TEORIA-CIRCUITELOR-ELECTRICE

Prof. dr. ing.

Prof. dr. ing.

MIHAI IORDACHE

LUCIA DUMITRIU

TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

MATRIX ROM

CUPRINS

Cap.1

1

Cap.2

PREFATA CONCEPTE DE BAZĂ ÎN TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE 1.1. SEMNALE ELECTRICE 1.2. ELEMENTE DE CIRCUIT 1.2.1. Aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentraţi 1.2.2. Mărimi şi relaţii fundamentale pentru teoria circuitelor electrice 1.2.3. Clasificarea elementelor de circuit 1.2.4. Elemente de circuit pasive 1.2.4.1. Rezistorul 1.2.4.2. Bobina 1.2.4.3. Condensatorul 1.2.5. Elemente de circuit active 1.2.5.1. Surse independente 1.3. CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE 1.4. REGIMURILE DE FUNCŢIONARE ALE CIRCUITELOR ELECTRICE 1.5. TEOREMELE GENERALE ALE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE 1.5.1. Teoremele lui Kirchhoff 1.5.2. Teorema lui Tellegen 1.5.3. Teorema conservării puterilor 1.5.4. Teorema surselor ideale cu acţiune nulă (Vaschy) BIBLIOGRAFIE CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINU (C.C.) 2.1. INTRODUCERE 2.2. RELAŢII DE BAZĂ ALE CIRCUITELOR ELECTRICE REZISTIVE LINIARE 2.2.1. Legea lui Ohm generalizată 2.2.2. Teoremele lui Kirchhoff 2.2.3. Teorema conservării puterilor 2.2.4. Teorema superpoziţiei 2.2.5. Teorema reciprocităţii 2.2.6. Teorema compensaţiei 2.2.7. Teorema lui Vratsano 2.2.9. Teoremele de transfigurare a circuitelor electrice 2.2.9.1. Echivalenţa circuitelor 2.2.9.2. Echivalenţa surselor reale 2.2.9.3. Transfigurarea serie 2.2.9.4. Transfigurarea paralel 2.2.9.5. Transfigurarea stea-poligon complet 2.2.9. Teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent 2.2.10. Teoremele generatoarelor echivalente 2.2.11. Teorema transferului maxim de putere 2.2.12. Relaţii între mărimile unui dipol

1

Pag. 6 8 8 11 11 12 13 14 14 17 21 23 23 26 27 28 28 29 29 30 31 32 32 33 33 33 34 36 37 38 39 40 40 40 41 42 44 48 48 50 54

Cap.3

2.3. ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE: METODE ŞI ALGORITMI DE CALCUL 2.3.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff 2.3.2. Metoda curenţilor de buclă 2.3.3. Metoda potenţialelor nodurilor 2.3.4. Metoda nodală modificată BIBLIOGRAFIE CIRCUITE ELECTRICE ÎN REGIM SINUSOIDAL (CURENT ALTERNATIV – C.A.) 3.1. CONCEPTUL DE CIRCUIT ELECTRIC ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.2. MĂRIMI SINUSOIDALE 3.3. BAZELE METODEI SIMBOLICE DE REPREZENTARE ÎN COMPLEX A MĂRIMILOR SINUSOIDALE 3.3.1. Teorema combinaţiilor liniare 3.3.2. Teorema derivatei 3.3.3. Teorema integralei 3.4. ECUAŢIILE LUI KIRCHHOFF ÎN FORMĂ SIMBOLICĂ 3.5. CIRCUITE DIPOLARE PASIVE ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.6. PUTERI ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.6.1. Puterea activă 3.6.2. Puterea aparentă 3.6.3. Puterea reactivă 3.6.4. Relaţii între puterile active, reactive şi aparente ale unui dipol 3.6.5. Puterea complexă 3.7. CIRCUITE ELECTRICE FĂRĂ CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.7.1. Circuite serie 3.7.2. Circuitul serie R, L, C, şi rezonanţa de tensiune 3.7.3. Circuite derivaţie 3.7.4. Circuitul R, L, C, derivaţie şi rezonanţa de curent 3.8. CIRCUITE CU CONEXIUNE MIXTĂ UTILIZATE ÎN TEHNICĂ 3.8.1. Circuite care debiteză un curent sinusoidal independent de sarcină 3.8.2. Circuite dipolare complet rezistive 3.8.3. Circuit destinat măsurării inductivităţilor 3.9. TEOREMELE CIRCUITELOR ELECTRICE ÎN REGIM SINUSOIDAL 3.9.1. Teorema transferului maxim de putere activă 3.9.2. Teoremele de conservare a puterilor 3.9.2.1. Compensarea puterii reactive. Îmbunătăţirea factorului de putere 3.9.3. Transfigurarea stea-poligon complet 3.9.4. Teoremele generatoarelor echivalente 3.9.4.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (teorema lui Thévenin) 3.9.4.2. Teorema generatorului echivalent de curent (teorema lui Norton) 3.9.5. Eliminarea cuplajelor magnetice

