Objetivo General. 1. Compilar la teoría básica en un único documento destinado al estudiante de física, matemática o ciencias en general; como apoyo bibliográ…co para cursos sobre teoría de números. Objetivos Especí…cos.
1. Reunir en un único tratado los tópicos fundamentales y recurrentes en los programas de teoría de números, con la …nalidad de dirigirlo a estudiantes como material bibliográ…co, para apoyo de la asignatura y consulta. 2. Mostrar en un lenguaje sencillo los principales resultados de la teoría de números, acompañado de buena ejercitación, además de algunas aplicaciones y actualizaciones en este campo.
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Introducción La teoría de números o aritmética como también es llamada es quizás junto con la geometría la rama de la matemática más antigua, pero a diferencia de esta en la cual pueden recrearse formas y cuerpos para ser estudiados, la aritmética suele ser árida, abstracta y desprovista de atractivo para casi cualquier lector, muchos matemáticos han llamado a la teoría de números como la rama más difícil de esta ciencia, otros le han dado el título de Reina de las matemáticas, sea cual sea el cali…cativo la aritmética siempre ha estado rodeada de un aura de misticism misticismoo y esceptici escepticismo smo para el lector. lector. A pesar de que esta rama cuenta cuenta con un gran campo de aplicación en disciplinas como la computación, criptografía, …nanzas, …nanzas, biología, biología, física física y las matemática matemáticass mismas. mismas. Sin mencionar mencionar que ha engendrado los problemas más famosos y difíciles de las matemáticas, algunos aun sin solución en la actualidad; así también ha dado lugar a la creación de nuevas nuevas y modernas ramas de las matemáticas tales como: la teoría analítica de números, la teoría algebraica de números, teoría de curvas elípticas, entre otras. La teoría de números no es propia de un nivel particular de educación, podemos encontrar tópicos de ésta desde la escuela primaria hasta la universidad. Propiamente dicho, en nuestro país se forman profesionales en educación con mención en matemáti matemáticas cas donde deben estudiar estudiar teoría de números. números. Es precisamente por estos últimos que escribimos este trabajo. Por las características socioculturales y económicas de nuestro país, es difícil acceder a bibliografía actualizada y adecuada para ciertos niveles educativos y para determinados …nes académicos, motivados por esta causa hemos decidido escribir este trabajo compilatorio en su gran medida, pero con las particularidades de: mostrar la teoría expuesta con una claridad de lenguaje y explicación paso a paso, presentar una variedad de ejercicios resueltos y otra gama de ejercicios propuestos con su respuesta o sugerencias para su solución, un material autosu…ciente en el sentido que cada capítulo dota de lo necesario para el siguiente sin la necesidad de recurrir a otros medios y …nalmente las aplicaciones a otras ciencias o dentro de las matemáticas mismas y los resultados más recientes en esta rama. La intención de este documento es crear, no un recetario sino, un medio didáctico-técnico, dirigido a estudiantes de nivel universitario que tengan que enfrentarse a un curso de teoría de números, pues aquí podrán adquirir una formación teórica-práctica en cuanto a conocimiento teórico y estrategia para la solución de problemas.
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Reseña Histórica De La Teoría De Números.
Construyendo el número Hoy en día encontramos números en casi cualquier disciplina cientí…ca, tecnología o incluso en el ambiente ordinario, pero este conjunto de grafos son el resultado de mucho tiempo de evolución y complejas relaciones culturales que datan desde tiempos del origen de la humanidad misma. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar contar los ob jetos. jetos. Inicialm Inicialment entee se contaba contaba con ayuda ayuda de los medios medios que se disponía disponía:: dedos, dedos, piedras piedras,, conos conos de abetos, abetos, etc. Huell Huellas as de estos se han conserv conservado ado en las denominacione denominacioness de los cálculos matemátic matemáticos: os: Por ejemplo, ejemplo, calculus calculus en su traducción traducción del latín latín signi…ca cuenta cuenta con piedras. Debido Debido a los medios utilizados para contar, la serie natural se concebía …nita y se contaba de 5 en 5 (para el caso de los dedos de las manos) y luego se iniciaba nuevamente la cuenta formando paquetes de 5. Presumiblemente esta sea la razón de tener un sistema decimal por poseer 10 dedos en las manos utilizados como medios de cálculo. Junto a la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sus símbolos, y los propios números formaron sistemas. Para los primeros períodos de la historia de la humanidad es característico encontrarse con una diversidad de sistemas numéricos. Que paulatinamente paulatinamente se perfeccionaron y uni…caron como consecuencia de las interacciones culturales entre las distintas razas. Algunos ejemplos se muestran en las …guras siguientes:
Numeración Egipcia
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Numeración Eslava Nuestros numerales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9) se suelen llamar árabes o arábigos a pesar que se parecen muy poco a los utilizados en los países de la región región árabe como Egipto, Egipto, Irak, Siria, Siria, Arabia, Arabia, etc. Pero esta denominac denominación ión de números arábigos se debe a que los principios en los que se basan los dos sistemas es el mismo y a que los signos usados pueden haberse derivado de los árabes. Con esta universalización del sistema numérico, la conciencia del número se volvió lo su…cientemente extendida y clara como para llegar al punto de sentir la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al inicio presumiblemente solo en un lenguaje simbólico.
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Nacimiento De La Aritmética La aritmética de la traducción griega arihtmos o número tiene su origen en el misticismo numerológico numerológico de los griegos o más especí…camen esp ecí…camente te de la escuela de los pitagóricos. Los pitagóricos fueron con mucha seguridad los primeros en estudiar algunas de las propiedades de los números y a dar las primeras clasi…caciones como pares, impares, primos, compuestos, números …gurados, entre otros. En la época moderna la Aritmética o Teoría de números como también es llamada se concibe como la rama de las matemáticas encargada de estudiar las propie propiedad dades es de los númer números os natura naturales les (0, (0, 1, 2,.. . ) o entero enteross (. . . ,-2, ,-2, -1, 0, 1, 2,.. . ). Entre Entre las propied propiedade adess de mayor mayor interés interés se cuent cuentan: an: la divisib divisibili ilidad dad y cuando un número es primo o compuesto. La época de Euclides Cercano al 300 a .c ocurrió uno de los principales sucesos para la historia de las matemáticas, la aparición de los Elementos de Euclides obra monumental de 13 libros que recoge el conocimiento matemático alcanzado hasta la época, que sacaría a la aritmética de la numerología y del misticismo, para convertirla en una ciencia estricta y deductiva. Existe la concepción errónea que los elementos es una obra enteramente dedicada a la geometría, los libros VII, VIII y IX están dedicados enteramente a la teoría de números. El libro VII comienza con dos proposiciones que constituyen lo que hoy conocemos como el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor de dos números dados. El libro VIII trata las propiedades de los cuadrados y los cubos. Y por último y el que posee un interés especial el libro IX, que contiene el teorema y la demostración del mismo sobre la in…nitud de los primos. También atacó el problema de los números perfectos, dando la demostración de que todo número perfecto es de la forma 2 p1 (2 p 1),en donde p y 2 p1 son primos. Dos mil años más tarde Euler demostró demostró el recíproco recíproco del teorema teorema diciendo diciendo que todo número par perfecto debe ser del tipo descrito por Euclides. Por ejemplo. Para 6 tenemos: 6 = 221 22 1 = 2 3
Todo número de la forma 2 p1 , en donde p es primo se conocen cono cen como números de Mersenne, que los estudió en 1644. Aún hoy no se conoce si existen números perfectos impares. La Aritmética De Diofanto Los 250 años que siguieron a la desaparición de Euclides la teoría de números entró en un periodo de oscuridad hasta la llegada de Diofanto de Alejandría, quién publicó 13 libros, de los cuales se han conservado 6. 5
La aritmética de Diofanto en lo que ha llegado hasta nosotros, está dedicada casi completamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminada terminadas. s. Una de los principales principales aportes de Diofant Diofantoo a las matemática matemáticass fue haber introducido la notación algebraica que precedió a lo que hoy utilizamos. La arithmetica no consiste en exposición sistemática sobre las operaciones o funciones algebraicas, sino en una colección de 150 problemas, resueltos todos en términos de ejemplos numéricos completos y especí…cos. Diofanto fue hábil para resolver ecuaciones algebraicas con dos o tres incógnitas. Muchos de estos problemas se originaron en la teoría de números y a él le pareció pareció natural encontrar encontrar soluciones soluciones enteras. enteras. Las ecuaciones ecuaciones que deben ser resueltas por medio de valores enteros reciben el nombre de ecuaciones difánticas y el estudio de tales ecuaciones análisis diofántico. Pierre de Fermat y La Teoría De Números El trabajo de Diofanto encuentra en el siglo diecisiete a su mejor intérprete, Pierre de Fermat quien se convertiría en el creador de la moderna teoría de números. Dentro de los resultados obtenidos por Fermat tenemos que a…rmaba que los números de la forma f n = 22 + 1 es un número primo 8n 2 N, pero esta conjetura resulto errónea, Euler demostraría que para n = 5 es compuesto. n
El conocido teorema de Pitágoras, inspiró el resultado más famoso y quizás el más difícil planteado por Fermat. El llamado último teorema de Fermat, la ecuación diofántica x2 + y2 = z 2; 8n > 2 , no tiene solución en los números enteros. enteros. Este fue un problema que se resistió resistió 350 años a las mejores mentes mentes Wiles, en mayo matemáticas hasta que un joven matemático inglés, Andrew Wiles, de 1995 publicará publicará un artículo artículo de 130 páginas en Annals Annals of Mathematics Mathematics con la solución al problema. Aunque tal vez menos impresionante, pero otra gran paso en la teoría de números números debido a Fermat ermat es el pequeño pequeño teorema teorema que lleva lleva su nombre: nombre: si p es primo positivo y a es un entero coprimo de p, entonces p divide a, a p1 1 ó a p1 1mod p 1mod p , cuya demostración se la debemos a Euler. Fermat logró verdaderos y muy profundos avances en esta rama de las matemáticas, a pesar que su forma de razonar era muy intuitiva y casi nunca daba una demostración general, sin embargo dio algunas muy interesantes para los siguientes teoremas: Todo número entero o es un número triangular o una suma de 2 ó 3 números triangulares; todo entero o es cuadrático o suma de 2, 3, ó 4 cuadráticos; todo número o es pentagonal o es suma de 2, 3, 4 ó 5 pentagonales, y así sucesivamente. 6
También se le debe el resultado de que todo número primo de la forma 4n +1 , es suma de dos cuadrados. Por ejemplo. 5 = 12 + 22 ; 13 = 22 + 32 ; 17 = 12 + 42
Un nuevo rumbo para La Aritmética Posterior al trabajo de Fermat, resuenan los nombres de las que quizás sean las …guras más representativas de la moderna teoría de números: Leonard Euler (1707-1783), Lagrange (1763-1813), K.F Gauss ( 1777-1855) y Dirichlet (18051859). Gracias a Euler se veri…caron o refutaron algunos de los ya mencionados problemas problemas planteados planteados por Fermat. ermat. Dictada Dictada por Euler, Euler, ya ciego, alrededor alrededor del año 1767, la Aritmética Universal apareció, obra monográ…ca que consta de dos partes; en los tres parágrafos de la primera parte dirigió una atención especial a las reglas de resolución de problemas aritméticos y al desarrollo del aparato simbólico-lingüístico simbólico-lingüístico del álgebra. El último parágrafo incluye preferentemente preferentemente los métodos para buscar soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadas de primer grado y grados superiores. superiores. Aquí se le agrega la resolució resoluciónn del gran teorema de Fermat para n = 3 y n = 4: 4: Todo hace indicar que la motivación especial por la teoría de números, provino de la correspondencia mantenida entre Euler y Goldbach otro brillante matemático. En una de estas cartas, fechada de 1 de diciembre de 1729, Goldbach pregunta a Euler si conoce el resultado donde Fermat a…rma que todo número de la forma f n = 2 2 + 1 es primo, Euler contesta con un contra ejemplo, f 5 = 22 + 1 = 4294967297; 4294967297 ; el cual es divisible por 641 refutando así el resultado de Fermat. n
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Además de este hecho demostró el pequeño teorema de Fermat, introdujo la función '(m); cuyos valores son iguales a la cantidad de números menores que m y que son coprimos con él, en 1722 creó la ley de reciprocidad cuadrática y todo lo concerniente al problema de la representación de números en formas cuadráticas. Los trabajos de Euler determinaron la problemática, la estructura, y los métodos de la teoría algebraica de los números.
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Después de Euler, la ley de reciprocidad cuadrática la demostró Legendre (dio una demostración incompleta). incompleta). Gauss, hasta el año 1801 dio ocho demostraciones de esta ley. No obstante Legendre en 1880 encontró la forma más cómoda de escribir esta ley:
p q
p 1 q 1 q = ( 1) 2 ; 2 p
Entre los problemas aditivos de la teoría de números, propuestos en el siglo XVIII, se encuentra también el problema de Waring (1770), cualquier número esimas potencias de números natural n 2 es representable como la suma de nesimas naturales, además el número r de términos de la suma depende solo de n. Waring no dio su demostración. Como en la mayoría de los problemas de la teoría de números, números, el éxito se logró con mucha mucha di…cultad. di…cultad. Así, Lagrange Lagrange demostró que si n = 2, entonces r = 4: Posterior a esto se encontraron otros resultados particulares hasta que en 1909, Hilbert dio la primera demostración general. En los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre, Lambert y otros matemáticos, fueron elaborados y re…nados numerosos e ingeniosos métodos de la teoría de números, tanto algebraicos como analíticos. Todas estas investigaciones, naturalmente, necesitaban sistematización, reducción a una estructura lógica y bien estructurada de manera original. Esta dura tarea fue iniciada por Legendre en los años de 1797-1798 que tituló “Experiencia de la teoría de números”, teniendo como objetivo construir un sistema de resultados sobre las propiedades de los números números enteros. enteros. En posteriores posteriores ediciones ediciones fue completado completado con el trabajo de Gauss, Abel y otros brillantes matemáticos del siglo XIX. En esta presentación está contenida el enorme cúmulo de conocimiento sobre teoría de números, lo que le da un signi…cado histórico y un signi…cado intelectual invaluable como guía para iniciar el camino de los números.
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1 Núme Números ros Enter Enteros os Natura Naturales les "Dios hizo los números naturales; el resto es obra del hombre" Leopold Kronecker.
En este capítulo abordaremos los principios fundamentales que rigen a los números naturales, El principio del buen orden y el Principio de Inducción matemáti matemática. ca. Además Además de estudiar estudiar el sistema de los naturales naturales desde la óptica axiomática de Peano.
1.1 Princi Principio pio del Buen Buen Orde Orden n (PBO) (PBO) 1.1.1 De…nición. Decimos que a es mayor que b (simbolizado a > b), si la ecuación b + x = a es soluble para algún número natural x.(para el caso x = 0 , se obtiene la igualdad b = a) La relación a es mayor que b, puede expresarse equivalentemente así: b < a La relación "mayor "mayor que" antes de…nida tiene las siguientes propiedades: 1. Tricotomía. ricotomía. Una y solamente una de las relaciones siguientes debe cumplirse: a > b;
a = b; a < b
Demostración. Supongamos que se cumplen a > b y a = b: De la de…nición de mayor, tenemos la existencia de algún x natural, tal que a = b + x, por hipótesis y transitividad se sigue que b = b + x, lo cual es absurdo. Ahora supongamos como cierto que a < b y a = b; análogamente, análogamente, se tiene un x tal que b = a + x, por hipótesis y transitividad de la igualdad pasa que a = a + x; lo que nuevamente es absurdo. Así, puede concluirse que solo una de las relaciones puede cumplirse
2. Propiedad transitiva. Si a > b y b > c; entonces a > c Demostración. Si a > b y b > c, esto implica la existencia de naturales x y y tales que a = b + x y b = c + y: Podemos entonces reemplazar b por c + y en la primera ecuación así: a = (c + y ) + x = c + (y (y + x) ; por propiedad asociativa. Sin embargo (y + x) = z es un número natural por cerradura de la adición. adición. Esto prueba que a = c + z y por tanto a > c
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3. Si a > b; entonces a + c > b + c Demostración. Para realizar esta demostración empezaremos por escribirla en la forma simbólica: Si a > b =) a + c > b + c Tomando su contrarrecíproco
(a + c > b + c ) =) (a > b) b) que equivalenteme equivalentemente nte es a+c
Aquí el símbolo
lo utilizamos a …n de simpli…car la escritura de " < ó = "
a+c
i.
b + c =) a b
= = =
) ) )
a+c+x= b+c a+x =b a< b
def. mayor que prop. cancelativa def. mayor que
ii. Si a + c = b + c; entonces a = b por la propiedad cancelativa.
La demostración de la propiedad número 3 se realizó en la base de la ley cancelativa, de la cual se dará una demostración más adelante. Principio de Buen Orden (PBO): Cualquier conjunto de números naturales que contenga al menos un elemento, contiene un elemento mínimo. 1.1.1 Teorema. No hay ningún natural entre 0 y 1. Demostración. Supongamos que existe un número a; con la siguiente propiedad, 0 < a < 1. Entonces, existe un conjunto A no vacío de elementos menores que 1: Luego, por PBO, A tiene elemento mínimo, llamémosle m; será tal que 0 < m < 1: Mutiplicando toda la desigualdad por m, 0 < m2 < m: Entonces m2 es otro natural del conjunto A, menor que el supuesto elemento mínimo de A. Esta Esta contradicción demuestra el teorema. 1.1.2 Teorema : Un conjunto H de enteros naturales que incluya al 1 y que incluya al n + 1 siempre que incluya al n; incluye también a cualquier entero natural. 10
Demostración. La prueba consiste en demostrar que el conjunto H 0 de los naturales que no están en H es vacío, esto es H 0 = fx 2 N : x 2= H g = : Supongamos lo contrario, esto es H 0 contiene al menos un elemento; luego por PBO, H 0 tiene elemento mínimo m: Pero m = 6 1; por hipótesis 1 2 H ; luego por el teorema anterior m > 1; y m 1 > 1: Además 1 < m 1 < m; resulta que, como m es elemento mínimo de H 0 ; m 1 debe estar en H . Según la hipótesi hipótesiss puede deducirse que (m 1) + 1 = m 2 H . Lo que contradice nuestro supuesto.
1.2 Princi Principio pio de Indu Inducci cción ón Matem Matemátic áticaa (PIM) (PIM) 1.2.1 Teorem Teorema. a. Principio Principio de inducción Completa Completa.. Asoci Asociem emos os a cada cada número natural n una proposición P (n), la cual puede ser verdadera o falsa. falsa. Si, prime primero, ro, P (1) es verdadera y, segundo, para cualquier k la verdad de P ( P (k) implica la de P ( P (k + 1) ; entonces P ( P (n) es verdadera para todo natural n: Demostración. Una proposición P (n) ; es válida para todo número natural n si: 1. Es válida para n = 1 2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se deduce su validez para n = k + 1 Supongamos lo contrario, es decir, que la proposición no es válida para cualquier número natural n: Entonces, existe un número natural n0 tal que, la proposición es falsa; por la condición 1. n0 = 6 1: Luego, existe un número natural n1 tal que n0 = n1 + 1: 1: A…rmamos que n0 > n 1
y P n es falsa: 1
Porque n1 < n 1 + 1 = n0 y si P n es verdadera, entonces por la condición 2 la proposición P n +1 = P n sería verdadera, lo cual contradice nuestro supuesto. (existe un número natural n0 tal que, la proposición es falsa). Aplicando a n1 el mismo razonamiento que a n0; encontramos que existe un número natural n2 ; tal que 1
1
0
n0 > n 1 > n 2 y P n2 es falsa
continuando de esta manera obtenemos una sucesión in…nita decreciente de números naturales n0 > n 1 > n 2 > n 3 >
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> ni >
Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturales tiene elemento mínimo (PBO). La demostración se ha podido completar en la base del PBO, así mismo, tomando como fundamento el PIM puede probarse el PBO. Ejemplos de algunas demostraciones usando PIM 1. Demuéstrese que para todo natural n, la suma de los primeros n términos es n (n + 1) 2
Demostración. 1+2+3+
+ n = n (n2+ 1)
Primeramente veri…camos el caso particular n = 1 , esto es 1=
1 (1 + 1) 2 = =1 2 2
Por tanto, P 1 es válida. Ahora, supongamos que P k es válida. Entonces la hipótesis de inducción es: 1+2+3+
+ k = k (k2+ 1)
Nuestro objetivo es demostrar la validez de P k+1 ; esto es 1+2+3+
(k + 1)[(k 1)[(k + 1) + 1] + (k (k + 1) = 2
Reescribiendo el primer término de la igualdad y aplicando la hipótesis inductiva; como sigue: (1 + 2 + 3 + + k) + k + 1 (1 + 2 + 3 + + k) + (k ( k + 1) (1 + 2 + 3 + + k) + (k ( k + 1) (1 + +3 + + k ) + (k ( k + 1) (1 + 2 + 3 + + k) + (k ( k + 1)
= = = =
k(k+1) + (k (k + 1) 2 k(k+1)+2(k +1)+2( k+1) 2 (K +1)(k +1)(k+2) 2 (k+1)[(k +1)[(k+1)+1] 2
Con lo que se demuestra que P k+1 es cierta.
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Agrupamos los primeros k términos hipótesis de inducción Suma de naturales P. Distributiva k + 2 = (k ( k + 1) + 1
2. Demuéstre la validez de la siguiente a…rmación: 2+4+6+
+ 2n 2n = n(n + 1)
Demostración. Para el caso particular n = 1 2 = 1(1 + 1) = 2
por tanto la proposición es verdadera para n = 1 Suponiendo la validez de la expresión para algún k 2 N. La hipótesis resulta 2+4+6+
Así, la tesis a probar es 2+4+6+
Luego (2 + 4 + 6 + (2 + 4 + 6 + (2 + 4 + 6 + (2 + 4 + 6 +
+ 2k 2k = k (k + 1)
+ 2 (k + 1) = (k (k + 1)[(k 1)[(k + 1) + 1]
+ 2k 2k ) + 2 (k + 1) + 2k 2k ) + 2 (k + 1) + 2k 2k ) + 2 (k + 1) + 2k 2k ) + 2 (k + 1)
k (k + 1) + 2 (k + 1) ( k + 1) 1) (k + 2) ( k + 1)[(k 1)[(k + 1) + 1]
= = =
Con lo que se demuestra que P k+1 es cierta.
Agrupamos los primeros k términos hipótesis de inducción P. Distributiva k + 2 = (k ( k + 1) + 1
1.3 Núme Números ros Natu Naturale raless y Axiom Axiomas as de Pean Peanoo Se de…ne el conjunto N de los números naturales como un conjunto que veri…ca los cinco axiomas siguientes: 1. Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es, 0
2N
aplicación siguiente siguiente,, sig : N ! N : 2. Existe la aplicación sig : N
! N; 8n 2 N;sig (n) 2 N
3. El cero no es imagen por la aplicació aplicaciónn siguiente: siguiente:
8n 2 N; 13
sig (n) = 0
6
4. La aplicación siguiente es inyectiva:
8n; m 2 N;
si sig (n) = sig (m) =
)n=m
5. Se veri…ca la inducción completa: Si S N y satisface
2 S 8n 2 S 0
) sig (n) 2 S
=
) =
S = N
A partir de estos cinco axiomas, y usando sistemáticamente la inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N. 1.3.1 De…nición. De…nimos la suma de números naturales como una aplicación + : N N ! N; de forma tal que (n; m) ! n + m y se cumple que: 1. 0 + m = m 2. sig( sig(n) + m = sig (n + m) Tomemos por ejemplo: n = 1 y m = 3 e ilustremos las dos condiciones anteriores. 0+3 = 3 sig (1) + 3 = 2 + 3 = 5 = sig (1 + 3) = sig (4)
1.3.2 De…nición. De…nimos la multiplicación de números naturales como una aplicación : N N ! N; de forma tal que (n; m) ! n m y se cumple que: 1. 0 m = 0 sig (n) = m n + m 2. m sig(
Tomemos por ejemplo: n = 2 y m = 3 e ilustremos las dos condiciones. 0 3 = 0 3 sig (2) = 3 2 + 3 = 6 + 3 = 9
1.3.1 Teorema. Se veri…can las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la suma de números naturales: (b + c) 1. Propiedad asociativa: 8a;b;c 2 N; (a + b) + c = a + (b
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2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; a + b = b + a 3. Propiedad cancelativa: 8a;b;c 2 N; a + c = b + c =) a = b Demostración: 1. Propiedad Propiedad Asociativa. Asociativa. 8a;b;c 2 N; (a + b) + c = a + (b (b + c) Haremos inducción sobre a: Si a = 0; 0 ; entonces (0 + b) + c = b + c = 0 + (b (b + c)
podemos asumir, la hipótesis de inducción (a + b) + c = a + (b (b + c)
Ahora debemos probar para sig( sig (a) = a + 1, esto es [sig (a) + b] + c = sig (a) + (b ( b + c)
) sig (a + b) + c def. de sig ) sig [(a [(a + b) + c] def. de sig ) sig [a + (b(b + c)] hip. inductiva ) sig (a) + (b ( b + c) def. de sig 2. Propiedad Conmutativa: 8a; b 2 N; a + b = b + a [sig (a) + b] + c
= = = =
Haremos inducción sobre a: Si a = 0 , entonces 0+b = b =0+ b
podemos asumir, la hipótesis de inducción a+b = b+a
Ahora debemos probar para sig( sig (a) = a + 1, esto es sig (a) + b = b + sig (a) sig (a) + b
= = = = =
) ) ) ) )
sig( sig (a + b) sig (b + a) (b + a) + 1 b + (a (a + 1) b + sig( sig(a)
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def. sig hip. inductiva def. sig prop. asociativa def. sig
3. Propiedad Propiedad Cancelativ Cancelativa: a: 8a;b;c 2 N; a + c = b + c =) a = b Haremos esta demostración haciendo inducción sobre c: Si c = 0; 0 ; entonces a+0= b+0=
)a=b
Asumimos la hipótesis inductiva
a+c= b+c=
)a=b
sig (c) = c + 1; 1; esto es Ahora debemos probar para sig( a + (c (c + 1) = b + (c (c + 1) =
)a=b
a + (c (c + 1) = b + (c (c + 1) = = = =
) ) ) )
(a + c) + 1 = (b ( b + c) + 1 sig (a + c) = sig (b + c) a+c =b+c a=c
prop. asociativa def. siguiente inyectividad de la aplicación sig hipótesis inductiva inductiva
1.3.2 Teorema. Se veri…can las propiedades asociativa, conmutativa, cancelativa y distributiva (respecto a la suma) para el producto de números naturales: 1. Propiedad asociativa: 8a;b;c 2 N; (ab) ab)c = a(bc) bc) 2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; ab = ba 3. Propiedad cancelativa: 8a;b;c 2 N; ac = bc =) a = b 4. Propiedad didtributiva: 8a;b;c 2 N; a (b + c) = ab + ac
1.4 1.4 Expon Exponen encia ciaci ción ón en N 1.4.1 De…nición. Para cualesquiera números naturales a y n se tiene que: i. an
: =a a a a n
ii.
a
| { z } veces
a0 = 1
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iii. sig(n) asig( = an a
1.4.1 Teorema. 8a; b 2 N y para cualquier m; n 2 N : 1.
am an = am+n
2.
