, J no tiene necesariamente que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que ser una superficie plana.
dS F ig .6 - 5
Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra en la figura 6-6 si la densidad de corriente es J = 15(1 - e-1000')az (A /m 2 ). El radio del alambre es 2 mm. Se escoge una sección transversal para S. Entonces
EJEMPLO 1:
dI
= J. =
y
I=f =
dS
15(1 - e-1000')az'
2x
o 1.33
z
r d r d r /a z
0.002 15(1-e-1000')rdrdcp
fo X
dS 10-4 A
=
0.133 mA
Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste a la superficie externa del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total, 1 = 0.133 mA, cruzándola, J 6 .7
R E S IS T E N C IA
F ig .6 - 6
R
Si un conductor de sección transversal uniforme A y longitud l, como el que se muestra en la figura 6-7. tiene una diferencia de voltaje V entre sus extremos, entonces V
E=-
t
y
J= uV
t
68zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
[CAP. 6onmlkjihg
suponiendo que la corriente está uniformemente distribuida sobre el área A, La corriente total es, entonces, I= J A= o AV
t Como la ley de Ohm establece que V es R= ~
=
la resistencia
IR ,
(O )
o A ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
~ - - + - llll- - - - ~
V (Observe que 1 S-l = 10; el siemens era anteriormente conocido como el m h o .) Esta expresión para la resistenFig.6-7 fedcbaZYXWVUTSRQPONM cia se aplica generalmente a todos los conductores en los que la sección transversal permanece constante sobre toda la longitud t . Sin embargo, si la densidad de corriente es mayor a lo largo del área superficial del conductor que en el centro, entonces la expresión no es válida. Para tal distribución de corriente no uniforme la resistencia está dada por
v
R
=
S
J . dS
Si se conoce E en lugar de la diferencia
=
V (T-E -'-d= -= -S
-= -S
de voltaje entre las dos caras, la resistencia
está dada por
R = .,S,---E_._d.,..,..1
S El numerador
(TE· dS
da la caída de voltaje a través de la muestra, mientras el denominador
Encuentre la resistencia presente entre las superficies curvas interna en la figura 6-8. El material es plata para, la cual a = 6.17 x 107 S jm . Si la misma corriente 1 cruza la superficie interna y la externa, entonces,
EJEMPLO 2:
J Entonces (5°
=
f ,0.05
J
k
E=-sr
y
ar
°
k
-a'r 0 .2
.0.0873
J
5 -,
d r e .r
---r
ar
°
k
-
a, . r d4> dz a,
rb
r
In 15
= 1.01 x 10-5
n=
a(0.05)(0.0873)
6.8
externa del bloque que aparece
0.0873 rad), 3 .0
R =
k = -Sr r
y
da la corriente total/o
DENSIDAD
DE LA CORRIENTE
3.0 m
n
10.1 _
=
0.05 m
Jl
Fig.6-8
LAMINAR,
K
Algunas veces la corriente está confinada a una superficie de un conductor, tal como las paredes internas de una guía de onda. Para tal c o r r ie n te la m in a r es útil definir el vector densidad K (en Al m), que da la rata de transporte de carga por unidad de longitud. (Algunos libros usan la notación J s,) La figura 6-9 muestra una corriente total/, en forma de hoja cilíndrica, .de radio r , que fluye en dirección z positiva. En este caso, 1 K = -a
2nr
z
en cada punto de la hoja. Para otras hojas, K puede variar de un punto a otro (ver problema 6.19). En general, la corriente que fluye a través de una curva e dentro de una corriente laminar se obtiene integrando la
CAP. 6]
CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
Fig.6-'EDCBA
69
F ig .6 - 1 0
componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA n o r m a l de K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así pues fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 1=
6.9
C O N T IN U ID A D
D E
LA
f cK "d t
C O R R IE N T E
La corriente 1 que cruza una superficie general S ha sido examinada para los casos en queZYXWVUTSRQPONML J en la superficie era conocida. Ahora, si la superficie es c e r r a d a , para que salga una corriente neta debe haber una disminución de carga positiva adentro: l J . dS = j
donde la unidad normal en
dS
1
= -
dQ dt
= - ~ at
f
p dv
es ta dirección normal hacia afuera. Dividiendo por .1 v,
Cuando .1 v - + 0, el lado izquierdo por definición tiende a V • J, divergencia de la densidad de corriente, mientras el lado derecho se aproxima a -a p jo t. Así pues ap V 'J =
--
at
Esta es la ecuación de c o n tin u id a d d e c o r r ie n te . En ella p representa la densidad n e ta d e c a r g a y no sólo-la densidad de carga móvil. Como se verá luego, a p ja t puede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentro de un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V • J = 0, viene a ser el campo equivalente de la ley de la corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores es cero. En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de un campo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas. Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con la c a r g a n e ta , porque cada electrón de conducción está balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que la sarga neta es cero en cada .1 v del material. Supóngase, sin embargo, que en un des balanceo temporal, una región situada dentro de un conductor sólido presenta una densidad n e ta de carga Po en el tiempo t = O. Entonces, como J =
CORRIENTE,
70
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
[CAP. 6
La operación de divergencia consiste en las derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales. SifedcbaZYX (J Y onmlkjihgfe e son constantes, como deben ser en una muestra homogénea, entonces deben ser removidas de las derivadas parciales.
= ño ~ (V. D)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB
ot
e
op
(J
-P = e
op
o
--
ot
(J
a ¡ + € ,P = O
La solución
a esta ecuación es P
Po
=
e -(a /E )'
Se ve que o . y con ella
op
(J
--p e
ot
decae exponencialmente con una constante de tiempo ( /( J , también conocida como tie m p o d e r e la ja c ió n el tiempo de relajación es para el material particular. Para la plata, con (J = 6.17 X 107 S/ m y (~(o, 1.44 x 10 -19 s. De esta manera, si una densidad de carga P o pudiera de alguna manera lograrse en el interior de un bloque de plata, las cargas se separarían debido a las fuerzas de Coulomb, y después de 1.44 x 10 -19 S la densidad restante sería el 36.8% de P o . Después de cinco constantes de tiempo, o 7.20 x 10-19 s, sóloO.67% de P o permanecería. Así pues, puede deducirse,' para campos estáticos, que la c a r g a n e ta d e n tr o d e u n c o n d u c to r e s c e r o . Si no hay carga neta presente, debe estar en la superficie externa.
6.10
CONDICIONES
LIMITES
EN CONDUCTOR-DIELECTRICO
Bajo condiciones estáticas toda la carga neta estará en las superficies externas de un conductor yambos E y D serán por lo tanto cero dentro del conductor. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, la integral lineal cerrada de E .d l es cero para cualquier trayectoria. Una trayectoria rectangular con esquinas J" 2, 3, 4 se muestra en la figura 6-11.
f
234
E· dl+ 123
f
E ·d l+
f
f
E ·d l+
1
E ·d l= O
1
4
2 Dieléctrico
Si la trayectoria de las longitudes 2 a 3 y 4 a 1 se hacen tender a cero, conservando la interfase entre ellas, entonces la segunda y la cuarta integral son cero. La trayectoria 3 a 4 está dentro del conductor donde E debe ser cero. Esto deja 2
fE. tangencial
, 4
~
Conductor 3
Fig.6-11
2
di =
1
donde E l es la componente escogerse arbitrariamente,
~ ~ '-..~ ~ "
~
f E, dt = O 1
de E en la superficie del dieléctrico.
