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Teoría de Grafos Matemáticas Discretas: Daniel A. Quinto Pazce Semestre 2016 -1

Matemáticas Discretas

Daniel A. Quinto Quinto Pazce Pazce

1

Concepto Grafo: Un gr graf afo o G= G=(V (V,A ,A,, ) es una es estr tru uct ctu ura 33-tu tupl ple e forma for mado do por un co conj njun unto to de ve verti rtice ces s y ari arist stas as donde: V = {Conjunto de vértices o nodos} V ={v 1,…,vn} A = {Conjun {Conjunto to de aristas o arcos} arcos} A = {a1,…,am} =función de incidencia



Grafos Dirigidos:

Grafos no Dirigidos:

G: a

b

c

2

Grafo: definición de los arcos de un Grafo

Matemátic Mate máticas as Discretas Discretas - Danie Daniell A. Quint Quinto o Pazce

3

Formas de Grafos

Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Pazce

4

Función de incidencia 

= función de incidencia

 : A  V*V a -  ( a )

= ai

Arista

función

(a1)

 (a1)  (v 1.v2 )

(a2 )

 (a 2 )  (v 2.v3 )

(a3 )

 (a 3 )  (v 3.v4 )

(an )

 (a n )  (v n.vn 1)


5

Grafos Dirigidos(o Digrafos): Cuando todas las aristas tienen una orientación, que pueden ser: arista simple. LAZO o bucle: arista que une a un vértice consigo mismo

G: A

B



B es la cola, C es la cabeza C



= conjunto de nodos de arcos que salen (sucesor)   = conjunto de nodos de aristas que entran (predecesor)


6

salen

entrada BUCLE

b

a Entran

En cualquier grafo dirigido sin bucles puede existir o no los nodos llamados: FUENTE Y SUMIDERO o pozo (Nodo ) fuente

G:

1

2

3

(Nodo) sumidero o pozo

las aristas son relaciones “muchos a muchos” entre nodos...


7

Ejemplo:

X1 B

A X4 X2

X6

C

X8 X10

X3

X9

X5

D

NODOS o VERTICES y ARCOS o ARISTAS

X7

NODOS V = { A , B ,C , D }

ARISTAS A = { (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,A) , (B,D) , (C,A) , (C,D) , (D,A) , (D,B) , (D,C)} :

ó Arcos : A = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10}


8

Grafos no Dirigidos: Cuando todas las . . aristas no tienen una orientación . . .

G:

1 A

V

.

B

(v, w) = (w, v)

W

(2, 6) = (6, 2)


9

G’: a

c

G:

b

d

En cualquier grafo no dirigido sin bucles se cumple: n(n - 1) #arcos = 2 ( n = #nodos ),

G:


10

EN GRAFOS DIRIGIDOS: Vértices sucesores, Vértices predecesores CONJUNTO de Vértices Sucesores



 ( Xi)  Vj V /(Vi, Vj)  A Conjunto de Vértices Predecesores

Vj es la cabeza



 ( Xi)  Vj V /(Vj,Vi)  A Vi es la cola


11

Ejemplo:

Conjunto de Vértices Sucesores





(B) = {C, D}

Conjunto de Vértices Predecesores

 (B) = {C, D, E , F}


12

Grado o Valencia de un Vértice: Grado Interior :

Número de aristas que entran d



( Xi) |   ( Xi) |

Grado Exterior : d

Número de aristas que salen 

salen a Bucle

b

salen

Entrada = 2

( Xi ) |   ( Xi ) |

Grado de un Vértice: Número de arcos que inciden en él. d ( Xi)

 d  ( Xi)  d  ( Xi)

Teorema de Euler:

En todo grafo la suma de los grados de los vértices es igual a dos veces el número de aristas

 d ( Xi)  2 | A | Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Pazce

13

TABLA DE GRADOS: Ejemplo:

Salen 2,3,4 1,4 1,4 2

entran 2,3 2,1,4 1 1,2,3

d  ( Xi)

d  ( Xi)

d  ( X 1 )=3

d  ( X 1 )

d  ( X 2 )=2

d  ( X 2 )



d ( X 3 )=2 

d ( X 4)=1

d ( Xi ) =2

d ( X 1 )

=5

d ( X 2 )

=6

d ( X 3 )=1

d ( X 3 )