2

55 55 57 62 65 70 71 71 72 75 76 78 79 80 85 88 89 90 90 91 91 93 93 95 100 102 106 106 108 110 110 110 112 116 117 120 120 121 123

Cap. 4

Cap. 5

3.10. ANALIZA CIRCUITELOR LINIARE ÎN REGIM SINUSOIDAL – METODE ŞI ALGORITMI DE CALCUL 3.10.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff în formă simbolică 3.10.2. Metoda curenţilor de buclă 3.10.3. Metoda potenţialelor nodurilor 3.10.4. Metoda nodală modificată 3.11. FUNCŢII DE CIRCUIT BIBLIOGRAFIE CIRCUITE ELECTRICE TRIFAZATE 4.1. INTRODUCERE 4.2. SISTEME DE MĂRIMI TRIFAZATE 4.3. CONEXIUNILE CIRCUITELOR TRIFAZATE 4.3.1. Conexiunea stea în regim simetric 4.3.2. Conexiunea triunghi în regim simetric 4.4. CIRCUITE TRIFAZATE CU CUPLAJE MAGNETICE 4.4.1. Receptor trifazat în conexiune stea cu cuplaje magnetice 4.4.2. Receptor trifazat în conexiune triunghi cu cuplaje magnetice 4.4.3. Linie trifazată cu cuplaje magnetice între conductoarele fazelor 4.5. ANALIZA CIRCUITELOR TRIFAZATE 4.5.1. Introducere 4.5.2. Analiza unor receptoare trifazate simple alimentate cu tensiuni simetrice 4.5.2.1.Receptor dezechilibrat în conexiune stea 4.5.2.2. Receptor echilibrat în conexiune stea 4.5.2.3. Receptor dezechilibrat în conexiune triunghi 4.5.2.4. Receptor echilibrat în conexiune triunghi 4.5.3. Metoda schemei monofazate 4.5.4. Analiza unor receptoare trifazate simple alimentate cu tensiuni nesimetrice, prin metoda directă 4.5.5. Metoda componentelor simetrice 4.5.5.1. Componentele simetrice ale sistemelor de mărimi trifazate nesimetrice 4.5.5.2. Analiza circuitelor trifazate dezechilibrate 4.6. PUTERI ÎN SISTEMELE TRIFAZATE 4.6.1. Puteri în sistemele trifazate funcţionând în regim nesimetric 4.6.2. Puteri în sistemele trifazate funcţionând în regim simetric 4.6.3. Calculul puterilor cu ajutorul componentelor simetrice 4.6.4. Efecte energetice ale regimului nesimetric 4.6.5. Factorul de putere în sistemele trifazate dezechilibrate BIBLIOGRAFIE CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL 5.1. REGIMUL PERIODIC NESINUSOIDAL 5.2. MĂRIMI PERIODICE 5.3. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER 5.3.1. Forme ale dezvoltării în serie Fourier utilizate în ingineria electrică 5.3.2. Calculul armonicilor unei funcţii periodice y(t) prin metoda derivărilor succesive

3

124 124 128 132 136 141 146 148 148 148 152 152 153 154 154 155 155 157 157 158 158 162 163 164 168 168 169 169 170 178 178 179 181 184 186 187 189 189 190 190 192 197