(am )n = amn
3.
n
(ab) ab) = an bn
Demostración: 1. Vamos a probar la primera parte del teorema 1.4.1, esto es: am an = am+n i) Para n = 0; 0 ; la propiedad es válida puesto que: am+0 = am = am 1 = am a0 : ii) Ahora vamos a suponer que existen números a;m;n tales que no cumplen la propiedad, es decir: aman = 6 am+n Por lo dicho en i) n = 6 0 y por lo tanto debe existir n1 de forma que n1 +1 = n: Se sigue entonces que n > n 1 y am an1 = am+n1
6
Esto último porque n1 < n 1 + 1 = n y si am an = am+n ; entonces am an = +(n +1) am an +1 = (am an ) a1 = (am+n ) a1 = am+(n = am+n ; que contradice nuestro supuesto inicial. Aplicando el mismo razonamiento a n1 encontramos otro número natural n2 tal que 1
1
1
1
n > n1 > n 2
1
1
y am an = 6 am+n 1
1
Continuamos de este modo para cada ni ; encontramos que existe una sucesión in…nita decreciente decreciente n > n 1 > n 2 > n 3 > ::: > n i > ::: de números naturales. Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturales tiene elemento mínimo (PBO). Por lo tanto, am an = am+n para cualesquiera números naturales m; n y a:
17
2. Continuaremos con la segunda parte del teorema: (am )n = amn Particularmente, n = 0 tenemos la clara igualdad; (am )0 = 1 = a0 = am0 1 ; también veri…camos que; (am )1 = am = am1 en el caso n = 1; Así, asumimos que esto es cierto para algún número natural k; nuestra hipótesis inductiva es entonces; (am )k = amk +1 debemos probar que es cierta para sig (k) = k + 1; 1; i.e, (am )k = am(k+1) Procedemos como sigue: (am)
k+1
k am = (a ( am am am am) am = (a ( am ) am = amk am (k + 1) veces k veces
= am am am am
|
{z
} |
{z
}
esto por de…nición de potencia e hipótesis inductiva. Luego por la parte 1) del teorema, tenemos lo siguiente: km+m amk am = akm+ = am(k+1)
que es lo que queriamos demostrar, por tanto (am )n = amn es válido,
8a;m;n 2 N:
La tercera parte, para completar el teorema, queda como ejercicio.
18
1.5 Ejerci Ejercicios cios resue resueltos ltos sobre sobre axiom axiomas as de Peano Peano e InducInducción. 1. De…nimos la relación "menor o igual que" () de modo siguiente:
8a; b 2 b () 9x 2 N : a + x = b: Probar que () es relación de orden, es decir, es re‡exiva, antisimétrica y N; a
transitiva.
Demostración. i. Es re‡exiva: 8a 2 N; 9 0 2 N : a + 0 = 0 + a = a =) a a ii. Antisimétrica: 8a; b 2 N; a b ^ b a =) a = b Si a b =) 9 x 2 N : a + x = b; luego, Si b a =) 9 y 2 N : b + y = a; Escribamos ahora: a + x = b = b + (y (y + x) =) y = x = 0 y de aquí a = b iii. Transitiva: Si a b ^ b c =) a c: Si a b = si b c = x N : a+x = b y N : b + y = c; entonces c = b + y = (a ( a + x) + y = a + (x + y ) ; es decir existe el número (x + y) = z N; tal que c = a + z = a c:
)9 2 )
^
)9 2
2
2. Ningún número natural coincide con su siguiente: 8n 2 N; n = 6 sig (n) Demostración. 6 sig (n)g : Veamos que tal conjunto coincide con N: Sea A = fn 2 N : n =
0 2 A; puesto que por axioma 3 0 =6 sig (0) 8n 2 A; n =6 sig( sig(n) =) sig( sig(n) = 6 sig( sig(sig( sig(n)) , por axioma 4 (inyectividad sig(n) 2 A de la función siguiente). Luego sig( Y del axioma quinto, se sigue que A = N: 3. Todo número natural es estrictamente menor que su siguiente: 8a 2 N; a < sig (a)
Demostración. a
sig (a) = sig (0 + a) = sig (0)+a (0)+ a =) 9 sig (0) 2 N : a + sig (0) = sig (a) =) sig (a) ; por el ejercicio anterior tenemos que n =6 sig( sig (n); por tanto: a sig (a) ^ a = 6 sig( sig(a) =) a < sig (a)
19
4. Demuéstrese en N; a=b=
) a + n =6 b + n
6
Hacemos inducción sobre n y tenemos: a. n = 1 =) a + 1 = sig (a) = 6 a =6 b =6 sig (b) = b + 1; de aquí que a + 1 =6 b + 1: Luego nuestra hipótesis de inducción a = 6 b =) a + h =6 b + h; 8h 2 N b. a + h = 6 b + h =) a + sig (h) =6 b + sig (h) : Procedemos como sigue: a + h =6 b+h =
) sig (a + h) =6 sig (b + h) =) a + sig (h) =6 b + sig (h) :
Demostraciones por inducción. 1. Pruébese la validez de la siguiente suma: S n =
1 1 2
+
1
+
2 3
1 3 4
+ ::: +
1 n = n (n + 1) n+1
Casos particulares n = 1; 1; n = 2 S 1 =
S 2 =
1 1 2
+
1 2 3
=
1 (evidente ) 2
1 1 3+1 4 2 n 2 2 por otro lado tenemos; + = = = = = 2 6 6 6 3 n+1 2+1 3
Hipótesis inductiva, para n = k, S k =
1 1 2
+
1 2 3
+
1 3 4
donde k es un número natural.
+
+ k (k1+ 1) = k +k 1
Demostremos que, también es válida para n = k + 1; 1; i:e S k+1 =
k+1 k+2
En efecto, S k+1 =
1 1 2
+
1 2 3
+
1 3 4
+
1 1 + + k (k + 1) (k + 1) 1) (k + 2)
por consiguiente podemos escribir S k+1 = S k +
1 (k + 1) 1) (k + 2)
20
que por hipótesis de inducción reescribimos como S k+1 =
k 1 k2 + 2k 2k + 1 k+1 + = = k + 1 (k + 1) 1) (k + 2) (k + 1) 1) (k + 2) k+2
hemos demostrados ambas condiciones, ahora en virtud del PIM podemos a…rmar que la proposición anterior es verdadera. 2. Pruébese que todo número natural impar es de la forma P n = 2n 2n
1
Caso particular n = 1; 1; n = 2 P 1 = 2(1)
1= 1
P 2 = 2(2)
1= 3
lo que veri…ca la primera parte de la inducción. Hipótesis inductiva, para n = k, P k = 2k 2k
1
Demostremos, entonces que, la fórmula debe ser válida para (k + 1) ; esto es P k+1 = 2 (k + 1) 1 es impar. P k+1 = 2 (k + 1)
1 = 2k + 1
Para obtener el (k + 1)-ésimo número impar basta agregar 2 al k esimo esimo número impar: P k+1 = P k + 2
pero, por hipótesis, hipótesis, P k = 2k 2 k 1 de modo que P k+1 = (2k (2 k
como queríamos demostrar.
1) + 2 = 2k 2k + 1
3. Calcúlese la suma de los n primeros números impares.
21
Llamemos S n a la suma buscada: S n = 1 + 3 + 5 +
+ (2n (2n 1)
Tomenos sucesivos valores valores para n; hasta obtener información su…ciente para poder enunciar una hipótesis acertada, para posteriormente demostrarla por inducción. S 1 S 5 S 7
= 1; S 2 = 1 + 3 = 4; S 3 = 1 + 3 + 5 = 9; S 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16; = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 225; 5; S 6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36; = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
Resulta de manera casi natural que S 1 S 5
= 12 ; S 2 = 2 2 = 4; S 3 = 3 2 = 9; S 4 = 4 2 = 16; = 52 = 25; S 6 = 6 2 = 36 y S 7 = 7 2 = 49
Sobre esta base podemos suponer que S n = n2
Demostremos que esta hipótesis es verdadera De los cálculos anteriores resulta que la hipótesis es válida para n = 1: 1: Hipótesis inductiva, para n = k, S k+1 = (k ( k + 1)
2
Probaremos que también debe ser válida para n = k + 1; 1; En efecto, S k+1 = S k + (2k (2k + 1)
pero S k = k2 ; de modo que S k+1 = k 2 + (2k (2k + 1) = (k (k + 1)
como queriamos demostrar.
22
2
4. Demuéstrese la desigualdad de Bernoulli (1 + )n > 1 + n
donde > 0 y n es un número natural mayor que 1. Demostración. La desigualdad es válida para n = 2 puesto que: (1 + )2 (1 + )
2
= 1 + 2 + 2 y 2 > 0 de aquí se deduce que > 1 + 2 2
Hipótesis inductiva, para n = k; (1 + )k > 1 + k
( )
Demostremos entonces que la desigualdad también se cumple para n = k +1; +1 ; o sea, que (1 + )k
+1
> 1 + (k ( k + 1)
En efecto, por hipótesis, se tiene 1+ > 0
de modo que es válida la desigualdad (1 + )k+1 > (1 + k) k) (1 + )
que se obtiene multiplicando por (1 + ) ambos miembros de la igualdad () luego reescribiendo la última desigualdad tenemos (1 + )
k+1
> 1 + (k ( k + 1) + k2
descartando el sumando k2 de la derecha de la última desigualdad, obtenemos (1 + )k+1 > 1 + (k ( k + 1)
que es lo queríamos probar.
23
1.6 Mister Misterios ios de de los Núm Número eross Natura Naturales les.. Observe la siguiente relación numérica 100 = 1 3 + 23 + 33 + 43
Cien como la suma de los primero cuatro naturales elevados al cubo. Otra relación interesante es la del número de días del año, es decir, 365 102 + 112 + 122 = 365
Resulta ser la suma de los cuadrados de tres números consecutivos empezando con 10 10:: Pero también es
132 + 142 = 365
la suma de los cuadrados de los siguentes números. En otra forma 102 + 112 + 122 + 132 + 142 = 365 2
Ahora, observe si elevamos a la quinta potencia todas las cifras 54748 y sumamos el resultado 55 + 45 + 75 + 45 + 85 = 54 748 748
Y, no menos curiosa la siguiente relación 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 666
1.7 Ejercicios Ejercicios Propuestos Propuestos Sobre Números Números Enteros Enteros 1. Pruébese que, si a > b; entonces ac > bc 2. Demuéstre el principio de buen orden (PBO) 3. Demuéstr Demuéstree el teorema teorema 1.4.1 parte 3 4. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es igual a: 12 + 22 + 32 +
+ n2
=
n
X
i2
i=1
24
=
n (n + 1)(2n 1)(2n + 1) ; i:e 6 n (n + 1)(2n 1)(2n + 1) 6
5. El producto 1 2 3 n se indica por n! (se lee ene factorial ) : Donde 1! = 1; 1; 2! = 2; 2; 3! = 6; 6; 4! = 24: 24: Calcúlese S n = 1 1! + 2 2! + 3 3! +
+ n n!
y pruébese por inducción. 6. ¿Para qué valores naturales de n se cumple la desigualdad 2n > 2n + 1 ? Pruebe la desigualdad a partir del n encontrado 7. Demúestrese que
p 11 + p 12 + + p 1n > p n 2
2
2
2
para todo natural natural n > 1: 8. Demuéstrese Demuéstrese el teorema: La media geométrica de varios varios números naturales naturales no pasa de la media aritmética de los mismos, es decir, siendo a1 ; a2 ; : : : ; an unos número naturales, se tiene
p a1; a2; : : : ; an a1 + a2 + : : : + an n
n
9. Demuéstrese: n planos que pasan por un mismo punto, sin que contengan nunca tres una recta común, dividen el espacio en An = n (n
1) + 2
partes. 10. Demuéstrese que
(1 + i)n = 2 2 cos n
donde i =
p 1:
n n + i sin 4 4
11. Demuéstrese el Binomio de Newton. n
n
(a + b) =
X
k=0
25
n nk k a b k
2 Núme Números ros Enter Enteros os y Los Los núme números ros Primo Primoss "Dios "Dios puede puede que no jue juega ga a los dados con el universo, universo, pero pero algo extraño extraño está pasando con los números primos" Paul Erdös.
Desarroll Desarrollarem aremos os aquí las ideas más fundamen fundamentale taless de la aritméti aritmética: ca: la divisibilidad, el máximo común divisor, mínimo común múltiplo y la de…nición de número primo, entre otros. Además de tratar el teorema fundamental de la aritmética y algunas de sus aplicaciones en la matemática.
2.1 Divisib Divisibilid ilidad ad de Núme Números ros Ent Entero eross El conjunto Z=
f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3 g
es llamado el conjunto de números enteros; los números Z+
[ 0 = f0; 1; 2; 3; g
enteros no negativos; y los números Z+ = 1; 2; 3;
f
g
enteros positivos. Usualmente denotamos a los números enteros con letras latinas mínusculas a;b;
; n ;x;y;z
algunas veces para referirnos a una subclase de los enteros usamos la misma notación, así que, basta con indicar a cual hacemos referencia. (positivos, negativos, etc.) 2.1.1 De…nición de divisibilidad. Diremos que d divide a n y escribiremos djn; si n = cd para un c 2 Z: Diremos también que n es un múltiplo de d; que d es un divisor de n; o que d es un factor de n: Si d no divide a n escribiremos d - n: - n:
2.1.1 Teorema. La divisibilidad veri…ca las siguientes propiedades: a. njn (propiedad re‡exiva) re‡exiva) b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva) transitiva) 26
c. djn ^ djm; entonces dj (an + bm) bm) (propiedad lineal) d. djn () adjan y a = 6 0 (propiedad de multiplicación) e. 1jn
(1 divide a todos los enteros)
f. djn ^ djm =) djn + m g. djn + m ^ djn =) djm Demostración. a. njn (propiedad re‡exiva) re‡exiva) n=n
= = =
) ) )
n nn
=
re‡exividad de la igualdad identidad multiplicativa multiplicativa en Z por de…nición de divisibilidad
1 n
j
b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva) transitiva) dn= nm=
j ) j )
n m m m m
= = = = =
)
def. divisibilidad def. divisibilidad sustituyendo n = d c Prop. asociativa de la multiplicación es ley de composición interna def. divisibilidad
d c n c; (d c) c; d (c c; ) d c;; dm
j
c. djn ^ djm; entonces dj (an + bm) bm) (propiedad lineal) dn= dm=
j ) j )
n m an bm an + bm an + bm an + bm
= = = = = = =
)
d c d c; d c a d c; b d (c a) + d (c; b) d x+d y d (x + y ) d (an + bm) bm)
j
def. divisibilidad def. divisibilidad multiplicando por a ambos lados multiplicando por b ambos lados Sumando miembro a miembro + y son leyes de composición interna Prop. distributiva def. divisibilidad
d. djn () adjan y a = 6 0 (propiedad de multiplicación) dn
j
() () ()
n an ad an
j
= =
def. divisibilidad multiplicado ambos lados por a def. divisibilidad
d c (ad) ad) c
e. 1jn, es evidente, puesto que n = 1 n 27
f. djn ^ djm =) djn + m dn dm
j j
n m n+m n+m d n+m
= = = = =
) ) ) ) )
= = = =
def. divisibilidad def. divisibilidad sumando ambas igualdades c + c0 = z def. divisibilidad
d c d c0 d (c + c0 ) dz
j
g. djn + m ^ djn =) djm d n+m dn
j j
= = = = =
) ) ) ) )
n+m n (n + m) m dm
n
= = = =
j
d c d c00 d (c c00 ) dz 0
def. divisibilidad def. divisibilidad restando ambas igualdades c + c00 = z 0 def. divisibilidad
2.2 Máximo Máximo Común Común Diviso Divisorr 2.2.1 2.2.1 Te Teore orema. ma. El algoritmo algoritmo de la división división.. Dados Dados dos dos entero enteross cualesquiera n y m; con m > 0; existen los enteros únicos q y r tales que n = mq + mq + r; 0
r
Demostración. Sea A el conjunto de enteros no negativos dado por A= x:x=n
f
my; y 2 Z; x 0g
Es un conjunto no vacío de enteros no negativos, en virtud del PBO admite mínimo, que designaremos n mq: Entonces n = mq + r y r 0: Ahora demostraremos que r < m: Supongamos r m: Entonces 0 r m < r: Pero r m 2 A ya que r m = n m(q + q + 1): 1): Por lo tanto r m es un elemento de A menor que su elemento mínimo r. Esta contradicción demuestra que r < m: Los números q; r son únicos, ya que si existiesen otros con estas condiciones q ; r ; ; entonces mq + r = mq ; + r; ; de donde m jq q ; j = jr; rj : Luego si jq q ;j > 0; entonces jq ; q j 1; por lo que jr; r;j = m jq ; q ; j m () : Ahora tenemos que r 0; implica r 0 y así r r r < m luego r < m m + r ; =) m < r ; r: Entonces m < r ; r < m; es decir jr; rj < m; lo que constituye una contradicción para () ; lo cual completa la demostración. ;
28
2.2.1 De…nición. Un número entero positivo d se denomina divisor común de los números enteros positivos n1 ; n2; n3 ; ; ni si y solo si d es divisor de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni : Puesto que solamente existe un número …nito de divisores de cualquier entero diferente de cero, solamente existen un número …nito de divisores comunes de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ; luego el mayor de los divisores comunes se llama máximo común divisor (mcd) mcd) de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ; y se denota mcd (n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ) o simplemente (n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ) : Si el máximo común divisor es 1 decimos que los números son coprimos. 2.2.2 2.2.2 Teor eorema ema.. Algorit Algoritmo mo de Euclide Euclides. s. Se dan dos enteros positivos escribr ibree r0 = n; r1 = m; y aplicando n y m, tales que m - q . Se escr repetidamente el algoritmo de la división obteniendo un conjunto de restos r2 ; r3; ; rn ; rn+1 de…nidos sucesivamente por las relaciones r0 = r1 q 1 + r2 r1 = r2 q 2 + r3
0 < r 2 < r 1; 0 < r 3 < r 2;
.. .
.. .
rn2 = rn1 q n1 + rn rn1 = rn q n + rn+1
0 < r n < r n1 ; rn+1 = 0
Entonces rn ; es el último resto no nulo de este proceso, es mcd (n; m) ; el máximo máximo común común divisor divisor de n y m: Demostración. Existe un momento en que rn+1 = 0 puesto que los ri son decreciente y no negativos. La última relación, rn1 = rn q n demuestra que rn jrn1 : La anterior a la última prueba que rn jrn2 : Por inducción vemos que rn divide a cada ri : En particular rn jr1 = m y rn jr0 = n; luego rn es un divisor común de n y m: Ahora sea d otro divisor común de n y m: La de…nición de r2 prueba que djr2 : La relación que le sigue prueba que djr3 : Por inducción, d divide a cada ri luego djrn : Por lo tanto rn es el mcd requerido. 2.2.3 Teorema. Si d es el máximo común divisor de n y m, entonces existen los enteros a y b tales que d = mcd (n; m) = an + bm Demostración. Partiendo del teorema 2.2.2 tenemos n = mq 1 + r2 m = r2 q 2 + r3
0 < r 2 < r 1; 0 < r 3 < r 2;
.. .
.. .
rn2 = rn1 q n1 + rn rn1 = rn q n + rn+1
0 < r n < r n1 ; rn+1 = 0
29
Al considerar las ecuaciones en el orden propuesto, se obtiene r2 como combinación lineal de n y m : r2 = n
mq 1
sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene r3 como combinación lineal
de n y m :
r3 r3
= m = m
r2q 2 q 2 (n mq 1)
Si reiteramos este procedimiento, entonces en la penúltima ecuación obtenemos rn ; que es el mcd de n y m; como combinación lineal de estos números.
2.2.4 Teorema. El mcd posee las siguientes propiedades: a. (n; m) = (m; n) b. (n; (m; s)) = ((n; ((n; m) ; s) c. (cn; cn; cm) cm) = jcj (n; m) d. (n; 1) = (1; (1; n) = 1 e. Si djn y djm y d > 0; entonces = 1: 1: entonces ng ; m g
n m d; d
=
(n;m) n;m) d :
A demás, si (n; m) = g;
Demostración. a. Si d = (n; ( n; m), es claro que (n; m) = (m; ( m; n) : puesto que independientemente del orden d dividirá a n, m y podrá expresarse como combinación lineal de ellos. b. Si d = (n; (m; s)) ; llamemos d0 = (m; s) ; por el teorema 2.2.3 se tiene que d0 = mx + sy luego d = an + (mx + sy) sy) b: De aquí se sigue que d = [an + m (xb)] xb)] + s (yb) yb) ; eligiendo a = kx; se tiene d = [n (kx) kx) + m (xb)] xb)] + s (yb) yb) = [nk + mb] mb] x + s (yb) yb) : Finalmente ( n; m) = nk + mb; Finalmente tomando d1 = (n; se obtiene d = d1 (x) + s (yb) yb) ; por lo tanto d = (d ( d1 ; s) = ((n; ((n; m) ; s) c. Sea d = (n; m) y sea e = (cn;cm) cn;cm) : Queremos demostrar que e = jcj d: Escribimos d = nx + my; por el teorema teorema 2.2.3. Entonces Entonces tenemos tenemos cd = ncx + mcy () : Por lo tanto cdje puesto que cd divide a nc y mc: Además, la ecuación () prueba que ejcd puesto que ejnc y ejmc: Por lo tanto jej = jcdj ; ó e = jcj d
30
2.2.5 Teorema. Lema de Euclides. Si njmc y si (n; m) = 1; entonces njc Demostración. Puesto que (n; m) = 1 podemos escribir 1 = na + mb (por el teorema 2.2.3). Por consiguiente consiguiente c = nac + mbc: Pero njnac y njmbc; luego njc (por teorema 2.1.1.f) 2.2.1 Ecuaciones Ecuaciones Lineales Lineales Diofánticas. Diofánticas. Una ecuación lineal diofántica es una ecuación de la forma na + mb = c
donde n; m y c son números enteros y a; b variables que recorren todo Z: 2.2.6 Teorema. Si (n; m) jc entonces la ecuación lineal diofántica na + mb = c siempre tiene solución entera. Demostración. Supongamos que la ecuación na + mb = c tiene como solución a1 y b1 y que d = (n; ( n; m) no divide a c y sean a0 y b0 una solución para na + mb = c:
De esta manera tenemos na1 + mb1 = c na0 + mb0 = d
Por el algoritmo de la división tenemos c = qd + r con 0 < r < d puesto que d no divide a c: Entonces na1 + mb1
= = =
qd + r q ( q (na0 + mb0 ) + r n (qa0 ) + m (qb 0 ) + r
y por tanto n (a1
qa0) + m (b1 qb0) = r
Lo anterior es una contradicción, puesto que hemos obtenido una combinación lineal de n y m y 0 < r < d; esto contradice que d era la combinación lineal mínima (es decir, d no era el máximo común común divisor). divisor). La contradicci contradicción ón suirgió de suponer que na + mb = c podía tener solución aunque d - c; por lo que hemos demostrado el teorema.