=3

d  ( X 4 )

d ( X 4 )

=4

=4

*

propiedade s

=3

Teorema de Euler *

d

( X i )  Bucle

suma par  d(x )  18, i

i 1

Max



( | d

Xi



| )  | V | 1, Max ( | d


Xi

|)  | V |



1 14

Teorema: Verificando

4

 d ( Xi)  2( A)

verificando

i 1

18  2(9) 18  18 _ cumple

Ejercicio:

Dada la tabla encontrar el grafo

d  ( Xi)



d ( Xi)

d ( Xi )

d  ( X 1 )

=2

d  ( X 1 )

=2

=4

d  ( X 2 )

=2

d  ( X 2 )

d ( X 1 )

=2

d ( X 2 )

=4

d



( X 3 ) =2

*

d

Salen 2,3 1,3 1,2

entran 2,3 1,3 1,2

( X 3 ) =2 d ( X 3 ) =4


15

E j er c i c i o : g e n e r ar e l g r a f o d i r i g i d o  d  ( Xi) d ( Xi) d ( Xi) =2

=5

=2

=2

=4

=3

=3

=6

=2

=2

=4

=1

=2

=3

=3

( x1 )

( x2 )

( x3 ) ( x4 ) ( x5 )

Salen 3,2,5 1,3 4,2,5 3,1 4

entran 2,4 1,3 1,2,4 3,5 1,3

Tienes un caso


16

SOLUCION

3

2

5

2

2

4

3

3

6

2

2

4

1

2

3

X2

X1

X3

SALEN

ENTRAN

X1

2,3,5

2,4

X2

1,3

1,3

X3

2,4,5

1,2,4

X4

1,3

3,5

X5

4

1,3

X4 X5


17

Grafos Etiquetados o Ponderado: ( X1, X2, W3 ( peso))

Un grafo G es etiquetado si cada vértice y aristas están asociados con cierta información. Las aristas son asignadas: pesos, costos, tiempos, longitudes. Los nodos son asignados: lugares o ciudades.

X = {ciudades} W = {costos}


18

Camino: Es una secuencia de arcos, tales que el vértice extremo de cada

arco es a su vez origen del siguiente arco, excepto el último Ejemplo:

Camino (X1, X4) =(X1,U1,X2,U3,X3,U5,X2,U4,X4) = U1.U3,U5,U4


19

Camino Simple: Es el conjunto de aristas, que no incluyen dos veces la misma arista ( arcos

no se repiten). Camino Elemental: Es el conjunto de aristas, que no incluyen dos veces el mismo vértices (vértices no se repiten) . Por tanto todo camino elemental es simple y el

recíproco no es cierto. Circuito: Es el camino cerrado donde el vértice inicial y final coinciden. En grafos no dirigidos las aristas deben ser diferentes. Circuito Simple: Es un camino simple cerrado , o cuando todos los arcos que lo

forman son distintos Circuito Elemental: Es un camino elemental cerrado, o cuando todos los vértices

que lo forman son distintos. Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Pazce

20

LONGITUD DE UN CAMINO Es el número de aristas que lo contiene a ese camino. Longitud = Es el número de nodos que recorre en ese camino - 1

Camino(X1,X4) = (X1,X2),(X2,X3),(X3,X2),(X2,X4) Longitud (X1,X4) = 4


21

Vértices Adyacentes:

Si existe una arista que los une. X1, a

X2 ,

X2 a X3

Aristas adyacentes U1, y U2 Si existen un vértice común X2 que comparten las aristas U1, y U2


22

Grafo Completo : Kn Cuando cada par de vértices está unido por una arista, o cada vértice esta unido con todos los demás. G:

N (aristas) = n(n-1); donde

n: número de nodos.

G ::

N(aristas)=

n(n - 1) 2


23

Grafo Conexo: Si existe un camino entre cualquier par de vértices o para cualquier

par de vértices existe al menos un camino que los une.

G:

24

Grafo fuertemente conexo (GFC) : Cuando para cada par de vértice existe un camino simple que los une, y exige la presencia del bucle en cada vértice. La matriz cuadrada que tiene por elementos la unidad lo representa GFC

1 1 1   M  1 1 1   1 1 1 3 x3


25

Camino Hamiltoniano (CH): El camino Hamiltoniano es cuando contiene exactamente una vez a todos y a cada uno de los vértices o que incluye a todos los vértices por una vez. Un (CH) es un grafo conexo, que posee un camino cerrado.