Como el intervalo de 1 a 2 puede
E ,= D t= O
en cada punto de la superficie. Para encontrar las condiciones sobre las componentes normales, un cilindro circular recto, pequeño y cerrado se coloca a través de la interfase como se muestra en la figura 6-12. La ley de Gauss aplicada a esta superficie da
f D· o
f
D ·d S+ arriba
f
dS
D ·d S+ abajo
=
Qcnc
f
D ·d S= lado
f
P sdS A
CORRIENTE,
CAP. 6]
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
71
La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D , = O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integral también es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentro del conductor, donde D y E son cero. Entonces,
fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f f EDCBA D ·d S=
a r r ib a
D n d S=
P sdS
A
a r r ib a
lo que sólo se cumple si
E ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC = P.
y
f
n
Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero (componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo, una carga superficial no implica una carga n e ta en el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga positiva en el origen de coordenadas esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esférica conductora d e s c a r g a d a de espesor infinito, como aparece en la figura 6 -1 3 (a ), entonces el campo aún está dado por E
=
+Q 4 ------Z a , T ta
excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. Las fuerzas de Coulomb causadas por + Q atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una p s I de signo negativo. Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga P s 2 positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan la carga puntual + Q , terminan en los electrones de la superficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13 (b). Entonces, unas líneas de flujo eléctrico 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse que el flujo no pasa a través del conductor y la carga n e ta en dicho conductor permanece cero.
I
P s 2 -----< ••.•••. ·
\}t
/
/
(b)
(a)
Fig.6-13
P r o b le m a s 6.1.
r e s u e lto s
Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una corriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico E , la velocidad de corrimiento U , la caída de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies. Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es A =
1t
[(
O.0808PUl)(2.54 2
X1 10-2 m)]2 pul
=
3.31 x 10
-6 m 2
CORRIENTE,
72
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
[CAP. 6
EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 20 J ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = - = = 6.04 X 10 6 A/m 2 A 3.31 X 10-6 o u = 5.8 X 10 7 S/m. Entonces Para el cobre,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6.04
J
E
= -
=
5.8 x 10
u
=
T
=
1.59 V
1.59
20
=
=
7.95 x 10-
en el cobre es
se encuentra
n 0.0032 m 2/V . s, y como
= 1.81
=
0.0032
la velocidad
2
Jl ,;,
5.8 x 107
=-
Jl
= ~ =
p
Con esta velocidad de corrimiento de un centímetro en el conductor
=
(J
6.05 X 10 1.81 x 101 0
=
3.34
X
10-4
J = pU
es
U =
30 segundos
= -
3.82
X
107 S/ril y la movilidad
.
3.82 x 10 (
5.3 x 10-
4)
=
,
1.45 x 10' A/m
para recorrer una distancia
a una velocidad de corri-
Jl =
0.0014 m2/V.s
2
0.0014
U
J = -
=
7
(J
= -
Jl
E
u
de carga es
mis
un electrón tarda aproximadamente de cobre # 12.
la conductividad
la densidad
101 0 Cjm J
X
¿Qué densidad de corriente e intensidad del campo eléctrico corresponden miento de 5.3 x 10-4 m is en el aluminio? Para el aluminio,
PJl,
de corrimiento 6
U
=
3.79
X
10-1 V/m
Jl
(J
6.3.
V/m
R
u
6.2.
1
E l = (1.04 x 10-1 )(50)(12)(0.0254)
de los electrones
= P U
1.04 x 10 -
=
=
P
A partir de J
7
v
V
La movilidad
106
X
Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0 mm y conduce una corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (para ser reemplazados por otros) una sección de 100 mm de longitud? El número de Avogadro es N = 6.02 X 1026átomos/ kmol. La gravedad específica del cobre es 8.96 y el peso atómico es 63.54. Suponiendo un electrón de conducción por átomo, el número de electrones por unidad de volumen es N.
=
=
El número
de electrones
(6,02 .
102 6 átomOS)( 1 kmol )(8.96 kmol 63.54 kg
X
8.49 x 102 8 electrones/
m3
en 100 mm de longitud
es
N= 7te Una corriente
de 10 A requiere
fijo. Entonces
x 1028)=6.00
x;0-3f(0.IOO)(8.49
x 1022
que
C) ( 1 ( 10 -s 1.6 x 10 pasen un punto
x 103 kg)(1 electrÓn) rn ' o átomo
19
electrÓn) C
el porcentaje
=
6.25
por segundo
625 X 101 9 6:00 x 1022 (100)
=
-
X'
1019 electrones/ s
que deja los 100 mm de longitud
0.104% poros
es
CORRIENTE,
CAP. 6]
6.4.
DENSIDAD
DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
73
¿Qué corriente se produce si todos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico de aluminio pasaran un punto determinado en 2.0 S? S upóngase un electrón de conducción por átomo.
La densidad del aluminio es 2.70 x 103 kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. EntoncesfedcbaZYXWVUT N. y
= (6.02 x 1026)(_1_)(2.70 x 103) = 6.02 X 1028 electrones/m! 26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L\Q
= -
1
=
(6.02
1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6
x
10-19 C¡electrón)
2 s
~t
6.5.
x
= 4.82 kA
¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de 0.0046 m2jV· s y una conductividad de 29.1 M S jm ? Como a = J1P, P
= ~ = 29.1 J1
y
N.
6.6.
=
X
6 10 = 6.33
X
109 C/m 3
0.0046
6.33 x 109 19 = 3.96 1.6 x 10
X
1028electrones/m!
Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente. A 3000 K hay 2.5 x 1019 pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il. = 0.38 m 2/V· s y la movilidad de los huecos es Ilh = 0.18 m 2¡ v . s. Como el material no está contaminado, el número de electrones y huecos es igual.
6.7.
Halle la conductividad del germanio tipo n a temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada 108 átomos. La densidad del germanio es 5.32 x 103 k g/m 3 y el peso atómico es 72.6 kgj kmol. Existen N
= (6.02 x 1026)(_1_)(5.32 x 103) = 4.41 72.6
X
1028 átomos/m!
y esto nos da N .=
10-8(4.41 x 1028)=4.41
x 102°electrones/m 3
La concentración intrínseca n ¡ para el germanio a 3000K es 2.5 x 1019 por m '. La le y d e a c c ió n d e m a s a , N , N h. = n 2 t> da entonces la densidad de huecos así
Nh
=
(2.5 X 1019)2 20 = 1.42 4.41 x 10
X
101 8 lhuecos/ m 3
Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6, + N h e llh = (4.41 x 102 0 )(1.6 x 10-1 9 )(0.38) + (1.42 x 1'618)(1.6x 10-19)(0.18)
o = N .e ll.
= 26.8 + 0.041 = 26.8 S/m En el germanio tipo n el número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018 huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminante de valencia cinco.
74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
6.8.
U n conductor una densidad conductor?
[CAP. 6
de sección transversal uniforme y 150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Y de corriente de 4.65ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x 10 5onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Al m '. ¿Cuál es la conductividad del material en el
ComofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 'E = V /t y J = u E , 4.65 x lOs
6.9.
Una tabla de resistividades ductividad correspondiente Un m il c ir c u la r
I
=
u(.!2) 150
ó
u
da 10.4 ohms mil circular en siemens por metro?
=
5.37
107 S/m
X
por pie de cobre templado.
¿Cuál es la con-
es el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-3 pul).
m)]2
3P mil cir = 1t [(1O--2- UI)( 0.0254p~1
5.07
=
10-
x
10
m2
. La conductividad es el recíproco de la resistividad.