31
2.2.7 Teorema. La ecuación na + mb = c tiene solución si y sólo si d = (n; ( n; m) divide a c: Además, las soluciones son los números de la forma. a = a0 +
mt ; d
b = b0
ntd
donde a0 y b0 son soluciones particulares y t es cualquier entero. Ejemplo. Encontrar los valores x y y que satisfaga 243x 243 x + 198y 198y = 9 ( )
(243; 198) divida Primeramente veri…camos que tenga solución, esto es que (243; (243; 198) = 9 () tiene solución. a 9: Como (243; 243x + 198y 243x 198y = 9 27 27x x + 22y 22y = 1 ( )
dividiendo por 9 obtenemos que es equivalente a ()
Una solución particular para () es x = 9 y y = 11 11;; puesto que, 27 (9) + 22 (11) = 1: 1: Así la soluciones para () son x = 9 + 22t; 22 t;
y=
11 27 27tt En particular para t = 1 tenemos; x = 31; 31 ; y = 38 que veri…can 243(31) + 198(38) = 9: 9: 2.3 Mínimo Mínimo Común Común Mútiplo Mútiplo 2.3.1 De…nición. Los números enteros positivos p ositivos n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ; tienen un múltiplo común b si nj jb para j = 1; 2; 3; : : : ; i : (Nótese que existen múltiplos comunes; por ejemplo, el producto n1 n2 n3 ni ) El menor de los múltiplos comunes positivos recibe el nombre de mínimo común múltiplo y se denota por [n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ] : 2.3.1 Proposición: El mínimo común multiplo cumple con las siguientes propiedades. a. njm; si [n; m] = jmj b. c > 0 implica [cn; cn; cm] cm] = c [n; m] c. d > 0; djn y djm implica
n m d; d
=
[n;m] n;m] d
32
2.3.1 Teorema. Si b es cualquier múltiplo común de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ; entonces [n1 ; n2 ; n3; ; ni ] jb: Esto equivale a decir que si h denota a [n1 ; n2 ; n3 ; ; ni ] ; entonces 0; h; 2h 3h; ::: ::: incluyen todos los múltiplos comunes de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni : Demostración. Sea b cualquier múltiplo común, divídase b entre h. Por el teorema 2.2.1, existen un cociente q y un residuo r, tales que, b = qh + r; 0 r < h: Debe probarse que r = 0: Si r = 6 0 se argumenta del modo siguiente. Para cada i = 1; 1 ; 2;:::;j se sabe que ni jh y ni jb; de modo que ni jr: Así que, r es un múltiplo común positivo de n1 ; n2 ; n3 ; ; ni contrario al hecho de que h es el menor positivo positivo de todos los múltiplos múltiplos comunes. comunes. Por tanto tanto debe ser r = 0 y h b:
j
2.3.2 Teorema. Si c > 0, [cn; cn; cm] cm] = c [n; m] : También [n; m] (n; m) = jn mj Demostración. Recordemos que, si ajb ^ bja =) a = b: Ya que [cn;cm] cn;cm] es un múltiplo de cn; con mayor razón es múltiplo de c y por tanto, puede escribirse en la forma ch1 : Denotando [n; m] por h2 ; se observa que njh2 ; mjh2 ; cnjch2 y cmjch2 ;entonces, ch1 jch2 : De donde h1 jh2 : Por otra parte, cnjch1 ; cmjch1 ; njh1 ; mjh1 y así h2 jh1 : Se concluye que h1 = h2 y así se establece la primera parte del teorema. Empecemos con el caso especial donde (n; m) = 1: Ahora bien, [n; m] es un múltiplo de n, digamos cn: Entonces mjcn y (n; m) = 1; así por el teorema 2.2.5, mjn: De aquí que m c;mn cn: Pero nm; siendo un múltiplo común positivo de n y m, no puede ser menor que el mínimo común múltiplo y, por tanto, nm = mn = [n; [ n; m] : Regresemos al caso general, donde (n; m) = g > 1; se tiene ng ; m = 1: Al g aplicar el resultado del párrafo precedente, se obtiene
n m ; g g
n m ; g g
=
n m g g
Al multiplicarse por g2 y usando el teorema 2.2.4.e y la proposición 2.3.1, así como la primera parte del presente teorema, se obtiene [n; m] (n; m) = nm
2.4 2.4 Núme Número ross Prim Primos os 2.4.1 De…nición. Un entero n se llama primo si n > 1 y si los únicos divisores positivos de n son 1 y n: Si n > 1 y no es primo, entonces n se llama compuesto. Ejemplos: Los números primos menores que 100 son: 33
2; 3; 5; 7; 11 11;; 13 13;; 17 17;; 19 19;; 23 23;; 29 29;; 31 31;; 37 37;; 41 41;; 43 43;; 47 47;; 53 53;; 59 59;; 61 61;; 67 67;; 71 71;; 73 73;; 79 79;; 83 83;; 89 y 97.
2.4.1 Teorema. Cada entero n > 1 ó es primo o es producto de primos. Demostración. Sea n > 1: Supongamos que no es divisible por ningún primo. primo. En particular, particular, n mismo no puede ser primo pues sería divisible por si mismo. Como n no es primo, tiene algún divisor positivo d1 distinto de 1 y n; es decir 1 < d 1 < n . Pero d1 no puede ser primo por que dividiría a n: Entonces existe un d2 que divide a d1 tal que 1 < d2 < d1 < n: Como d2 no puede ser primo porque divide a n; repetimos el argumento con d2 para obtener d3 tal que 1 < d 3 < d 2 < d 1 < n: Como d3 no puede ser primo existe un d4 que divide a d3 y así sucesivamente. Esto lleva a una contradicción pues no es posible continuar inde…nidamente este proceso ya que entre 1 y n sólo hay un número …nito de términos. Por tanto, n debe ser divisible entre algún primo. 2.4.2 Teorema. (Euclides)Existen in…nitos números primos. Demostración. Sea n un número número natural arbitrar arbitrario. io. Sabemos Sabemos que n y n + 1 son números enteros positivos consecutivos, deben ser coprimos. Entonces el número N 2 = n(n +1) debe tener, como mínimo, dos factores primos distintos. Análogamente, los números enteros n(n + 1) y n(n + 1 ) + 1; 1; son consecutivos y, por tanto, coprimos . En consecuencia, el número N 3 = n(n + 1) [n(n + 1) + 1]
debe tener, como mínimo, tres factores factores primos primos diferentes. diferentes. Este proceso puede ser continuado inde…nidamente, así que el conjunto de los números primos es in…nito. 2.4.3 Si un primo p no divide a n; entonces ( p;n) p;n) = 1
Demostración. Sea d = ( p;n ( p;n)) : Entonces dj p; p; como p es primo se tiene que ó d = 1 ó d = p: Pero djn luego por hipótesis debe ser d = 6 p: En consecuencia d = 1: 1:
2.4.4 Teorema. Si un primo p divide a nm; entonces pjn ó pjm: En general, si un primo p divide a un producto n1 n2 n3 ni ; entonces p divide a uno, por lo menos, de los factores. Demostración. Supongamos que pjnm y p - n: Veremos que pjm: Por el teorema 2.4.3, ( p;n) p;n) = 1; luego por el lema de Euclides (teorema 2.2.5), pjm: La generalización para el producto n1 n2 n3 ni queda a modo de ejercicio. 34
2.4.5 Teorema. Existen arbitrariamente grandes vacíos en la serie de los primos. Dicho de otra manera, dado cualquier entero k; existen k enteros compuestos consecutivos. consecutivos. Demostración. Recordemos el factorial de un número. Sea k un entero el factorial de k ó k! es: k! = 1 2 3 k Considérense los enteros (k + 1)! + 2; 2 ; (k + 1)! + 3; 3;
; (k + 1)! + k; (k + 1)! + k + 1:1: Cada uno de estos es compuesto porque j divide a (k + 1)!+ j 1)!+ j si 2 j k +1: +1: Los números primos están espaciados irregularmente, tal y como lo sugiere el último teorema. teorema. Si denotamos denotamos el número número de primos que no excede excede a x por (x) ; podría preguntarse preguntarse acerca acerca de la naturaleza naturaleza de esta función. Uno de los resultados más impresionantes de la teoría avanzada de números, es (x)log x
=1 lim !1 x Este resultado notable se llama el teorema del número primo, y su demostración se la debemos a J. Hadamard y C.J de la Vallée Poussin quienes independientemente lo demostraron en 1896. x
2.5 El teore teorema ma Fund Fundame ament ntal al de la Aritméti Aritmética. ca. 2.5.1 Teorema fundamental de la aritmética. Cada entero n > 1 se puede representar como producto de factores primos en forma única, salvo el orden de los factores. Demostración. Usaremos la inducción sobre n: El teorema es verdadero 2 : Suponemos, entonces, que es verdadero para todo entero mayor que para n = 2: 1 y menor que n: Probaremos que es verdadero también para n: Si n es primo no hay nada que probar. probar. Por lo tanto tanto suponemos que n es compuesto y que admite dos descomposiciones, que son n = p1 p2
pi = q 1q 2 q j
( )
Queremos demostrar que i = j y que cada p es igual a algún q: Dado que p1 divide al producto q 1 q 2 q j debe dividir a uno, por lo menos, de los factores. Ordenaremos los q 1 q 2 q j de forma que p1 jq 1 : Entonces p1 = q 1 ya que p1 y q 1 son primos. En () podemos dividir dividir por p1 obteniendo n = p2 p1
pi = q 2 q j 35
Si i > 1 ó j > 1; entonces 1 < pn < n: La hipótesis de inducción nos dice que las dos descomposiciones de pn son idénticas, prescindiendo del orden de los factores. Por consiguiente i = j las descomposiciones de () son también idénticas, si prescindimos del orden de los factores. Esto completa la demostración. 1
1
En la descomposición de un número n; un cierto primo p puede aparecer más de una vez. Si los factores primos distintos de n son p1; p2 p pr y si pi aparece i veces como factor, escribiremos n = p11
pj
j
o más compactamente j
n=
Y
pii
i=1
Si la descomposición en factores primos de n es p1 los divisores de n son los números de la forma
1
d = p1 1 p2 2
Por ejemplo.
pj , entonces todos j
pj ; 0 1 1; 0 2 2; : : : ; 0 j j j
15925 = 52 72 13 1800 = 23 32 52
2.5.1 De…nición. Por [x] denotamos la función parte entera de x. Se de…ne para todos los valores reales de x y representa el entero mayor, no superior superior a x: [x] : R
! Z
Ejemplos. [5] = 5;
[2 :3] = 2;
[ 3:25] =
4
2.5.2 Teorema. El exponente, con el que un número primo p …gura en el producto n!; es igual a
n n n + 2 + 3 + p p p
36
+
n pi
Demostración. En efecto, el número de factores en el producto n! que son múltiplos múltiplos de p; es igual a pn ; entre ellos, múltiplos de p2 hay pn ; entre estos
hi
hi 2
hi
últimos, múltiplos de p3 hay pn ; etc. La suma de los números números indicados indicados da precisamente el exponente buscado, puesto que cada factor en el producto n! que sea múltiplo de pm ; pero no de pm+1 ; se cuenta del modo indicado m veces, como múltiplo de p; p2 ; p3 ; : : : y, …nalmente, de pm : 3
Ejemplo. El exponente con el que el número 5 …gura en el producto producto 35! es igual a
35 35 + =7+1=8 5 25
2.6 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos sobre divisibilidad divisibilidad y factores factores priprimos. 1. Probar que cualquiera que sea n 2 N 11j32n+2 + 26n+1 Solución. Procederemos haciendo inducción en n: Para n = 1; 32(1)+2 + 26(1)+1 = 209 = 19 11 Hipótesis inductiva inductiva 11j32k+2 +26k+1 2(k+1)+2 6(k+1)+1 Tésis de inducción 11j32(k +26(k 6(k+1)+1 2(k+1)+2 32(k +26(k 6k+1 6 2k+2 2 3 3 +2 2 32k+2 32 +26k+1 26 +0 32k+2 32 +26k+1 26 +32 26k+1 32 26k+1 32k+2 32 +32 26k+1 + 26k+1 26 32 26k+1 32 32k+2 + 26k+1 +26k+1 26 32 32 32k+2 +26k+1 +26k+1 55 2(k 2(k+1)+2 6(k+1)+1 ) 11 3 +26(k
j
reescribiendo la tésis elemento neutro de (Z; +)
j j ^ j 0 = 32 26k+1
32 26k+1
Asociatividad Prop. distributiva
11 32 32k+2 + 26k+1 hipótesis y 55 = 11 5 11 32 32k+2 + 26k+1 11 26k+1 55
luego divide a suma
2. Probar que 34n+2 +2 43n+1 es múltiplo de 17 Solución. Procederemos haciendo inducción en n: Para n = 1; 34(1)+2 + 2 43(1)+1 = 1241 = 73 17 Múltiplo de 17 Hipótesis inductiva inductiva 17j 34k+2 + 2 43k+1 4(k+1)+2 3(k+1)+1 Tesis de inducción 17j 34(k + 2 43(k 37
3(k+1)+1 4(k+1)+2 34(k +2 43(k = 3 4k+2 34 +2 43k+1 43 (reescribiendo la tesis ) 34k+2 34 +2 43k+1 43 +0 elemento neutro de (Z; +) ; 0 = 2 34 43k+1 2 34 43k+1 34k+2 34 + 2 34 43k+1 + 2 43k+1 43 2 34 43k+1 34 34k+2 +2 43k+1 + 2 43k+1 43 34 (Prop. asociativa y distributiva ) 34 34k+2 +2 43k+1 +2 43k+1 ( 17) (17 divide a ambos sumandos, luego 17 divide a la suma. ) 4(k+1)+2 3(k+1)+1 ) 17 34(k + 2 43(k
j
3. Probar que, si 2n 1 es primo, entonces n es primo. Demostración. Procederemos por contrarrecíproco, esto es: Si n es compuesto, entonces 2n 1 es compuesto. Como n es compuesto entonces n = n0 p; además 2n 1 = 2n 1n ; luego podemos factorizar como sigue: n n n n p) p) 2n 1n = 2(n p) 1(n p) = (2 p ) (1 p) = (2 p ) (1 p ) y apartir de esto último tenemos n n n 1 n 1 p n 2 p 2 n 1 (2 p ) (1 p ) = (2 p 1 p ) (2 p ) + (2 p ) (1 ) + (2 p ) (1 ) + + (2 p ) + (1 p ) 0
0
0
0
h
0
0
0
0
0
0
0
0
luego el factor (2 p 1 p ) > 1; de aquí se deduce que 2n 1 es compuesto porque admite dicha descomposición.
i
4. Sean a;b;c tres números enteros positivos tales que 2a + 2b = 2 c : Demostrar que a = b: Demostración. Tómese 2c y apliquemos la de…nición de potencia así: 2c = (2 2 2
2) = 2 (2 2 2
c veces
Como el factor (2 2 2 kveces
k veces
2) es par, entonces puede expresarse así:
k veces
k veces
c
2)
| { z } | { z } | { z } 0 z } | { z } | {1 B C z } | { z } | { CA | { z } B@
2 = (2 2 2
2) = 2
(2 2 2 2
2)
(2 2 2 + 2
k veces
2)
k veces
= (2 2 2
2)+(2 2 2
c veces
luego, queda demostrado que la única forma en que se puede escribir una potencia de dos como suma de potencias de dos, es que el exponente de los sumandos sea el mismo, de aquí que a = b: En general, este resultado puede escribirse como: 2c1 + 2c1 = 2 c Por ejemplo. 24 + 24 = 16 + 16 = 32 = 2 5
38
2)
5. Probar que
21n 21n+4 14n 14n+3
Solución. Si
es irreducible para todo n:
21n 21n+4 14n 14n+3
es irreducible, esto signi…ca que mcd 21 21n n + 4 y 14 14n n+3 es1: Procediendo según teorema 2.2.2 tenemos 21 21n n+4 14 14n n+3
(14n + 3) (1) + (7 (7 n + 1) (7n + 1) (2) + 1
= =
Así el último resto distinto de cero es 1; por tanto (21n (21n + 4; 4; 14 14n n + 3) = 1 y 21n 21n+4 de aquí se sigue que 14n 14n+3 sea irreducible. 6. Determinar el máximo común divisor de 210 y 495, y expresarlo como una combinación lineal de ambos. Solución. Usando el algoritmo de Euclides. 495 210 75 60
= = = =
2 210 + 75 2 75 + 60 1 60 + 15 1155 4 + 0
Entonces el último resto distinto de cero es el mcd; (210; (210; 495) = 15: 15: Ahora: 15 60 75
= = =
75 (1 60) 210 (2 75) 495 (2 210)
A partir de esto podemos escribir las siguientes igualdades: 15
= = = = = =
[495 (2 210)] [210 (2 75)] 495 + ( 2 210 210) + 2 75 495 210 (2 + 1) + 2 (495 (2 210)) 495 3 210 + 2 495 4 210 (495 + 2 495) + ( 3 210 4 210) 3 ( 49 495) 7 (210) (210)
7. ¿Existen enteros a; b tal que sumados den 500 y (a; b) = 7 ? Solución. No. Si (a; b) = 7; entonces 7ja y 7jb; de aquí que 7ja + b: Pero
7 - 500 - 500
39
8. ¿Los números n y n + 1 tiene algún divisor común distinto de 1? Solución. No. Algún divisor común de n y n +1 debe dividir a (n + 1) n = 1: Así dos números consecutivos siempre son coprimos.
9. Demuestre que 4n + n4 no es primo si n > 1 Demostración. Si n es par, es claro que 4n + n4 es par y mayor que 2, luego no es primo. Para el caso n impar utilizamos la identidad de Sophie Germain. 4
4
2
2
x +y = x +y +
p 2
2xy
2
x +y
2
2 2k
p 2
+ n4 = 2n + n2 + 2k+1 n
2xy p 2 2k 4 ; así que podemos p odemos
Entonces, si n = 2k 2 k + 1; 4n = 4 2k+1 = 4 2k 4 = escribir p 4 4n + n4 =
2
2
2n + n2
2k+1 n
Comprobemos …nalmente que el menor de los dos factores anteriores no es igual a 1.
2n + n2 2k+1 n = 22k+1 + (2k (2k + 1)2 2k+1 (2k (2k + 1) = 2 22k 2 2 22k (2k (2k + 1) + (2k (2 k + 1) = 2k (2k (2k + 1) + 22k 5 pues k > 0:
2
10. Hallar todos los números naturales n tales que n2 + 1; 1; n2 + 3; 3; n2 + 7; 7; n2 + 9; 9; n2 + 15
sean todos primos. Solución. N 1 = n2 + 1 N 2 = n2 + 3 N 3 = n2 + 7 N 4 = n2 + 9 N 5 = n2 + 15 Veamos que el único natural válido es n = 2 Claramente n = 1 no es solución, solución, pues sólo sería primo N 1 :
Si n = 2; 2 ; N 1 = 5; 5 ; N 2 = 7; 7 ; N 3 = 11; 11 ; N 4 = 13; 13 ; N 5 = 19 que son todos primos. Evidentemente, si los cinco números primos han de ser primos n ha de ser par, pues todos los primos mayores que dos son impares. Examinemos los números pares n > 2 elevados al cuadrado: múltiplo Si n acaba en 2, n2 acaba en 4 con lo que N 1 acaba en 5; siendo múltiplo de 5. N 1 no es primo.
Si n acaba en 4, n2 acaba en 6 con lo que N 4 acaba en 5, siendo múltiplo de 5. N 4 no es primo
Si n acaba en 6, n2 acaba en 6 con lo N 4 acaba en 5, siendo múltiplo de 5. N 4 no es primo.
40
Si n acaba en 8, n2 acaba en 4 con lo que N 1 acaba en 5, siendo múltiplo de 5. N 1 no es primo
Si n acaba en 0, n2 acaba en 0 con lo que N 5 acaba en 5, siendo múltiplo de 5. N 5 no es primo.
Por tanto, sea cual sea el valor par de n > 2 siempre encontraremos al menos uno de los 5 números múltiplo de 5. 11. (divisibilidad por 2 ) El entero N es divisible por 2 si el dígito de las unidades es par. Dicho en otras palabras para un entero de cuatro cifras N = abcd es divisible por 2 si d es divisible por 2;es decir 2d=
j ) 2jN
Solución. Aunque la prueba la haremos para números de 4 cifras, tiene validez general. Escribamos el número N = abcd en la forma: N = 1000a 1000a + 100b 100b + 10c 10c + d
Es claro que 2 es divisor de 10 10;; 100 y 1000, por teorema 2.1.1.c se tiene que 2j (1000a (1000a + 100b 100b + 10c 10c) y por hipótesis 2jd, entonces por el mismo resultado se (1000a + 100b 100b + 10c 10c + d) ; es decir 2jN sigue que, 2j (1000a 12. Encontrar todos los divisores de 756 756:: Solución. Del teorema 2.5.1 tenemos que 756 = 22 33 7; de aquí tenemos que los divisores sean: 20 20 20 20 20
300 701 = 1 31 70 = 7 31 7 = 3 32 70= 21 3 7 =9
20 20 20 21 21
323 70= 63 33 7 = 27 30 70= 189 30 7 = 2 3 7 = 14
21 21 21 21 21
311 701 = 6 32 70 = 42 32 7 = 18 33 70= 126 3 7 = 54
41
21 22 22 22 22
330 70= 378 30 7 = 4 31 70= 28 31 7 = 12 3 7 = 84
22 22 22 22
322 70 = 36 33 70= 252 33 7 = 108 3 7 = 756
2.7 ¿Dónde ¿Dónde está están n los ent enter eros os y los los primo primos? s? Los números primos y la naturaleza.
No solo los seres humanos utilizamos los números primos para protegernos, existe una especie de cigarra que se vio obligada a protegerse de un cierto parásito, y para ello no encontró mejor herramienta que los números primos. El siguiente ejemplo nos lo presenta Simon Singh en su libro
“El enigma de
Fermat”
Las cigarras periódicas, p eriódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tiene el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente los zumos de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra tierra en gran número número e invaden invaden temporalmen temporalmente te nuestro nuestro paisaje. Unas semanas semanas después se aparean, aparean, ponen p onen los huevos huevos y se mueren. mueren. La cuestión cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿por qué el ciclo vital de las cigarras es tan largo? ¿Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son números primos dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida. Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo de vital que sea divisible divisible por 2, si no el parásito parásito y la cigarra cigarra coincidirán coincidirán regularmen regularmente. te. De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de tres años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital que sea divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir. Al …n, si quiere evitar encontrarse con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número número primo de años. Como nada dividirá dividirá al 17, la Magicica Magicicada da septendecim septendecim 42
raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años solo se encontrara cada 34, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años por ejemplo, solo se encontrarán cada 272 años. El parásito, en su lucha por sobrevivir, solo tiene dos ciclos vitales que incrementan las frecuencias de las coincidencias: El ciclo anual o el mismo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las primeras 16 apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto signi…caría que, en algún estadio evolutivo tivo de su vida, el parásito parásito y la cigarra cigarra no coincidir coincidirían ían durante durante ¡272 años! En cualquier caso el largo ciclo vital de las cigarras y el número primo de años, las protege. ¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca! nunca! En la lucha lucha por coincidir coincidir con la cigarra, cigarra, el parásito probableme probablemente nte ha continuado alargando su ciclo vital hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta de coincidencia coincidencia con la cigarra cigarra lo habrá llevado llevado a la extinción. extinción. El resultado resultado es una cigarra con el ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace falta porque su parásito ya no existe. Algo sobre la distribución de los primos.
Cuenta la leyenda que el matemático y físico polaco Stanislaw Marcin Ulam (1909-1981) (quien trabajó en el proyecto Manhattan), asistía a una aburrida conferencia en 1963, entonces garabateando en una hoja de papel, dispuso la serie de números naturales en forma de una espiral; empezando con el 1, a la derecha el 2, hacia arriba el 3, a la izquierda de este el 4, más a la izquierda el 5, luego hacia abajo el 6, etc. Como se muestra en la …gura.
43
Posteriormente destacó en este arreglo a los números primos y observó cierto patrón, que cumplían los primos en la espiral, estos tienden a aparecer en diagonales alternas y en las que no hay primos están los números pares.
44
2.8 Ejerci Ejercicios cios Propue Propuesto stoss 1. Determínese cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas y cuáles falsa. a. Si un número es divisible entre 6, es divisible entre 3___ b. Si un número es divisible entre 3, es divisible entre 6___ c. Si un número es divisible entre 2 y divisible entre 3, es divisible entre 6___ d. Si un entero no es divisible entre entre 6, no es divisible entre 9___ e. Si un número es divisible entre 6, no es divisible entre 9___ 2. Demuéstrese que la suma de los cubos de tres números naturales sucesivos es divisible por 9. 3. Pruébese que la suma 11n+2 + 122n+1 es divisible por 133 cualquiera que sea el número entero n 0 4. Pruébese las siguientes a…rmaciones i. 6j2n3 + 3n 3n2 + n ii. 169j33n+3 26 26n n 27 iii. 72n+1 48 48n n 7 es divisible por 288 iv. 3 52n+1 23n+1 es divisible por 17 5. Demuéstrese la regla de divisibilidad por 3. El entero N es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible divisible por 3. Dicho Dicho de otra manera para un entero de cuatro cifras N = abcd es divisible por 3; si a + b + c + d es divisible por 3, es decir 3 (a + b + c + d)
j
) 3jN
6. Establézcase una demostración o un contraejemplo para cada una de las a…rmaciones siguientes. i. Si an jbn =) ajb ii. Si nn jmm =) njm iii. Si an j2bn y n > 1 =) ajb 7. Pruébese los incisos d y e del teorema 2.2.4. 8. Pruébese la proposición 2.3.1 45
9. Pruébese el teorema 2.2.7 10. Encuéntrese el mcd de 576 y 73 y números x y y tales que 576 576x x + 73y 73 y = (576; (576; 73)
11. Hállese Hállese dos números números sabiendo sabiendo que su máximo común común divisor divisor es 120 y la diferencia de sus cuadrados 345600 12. Hállese dos números naturales sabiendo que su producto es 3024 y su mínimo común múltiplo 504. 13. Determínese dos números naturales cuyo máximo común divisor es 18, sabiendo que uno de ellos tiene 21 divisores y el otro tiene 10. 14. Si dos números son coprimos y su mínimo común múltiplo es 22829, hállese dichos números. 15. Pruébese que no existen los números x y y que satisfagan x + y = 100 y (x; y ) = 3
16. Encuéntrese los valores de x y y (si existen) que satisfagan. i. 71 71x x 50 50yy = 1 ii. 43 43x x + 64y 64y = 1 iii. 93 93x x 81 81yy = 3 17. Dados dos números primos distintos p y q , encuéntrese el número de diferentes divisores positivos de: a. pq b. p2 q c. p2 q 2
d. pn q m
18. Encuéntrese el menor número natural n tal que n! es divisible por 990 19. Pruébese que si un número tiene un número impar de divisores, entonces este es un cuadrado perfecto.
p
20. Probar que si n es compuesto tiene un divisor primo que satisface p n
46
3 Núme Número ross de Fibon Fibonac acci ci Es como preguntar preguntar por por qué la novena sinfonía de Beethoven Beethoven es bella. bella. Si no ve que es así, nadie se lo puede puede explicar. explicar. Yo sé que los números números son bellos. Si no lo son nada lo es. Paul Erdös.
