Teoria de Placas

EORIA DAS DA S PLACAS TEORIA

geral. Quando as deflexões forem quantitativamente comparáveis à espessura da placa,

A Teoria das Placas é genericamente uma formulação matemática utilizada para a descrição do comportamento elástico de elementos planos bidimensionais com carregamentos predominantemente transversais. Distintas formulações podem ser empregadas para a análise de placas finas ou espessas, sujeitas a pequenas ou grandes deflexões. Pequenas deflexões são definidas como deslocamentos normais ao plano da placa inferiores a 30% da espessura da placa, ou seja, w. w.≤.0,3 h (Figura F.1) [5].

ou seja,. seja,. w.≈.h. (Figura F.1) os esforços de membrana serão preponderantes sobre os esforços de flexão. Os esforços de membrana são análogos aos esforços normais que agem numa viga em forma de arco. Uma placa é considerada fina quando a espessura da mesma for inferior a 10% do menor vão [9]. Quando se exceder esse limite, deve-se considerar as deformações por cisalhamento, que produzirão o empenamento da seção transversal. !

Quando ocorrerem deflexões maiores do que o limite prático citado serão mobilizados

w h

esforços de membrana na placa, que deverão ser considerados nas equações de equilíbrio

Figur a F.1 Deflexão em Placas

______________________________ _________________ __________________________ _____________________________ _____________________________ __________________________ _____________________________ _________________ _ AGO2000

Estruturas de Concreto I – Projeto de Lajes

F-1/32

No caso de placas espessas e cascas (geometria não-plana) tem-se estado triplo de tensões, conforme indicado na Figura F.2, devendo-se considerar o empenamento da seção transversal.

σz

z

τyz

A descrição do comportamento à flexão de placas, habitualmente utilizadas nas

τxz τxy σx

y

x

S=

σy

σx

τxy

τxz

τyx

σy

τyz

τzx

τzy

σz

edificações residenciais e comerciais (espessura inferior inferior a 20 cm e vão em torno de 6 m),

Figur a F.2 Estado de Tensão em Placas Espessas

está inserido na formulação de placas finas sujeitas a pequenos deslocamentos. A equação diferencial que governa o problema da flexão de placas finas sujeitas a pequenos

deslocamentos

transversais

é z

obtida por meio das equações de equilíbrio, constitutivas e de compatibilidade. As equa-

x τxy

σx

σy

y

σx

τxy

τyx

σy

S=

ções de equilíbrio serão escritas com base no Figur a F.3 Estado de Tensão em Placas Finas ______________________________ _________________ __________________________ _____________________________ _____________________________ __________________________ _____________________________ _________________ _ AGO2000


F-2/32

No caso de placas espessas e cascas (geometria não-plana) tem-se estado triplo de tensões, conforme indicado na Figura F.2, devendo-se considerar o empenamento da seção transversal.

σz

z

τyz

A descrição do comportamento à flexão de placas, habitualmente utilizadas nas

τxz τxy σx

y

x

S=

σy

σx

τxy

τxz

τyx

σy

τyz

τzx

τzy

σz

edificações residenciais e comerciais (espessura inferior inferior a 20 cm e vão em torno de 6 m),

Figur a F.2 Estado de Tensão em Placas Espessas

está inserido na formulação de placas finas sujeitas a pequenos deslocamentos. A equação diferencial que governa o problema da flexão de placas finas sujeitas a pequenos

deslocamentos

transversais

é z

obtida por meio das equações de equilíbrio, constitutivas e de compatibilidade. As equa-

x τxy

σx

σy

y

σx

τxy

τyx

σy

S=

ções de equilíbrio serão escritas com base no Figur a F.3 Estado de Tensão em Placas Finas ______________________________ _________________ __________________________ _____________________________ _____________________________ __________________________ _____________________________ _________________ _ AGO2000


F-2/32

estado duplo de tensões, indicado na Figura F.3, onde se admite que as seções transversais permaneçam planas após a deflexão.

dx

A partir das tensões normais σx e σy,

y

indicadas na Figura F.3, pode-se definir os

Vy +

momentos fletores por unidade de compri-

Vy

p

Vx

x

dy

∂Vy dy ∂y

Vx +

∂Vx dx ∂x

Figur a F.4 Forças Cortantes Positivas para o Elemento Infinitesimal de Placa

mento Mx e My. Enquanto que a tensão de cisalhamento τxy produzirá o momento de

Por outro lado, tomando-se o equilíbrio

torção por unidade de comprimento comprimento M xy. Tomando-se o equilíbrio de forças

de momentos em torno do eixo x, a partir da

verticais de um elemento infinitesimal de placa

análise das Figuras F.4 e F.5, pode-se

fina sujeita ao carregamento transversal p,

escrever

que produz pequenas deflexões w, chega-se a

∂ Vx ∂ Vy dx dy + dy dx + p dx dy = 0 ∂x ∂y ∂ Vx ∂ Vy + + p = 0 ∂x ∂y

(F.1)

−

∂ Mxy ∂ My dx dy − dy dx + Vy dx dy = 0 ∂x ∂y Vy =

∂ My ∂ Mxy + ∂y ∂x

(F.2)

______________________________ _________________ __________________________ _____________________________ _____________________________ __________________________ _____________________________ _________________ _ AGO2000


