Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah KOMPETENSI DASAR
Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang dan sisi-sisi segitiga sikusiku Meme!ahkan masa"ah pada #angun datar yang #erkaitan dengan Teorema Pythagoras Menentukan jenis segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya
Tujuan Pembelajara n Siswa dapat menemukan teorema Pythagoras Siswa dapat menghitung panjang sisi segitiga sikusiku jika dua sisi lain diketahui Siswa dapat menghitung perbandingan sisi segitiga istimewa (salah satu sudutnya 300, 600, dan 40! Kiagus Apriyanto
Page 1 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
"# $%&'%&" T%)*%$" P+T"')*"S Televisi sebagai media informasi, memiliki banyak sekali keunggulan keunggulan dibandingkan dibandingkan dengan media lainnya, baik media cetak maupun media elektronik. Salah Salah satu satu keungg keunggula ulanny nnyaa adala adalahh televi televisi si mamp mampuu memv memvisu isuali alisas sasika ikann suatu suatu inform informasi asi secar secaraa langsung langsung.. Untuk Untuk memenuh memenuhii berbagai berbagai kebutuha kebutuhann yang beragam, televise diproduksi dalam berbagai macam ukuran ukuran.. Pada Pada umum umumnya nya,, ukuran ukuran telev televisi isi dinyat dinyataka akann dalam satuan inci (1 inci = , !" cm#, mulai dari 1" inci, 1 inci, $! inci, sampai "% inci. Perlu
diingat,
ukuran
televisi
yang
diny dinyat atak akan an dala dalam m satu satuan an inci inci ters terseb ebut ut meru merupa paka kann pan&ang diagonal diagonal layar televisi. televisi. 'isalkan 'isalkan kamu memiliki memiliki televisi 1 inci. ika lebar televisi tersebut adalah 1) inci, berapakah tingginya* +amu dapat dengan mudah mengh nghitu itung ting tingggi
tel televisi visi terse ersebbut &ika kamu
memahami konsep teorema pythagoras. Pada buku sisa ini kamu akan mempela&ari teorema teorema pythagor pythagoras, as, pengguna penggunaan an teorema teorema pythagor pythagoras, as, perbandingan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimea, istimea, teorema pythagoras dalam kehidupan . Seb Sebelu elum
kamu amu
mempela&a la&ari ri
teor eorema ema
pythagoras pythagoras kamu bela&ar kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan dan segitiga siku-siku karena keduanya terkait dalam torema pythagoras. $
Kuadr Ku adrat at dan dan Akar Akar Kuad Kuadrat rat Suat Suatu u %i"ang %i"angan an
Kiagus Apriyanto
Page 2 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
"# $%&'%&" T%)*%$" P+T"')*"S Televisi sebagai media informasi, memiliki banyak sekali keunggulan keunggulan dibandingkan dibandingkan dengan media lainnya, baik media cetak maupun media elektronik. Salah Salah satu satu keungg keunggula ulanny nnyaa adala adalahh televi televisi si mamp mampuu memv memvisu isuali alisas sasika ikann suatu suatu inform informasi asi secar secaraa langsung langsung.. Untuk Untuk memenuh memenuhii berbagai berbagai kebutuha kebutuhann yang beragam, televise diproduksi dalam berbagai macam ukuran ukuran.. Pada Pada umum umumnya nya,, ukuran ukuran telev televisi isi dinyat dinyataka akann dalam satuan inci (1 inci = , !" cm#, mulai dari 1" inci, 1 inci, $! inci, sampai "% inci. Perlu
diingat,
ukuran
televisi
yang
diny dinyat atak akan an dala dalam m satu satuan an inci inci ters terseb ebut ut meru merupa paka kann pan&ang diagonal diagonal layar televisi. televisi. 'isalkan 'isalkan kamu memiliki memiliki televisi 1 inci. ika lebar televisi tersebut adalah 1) inci, berapakah tingginya* +amu dapat dengan mudah mengh nghitu itung ting tingggi
tel televisi visi terse ersebbut &ika kamu
memahami konsep teorema pythagoras. Pada buku sisa ini kamu akan mempela&ari teorema teorema pythagor pythagoras, as, pengguna penggunaan an teorema teorema pythagor pythagoras, as, perbandingan perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimea, istimea, teorema pythagoras dalam kehidupan . Seb Sebelu elum
kamu amu
mempela&a la&ari ri
teor eorema ema
pythagoras pythagoras kamu bela&ar kuadrat dan akar kuadrat suatu bilangan dan segitiga siku-siku karena keduanya terkait dalam torema pythagoras. $
Kuadr Ku adrat at dan dan Akar Akar Kuad Kuadrat rat Suat Suatu u %i"ang %i"angan an
Kiagus Apriyanto
Page 2 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
Pada bahasan ini, kamu akan dikenalkan pada Teorema Teorema Pythagoras. Teorema Teorema Pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Kegiatan $$
1. +er&akan soal-soal kuadrat dan akar akar kuadrat kuadrat suatu bilangan sesuai contoh di baah ini $ = $ / $ ! = ! / ! . 0silah titik-titik soal di baah ini ini sehingga sehingga sesuai sesuai dengan &aaban. % = % / .... " = .... / " ( .... # = a / a
ika kamu perhatikan soal di atas akan diperoleh a = a / a. adi kuadrat suatu bilangan adalah hasil kali bilangan dengan bilangan itu sendiri. kar kar kuad kuadra ratt dari dari a ( dila dilamb mban angk gkan an dengan
# adalah suatu bilangan tak negatif yang
&ika dikuadratkan dikuadratkan sama dengan a. Perhatikan Perhatikan contoh-contoh bentuk akar kuadrat berikut ini = karena = " dan merupakan bilangan
a.