CIRCUITO HAMILTONIANO

Es un circuito elemental que incluye a todos los vértices de un grafo


26

Grafos de Camino Hamiltoniano:

1

2

3

4 5

6


27

CAMINO EULERIANO (CE) El camino Eureliano es cuando contiene exactamente una vez a todos y a cada uno de las arcos o que incluye a todos las arcos por una vez, y tiene valencia par. El grafo conexo posee un camino cerrado. G:


28

Circuitos de Euler.

Ejemplo.

3

2

Paso 1. Ciclo: (1, 2, 5, 7, 6, 3, 1)

4 6

5

1

7

3

2

Paso 2. Ciclo: (2, 3, 4, 2)

1

4 6

5 7

1 3

2

Paso 3. Ciclo: (1, 2, 3, 4, 2, 5, 7, 6, 3, 1) 1

Paso 2. Ciclo: (4, 5, 6, 4)

4 6

5 3

2

7

4 6

5

1

7

3

2

Paso 3. Ciclo:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 5, 7, 6, 3, 1)


4 6

5 7

29

CIRCUITO EULERIANO Cuando el grafo es conexo de camino cerrado y todos los vértices tienen valencia par.


30

SUBGRAFO: Dado un grafo G(V,A), un Subgrafo G’=(V’.A’) que cumple las sig. caract:

I)

V’ V

,V=0

,A=0 III) Las incidencias se conservan en G. II)

A’ A

Cada

arista en G’ es incidente de G

31

Un grafo no dirigido, en general obtienen muchos subgrafos, se puede demostrar mediante la siguiente formula:

 n  12 k ( k 1) # subgrafos  k 0  2  k  n


32

Ejemplo: Caso de un Grafo no dirigido de tres nodos:

n = vértices 1 k ( k 1) 3    3  0  3  0  3  1  3  3 3 2   2   2   2   2 k 0  k 2    0   1   2   3   1  3  6  8  18 # ( subgrafos)  18


33

Grafo Isomorfo: Dos grafos G y G’ son isomorfos si existe una correspondencia biunivoca uno a uno entre sus vértices y aristas de modo que las incidencias se conservan


34

Grafo Isomorfo de grafo no dirigido:


35

Producto de grafos: Sea el grafo G(V,A) y el grafo G’(V´, A´), el producto de grafos es otro grafo G=(Z,W) Donde: se obtiene por las incidencias de los arcos simultaneamiento Cantidad de vértices

(vértices) = n(V) x n(V´)

Cantidad de arcos n(arcos) = n(A) x n(A´) Ejemplo: Obtenga el Producto de grafo


36

El producto de grafos G(V ,A) x G(V´ , A´) n(vértices) = 3x2=6

n(arcos) =4x3 =12

G=(Z,W) :


37

Redefiniendo el grafo producto G x G´, se tiene el grafo G. G:


38

Dado la tabla como se muestra mas abajo, obtener el grafo G:

a

b

c

-

-

b

a

c

-

e

c

a

-

b

d

d

-

c

-

e

e

b

-

d

-

G:


39

Ejercicios de obtención del producto de grafos

Obtener el grafo producto :

Dado: los grafos. Obtener el Grafo pr5oducto

Matemáticas Discretas

Daniel A. Quinto Pazce

40

Matrices: Matriz de Adyacencia: La matriz de adyacencia es la matriz cuadrada de un grafo G A= (aij) n*n tal que

1 aij   0

, si  un camino (i,j) 

 

, en otro caso

Ejemplo: Dado G (V,E), obtener la matriz de adyacencia.