F-3/32

Derivando-se as expressões (F.3) e (F.2)

My Mx dx y

dy

M My + ∂ y dy ∂y

x

em relação a x e y, respectivamente, e

M Mx + ∂ x dx ∂x

introduzindo-se em (F.1), chega-se a

∂ 2 Mx ∂ 2 Mxy ∂ 2 My +2 + = -p ∂ x ∂ y ∂ y2 ∂ x2

Figura F.5 Momentos Fletores Positivos para o Elemento Infinitesimal de Placa

Analogamente, tomando-se o equilíbrio de momentos em torno do eixo y, pode-se

que é a equação diferencial de equilíbrio de esforços internos do elemento de placa. Segundo a hipótese dos pequenos deslo-

escrever

camentos, os pontos da superfície média de

∂ Mx ∂ Myx Vx = + ∂x ∂y

(F.3)

Mxy dx

dy

M Myx + ∂ yx dy ∂y

uma placa, na configuração deformada, apresentam apenas deslocamentos verticais.

Myx

y

(F.4)

As rotações da superfície média defor-

x M Mxy + ∂ xy dx ∂x

Figur a F.6 Momentos de Torção Positivos para o Elemento Infinitesimal de Placa

mada da placa, Figura F.7, são aproximadas pela derivada (ou declividade) da função deslocamento vertical w.(x,y). Esta aproximação decorre da aplicação da hipótese de Kirchhoff (similar à de Euler-Bernoulli no

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-4/32

estudo da flexão de vigas) que considera a

dx superfície neutra

dy

manutenção da seção transversal plana após a deformação, desprezando-se as deforma-

x

ções devidas ao esforço cortante. y p

u

z

v

x z !

∂w ∂x y

∂w ∂y

Figura F.8 Elemento Infinitesimal de Área

As deformações específicas dos pontos

w(x,y)

situados fora da superfície neutra, segundo as

L

Figur a F.7 Placa Retangular Simplesmente Apoiada

direções x e y respectivamente, são dadas por

Os deslocamentos u e v, segundo as

∂u ∂2 w ε x = = −z ⋅ 2 ∂x ∂x

direções indicadas na Figura F.8, dos pontos da placa situados fora da superfície média (neutra) são dados, no campo dos pequenos deslocamentos, por

∂w ∂w u = −z ⋅ ϕ x = −z ⋅ e v = −z ⋅ ϕ y = −z ⋅ ∂x ∂y

e

(F.5)

εy =

2

∂v ∂ w = −z ⋅ 2 ∂y ∂y

que correspondem às equações de compatibilidade entre deformações e deslocamentos.

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-5/32

Finalmente, as relações entre tensões e

γ 1 =

deformações para o estado duplo de tensões, considerando-se um material isotrópico em

åx

=

E

− ν

σy E

e

εy =

σy E

− ν

e

E ⋅ ( ε x + νε y ) 1 - ν 2

σx

∂u ∂y

(F.7)

E γ 1

x,u

γ 2

y,v

(F.6)

E σy = ⋅ ( ε y + νε x ) 1 - ν 2 que são as equações constitutivas do problema bidimensional, onde ν corresponde ao coeficiente de Poisson. As distorções γ 1 e γ 2, indicadas na Figura F.9, são dadas por

γ 2 =

∂u ∂ v ∂2 w γ xy = + = −2 z ∂y ∂x ∂x ∂y

que na forma inversa podem ser reescritas por

σx =

e

e a distorção do elemento infinitesimal será

regime elástico-linear, são dadas por

σx

∂v ∂x

Figura F.9 Elemento Infinitesimal da Área Indeformado e Distorcido

A equação constitutiva que relaciona as tensões de cisalhamento e as distorções é dada por

τ xy

E ⋅ z ∂2 w = G ⋅ ã xy = − ⋅ 1+ í ∂ x ∂ y

(F.8)

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F-6/32

Introduzindo-se as equações (F.5) nas

E ⋅ h3  ∂ 2 w ∂ 2 w   ⋅ + ν 2  My = − (F.11) 2  2 12(1 - ν )  ∂ y ∂ x  

relações (F.6), chega-se a E ⋅ z  ∂ 2 w ∂ 2 w   σ x = − 2 ⋅  2 + ν 2  1 - ν  ∂ x ∂ y  

e

Analisando-se o estado de tensão dos (F.9)

∂ 2 w ∂ 2 w  E ⋅ z   σ y = − 2 ⋅  2 + ν 2  1- ν  ∂ y ∂ x   Os momentos fletores por unidade de

pontos situados na superfície superior de uma placa quadrada submetida ao carregamento vertical p, pode-se verificar a existência de tensões principais de compressão σ3 na direção diagonal. Para o elemento infinitesimal

comprimento Mx da placa são definidos por

de lados paralelos aos eixos cartesianos se

h/2

tem as tensões de cisalhamento negativas τxy,

Mx =

∫ z ⋅ ó x dz

conforme indicadas na Figura F.10.

- h/2

Por outro lado, para os pontos situados Mx = −

E ⋅ h3  ∂ 2 w ∂ 2 w   ⋅ + ν 2  (F.10) 2  2 12(1 - ν )  ∂ x ∂ y  

As mesmas considerações são feitas para a direção y, resultando em

na superfície inferior verificam-se tensões principais de tração σ1 na direção diagonal, que

correspondem

cisalhamento

positivas,

às

tensões

apresentadas

de na

Figura F.11.