tak negatif. = 2,! karena (2,!# (2,!# = 2,2)! dan
b.
2,! merupakan bilangan tak negatif. c. ika / = dan / 2 maka = /. 3ontoh 1. 4itung 4itunglah lah nila nilaii kuadrat kuadrat bila bilanga ngan-b n-bila ilanga ngann berikut a. 1 c. %5 b. $! d. 12 . 4itung 4itunglah lah nila nilaii akar kuadra kuadratt bilang bilanganan-bil bilang angan an berikut a
Kiagus Apriyanto
c.
Page 3 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
d.
#
Penyelesaian 1. a. 1 = 1 / 1 = 1""
c. %5 = %5
/ %5 = %.)2" b. $! = $! / $! = 1.!
d. 12 =
12 /12 = 12."2" . a.
=
b.
d.
= 1$
1/ 1
= c.
/
= 247 x 7 =
&
Segi Segiti tiga ga Siku Siku-s -sik iku u
Teorem eoremaa Pytha Pythagor goras as merup merupaka akann sebuah sebuah teorema yang berhubungan dengan segitiga sikusiku. 'asih ingatkah kamu pengertian pengertian segitiga sikusiku* De'inisi(
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya %2 2. Perhatik Perhatikan an gambar gambar segitiga segitiga siku-siku di samping6
Sisi di depan sudut sikusiku
merupakan
terpan&ang
sisi dan
dinamakan hipotenusa. 7 Kiagus Apriyanto
Page 6/11/2017
)am#ar $& Segitiga siku-siku ABC.
3
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
dapun sisi-sisi lain yang
membentuk sudut sikusiku (sisi 7 dan sisi 73# dinamakan sisi siku-siku.
3ontoh Tentukan hipotenusa dan sisi siku-siku dari segitiga siku-siku berikut
+
) cm
Q
L
P%&'%T"" &
5 cm
! cm
12 cm
1$ cm
$ cm 7
3 " cm ,$
R M
! cm
,&
,.
Penyelesaian. Nama Segitiga
Sisi-Sisi Tegak
*ipotenusa
873
7 = " cm dan 3 = $
cm
73
=
! cm 8+9'
9' = 5 cm dan +9 = )
cm
+'
8P:;
P; = ! cm dan P: =
1 cm
:; = 1$ cm
= 12 cm
+atihan $(
1.
2.
4itunglah. a. ) = ....
c. 1, ! = ....
b. 12 = ....
d. , " = ....
3ari akar kuadrat dari
Kiagus Apriyanto
Page ! 6/11/2017
Konon/ #angsa 1Mesir cm kuno te"ah mampu mem#uat sudut siku-siku dengan tepat hanya P dengan menggunakan seutas ta"i Pada ta"i terse#ut di#uat #e#erapa simpu" #erjarak sama Dengan menggunakan !ara terse#ut/ mereka dapat mem#angun rumah/ taman/ hingga piramida yang masih dapat kamu "ihat hingga kini
Teorema Pythagoras
1""
c. !,<)
b. ,!)
d. %22
a.
3.
Belajar lebih mudah
Tentukanlah hipotenusa dan sisi siku-siku pada A
B
7
3
bangun datar berikut
C
.# Teorema Pythagoras $
Pengertian Teorema Pythagoras
matematika
dan
lsafat
berkebangsaan >unani hidup
pada
tahun
yang !)%?"
sebelum 'asehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan baha Siapakah Pythagoras
kuadrat
pan&ang
sisi
miring suatu segitiga siku-siku itu*
adalah sama dengan ¨ah
Pythagoras adalah
kuadrat pan&ang sisi-sisi yang
seorang
lain.