U
6.10.
_ (_1 pie )(12 ~)( lOA n . mil cir pul
Un alambre de aluminio tividad implica esto?
m)( I mil cir ) _ 7 0.0254pUI 5.07 x 10 10 m 2 - 5.78 x 10 S/m
A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc-
De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils. 1t[
A =
t
=
32
X210-3
(0.0254)
]2
=
5.19
x
10-7 m 2
(1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)=
3.05
x
102 m
Entonces para R = t/u A,
u
6.11.
En un conductor de acuerdo a
Halle la corriente
3.05 X 102 = (16.7)(5.19 x 10-7) = 35.2 MS/m
cilíndrico de radio 2 mm, la densidad de corriente varía con la distancia desde el eje
total l . 2~
1
=
f
J. d S = f J d S = f e-
=
6.12.
400,
21t(103) [ ( -400)
0.002
f
o
(-4OOr - 1)
2
Halle la corriente que cruza la porción del plano 0.002 ~ z ~ 0.002 m, si
0.002
I= fJ 'd S=
f -0.002
1 0 3 e -4 o o 'r d r d r j>
o
f
y
=
] 0.002
o
=
7.51 mA
O definido
0.1
1 Q 2 IXIBy·d xd zBy= 4 m J \ -0.1
por - 0.1 ~
x
~
0.1 m
y
_
CORRIENTE,
CAP. 6]
6.13.
DENSl'DAD DE CORRIENTE
75
Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = Odefinido por -n /4 ~ y ~ n /4 m y -0.01 ~ z ~O.Olm, si
1=
r J.
dS =
0.01
f
•
6.14.
Y CONDUCTORES
f
-0.01
1 < /4
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lOOcos2yax'
-,,/4
d y dz e¿
=
2.0 A
.
Dado J = )03 sen () a- Al m? en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esférica r = 0.02 m. Como
J
Y
son radiales,
f f 2"
I
6.15.
=
o
"
o
103(0.02)2 sen' O dO dI/J
=
3.95 A
Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con área A y longitud ( está dada por R = (/(lA, suponiendo una distribución uniforme de corriente. Una sección transversal constante a lo largo de t produce un
E
constante,
y
la caída de voltaje es
v = fE 'd l= E t.
Si la corriente está uniformemente distribuida en el área A , I =
f J . dS
= J A = uEA
donde u es la conductividad. Entonces, como R
= V/I,
R= ~ uA
6.16.
Determine la resistencia de aislamiento en una longitud t de cable coaxial, como se muestra en la figura 6-14. Suponga una corriente totall desde el conductor interno al externo. Entonces, a una distancia radial r,
y
I J = -= A
así
I
2 1 tr t
E = --
I
La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces
.b
y
= -
f • --2 1Itu r t
--t---~
dr
b
= - -I I n - b 2 1 tu t
a -,
la resistencia V 1 b R = -= --In -
I
2 1 tu t
a
¡
• ) Fig.6-14
2 1 tu r t
V.
1k-4
CORRIENTE,
76
6.17.
DENSIDAD
DE CORRIENTE
[CAP.
6
= O Ycontiene una corriente total de lOA U na hoja de corriente de 4 m de anchura yace en el planofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z ZYXWVUTSRQPONMLKJ que se dirige desde el origen hasta (1, 3, O) m. Encuentre una expresión para K.
En cada punto de la hoja, la dirección
y
6.18.
Y CONDUCTORES
la magnitud
de K es
(10/4)
de K es el vector unidad
De esta manera,
A /m .
Tal como se muestra en la figura 6-15, una corriente 1T sigue un filamento que baja por el eje z y entra en una hoja conductora delgada en z = O. Exprese K para esta hoja. Considérese un círculo en el plano z = O. La corriente sobre la hoja se abre uniformemente sobre la circunferencia la dirección de K es aro Entonces
1T Lnr . y
Ir onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
K = -a
Zn r
r
x
Fig.6-15
6.19.
Para la hoja de corriente (figura 6-16). 1=
del problema
6.18 encuentre
f
--.I.. rd
=
K .dt
f
_ /6
o
1
la corriente
en una sección del plano de 300
1
2 r r .r
12
Sin embargo, la integración no es necesaria, puesto que para una corriente uniformemente distribuida, un segmento de 300 o 1 1 12 del total. contendrá 3 0 °/3 6 0 °
6.20.
Fig.6-16
Una corriente I(A ) entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestra en la figura 6-17. Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm.
r
En la parte superior, la corriente está uniformemente distribuida sobre cualquier circunferencia 2 r r .r , de tal manera que
1
I K = -2
rr.r
a,
( A /m )
Hacia abajo, la corriente está uniformemente distribuida circunferencia 2rr.(0.02 m), de tal manera que
sobre la
Fig.6-17
I K =
6.21.
0.04rr. (-a%)
( A /m )
En un punto situado sobre la superficie de un conductor, ¿Cuál es la densidad superficial de 't:arga en ese punto?
E = 0.70ax
-
0.35 a, - 1.00a:
V/m.
En la superficie de un conductor bajo condiciones estáticas la componente tangencial E l es cero. En consecuencia, el vector dado debe ser normal al conductor. Suponiendo espacio libre en la superficie, P«
= D. =
(o
E.
=
El signo + (más) debería
±fO IE I
=
ser escogido
±
10-9 3 6 r r . J (0 .7 0 )2
si se supiera
+ (0.35)2 + (1.00f que E apunta
=
±
11.2 pC/m 2
fuera de la superficie.
CAP. 6]
6.22.
CORRIENTE,
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
77
Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial de P . ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = (P o /z) (Crrn"). Escriba una expresión para E en la superficie. cargaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ya que D n
=
P ..
En
=
En (0.05,
pJ€o.
cp, z),
E= E n a, =~a, €o z
6.23.
Un conductor
que ocupa la región x ~ 5 tiene una densidad
p
_
J y2
s -
Escriba expresiones La normal
para E
y
es - a x
externa
:
de carga
Po
+
Z2
D justo afuera del conductor. Entonces,
y
justo afuera
E=
del conductor,
(-a,.,)
Po € o J y2
6.24.
superficial
+
Z2
Dos conductores cilíndricos concéntricos, r a = 0.01 m y r b = 0.08 m, tienen densidades de carga P sa =40 pC/ m 2 y P sb, tales que D y E existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquier otra parte. Ver figura 6-18. HallefedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P s b , y escriba las expresiones para D y E entre los cilindros. Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radial y solamente función de r. Entonces, para ro < r < rb ,
V •D
1 d = - -
O
ó
=
e
e, utilice el hecho de que D ;
=
(r D ,)
=
r dr
Para evaluar la constante en r = ro + O. e
=
(0.01)(40 x 10-12)
=
4
rD,
D,
=
P ! SO
10-13 C/m
X
Fig. 6-18
y así D =
4xlO-13
a,
(C/m2)
E
y
r
La densidad
P.b
se encuentra
P&b
= Dn
l
ahora
=,.-0
D
4.52
= = €o
X
10-2
a,
(V /m]
r
a partir de
= - D,
l
=,.-0
P r o b le m a s
= -
4xlO-13
= - 5 pC /m 2
0.08EDCBA
s u p le m e n ta r io s
6.25.
Halle la movilidad de los electrones de conducción en el aluminio, dada una conductividad 38.2 MS/m densidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29 m - 3. Resp. 1.40 x 10 - 3 m 2 / V • s
6.26.