G(N,A):

1 1 A = 2 3


2

3

0 1

1

1

1

1

1

1

0

41

Ejercicio: Hallar

la matriz de adyacencia

a)

b)


42

Matriz de Incidencia Es una matriz rectangular m*n de elementos [0,1,-1] de un grafo G

1  A  (aij )mxn / aij   1  0 

 ca min o de (i, j)  ca min o de ( j, i) , en

otro caso

Ejemplo:


43

a1 a 2

a3

a4 a 5 a 6

a7

1

1

1

1

0

0

1

0

2

1

0

1

1

1

0

1

3

0

1

0

0

1

1

1 3x7

Ejercicio: Dado la tabla como se muestra mas abajo, obtener el grafo G:

A 0 B 0 C   0    A  B B  A C - B    C 0  C 0 - A 0   

  A  B 0 0 0  0 A B 0  0 0   C A  D 0 0 0 0  D 0 


 0  0 0 0  44

Ejercicio:

Generar el grafo: a1 a2 a 3 a 4

a)

b)

c)

a5

a6 a 7

1

1

1

1

0

0

1

0

2

1

0

1

1

1

0

1

3

0

1

0

0

1

1

1

 0 1 1  1 0    1 0 1 1 1        1 1 0 0 0  3 x5   1 0 0 0 0  1 0 0 0 0  1 0        0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1    0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0     1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0     0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1   


45

MATRIZ DE CAMINOS P DEL GRAFO G(V,E): a) Método de suma de matrices

b) Método de algoritmos de Warshall Método de la suma de matrices Dado el grafo G , determinar la matriz de adyacencia A A1  A0 A V

A2  A1 A



A3  A2 A K

A

K

A

 Bk

K 1

 AK 1A

A1  A2  A3 

p

i, j

bij

>0

K=|v|

A K  B K

=

1, si existe camino (i,j) 0, en otro caso

Entonces


P= B

46

Ejemplo:



0 0 A   0  0

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0 0 A2   0  0 0 0 A3   0  0 0  4 0 A  0  0

 k  1,2,3,4

1



0 4 x 4

1

1

1  0

1

1

0

0

1  0

0

0

1

0

0

0

1

0   0

1 0

1

1

1

2  0

1

1

0

1

0  0

0

0

0

1

0

0

0

1   0

1 0

1

1

2

2  0

1

1

1

0

1  0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1



1  0





1  0





1  0



1   0

1

0   1 0  1 0   0   0 1 0   1 0  1 0   0   0 1 0   1 0   0 1   0   0

1

1

2

0

1

0

0

1

1

0

1 

1

2

2

1

0

1

1

1

0

1

1 

2

2

3

0

1

1

1

1

1

1



1





1

 

2



1 

A  A1  A2  A3  A4  B4 47

 A=A1  A2  A3  A4 

0 0  0  0

5 6 8

   B4 3 3 5  2 3 3  1

2

3

bij  0 0 0 P   0  0

1 1 1



1 1 1 1 1 1

 1 1 1

A  3

0 1

2

2

0 1

0

1

0 1

1

1

0 0 1 1 Camino 2: longitud 3

Método del Algoritmo de Warschall: Dado el grafo G (V, A), permite determinar la matriz de adyacencia A Wo=A ; donde A= ( aij )n*n , v (I, ,j) K=|v|

0  K  n,W k (i, j )  W k 1 (i, j )  (W k 1 (i, k )  W k 1 (k , j )) Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Pazce

48

Para el ejercicio anterior:  0  0 A   0   0

0 0  Wo= 0  0

1

1

1 

0

0

1

1

0

0

1



1



0  4 x 4

Matriz de Adyacencia

1 1 1



0 0 1 1 0 1

k  1,2,3,4



0 1 0 

Para k=1:

W1(i, j) = W0(i, j) v (W0(i, 1)

W0(1, j ) )

No existe cambio o variacion W1=Wo


49

Para k=2:

W2 (i, j) = W 1(i, j) v (W1 (i, 2) 1

no existe cambio o variación.

W1 (2, j ) ) 4

3

W2=W1 Para k=3:

W3 (i, j) = W 2 (i, j) v (W2 (i, 3) (4,2)=1 (4,4)=1

 0  0 W 3   0   0

1

1 1 

 0 0 1 1 0 1  1 1 1 

W2 (3, j ) )

1

2

4

4


50

Para K=4:

W4 (i, j) = W3 (i, j) v (W3 (i, 4) (2,2)=1 (2,3)=1 (3,3)=1

W3 (4, j ) )

1

2

2

3

3

4

4 0 0 W4   0  0 Entonces

1 1 1

0  0 1 1 1  ,  P =  0 1 1 1   1 1 1 0

1 1 1

  1 1 1  1 1 1 1 1 1

P = W4 , Matriz de caminos P de G

Que es respuesta equivalente al anterior Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Pazce

51

MATRIZ DE CAMINOS MINIMOS DEL GRAFO G(V,A): Alg. de Warschall Dado el grafo ponderado G(V,E), obtener su matriz de camino mínimo P

Obtener la matriz ponderada A de G.