ahli
Kegiatan &$
1. Sediakan kertas karton, pensil, penggaris, lem, dan gunting. . 7uatlah empat buah segitiga yang sama dengan pan&ang sisi alas a = $ cm, sisi tegak b = " cm, dan sisi miring c = ! cm. 9alu guntinglah segitiga-segitiga itu. $. 7uatlah sebuah persegi dengan pan&ang sisi yang sama dengan sisi miring segitiga, yaitu c = ! cm. @arnailah
daerah
persegi
tersebut,
lalu
guntinglah. Kiagus Apriyanto
Page 6 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
". Tempelkan persegi di karton dan atur posisi keempat segitiga sehingga sisi c segitiga berimpit dengan setiap sisi persegi dan terbentuk sebuah persegi besar dengan sisi (a D b#. 9ihata gambar berikut. c a
b
b a
c
c
b c c
a b
!. 0silah titik-titik untuk mencari hubungan antara a, b, dan c. 9uas persegi besar = luas persegi kecil D (" E 9uas segitiga# (a D F# = (...# D
a D ab D b = (...# D F. (...# D G $ G " D (...# = (...# D F. (...# D F. D (...# = (...# D F. (...# D (...# = (...# F. = F. ). Ulangi langkah-langkah diatas untuk nilai a = ), b = 5, dan c = 12. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kamu ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan c* ika kamu perhatikan dengan cermat akan diperoleh hubungan
!& 0 a& 1 #&,
dimana c adalah
pan&ang sisi miring, a adalah pan&ang alas, dan b adalah tinggi. Cari hubungan tersebut dapat dikatakan baha kuadrat pan&ang sisi miring segitiga Kiagus Apriyanto
Page 7 6/11/2017
b a
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
siku-siku sama dengan ¨ah kuadrat sisi-sisi lainya. 0nilah yang disebut teorema Pythagoras Rumus Teorema Pythagoras #er#unyi( 2Pada segitiga siku-siku/ kuadrat sisi terpanjang sama dengan jum"ah kuadrat sisi-sisi penyikunya3 4ontoh(
Hyatakan Teorema Pythagoras yang berlaku pada
segitiga berikut T P
! cm
$ cm
r :
7
J p
s
;
3
" cm
Penyelesaian Tabel berikut memperhatikan hubungan setiap segitiga dan Teorema Pythagoras yang berlaku. Hama Segitiga Teorema Pythagoras !
I ABC = $ D " I PQR
r 2
= p2 + q2
I;ST
t 2
= r 2 + s2
&
Penu"isan Teorema Pythagoras
3
b
Pada materi sebelumnya, kamu telah
a
mempela&ari teorema Pythagoras pada segitiga siku Kiagus Apriyanto
c
Page " )am#ar6/11/2017 &&$ Segitiga siku-siku ABC.
7
Pengetahu an Calil S r Pythagoras pertama kali ditemukan oleh Pythagoras yaitut seorang ahli matematika bangsa >unani yang hidup ; abad ke-) pada 'asehi (kirakira pada tahun !! sebelum 'asehi#
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
siku. 3oba perhatikan Kambar ..1. Kambar tersebut menun&ukkan sebuah segitiga siku-siku 73 dengan pan&ang sisi miring b, pan&ang sisi alas c, dan tinggi a. 7erdasarkan, teorema Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku
b= cD a atau b = L c Da
Kegiatan &&
1. Sediakan kertas karton, pensil, penggaris, dan gunting. . 7uatlah segitiga siku-siku dari kertas karton tersebut. $. 7eri nama segitiga siku-siku tersebut I73 A pada gambar di baah ini seperti
b
C
c
a
B
". Ciperoleh rumus teorema Pythagoras ( ... # = ( ... # D ( ... # !. 7erdasarkan teorema Pythagoras kita dapat menentukan sisi penyikunya. ). 0silah titik-titik di baah ini sesuai dengan teorema Pythagoras sehingga didapat pan&ang sisi-sisi penyikunya.
2 = F. D F. =
a2 = .... - !2 a =
!2 = F. - a2 ! =
Kiagus Apriyanto
a
!
a
!
, atau
, atau
.
Page # 6/11/2017
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
<. Ulangi langkah-langkah diatas untk nilai a = ), b = 5, dan c = 12. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kamu ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan c* ika kamu perhatikan dengan cermat akan di peroleh a = ? ! a = " a2
! =
a
, atau !2
= 2
. a dan ! merupakan
sisi
!
penyiku. 7erbagai
hubungan
yang
ekuivalen
tersebut sangat bermanfaat untuk mencari pan&ang salah satu sisi suatu segitiga siku-siku apabila
pan&ang sisi yang lainnya telah diketahui. 4ontoh
4itunglah Pan&ang setiap ruas garis pada gambar di samping Penyelesaian 1. I A#B siku-siku di M sehingga b = M D M7 = " D 1 = 1< Cengan demikian
AB
1<
satuan pan&ang
. I A#B siku-siku di M sehingga 3 - = M D M3 = " D $$ D $ = ! Cengan demikian. AC
!
! satuan pan&ang
$. I A#$ siku-siku di M sehingga C - = M D MC = " D ! = "1 dengan demikian. A$
"1 satuan pan&ang
". I A#% siku-siku di M sehingga B = M D MB = " D < = )! dengan demikian. A%
)! satuan pan&ang
+atihan &(
1. 'isalnya sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku adalah a& ! 'an
dengan adalah sisi miringnya.