Repita donde Resp.
el problema 6.25 ( a ) para el cobre, donde (J = 58.0 MS/m (J = 61.7 MS/m y N , = 7.44 X 10 28 m-3 . • s. (a ) 3.21 x 10-3 m 2 /V • s; (b)5.18 x 1O-3 m 2 /V
y N,
=
1.13
X
10
29
y una
m-3; (b ) para la plata,
78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
6.27.
[CAP. 6
N onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA , en germanio tipo p , donde ti =10. S / m y la movilidad de los huecos es Halle la concentración de huecos,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA h = 0.18 m 2/Y. s. R e s p . 3.47 x 1023m-3•
Jlh
6.28.
Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N ., si la concentración intrínseca es = 2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x 10 19m -3. Resp. 1.80 x IO IS m-3
ni
6.29.
6.30.
Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo n para el que n i = 1.5 x 10 16m-J. Resp. 4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J
ti
=10.0 S/m, Jl. = 0.13 m 2/Y· s y
Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8 x IOJ y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo. Resp. 1.23 x 1029
k g /m !
6.31.
Halle el número de electrones de conducción en un metro cúbico de cobre si t i =58 MS/m y J.I =3.2 X 10-3 m 2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96 x 103 kg/ m J. R e s p . 1.13 x 1029, 1.33
6.32.
Una barra de cobre de sección transversal rectangular 0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltaje de 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. Resp. 21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s.
6.33.
Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A. Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de conducción. Resp. 1.12 x 10-2 Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57 x lO-s m ] » .
6.34.
Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué conductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG # z o es 32 mils. Resp. 5.8 x 107 Sl t» .
6.35.
Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-3 O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Qué conductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils. Resp. 1.00 x 107 Sl m .
6.36.
¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG # 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetro del AWG # 32 es 8.0 mils. Resp, 17.9 MS/m.
6.37.
Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de 32 mm y paredes de 6 mm de espesor. R e s p . 53.4JtO/m.
6.38.
Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado (a) entre bordes opuestos en la misma cara (b) entre las dos caras del cuadrado. Resp. (a ) 1.03 m n ; ( b ) 2.66 pn
6.39.
Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG# 4/0 tiene un diámetro de 460 mils. R e s p . 4.91 mn, 7.46 mO
6.40.
Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 m de largo'con una sección transversal circular y un radio de 1 mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo. Resp. 2.20 mn
6.41.
Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1 m de largo con una sección transversal cuadrada de 1 mm de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en el otro extremo. Resp. 5.75 mn
CAP. 6]
6.42.
CORRIENTE,
DENSIDAD
DE CORRIENTE
Y CONDUCTORES
79
Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A hasta kA sobre (. Resp. ~ ( In k ) oA
k- l
6.43.
Halle la densidad de corriente de un conductor AWG # 12 cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre # 12 tiene un diámetro de 81 mils. R e s p . 9.09 x 106 A/m 2 .
6.44.
Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con r de acuerdo afedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA J ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = 1 0 3 1 r (Al m 2). Resp. 4 1t A.
6.45.
En coordenadas cilíndricas, J = lOe-100'a~ (A/m 2 ) para la región 0.01 ~ r ~ 0.02m,0< la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano q, = constante. Resp. 2.33 x 10- 2 A
6.46.
Dada la densidad de corriente
en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica Resp. 1.38 x 104 A
e
=
1 t,/4 ,
z ~
1 m. Halle
0.001 ~ r ~ 0.080 m.
6.47.
Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a los ejes coordenados si J = 2x2alO + 2 xy 3 a y + 2 xya . (A/m 2 ). Resp. 3.0 A
6.48.
Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja por el eje z, entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m, yen e = 1 t/2 entra a una hoja plana. Escriba las expresiones para las densidades laminares de corriente K en la concha esférica y en el plano. Resp.
265
sen
Ilg
(A/m ),
7.96 a.
(A/m )
r
é
Fig. 6-19 6.49.
Una corriente de filamento de I(A ) baja por el eje zhasta z = 5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~ q, ~ 1 t/4 de una concha esférica de radio 5 x. 10-2 m. Halle K para esta corriente laminar. Resp.
801 - - Ilg
1tsene
(A/m )
6.50.
Una corriente laminar de densidad K = 20 a, Al m yace en el plano x = OYhay una densidad de corriente J = lüa , Al m? en el espacio. (o) Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculo de radio 0.5 m centrado en el origen en el plano z = O. (b) Halle la corriente que cruza el cuadrado Ix l ~ 0.25 m, Iy l ~ 0.25 m, z = O. Resp. (o) 27.9 A; (b) 12.5 A
6.51.
Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de 10 A en la dirección x positiva. Exprese K. Resp. l67ax A/m
6.52.
Un conductor sólido tiene una superficie descrita por x + y = 3 m y se extiende hasta el origen. En la superficie la intensidad del campo eléctrico es 0.35 V [m . Exprese ES D en la superficie y halle P .' Resp. ± 0.247 (alO + ay) V/m , ±2.19 x 1O-12(alO + ay) C fm . 2 , ± 3.10 x 1O-12Cfm 2•
6.53.
Un conductor que se extiende dentro de la región z < O tiene una cara en el plano t densidad superficial de carga
=
O en el que hay una
80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CORRIENTE. DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES en coordenadas cilíndricas. Resp. 9.45 a, V/m.
6.54.
Un conductor Po
Halle la intensidad
esférico centrado
del campo
eléctrico
en (0.15 m,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON n /3 ,0 ).
en el origenZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y de radio 3 mm tiene una densidad superficial
cos 2 O . Halle E en la superficie.
Resp.
Po
[CAP. 6
de carga
fedcbaZ
P. =
cos? O Sr
(o
6.55.
La intensidad del campo eléctrico sobre un punto de un conductor está dada por E= 0.2 a, - 0.3 ay -0.2 a. ± 3.65 pC¡ m 2 V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de carga en el punto? Resp.
Un conductor esférico centrado en el origen tiene una intensidad de campo eléctrico en su superficie E = 0.53 (sen? 4> ) a, V/m, en coordenadas esféricas. ¿Cuál es la densidad de carga donde la esfera se encuentre con el eje y? Resp. 4.69 pC/ m - ,
Capítulo 7
Capacitancia y materiales dieléctricoszyxwvutsrqponmlkjihgfed 7.1
POLARIZACION
P y PERMITIVIDAD
RELATIVA
1:,
Los materiales dieléctricos se gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p o la r iza n en un campo eléctrico, produciéndose una densidad de flujo eléctrico D mayor de la que se tendría bajo condiciones de espacio libre, con la misma intensidad de campo. U na teoría simplificada, pero satisfactoria, de la polarización, puede obtenerse considerando un átomo del material dieléctrico como dos regiones de carga positiva y negativa superpuestas, como se muestra en la figura 7 -1 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( a ) . Cuando se aplica un campo E, la región de carga positiva se mueve en la dirección del campo aplicado, mientras que la región de carga negativa lo hace en la dirección opuesta. Este desplazamiento puede ser representado por un m o m e n to e lé c tr ic o d ip o la r , p ""' Qd, como se muestra en la figura 7 -1 ( c ) . En la mayoría de los materiales, las regiones de carga regresan a sus posiciones originales superpuestas cuando el campo / d ZYXWVUTSRQPONM aplicado es removido. Al igual que en un : ~ + GQ , resorte, que cumple la ley de Hooke, el
/--0 \
\
trabajo ejecutado durante la distorsión es recuperable cuando se permite al sistema (o) regresar a su posición original. Durante esta distorsión se lleva a cabo un almacenamiento de energía en la misma forma que con el resorte. Una región 6.. v de un dieléctrico polarizado contiene define como el momento dipolar por unidad de volumen: P
'- -
• E
(b)
N
lím -
(e )
momentos
dipolares
p. La polarización
P se
(e/m2)
6 ..v
tiv ~ O
• E
Fig. 7-1
Np
=
G----
/
Esto hace suponer una distribución continua y uniforme de momentos eléctricos dipolares en todo el volumen, lo que, por supuesto, no se produce. Sin embargo, en una visión macroscópica, la polarización P puede dar cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según la ecuación D=l:oE+P Esta ecuación permite a E y P tener direcciones diferentes, como sucede en ciertos dieléctricos cristalinos. En un material isotrópico y lineal, E y P son paralelos en cada punto, lo que se expresa por P =
donde la
donde 1:,
s u s c e p tib ilid a d
e lé c tr ic a
Xel:o E
(material
Xe es una constante
adimensional.