A=(aij) /

 aij >0

W , si existe el camino (i,j)

Q=



,otro caso

Qo=A

ALGORITMO DE WARSHALL

K=|v|

0
= P , matriz de camino Mínimo de G.


52

Ejemplo: Dado el Grafo G(V, E): obtener la matriz de caminos mínimos P.

 7  7 A   0   4

 7 5       0 0 2 7   2   Qo   3    k=1,2,3,4 3 0 0    0 1 0   4  1   5

0

0 


53

Para K=1:

Q1(i, j) = Min ( Q0(i, j), ( Q0(i, 1) + Q0(1, j ) )) (2,2)=12 (4,2)=9 Existe variación

(7)

1

1

(7)

(7)

2

2

(5)

(4)

4

 7 5       7 12  2  Q1    3      4 9 1  


54

Para K=2:

Q2(i, j) = Min ( Q1(i, j), (Q1(i, 2) + Q1(2, j ) )) (5)

1

1

( 7)

(1,4)=7

(12)

2

2

(12)

(3,1)=10

(3)

3

4

(2)

(9)

4

(3,4)=5 (4,4)=11

Existe variación

 7 5  7     7 12  2  Q2   10 3  5     4 9 1 11 


55

Para K=3:

Q3(i, j) = Min ( Q2(i, j), (Q2(i, 3) + Q2(3, j ) )) (1)

4

Existe variación

1

(10)

2

(3)

4

(5)

(4,2)=4

(4,4)=6

 7 5  7     7 12  2  Q3   10 3  5     4 4 1 6 


56

Para K=4:

Q4(i, j) = Min ( Q3(i, j), (Q3(i, 4) + Q3(4, j ) ))

(1,3)=8 (2,1)=6 (2,2)=6 (2,3)=3 (3,1)=9 (3,3)=6

(7)

1

1

( 4)

( 2)

2

2

( 4)

(5)

3

3

(1)

(6)

4

4

(6)

Existe variación

7 6 Q4  P   9  4

7  6 6 3 2  P   9 3 6 5   4 1 6  4 5 8

7


5

8

7

6

3

2



3 6 5  4 1 6 

(Mínimos )

57

Ejercicio: Encontrar la matriz de caminos mínimos por el algoritmo de Warschall

1.-

2.-

Matemáticas Discretas - Daniel A. Quinto Quinto Pazce Pazce

58


59

Repr Re pres esen enta taci ción ón de un gr graf afo: o: Lista de Vértices (V) : INFO

SIG

información

ADY punteros

Lis Li sta de ar aris ista tas s (A (A)): DEST

ENL

puntero

Punteros: Es un una a va vari ria able que co con nti tie ene la di dire recc cció ión n del si sig gui uien ente te el ele eme ment nto o en me memo morria a)INIC ICIIO : No Nod do de inici cio o


60

b)ADISP: Espacio disponible(aristas)

c)NDISP : Espacio disponible (nodos)

TABLA DE ADYACENCIA

Ejemplo:

NODOS

ADYACENTES

A

A,B,C

B

C

C

A,B


61

Representación enlazada:


62


63

Tabla Inicial de Vértices (TIV): A

1

B

4

C

5

Tabla Final de Adyacentes (TFA): 1

A

2

A

3

B C

4 5

C

6

A

7

B


64

Representación interna de un grafo dirigido:


65


66

INICIO = 5 NDISP = 7

INFO

C

SIG

8

4

1

6

3

0

2

0

ADY

3

0

8 0

5

0

0

11

1

2

3

5

6

7

8

ADISP =9

DEST

ENL

3B 5A

B

3B

A

4

D

5A

3B 5A 8D

4

12

10

6

0

13

0

2

1

12

7

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


67

INICIO = 5 NDISP = 7

INFO

C

SIG

8

4

1

6

3

0

2

0

ADY

3

0

8 0

5

0

0

11

1

2

3

5

6

7

8

ADISP =9

DEST

ENL

3B 5A

B

3B

A

4

D

5A

3B 5A 8D

4

12

10

6

0

13

0

2

1

12

5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13


68

Teoría de Grafos.pdf

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