Cap. 6

Cap. 7

Cap. 8

5.4. PROPRIETĂŢI ALE MĂRIMILOR PERIODICE 5.5. PUTERI ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL 5.6. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE PE BAZA DEZVOLTĂRII ÎN SERIE FOURIER 5.7. ANALIZA REGIMURILOR PERIODICE PRIN METODA REGIMURILOR TRANZITORII REPETATE 5.8. CIRCUITE TRIFAZATE ÎN REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL BIBLIOGRAFIE CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM TRANZITORIU 6.1. CARACTERIZAREA REGIMULUI TRANZITORIU 6.1.1. Elemente dinamice de circuit. Regimul tranzitoriu 6.2. METODA VARIABILELOR DE STARE 6.2.1. Mărimile de stare ale circuitelor electrice şi ecuaţiile lor 6.2.2. Formularea ecuaţiilor de stare 6.2.2.1. Metoda topologică a arborelui normal 6.2.3. Soluţiile ecuaţiilor de stare 6.2.3.1. Funcţiile de matrice şi proprietăţile lor 6.3. METODA TRANSFORMATEI LAPLACE 6.3.1. Transformata Laplace 6.3.2. Teoremele transformatei Laplace 6.2.3. Transformata Laplace şi funcţia de circuit 6.2.4. Convoluţia 6.3.5. Ecuaţiile operaţionale ale circuitelor electrice 6.3.6. Transformata Laplace inversă 6.3.7. Metoda separării componentelor tranzitorii şi permanente 6.3.8. Metoda nodală modificată 6.3.9. Funcţii de circuit BIBLIOGRAFIE CUADRIPOLI ŞI FILTRE 7.1. TETRAPOLI 7.2. ECUAŢIILE CUADRIPOLULUI LINIAR 7.3. SCHEMELE ECHIVALENTE ALE CUADRIPOLILOR LINIARI 7.4. IMPEDANŢELE CARACTERISTICE ŞI EXPONENTUL DE TRANSFER PE IMPEDANŢE CARACTERISTICE 7.5. IMPEDANŢELE IMAGINI ŞI EXPONENTUL DE TRANSFER PE IMPEDANŢE IMAGINI 7.6. FILTRE ELECTRICE 7.6.1. Introducere 7.6.2. Studiul filtrelor fără pierderi 7.6.3. Filtre fără pierderi, simetrice 7.6.4. Filtre de tip K BIBLIOGRAFIE LINII ELECTRICE LUNGI 8.1. ECUAŢIILE LINIILOR ELECTRICE LUNGI ÎN MĂRIMI INSTANTANEE 8.1.1. Parametrii primari (naturali) ai liniilor electrice lungi 8.1.2. Ecuaţiile cu derivate parţiale de primul ordin

4

200 203 205 209 211 215 216 216 216 219 219 220 220 222 223 226 226 227 230 231 231 235 239 242 247 250 252 252 253 255 257 261 264 264 265 267 268 271 273 273 273 275

8.1.3. Ecuaţiile cu derivate parţiale de primul doi. Ecuaţiile telegrafiştilor 8.1.4. Bilanţul puterilor instantanee pentru un tronson elementar de linie 8.2. LINII ELECTRICE LUNGI ÎN REGIM ARMONIC 8.2.1. Componentele directe şi inverse ale tensiunii şi curentului 8.2.2. Parametrii liniilor electrice lungi în regim armonic (parametrii secundari) 8.2.3. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în regim armonic 8.2.3.1. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în regim armonic în funcţie de componentele directe şi inverse 8.2.3.2. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi raportate la intrare 8.2.3.3. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi raportate la ieşire 8.2.3.4. Ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în cazuri particulare 8.3. IMPEDANŢA DE INTRARE A LINIEI ELECTRICE LUNGI 8.4. CALCULUL PUTERILOR TRANSMISE PE LINIILE ELECTRICE LUNGI BIBLIOGRAFIE