Entonces,
(material
isotrópico)
== 1 + Xe es también un número puro. Dado que D
por lo que e , se denomina
p e r m itiv id a d
r e la tiva
(compárese
81
isotrópico)
1: E (sección 3.4),
con la sección 2.1).
82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
7.2
D Y E DE VOLTAJE CONSTANTE
V constante, como el que Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas y voltaje gfedcbaZYXWVUTSRQPONM se muestra en la figura 7-2, tiene una intensidad de campo eléctrico E constante. Despreciando el efecto de bordes,WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V EOV D=EoE=--a E=-a
d
d
"
Ahora, cuando un dieléctrico con permitividad
E,
"
llena el espacio entre las dos placas, entonces
D = EoE + P = EoE + Eol e E y las ecuaciones son: V
E=-;¡a"
(como en el espacio libre)
D = EoE,E Como D ; = P . = Q / A , la carga y la densidad de carga aumentan por el factor Er respecto de sus valores en el espacio vacío. Este aumento de carga es suministrado por la fuente de voltaje V . I
Fig. 7-2
7.3
D Y E DE CARGA CONSTANTE
El condensador de placas paralelas de la figura 7-3 tiene una carga + Q ~n la placa superior y - Q en la placa inferior. Esta carga puede haber resultado de la conexión de una fuente de voltaje V que fue posteriormente removida. Con espacio vacío entre las placas y despreciando efecto de bordes, se tiene: D" = Ps = ~
E
= ti = Eo
a EO"
Ps
En este arreglo no hay forma de que la carga aumente o disminuya, puesto que no hay una trayectoria conductora hacia las placas. Ahora, cuando se supone que un material dieléctrico llena el espacio entre las placas, las ecuaciones son: D " = P s= ~
E=~
-Q Fig. 7-3
(como en el espacio vacío)
EoEr
Siendo Q y P . constantes, D debe ser igual que bajo condiciones de espacio vacío, mientras que la magnitud de E disminuye por el factor l/E r ' La disminución en Eo E es compensada por la polarización P en la relación D = E o E + P. Mas generalmente, en un medio homogéneo de permitividad relativa E r' la fuerza de Coulomb entre cargas se reduce a 1/ e , respecto de su valor en el espacio vacío:
C A P A C IT A N C IA
CAP. 7]
7.4
CONDICIONES LIMITES DE DOS CAPACITANCIAS
y M A T E R IA L E S
O IE L E C T R IC O S
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 83
EN LA ENTRECARA DIELECTRICAS
Si el conductor de las figuras 6-11 y 6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites: (1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L a c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d e E es continua a través de una entrecara
de dieléctricos.
En símbolos,
y
(2 )
L a c o m p o n e n te
n o r m a l d e D tie n e u n a d is c o n tin u id a d d e m a g n itu d
d ie lé c tr ic o s . Si se escoge el vector unidad
normal apuntando puede ser escrita de la siguiente manera:
condición
f
y
rl
Enl
-
Ip .1
a tr a vé s d e u n a e n tr e c a r a d e
hacia el dieléctrico
f
r
2
E n2
2, entonces
= __P . fo
Generalmente,
la entrecara
no posee cargas libres
(P s
=
O), por lo que:
y
EJEMPLO 1: Dado El = 2ax - 3ay + Saz V/m en la entrecara de los O 2, dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle D 2 y los ángulos 0 1 y WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La entrecara es un plano z = constante. Las componentes x y y son tangenciales y las componentes z son normales. Por continuidad de la componente tangencial de E y la componente normal de D : E¡
=
2a x
-
3a y +
E2
=
2ax
-
3ay +
=
DI
(o(.¡E¡
D2 =
Las componentes
=
4(oa x D
desconocidas
x2
6100
ay + lOtoa.
D
ay + 10100 a.
-
a, +
Sa, a
E%2 %
y2
se hallan a partir de la relación
D2 =
10 0
Fig. 7-4
('2 E 2 .
de lo que se deduce
Los ángulos
Una relación
que se forman con el plano de la entrecara E¡ • a,
=
IE¡I cos (90° - O ¡ )
5
=
fosenO¡
01
=
54.2°
útil puede obtenerse
se hallan fácilmente E2 '
a,
=
IE 2 1 cos(90°,-
2
=
fosen02 29.0°
O2 =
de
tan
E% ¡
é¡ = ----0=
Dzdéo
= -,=
J E ~ I + E;¡
En vista de las relaciones
a partir
de continuidad,
JE~¡
+
lO.!
E;!
la división de estas dos ecuaciones da tan O ¡
(.2
tan
(.1
O2
de 92)
esta
CAPACITANCIA
84
7.5
y MATERIALES
DIELECTRICOS
[CAP.
7
CAPACITANCIA
Dos cuerpos conductores cualesquiera, separados por el espacio ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA v a c ío o por un material dieléctrico tienen gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA c a p a c ita n c ia entre ellos. Si se aplica una diferencia de voltaje se produce una carga + Q sobre un Q sobre el otro. La relación entre el valor absoluto de la carg~. y el valor absoluto de la conductor y -WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA diferencia de voltaje se define como la capacitancia del sistema:
e=
~
(F )
donde 1 faradio (F) = l c ¡ V. La capacitancia depende sólo de la geometría del sistema y de las propiedades del o de los dieléctricos involucrados. En la figura 7-5, la carga + Q colocada sobre el conductor l y - Q sobre el conductor 2 crea un campo de flujo como el que se muestra en la figura. Por consiguiente se establecen los campos D y E. Si se doblaran las cargas se doblarían simplemente D y E, Y por consiguiente, se doblaría la diferencia de voltaje. Entonces, la relación Q / V permanecería fija. EJEMPLO
2: . Halle la capacitancia
Con +
Q
en la placa superior
D .
y -
de las placas paralelas Q en la inferior,
Fig. 7-S de la figura 7-6, despreciando
el efecto de bordes.
= o, = ~ z
Como
D
es uniforme
entre las placas,
t d
El voltaje de la placa en z es d
V =
=
d
con respecto a la placa inferior
Q
- f o -(o- e , A
y
T
Qd (-a % )'
dz n, = --
x
fO e , A
Fig. 7-6
así
Obsérvese
que el resultado
no depende de la forma de la placa.