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F-7/32

x σ3

x

σ3 σ3

τxy τyx

σ3

Superpondo-se o estado de tensão de

τxy τyx

τyx

τxy

dois pontos alinhados verticalmente, perten-

τyx τxy

centes às superfícies livres, representados σ3

τxy

σ3

σ3

τyx σ3

y

nas Figuras F.10 e F.11, pode-se definir o

τxy τyx

τxy

τyx

τyx

momento de torção por unidade de compri-

τxy

mento como sendo

y

Figura F.10 Tensões Normais de Compressão e de Cisalhamento nos Pontos da Superfície Superior x

σ1

M xy =

τxy τyx

σ1

∫ z ⋅ τ xy dz

τxy τyx

τyx

τxy

τyx τxy

τxy

τyx

y

σ1 σ1 y

τxy

σ1

τyx σ1

τxy τyx

τxy

(F.12)

- h/2

x

σ1 σ1

h/2

τyx

τyx τxy

y

τxy

Mxy

τxy

Figura F.11 Tensões Normais de Tração e de Cisalhamento nos Pontos da Superfície Inferior

τyx

x z

Myx

τyx

Figura F.12 Momentos de Torção

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F-8/32

Introduzindo-se

a

relação

(F.8)

na

expressão (F.12) e após algumas manipu-

é conhecido por rigidez à flexão da placa. Sinteticamente, pode-se escrever

lações algébricas, chega-se a M xy

E ⋅ h 3 ⋅ (1 − ν ) ∂ 2 w =− ⋅ 12 ⋅ (1 − ν 2 ) ∂ x ∂ y

∇4w = (F.13)

sendo ∇ 2 o operador laplaciano dado por

Finalmente, introduzindo-se as expres-

∇2 = (

sões (F.10), (F.11), (F.13) na equação de equilíbrio de momentos (F.4), chega-se a

∂4 w ∂4 w ∂4 w p + 2 2 2 + 4 = (F.14) D ∂ x4 ∂x ∂y ∂y que é a equação de Laplace (1811) que rege o problema de flexão de placas finas no campo dos pequenos deslocamentos. Na expressão (F.14), o parâmetro E ⋅ h3 D= 12 ⋅ (1 - ν 2 )

p D

∂ ∂x

2

+

∂ ∂y

2

).

A solução da equação diferencial (F.14) depende das condições de contorno da placa analisada.

Ao

longo

de

uma

borda

simplesmente apoiada, paralela ao eixo y (Figura F.13), deve-se introduzir na equação (F.14) as seguintes condições de contorno w=0

(F.15)

∂2 w ∂2 w Mx = + ν 2 = 0 2 ∂x ∂y

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-9/32

e no caso de borda engastada, tem-se

PROCESSOS A PROXIMADOS PARA O C ÁLCULODAS DEFLEXÕES DAS PLACAS

w=0

∂w =0 ∂x

A equação diferencial (F.14), que rege o fenômeno da flexão de placas finas no campo

e, finalmente, no caso da borda ser livre

dos pequenos deslocamentos, não apresenta

incorporam-se as seguintes condições de

solução exata para a maioria dos casos.

contorno

Os problemas da Teoria das Placas se

∂2 w ∂2 w Mx = + ν 2 = 0 ∂ x2 ∂y

resolvem mediante a utilização de métodos

∂3 w ∂3 w Vx = + =0 3 2 ∂x ∂x∂y

dade de métodos foram desenvolvidos para a

numéricos e analíticos. Uma grande quantiresolução do problema de flexão de placas, As principais variáveis a serem determinadas x

são as deflexões e os momentos fletores. A seguir, apresentam-se alguns dos métodos mais populares utilizados para a descrição do comportamento à flexão de placas finas

y

Figura F.13 Borda Paralela ao Eixo Y

sujeitas a pequenos deslocamentos.

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F-10/32

Solução de Navier (1820)

com muita freqüência em projetos civis.

A solução de Navier para placas retangu-

x

apoio

lares segue o princípio fundamental em que a

p[kN/m2 ] b

deflexão da placa será assumida segundo uma função trigonométrica. No entanto, ao substituí-la na equação diferencial (F.14)

a y

chega-se ao carregamento da mesma forma

Figur a F.14 Placa Retangular Simplesmente Apoiada sujeita ao Carregamento Uniformemente Distribuído

trigonométrica. Assim sendo, qualquer carre-

Pode-se obter a deflexão de uma placa

gamento pode ser representado, aproximada-

retangular simplesmente apoiada com carre-

mente, por séries duplas de Fourier. Tal repre-

gamento uniforme p[kN/m 2], indicada na

sentação, mediante utilização da equação

F.14, utilizando-se a série dupla

(F.14), conduz a solução da função deslo-

mπx

camento no tipo trigonométrica. Tomando-se apenas os primeiros termos das séries duplas converge-se rapidamente para o valor de referência. A seguir são apresentadas duas soluções, que ocorrem

sen 16 p ∞ ∞ a w=

∑∑

π 6D m

n

sen

n πy b 2

 m 2 n 2  m n  2 + 2    a b 

(m, n = 1,3,5,")