Tentukanlah pan&ang sisi yang belum diketahui pada
Kiagus Apriyanto
Page 10 6/11/2017
M
7 3
C B
A
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
soal-soal berikut. a. a = 1 satuan pan&ang dan
! =
2 satuan
pan&ang b. ! = ! satuan pan&ang dan = ) satuan pan&ang c. ! = 15 satuan pan&ang dan = < satuan pan&ang . Kambarlah letak pasangan titik berikut datum A
koordinat 3artesius, kemudian, hitulah &arak kedua titik tersebut. M
a. (1, $# dan 7 (", <# b. 3 (-$, "# dan M (2, 2#
7
$. Hyatakanlah Teorema
B
3
Pythagoras yang berlaku pada
C
segitiga-segitiga berikut.
/# Penggunaan Teorema
Pythagoras $ Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-Sisi Segitiga
Teorema pythagoras dapat &uga kamu gunakan untuk menentukan apakah sebuah segitiga merupakan segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul. 7agaimanakah caranya*
Kegiatan .$
1. Sediakan kertas kuarto, pensil, penghapus, dan penggaris.
. Kambarlah tiga buah segitiga dengan pan&ang sisi masing-
masing
Kambar 0 ( 1" cm, 1) cm, dan 2 cm #,
Kiagus Apriyanto
Page 11 6/11/2017
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya %22 Segitiga lancip adalah segitiga yang besarnya ketiga sudutnya kurang dari %22 Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salahs atu sudutnya lebih dari %2 2
Teorema Pythagoras
Belajar lebih mudah
Kambar 00( 1 cm, 1) cm, dan ) cm #, dan
Kambar 000( 1! cm, 2 cm, dan ! cm #.
$. 7erilah nama pada segitigasegitiga tersebut dengan segitiga 0 adalah I73, segitiga 00 adalah I+9', dan segitiga 000 adalah C
R
( IP:; seperti di 2 cmpada gambar
baah ini
2 *
2) *
B
1" cm
2, * M
12 *
1) cm A
(0#
1 *
1) * L
P
( 00 #
( 000 #
". 7andingkan antara kuadrat sisi terpan&ang dan ¨ah kuadrat dua sisi lainnya. !. 0silah titik-titik untuk menentukan segitiga tersebut.
Kiagus Apriyanto
Q
Page 12 6/11/2017
.
A
F.
... D
C 2+
F
!) F
AB2 ...
"22
F.
BC 2
.
1"
9
D 1)
9'
F 2
F
F.
+
D
F
+' 1
D !)
F "22
D 1) F )
F.
F.
). Ulangi langkah-langkah di atas untuk gambar 000. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kamu ketahui tentang hubungan antara kuadrat sisi terpan&ang dan ¨ah kuadrat dua sisi lainnya* ika kamu perhatikan dengan cermat, pada gambar 0 diperoleh "! N "22 atau 3 D 7 N 73 maka 8 ABC merupakan segitiga lancip. Pada gambar 00 diperoleh "22 O )<) atau +9 D 9' O +' maka I+9' merupakan segitiga tumpul. Pada gambar 000 diperoleh )! = )! atau P; D P: = :; maka IP:; merupakan segitiga siku-siku. 'aka dengan cara membandingkan kuadrat sisi terpan&ang dengan ¨ah kuadrat dua sisi yang lain kita dapat menentukan apakah sebuah segitiga tersebut merupakan segitiga lancip, segitiga tumpul, atau segitiga siku-siku. 'isalnya, sisi adalah sisi terpan&ang pada 8 ABC .
ika a + ! =
B
a
C
maka,
8 ABC
!
merupakan segitiga siku-
A
siku.
Kambar $.1. Segitiga siku-siku 73
ika a2 + ! 2 2 maka, 8 ABC merupakan segitiga
lancip. ika a + !2 / 2 maka, 8 ABC merupakan segitiga
tumpul.
4ontoh Soa" .$(
Tentukanlah &enis-&enis segitiga ( berikut
C
R
12 cm
5 cm A
Q
13 *
B
< cm
*
* ) *
M L
33 *
0 * P
Penyelesaian 1. Urutkanlah pan&ang sisi segitiga tersebut mulai dari sisi yang terpendek. +amu peroleh 3 = < cm, 7 = 5 cm, dan 73 = 12 cm. kemudian bandingkan antara kuadrat sisi terpan&ang dan ¨ah kuadrat dua sisi lainnya. AC 2+ AB2 ... BC 2 2 + 02 . . . 1,2
"% D )" ... 122
11$ N 122
Mleh karena kuadrat sisi terpan&ang lebih kecil daripada ¨ah kuadrat dua sisi lainnya maka. 8 ABC merupakan segitiga lancip. . Urutkanlah pan&ang sisi segitiga tersebut mulai dari sisi yang terpendek. +amu peroleh +9 = ) cm, LM = 0 cm, dan +' = 1$ cm. +emudian, bandingkan antara kuadrat sisi terpan&ang dan ¨ah kuadrat dua sisi lainnya. +9 D 9' . . . +'
) D 5 . . . 1$
$) D )" . . . 1)%
122 O 1)%
Mleh karena kuadrat sisi terpan&ang lebih besar dari pada ¨ah dua sisi lainnya maka +9' merupakan segitiga tumpul. $. Urutkanlah pan&ang sisi segitiga tersebut mulai dari terpendek. +amu peroleh P: = $$ cm, P; = "" cm, dan :; = !! cm. +emudian bandingkan antara kuadrat sisi terpan&ang dan ¨ah kuadrat
dua sisi lainnya. P: + PR2 . . . QR2
$$ D "" . . . !!