El conjunto de los números de Fibonacci es muy particular por encontrarse vinculado a muchas de las actividades del hombre, sobre todo aquellas que implican armonía. En este capítulo estudiaremos las principales caraterísticas caraterísticas aritmétic aritméticas as de estos números números como: la divisibil divisibilidad, idad, máximo común divisor, paridad entre otras. También mostraremos algunas de sus aplicaciones.
3.1 3.1 La Suc Suces esió ión n de Fibon Fibonac acci ci Existe Existe un conjun conjunto to de númer números os muy muy partic particula ularr y con much muchaa bellez belleza, a, estos estos números son conocidos como números de Fibonacci en honor a su descubridor Leonardo de Pisa, alias Fibonacci (hijo de Bonacci). Leonardo hizo muchos aportes notables a las matemáticas especialmente en la aritmética, alrededor del año 1202 escribió el libro sobre el ábaco. Este era una inmensa obra compiladora de los conocimientos matemáticos de los pueblos que vivían en las costas del Mediterráneo. En este libro se encuentra un problema que reveló el canon de la naturaleza: “¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una pareja inicial?” Probablemete alguien alguien observó la naturaleza naturaleza reproductoria de los conejos y obtuvo las siguientes premisas: Cada pareja produce otra al cabo de un mes y una pareja inicial de conejos puede parir a los dos meses de haber nacido. De esto y con el supuesto de un área cercada, podemos deducir que: A partir de una pareja de conejos bebés en el primer y segundo mes tendríamos un par de conejos, pues la hembra será adulta hasta el segundo mes, donde podrá reproducirse; tendría un par de bebés en el tercer mes, así serán dos pares de conejos, luego en el cuarto mes los bebés habrán crecido y reproducido y tendremos tres parejas de conejos; los originales y sus dos crías y las primeras primeras crías de estos. estos. Siguiendo Siguiendo este razonamie razonamiento nto encontram encontramos os que para el duodécimo mes tendremos 377 parejas de conejos. Así encontramos un conjunto de números enteros muy particulares estos son: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 13;; 21 21;; 34 : : : esta se conoce como sucesión de Fibonacci donde cada
término es la suma de los dos anteriores, así esta es una sucesión recurrente. 47
Pasemos ahora de los conejos a los números y consideremos la sucesión numérica 3.1.1 De…nición. La sucesión (vn ) ; llamada de Fibonacci, cuyos términos son 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 13;; 21 21;; 34 : : : y en la cual cada término es la suma de los dos inmediatos anteriores, está de…nida por vn = vn1 + vn2 ; con v1 = v2 = 1
Los números de Fibonacci poseen una serie de propiedades interesantes e importantes, las cuales veremos en este capítulo. Enpecemos calculando la suma de los n primeros números de Fibonacci. Así podemos enunciar el teorema siguiente 3.1.1 Teorema. La suma de los primeros n números números de Fibonacci Fibonacci esta dada por n
X
vi = v1 + v2 +
i=1
+ vn = vn+2 1
Demostración. Claramente, tenemos de la de…nición de la sucesión de Fibonacci que v1 v2
= =
v3 v4
vn
= =
vn+1 vn+2
.. . vn1
.. .
v2 v3 .. .
vn vn+1
Sumando miembro a miembro estas igualdades, encontramos v1 + v2 +
+ vn = v3 v2 + v4 v3 + vn+1 vn + vn+2 vn+1
v1 + v2 + n
Por tanto,
X i=1
+ vn = vn+2 1
vi = v1 + v2 +
(recordando que v2 = 1)
+ vn = vn+2 1
Hemos de…nido los números de Fibonacci mediante la ecuación recurrente, es decir, empleando la inducción según el índice. Pero resulta que todo número de Fibonacci puede de…nirse de un modo más directo, esto es, como función de su índice. 48
Con este …n, observemos el comportamiento de las distintas sucesiones v1 ; v2 ; : : : ; vn ; : : : que satisfacen la ecuación vn = vn1 + vn2
(1)
Diremos que todas estas sucesiones son soluciones de la ecuación (1) : De aquí en adelante indicaremos por V; V 0 y V 00 las sucesiones v1 ; v2 ; v3; : : : v10 ; v20 ; v30 ; : : : v100 ; v200 ; v300; : : :
3.1.1 Lema. Si V es una solución de la ecuación (1) y c es una constante, también la sucesión cV (es decir, la sucesión cv1 ; cv2 ; cv3; : : :) es una solución de esta ecuación. Demostración. Multiplicando por c ambos miembros de la igualdad vn = vn1 + vn2
obtenemos cvn = cvn1 + cvn2
lo que prueba el lema.
3.1.2 Lema. Si las sucesiones V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ; También la suma V 0 +V 00 (esto es, v10 + v100 ; v20 + v200 ; v30 + v300 : : :) es solución de esta ecuación. Demostración. Por hipótesis, tenemos que vn0 = vn0 1 + vn0 2
y
vn00 = vn001 + vn002
Sumando estas igualdades miembro a miembro, encontramos
vn0 + vn00 = vn0 1 + vn001 + vn0 2 + vn002
la última igualdad prueba el lema.
Consideremos ahora V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales de la ecuación (1) ( es decir, dos soluciones de la ecuación (1) tales que cualquiera que sea la 6 c). constante c habrá un número n para el que vv = 0
n
00
n
49
3.1.1 Proposicion. Toda sucesión V; solución de la ecuación (1) ; puede ser representada así V = c1 V 0 + c2 V 00
(2)
donde c1 y c2 son constant constantes. es. A la ecuación ecuación (2) se estila llamar solución general de la ecuación (1) : Probaremos primero que siendo V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales de la ecuación (1) ; se tiene v10 v20 = v100 v200
(3)
6
(La no proporcionalidad es visible ya en los primeros términos de las sucesiones V 0 y V 00 )
Demostración (3). Supongamos que para dos soluciones no proporcionales V 0 y V 00 de la ecuación (1) se tiene v10 v20 = v100 v200
Formemos la siguiente proporción v10 + v20 v20 = v 00 + v00 v00 1
2
2
recordando que V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ; v30 v20 = v00 v 00 3
2
Análogamente comprobamos (¡haciendo inducción en n !) que v30 v40 vn0 = = = = v300 v400 vn00 Si esto ocurre, se tiene que V 0 y V 00 son proporcionales proporcionales lo que es absurdo, absurdo, luego (3) es verdadera. Tomemos ahora una sucesión V; solución de la ecuación (1) : Según hemos visto ya al inicio de este apartado, esta sucesión queda perfectamente determinada si se indican sus dos primeros términos v1 y v2 : Busquemos los valores de c1 y c2 de modo que sea c1 v10 + c2 v200 = v1 (4) c1 v0 + c2 v00 = v2 1
2
50
La suma c1 V 0 + c2 V 00 coincidirá con V , esto lo garantiza los lemas 3:1:1 y 3:1:2: El sistema de ecuaciones (4) tiene solución respecto a c1 y c2 en virtud de la proposición 3.1.1, para cualesquiera que sean los números v1 y v2 : v1 v00 v2 v100 v10 v2 v20 v1 c1 = 0 200 y c = 2 v v v 00 v0 v0 v 00 v00 v0 1 2
1 2
1 2
1 2
Sustituyendo en (2) los valores obtenidos para c1 y c2 encontramos la representación requerida para la sucesión V: Es decir, para describir todas las soluciones de la ecuación (1) basta encontrar dos soluciones no proporcionales de la misma. Encontremos Encontremos estas soluciones entre entre las progresio progresiones nes geométricas. geométricas. De acuerdo al lema 3:1:1, basta considerar las progresiones cuyos primeros términos son 1. Tomemos la progresión 1; x ; x2 ; : : :
Para que sea una solución de la ecuación (1) ; es su…ciente que para todo n se cumpla la igualdad xn2 + xn1 = xn
dividiendo por xn2 ;
1 + x = x2
(5)
Las raíces de esta ecuación, es decir, los números razones buscadas de las progresiones.
p
1+ 5 2
p y 12 5 ; serán las
Llamémoslas por y ; respectivamente. respectivamente. Los números y ; como raíces de la ecuación (5) ; satisfacen las relaciones 1 + = 2 , 1 + = 2 y = 1: Así hemos encontrado dos progresiones geométricas, soluciones ambas de (1) : Por eso, toda sucesión del tipo c1 + c2 ; c1 + c2 ; c1 2 + c2 2 ; : : :
(6)
Son soluciones de la ecuación (1) : Además las progresiones encontradas tienen distintas razones y, por ende, no son proporcionales, esto es, la fórmula (6) debe coincidir con la sucesión de Fibonacci. Para ello, como hemos explicado, hay que determinar c1 y c2 de las ecuaciones c1 + c2 = v1
y c1 + c2 = v2 ;
Es decir, del sistema c1
p c1 + c2
p 5
1+ 2 5 2
+ c2
51
1
2
2
= 1 = 1
Resolviéndolo, encontramos encontramos
p 1+ 5 p c1 = 2 5
p !
2
5 p c2 = 2 5
y
2
2
1
2
de manera que vn
=
c1 n1 + c2 n1
p p
p
p p 5 5
p 5
1+ 2 5 225
=
es decir,
n 1
1+ 2 5 2
p
n
1+ 2 5 2
vn =
1 2
p 5
2
1
n 1
2
n
2
1
p 5
2
2
2
2
Esta última expresión lleva el nombre de fórmula de Binet en memoria del matemático que la encontró (Jacques Philippe Marie Binet a mediados del siglo XIX). 3.1.2 Teorema. El número de Fibonacci vn es el entero más próximo al número p 5 , o sea, es el entero más próximo al n-ésimo término an de la progresión geométrica cuyo primer término es p y cuya razón es : 5 n
2
2
Demostración. Basta demostrar que el valor valor absoluto de la diferencia entre
vn y an es siempre menor que 12 : Esto es
j jn jvn anj = = = p 5 5 Puesto que = 0:618033 : : : ; sep tiene j j < 1; es decir j jn < 1 para todo n
n n p 5 p 5 2
jn < n; con mayor razón jp 2 5
2
1 2
n
p n n 2
2
ya que 5 > 2: lo que prueba el teorema. Por ejemplo, calculemos para n = 13 p 13 1+ 5 2
2
13
p 5 = 2
2 p 5 2
=
521:0019 521: = 232: 232:9957 2: 2361
El número entero más próximo a 232 232::9957 es 233 que corresponde a v13 en la sucesión de Fibonacci.
52
3.2 Propiedade Propiedadess Aritmé Aritméticas ticas de los los Númer Números os de de Fibonacci. Fibonacci. Estudiaremos algunas propiedades sobre la divisibilidad, máximo común divisor y otras caracterizaciones aritméticas de los números de Fibonacci. 3.2.1 Lema. Probar la válidez de la siguiente fórmula para los número de Fibonacci vn+m = vn1 vm + vn vm+1 3.2.1 Teorema. Si n es divisible por m; también vn es divisible divisible por vm: Demostración. Supongamos Supongamos que n es divisible por m; esto es, n = mk: Haremos nuestra demostración haciendo inducción en k: Para k = 1 se tiene n = m y es evidente que vn es divisible por vm: Supongamos que vn=mk es divisible por vm y consideremos vm(k+1) : Pero vm(k+1) = vmk+ mk+m ; en virtud del lema 3.2.1 vm(k+1) = vmk+ mk+m = v(mk) mk)1 vm + vmk vm+1
Es claro que vm divide divide el primer sumando sumando del tercer miembro. miembro. El segundo sumando es múltiplo de vmk ; esto es, también es divisible por vm según la hipótesis hipótesis inductiv inductiva. a. De aquí se deduce que la suma de estos dos sumando, sumando, o sea, vm(k+1) ; es divisible divisible por vm: Que era lo que queriamos demostrar. Por ejemplo, ejemplo, tomemos m = 5 y n = 15 15;; es claro que mjn: Por otra parte 610; también es claro que vm jvn : Puesto los números vm = v5 = 5 y vn = v15 = 610; 122:: que v15 = v5 122 3.2.2 Teorema. Los números de Fibonacci consecutivos son coprimos. Demostración. Supongamos, en contra de la a…rmación que vn y vn+1 tienen un divisor común d > 1: La diferencia vn+1 vn es divisible divisible por d: Pero como vn+1 vn = vn1 ; resulta que d divide también vn1 : Análogamente se demuestra (¡haciendo inducción!) que d divide vn2 ; vn3 ;:::;etc: y …nalmente a v1 : Pero v1 = 1 y no puede ser divisible por d > 1: Por tanto los número vn y vn+1 son coprimos. Ejemplos mcd (144; (144; 233) = 1 mcd (21; (21; 34) = 1
Observemos los siguientes casos 53
(1; (1; 2) = 1; 1; (2; (2; 8) = 2; 2; (3; (3; 21) = 3; 3; (5; (5; 55) = 5
Cabe hacernos la siguient siguientee pregunta pregunta,, ¿El máximo común divisor divisor de dos números no consecutivos de Fibonacci, es otro número de Fibonacci? 3.2.3 Teorema. Para los números de Fibonacci, tiene lugar la igualdad siguiente (vm ; vn ) = v(m;n) m;n)
Esto es, el máximo común divisor de dos números de Fibonacci es el número de Fibonacci que corresponde al mcd de los índices de los números dados. Demostración. Supongamos que m > n y apliquemos el algoritmo de Euclides a los números m y n: m = nq 0 + r1 n = r1 q 1 + r2 r1 = r2 q 2 + r3
donde donde donde
0 0 0
r1 < n r2 < r 1 r3 < r 2
.. .. .. . . . rt2 = rt1 q t1 + rt donde 0 rt < r t1 rt1 = rt q t Luego por teorema 2.2.2 resulta que rt es el máximo común divisor de m y n: Puesto que m = nq 0 + r1 ; resulta que (vm ; vn ) = (vnq0 +r1 ; vn )
esto es, por el lema 3.2.1, (vm ; vn ) = (vnq0 r1 vr1 + vnq1 vr1 +1 ; vn )
recordando que (a; b) = (a + c; b) ; podemos escribir (vm ; vn ) = (vnq0r1 vr1 ; vn )
de igual forma teniendo presente que (a;bc) a;bc) = (a; b) ; se sigue (vm ; vn ) = (vr1 ; vn )
Análogamente podemos escribir que (vr1 ; vn ) (vr2 ; vr1 )
.. .
vrt 1 ; vrt
2
= =
.. .
(vr2 ; vr1 ) (vr3 ; vr2 )
=
54
.. .
vrt ; vrt
1
Comparando estas igualdades, encontramos
(vm ; vn ) = vrt ; vrt
1
Como rt divide a rt1 ; luego por el teorema 3.2.1, debe ser que vr jvr ; debe ser por lo tanto vr ; vr = vr y recordando, …nalmente, que rt = (m; n) ; obtenemos (vm ; vn ) = v(m;n) m;n)
t
t1
t
t1
t
3.2.1 Proposición. Un número de Fibonacci es par si, y sólo si, su índice es divisible por 3, esto es 2 vn
j () 3jn Demostración. ((=) Si 3jn =) 2jvn : Si 3jn entonces n = 3k; luego 1 ; n = 3 y v3 = 2 es claro que 2jv3 : haciendo inducción en k; resulta para k = 1; Asumamos la validez de 2jv3k para algún k y probemos la validez para k + 1; esto es, 2jv3(k 3(k+1) : Si tenemos n = 3 (k + 1) ; entonces vn = v3(k 3(k+1) = v3k1 v3 + v3k v4
recordando que v3 = 2; 2 ; tenemos vn = v3(k 2 v3k1 + v3k v4 ; es claro que 3(k+1) = 2v el primer sumando es par, y el segundo es divisible por 2 por hipótesis inductiva. Luego 2jv3(k 3(k+1) :
(= ) Si 2 vn = 3 n: Haremos esta prueba por contrarrecíproco, esto es, si 3 - n = 2 - vn : Si 3 - n, entonces n = 3k + r donde 0 < r < 3: Haciendo inducción sobre k; tenemos para k = 1 n = 3 + r; pero r solo puede ser 1 o 2, lo cual nos da los casos v4 = 3 y v5 = 5 que en ningún caso es par. Suponemos la validez de 3 - n - n = 3k 3 k + r = 2 - validez para k +1: vn=3k +1 : Luego si n = (3k (3 k + 1)+r; 1)+ r; =3k+r para algún k: y probemos la validez
)
)
j
) j
)
entonces podemos escribir
vn = v(3k (3k+1)+r +1)+r = v(3k (3k+r)+3 = v(3k (3k+r)1 v3 + v3k+r v4
recordemos que v3 = 2 y v4 = 3; tenemos 3 ; así tenemos vn = 2 v(3k (3k+r)1 + 3 v3k+r
como 2 - 3 - 3 y 2 - v - v3k+r esto garantiza que 2 - v - vn : Por ejemplo, ejemplo, si n = 9 tenemos v9 = 34 y 2j34 34:: 12:: Por otro lado, 2jv12 = 144 y 3j12
55
3.3 Números Números de Fibonacci Fibonacci y Las Las Fraccio Fracciones nes Contin Continuas uas Consideremos la expresión q 0 +
1 q 1 +
1 q2 +
..
.
(1) 1 + 1
qn
donde q 1 ; q 2 ; : : : ; qn son enteros positivos y q 0 es un entero no negativo, esto es q 0 puede se cero. Las expresiones del tipo (1) se denominan fracciones continuas y el proceso de conversión de un número en una fracción continua se denomina desarrollo en fracción continua. continua. Aprendamos cómo obtener los cocientes incompletos de este desarrollo para el caso de una fracción ordinaria ab : Consideremos para este …n el algoritmo de Euclides aplicado a los números a y b: a = bq 0 + r1 b = r1 q 1 + r2 r1 = r2 q 2 + r3
donde donde donde
0 0 0
r1 < b r2 < r 1 r3 < r 2
.. .. .. . . . rn2 = rn1 q n1 + rn donde 0 rn < r n1 rn1 = rn q n
(2)
De la primera igualdad es claro que a r1 1 = q 0 + = q 0 + b b b r
1
Pero de la segunda igualdad del sistema (2) se deduce que b r2 1 = q 1 + = q 1 + r1 r1 r1 r2
y Ahora teniendo presente la tercera igualdad del sistema (2) r1 r3 1 = q 2 + = q 2 + r2 r2 r2 r3
Tomando en cuenta estas igualdades y haciendo las sustituciones adecuadas obtenemos
56
a 1 = q 0 + b q 1 + q +1 r1 2
2
r3
continuando este proceso hasta el …n resulta obvia la expresión q 0 +
1 q 1 +
1 q2 +
..
1
.
+ 1
qn
3.3.1 Teorema. Los concientes incompletos correspondientes de dos fracciones continuas iguales, son iguales Demostración. Tomemos dos fracciones continuas y 0 : Sean q 0 ; q 1 ; q 2 ; : : : y q 00 ; q 10 ; q 20 ; : : : sus cocientes cocientes incompletos incompletos respectiva respectivamen mente. te. Probemos Probemos que la igualdad = 0 implica las igualdades q 0 = q 00 ; q 1 = q 10 ; q 2 = q 20 ; etc. tc. En 0 0 efecto, q 0 es la parte entera del número y q 0 es la parte entera de ; de aquí la única posibilidad es que q 0 = q 00 : Ahora bien, podemos representar las fracciones continuas y 0 en la forma q 0 +
1 1
1 y q 00 + 0
1
donde 1 y 01 también son fracciones continuas. Puesto que = 0 y q 0 = q 00 ; debe ser 1 = 01 : Pero en tal caso son iguales las partes enteras de los números 1 y 01 ; o sea, q 1 y q 10 : Continuando este razonamiento encontramos que q 2 = q 0 ; q 3 = q 0 ; : : : 2
3
Sea = q 0 +
1 q 1 +
1 q2 +
..
1
.
+ 1
qn
una fracción continua. Consideremos los números q 0 ; q 0 +
1 1 ; q 0 + q 1 q 1 +
1 q2
;:::
estos números expresados como fracciones irreducibles P 0 Q0 P 1 Q1 P 2 Q2
.. . P n Qn
q0 = 1 = q 0 + = q 0 + q
1 q1 1 1 1+ q
.. .
.. .
=
57
2
se denominan reducidas de la fracción continua : De la secuencia anterior P se ve que QP se obtine de Q sustituyendo el único cociente incompleto de esta reducida, o sea, q k ; por q k+1 : k+1
k
k+1
k
3.3.1 Lema. Para toda fracción continua se cumplen las relaciones siguientes P k+1 Qk+1 P k+1 Qk
P k Qk+1
= P k q k+1 + P k1 = Qk q k+1 + Qk1
(1) (2)
= ( 1)
(3)
k
Haremos la demostración del lema 3.3.1 probando simultáneamente las tres igualdades y aplicando inducción sobre k. Para k = 1: 1 : Tenemos: P 1 1 q 0 q 1 + 1 = q 0 + = Q1 q 1 q 1
Puesto que los números q 0 q 1 + 1 y q 1 son coprimos, la fracción q qq +1 es irreducible; al mismo, la fracción QP es irreducibl irreducible. e. Pero Pero los numeradores numeradores y los denominador denominadores es de dos fracciones fracciones irreducible irreducibless iguales iguales son iguales. iguales. Esto es P 1 = (q ( q 0 q 1 + 1) y Q1 = q 1 : Tenemos, luego, 0 1
1
1
1
P 2 1 = q 0 + Q2 q 1 +
1 q2
=
q 0 (q 1 q 2 + 1) + q 2 q 1 q 2 + 1
recordando aquí que; (a;bc) a;bc) = (a; b) = (a + c; b) tenemos (q 0 (q 1 q 2 + 1) + q 2 ; q 1 q 2 + 1) = ((q (( q 1 q 2 + 1) + q 2 ; q 1 q 2 + 1) = (q (q 2 ; q 1 q 2 + 1)
y por la misma razón pasa que (q 2 ; q 1 q 2 + 1) = (q ( q 2 ; 1) = 1
de aqui se siguie que
P 1 Q1
=
q0 q1 +1 q1
sean irreducibles, de modo que
P 2 = q 0 (q 1 q 2 + 1) + q 2 = (q ( q 0 q 1 + 1) q 2 + q 0 = P 1 q 2 + P 0
y Q2 = q 1 q 2 + 1 = Q1 q 2 + Q0
…nalmente la igualdad P 2 Q1
P 1Q2 = (q ( q 0 (q 1 q 2 + 1) + q 2 ) (q 1 ) (q 0 q 1 + 1) 1) (q 1 q 2 + 1) = (1)1 58
Hasta aquí tenemos la validez para k = 1; y la base de la inducción para algún entero k; bien ahora consideremos el caso para k + 1: 1: Consideremos la fracción P k+1 P k q k+1 + P k1 = Qk+1 Qk q k+1 + Qk1 P Como hemos dicho ya QP se obtine de Q sustituyendo en ésta q k+1 por q + q 1 ; puesto que q k+1 no …gura en las fórmulas para P k ; Qk ; P k1 y Qk1 ; tenemos K +1
k+2
k+1
k+2
k+1
k+2
P k q K+1 + P k+2 = Qk+2 Qk q K+1 +
1 qk+2 1 qk+2
+ P k1 + Qk1
recordando las hipótesis inductivas (1) y (2)
P k+2 P k+1 q k+2 + P k = Qk+2 Qk+1 q k+2 + Qk
(4)
Demostraremos que el segundo miembro de (4) es una fracción irreducible, para ello basta probar que su numerador y denominador son coprimos. Supongamos que los números P k+1 q k+2 + P k y Qk+1 q k+2 + Qk poseen un divisor común d > 1: En este caso, la expresión (P k+1 q k+2 + P k ) Qk+1
( Qk+1q k+2 + Qk ) P k+1
también será divisible por d: Pero, según la hipótesis inductiva (3) ; esta expresión es igual a (1)k+1 y d no puede dividirla. Por lo tanto, el segundo miembro de (4) es irreducible de modo que (4) es una igualdad entre dos fracciones irreducibles. Luego, P k+2 = P k+1 q k+2 + P k y Qk+2 = Qk+1 q k+2 + Qk
Para …nalizar la demostración falta demostrar que P k+2 Qk+1
P k+1Qk+2 = ( 1)k+1
Pero de los resultados ya obtenidos P k+2 Qk+1
P k+1Qk+2
= = = =
(P k+1 q k+2 + P k ) Qk+1 (Qk+1 q k+2 + Qk ) P k+1 Qk+1 P k+1 q k+2 + P k Qk+1 P k+1 Qk+1 q k+2 Qk P k+1 (Qk+1 P k+1 q k+2 ) + (P ( P k Qk+1 Qk P k+1 ) (P k+1 Qk+1 q k+2 ) (Qk P k+1 + P k Qk+1 ) ( 1)
k+1
= ( 1)
con lo cual queda demostrado el lema.