(
7.6
CONDENSADORl<:S DE VARIOS DIELECTRICOS
Cuando.dos dieléctricos se presentan con la entrecara paralela a E y D, como en la figura 7-7 (a),la capacitancia puede encontrarse tratando el arreglo como dos condensadores paralelos:
-= -v d
(b )
(a )
Fig. 7-7
CAP. 7]
CAPACITANCIA
y MATERIALES
DIELECTRICOS
85
[ver problema WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 7 .8 (a )]. Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la s u m a d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s . Cuando la entrecara dieléctrica es normal a D ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y E, como en la figura 7 - 7 ( b ) , la capacitancia puede hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie: 1
1
1
<,
el
e2
-= -+ -
[ver problema 7 .8 ( b )].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados:
e l r e c íp r o -
c o d e la c a p a c ita n c ia e q u iva le n te e s la s u m a d e lo s r e c íp r o c o s d e la s c a p a c ita n c ia s in d ivid u a le s .
7.7
ENERGIA ALMACENADA
EN UN CONDENSADOR
Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así: E dv
W E = ~ fD '
donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes. Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativa e , , entonces D
=
(o
E
+
P
=
(o
e, E
y así
Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P = 0, e , = 1), bien sea a través del término P • E o a través del factor f r > I En términos de capacitancia,
y
aquí, el efecto del dieléctrico se refleja en
e,
que es directamente proporcional a
fr·
Problemas resueltos 7.1.
Halle la polarización P en un material dieléctrico con
fr
=
2.8 si D
=
3.0 x 10- 7a C/m 2.
Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico, P Como D = {o i r E
Y
Xe
=
ir
-
x.leE
1,
P =
7.2.
=
i
(
~
-
1)
D = 1.93
X
1O-7a C/m 2
Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5 2.3 x 1O-7a C f m 2 • Si suponemos que P
y
E tienen la misma dirección,
y
P=
y MATERIALES DIELECTRICOS CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 86zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
7.3.
[CAP.
Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde e , = 5.2 interactúan con una fuerza de 8.6 1 0 - 3 N . ¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacío?
7
x
La ley de Coulomb, F = Q ¡ Q 2 /(4 1 t(o e, d 2 ), establece que la fuerza es inversamente proporcional ~ f,. En el espacio libre la fuerza tendrá su máximo valor. F
7.4.
= (,(8.6
10- 3) = 4.47
x
x
10- 2 N
La región 1, definida por x < O, es espacio vacío, mientras la región 2, x > O, es un material dieléctrico para el cual e , 2 = 2.4. Ver figura 7-8. Dado DI =
3a x
halle E 2 y los ángulos Las componentes continuos.
4a y + óa,
-
x
(), y ( ) 2 ' x
son normales a la entrecara;WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D ; Y E , son
óa, Fig. 7-8
De lo que se deduce que
Para encontrar los ángulos: ID¡lcos(900-8¡)
D¡'a x=
Similarrnente, 8 2 7.5.
=
3
=
j6isen8¡
8¡
=
22.6°
9.83°.
En la región de espacio libre x < O, la intensidad de campo eléctrico es E, = 3a x + 5a y - 3a. V/m. La región x > O es un dieléctrico para el que f.,2 3.6. Halle el ángulo (}2 que forma el campo del dieléctrico con el plano x = O El ángulo formado por El se halla a partir de IE¡lcos(900-8¡)'
E¡'a x= 3
=
j43sen8¡
8¡
=
27.2°
Entonces, por la fórmula desarrollada en el ejemplo 1, sección 7.4, I
tan 8 2 = -tan8¡ (rl
7.6.
Una entrecara dieléctrico-espacio origen de la entrecaratiene ("
=
= 0.1428 "
vacío sigue la ecuación 3 x + 3.0 Y E, = Za , + 5a, V/m.
+ Z = 12 m. El lado queda al Halle E 2
2y
.CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
87
La entrecara se indica en la figura 7-9 por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado del espacio libre es: a
=
3ax + 2ay + a%
fo
·
z
La proyección de El sobre a. es la componente normal de Ken la entrecara.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
Entonces Ent
11 l1 A
= y"
E '1
a.
2.36 ax + 1.57 ay + 0.79 a,
=
x
14
= El - E.1 = -0.36ax
D.1 = fOf'lE.l 1 E.2 = - D.2 fo
=
=
-
1.57 ay + 4.21a%
Fil. 7-9
= E'2
fo(7·08ax + 4.71 ay + 2.37a%) = D.2
7.08 a, + 4.71 ay + 2.378%
y finalmente
7.7.
La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo constante E 2 dentro del bloque, demuestre que E3 = El. Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras,
j.1 Por continuidad de WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D . a través de las dos entrecaras (no hay cargas superficiales),
Fil. 7-10
y también Por lo tanto,
7 .8 .
(a )
E) =
El
Demuestre que el condensador de la figura
e eq -
(b )
d
+
fo f,2
Demuestre que el condensador de la figura 1
-=
c.,
(o )
fOfrtAt
1
A2 d
f
-
-
7 -7 (b )
1
+
fO fr tA jd t
7 -7 (0 )
f A jd o r2 2
tiene una capacitancia
e 1
+
e2
tiene una capacitancia 1
1
et
e,
= -+ -
Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos, y
D1 D2 --= --= -8 {o (,1 fO f,2
Donde 8. es la normal que baja hacia la placa superior. Como dos secciones de la placa superior son:
V
d'
D . = P s'
las densidades de carga sobre las
88zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA [CAP. 7
y la carga total es
De esta manera, la capacitancia del sistema, Ceq (b)
=
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q I gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V , tiene la forma propuesta.
Sea + Q la carga sobre la placa superior. Entonces Q
D = -a
A • en cualquier punto situado entre las placas. Por lo tanto,
Las diferencias de voltaje a través de los dos dieléctricos son, entonces:
y
De
7.9.
aquí
se ve que 1/ Ceq
VI Q tiene la forma propuesta.
=
Halle la capacitancia de un condensador coaxial de longitud radio a y el externo tiene un radio b . Ver figura 7-11.
L.
donde el conductor interno tiene un
Despreciando el efecto de bordes, la ley de Gauss establece que D o ; llr entre los conductores (ver problema 6.24). En r = . a . D = P s • donde P s (supuesto positivo) es la densidad superficial de carga sobre el conductor interno. Por consiguiente, a D = P s-
a,
r
y la diferencia de voltaje entre los conductores es V~ =
-
f
a (P s--a a) b
r,
(o E, r
e ,«
«
= -In (o E,
La carga total enel conductor interno es Q así
b a =
p s (2 n a L ),
y Fig. 7-11
Q
2 n E o E, L
C = -=
,
I n(b la )
V
7.10.
En el condensador que aparece en la figura 7-12, la región entre las placas se llena con un dieléctrico que tiene e , = 4.5. Halle la capacitancia. Despreciando el efecto de bordes, el campo D entre las placas, en coordenadas cilíndricas, debe ser de la , forma D = D 4 > a 4 > ' donde D 4 > depende sólo de r. Entonces, si el voltaje de la placa tP = (X con respecto a la placa cjJ = O es V o ,
De esta manera,
D
4> = .
-
Eo E,
" ó ír e x, y la densidad de carga sobre la placa cjJ
=
a es
y MA"¡;ERIALES DIELECTRICOS CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
CAP. 7]
La carga total sobre la placa está dada entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rz i
h
.
Q
= fP sd S = f f o
i
89
z
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA V.
~drdz ra
rl
Vo h r, -=--:........::-ln-
iO ir
a
rl
Por lo tanto y
Cuando se substituyen valores numéricos (con a convertido a radianes), se obtiene C = 7.76 pF.
7.11.