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F-11/32

onde D é a rigidez à flexão da placa, dada

p[kN/m] x

apoio

pela expressão (F.15), x e y são as coorde-

b

nadas do ponto onde será calculada a deflexão e a e b são as dimensões da placa retangular. Quanto maior o número de termos utilizados na avaliação da expressão mais precisa será a solução obtida. A deflexão de uma placa retangular simplesmente apoiada com carregamento linearmente distribuído p[kN/m], indicado na

ξ a y

Figura F.15 Placa Retangular Simplesmente Apoiada sujeita ao Carregamento Linear

onde ξ é a coordenada da posição do carregamento parcialmente distribuído. Expressões análogas às anteriores são utilizadas na determinação dos momentos

Figura F.15, é dada por

fletores ortogonais.

w=

8p π5D a

∞ ∞

∑∑

sen

m n

(m,n = 1,2,3,")

mπξ mπ x n πy sen sen a a b

Tabelas de Czerny (1960)

2

 m2 n2  n  2 + 2    a b 

Elaboradas a partir da Teoria da Elasticidade,

adotando-se

coeficiente

de

Poisson nulo, são utilizadas para o cálculo de

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F-12/32

lajes retangulares, circulares e anelares sob

Outras tabelas similares podem ser

diversas condições de contorno e de carre-

encontradas na literatura, onde destacam-se

gamento. A flecha da placa, que corresponde

as Tabelas de Bares, Stiglat, Wippel, Burke,

a maior deflexão da mesma, é obtida a partir

Bruckner, Roark, Rüsch, sendo utilizadas em

da expressão genérica

diversas situações específicas.

f = k w ⋅

As Tabelas 1 a 9 (ANEXO A), adaptadas

p ⋅ ! 4x E ⋅ h3

de Czerny, admitem o coeficiente de Poisson

sendo os coeficientes kw fornecidos pelas

igual a 0,20, conforme valor recomendado no

tabelas de Czerny, !x é o menor vão da placa.

Item 8.2.6 da NBR-6118.

Segundo

as

mesmas

os

Estas tabelas, baseadas no Método dos

momentos fletores na placa são obtidos por

Elementos Finitos, apresentam os coeficientes

meio de expressões do tipo

para a obtenção das flechas e dos momentos

p ⋅ ! 2x

fletores, além do padrão de distribuição dos

αi

momentos ortogonais. Nestas tabelas não

Mi =

tabelas,

onde os coeficientes adimensionais αi são

foram incluídos os coeficientes para a

obtidos nas tabelas, e dependem da relação

obtenção dos momentos de torção e das

entre os lados e das condições de contorno da

forças cortantes.

placa. ______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-13/32

NBR-6118 8. Concreto

8.2.6. Coeficiente de Poisson O

coeficiente

relativo

às

de

Poisson

deformações

elás-

Figura F.16 Laje Armada em uma só Direção

ticas será suposto igual a 0,2.

Teoria das Vigas (1908) Quando a relação entre os lados de uma placa for superior a 2, pode-se aproximar o comportamento da placa ao de uma viga. Nestas condições, o momento ao longo do vão menor é preponderante em relação àquele ao longo do vão maior. Diante desse fato,

pode-se

desacoplar

os

momentos

ortogonais, recaindo-se na Teoria das Vigas, conforme ilustrado na Figura F.16.

A Figura F.16 indica que a solução aproximada pela Teoria das Vigas assume um comportamento independente entre faixas resistentes. Na realidade, existe um comportamento solidário das faixas (restrição lateral) que não corresponde exatamente à solução da Teoria das Vigas. Diante desse fato, as flechas e os momentos fletores obtidos pela Teoria

das

Vigas

levam

a

valores

conservativos, porém, anti-econômicos.

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F-14/32

px

Para explicar a preponderância do momento na direção do menor vão, considerase, simplificadamente, duas faixas ortogonais

!

de uma placa retangular, passando pelos

P P'

planos de simetria. Pode-se escrever, a partir da análise das Figuras F.17 a F.19, que

f

=

4 5p x ! 4 5p yL = f = 384 EI 384 EI

5px ! 4 384EI

Figur a F.18 Faixas Resistentes ao longo do Vão Menor (Corte AA – Figura F.17)

sendo px e py os quinhões de carga relativos py

às faixas independentes ortogonais. A

L P

B

B

P

!

P'

A

f

=

L

Figura F.17 Flexão das Faixas Resistentes

5pyL 4 384EI

Figur a F.19 Faixas Resistentes ao longo do Vão Maior (Corte BB – Figura F.17)

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F-15/32

A equação escrita anteriormente corres-

de onde se conclui: o momento principal M x,

ponde à Equação de Compatibilidade de

na direção do menor vão, aumenta em relação

Deslocamentos. Pode-se escrever

ao momento M y, na direção do maior vão, com

L  p x =    p y  ! 

o quadrado da relação entre os lados. Assim,

sendo px o quinhão de carga relativo ao vão

o momento principal é quatro vezes o valor do

menor.

momento de distribuição. Nessas condições,

4

para a relação entre os lados igual a 2,

Sabe-se que os máximos momentos

admite-se desprezar a influência do momento

fletores nas faixas resistentes ortogonais,

de distribuição no cálculo do momento

simplesmente apoiadas, valem

principal assumindo-se a solução dada pela

p y L2 p x !2 Mx = e My = . 8 8 Dividindo-se as expressões acima e

utilizando-se

a

relação

anteriormente

Teoria das Vigas. Essa simplificação, numa etapa posterior, será contornada adotando-se a armadura mínima de distribuição imposta pela Norma NBR-6118. As Figuras F.20 e F.21 apresen-

apresentada, chega-se a 2

L  M x =    M y

 ! 

tam as fórmulas para flechas e momentos fletores máximos em lajes armadas numa só direção, a partir da Teoria das Vigas.