59
3.3.2 Teorema. Si una fracción incompleta tiene n cocientes incompletos, todos iguales a 1; esta fracción es igual a vv n+1 n
Demostración. Sea n la fracción continua de n cocientes incompletos iguales a 1. Podemos escribir entonces 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n
las fracciones reducidas de la fracción n : Sea P k Qk
k =
Puesto que
1 =2 1 debe ser P 1 = 1 y P 2 = 2: Además P n+1 = P n q n+1 + P n1 ; por lo probado en el lema 3.3.1; como todos los cocientes son iguales a 1; se tiene que q n+1 = 1: 1: 1 = 1 =
1 1
y 2 = 1 +
Por tanto podemos escribir
P n+1 = P n + P n1
de donde tenemos tenemos que P n = P n1 + P n2
esta última fórmula coincide con la de…nición para los números de …bonacci, por tal razón P n = vn+1
Análogamente Análogamente tenemos Q1 = 1; 1 ; Q2 = 1 y Qn+1 = Qn q n+1 + Qn1 luego Qn+1 = Qn + Qn1 de modo que Qn = vn : Por consiguiente consiguiente n =
vn+1 vn
Toda la discusión sobre fracciones continuas …nitas, es aplicable de forma natural al caso de fracciones continuas in…nitas. Determinemos el valor de la fracción continua in…nita 1+
1 1+
1 1+
..
60
.
+
1
..
1
.
+1
sabemos ya que este valor es igual a lim n ; donde n = vv : Calculemos n*1 este límite Por el teorema 3.1.2 sabemos que vn es el entero más próximo a p 5 ; es decir, para todo n se tiene n+1 n
n
2
n
vn =
1 p + n donde jn j < : 2 5 2
Luego tenemos vn+1 n*1 vn
lim n = lim lim
n*
1
n+1 + n+1 2 5 n + n 2 5
p = lim lim p n*1
= lim lim n*
1
p p lim + 5 p = n*1 p lim 1 + 5 n*1
2 5 + n+1 n 2 1 + nn 5
p
n+1 n
n
2
n
Pero n+1 5 es una magnitud acotada (su valor absoluto es menor que 2) y n crece inde…nidamente cuando n tiende al in…nito (porque > 1). Por tanto 2
p
! p !
n+1 2 5 lim + n*1 n
y
p
n+1 2 5 = + lim lim = n*1 n
p
n 2 5 lim 1 + n*1 n
n 2 5 = 1 + lim lim =1 n*1 n
Finalmente lim n =
n*
recordemos que =
p 1+ 5 2
2
1
; tenemos, entonces
p
1+ 2 5 lim n = n*1 2
Por ejemplo, la razón
v5 v4
=
5 3
1: 6180
= 1: 1 : 6667 y para
61
v14 v13
=
377 233
= 1: 1 : 618 618::
2
3.4 ¿Dónde ¿Dónde está están n los núme números ros de de Fibonac Fibonacci? ci? Fibonacci en la Naturaleza. Fibonacci y los vegetales: El ejemplo que quizás sea el más sencillo, es el caso de la orientación de las espirales en una piña, si contamos las espirales en un sentido y luego en el otro (sentido) encontramos los números 8 y 13 en otras especies aparecen 5 y 8, en ambos casos números de Fibonacci consecutivos.
Fibonacci y las ‡ores: Si por curiosidad contamos los pétalos de una ‡or cualquiera que esta sea, en un 95% encontraremos números de Fibonacci para estos, así por ejemplo, las margaritas tienen en general 21 ó 34 pétalos y algunas tienen 55 e incluso alcanzan 89 todos números Fibonacci.
Fibonacci y los animales: Además del ya mencionado problema de los conejos, también encontramos números de Fibonacci en el árbol genealógico de las abejas machos. En toda colmena existe una abeja hembra llamada “reina”, que es la única única capaz de producir producir huevos. huevos. Las abejas “obreras” “obreras” también también son hembras, pero no producen huevos, solo trabajan. En la colmena también existen abejas “machos”, que no trabajan y su única función es aparear a la reina (zánganos) (zánganos).. Estos provienen provienen de huevos de la abeja reina no fertiliz fertilizados, ados, y por lo tanto tienen madre, pero no tienen padre, por lo que él (1) tiene una madre (1; (1; 1), dos abuelos –los padres de la reina– (1; (1; 1; 2), tres bisabuelos -por que el padre de la reina no tuvo padre- (1; (1; 1; 2; 3), cinco tatarabuelos, (1; (1; 1; 2; 3; 5) 62
y ocho tataratatarabuelos, (1; (1; 1; 2; 3; 5; 8), en de…nitiva sigue estrictamente la sucesión de números de Fibonacci.
En las dimensiones del hombre.
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera p y la segunda, o entre la segunda y la tercera, 1+ 5 si dividimos todo es 2 .
63
3.5 Ejerci Ejercicios cios Propue Propuesto stoss 1. Calcúlese los primeros 50 números de Fibonacci. 2. Pruébese el lema 3.2.1 3. Encuéntrese una expresión que de la suma para los números de Fibonacci de índices impares y pruébese su validez para todo n: 3. Pruébese que para los números de Fibonacci es válida la igualdad siguiente v12 + v22 +
v32 = vnvn+1
4. Pruébese el siguiente teorema. Teorema. Cualquiera que sea el número entero m, entre los m2 1 primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m: 5. Calcúlese el mcd para los siguientes conjunto de números (v7 ; v9 ) ;
(v5 ; v15 ) ;
(v4 ; (v7 ; v9 )) ;
((v ((v21; 21; v12 ) ; (v7 ; v9 ))
6. Demuéstrese los siguientes criterios de divisibilidad para números de Fibonacci 6.1 Un número de Fibonacci es divisible por 3 si, y sólo si, su índice es divisible por 4. 6.2 Un número de Fibonacci es divisible por 4 si, y sólo si, su índice es divisible por 6 6.3 Un número de Fibonacci es divisible por 5 si, y sólo si, su índice es divisible por 5 6.4 Un número de Fibonacci es divisible por 7 si, y sólo si, su índice es divisible por 8 7. Considérese los números primos de Fibonacci, con índices mayor a 3; ¿qué puede decirse de los índices? 8. Desarróllese en fracciones continuas los siguientes números racionales 22 7
355 113
102595 32657
103993 33102
1461 4
9. Calcúlese las primeros 5 términos de la sucesión de Fibonacci usando la fórmula de Binet y pruébese que ésta es válida para todo n: 10. Un saltador puede desplazarse en una sóla dirección a lo largo de una franja cuadriculada saltando cada vez a la casilla inmediata o por encima de ella a la siguien siguiente. te. ¿cuán ¿cuántos tos modos de despla desplazar zarse se en n 1 casillas y, en particular, de la primera a la n esima esima tiene el saltador? (dos modos son idénticos si en cada uno de ellos el saltador se posa en la misma casilla? 64
4 Funcion unciones es Aritm Aritméti éticas cas Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle
En este apartado estudiaremos las funciones más importantes de la teoría de número; daremos sus de…niciones, algunas aplicaciones y su importancia en la aritmética. 4.1.1 De…nición. Una función real o compleja de…nida sobre los enteros positivos se llama una función aritmética o una función de teoría de números. Empezaremos con la función parte entera que ya antes habíamos mencionado en el capítulo 2. 4.1.1 Teorema. Sea x y y números reales. Entonces se tiene que a. [x + m] = [x] + m; si m 2 Z b. [x] + [y [ y ] [x + y ] [x + y ] + 1 c. [x] + [ x] = d.
hi [x] m
=
x m
si x es entero, 1 en cualquier otro caso 0
; si m es un entero positivo
e. x + 12 es el entero más próximo a x: Si dos enteros son igualmente igualmente próximos a x; es el mayor de los dos.
Demostración. La parte a) es evidente, puesto que si m 2 Z entonces puesto que x no es necesariamente [m] = m: De aquí que, [x + m] = [x] + m; puesto entero. Para la parte b) se escribe x = n + "; y = m + ; donde m y n son enteros y 0 < 1, 0 < 1. Entonces [x] + [y] = n + m
[n + " + m + ] = n + m + [" + ] n + m + 1 [x + y] + 1
Una vez más, para la parte c); escribiendo x = n + "; también se tiene
x = n 1 + 1 "; 0 < 1 " 1: Entonces
1 + 1 "] = n n 1 + [1 "] = 01
[x] + [ x] = n + [ n
65
si v = 0 si v > 0
y se tiene c): A modo de ejemplo, veamos una aplicación para el teorema anterior Probar que
n! a1 !a2 ! ar !
es un ente entero ro.. Si ai 0; a1 + a2 + a3 + + ar = n: Para hacerlo debe demostrarse que todo número primo divide al numerador para la pontencia más alta que divide divide al denomina denominador. dor. Aplicando Aplicando el teorema 2.5.2 solament solamentee es necesario probar
X X X n pi
a1 + pi
a2 + pi
+
aplicando repetidamente el teorema 4.1.1b, resulta
a1 a2 + i + i p p
ar + i p
a1 + a2 + a3 + pi
X ar pi
+ ar
=
n pi
Sumando esta expresión sobre i se tiene el resultado deseado. Veamos este resultado particularmente 8 + 6 + 7 + 12 = 33 ; Luego 33! ; debe ser entero 8!6!7!12!
Por el teorema 2.5.2 tenemos las siguientes descomposiciones en factores primos 33! 8!6!7!12!
=
231 315 57 74 113 132 17 19 23 29 31 (27 32 5 7)(24 32 5)(24 32 5 7)(210 35 52 7 11)
=
231 315 57 74 113 132 17 19 23 29 31 225 311 55 73 11
=
26 34 52 7 112 132 17 19 23 29 31
que resulta ser entero, nótese que tal como lo predijo el resultado anterior el exponente que …gura en el numerador es mayor o igual al del denominador por cada factor primo.
66
4.1.2 De…nición. La función de Möbius (n) se de…ne como sigue: (1) = 1;
pk : Entonces k (1) si 1 = 2 = = k = 1; 1;
Si n > 1; escribimos n = p1
k
1
(n) = (n) = 0 en otro caso.
Observemos algunos ejemplos;
(2) = 21 ; como 1 = 1; 1 ; se tiene ( 1)1 =
1
(3) = 31 ; como 1 = 1; 1 ; se tiene ( 1)1 =
1
(4) = 22 ; como 1 = 2 = 1; por de…nición (4) = 0
Luego n: (n) :
1 1
6
2 1
3 1
4.1.2 Teorema. Si n 1 tenemos
X
(d) =
dn
j
4 0
5 1
1 = n
6 1
1 0
7 1
8 0
9 0
10 1
si n = 1 si n > 1
Demostración. La expresión es claramente cierta para n = 1; puesto que si n = 1; d debe ser también 1 y por de…nición de se sigue que (1) = 1: 1: Suponemos, entonces, que n > 1 y escribimos n = p1 pk : En la expresión (d) los únicos términos no nulos proceden de d = 1 y de los divisores de n djn que son productos de primos distintos. Entonces 1
P X dn
j
k
(d) = (1)+ (1)+ ( p1 )+
+ ( pk )+ )+ ( p1 p2 )+ + ( pk1 pk )+ + ( p1 p2 pk ) ()
Ahora observemos con cuidado ( p1 ) +
+ ( pk )
=
+ ( pk1 pk )
=
+ ( pk2 pk1 pk )
=
( p1 p2 ) + ( p1 p2 p3 ) +
67
k ( 1) 1 k ( 1)2 2 k ( 1)3 3
podemos seguir con estos arreglos hasta …nalizar con ( p1 p2 pk ) ; sustituyendo en la expresión (), nos resulta
X
(d) = 1 +
dn
j
P k k 2 ( 1) + ( 1) + 1 2
Si recordamos el binomio de Newton, que
X
(d) = (1
dn
j
n
+
k k ( 1) k
n nk k n a b = (a + b) ; tenemos k
k=o
1)k = 0:0 :
Particularizando el teorema 4.1.2. Por ejemplo, ejemplo, si n = 24, luego todos los divisores positivos de 24 serían f1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 12;; 24g, entonces (1) (2) (3) 22 (2 3) 23
Finalmente,
X
1
1 1
0 1 0
22 3
= 0
23 3
= 0
(d) = (1) + (2) + (3) + 22 + (2 3) + 23 + 22 3 + 23 3
d 24
j
= = = = = =
= 1 = 0
11+0+1+0+0+0
4.1.3 De…nición. La función indicatriz de Euler ' (n) : Si n 1 la indicatriz de Euler es el número de enteros positivos menores que n que son coprimos con n; así n
' (n) =
X
1; donde (k; n) = 1
k=1
68
Por ejemplo; si n = 12 12;; entonces, se tiene que: (1; (1; 12) = 1; 1; (5; (5; 12) = 1; 1; luego, (7; (7; 12) = 1; 1 ; (11; (11; 12) = 1 y luego, ' (12) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
En la siguiente tabla se muestran algunos valores para ' (n) ; n: ' (n) :
1 1
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
4.1.3 Teorema. Para n 1 tenemos ' (n) =
X
(d)
dn
j
8 2
9 6
10 4
n d
Demostración. La suma que de…ne a ' (n) se puede escribir en la forma n
' (n) =
X
n
1 = ' (n) =
k=1
X
k=1
1 ; (n; k )
en donde k recorre todos los enteros k n: Ahora utilizaremos el teorema 4.1.2 sustituyendo n por (n; k) y obtenemos
0 1 X@ X A XX n
' (n) =
n
(d)
k=1
=
(d)
k=1 d n dk
d (n;k) n;k)
j j Para un divisor d de n …jo podemos sumar respecto de todos los k tales que 1 k n son múltiplos de d: Si escribimos k = qd entonces 1 k n si, y sólo si, 1 qd djn: Por lo tanto la última suma que da ' (n) se puede escribir n
' (n) =
j
n=d
XX
n=d
(d) =
k=1 q=1
X X X (d)
q =1
dn
j
Lo que demuestra el teorema.
1=
dn
j
n (d) : d
Acontinuación tenemos una expresión que conecta a ' (n) y a los divisores primos de n: 4.1.4 Teorema. Para n 1 tenemos ' (n) = n
Y 1
p n
j
69
1 p
Demostración. Para el caso n = 1 el producto es vacío puesto que no existe ningún primo que divida a 1, en este caso podemos indicar ' (1) = 1: 1: Suponemos, entonces, que n > 1 y que p1 ; p2 ; : : : ; pr son los divisores primos distintos de n. El producto se puede escribir r
Y Y 1 p
1
=
1 pi
1
i=1 j Observemos con más detalle este producto, considérese los primeros tres productos, esto es p n
3
Q 1
i=1
1 pi
=
1 p1
1
p1 1 p1
1 p3
1
p2 1 p2
=
1 p2
1
p3 1 p3
=
p1 + p2 + p3 p1 p2 p1 p3 p2 p3 + p1 p2 p3 1 p1 p2 p3
=
p1 p2 p3 p1 p2 p3 + p1 p2 p3 + p1 p2 p3
= = =
pp p p p pp p p p pp p p p + p p p p p p p p1 p 1 1 1 1 1 1 1 p p p p p + p p + p p p p p +1 1 p1 p1 p1 + p 1 p + p 1 p + p 1 p p p1 p 1 p1 + p 1 p p p1 p 1
2
2
1
3
2
1
3
P P i
1
1
2
1
1
3
2
1
i j
1
2
2
2
1
3
1
3
1
3
2
3
3
2
2
2
3
1
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
3
Si extendemos este producto hasta i = r encontramos que r
Y X X 1
i=1
1 pi
=1
1 + pi
1 pi pj
X
1 + pi pj pk
( 1)r + p1 p2 pr
( )
En la parte derecha de ésta última expresión vemos que un término como 1 p p se consideran todos los posibles productos pi pj de factores primos distintos de n; lo mismo ocurre para los casos pi pj pk ; pi pj pk pl; Obsérvese que cada uno de los términos de la derecha en () es de la forma d1 ; en donde d es un divisor de n que es 1 o producto de primos distintos. El numerador 1 es claramente (d) : Así podemos escribir entonces
P
i j
r
Y X X X 1
i=1
1 pi
=1
1 + pi
1 pi pj
1 + pi pj pk
70
( 1)r (d) + = + p1 p2 pr 1
X
(d) + di
+ d(rd)
P Y X
(d) d ;
lo cual nos conduce exactamente a
Finalmente Finalmente incluyendo n en el proj ducto y considerando el teorema 4.1.3 resulta dn
r
n
1 pi
1
i=1
=
(d)
dn
j
que es lo que queriamos demostrar.
n = ' (n) d
A manera de ejemplo, consideremos n = 60 y encontremos el número de coprimos que posee. Esto se reduce a calcular ' (60) ; el teorema nos da un buen algoritmo para hacerlo, además 60 = 22 3 5 3
' (60) = 60
Y 1 pi
1
i=1
= 60 1
1 2
1
1 3
1
1 5
= 16
La indicatriz de Euler, es una de las funciones más importantes en teoría de números por su alcance en muchos resultados notables, esto en gran medida por sus propiedades; resumimos algunas en el siguiente teorema. 4.1.5 Teorema. La indicartiz de Euler cumple con las propiedades siguientes:
a. ' ( p ) = p p1 para p primo y > 1 b. ' (mn) mn) = ' (m) ' (n)
d '(d)
; donde d = (m; ( m; n)
c. Si mjn entonces ' (m) j' (n)
d. ' (n) es par para n 3: Además, si n posee r factores primos impares distintos, entonces 2r j' (n) Demostración. La parte (a) se obtiene si en () hacemos n = p ; así
' ( p ) = p
Y 1
p p p
1 p
j Luego, el único primo p que divide a p es el mismo p; de donde
' ( p ) = p
1
1 p
71
= p
p1
Por ejemplo;
' 73 = 7 3
72 = 343 49 = 294
y por otro lado, 73 = 343
Y
' (343) = 343
1 p
1
p 343
j
1 7
= 343 1
= 294: 294:
Para probar la parte (b) escribimos ' (n) = n
Y 1 p
1
p n
j
Teniendo presente que cada divisor primo de mn es un divisor primo de m o n; y aquellos divisores primos que dividen tanto a m como a n dividen también a (m; n) : De aquí que ' (mn) mn) = mn
Q Q Y Q 1 p
1
p mn
y …nalmente
1
j
=
p m
j
1 p
1
p n
j
1 p
1 p
1
p (m;n) m;n)
j
' (m) ' (n) d ' (mn) mn) = mn = ' (m) ' (n) m n ' (d)
=
'(m) '(n) m n '(d) d
d ' (d)
Por ejemplo; ' (9 12) =
' (9) ' (12)
Y Y Q 3 ' (3)
=9
1
p 9
j
1 p
12
1
p 12
j
1 p
3
3
p 3
j
12 = 36
= 6 4
1
1 p
3
y por otro lado, 9 12 = 108 ' (108) = 108
Y 1
p 108
j
1 p
= 108 1
1 2
1
1 3
= 36: 36 :
A partir de lo probado en (b) deducimos (c) : Si mjn tenemos n = mk en donde 1 k n:Si k = n; entonces m = 1 y la parte (c) se veri…ca trivialmente. trivialmente. Por consiguiente, suponemos que c < b: De la parte (b) tenemos ' (n) = ' (mk) mk) = ' (m) ' (k)
72
d ' (k ) = d' (m) ' (d) ' (d)
( )
y
en donde d = (m; k) : Ahora el resultado se obtiene por inducción sobre n: Para n = 1 se sigue trivialmente. Suponemos, pues, que (c) se veri…ca para todo entero menor que n: Entonces se veri…ca para k luego, puesto que djc; ' (d) j' (c) : Por lo que el segundo miembro de (y) es un múltiplo de ' (m) ; es decir, ' (m) j' (n) : Lo que prueba (c) : 2 ; ' (36) = 12; de donde es claro que ' (4) j' (36) : Por ejemplo, 4j36 y ' (4) = 2;
Ahora probaremos la parte (d) : Si n = 2 , 2 la parte (a) prueba que ' (n) es par. par. Para Para el caso caso n = 3 obtenemos, ' (3) = 3 1 13 = 2; par. Así podemo po demoss establece establecerr que ' (n) es par, para algún n 3; y probaremo probaremoss que también es cierto para n + 1; es decir que ' (n + 1) es par. Escribamos, entonces
' (n + 1) = (n ( n + 1)
Y 1
p (n+1)
j
1 p
= (n ( n + 1)
Q
( p
1)
p (n+1)
j
Q
p
p (n+1)
j
=
(n + 1) p
Q Y
p (n+1)
j
( p
p (n+1)
j
observando el factor ( p 1) ; notamos notamos que debe ser par, puesto que el único primo par es 2 y todo número impar es de la forma 2k + 1; de aquí que ' (n + 1) sea par. Además, Además, cada primo impar proporciona proporciona una factor factor 2 a este producto, producto, r por lo tanto 2 j' (n) ; si n tiene r factores primos impares distintos. Por ejemplo, ejemplo,
' (30) = 30 1
1 2
1
1 3
1
1 5
= 8 = 23 ; es decir 23 ' (30)
73
j
1)
4.1 Ejercicios Ejercicios Resue Resueltos ltos sobre sobre Funcion Funciones es Aritmé Aritméticas ticas 1. ¿Cuál es la mayor potencia de 2 que divide a 533!? ¿La mayor potencia de 3?
j Solución. 16 2
8 2
= 8; 8;
533 2
= 266; 266; 266 = 133; 133; 133 = 66; 66 ; 66 33 ; 33 16 ; 2 2 2 = 33; 2 = 16; 4 2 529 = 4; 4 ; 2 = 2; 2 ; 2 = 1: 1 : Sumando se encuentra que 2 533!
Para 3; tenemos
2 3
533 3
177 3
= 177; 177;
= 59 59;;
59 3
= 19 19;;
19 3
= 6;
6 3
= 2;
= 0: 0:
Sumando estos resultados, encontramos 3263 j533! 533!::
2. Si se escribe 100! en la notación decimal ordinaria, sin el signo factorial, ¿cuántos ceros se escribirían en línea en el extremo derecho? Solución. Es su…ciente con calcular la mayor potencia de 10 que divide a 100:: Puesto que 10 = 2 5, tendremos que calcular la mayor potencia de 2 y 100 la mayor potencia de 5 que dividen a 100 100:: De estos habrá que tomar el menor (¿porqué?), así
100 100 100 100 100 100 + + + + + = 97 2 4 8 16 32 64
y
100 100 + = 24 5 25
Así, 100! tiene 24 ceros.
2
3. Para cualquier número real x probar que [x] + x + 12 = [2x [2 x] Solución. Escribamos x = m + "; con m
Z; luego [x] = m: [m + "] + m + " + = m + [" [ "] + m + " + 12 = 2m + [" ["] + " + 12 : Consideremos 0 " < 12 ; entonces, ["] = 0 y " + 12 = 0; por tanto se tiene que
1 2
[x] + x +
Ahora consideremos
"+
1 2
= 1: 1:
1 2
1 = 2m 2 m = [2x [2 x] 2
" < 1; entonces, 1
2" < 2; y de aquí que
Escribamos
1 1 [m + "] + m + " + = 2m 2m + " + " + = 2m 2m + 1 2 2
74
y [2x [2x] = [2 [2 (m + ")] = 2m 2m + [2" [2"] = 2m + 1
por lo tanto
[x] + x +
1 = 2m 2 m + 1 = [2x [2 x] 2
4. Para números reales positivos cualesquiera x y y probar que [x] [y ] [xy] xy] Solución. Escribamos x = m + "; y = n + ; con m; n Z; luego [x] = m y [y] = n: [m + "] [n + ] = (m + [" ["]) (n + [ [ ]) ]) = mn + m [ ] + n ["] + ["] [ ] mn + m + m + n" + " = [xy [ xy]] :
2
5. Encontrar un entero positivo n tal que (n) + (n + 1) + (n + 2) = 3: 3: Solución. n = 33: 33 :
(33) + (34) + (35) = (3 11) + (2 17) + (5 7) = ( 1)2 + ( 1)2 + 2 ( 1) = 3
6. Probar que (n) (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 0 , si n es un entero positivo. Solución. Para n = 1; 1 ; tenemos (1) (2) (3) (4) = (1) (1) ( 1) ( 1) (0) (0) = 0
1; n + 2 y n + 3 son cuatro números enteros Puesto que los números n; n + 1; consecutivos, siempre uno de ellos es de la forma 2r k; con r 2: Por lo tanto, uno de estos números admite siempre una descomposición del tipo 2r p p2 pk ; luego (2r p2 pk ) = 0; y de aquí que, (n) (n + 1) (n + 2) (n + 3) = 2
2
0:
k
k
7. Buscar todos los enteros n tales que ' (n) =
n 2
Solución. Todos los números de la forma 2r con r 1: Escribamos n = 2 r 1 ; tenemos y r = 1; ' (2) = 1 =
así aceptamos la verdad de ' (2r ) =
2 2
2r 2
Probaremos que es cierto para r + 1
' 2r+1 = ' (2r 2) = ' (2r ) ' (2)(2) =
75
2r 2r+1 1 2= : 2 2
8. Calcular ' (n) para n = 64; 64 ; 128 Solución. 64 = 26 y 128 = 27 , así por el ejercicio anterior tenemos 64 = 32 2 128 = 64 2
' (64) = ' (128 128) =
9. Demostrar que ' (nm) nm) = n' (m) si todo primo que divide a n también divide a m: Solución. Observe que todos los primos que …guran en el producto nm; también aparecen en la descomposición canónica de m y n: ' (nm) nm) = nm
Q " Q # " Q # 1
p nm
n' (m) :
j
1 p
= n m
1
p nm
j
1 p
= n m
1
p m
j
1 p
=
10. Supongamos m > 1. Probar que '(m) = m 1 sí y solo si m es primo. Solución. Lo anterior se traduce como ' (m) = m
1 () m es primo
(=)) Si ' (m) = m 1; entonces signi…ca que los números 1; 2; 3; : : : ; m 1 son todos coprimos coprimos con m; de donde se deduce que el único divisor menor que m es 1 y por lo tanto m es primo. 1 ((=) Si m es primo, entonces ' (m) = m 1 p1 = m 1 m = m 1: pjm
Q
76
4.2 Ejercicios Ejercicios Propue Propuestos stos sobre sobre Funcion Funciones es Aritmé Aritméticas. ticas. 1. ¿Para qué números reales x es verdad que a. [x] + [x [x] = [2x [2x] ; b. [x + 3] = 3 + [x [ x] ; c. [x + 3] = 3 + x;
d. x + 12 + x 12 = [2x [2 x] ; e. [9x [9x] = 9 ?