En relación al problema 7.10, halle la separación d que se produce con la misma capacitancia cuando las placas se arreglan en forma paralela con el mismo dieléctrico en medio.
a
x
=
5° / / /
/ /
Fig. 7-12
Con las placas paralelas
iO ir A
C = --
d
así que a (r 2 -
r¡)
lnh/r¡) Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensador, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del problema 7.\0, arl = 0.087 mm, a r 2 = 2.62 mm y d = 0.74 mm.
7.12.
Halle la capacitancia El potencial
de una concha esférica aislada de radio
de un conductor
de este tipo con referencia
a.
cero en el infinito .es (ver. problema
V= ~ 4 1 [(0
C
Entonces
7.13.
a
Q = - = V
4 1 t(o a
Halle la capacitancia entre dos conchas esféricas de radio a separadas por una distancia d ~ a . El resultado del problema 7.12 para la capacitancia de una concha esférica sencilla, 41tf o a , puede usarse como aproximación. En la figura 7-13 los dos condensadores idénticos parecen estar en serie. Fig. 7-13
1 1 I -= -+ -
e,
C
C
C2
ClC2 =
e,
+ C2
=
21tio a
2.35):
90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS
7.14.
[CAP. 7
= 1.5 Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,ZYXWVUTSR Y ('2 = 3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura 7.14. AquígfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A = 2 m? y d = 10-3 m.
C = fo frlA I = (8.854 x 101
12
)(1.5)1 = 13.3 nF
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA d 1 0 -3
De manera similar,
e,
A
d
T
= 31.0 nF. Entonces,
C=C I +C 2 =44.3nF Fig. 7-14 7.1S.
Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos pero tienen la entrecara paralela a las placas. fo e ; A
fo e , A
T
CI =
=
--;¡¡¡-
ocupan cada uno la mitad del volumen·
10-12 )(1.5)2 10 3/2 = 53.1 nF
(8.854
x
=
De manera similar, C 2 = 124 nF. Entonces C =
7.16.
C IC 2 = 37.2 nF CI + C2
En el condensador cilíndrico que aparece en la figura 7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen. Halle la capacitancia.
r
La entrecara dieléctrica es paralela a D y E, así que la configuración puede tratarse como dos condensadores en paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la carga que contendría un cilindro completo, el resultado del problema 7.9 da n io
nfo fr2 L + In ( b / a )
fr lL
C = C I + C 2 = In ( b / a )
L
L
2nfo fr ava L In ( b / a )
donde e , ava = t(irl + (r 2 )' Los dos dieléctricos se comportan como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa promedio. 7.17.
Halle el voltaje a través de cada dieléctrico voltaje es 200 V.
Fig. 7-15
en el condensador
que aparece en la figura 7-16 cuando el
t;rnrn =TIrnrn
5(1) C I =-1O-3 =5000(0 iO
C 2 = 1000(0/3
y Fig. 7-16 El campo
D
dentro del condensador se halla ahora a partir de =
D
=
p
CV
A
s
n
g=
= (2.77
9
x
A
10- )(200) = 5.54
x
10-7 C/m2
1
Entonces El = -(o
D
de lo que se deduce VI =
D
4
= 1.25 x 10 V/m
irl
E ld l
= 12.5 V
E2
= - = 6.25 (o
X
10 4 V/m
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
7.18.
91
Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri= 2.0 Y fr2 = 5.0. El cos de la figura 7-17, dondefrl conductor interno está en r¡ = 2 cm y el externo en r; = 2.5 cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad. La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo IX , tendrá una capacitancia 1 X /2 1 T . veces la del condensador coaxial completo. Del problema 7.9,
100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
(F )
V¡
+
V 2 = V,
se deduce que Fig. 7-17
V¡
=
C2
V
=
C¡+ C2 V2
7.19.
=
(100)
=
74 V
(100)
=
26 V
1 .5 + 4 .2
C¡ C¡ + C2
4.2
V
=
1.5 1.5 + 4.2
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de voltaje constante. Determine cómo cambian W D . E . C.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Q . P s Y V cuando se inserta un dieléctrico de e = 2 entre las placas. E
,
r
Relación
Explicación
C2
= = =
2C ¡
La fuente V permanece conectada como E = V j d W = 1 S (o e , E d v C (o c r A/d
D2
=
2D ¡
D
(o
P s2
=
2ps¡
P.
D .
Q2
=
2Q ¡
Q
p.A
V2 E2
W2
V¡
=
E¡
2
2W¡
crE
En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen constantes.
7.20.
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a una fuente de voltaje V . que es luego removida. Determine cómo cambian W E , D . E . C. Q . P . ' y V cuando las placas se apartan a una distancia de separación d 2 = 2 d l sin perturbar la carga. Relación
7.21.
Q2
=
P .2
=
P .¡
D2
=
D¡
E
= E¡
2
Q¡
Explicación La carga total no cambia
Q/A
P. D .
P .
E
W2
=
2W¡
W
C2
=
tC¡
C
V2
= 2 V¡
V
D jf.
o
t S (o E =
f.o
2
dv,
Y el volumen dobla
A/d
Q /C
U n condensador de placas paralelas con una separación d = 1.0 cm tiene 29 000 V cuando el espacio vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm. M uestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio ( l . r = 6.5) con una resistencia dieléctrica de 29000 V/cm y espesor d 2 = 0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la figura 7-18.
92
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CAPACITANCIA y MATERIALES DIELECTRICOS El problema
resulta ser el de dos condensadores
[CAP. 7
en serie Aire.
o
EO
1.0 cm
d
Vidrio. e ,
Fil. 7-18 Entonces,
como en el poblema
7.18,
Vi
3250 125 + 3250 (29000)
=
. =
27926 V
y así
27933
El
lo cual excede la resistencia
7.22.
=
dieléctrica
V
0.80 cm
=
34907 V/cm
del aire.
Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radio WVUTSRQPONMLKJIHG a = 2.5 cm y un h = 6.0 de él. plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distancia gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED U na técnica útil en problemas de esta clase es el m é to d o espejo del conductor en el plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte el negativo de la distribución de carga del conductor real. Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por simetría tiene una superficie equipotencial (sección 5.2) donde existía el plano de tierra. Por consiguiente, este campo es el campo que queda en la región comprendida entre el conductor real y el plano de tierra. Aproximando las distribuciones de carga real e imagen a cargas lineales + P t Y - P t respectivamente, en el centro de los conductores, se obtiene (ver figura 7-19): d e im á g e n e s . Tome "la imagen
potencial
en el radio
potencial
en el punto
El potencial madamente
debido
a
a
P debido
+
Pt = -
a
(+27tEo
P t) In a
Fig. 7-19
a - P t = - ( - P t) In ( 2 h - a )
27tE o
debido a - P t n o es constante sobre r = a , la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxisi a ~ h . Con esta aproximación, entonces, el potencial total del conductor real es .
v
=
-
a
~lna 27tEo
+ ~ In(2h 27tEo /
a) ~ -
~ ln a
27tEo
+
~ ln 2 h
27tEo
=
~ln 27tEo
2h a
Similarmente, el potencial del conductor imagen es - Va . Así pues, la diferencia de potencial entre los dos conductores es 2 Va , de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es deseada por unidad de longitud es, entonces, t( 2 V .) = v.. La capacitancia
e
Q /L
Pt
Va
V.