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F-16/32

p

p

p

p

!

!

!

!

2p!4 f 384EI

5p! 4 f 384EI

P

!

a

a

a

!

Pa ! 2− a 2 3EI! 3

3/2

f =

p

f =

b

2P (! − a) a 2 3EI (! + 2a)

=

Pab

M

=

−Pa ( !2−a2) 2! 2

!

!

2

M

=

p

P

a

!

3

M

p! 2 M = 24

P a

!

2

1/2

9p!2 M = 128

2 −p! M = 12

P b

!

a Pa (! − a) 2 2! + a 6EI

2 −p ! M= 8

P

P

p

l

p! 2 M= 8

=

P

a

f =

p! 4 f 384EI

=

=

p

Pab (2 ! + a) 2! 3

2 2

M

=

2Pa b !

3

M

=

!

P

f =

p! 4 8EI

!

!

f =

P! 3 3EI

f =

M! 2 2EI

Figur a F.20 Flechas em Vigas ou Lajes Armadas em uma só Direção

2 −p! M= 2

!

M = −P!

M !

M = −M

Figura F.21 Máximos Momentos Fletores em Vigas ou Lajes Armadas em uma só Direção

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!2

para a>!/2

M !

−Pa2b

F-17/32

Método das Diferenças Finitas (MDF) Este método é baseado na diferenciação numérica, obtida por meio da série de Taylor. Impondo-se que a equação diferencial (F.14) seja satisfeita nos pontos equidistantes definidos pela discretização do problema, pode-se reduzir a equação diferencial (F.14), válida para todo o domínio da placa, a um sistema de equações algébricas. A maior dificuldade de aplicação deste método encontra-se na representação de um contorno irregular. A simulação de bordas curvilineares podem ser aproximadas por um contorno

escalonado.

Quanto

menor

a

distância entre os pontos da malha, melhor será a aproximação do contorno e, conseqüentemente, dos resultados (Figura F.22a).

Figura F.22 Laje de Contorno Irregular Discretização pelo (a) Método das Diferenças Finitas; (b) Método dos Elementos Finitos

Método dos Elementos Finitos (MEF) É o método mais eficiente utilizado atualmente para a análise estrutural, pois permite a resolução de problemas com geometria irregular e condições de contorno genéricas

(mistas,

apoios

pontuais

e

elásticos). São resolvidos problemas válidos

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F-18/32

para os campos dos pequenos e grandes

utilizando-se a formulação por elementos

deslocamentos (não-linearidade geométrica).

finitos. Pode-se caracterizar o problema da

O Método dos Elementos Finitos é

flexão da placa utilizando-se um número

utilizado na representação de materiais de

finitos

comportamento

discretização do problema (Figura F.22b).

não-linear.

Formulações

de

pontos

constitutivas – materiais elasto-plásticos (aço

deslocamentos,

escoando), visco-elastoplásticos (fluência do

interpolação. Quanto mais densa for a

concreto), elasto-frágeis (materiais não-resis-

discretização do problema melhores serão os

tentes à tração), hiperelásticos (borracha,

resultados obtidos.

códigos comerciais e acadêmicos.

do

na

Para

fibras ou chapas de aço) – são utilizadas por

obtenção

obtidos

específicas para a descrição das relações

espuma) e compósitos (placa reforçada com

a

(nós),

utilizam-se

campo

dos

funções

de

COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS O objetivo principal desta seção é

Análises estáticas, dinâmicas (choque,

apresentar as limitações inerentes de cada

explosão, excitação harmônica, terremotos),

método. Serão apresentados dois exemplos

de fadiga e de campos acoplados (fluido-

ilustrativos de placas retangulares, sujeitas a

estrutural, termo-estrutural), incluindo todos os

carregamentos uniformemente e parcialmente

tipos de não-linearidade, são permitidas

distribuído.