2. Si n es cualquier entero positivo y cualquier número real, pruébese que
1 [ ] + + + + n
+
+ +
n
1 n
= [n [ n ]
3. Encuéntrese la mayor potencia de 13 que …gura en 1729! 4. Calcúlese ' (666) ; ' (153) ; ' (16384) 5. Demuéstrese que ' (mn) mn) = ' (m) ' (n) ; si (m; n) = 1 6. Encuéntrese todos los enteros n tales que ' (n) = ' (2n (2n) ; ' (n) = 24
7. Caracterícese el conjunto de enteros positivos que satisfacen ' (2n (2n) > ' (n) 8. Calcúlese
P
' (d)
d 1729
j
9. Para cada proposición establézcase una demostración o presentar un contraejemplo 9.1 Si (m; n) = 1 entonces (' (m) ; ' (n)) = 1 9.2 Si n es compuesto, entonces (n; ' (n)) > 1:
77
5 El Ani Anill lloo de los los Ente Entero ross Módu Módulo lo
n
Los Los enc encant antos os de esta esta cienci ciencia a sub sublim lime, e, las matemá matemátic ticas, as, sólo sólo se le reve evelan lan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss
De aquí en adelante trataremos la aritmética desde una nueva perspectiva, la aritmética modular. Introduciremos la congruencia módulo n, las ecuaciones de congruencias, los sistemás de congruencias y demás. Estudiaremos también en este capítulo los resultados sobre congruencias más importantes, el teorema chino del resto y el pequeño teorema de Fermat y sus aplicaciones prácticas.
5.1 Generalidad Generalidades es sobre Congruenc Congruencias ias módulo módulo
n
Consideremos cuatro cajas y repartamos los números enteros en cada una de ellas de manera ordenada como sigue: .. .
.. .
.. .
.. .
8 7 6 5 4 3 2 1 0 4 8 16
1 5 9 17
2 6 10 18
3 7 11 11 19
0
1
2
3
.. .
.. .
.. .
.. .
Las cajas las rotularemos así: 0 por contener al 0; ( o bien 0 + 4Z; esto es lo múltiplos de 4); 1 por contener al 1( o bien 1 + 4Z; esto es lo múltiplos de 4 más 1); 1); 2 por contener al 2 ( o bien 2 + 4Z; esto es lo múltiplos de 4 más 2); y la caja 3 por contene contenerr al 3 ( o bien 3 + 4Z 4 Z; esto es lo múltiplos de 4 más 3): Consideremos el conjunto Z4 = 0; 1; 2; 3 llamado conjunto completo de residuos módulo 4; pues al dividir cualquier entero entre 4 da residuos 0; 1; 2;ó
3:
5.1.1 De…nición. Dos enteros son congruentes módulo n; lo que escribimos a
b mod n: a a a
b mod n b mod n b mod n
78
() nja b () [a]n = [b[ b]n () ra = rb
En caso contrario, decimos que a y b son incongruentes módulo n. Hemos dado en realidad tres de…niciones sobre congruencia módulo n; la ventaja radica en el contexto de su uso, según convenga podemos usar una u otra de…nición. de…nición. En la primera lo hacemos hacemos en virtud virtud de la divisibili divisibilidad, dad, en la segunda decimos que dos números son congruentes, si las clases a las que pertenecen son iguales, y …nalmente decimos que dos números son congruentes si dejan el mismo resto en la división por n:
5.1.2 De…nición. Una relación en un conjunto S se llama relación de equivalencia si satisface a. a a (re‡exividad) b. a b implica que b a (simetría) c. a b ^ b c implica que a c (transitividad); 8a;b;c 2 S 5.1.1 Teorema. La congruencia módulo n es una relación de equivalencia. Demostración. reflexividad) : Sabemos que nj0, entonces nja a; luego a a mod n (reflexividad) Si a b mod n; tenemos que nja b, entonces nj (a b) ; luego njb a que simetr{a) {a) : es equivalente a, b a mod n (simetr Si a
b mod n; entonces nja b; si b c mod n; entonces njb c; luego nj (a b) + (b (b c) de aquí que nja c que es equivalente a, a c mod n (tran-
sitividad).
5.1.3 De…nición. Clase de equivalencia del elemento a 2 S es el conjunto de todos los elementos de S equivalentes a a: ka = x
f 2 S : x ag
Nótese que de la de…nición anterior tenemos que: la unión de todas las clases de equivalencias coincide con todo S y dadas dos clases distintas éstas siempre son disjuntas. El conjunto formado por las clases de equivqlencias se llama conjunto cociente de S por la relación de equivalencia y lo escribimos así S
= fki : i 2 I g 79
Dado que la relación de equivalencia que nos ocupa es la congruencia, vamos a caracterizar las clases de equivalencia que esta forma. A la clase ka pertenecen pertenecen todos los enteros enteros del tipo a = b + nk; donde b y n están dados, y k recorre recorre todo Z: Luego decimos que Z queda particionado en clases de equivalencias. Por ejemplo k0 = : : : ; 2n; n; 0; n; 2n ; : : :
f
g
k1 = : : : ; 1
f
2n; 1 n; 1; 1 + n; 1 + 2n 2 n ; : : :g
k2 = : : : ; 2
2n; 2 n; 2; 2 + n; 2 + 2n 2 n ; : : :g
f
Como los subíndices de cada clase son los posibles restos de la división por n; las llamamos clases de restos módulo n y se estila escribirlas así 0; 1; 2; 3; 4 : : :
y el conjunto cociente
Zn = 0; 1; 2; 3; 4 : : : ; n
5.1.4 De…nición. es compatible con cualesquiera que se a;b;a0 ; b0 2 S:
1
() a a0 ^ b b0 =) ab a0b0
5.1.1 Proposición. La congruencia módulo n es compatible con la adición y la multiplicación en Z: Es decir a. a a0 mod n ^ b b0 mod n =) a + b a0 + b0 mod n b. a a0 mod n ^ b b0 mod n =) a b a0 b0 mod n Demostración. a. a a0 mod n b b0 mod n
b.
a b
a00 mod n b mod n
= = = = =
) ) ) ) ) =) =) =) =) =) =)
a a0 = nk b b0 = nk0 (a + b) (a0 + b0 ) = nk00 n (a + b) (a0 + b0 ) (a + b) (a0 + b0 )mod n
j a a0 = nk (1) b b0 = nk0 (2) ab a0 b = n (kb) kb) a0 b a0 b0 = n (a0 k0 ) ab a0 b0 = nk" ab a0 b0 mod n: 80
def. congruencia y divisibilidad def. congruencia y divisibilidad sumando ambas igualdades def. divisibilidad def. congruencia
def. congruencia y divisibilidad def. congruencia y divisibilidad multiplicando por b (1) multiplicando por a0 (2) sumando las dos últimas igualdades def. de congruencias.
Este resultado es de notable importancia, que una relación de equivalencia sea compatible con una ley de composición interna de…nida en un conjunto, nos induce una ley de composición interna en el conjunto cociente, esto es, nos permite operar con clases de equivalencias. Vamos a de…nir en Zn la suma y el producto de clases en la forma siguiente: a+b = a+b a b = a b
También se estila la notación [a]n + [b [b]n [a]n [b]n
= [a + b]n = [a b]n
Para …nes prácticos, dadas dos clases, se suman o se multiplican (según sea el caso) sus representantes y la suma obtenida (o producto) se divide por el módulo propuesto y se admite como resultado de la operación el resto de la división. Así, con estas operaciones la tripleta (Zn ; +; ) forma un anillo, el anillo de enteros módulo n: Construiremos la tabla para Z4 de la suma y el producto.
Z4 = 0; 1; 2; 3 + 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Un resultado importante es el hecho que (Zn ; +; ) es campo cuando n es primo, lo cual expresamos con mayor formalidad en el siguiente enunciado. 5.1.2 Proposición. Z p es cuerpo si, y solo si, p es un número primo. Z p es cuerpo
() p es primo
Demostración. i. (=)) Z p es un cuerpo, entonces p es número primo. 81
Supongamos que p no es un número primo; entonces existen dos números naturales q y t distintos de 1 y de n tales que p = q t: Por tanto [q ] p [t] p = [q [ q t] p = [ p [ p]] p = [0] p
y siendo [q ] p y [t] p dos clases de números congruentes no nulas, por tanto Z p tiene divisores de cero, luego no es un cuerpo, esto contradice nuestra hipótesis. En consecuencia p debe ser primo. ii. ((=) p es un número primo, entonces Z p es un cuerpo. Z p es un anillo unitario y conmutativo y para mostrar que es un cuerpo se
tiene que ver que todo elemento no nulo posee inverso. Sea [m]n un elemento no nulo de Z p ; es evidente que m es menor que n y que siendo n primo, m y n son primos entre sí. Por el torema 2.2.3 existen otros dos números enteros a y b tales que am + bn = 1
Por tanto, sus clases veri…can [a]n [m]n + [b [b]n [n]n = 1
Pero [n]n = [0]n se obtiene, [a]n [m]n = 1
luego, [m]n posee inverso y en consecuencia Z p es cuerpo.
Ejemplo. Construiremos las tablas para la suma y el producto de Z5 ; con el …n de evidenciar que todo elemento no nulo es inversible.
Z5 = 0; 1; 2; 3; 4 + 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Observando con detenimiento resulta claro que 1 2 3 4
1 3 2 4
= = = =
1 1 1 1
Todo elemento no nulo de Z5 es inversible, luego Z5 es cuerpo. 82
5.1.2 Teorema. Si a b mod n y mod mod n; entonces tenemos; a. ax + y bx + y mod n b. a b mod b mod n c. am bm mod n; 8a;b;x;y 2 Z Demostración. Si a b mod n; entonces, nja b; además mod mod n entonces nj ; eventualmente njx (a b) ^ njy ( ) luego n dividirá la suma, esto es njx (a b) + y ( ) ; reescribiendo este término nj (ax + y) y ) (bx + y) y ) ; que por de…nición de congruencia podemos escribir ax + y bx + y mod n y queda probada la parte (a) : Para la parte (b) tenemos, si a b mod n; entonces, n a b; además mod mod n entonces n ; eventualmente n (a b) n b ( ) luego n dividirá la suma, esto es n (a b) + b ( ) ; de donde es claro que n a b; que por de…nición de congruencia es a b mod b mod n:
j
j
j
^ j
j
j
Finalmente para la parte (c) tenemos que am bm mod n; es verdadero para m = 1: Luego por la parte (b) podemos escribir am a bm b mod n o equivalentemente am+1 bm+1 mod n con lo que queda probada la parte (c) y el teorema. Criterios de divisibilidad y la congruencia módulo n. Ejemplo 1. 1. Divisibilidad por 9: Un entero n > 0 es divisible por 9 si, y sólo si, la suma de los dígitos de su expresión decimal es divisible por 9: Probaremos este hecho usando la congruenci congruenciaa y sus propiedades propiedades ya enunciad enunciadas. as. Escribiend Escribiendoo n en su expresión decimal tenemos n = a0 + 10a 10a1 + 102 a2 +
Por el teorema anterior tenemos que
+ 10k ak
1 1 10 1 102 1
= = =
a0 a0 10 10a a1 a1 102 a2 a2
10k
=
10k ak
.. .
1
) ) ) .. .
)
.. .
luego tenemos que a0 + 10a 10a1 + 102 a2 +
ak
9> >= >>;
mod9
+ 10k ak (a0 + a1 + a2 + + ak )mod9
lo que equivale a escribir n
a0 + a1 + a2 + + ak mod9 83
Particularmente, Particularmente, tenemos n = 1305; luego 1+3+ 0+5 = 9 por tanto 9j1305 1305:: Ejemplo 2. Divisibilidad por 17 17:: Un entero n > 0 es divisible por 17 si, y sólo si, al quitar sus dos últimas cifras y restarlas del duplo de lo que queda, el resultado es múltiplo de 17 17:: Sin pérdida de generalidad, consideremos un número n de 4 cifras. Escribamos n = 1000a 1000a3 + 100a 100a2 + 10a 10 a1 + a0 ; luego n = 100 (10 (10a3 + a2 ) + (10a (10a1 + a0 ) :
Hagamos, n0 = (10a (10a3 + a2 ) y a = (10a (10a1 + a0 )
. 100n0 + a; n0 serán la cifras que queda Podemos escribir n en la forma n = 100n al retirar las dos últimas, esto es al quitar a:
Así, lo que debemos probar es
j ) 2n0 a 0mod17 Si 17jn, entonces 100 100n n0 + a 0mod17; 0mod17; luego 100 100n n0 + a 15 15n n0 + a mod17 y 15 15n n0 + a 2n0 + a mod17: mod17: A partir de esto podemos plantear que, 100 100n n0 + a 0mod17 y 100 100n n0 + a 2n0 + a mod17: mod17: De donde resulta (transitividad de la congruencia) 0 2n0 + a mod17 ó equivalentemente 2n0 a 0mod17; 0mod17; que es el resultado que buscabamos. 17 n =
Ejemplo. 4267;; hacemos n0 = 42 y a = 67; luego Particularmente, tenemos n = 4267 2 (42) (42) 67 = 17 por tanto 17j4267 4267:: 5.1.3 Teorema. Si c > 0 entonces a
b mod n si, y sólo si, ac bc mod nc
Demostración. Tenemos nj (a b) si, y sólo si (a b) = nk, multiplicando por c ambos lados de esta igualdad resulta (a b) c = nck; que podemos traducir en ncj (a b) c y …nalmente ac bc mod nc: 84
5.1.4 Teorema Teorema.. Ley de simpli…cación. simpli…cación. Si ac entonces a
bc mod n y si d = (n; c) ;
b mod nd
Demostración. Dado que ac bc mod n; tenemos nj (a b) c esto es (a b) c = nk; nk; luego como d = (n; c) es posible escribir (a b) dc = nd k; lo que traducimos en nd j (a b) dc , pero nd - dc puesto puesto que nd ; dc = 1; luego debe n ser que d j (a b) o equivalentemente a b mod nd :
5.1.5 Teorema. Suponemos que a b mod n: Si djn y dja, entonces djb: Demostración. Suponiendo d > 0: a b mod n dn
j
= =
) )
na da
j b j b
de las implicaciones anteriores se deduce que a
b mod d
Por hipótesis sabemos que dja; luego 0 a mod d ^ a b mod d (transitividad de la congruencia ) se deduce que 0 b mod d; equivalentemente djb:
5.1.6 Teorema. Si a b mod n entonces (a; n) = (b; n) : En otras palabras, los números que son congruentes módulo n tienen el mismo mcd con n: Demostración. Sea d = (a; n) y e = (b; n) : Entonces djn y dja; luego djb; por lo tanto dje: Análogamente, ejn; ejb; luego eja; por lo tanto ejd: Por lo tanto debe ser d = e: 5.1.5 De…nición. Si x y mod n entonces y recibe el nombre de resto de x módulo n: Un conjunto fx1 ; x2 ; : : : ; xn g es un sistema completo de restos módulo n; si para todo entero y existe uno y solamente un xj tal que y
xj mod n:
Ejemplo. Todo conjunto formado de n enteros, incongruentes mod n; es un sistema completo de restos mod n. Así, f8; 9; 10 10;; 11g es un sistema completo de resto mod4; puesto que 8 0; 9 2 1; 10 2 2 y 11 2 3: 85
2
5.1.6 De…nición. Un sistema reducido de restos módulo n es todo conjunto de enteros fx1 ; x2 ; : : : ; xn g, incongruentes módulo n; cada uno de ellos primos con n: Nota: ' (n) es el valor para n de la indicatriz de Euler, introducida en el capítulo 4. Por ejemplo. ' (4) = 2 y f8; 9; 10 10;; 11g es un sistema completo de resto mod4; luego f9; 11g es un sistema reducido de restos, note que 9; 11 son coprimos con 4: 5.1.7 Teorema. Suponemos que (k; n) = 1: Si fa1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an g es un sistema completo de restos módulo n; también lo es fka1 ; ka2 ; ka3 ; : : : ; k a ng Demostración. Supongamos que kai kaj mod n entonces ai aj mod n por el teorema 5.1.4 ya que (k; n) = 1; y esto contradice el hecho que fa1 ; a2 ; a3 ; : : : ; an g sea un sistema completo de restos. Por tanto ningún par de elementos del con junto fka1 ; ka2 ; ka3 ; : : : ; k an g es congruente mod n: Puesto que en este conjunto existen n elementos elementos incongruentes, constituye un sistema completo de resto.
5.1.8 Teorema. Si a1 ; a2 ; a3 ; : : : ; a'(n) es un sistema residual reducido módulo n y si (k; n) = 1; 1 ; entonces ka1 ; ka2 ; ka 3 ; : : : ; k a'(n) es también un sistema residual reducido módulo n:
Demostración. Por lo dicho en el teorema anterior, sabemos que ningún par de números kai es congruente módulo n: Además, puesto que (ai ; n) = (k; n) = 1, tenemos que (kai ; n) = 1; luego cada ka i es primo con n: Toda la discusión anterior ha sido necesaria para llegar a uno de los resultados más importantes de la teoría de congruencias. Los teoremas de Euler-Fermat Euler-Fermat 5.1.9 Teorema. Teorema. Terore erorema ma de Euler. Euler. Suponemos que (a; n) = 1: Entonces tenemos que a'(n)
1mod n
Demostración. Sea b1 ; b2 ; b3 ; : : : ; b'(n) un sistema residual reducido módulo n: Entonces ab1 ; ab2 ; ab3 ; : : : ; a b'(n) es también un sistema residual reducido. Consideremos el producto b1 b2 b3 b'(n) y más precisamente su resto al dividir por n; note que coincide con el resto de ab1 ab2 ab3 ab'(n) : 86
Por lo tanto el producto de todos los enteros del primer conjunto es congruente con el producto de los del segundo conjunto mod n. Por consiguiente b1 b2
b'(n) b1 b2 b'(n)
ab1 ab2
ab'(n) mod n a'(n) b1 b2 b'(n) mod n
Cada bi es coprimo con n; por lo tanto se pueden simpli…car de ambos lados y obtener …nalmente a'(n)
1mod n:
5.1.10 Teorem Teorema. a. Pequeño Pequeño Teorem Teoremaa de Fermat. Fermat. denota un primo. Si p - a; - a; entonces a p1
Considérese que p
1mod p 1mod p
p) Demostración. Si p - a - a entonces (a; p) = 1 y a'( p) 1mod p 1mod p por el teorema de Euler. Por el ejercicio 10 del capítulo anterior tenemos que ' ( p) p) = p 1 y se tiene que a p1 1mod p: 1mod p:
5.2 Congru Congruenc encias ias Lineal Lineales es Nuestro objetivo en esta sección es el estudio de las congruencias de la forma f ( f (x)
0mod n
(1)
Resolver la congruencia, signi…ca hallar todos los valores de x que la satisfacen. facen. Dos congruenci congruencias, as, a las que satisfacen satisfacen un mismo valor valor de x, se llaman congruencias equivalentes. equivalentes. Adviértase que si x es solución de la ecuación (1) también x + kn será solución, así esta ecuación ecuación tiene tiene in…nitas in…nitas soluciones. soluciones. Por tanto convendre convendremos mos en considerar las soluciones tales que 0 x < n; que llamaremos soluciones principales. El caso de las congruencias lineales quedará totalmente descrita mediante los tres teoremas siguientes. 5.2.1 Teorema. Si (a; n) = 1: Entonces la congruencia lineal ax
b mod n 87
(2)
tienen exactamente una solución. Demostración. Para la solución principal debe considerarse únicamente los números 1; 2; 3; : : : ; n ; además estos números forman un sistema completo de restos. Por consiguien consiguiente te formamos formamos los productos a; 2a;:::;na: Puesto que constituyen un sistema residual completo. Por lo tanto, (a; n) = 1 estos números constituyen sólo uno de estos productos productos es congruen congruente te con b módulo n. Es decir, existe un único x que satisface (2) : 5.2.2 Teorema. Suponemos que (a; n) = d. Entonces la congruencia lineal ax
b mod n
(3)
tiene solución si, y sólo si, djb: Demostración. (=)) Si ax b mod n tiene solución, entonces djb: Si x es la solución de la ecuación (3) ; entonces kn = ax b; de donde eventualmente dividirá a djax, b = kn + ax: Si (a; n) = d; se tiene que dja, djn y eventualmente djkn: Por consiguiente también divide a la suma, esto es djkn + ax; por tanto d b:
j
( =) Si d b entonces ax Si d b la congruencia
(
j
j
b mod n tiene solución. a x d
db mod nd
(4)
tiene una solución por el teorema 5.2.1, puesto que es también una solución de (3) :
a n d; d
= 1; 1 ; y esta solución
5.2.3 Teorema. Suponemos que (a; n) = d y que djb: La congruencia lineal ax
b mod n
tiene exactamente d soluciones módulo n: Vienen dadas por t; t +
n n ; t + 2 ; : : : ; t + (d (d d d
1) nd ;
(5)
donde t es la solución única módulo nd ; de la congruencia lineal a x d
db mod nd
(6)
Demostración. Cada solución de (6) es también solución de (3) ; recíprocamente cada solución de (6) satisfase (3) : Basta considerar que a x d
db mod nd =) da x db = k nd =) ax b = kn =) ax b mod n 88
Los d números escritos en (5) son soluciones soluciones de (6) y, por lo tanto, de (5) : Falta probar que (3) no tiene más soluciones que las descritas en (5) : Si y es una solución de (3) entonces ay at mod n luego y t mod nd : Por lo tanto y = t + k nd para cierto k: Pero k r mod n para un r que veri…ca 0 r < d: Por consiguiente consiguiente n n n r mod n; luego y t + r mod n d d d Por consiguiente consiguiente y es congruente módulo n con uno de los números descritos en (5) : Esto termina la demostración. k
Por ejemplo. Encontrar las soluciones a la ecuación 3x
5mod11 Inspeccionan Inspeccionando do el conjunt conjuntoo 0 x < 11, encontramos como solución principal x = 9; puesto que 11j27 5: Luego el resto de soluciones tendrán la forma x = 9 + 11k: 11 k:
Ya hemos notado que la congruencia tiene mucha similitud con la igualdad, así que parece natural preguntarnos por los sistemas de ecuaciones de congruencias y sus soluciones, esto es, dadas las ecuaciones a0 x b0 mod n y a1 x b1 mod n; ¿existen valores de x que las satisfacen a ambas? A este hecho responde el siguiente teorema 5.2.3 Teorema. Teorema Chino del Resto. Supongamos que n1 ; n2 ; ; nr son enteros positivos coprimos dos a dos: (ni ; nk ) = 1 si i = k
6
Sean b1 ; b2 ; : : : ; br enteros arbitrarios. Entonces el sistema de congruencias x x
b1 mod n1 b2 mod n2
x
br mod nr
.. .
.. .
.. .
posee exactamente una solución módulo el producto n1 n2 nr Demostración. Escribiendo N = n1 n2 nr y N k = nN : Entonces (N k ; nk ) = 1; por lo tanto cada N k admite un inverso único N k0 módulo nk ; esto es N k N k0 1mod nk : Sea ahora k
x = b1 N 1 N 10 + b1 N 2 N 20 +
+ br N r N r0
Dado que N i 0mod nk si i = 6 k tenemos x bk N k N 0 bk mod nk k
89
Por lo tanto x satisface cada una de las congruencias del sistema. Además el sistema posee una única solución módulo N: En efecto, si x y y son dos soluciones del sistema tenemos x y mod nk para cada k y, puesto que los nk son dos a dos coprimos, tendremos también x y mod N: Esto termina la demostración.