1.25% D 1.%$) . . . $.2$
$.2! = $.2!
Mleh karena kuadrat sisi terpan&ang sama dengan ¨ah kuadrat dua sisi lainnya maka PQR merupakan segitiga siku-siku. & Penggunaan Teorema Pythagoras pada %angun Datar
Pada kondisi tertentu, teorema pythagoras digunakan dalam perhitungan bangun datar. 'isalnya,
menghitung
pan&ang
diagonal,
menghitung sisi miring trapesium, dan lain sebagainya. Kegiatan .&
1. Sediakan kertas kuarto, pensil, penghapus, dan penggaris. . Kambarlah sebuah persegi 73C dengan pan&ang sisi a satuan pan&ang. $. Kambarlah diagonal 3 dan 7C seperti pada a 3 C gambar berikut.
a
a
a
7
". 7erdasarkan teorema pythagoras tentukan pan&ang diagonal 3 dan 7C. !. 0silah titik-titik untuk menentukan pa&ang diagonal 3.
3 = 7 D
3 = C D
F.
F.
3 = a D F
a D F. 3 =atau
3 =
3 = 3 = F.
3 = F.
Can
7C = 7 D
7C = C D
F.
F. atau
7C = a D F.
7C = a D F.
7C = 7C = F.
7C = 7C = F.
). Ulangi langkah-langkah di atas pada persegi yang mempunya sisi 5 cm. setelah melakukan kegiatan tersebut, bagaimana cara menghitung pan&ang diagonal pada persegi dan persegi pan&ang* ika kamu perhatikan dengan seksama 3 = 7 D 3 dan 7C = 7 D C dimana 3 dan 7C merupakan diagonal persegi 73C sedangkan rumus di atas merupakan teorema pythagoras. 'aka teorema pythagoras dapat digunakan untuk menentukan pan&ang diagonal persegi dan persegi pan&ang. Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini. 4ontoh Soa" .&(
1. Perhatikan gambar persegi pada
73C gambar di
samping. ika sisi persegi <
cm,
tentukan pan&ang diagonal 3, b.
pan&ang diagonal 7C,
c.
pan&ang B, dan
d.
< cm
B
tersebut
adalah a.
3
C
luas persegi 73C
7
Penye"esaian(
a. Cengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku hubungan 3 = 7 D 73 3 = < D < = "% D"% = %5 3 = = =< adi pan&ang diagonal 3 = <
cm.
b. Calam sebuah persegi, pan&ang diagonal memiliki ukuran yang sama dengan diagonal lain. adi dapat dituliskan Pan&ang diagonal 7C = pan&ang diagonal 3 =< c. Perhatikan gambar pada soal. Pan&ang garis B adalah setengah dari pan&ang garis 3. Sehingga FFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFF 4ontoh Soa" ..(
Pe
1.
rhatikan
gambar
persegi
pan&ang
73C, di samping. Ciketahui
ukuran
pan&ang dan lebar persegi
pan&ang
tersebut
berturut-
turut adalah 1! cm dan
5
cm. C
Tentukan a.
luas
3 B
persegipan&ang 73C, b.
pan&ang
diagonal
7C, dan c.
pan&ang 7B.
Penye"esaian(
a.
9uas persegi pan&ang 73C dapat dihitung sebagai berikut 9uas persegi pan&ang = pan&ang G lebar = 1! G 5 = 12 adi luas 73C = 12 cm
b.
Cengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku hubungan 7C = 7 D C 7C = 1! D 5 = ! D )" = 5% 7C =
1! cm
5 cm
7
adi pan&ang diagonal 7C = 1< cm. c.
Perhatika n gambar6 Pan&ang garis 7B adalah
kali
pan&ang diagonal 7C, sehingga Pan&ang 7B = =
pan&ang diagonal 7C / 1< =
adi pan&ang 7B =
cm.
4ontoh Soa" .5(
1.
Perhatikan trapesium 73C pada gambar di samping. Ciketahui pan&ang alas trapesium < cm, pan&ang sisi atas " cm, dan tinggi trapesium " cm. Tentukan a.
pan&ang sisi miring C,
b.
keliling trapesim 73C, dan
c.
luas trapesim 73C.
C
B
Penye"esaian(
a. Perhatikan segitiga CB pada gambar. Ciketahui pan&ang CB adalah " cm dan pan&ang B adalah cm.