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-19/32

EXEMPLO ILUSTRATIVO F.1:Seja uma placa

Admite-se como solução de referência

quadrada, com 6 metros de vão e espessura

aquela avaliada por meio do Método dos

igual a 0,10 metros, simplesmente apoiada

Elementos Finitos. Devido à influência do

sujeita

uniformemente

coeficiente de Poisson, os deslocamentos

distribuído igual a 10 kN/m 2. São dados o

obtidos pelos Métodos de Navier e Elementos

módulo

do

Finitos são menores, porém mais realistas,

concreto EC=20×106 kN/m2 e o coeficiente de

daqueles fornecidos pelas Tabelas de Czerny.

ao de

carregamento deformação

longitudinal

Tal fato pode ser explicado, a partir da

Poisson do concreto ν=0,2.

observação de que a rigidez à flexão da placa Tabela F.1 Comparação dos Resultados de uma Placa Quadrada com Carregamento Uniforme

SOLUÇÃO

NAVIER ( ν=0,2) CZERNY ( ν=0) MEF ( ν=0,2)

D.=.E.h3./.12.(1- ν2) aumenta à medida que cresce o coeficiente de Poisson. A diminuição

DEFLEXÃO

do valor da rigidez à flexão, em função da

(CENTRO DA PLACA)

adoção do coeficiente de Poisson nulo, leva a

3,080 cm 3,156 cm 3,002 cm

deflexões maiores na placa. A solução de Navier foi obtida tomandose os 200 primeiros termos da série infinita. Portanto, a solução não é exata devido ao truncamento da série infinita. Sabe-se que as

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-20/32

séries

dadas

Navier

EXEMPLO ILUSTRATIVO F.2: Um outro

convergem rapidamente para o valor de

problema prático a ser analisado corresponde

teórico, dentro da precisão adotada. A partir

ao de uma placa simplesmente apoiada de

da utilização dos 200 primeiros termos da

0,10 metros de espessura, sujeita ao carrega-

série pode-se considerar uma boa conver-

mento parcialmente distribuído, paralelo ao

gência para o valor final.

menor vão, devido a existência de uma

Na

pela

solução

discretização

por

alvenaria de 3 metros de altura e 0,20 metros

400

de espessura ( γ A=13 kN/m3). São fornecidos o

elementos quadrangulares de placa. Os erros

módulo de deformação longitudinal do con-

comuns

creto EC=20×106 kN/m2 e o coeficiente de

elementos

finitos embutidos

elementos

finitos

do

de

foram

problema utilizados

nas são

de

soluções

por

discretização

(funções de interpolação ou de forma) e de

Poisson ν=0,2. Foram

analisadas

duas

geometrias

arredondamento (operação de inversão de

distintas: uma placa quadrada de lado 6

matrizes). Cabe ao analista a verificação da

metros (L/!=1,0) e uma placa retangular de 2

aderência dos resultados obtidos. Qualitativamente, todos os resultados

metros por 6 metros (L/ !=3,0).

obtidos podem ser adotados nas decisões de engenharia. ______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-21/32

Tabela F.2 Comparação dos Resultados de uma Placa com Carregamento Parcialmente Distribuído

SOLUÇÃO

NAVIER (PAREDE DISCR.) MEF (PAREDE DISCR.) CZERNY (PAREDE UNIF.) VIGAS (PAREDE UNIF.)

DEFLEXÃO (CENTRO DA PLACA)

L/!=1,0

L/!=3,0

0,661 cm

0,037 cm

0,653 cm

0,036 cm

0,615 cm

NÃO APLICÁVEL

NÃO APLICÁVEL

0,098 cm

onde a espessura da alvenaria foi majorada a partir da consideração do Item 3.3.2.4 da NBR-6118, apresentado a seguir.

NBR-6118 3. Esforços Solicitantes

3.3.2.4 Distribuição de cargas Supõe-se

as

cargas

con-

centradas ou parcialmente distribuídas

No primeiro caso, a solução obtida por

que se

distribuam

a

o

45

até o plano médio da laje.

meio das Tabelas de Czerny, que considera o

e

carregamento da alvenaria uniformemente distribuído na superfície da placa (conforme proposto na Aula D), dado por gA =

45o

45o

h

e+h

13 ⋅ (0,30 ⋅ 3 ⋅ 6) = 1,95 kN/m 2 36

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F-22/32

O aumento da espessura da parede de

No segundo caso, para a solução obtida

alvenaria, sugerido pela NBR-6118, deve ser

por meio da Teoria das Vigas considerou-se o

considerado, no caso de uma parede de

carregamento linear, conforme proposto na

alvenaria isolada, para levar em conta o efeito

Aula D, dado por

localizado na região da aplicação da carga. Pode-se notar, observando-se os resultados

g A = 13 ⋅ (0,20 ⋅ 3) = 7,8 kN/m

da Tabela F.2, que o deslocamento obtido

sem majorar a largura da parede de alvenaria

pelas Tabelas de Czerny é inferior aos demais

pois os deslocamentos obtidos são muito

métodos, que consideraram o carregamento

conservativos, devido ao desconfinamento

parcialmente distribuído (localizado).

lateral admitido na solução da viga equiva-

A solução de Navier foi obtida a partir do somatório dos 200 primeiros termos da série. Sabe-se que a série converge rapidamente para a solução do problema, dentro da

lente (Figura F.16). Utiliza-se a expressão 5 p! 4 5 × 7,8 × 2 4 = = 0,000975 m f = 384 EI 384 × 20 × 10 6 × 0,13 /12

precisão adotada. Tomando-se apenas o

para a determinação da flecha na viga fictícia

primeiro termo da série chega-se ao valor

(faixa unitária de laje), dada pelas fórmulas da

0,634 centímetros, que é apenas 4% inferior

Teoria dasVigas, apresentadas na Figura F.20.

ao valor calculado com 200 termos. ______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-23/32

Segundo a solução por elementos finitos,

NBR-6118 4. Dimensionamento das Peças

admite-se que o carregamento parcialmente distribuído g A = 13 ⋅ 3 = 39 kN/m 2

4.2.3. Estado de deformação excessiva

represente a influência da parede sobre a laje sendo aplicado somente na área de contato.