L
Para los valores de
a
y h , C /L
=
9.0 p Fj
m,
27tEo In ( 2 h /a )
CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES DIELECTRICOS
CAP. 7]
La anterior expresión para gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C ] L no es exacta, pero da una buena aproximación cuando práctico). Una solución exacta da
a
~
h
93
(el caso
Obsérvese que C ] L para el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores h ) es la mitad del valor encontrado arriba (la misma cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA . carga, dos veces el voltaje). Esto es, con d = 2 h .
e
7tio
L
In
(d
J ~ -:
+
7tio
4a
2 )
~
In
(d ja )
Problemas suplementarios 7.23.
Halle la magnitud de D en un material Resp. 4.96 X 10-7 c ¡ m 2
7.24.
Halle las magnitudes de D, P Y i r para un material Resp. 6.97 p c ¡ m-, 5.64 J l c ¡ m-, 5.25
7.25.
En un material dieléctrico con Resp. 8.94 kV/m, 206 nC/m 2 ,
7.26.
Dado E ir
=
=
3a x + 4a, - 2a,
-
6.5.
-3a x
Resp.
ir
=
die\éctrico
3.6, D
=
para el cual
dieléctrico
285 nC/m 2 •
=
le
1.6 Y
en el cual
E
3.05
=
P
X
10-7
0.15 MV/m
=
Halle las magnitudes
C jm
y
le
2 •
=
4.25.
de E, P Y X •.
2.6 V/m en la región z < O, donde e,
=
2.0. Halle E en la región z > O, para el cual
4
+ 4a, - -a.
6.5
Vjm
7.27.
Dado que D = 2a x - 4a, + 1.5 a. C jm 2 en la región x > O, que es espacio vacío. Halle P en la región x < O, 2 que es un dieléctrico con i r = 5.0. Resp. 1.6a x - 16a, + 6a. C jm
7.28.
La región 1, z < O m, es espacio vacío donde D = 5., + 7a. Y la región 3, z > 1 m, tiene i r = 3.0. Halle E2' P 2 Y ( J ) . Resp.
-
1(
5a y + -
iO
7.29.'
7))
a.
2 .5
(V jm ,
7.5 ay + 4.2 a.
C jm ,
2
C fm
2 5 .0 2
El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado por 3 x + z (4.5 a, + 3.2 a.) 10- 7 y i r ! = 4.3, mientras en el otro lado, 4 2 Resp. 1.45 X 10 4 ,3.37 X 10\ 5.37 x 10-7 ,83.06
2
•
La región 2, O < z ~ 1 m, tiene
ir
=
2.5.
o
= =
5. En el lado que incluye el origen, 1.80. Halle
E l'
E 2•
D2 Y
DI
(J 2 '
0
7.30.
Una entrecara DI
=
dieléctrica
a, + 3a, + 2a,
está descrita por 4 y + 3 z J J C /m 2 . En el otro lado,
= ir2
12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con = 3.6. Halle D 2 y (J 2 ' Resp. 5 .l4 1 lC /m 2 ,4 4 .4 °
7.31.
Halle la capacitancia de un condensador ración 4.5 mm. Resp. 5.43 n F
de placas paralelas con un dleléctrico
de
7.32.
Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un área de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas? Resp. 1.67 mm
ir
=
3.0, área 0.92 m? y sepa-
-CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y MATERIALES D1ELECTRICOS [CAP. 7
94
7.33.
7.34.
7.35.
Halle la capacitancia entre las superficies curvas interna y externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Resp. 6.86 p F
Halle
la capacitancia
por unidad
de longitud
entre
un con-
ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro paralelo a 28 pies del eje del conductor. Resp. 8.99 p F / m (fíjese en las unidades)
y un plano
Duplique el diámetro del conductor del problema la capacitancia por unidad de longitud. Resp. 10.1 p Fj m
7-34 y halle Fig. 7-20
7.36.
Halle la capacitancia cm y una separación
por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5 entre sus centros de 85 cm. Resp. 6.92 WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p F jm
7.37.
Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m 2 y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras normales a E y D, como sigue: frl = 3.0, d , = 1.0 mm; fr2 = 4.0, d 2 = 2.0 mm; 43 = 6.0, d ) = 2.5 mm. Encuentre la capacitancia. Resp. 2.12 nF
7.38.
Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del problema 7.37, halle la diferencia gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) en cada dieléctrico. Resp. 267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, \33 kVjm
7.39.
Halle la capacitancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno de 0.5 mm si el dieléctrico tiene e , = 5.2. Resp. \39 p F j m
7.40.
Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blindaje cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tiene e , = 2.70. Resp. \37 p F j m
y el
¡o
€r=5.5 7.41.
de potencial
El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor interno de radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que aparecen. Resp. 45.9 p Fj m Fig. 7-21
7.42.
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se carga conectándolo momentáneamente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de e , = 2.0 llenando totalmente el espacio. Compare los valores de W p D , E , P . , Q . Vy Cantes y después de la inserción del dieléctrico. Resp. p a r c ia l V 2 = tV I
7.43.
A un condensador de placas paralelas gía almacenada permanece fija: W 2 Resp. p a r c ia l. P .2 = .j3 P.I
se le cambia el dieléctrico de f rl Examine los cambios. en
= W¡.
=
V,
2.0 a C, D ,
C
r2
=
E, Q
6.0. Se nota que la enery P . , si hay alguno.
7.44.
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son acercadas la una a la otra, desde una separación d hasta ! d . Examine los cambios que se producen en Q , P . ' C. D , E Y W E • Resp. p a r c ia l. D 2 = 2D ¡
7.45.
U n condensador de placas paralelas con espacio libre entre las 'placas permanece conectado a una fuente de voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta 2 d . Exprese los cambios que se producen en D . E, Q, P . ' C y Wc Resp. p a r c ia l. D2 = t D¡
7.46.
U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación d . Sin perturbar la carga Q , las placas se acercan, hasta d l / , con un dieléctrico de e , = 3, que llena completamente el espacio entre las Resp. p a r c ia l. V2 == i V I placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en D , E , V , C y W E '
CAP. 7]
CAPACITANCIA
y MATERIALES
DIELECTRICOS
95
7.47.
U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE i r = 5.4 llena 20% de la distancia entre las placas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. Resp. 0 .8 4
7.48.
Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el conductor interno Hay dos aislantes; el primero tiene i r ! = 6.0 Yestá de r = 0.8 cm a r = 1.0 Y está desde r = 1.0 cm hasta r = 3.0 cm, que el segundo tiene i r 2 = 3.0 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante.
7.49.
Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual i r = 2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV 1 m . ¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm? Resp. 0.376 MV
7.50.
Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a = 3 cm, b = 12 cm, i r ! = 2.50, i r 2 = 4.0. Halle E l' E 2 • D I Y (V/m) D 2 si la diferencia de voltaje es 50 V. R e s p . p a r c ia l. E 2 = ±(36.1/r)sr
7.51.
En la figura 7-22, el conductor central, rl = 1 mm, está a 100 V respecto del conductor externo en r s = 100 mm. La región l < r < 50 mm es espacio vacío, mientras 50 < r < 100 mm es un dieléctrico con e , = 2.0. Halle el voltaje a través de cada región. Resp. 91.8 V, 8.2 V
7.52.
Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dos regiones del problema 7.51. Resp. 59.9 n J /m , 5.30 n J /m
con respecto al blindaje cilíndrico. cm del conductor interno, mientras dentro de la superficie interna del Resp. 0.645 MV WVUTSRQPONMLKJIHGFED 1 m , 1.03 MV 1 m
e , = 2.0
Fig. 7-22