Cengan
menggunakan
Pythagoras, berlaku hubungan C = B D CB C = $ D " = % D 1) = ! C = adi pan&ang C = ! cm.
3
" cm
$
" cm
teorema
7
b. Untuk mencari keliling trapesium, dapat dihitung sebagai berikut +eliling trapesium 73C = pan&ang 7 D pan&ang 73 D pan&ang 3C D pan&ang C = < D " D " D ! = 2 adi keliling trapesium 73C = 2 cm. c. Untuk mencari luas trapesium, digunakan rumus sebagai berikut FFFFFFFFFFFFFFFFFFF FFFFFFF.. FFFFFFFFFFFFFFFFFF.. adi luas trapesium 73C = cm . +atihan
1. Tentukan &enis-&enis segitiga pada gambar berikut.
,d
,#
,a
,!
. Tentukanlah &enis-&enis segitiga berikut berdasarkan ukuran yang diberikan. a. 8 ABC dengan 7 = 12 cm. 73 - " cm, dan 3 - < cm b. 8 (LM dengan +9 = $1,! cm, 9' = $,! cm, dan +' = ".! cm c. 8456 dengan ST = $
$ *, 56 !
$ *, 'an 46
"
$ *
d. 8 789 dengan > = (1
#
*, 89
(
*, 'an 79
$. Sebuah persegi memiliki pan&ang diagonal ) cm. Tentukan a. pan&ang sisi persegi, b. luas persegi tersebut.
($
# *
# Perbandingan Sisi-sisi Segitiga Siku-siku stimewa Segitiga siku-siku istimea terdiri atas dua &enis, yaitu segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya "! 2 dan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya )2 2. $
Segitiga Siku-siku yang sa"ah satu sudutnya 567
A ,
Kegiatan 5$
Perhatikanlah gambar disamping
!
Pan&ang sisi 73 adalah a satuan
7 C
pan&ang. dapun 37
%22
adalah
demikian, kamu peroleh 73
?
= 1522
(37
D
73#
= 1522 ? (%22 D "!2# = 1522 ? 1$!2 = "!2 Mleh karena
73 = 37 ? "!2 maka
73
merupakan segitiga siku-siku sama kaki. kibatnya, pan&ang 73 = 3 = a satuan pan&ang. 'enurut Teorema Pythagoras, 2 = a2 + !2. oleh karena a = ! maka 2
= a2 + !2
B 3
Kambar ".1 Segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya "!2
dengan
a
= a2 + a2 = 2a 2 =
a
a
Cengan demikian, a
1 .1 .
a : ! : = a : a :
Perbandingan sisisisi pada segitiga siku-siku
sama
kaki 73 dengan c
sebagai
hipotenusanya adalah 1 1 &
Segitiga Siku-siku yang Sa"ah satu sudutnya 87 7
Perbandingan sisisisi pada segitiga sikusiku 73 yang salah satu sudutnya )22 dengan c sebagai
hipotenusanya
adalah a b c = 1 $ 4ontoh (
Tentukan pan&ang sisi-sisi yang belum diketahui pada segitiga berikut. ; 2
1 cm "!2
P
Penye"esai
$2
' ,$
:
! cm +
1. 8P:; siku-siku di ; dan 8;P: = "!, sehingga 8P:; merupakan segitiga siku-siku sama kaki dan berlaku perbandingan P; :; P: = 1 1 Mleh karena P; 1 cm, maka
1
P; :; = 1
P; = :; = 1 cm. Selain itu, P; P: =
,&
9
1.
P:
; PR
; 1
1
*
. 8+9' siku-siku di + dan +9' = $2 Cengan demikian berlaku perhandingan +' +9 9' = 1.
$ . ,
=1
Mleh karena +' = ! cm maka +' 9'
9' = / +' = / ! = 12 cm. Selain
itu, +' +9 = 1.
$
(L
$
7 (M
$ 7 !
$
*
+atihan 5
1. 'isalnya, 873 adalah segitiga siku-siku
sama
kaki.
Tentukan
pan&ang dua sisi segitiga yang belum diketahui
apabila
pan&ang
Tembok
sisi
miringnya adalah " cm. . 3ahaya
sebuah
diarahkan
lampu
senter
pada sebuah tembok )22
seperti tampak pada gambar di Senter
samping. Tentukanlah &arak antara lampu senter dan tembok pada gambar
tersebut.
$. 4itunglah pan&ang sisi-sisi yang belum
diketahui
pada
gambar
berikut.
%# Teorema Pythagoras dalam 1ehidupan
Teorema pythagoras sering kamu
temukan
)m
dalamkesehatianmu.
9angkah-langkah
untuk
menyelesaikan soal-soal terapan yang berhubungan dengan Teorema pythagoras dapat kamu lihat pada diagram di baah ini6 7uat sketesa gambar segitiga siku-sikunya. Perumusan masalah Soal Terapan
Perhatika n
Periksa kembali hasil perhitungan 'emperole& 4asil perhitungan
Kambar Ciagram langkah-langkah menyelesaikan soal-soal terapan yang berhubungan dengan teorema pythagoras.