C-Em estruturas de edifícios

Pode-se notar, a partir da observação da

Nas

vigas

e

nas

lajes

das

Tabela F.2, que o deslocamento obtido pela

estruturas de edifícios deverão

Teoria das Vigas é cerca de três vezes o valor

ser

de referência (MEF).

obedecidas

as

seguintes

limitações, com ações de acordo com 5.4.2.2.

Para as duas formas geométricas anali-

a)

as

flechas

medidas

a

sadas, conclui-se que as soluções segundo as

partir do plano que contém os

Tabelas de Czerny e Teoria das Vigas,

apoios, quando atuarem todas as

quando aplicáveis, conduzem a resultados satisfatórios para fins práticos, apesar da

ações, não ultrapassarão 1/300 do vão teórico, exceto no caso de balanços para os quais não

solução por elementos finitos ser recomen-

ultrapassarão

dável em alguns casos especiais.

comprimento teórico;

1/150

do

seu

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F-24/32

b) pelas será

o

deslocamento

cargas

causado

acidentais

superior

a

1/500

do

LIMITAÇÃO DA FLECHA EM LAJES E VIGAS

não vão

!

f p ≤ f lim =

300 carga total

teórico e 1/250 do comprimento teórico dos balanços.

!

f q ≤ f lim =

500 carga acidental f

NBR-6118 5. Segurança

!

Figura F.23 Deflexão em uma Laje (ou Viga)

5.4 Coeficientes de minoração

LIMITAÇÃO DE FLECHA PARA BALANÇOS

5.4.2.2 Estados limites de utilização

f p ≤ f lim =

150 carga total

Em geral deverá ser considerada a solicitação de cálculo Sd = Sgk.+.χ Sqk.+.Sεk O

valor

do

coeficiente

!

f q ≤ f lim =

!

250 carga acidental

f

χ

será 0,7 para as estruturas de edifícios e 0,5 para as demais.

!

Figura F.24 Deflexão em um Balanço

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F-25/32

EXEMPLO DIDÁTICO F.1: Verificar as flechas totais e acidentais da Laje L1 do Exemplo D.1, de acordo com os limites preconizados no Item 4.2.3.1.C da NBR-6118, a partir dos carregamentos determinados anteriormente (Aula D). Adotar a resistência característica do concreto igual a f ck=20 MPa. 506,50

Determinação do Módulo de Deformação Longitudinal do Concreto

E C = 0,6 ⋅ 6600 ⋅ f ck + 3,5

[MPa]

E C = 0,6 ⋅ 6600 ⋅ 20 + 3,5 = 19196,8122 MPa E C = 19.196.812,2 kN/m 2 Verificação da Flecha devida ao Carregamento Total A partir daTabela 6, tem-se

482,50

LAJE L1 h=7cm p=5,84kN/m2 q=1,50kN/m2

f p =

ωp ! 4 Eh3

f lim =

Figura F.25 Dimensões, Esquema Estático e Carregamentos da Laje L1 do Exemplo D.1

!

300

0,0277 ⋅ 5,84 ⋅ 4,825 4 = = 0,0133 m 3 19.196.812,2 ⋅ 0,07

=

4,825 = 0,0161m 300

f p = 1,33 cm ≤ f lim = 1,61cm

ok!

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F-26/32

Verificação da Flecha devida ao Carregamento Acidental f q =

ωq!4 Eh 3

f lim =

0,0277 ⋅ 1,50 ⋅ 4,825 4 = = 0,0034 m 19.196.812,2 ⋅ 0,07 3 !

500

=

4,825 = 0,0096 m 500

f q = 0,34 cm ≤ f lim = 0,96 cm

ok!

EXEMPLO DIDÁTICO F.2: Verificar as flechas totais e acidentais na faixa resistente mais desfavorável da laje em balanço do Exemplo D.2, de acordo com a NBR-6118. Adotar a resistência característica do concreto igual a f ck=20 MPa e considerar nos cálculos largura unitária para a faixa resistente. Determinar a espessura mínima da laje com base nos limites estabelecidos pela Norma NBR-6118.

Verificação da Flecha para Carga Total A faixa resistente mais desfavorável corresponde à Faixa III, a qual sustenta a alvenaria de 2,70 metros. A partir do carregamento calculado anteriormente, e reapresentado na Figura F.26, tem-se que a flecha na extremidade livre da faixa resistente em balanço será p! 4 P! 3 M! 2 f p = + + 8EI 3EI 2EI que corresponde a superposição dos resultados da Teoria das Vigas. O momento de inércia na faixa resistente e o módulo de deformação do concreto valem bh3 1⋅ (0,14)3 I= = = 0,00022867 m 4 12 12

E C = 0,6 ⋅ 6600 ⋅ 20 + 3,5 = 19196,8122 MPa E C = 19.196.812,2 kN/m 2

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F-27/32

f p = 0,00063 + 0,00026 + 0,00013 = 0,00102 m 10,71 kN/m

f lim =

2,0 kN 0,14m 1,2m

1, 2 = 0,008 m 150 150 !