5

275 276 276 278 281 284 284 285 285 286 289 290 297

PREFAŢĂ Societatea tehnologică se bazează pe două elemente esenţiale: energia şi informaţia. Domeniile legate de conversia, transmisia şi utilizarea energiei ţin de ingineria sistemelor electrice de putere şi de sistemele electromecanice, în timp ce problemele privind informaţia, legate de reprezentare, manipulare, transmisie şi stocare, ţin de discipline precum electronica analogică şi digitală, controlul automat, comunicaţiile. Teoria circuitelor este o disciplină fundamentală în pregătirea studenţilor în ingineria electrică. Bazată pe legile fizicii, această disciplină operează cu abstractizări necesare viitorului inginer de profil electric pentru a rezolva circuitele şi sistemele reale, la un nivel conceptual înalt, undeva între fizică şi matematică. Rolul său de fundamentare teoretică a ingineriei electrice şi de învăţare a tehnicilor practice de analiză şi proiectare a circuitelor, îi conferă un loc important în pregătirea studenţilor pentru studiul circuitelor electronice (curenţi slabi) şi al circuitelor de putere (curenţi tari). În afara frumuseţii sale intrinseci, teoria circuitelor este nu numai un subiect important, dar şi dificil de aprofundat. Pentru a facilita această înţelegere ne-am propus să prezentăm lucrarea de faţă ca o împletire între teorie şi aplicaţii, inclusiv cu algoritmi de calcul, specifici diferitelor etape ale activităţii de proiectare a circuitelor electronice şi a celor de putere. În scopul asigurării unei înţelegeri sistematice şi de profunzime a obiectivelor teoriei circuitelor, am încercat să realizăm un echilibru între conceptualizarea matematică, susţinerea principiilor fizice şi abordarea inginerească a aplicaţiilor. Acestă lucrare cuprinde 8 capitole, structurate după cum urmează: În capitolul 1, intitulat ''Concepte de bază în teoria circuitelor electrice'', sunt introduse noţiuni privind semnalele electrice, elementele de circuit, regimurile de funcţionare ale circuitelor electrice, clasificarea acestora şi teoremele generale ale teoriei circuitelor electrice. Capitolul 2, ''Circuite electrice de curent continuu", este consacrat relaţiilor de bază ale circuitelor de c.c. liniare (legea lui Ohm generalizată, teoremele lui Kirchhoff, teorema conservării puterilor, teorema superpoziţiei, teorema reciprocităţii, teorema compensaţiei, teorema lui Vratsano, teoremele de transfigurare, teoremele divizoarelor de tensiune şi de curent, teorema generatoarelor echivalente, teorema transferului maxim de putere şi relaţiile între mărimile unui dipol). Sunt prezentate detaliat cele mai eficiente metode şi algoritmi de analiză a circuitelor electrice rezistive liniare, cum sunt: metoda generală de analiză, metoda curenţilor de buclă, metoda potenţialelor nodurilor, metoda nodală modificată. În capitolul 3, intitulat ''Circuite electrice în regim sinusoidal'', sunt introduse noţiuni privind conceptul de circuit electric în regim sinusoidal, mărimile sinusoidale, bazele metodei simbolice de reprezentare în complex a mărimilor sinusoidale, ecuaţiile lui Kirchhoff în regim sinusoidal, puterile în regim sinusoidal, teoremele circuitelor electrice în regim sinusoidal (teorema transferului maxim de putere activă, teoremele de conservare a puterilor, transfigurarea stea-poligon complet, teoremele generatoarelor echivalente). Sunt expuse cele mai eficiente metode de analiză a circuitelor electrice liniare în regim sinusoidal: metoda teoremelor lui Kirchhoff, metoda curenţilor de buclă, metoda potenţialelor nodurilor, metoda nodală modificată, metoda curenţilor coarde şi metoda tensiunilor ramurilor. Sunt definite funcţiile de circuit şi sunt prezentate principalele metode de generare a acestora. În capitolul 4, ''Circuite electrice trifazate'', se definesc sistemele de mărimi trifazate, puterile în sistemele trifazate şi conexiunile circuitelor trifazate. Sunt expuse circuitele trifazate cu cuplaje magnetic şi sunt prezentate metodele specifice de analiză a circuitelor electrice trifazate echilibrate şi/sau dezechilibrate în regim simetric şi în regim nesimetric atât pentru conexiunile în stea (cu sau fără conductor neutru) cât şi pentru cele în triunghi.