4ontoh
Perhatika n gambar di samping sebuah tangga bersandar pada tembok dengan posisi seperti pada gambar. arak antara kaki tangga dengan tembok
9akukan
Perhitungan
meter dan &arak antara tanah dan u&ung atas tangga 5 meter. 4itunglah pan&ang tangga tersebut6 9a:a#
3
9angkah pertama adalah menggambarkan apa yang diceritakan dalam soal. Kambar
5m
di
samping
menun&ukkan
sebuah
segitiga siku-siku 73
m
yang memiliki pan&ang
7
3 (&arak tanah ke u&ung atas tangga# 5 meter, pan&ang 7 (&arak kaki tangga ke tembok# meter, dan 73 dimisalkan tangga yang hendak dicari pan&angnya.
9angkah kedua, gunakan teorema
Pythagoras
sehingga hubungan 73 = 7 D 3 73 = D 5 73 = " D )"
berlaku
73 = )5 m 73 =
adi pan&ang tangga adalah
.
+atihan 6
1. arak aman ketika menonton televisi adalah ) kali pan&ang diagonal televisi tersebut. Tentukan &arak aman menonton sebuah televisi yang berukuran 2 inci (1 inci = ,!" cm#. . mron dan 3athy bermain layang-layang. Pantai tali layang-layang !2 m. 3athy berdiri tepat di bah layang-layang, tersebut. dapun &arak antara 3athy dan mron $2 m. Tentukan tinggi layang-layang saat itu. $. oni berenang menyeberangi sebuah sungai dengan lebar 1 meter, sesampainya di seberang, ternyata oni telah terbaa arus se&auh ! meter. Tentukan &arak yang ditempuh oni saat menyeberangi sungai tersebut. ".
Sebuah batang besi sepan&ang " meter disandarkan membentuk sudut )2 2 pada sebuah tembok. a. Tentukan &arak antara dan 3 b. Tentukan &arak antara 7 dan 3 7
!. Sebuah segitiga dibuat dengan menggunakan tiga besi. Pan&ang dua batang besi di
)2o
3
antaranya adalah 2 cm dan "5 cm. a
Tentukan
pan&ang
besi ketiga agar diperoleh segitiga siku-siku6 #
pabila
pan&ang
besi ketiga kurang dari "5 cm, segitiga apa
yang
akan
diperoleh* !
pabila
pan&ang
besi ketiga lebih dari !! cm, segitiga apa
yang
akan
diperoleh* E;A+
1. ika sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku adalah ) cm dan 5 cm, maka pan&ang sisi miringnya adalah FF a
5 cm
c. 12 cm
#
% cm
d. 11 cm
. ika sisi-sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku adalah ! cm dan < cm, maka pan&ang sisi miringnya adalah F.... a.
!,) cm
c. <,) cm
b.
),) cm
d. 5,) cm
$. ika pan&ang dan lebar suatu persegi pan&ang adalah 1 cm dan % cm maka pan&ang diagonalnya adalah FF a.
1! cm
c. 1< cm
b.
1) cm
d. 15 cm
". Sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah 5 cm. dapun pan&ang salah satu sisi sikusikunya ! cm. Cengan demikian, pan&ang sisi siku-siku yang lainnya adalah FF a.
),! cm
c. 5,! cm
b.
<,! cm
d. %,! cm
!. Seorang tukang kayu membuat segitiga sikusiku dengan salah satu sudutnya $2Q. Pan&ang sisi didepan sudut $2Q tersebut adalah "2 cm. Pan&ang hipotenusanya adalah FF a.
<2 cm
c. %2 cm
b.
52 cm
d. 122 cm
). Sebuah kapal berlayar ke arah utara se&auh 11 km. +emudian kapal tersebut berbelok ke arah barat dan berlayar se&auh % km. arak dari titik aal ke berangkatan ke titik akhir adalah .... a. FFFF
c. FF
b. FFFF
d. FF
<. Ciantara segitiga berikut yang merupakan segitiga siku-siku adalah FF a. $ cm
L!% cm
< cm
b.
L12! cm ! cm % cm
c.
P"us 1 L2 cm
L cm L1< cm
Tiga bilangan asli yang memenuhi teorema Pythagoras disebut tripel Pythagoras. 3ontoh tripel Pythagoras adalah bilangan ), 5, dan 12.
! cm
d. L1< cm
L12 cm
5. ;umah 'ustofa ber&arak 2.! km di sebelah karat sekolah. dapun rumah nion ber&arak l, +m di sebelah utara sekolah. arak rumah kedua adalah F... a. 1.$ km
c. 1,< km
b. 1,! km
d. 1,% km
%. I PQR
terletak pada diagram
3artesius.