5.3 Ejercicios Ejercicios Resueltos Resueltos sobre Congruencia Congruenciass Lineales Lineales 1. Hacer una lista de todos los enteros x en el intervalo 1 satisfagan x 7mod17
x 100 que
Solución. Si x 7mod17 entonces 17jx 7; luego x 7 = 17n 17n y …nalmente x = 17n 17 n + 7
si evaluamos para n = 6 , x toma el valor 109 109;; que supera la condición dada. Entonces para obtener las soluciones pedidas recorremos n para 1; 2; 3; 4 y 5 obteniendo los valores buscados para x; que …guran a continuación 24 24;; 41 41;; 58 58;; 75 75;; 92
2. Mostrar un sistema completo de residuos módulo 17 compuesto enteramente enteramente de múltiplos de 3:
Solución. Tomemos Z17 = 0; 1; 2; 3; 4;5; 6; 7; 8; 9; 10 10;; 11 11;; 12 12;; 13 13;; 14 14;; 15 15;; 16 ; ahora basta escojer un elemento perteneciente a cada clase residual, con el cuidado en la elección de ser múltiplo de 3: Todos los enteros de 0 tienen la forma 0 + 17k; 17k; así 0 2 0 y además 3j0; los enteros de 1 tienen la forma 1 + 17k 17 k, luego 18 2 1 y 3j18; para la clase 2 los enteros son de la forma 2 + 17k; 17k; luego 36 2 2: Si seguimos este razonamiento y recordando que si dos números dan el mismo resto pertenecen a la misma clase; encontramos el siguiente sistema completo de residuos módulo 17
f0; 18 18;; 36 36;; 54 54;; 21 21;; 39 39;; 6; 24 24;; 42 42;; 9; 27 27;; 45 45;; 12 12;; 30 30;; 48 48;; 15 15;; 33g 3. Los números números de Fermat. Fermat. Pierre Pierre de Fermat ermat a…rmó que todo número número de la forma f n = 2 2 + 1 era primo. Probar que esta aseveración es falsa. n
90
Solución. Los cinco primeros son primos: f 0 = 3; 3 ; f 1 = 5; 5;
f 2 = 17; 17 ; f 3 = 257; 257;
y f 4 = 65537
No así para f 5 ; mostraremos que f 5 es divisible por 641 sin calcular explícitamente f 5 : Consideremos la sucesión de potencias 22 módulo 641. Tenemos n
22 = 4; 4 ; 24 = 16; 16 ; 28 = 256; 256; 216 = 65536
luego
(154)2 = 22371 37166 mod 641 640mod641 1mod641 1mod641
232 23716 640 232
Finalmente
154mod641; 154mod641;
f 5 = 2 32 + 1
lo que signi…ca que f 5 no es primo.
0mod641
4. Encuentre el residuo cuando 1717 es dividido por 7: Solución. Partamos del hecho que 17 3mod7; 3mod7; entonces 1717 317 mod7; luego 2 tenemos que 3 = 9 2mod7; 2mod7; por tanto 34 4mod7: 4mod7: De ahí que 38 16 2mod7 y 316 4mod7: 4mod7: Por tanto
317
Lo que nos conduce a
3 316 12 5mod7 1717
317 5mod7
Luego el número buscado es 5: 5. Pruebe que 237 1 es un múltiplo de 223 223:: Solución. 256 = 28 33mod223; 33mod223 ; entonces 216 332 mod 223 y 332 26mod223; por tanto 232 (26)2 mod 223 y (26)2 = 676 7mod223: 7mod223: De ahí 237 232 25 7 32 224
232 25 mod 223 7 32mod223 224mod223 1mod223
91
esto es
237
1 0mod223
6. Encuentre el resto de la división 1! + 2! + + 100! por 45 45:: Solución. Sabemos que (h + 1)! = (h ( h + 1) h! y que 6! = 720 = 16 45 45;; luego 45j6!: 6!: Por otra parte 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153; observando con cuidado 153
18 = 135 = 3 45
Por todo lo anterior podemos escribir 1! + 2! +
+ 100! 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 18mod45
7. Hallar los números tales que, divididos por 2; 3; 4; 5 y 6 den como resto, 1; 2; 3; 4 y 5 respectivamente. Solución. De las condiciones del enunciado se obtienen las siguientes congruencias, siendo x uno de tales números: x x x x x
1 mo mod 2 2 mo mod 3 3 mo mod 4 4 mo mod 5 5 mo mod 6
= = = = =
) ) ) ) )
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
0mod2 0mod3 0mod4 0mod5 0mod6
Por tanto, x + 1 es múltiplo de 2; 3; 4; 5 y 6; es decir, x + 1 es múltiplo de mcd(2; (2; 3; 4; 5; 6) = 60: 60: Luego, x = 60t 60 t 1; t 2 Z 8. Encuentre el residuo cuando 13 1245 es dividido por 47. Solución. Por el pequeño teorema de Fermat 1246 1mod47: 1mod47: Multiplicando cada lado por 4 tenemos; 4 1246 4mod47 lo que es equivalente a (4 12) 12) 1245 4 1mod47; 1mod47; entonces 1245 4mod47; 4mod47; multiplicando por 13 13;; tenemos 13 1245
52mod47
9. Pruebe que, Si ac bc mod n y (c; n) = 1; entonces a b mod n Solución. Si ac bc mod n; entonces njac bc esto es njc (a b) ; como n es coprimo con c se tiene que n - c; - c; entonces nj (a b) ; equivalentemente a
b mod n 92
10. Encontrar todas las soluciones para a. 20 20x x 4mod30
b. 42 42x x 90mod156
Solución. a. El mcd(20; (20; 30) = 10 y 10 10 - - 44; así por teorema 5.2.2 la ecuación 20 20x x 4mod30 no tiene solución. (42; 156) = 6 y 6j90 90;; entonces existen 6 soluciones principales b. El mcd mcd(42; incongruentes módulo 156 156::Reducimos la congruencia dada a 7x 15mod26: 15mod26: Luego se tienen las siguientes relaciones 33 33x x 7x mod26; mod26; entonces 33 33x x 15mod26; 15mod26; esto último puede escribirse como 11 3x 5 3mod26; 3mod26; como mcd(3; (3; 26) = 1 por el ejercicio anterior es posible escribir 11 11x x 5mod26; 5mod26; pero 15 15x x 11 11x x mod26; mod26; tenemos por tanto 15 15x x 5mod26 y dividiendo por 5, resulta 3x 1 27mod26 ahora dividiendo por 3; x 9mod26: 9mod26: Finalmente x
9 17mod26
Por lo tanto, 7x 15mod26 tiene una única solución x 17mod26: 17mod26: Por el 312 468 624 teorema 5.2.3 las soluciones buscadas son 17 17;; 17 + 156 ; 17 + 6 6 ; 17 + 6 ; 7 + 6 y 7 + 780 6 : 11. Encuentre la única solución de 251 251x x 125mod521. (521 es un primo). Solución. El entero más cercano a 521 251 es 2, multiplicando por 2 la congruencia gruencia y reduciendo reduciendo a módulo módulo 521 obtenemos, 502 502x x 250mod521: 250mod521: 19 19x x 502x 502 x 250 250;; entonces 19 19x x 250mod521: 250mod521: Análogamente multiplicamos por 27 27;; el entero más cercano a 521 513x x 6750mod 6750mod 521 521; luego 19 ; obtenemos 513 8x 513 513x x mod521 y 6750 498mod521; 498mod521; así tenemos 8x 498mod521: 498mod521: Una vez más el entero más cercano a 521 es multiplicando la congruencia 65 65; ; 8 resulta, 520 520x x 323 32370 70 mod 521 521;; luego 32370 453mod521; 453mod521; esto conduce a 520x 520 x
453mod521: 453mod521:
Y …nalmente la congruencia
x 520 520x x 453mod521: 453mod521:
de donde la única solución a la congruencia original es x = 453: 453: 12. Considere el sistema x a mod m, x b mod n donde m; n no son necesariamente primos relativos. Pruebe que si (m; n) divide a, b a, entonces el sistema tiene una solución. Solución. Sea d = (m; n), y suponemos djb a. Entonces Entonces existen existen entero enteross u; v tales que mu + nv = b a: Sea x = a + mu; claramente, claramente, x a mod m. Pero x = a + mu = a + (b (b a) nv = b nv, de donde resulta x b mod n. 93
13. Encuentre todas las soluciones a los pares de congruencias 3x 7y 4mod19, 7x 3y 1mod19 mod19.
Solución. Puesto que (7; (7; 19) = 1, la primera congruencia es equivalente equivalente a la (3x 7y ) 7 4mod19, es decir, 21 21x x 49 49yy 28 mod mod 19: 19: Similarcongruencia 7 (3x 21x x 9y 3mod19: 3mod19: mente, la congruencia 7x 3y 1mod19 es equivalente a 21 Restando ambas congruencias obtenemos, 40 40yy 25mod 19, o equivalentemente 2y 6 mod19: mod19: Esta es una solución y = 3mod19 sustituyendo esta en la primera congruencia, obtenemos 3x 2mod19, dando x 7mod19: 7mod19: Entonces la solución al sistema es x 7mod19; 7mod19; y 16mod19: 16mod19: 14. Encuentre un entero x, 0 < x < 140, que satisface la congruencia x 1mod4, 2x 3mod5, 4x 5mod7: 5mod7:
Solución. Primero ponemos las congruencias en la forma x ai mod mi , enton entonces ces aplicam aplicamos os el teorem teoremaa chino chino del resto. resto. La primer primeraa congru congruenc encia ia es 3mod5; multiplicamos cada lado por 3 aproximada a está forma; para 2x 3mod5; y reducimos a módulo 5 obteniendo x 4mod5; para 4x 5mod7, multiplicamos cada lado por 2 y reducimos a módulo 7, obteniendo x 3mod7. Ahora encontremos b1 ; b2 ; b3 , tales que 5 7b1 1 mod4, 4 7b2 1mod5, 4 5b3 1mod7; 1mod7; es decir, b1 1mod4; 1mod4; 3b2 1mod5; 1mod5; b3 1mod7. Por tanto nosotros podemos tomar b1 = 1, b2 = 2 , b3 = 1. De aquí una solución es x = 35(1)(1) + 28(2)(4) + 20( 1)(3) = 129: 129: Puesto que 4 5 7 = 140, 129 es la única posible solución a este sistema que es menor que 140.
94
5.4 ¿Dónde ¿Dónde están están las las cong congrue ruencia ncias? s? El número ISBN (International Standar Book Number), es un código de dígitos veri…cad veri…cador or de gran utilidad. utilidad. El primer grupo de números números indica el país o el idioma, el segundo grupo de dígitos designa la editorial, el tercer grupo es asignado al libro por la casa editorial y el último dígito es un factor de comprobación de errores. Pero la determinación de este último dígito se hace de una manera muy peculiar, no se asigna al producto bajo algún criterio exclusivo como los anteriores, este dígito que denominaremos x se calcula a partir de los restantes. Si designamos los primeros 9 dígitos como x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ; x6 ; x7 ; x8 ; x9 el décimo dígito veri…ca la relación: 9
x10
X
ixi mod11
i=1
Entonces para el caso de la …gura tenemos x10 x10 x10
(1 8) + (2 4) + (3 6) + (4 0) + (5 4) + (6 8) + (7 9) + (8 5) + (9 8)mod11 8 + 8 + 7 + 0 + 9 + 4 + 8 + 7 + 6 mod 11 57mod11
Esto nos obliga a escoger a x10 = 2 como se muestra en la …gura. El código ISBN detectará todos los errores simples y de transposición, actualmente cualquier programa profesional que trabaje con el ISBN utiliza las congruenci congruencias as para determinarl determinarlo. o. El ordenador comprueba comprueba si el número introintroducido por el usuario con el escáner coincide con el calculado por el [ordenador] mismo, si esto no es así entonces existe algún error.
95
5.5 Ejerci Ejercicios cios Propue Propuesto stoss 1. Escríbase las tablas de adición y múltiplicacaión para Z7 y Z8 : 2. Encuéntrese y enúnciese un críterio de divisibilidad para 3; 5 y 7 (para cada uno) 3. Escríbase una sola congruencia que sea equivalente al par de congruencias x
1mod4; 1mod4; x 2mod3
4. Pruébese que si p es un primo y a2 p (a
j b) :
b2 mod p; mod p; entonces pj (a + b) o bien
5. Demuéstrese la igualdad del estudiante. Si p es primo, entonces (a + b) p (a p + b p )mod p: )mod p:
77
6. Hállese las últimas dos cifras del número 77
7. Calcúlese el residuo que se obtiene al dividir 7077377 entre 11 11:: 8. Muéstrese un sistema reducido de residuos módulo 7 compuestos enteramente por potencias de 3. 9. Pruébese que n6 1 es divisible entre 7 si (n; 7) = 1 10. Pruébese que n7 1 es divisible entre 42, para cualquier entero n: 11. Encuéntrese el menor residuo positivo de : 11.a 3500 Módulo 13 11.b 12! Módulo 13 11.c 516 Módulo 17 11.d 5500 Módulo 17 12. Encuéntrese todas las soluciones de 12.a 87 87x x 57 mod105 12.b 64 64x x 897mod 100 10011 12.c 36 x 1 mod 8180 8180 13. Pruébese. Teorema de Wilson. Si p es un primo, entonces ( p 1)!
1mod p 1mod p
14. Encuéntrese todas las soluciones del par de congruencias 3x 7y 4mod 15, 7x 3y 1mod 15 15. Encuéntrese el menor entero positivo tal que x 5 mod12, x 17mod20, y x 23 mo mod d 42 96
16. Úsese el teorema de Fermat para resolver la congruencia x35 +5x +5 x19 +11 +11x x3 0 mod17
17. Para cualquier primo p; si a p b p mod p; mod p; probar que a p b p mod p mod p2 18. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de cinco números enteros consecutivos, no puede ser nunca un cuadrado perfecto. 19. La suma de las cifras de un número es 20. Si de ese número se resta 205 y se divide la diferencia por 2 se optiene por resultado el número formado por las cifras del primero escritas en orden inverso. Encuéntrese el número. 20. Pruébese que la ecuación 3x2 + 2 = y 2 no tiene solución entera.
97
6 El Últi Último mo Teor Teorem emaa De Fer ermat mat Es dudoso que el ingenio humano pueda llegar a construir un
enigma que el
propio ingenio humano no sea capaz de resolver. Edgar Allan Poe.
En esta sección nos ocuparemos del conocido último teorema de Fermat. El último teorema de Fermat a…rma que la ecuación xn + y n = z n ; donde n es un entero mayor que 2, no tiene soluciones enteras, con la excepción, las soluciones triviales en las que una de las variables es 0. Aquí abordaremos este caso sólo en su aspecto más elemental y para exponentes 4:
6.1 Núme Números ros Comple Complejos jos C No existe un número real x que satisfaga la ecuación p olinómica x2 +1 = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones, es necesario introducir los números complejos. 7.1.1 De…nición. Un número complejo z es un número que se expresa en la forma z = a + bi
p
donde a y b son números reales e i = 1: Decimos que a es la parte real de z y que b es la parte imaginaria, lo cual escribimos como Re (z ) = a y Im (z ) = b
7.1.2 De…nición. Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales. Es decir, si z = a + bi y w = c + di
y z=w
entonces a=cyb=d
7.1.3 De…nición. De…nición. Operaci Operacione oness en C: Sean z = (a + bi) bi) y w = (c + di) di) ; entonces 98
z+w z w
= =
(a + bi) bi) + (c ( c + di) di) (a + bi) bi) (c + di) di)
= =
(a + c) + (b ( b + d) i (ac bd) bd) + (ad ( ad + bc) bc) i
(adición) (multiplicación)
A partir de la de…nición 7.1.3 es fácil veri…car que la terna (C; +; ) es un cuerpo. 7.1.4 De…nición. Complejo Conjugado. Conjugado de z = a + bi es el número complejo z = a bi: El símbolo z se lee conjugado de z . 7.1.1 Teorema. Si z y w son números complejos, entonces: i. z + w = z + w ii. z w = z w iii. Si w = 6 0; 0;
z w
=
z w
iv. Si z es real, z = z v. z + z = 2Re(z 2Re(z ) Demostración. i. Si z = a + bi y w = c + di; con a;b;c y d reales, tenemos z + w = (a + c) + (b + d) i; luego z + w = (a ( a + c) (b + d) i = a bi + c di = z + w: ii. Si z = a + bi y w = c + di; con a;b;c y d reales, tenemos z w = (ac ( ac bd) bd) + (ad + bc) bc) i; z w = (ac ( ac
bd) bd) (ad + bc) bc) i = (a ( a bi) bi) (c di) di) = z w:
iii. Si w = c + di; con c y d reales no nulos simultáneamente, tenemos 1 w 1 w
1 c di = 2 ; c + di c + d2 1 c + di = 2 = c + d2 c + di
= =
De ahí, z 1 =z =z w w
1 w
=z
1 w
w1 = wz
iv. Si z = a + 0i; 0i; z es real, z = a 0i = z: v. Si z = a + bi y z = a bi; entonces z + z = (a ( a + a) + (b b) i = 2a 2 a + 0i = 2a: 2 a: Como a = Re(z Re(z ) ; se tiene que, z + z = 2a 2 a = 2Re(z 2Re(z ) : 99
7.1.5 De…nición. Módulo de un complejo es la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. Esto es
jzj =
p
a2 + b2
7.1.2 Teorema. Sea z; z 0 2 C; entonces i. Re (z ) jz j ii. Im (z ) jz j iii. z z = jz j2 iv. jzz 0 j = jz j jz 0 j v. jz + z 0 j jz j + jz 0 j
6.2 6.2 Ente Entero ross de Gaus Gausss Nos detendremos en esta sección para adquirir algunas herramientas algebraicas que nos permitan tratar nuestro problema principal con mucha más facilidad. Denotemos por Z [i] el conjunto de todos los números complejos de la forma a + bi; donde a y b son enteros. Es decir, el conjunto Z [i] = a + bi : a; b
f
2 Zg
Bajo la adición y multiplicación habituales de los números complejos, Z [i] forma un dominio de integridad, llamado el dominio de los enteros gaussianos o enteros de Gauss. 7.2.1 De…nición. Se llama anillo unitario a un anillo A cuyo producto tiene elemento neutro en A = A f0g : Dicho elemento se denomina uno y se representa por 1A ó simplemente 1; si no hay riesgo de confusión.
7.2.2 De…nición. Sea A un anillo unitario. Una unidad de A es un elemento x 2 A que tiene inverso y 2 A respecto del producto:
100
xy = yx = 1
El conjunto de todas las unidades de A se representa por U ( U (A) ; una propiedad importante del producto de anillos es que se veri…ca la propiedad U ( U (A
B) = U ( U (A) U ( U (B )
Demostración. Empezaremos escribiendo esta propiedad en el lenguaje conjuntista U ( U (A
B) = U ( U (A) U ( U (B )
Si y solo si, U ( U (A
B) U ( U (A) U ( U (B ) ^ U ( U (A) U ( U (B ) U ( U (A B )
i. U ( U (A B ) U ( U (A) U ( U (B ) : Tomemos (a; b) 2 U ( U (A B ) ; por de…nición de unidad, existe (a0 ; b0 ) tal que, (a; b) (a0 ; b0 ) = (aa0 ; bb0 ) = (1A ; 1B ) :
Por de…nición de A B; se sigue que, aa0 2 A y bb0 2 B; pero el producto 0 aa = 1A, por tanto a 2 U ( U (A) y bb0 = 1B ; luego b 2 U ( U (B ) ; de aquí deducimos U (A) U ( U (B ) : que (a; b) 2 U ( ii. U ( U (A) U ( U (B ) U ( U (A B ) : Tomemos (a; b)
2 U ( U (A) U ( U (B ) ; por de…nición de A B; a 2 U ( U (A) y b 2 U ( U (B ) ; por de…nición de unidad, existe a0 2 A y b0 2 B; tal que, aa0 = 1 A y 0 bb = 1 B :
Por tanto (a; b) (a0 ; b0 ) = (1 A ; 1B ) ; de aquí que el par (a; b) es unidad de A
B; i:e; (a; b) 2 U ( U (A B ) : Ejemplo.
Z2 = 0; 1 y Z3 = 0; 1; 2 ; luego Z2 Z3 =
0; 0 ; 0; 1 ; 0; 2 ; 1; 0 ; 1; 1 ; 1; 2
Formemos la tabla para la multiplicación en Z2 Z3
101
0; 0 0; 1 0; 2 1; 0 1; 1 1; 2
0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0
Luego U ( U (Z2 Z3 ) =
0; 1 0; 0 0; 1 0; 2 0; 0 0; 1 0; 2
1; 1
0; 2 0; 0 0; 2 0; 1 0; 0 0; 2 0; 1
1; 0 0; 0 0; 0 0; 0 1; 0 1; 0 0; 0
1; 1 0; 0 0; 1 0; 2 1; 0 1; 1 0; 2
1; 2 0; 0 0; 2 0; 1 1; 0 1; 2 0; 3
Por otro lado, las tablas correspondientes para Z2 y Z3
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
Luego, U ( U (Z2 ) = 1 y U ( U (Z3 ) = 1 : U (Z2 ) U ( U (Z3 ) = Así, resulta claro que U (
1; 1
2 0 2 0 = U ( U (Z2
Z3)
7.2.3 De…nición. Sea A un anillo. Se llama divisor de cero a un elemento x 2 A tal que xy = 0 A para algún y 2 A : Ejemplo. Considere la multiplicación en Z4
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Podemos observar que 2 2= 0
luego 2 es un divisor de cero en Z4 : 7.2.4 De…nición. Se llama dominio de integridad a un anillo unitario y conmutativo sin divisores de cero.
7.2.1 Teorema. El conjunto Z [i] ; bajo la adición y multiplicación habituales de C forma un dominio de integridad. 102
Demostración. La terna (Z [i] ; +; ) resulta efectivamente efectivamente ser un anillo con las operaciones heredadas del anillo C; además se tiene que 1A = 1+0i 1+0i 2 Z [i] y veri…ca que 8z 2 Z [i] ; 1A z = z: Finalmente es claro que Z [i] no tiene divisores de cero, puesto que si hubiese tendriamos que z w = 0 con z y w = 6 0; luego si z = a + bi y w = c + di con b y d no simultáneamente nulos; su producto es (ac db) db) + (cb + ad) ad) i = 0 de aquí que (ac db) db) = (cb + ad) ad) i; pero esto pasa solo si consideramos la parte imaginaria igual a cero. 7.2.5 De…nición. Se dice que A es un dominio euclídeo (DE ) si existe una aplicación
kk : A ! N tal que: i. kxk = 0 si y sólo si x = 0 ii. kxyk = kxk kyk iii. Si x; y 2 A ; existe r 2 A; tal que y jx r y krk < kyk : 7.2.2 Teorema. Z [i] es un anillo euclídeo, con kz k = a2 + b2 : Demostración. i. Es claro que si z = 0 + 0i; 0i; entonces kz k = 0: 0: Ahora, si kzk = 0 =) ka + bik = 0; 0 ; por de…nición de kk ; tenemos a2 + b2 = 0; 0; lo cual ocurre si a y b son cero simultáneamente. i:e; z = 0 + 0i: 0i: ii. Tomemos z = a + bi y w = c + di; di; luego zw = (ac db) db) + (cb + ad) ad) i; 2 db) + (cb ( cb + ad) ad) ik = (ac db) db) + (cb + ad) ad)2 = entonces kzw k = k(ac db)
a2 + b2
c2 + d2 = z
k k kw k :
iii. Para terminar el teorema procedemos como sigue z a + bi (a + bi) bi) (c di) di) ac + bd ad + bc = = = 2 + 2 i 2 2 2 w c + di c +d c +d c + d2
Aplicando el algoritmo de la división resulta
ac + bd = q 1 c2 + d2 + r1 ;
ad + bc
= q 2 c2 + d2 + r2 ;
103
jr1j 12 jr2j 12
c2 + d2 ; c2 + d2 ;
q 1 ; r1
2Z q 2 ; r2 2 Z
Luego podemos escribir z r1 + r2 i = 2 + (q (q 1 + q 2 i) ; w c + d2
de donde obtenemos r=
Este elemeto r obtenemos
r1 + r2 i y=x c2 + d2
(q 1 + q 2i) y 2 Z [i]
2 Z [i] y veri…ca que yjx r: Finalmente calculamos krk y 2
2
krk = (cr21++dr22)2 kwk
como elegimos
jri j 12 luego
k k k k r
c2 + d2 ; entonces
1 1 + 4 4
w =
(c2
jri j 1 + d2 ) 2
1 w < w : 2
k k k k
7.2.6 De…nición. Sean x; y 2 Z [i] : Se dice que z 2 Z [i] es: i. Un máximo común divisor (mcd) mcd) de x; y si z divide tanto a x como a y , y es múltiplo de cualquier otro divisor de ambos. ii. Un mínimo común múltiplo (mcm) mcm) de x; y si z es múltiplo de x y de y; y divide a cualquier otro múltiplo de ambos.
7.2.7 De…nición. En el anillo euclídeo Z [i] un elemento que no sea una unidad se dice que es un elemento primo de Z [i] siempre que = zw donde z y w están en Z [i] ; se tiene que uno de los dos z ó w es una unidad en Z [i] : Un elemento primo es un elemento en Z [i] que no puede ser factorizado en Z [i] en forma que no sea trivial.
7.2.1 Proposición. Si es un elemento primo en el anillo euclídeo Z [i] y jzw donde z; w 2 Z [i] ; entonces divide al menos a uno de los elementos z ó w.