=

f p = 0,102 cm ≤ f lim = 0,8 cm

0,8 kNm

ok!

1,0m

Figura F.26 Dimensões e Carregamento Total na Faixa Resistente III da Laje em Balanço

2,00 kN/m 2,0 kN

Verificação da Flecha para Carga Acidental A partir do carregamento acidental calculado anteriormente, indicado na Figura F.27, temse que a flecha na extremidade livre da Faixa Resistente III será

0,14m 1,2m

0,8 kNm

f q =

2,00 ⋅ (1,2) 4 2,0 ⋅ (1,2) 3 0,8 ⋅ (1,2) 2 + + 8 ⋅ (4389,671) 3 ⋅ (4389,671) 2 ⋅ (4389,671)

1,0m

f p = 0,00012 + 0,00026 + 0,00013 = 0,00051m Figura F.27 Dimensões e Carregamento Acidental na Faixa Resistente III da Laje em Balanço

10,71 ⋅ (1,2) 4 2,0 ⋅ (1,2)3 0,8 ⋅ (1,2) 2 f p = + + 8 ⋅ (4389,671) 3 ⋅ (4389,671) 2 ⋅ (4389,671)

f lim =

!

250

=

1, 2 = 0,00480 m 250

f p = 0,051cm ≤ f lim = 0,48 cm

ok!

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F-28/32

Determinação da Espessura Otimizada Observa-se que a espessura admitida nos cálculos, conduz a valores de flecha muito aquém dos limites estabelecidos pela norma. Pode-se ajustar a espessura da laje, de modo

EXEMPLO DIDÁTICO F.3: Calcular os momentos fletores na Laje L1 do Exemplo D.1 (armada em cruz) utilizando-se as Tabelas de Czerny, adaptadas para o coeficiente de Poisson igual a 0,20.

que a flecha produzida pelos carregamentos

506,50

mais desfavoráveis (no caso carga total) aproxime-se do limite imposto. Tal ajuste leva LAJE L1 h=7cm

à reavaliação do carregamento devido ao 482,50

peso próprio, indicado a seguir.

p=5,84kN/m2

Tabela F.3 Critério da Limitação da Flecha

h [m] p [kN/m] EI [m4]

f p [cm]

flim [cm]

0,12

10,21

2764,34

0,158

0,800

0,10

9,71

1599,73

0,265

0,800

0,08

9,21

819,06

0,502

0,800

0,07

8,96

548,71

0,738

0,800

Figura F.28 Dimensões, Esquema Estático e Carregamentos da Laje L1 do Exemplo D.1

Cálculo dos Momentos Fletores A partir daTabela 6, tem-se para L/ !=1,05

______________________________________________________________________________________________________ AGO2000


F-29/32

p! 2 5,84 ⋅ 4,825 2 = = 4,50 kN ⋅ m m M x= 30,2 30,2 M xe =

− p! 2 16,4

=

− 5,84 ⋅ 4,825 2 16,4

= −8,29 kN ⋅ m m

8,20m

p! 2 5,84 ⋅ 4,825 2 = = 4,15 kN ⋅ m m M y= 32,8 32,8 M ye =

− p! 2 17,0

=

EXEMPLO DIDÁTICO F.4: Calcular os momentos fletores da laje em balanço do Exemplo D.2, indicada na Figura F.30.

− 5,84 ⋅ 4,825 2 17,0

= −8,00 kN ⋅ m m

LAJE L2 h=14cm

hm=2,70m em=0,12m

1,20m

hp=1,00m ep=0,12m

hp=1,00m ep=0,12m

Figura F.30 Esquema Estático e Disposição das Paredes da Laje em Balanço do Exemplo D.2

506,50

0 0 , 8

hp=1,00m ep=0,12m

A partir dos carregamentos totais, calculados anteriormente no Exemplo D.2, deve-se considerar os momentos fletores nas três faixas distintas, de acordo com a Teoria das Vigas. O momento na seção de engastamento da laje em balanço será

4,50

482,50 5 1 , 4

8,29

Figura F.29 Momentos Fletores Parciais

p! 2 M=− − P! − M 2

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F-30/32

que corresponde a superposição dos resultados parciais apresentados na Figura F.21,

M III

8,96 ⋅ 1,20 2 =− − 2 ⋅ 1,20 − 0,8 = −9,65 kN m 2

devido aos carregamentos apresentados na Figura F.31.

9,65

P

6,62

p

7,74

M III

!

II I

Figura F.31 Carregamentos da Laje em Balanço

A partir dos carregamentos indicados nas Figuras D.16 a D.18 (Aula D), correspondentes às faixas três resistentes, pode-se escrever

Figura F.32 Momentos Fletores Finais nas Faixas Resistentes da Laje em Balanço

Os momentos fletores calculados anteriormente serão utilizados no cálculo da

6,31⋅ 1,20 2 MI = − − 2 ⋅ 1,20 − 0,8 = −7,74 kN m 2

armadura negativa de cada faixa resistente.

4,75 ⋅ 1,20 2 − 2 ⋅ 1,20 − 0,8 = −6,62 kN m 2

finais da laje, pois não serão afetados pelos

M II = −

Tais momentos correspondem aos momentos momentos das lajes vizinhas.

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F-31/32

Teoria de Placas

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