6

Capitolul 5, ''Circuite electrice liniare în regim periodic nesinusoidal", este consacrat metodelor de analiză a circuitelor electrice liniare în regim periodic nesinusoidal. Sunt definite mărimile periodice, regimul periodic nesinusoidal şi sunt prezentate: proprietăţile mărimilor periodice, dezvoltarea în serie Fourier, puterile în regim periodic nesiunsoidal, algoritmul de analiză a circuitelor liniare în regim periodic nesiunsoidal pe baza dezvoltării în serie Fourier, analiză regimurilor periodice prin metoda regimurilor tranzitorii succesive şi analiza circuitelor electrice trifazate în regim periodic nesinusoidal. Capitolul 6, ''Circuite liniare în regim tranzitoriu", este dedicat metodelor de analiză a circuitelor electrice liniare în regim tranzitoriu. Sunt definite elementele dinamice de circuit, regimul tranzitoriu, problema condiţiilor iniţiale şi sunt prezentate caracterizarea regimului tranzitoriu, conservarea energiei în regim tranzitoriu, ecuaţiile circuitului şi analiza circuitelor electrice în regim tranzitoriu. În cadrul metodei transformatei Laplace sunt prezentate teoremele transformatei Laplace, ecuaţiile în operaţional ale circuitelor electrice, formulele lui Heaviside şi formula lui Mellin-Fourier, metoda descompunerii componentelor tranzitorii şi permanente şi metoda nodală modificată în operaţional. Este descrisă metoda topologică a arborelui normal de formulare a ecuaţiilor de stare pentru circuitele complexe cu elemente în exces. Sunt prezentate cele mai eficiente metode de soluţionare a ecuaţiilor de stare. În capitolul 7, “Cuadripoli şi filtre” sunt expuse noţiunile de tetrapoli, ecuaţiile cuadripolului liniar, schemele echivalente ale cuadripolilor liniari, interconectarea cuadripolilor, impedanţele caracteristice şi imagini şi coeficientul de transfer pe impedanţele caracteristice şi, respectiv pe impedanţele imagini, analiza cuadripolilor simetrici şi studiul filtrelor electrice (filtre fără pierderi şi filtre de tip K). Capitolul 8, “Linii electrice lungi”, este consacrat metodelor de analiză a liniilor electrice lungi în regim armonic. Sunt definiţi parametrii primari şi parametrii secundarii ai linilor electrice lungi şi sunt formulate ecuaţiile cu derivate parţiale de prim ordin şi de ordinul doi (ecuaţiile telegrafiştilor). Sunt prezentate: componetele directe şi inverse ale tensiunii şi curentului, ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în regim armonic, ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi raportate la ieşire, ecuaţiile de transmisie ale liniilor electrice lungi în cazuri particulare (linia fără pierderi, efectele Ferranti de tensiune şi de curent şi linia scurtă), impedanta de intrare a liniei electrice lungi şi calculul puterilor transmise pe liniile electrice lingi. Pentru ilustrarea tehnicilor şi metodelor de analiză prezentate în lucrare toate capitole cuprind numeroase şi variate exemple. Toate exemplele au rezolvări complete, unele în mai multe variante, cu comentarii şi comparaţii între metode. Rod al experienţei didactice precum şi al activităţii de cercetare a celor doi autori în domeniul teoriei circuitelor electrice, lucrarea este astfel concepută încât să pregătească cititorul pentru utilizarea calculatorului în analiza circuitelor electrice şi structurilor neelectrice echivalente din punct de vedere matematic, în vederea optimizării soluţiei de proiectare a acestora, acordând o atenţie specială prezentării algoritmilor şi tehnicilor de calcul. De nivel superior, lucrarea se adresează studenţilor, doctoranzilor, inginerilor cercetători şi proiectanţi, tuturor celor care doresc să-şi însuşească şi să aprofundeze metodele de analiză şi proiectare asistată de calculator a circuitelor electrice. Autorii ţin să mulţumească tuturor colegilor şi doctoranzilor care au citit lucrarea si care au făcut numeroase observaţii şi cu care autorii au avut ample discuţii despre conţinutul şi prezentarea lucrării. Ţinem să mulţumim în mod deosebit domnului dr. ing. Dragoş Niculae şi domnilor doctoranzi: ing. Cătălina Popescu, ing. Dumitru Doncescu, ing. Olivian Stănică şi ing. Andrei Ilie, care au citit cu atenţie conţinutul lucrării şi au sesizat erorile de tehnoredactare şi care, cu mult entuziasm, au edidat o culegere de probleme aferente cursului de Teoria Circuitelor Electrice. Autorii

Bucureşti Martie 2007 7