104
7.2.3 Teorem Teorema. a. Factorización actorización única. Sea Z [i] el anillo euclídeo y z = 6 que no es una una unid unidad ad.. Supon Suponga gamo moss que que z = 0 un elemento de Z [i] que 0 0 0 0 0 1 2 3 n = 1 2 3 m donde los i y los j son elementos primos de Z [i] : Entonces n = m y cada i ; 1 i n es un asociado de algún j0 ; 1 i m y recíprocamente, cada j0 es un asociado de algún i :
Demostración. Fijémonos en la relación z = 1 2 3 m = 01 02 03 n 0 : Por la proposición 7.2.1 1 debe 1 j 1 2 3 n ; de donde 1 j01 02 03 m 0 0 dividir a algún j ; como 1 y j son ambos elementos primos de Z [i] y 1 j j0 , ambos elementos deben de ser asociados y j0 = u1 1 donde u1 es unidad de 0 = u1 1 0 0 0 0 : Z [i] :Tenemos, pues, 1 2 3 n = 01 02 03 m 2 m i1 2 Repitiendo el razonomiento sobre esta relación 2 ; y así sucesivamente, después de n pasos el primer miembro se hace 1; y el segundo un producto de un cierto número de 0 (el exeso de m sobre n). Esto obligaría obligaría a que n m ya que las 0 no son unidades. Análogamente, Análogamente, m n; de modo que n = m: Y a lo largo del proceso demostrativo hemos probado también que cada uno de los i tiene algún j0 como asociado y recíprocamente. Al combinar la proposición 7.2.1 y el teorema 7.2.3 tenemos que todo elemento distinto de cero en el anillo euclídeo Z [i] puede ser escrito en forma única (salvo asociaciones) como un producto de elementos primos o es unidad en Z [i] : 7.2.8 De…nición. Un dominio de factorización única (DF U ) U ) es un dominio de integridad en el que se cumplen i. Todo elemento irreducible es primo ii. Todo elemento que no sea unidad es producto de elementos irreducibles. Nótese que como Z [i] es un anillo euclídeo y por teorema 7.2.3, Z [i] resulta ser un dominio de factorización única. Las intenciones de esta discusión sobre la naturaleza de Z [i] ; p es ilustrar las de…niciones, además en adelante será necesario trabajar sobre Z 3 pero no discutiremos su naturaleza, pero usaremos algunas de sus caraterísticas, así el p lector podrá caracterizar a Z 3 siguiendo el ejemplo de Z [i] :
105
6.3 Alguna Algunass Ecuaci Ecuacione oness Diofá Diofánt nticas icas Ternas Pitagóricas. Diofanto trató en su Aritmética Aritmética el problema de encontrar ternas ternas de números 2 2 2 naturales no nulos x;y;z tales que x + y = z : Estas son llamadas pitagóricas porque según el teorema de Pitágoras permiten construir triángulos rectángulos con lados enteros. enteros. En este apartado vamos vamos a encontrar encontrar todas las ternas ternas que 2 2 2 satisfacen a la ecuación x + y = z ; que corresponde al caso n = 2; en la ecuación xn + yn = z n : Primeramente consideremos la terna (x;y;z) x;y;z) pitagórica, entonces también lo será (nx;ny;nz) nx;ny;nz) para cualquier número n; y recíprocamente, dada una terna nx;ny;nz) ; podemos dividir sus componentes por su mcd para pitagórica (nx;ny;nz) x;y;z) = 1: Una terna cuyo mcd es 1 se obtener otra que cumpla además (x;y;z) llama primitiva. primitiva. Si encontramos un método para encontrar las ternas primitivas, las restantes se obtienen multiplicándolas por número arbitrarios, luego el problema estará resuelto. Observemos que un divisor primo de dos de las componentes de una terna pitagórica pitagórica,, divide divide a la tercera. Por ejemplo, ejemplo, pjz ^ pjy; entonces pjz 2 y2 ; con lo que pjx2 por lo tanto tanto pjx: Esto signi…ca que, en realidad, las componentes de una terna pitagórica primitiva son primas entre sí dos a dos, nótese que además es cierto que, en una terna pitagórica hay siempre dos componentes impares y una par. Ahora veamos que z ha de ser par. Consideremos lo contrario, esto es, x ,y impares, x = 2m 2 m + 1; 1; y = 2n 2 n + 1; 1; luego x2 = 4m 4 m2 + 4m 4m + 1; 1;
y 2 = 4n 4 n2 + 4n 4n + 1
Al considerar clases módulo 4 resulta que z 2 = x2 + y2 = 1 + 1 = 2 2
2
2
2
Pero ninguna clase módulo 4 tiene a 2 por cuadrado: 0 = 0; 0 ; 1 = 1; 1 ; 2 = 0; 0;
3 =1
2
Podemos suponer que x es par e y impar. Según lo dicho z es también impar. Consecuentemente z + y, z y son ambos pares. Pongamos x = 2u; 2 u; z + y = 2v; 2 v; z
y = 2w: 2 w: 2
Ahora x = z 2 y2 = (z ( z + y) (z y) ; luego u2 = vw; v > 0; w > 0:
106
Por otra parte (v; w) = 1; ya que si un primo p divide a ambos, entonces 1 (z + y ) + 2 1 (z + y ) 2
p (v + w) =
j pj (v w)
=
1 (z 2 1 (z 2
y) = 12 2z = z; y) = y;
y como (y; z ) = 1; esto es contradictorio. Por la factorizació única en Z; es claro que si vw = u2 con (v; w) = 1; v > 0; cuadrados. Pongamo Pongamoss v = p2 y w > 0; entonces tanto v como w han de ser cuadrados. w = q 2 : Es claro que ( p;q ) = 1: Así tenemos que z = v + w = p2 + q 2 ; y = v
w = p2 + q 2: En particular q < p
Como z e y son impares, p y q deben tener paridad opuesta. opuesta. Sustituyendo Sustituyendo en las fórmulas anteriores obtenemos x2 = z 2
2 y2 = p4 + 2 p 2 p2 q 2 + q 4 p4 + 2 p 2 p2 q 2 q 4 = (2 pq (2 pq ) ;
luego x = 2 pq: 2 pq: En consecuencia la terna original queda de la forma
(x;y;z) x;y;z) = 2 pq;p2
q 2; p2 + q 2
;
donde p; q son números naturales primos entre sí, q < p y de paridad opuesta. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas. En la siguiente tabla mostraremos las ternas para los valores de p 7 p 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7
q 1 2 1 3 2 4 1 5 2 4 6
x 4 12 8 24 20 40 12 60 28 56 84
107
y 3 5 15 7 21 9 35 11 45 33 13
z 5 13 17 17 25 29 41 37 61 53 65 85
7.3.1 Teorema. La ecuación, x4 + y 4 = z 2 no tiene soluciones enteras positivas. Demostración. Si existen soluciones a la ecuación x4 + y4 = z 2 ; entonces x ; y 4 ; z 2 es una terna terna pitagóri pitagórica. ca. Si dividim dividimos os x;y;z por su mcd obtenemos coprimos que siguen cumpliendo la ecuación, luego podemos suponer que (x;y;z) x;y;z) = 1; y claramente esto implica que en realidad son coprimos dos a dos y que la terna x2 ; y2 ; z es primitiva. primitiva. Según los resultados de la sección anterior, x2 = 2 2 pq; y2 = p2 q 2 ; z = p2 +q 2 donde p y q son números enteros coprimos, de distinta paridad y p > q > 0 (intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par)
4
Ahora, p2 = y 2 + q 2 ; luego (q;y;p) q;y;p) es otra terna pitagórica, lo que obliga a que p sea impar, luego q ha de ser par, y así q = 2ab 2 ab, y = a2 b2 ; p = a2 + b2 ; para ciertos enteros a y b coprimos, de paridad opuesta, a > b > 0 (nótese que se trata de una terna primitiva porque ( p;q ) = 1).
2
Por lo tanto x2 = 4ab a2 + b2 y en consecuencia ab a2 + b2 = x2 : Por otra parte (a; b) = 1 implica fácilmente que ab;a2 + b2 = 1: 1 : Si el producto de dos números naturales coprimos es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par.
Concluimos que ab y a2 + b2 son cuadrados y, por el mismo argumento, también lo son a y b: Digamos a = u2 ; b = v2 ; a2 + b2 = w2 : Entonces u4 + v 4 = a2 + b2 = w2 = p < p2 + q 2 = z < z 2 : En resumen, si existe una terna de números positivos (x;y;z) x;y;z) de manera que 4 2 x + y = z ; existe otra (u;v;w) u;v;w ) que cumple lo mismo pero con w2 < z 2 : Si existieran tales ternas debería haber una con z mínimo, lo cual es falso según lo visto, por lo que la ecuación no tiene solución. 4
En particular particular el teorema teorema anterior anterior implica implica que la ecuación ecuación x4 + y 4 = z 4 no tiene soluciones enteras positivas. 7.3.2 Teorema. La ecuación, x4 + y 4 = z 4 no tiene soluciones enteras positivas. Demostración. Si fuese cierto x4 + y4 = z 4 ; para ciertos enteros positivos x;y;z; entonces, de…niendo = z 2 ; tendríamos que x4 + y4 = 2 ; lo cual por el teorema 7.3.1 sabemos que no puede ser, así la ecuación x4 + y 4 = z 4 no tiene solución.
108
7.3.3 Teorema. No exiten enteros positivos x;y;z tales que x3 + y3 = z 3
Demostración. Supongamos que existen números (x;y;z) x;y;z) que cumplen x3 + y3 = z 3 : Dividiéndolos entre su mcd podemos suponer que son primos entre sí y, al cumplir la ecuación deben ser primos dos a dos. Es claro que a lo sumo uno de los tres puede ser par, pero si x e y son impares z es par, luego exactamente uno de ellos es par. Por simetría podemos suponer que x e y son impares. Entonces x + y , x y son pares, digamos x + y = 2 2 p; p; x y = 2q: 2 q: Así x = p + q , y = p q: Consideremos la factorización
x3 + y3 = (x ( x + y ) x2
Sustituyendo obtenemos 3
3
x + y = 2 p 2 p ( p + q )
2
xy + y2
2
( p + q ) ( p q ) + ( p ( p q )
= 2 p 2 p p2 + 3q 3q 2
Podemos a…rmar que p y q son coprimos (un factor común lo sería también de x; y) y tienen paridad opuesta (porque x = p + q es impar) : Cambiando el signo de x;y;z si es necesario podemos suponer que x + y > 0, luego p > 0 e intercambiando x con y si es necesario, también q > 0 (no puede ser que x = y , pues q sería 0, y como (x; y ) = 1 habría de ser x = y = 1, y entonce z 3 = 2; lo cual es imposible). Resumiendo, si existe una solución (x;y;z) x;y;z) con x e y impares, entonces existen números naturales no nulos p y q de paridad opuesta, coprimos tales que el número 2 p p2 + 3q 3q 2 es un cubo. Debemos de justi…car que los números 2 p y p2 + 3q 3 q 2 son coprimos, con lo que cada uno será un cubo. Notemos Notemos primero primero que, como p y q tienen paridad 2 2 3q es impar, de donde se sigue claramente que 2 p;p2 + 3q 3q 2 = opuesta, p + 3q p;p2 + 3q 3q 2 = p; 3q 2 y como ( p;q ) = 1 el único factor común de p y 3q 2 es 3: p; entonces 2 p;p2 + 3q 3q 2 = 1: 1 : Supongamos que es así. En otras palabras, si 3 - p;
Entonces, según lo dicho, 2 p y p2 + 3q 2 son cubos. cubos. Ahora Ahora usarem usaremos os un resultado que posteriormente probaremos. 7.3.1 Proposición. Si los enteros p;q;r cumplen p2 + 3q 3 q 2 = r3 ; ( p;q ) = 1 y r es impar, entonces existen enteros a y b tales que p = a3 9ab2 ; q = 3a 3 a2 b
3b3; r = a2 + 3b 3b2 :
109
La prueba de esta proposición proposición se dará más adelante. adelante. Admitiendo esto, p = a (a 3b) (a + 3b 3b) ; q = 3b (a b) (a + b) :Claramente a y b son coprimos y tienen paridad opuesta (de lo contrario p y q serían pares) : Por otra parte 2 p = 2a (a 3b) (a + 3b nuevo que 3b) es un cubo. Veamos de nuevo los factores 2a, a 3b y a + 3b son coprimos dos a dos, con lo que los tres serán cubos.
3 b son impares, luego un Como a y b tiene paridad opuesta, a 3b y a + 3b factor común de 2a y a 3b es un factor de a y a 3b; y por tanto un factor común de a y 3b: Igualmente un factor común de a + 3b y a 3b lo es de a y 3b; luego basta probar que (a; 3b) = 1: 1 : Puesto que (a; b) = 1; lo contrario obligaría a que 3ja; pero entonces 3j p p y estamos suponiendo lo contrario.
Así pues, 2a = u3 ; a 3b = v3 ; a + 3b 3 b = w3 ; luego v 3 + w3 = 2a = u3 : Nuestro objetivo es encontrar una solución de la ecuación de Fermat con z 3 par y menor que el valor del que hemos partido. Así podremos concluir que no pueden existir tales soluciones ya que no puede haber una mínima. Hemos de u;v;w ) para dejar en tercer lugar la componente par. Como reordenar la terna (u;v;w) 3 3 3 u v w = 2a (a 3b) (a + 3b 3b) = 2 pjz 3 ; lo cierto es que la componente par, sea cual sea, es menor en módulo que z 3 : Falta llegar a la misma conclusión si 3j p: p: Supongamos que p = 3s y que 2 2 3 - q: - q: Entonces nuestro cubo es 2 p p + 3q 3q = 3 2 2s 3s2 + q 2 y los números 32 2s y 3s2 + q 2 son coprimos, pues (s; q ) = 1 obliga a que los únicos divisores comunes posibles sean 2 y 3; pero 3s2 + q 2 es impar (luego 2 no sirve ) y 3 - q; (luego tampoco sirve ) :
Consecuentemente 32 2s = u3 y 3s2 + q 2 = v 3: Por la proposición 7.3.1 3b) ; s = 3b (a b) (a + b) : Por otro lado llegamos a que q = a (a 3b) (a + 3b 2 3 3 2s = 3 2b (a b) (a + b) es un cubo, luego 2b (a b) (a + b) también lo es. Luego hemos encontrado una terna menor que (x;y;z) x;y;z) que satisface la ecuación lo cual no es posible puesto que (x;y;z) primitiva. x;y;z) es primitiva. Para …nalizar probaremos la proposición 7.3.1
p
Demostración. Consideraremos la factorización en Z 3 ; aquí los elementos de norma impar se descomponen de forma única en producto de primos, y esto es su…ciente su…cien te para nuestros nuestros propósitos propósitos.. En efecto, efecto, como ( p;q ) = 1 el p número p + q 3 no es divisible entre enteros no unitarios , es decir, no es divisiblep entre primos que se conservan, y si un primo p = 1 2 se separa y p 1 j p p + q 3; entonces 2 - p p + q 3: Por lo tanto la descomposición en primos es
p 3 = n nr ; r 1
p + q
1
110
donde N ( distintos dos a dos. Tomando omando normas normas queda N ( i ) = pi son primos distintos que r3 = p21n1
p2rn ; r
p 3 es un cubo en Z p 3
luego 3jni para todo i; lo que implica que p + q Por consiguiente consiguiente
p 3 =
p + q
p 3 3 = a3 9ab2 +
a+b
y esto prueba la proposición.
3a2 b
3b3 p 3;
:
6.4 Ejerci Ejercicios cios propue propuesto stoss 1. Pruébese el teorema 7.1.1 2. Pruébese el teorema 7.1.2 3. Pruébese que Z
p
2 es un anillo
4. Pruébese que el anillo Z
p
2 es un dominio euclídeo.
5. Demuéstrese que las únicas soluciones enteras de la ecuación y 2 + 2 = x3 son p y = 5; x = 3: 3 : sugerencia. Considere la factorización en Z 2
6. Defínase y discútase todas las propiedades de Z
p 3
7. Demuéstrese que uno de los números pitagóricos correspondientes a estas ternas debe ser múltiplo de 3. 8. Resuélvase la ecuación x2 + 2y 2y 2 = z 2 en el anillo de los números enteros.
111
Ap Apendice endice
112
7 No Nota tass de Álgeb lgebra ra "El álgebra es generosa, frecuentemente da más de lo que le piden" D’Alembert.
7.1 Estruc Estructur turas as Algebr Algebraic aicas as En esta sección de…niremos varias estructuras algebraicas y algunos elementos. Teniendo como …nalidad presentar una breve semblanza de algunas estructuras algebraicas y así poder situar al lector en una posición más comoda a la hora de realizar la lectura del documento. 7.1.1 De…nición. Sea un conjunto conjunto no vacío. vacío. Llamaremo Llamaremoss ley de composicomposición interna (o simplemente ley de composición) de…nida sobre a toda aplicación:
Si x; y 2 escribimos
: ! (x; y)
! (x; y)
Al elemento x y lo denominamos la composición (por ) de x con y . La de…nición que acabamos de dar, es la formalidad para una operación binaria. binaria. Las operaciones operaciones de suma y producto producto entre números números constituy constituyen en los ejemplos naturales de leyes de composición. 7.1.2 De…nición. Se llama Monoide a toda pareja (; (; ) formada por un conjunto = 6 ; y una ley de composición : Diremos también que de…ne sobre una estructura de monoide. Por ejemplo: ejemplo: Si denota cualquiera de los conjuntos numéricos ya conocidos N; Z; Q; R; C
y denota la suma (+) o el producto () habituales para estos números, las siguientes parejas forman monoides: 113
(N; +) (Z; +) (Q; +) (R; +) (C; +)
(N; (Z; (Q; (R; (C;
) ) ) ) )
7.1.3 De…nición. Se denomina Semigrupo a todo monoide cuya ley de composición es asociativa. En otras palabras, x;y;z
2 =) x (y z) = (x y) z
Por ejemplo. Todos los monoides numéricos considerados en la de…nición anterior: (N; +) ; (N; ) ; (Z; +) ; (Z; ) ; (Q; +) ; (Q; ) ; (R; +) ; (R; ) ; (C; +) ; (C; )
forman semigrupos. 7.1.4 De…nición. Un Grupo es una pareja (; (; ) donde es un conjunto no vacío y
es una operación binaria
: ! (x; y)
! (x; y)
Tal que i. x (y z ) = (x y ) z ii. Existe un elemento e 2 ; llamado elemento de identidad, tal que: 8x 2 ; x e = x = e x
iii. Para cada x 2 existe un elemento, llamado inverso, denotado con tal que:(x) (x) = e
x;
iv. Diremos que el grupo es conmutativo o abeliano si satisface: x y = y x; x; y
8
2
Las siguientes duplas forman grupos conmutativos: (Z; +) ;
(Q; +) ;
(Q; ) ;
(R; +) ;
(R; ) ;
(C; +) ;
(C; )
Las duplas (N; +) ; (N; ) y (Z; ) no forman grupos, puesto que carecen de elemento inverso para la operación respectiva.
114
7.1.5 De…nición. Un Anillo es una terna (; (; ; ) donde es un conjunto no vacío, y son operaciones binarias tales que i. (; (; ) es un grupo conmutativo ii. (; (; ) es un semigrupo semigrupo iii. x (y z ) = (x y ) (x z ), a
8x;y;z 2 distributividad de con respecto
Las siguientes ternas forman anillos: (Z; +; ) ; (Q; +; ) ; (R; +; ) Si un anillo (; (; ; ) satisface iv. (; (; ) es un semigrupo conmutativo, entonces (; (; ; ) se llamará anillo conmutativo. Si (; (; ) es un semigrupo con identidad, diremos que (; (; ; ) se llamará anillo con identidad. identidad. 7.1.6 De…nición. La terna (; (; ; ) es un cuerpo si y sólo si es un anillo conmutativo, con unidad, cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo. Esto es i. (; (; ) es un grupo abeliano ii. ( f0g ; ) es un grupo abeliano iii. a (b c) = a b a c;
8a;b;c 2 :
Son ejemplos de cuerpos: (Q; +; ) ; (R; +; ) ; (C; +; ) ; (Z p ; +; ) Elementos Elementos distinguidos distinguidos de un conjunto conjunto ordenado. Sea un conjunto conjunto ordenado ordenado por una relación relación de orden < i. Primer elemento. elemento. El elemento a 2 se llama primer elemento si y sólo si precede a todos los demás. a
2 es primer elemento () x 2 =) a < x
ii. Último elemento. El elemento b 2 se llama último elemento si y sólo si todo elemento de precede a b: b
2 es último elemento () x 2 =) x < b 115
iii. Elemento mínimo. El objeto m de es elemento mínimo si y sólo si no existe un elemento distinto que lo preceda m
2 es elemento mínimo () 8x 2 : x < m =) m = x
iv. Elemento máximo. El objeto n de es elemento máximo si y sólo si no existe un elemento distinto que lo siga n
2 es elemento máximo () 8x 2 : n < x =) x = n
La función factorial y los números combinatorios 7.1.7 De…nición. La función factorial es la aplicación f : N0
! N
de…nida por
8< :
f ( f (0) = 1 f ( f (1) = 1 f ( f (h + 1) = (h + 1) f ( f (h) si h > 1
La notación más usual para esta aplicación es h!: De este modo lo anterior se traduce en
8< :
0! = 1 1! = 1 (h + 1)! = (h + 1) h!
La expresión h! se lee "h factorial" Propiedades del factorial i. n! = 1 2 3 n ii.
n (n+1)!
=
1 n!
1 (n+1)!
7.1.8 De…nición. Sean los enteros no negativos n y k; tales que n mamos número combinatorio "n sobre k" , al símbolo
n k
=
n! k ! (n k)!
116
n k
k: Lla-
de…nido por
Propiedades de los números combinatorios. i. Dos números combinatorios de órdenes complementarios son iguales
n n! n! = = = k k! (n k )! (n k)!k )!k !
n
n
k
ii. La suma de dos números combinatorios no es, en general, un número combinatorio; pero si tiene igual numerador y denominador consecutivos vale la fórmula
n k
1 n 1 + 1 k
117
=
n k
Respuestas a ejercicios de tipo numérico Capítulo 2. a. b. 1. c. d. e.
verd verdad ader eroo falso also verd verdad ader eroo falso also falso
10. mcd (576; (576; 73) = 1; x = 2 , y = 71 11. 600 y 120 12. 168, 18 13. 576 576;; 162 16. a) 31 31;; 44 b) 3; 2 c) 7; 8 17. para pq es 4; la de p2 q es 6; la de p2 q 2 es 9; y la de pn q m es (m + 1) 1) (n + 1) Capítulo 3. 1. 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13 13;; 21 21;; 34 34;; 55 55;; 89 89;; 144 144;; 233 233;; 377 377;; 610 610;; 987 987;; 1597 1597;; 2584 2584;; 4181 4181;; 6765 6765;; 10946 10946:: 3. u1 + u3 + u5 + + u2n1 = u2n 4. mcd (13; (13; 34) = 1; 1; mcd(5 cd (5;; 610) = 5; 5; mcd (3; (3; 1) = 1; 1; mcd (mcd (10946; (10946; 144) ;mcd (13; (13; 34)) = 2
8.
35 157
547 232
=0 +
=2+
1 4+
2+ 1 17
1 2+
1+
;
1
;
1 1
3+
237 101
1+
1
1 7+ 1 2
=2 + 15 131
=
1 2+
1+
1 1
7+
1 8+
1+
;
285 126
=2 +
1 1+ 1 3
1 3+
1+
1 1 4+ 1 2
1
2+
1 1 1+ 1 3
Capítulo 4. 1. a) Todo x tal que x [x] < 12 ; b) Todo x; c) Todos Todos los enteros, enteros, d) Todo Todo 1 10 x tal que x [x] 2 ; e) Todo x tal que 1 x < 9 3. 143 4. ' (666) = 216; 216 ; ' (153) = 96; 96; ' (16384) = 8192 6. n impar; 35 35;; 39 39;; 45 45;; 52 52;; 56 56;; 70 70;; 72 72;; 78 78;; 84 84;; 90 118
7. n par 8.
X
' (d) = 6 + 12 + 18 = 36
d 1729
j
Capítulo 5. 1. Z7 + 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
Z8 + 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
6 6 7 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 7 0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6 7
3. x 5mod12 6. 43 8. 1; 9; 3; 81 81;; 243 243;; 27 11. a) 9, b) 12, c) 1, d) 13 12. a) 26, 61, 96. b) 624 c) 1829 14. 1; 13 13;; 10 10;; 7; 4 15. 317 16. 17 17x x3 0mod17 19. 983
119
1 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 4 6 1 3 5 1 0 1 2 3 4 5 6 7
3 0 3 6 2 5 1 4 2 0 2 4 6 0 2 4 6
4 0 4 1 5 2 6 3 3 0 3 6 1 4 7 2 5
5 0 5 3 1 6 4 2 4 0 4 0 4 0 4 0 4
6 0 6 5 4 3 2 1 5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1
Conclusiones. Este trabajo es un estudio y una recopilación de las principales de…niciones, propiedades y teoremas que corresponden a un curso clásico de teoría de números, desarrollados en nivel universitario de nuestro país. A lo largo de la construcción de este trabajo, abordamos los números enteros naturales y sus propiedades de divisibilidad que básicamente es lo fundamental en la teoría de números, sin embargo también tratamos la solución de un tipo particular de ecuación, a saber las ecuaciones diofánticas y además vimos la divisibilidad desde la perspectiva de la congruencia; intentando mostrar todo esto desde una óptica más amigable en cuanto a contenido y tratamiento didáctico de la teoría. Además, hemos incluido algunas secciones atractivas donde se muestran algunas aplicaciones para los resultados mostrados. Todo esto lo hemos hecho con el objetivo de contribuir a la formación de estudiantes universitarios que tienen que enfrentar este tipo de cursos, puesto que el …n de este tratado es ser usado como un dispositivo didáctico que facilite la comprensión de la teoría, como medio de consulta y ejercitación y como material de divulgación en general. Sin embargo las matemáticas crecen a un nivel acelerado y la teoría de números no es la excepción, por tal razón la contribución de este material es muy modesta, así teniendo esto presente instamos a estudiantes a profundizar en el estudio e investigación de esta rama de las matemáticas, y a instituciones universitarias y técnicas a modernizar sus programas de estudios para abordar dichos aspectos.
120
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Webgrafía
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