+oordinat P (l, )#, : ( l, #, dan ; (<, #. Pan&ang P:, P;. dan :; berturut-urut adalah FF a. 5, 5, dan 5 1$
b.
5, 5
d.
",
, dan 5 satuan pan&ang
b. ), ", dan 1$
satuan pan&ang
satuan pan&ang
, dan ) satuan pan&ang
12. Perhatikan gambar di samping. 4ubungan yang a .... terdapat pada gambar tersebut adalah a. e2 = a2 + !2 " 2
b
c
b. e2= a2 + !2 " ' 2 c. e2 = a2 + !2 + 2
e
d
d. e2= a2 + !2 + ' 2 11. Perhatikan tabel berikut Hama
Pan&ang
Sisi
(cm#
Segitiga I73 $ 12 1 ICBA $ " ) I+9' ) 5 % IP:; 12 " ) Pada tabel tersebut, segitiga yang merupakan
segitiga siku-siku adalah FF. a.
I73
c.
ICBA
d.
I+9' b. IP:; 1. Seutas
kaat
ba&a
dibentangkan
dari
permukaan tanah ke puncak sebuah menara seperti tampak pada gambar di samping. Tinggi menara tersebut adalah .... a.
"
*
$
)22 " m
b. 5" m c. "
*
d. "
$*
1$. Perhatikan gambar berikut.
M
Pada ruas garis dengan pan&ang a terdapat a pada garis . . . 7 a. #B c. #$
a
b. #C d. #%
3
a
1". Sebuah kotak memiliki pan&ang 5 cm lebar "
B
a
C
cm, dan tinggi $ cm seperti pada gambar berikut. Segitiga 7CK merupakan segitiga FF. a
Siku-siku
#
Tumpul
!
9ancip
d
Sama kaki
4
K
B
A C
3 *
7
0 *
1!. Perhatikan gambar berikut luas I73 adalah
$ cm
C
FF a. 12 cm 1! cm
b. 52 cm c. %2 cm d. 122 cm
5 cm
A
1). di, 7eni, dan 3andra mencoba untuk
A
7 C
B
mengukur lebar sebuah sungai. ika &arak .di dan 7eni "2 meter maka lebar sungai tersebut adalah . . . a. 2 m b. $2 m c. "2 m d. )2 m 1<. Perhatikan gambar di 3
samping.
7
3
ika
+elipatan dari bilangan bilangan tripel Pythagoras &uga merupakan tripel Pythagoras, contohnya 1, 1), dan 2 yang merupakan kelipatan dari ), 5, dan 12
pan&ang 1!
AC =
cm B3 ! cm C = ) cm.
dan
73 = $ cm. maka pan&ang 7 adalah ... a.
!
) *
b.
)
! *
P"us 1
c.
$2
d.
15 12 *
*
7
15. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang pan&ang ketiga sisinya berturut-turut F.. a. ) cm, 5 cm, dan 12 cm b. < cm, 5 cm, dan 1 cm c. 1 cm, $ cm, dan 12 cm d. < cm, 5 cm, dan 12 cm 1%. Perhatikan gambar berikut. 7angun persegi hi&au tersusun atas empat segitiga siku-siku
dengan ukuran a. b, dan c satuan pan&ang. dapun sisi persegi kuning adalah c satuan pan&ang. Cengan demikian, luas persegi hi&au adalah ... a. a2 + !2
c. 2 " !2
b. 2 + a2
d. 2 " a2
2. Suatu segitiga siku-siku sama kaki sisi miringnya 12 cm, pan&ang kaki-kakinya adalah ..... cm a. 1$ cm
c. 1! cm
b. 1" cm
d. 1) cm
% Kerjakan soa"-soa" #erikut dengan #enar= $
4itunglah pan&ang sisi segitiga yang belum diketahui pada gambar berikut. ! cm
5 cm
2 cm
5 cm $2 cm "5 cm
&
Sebuah segitiga sama kaki memiliki alas sepan&ang 1 cm. Tentukanlah
.
a
tinggi segitiga tersebutR
#
luas segitiga tersebutR dan
!
keliling segitiga tersebut.
< cm $22
$22
Sudut yang dibentuk oleh diagonal sebuah persegi pan&ang dan sisi terpendeknya adalah )22. Tentukanlah luas persegi pan&ang tersebut &ika pan&ang diagonalnya 5 cm.
5
Tinggi ndri 1,) meter. Saat ini, dia sedang memandang sebuah bangunan seperti tampak !2
*
pada gambar di samping. 4itunglah tinggi gedung tersebut6
"!2 1.) m 6
Sebuah 4elikopter terbang pada ketinggian !22 m di atas permukaan tanah. 4elikopter tersebut melihat tiga titik di atas permukaan tanah, yaitu titik , titik 7, dan titik 3. Tentukanlah a &arak M # &arak 7 !22 m ! &arak 73
M
)22
"!2
7
<9i Kompetensi A
Pi"ih"ah sa"ah satu ja:a#an a/ #/ !/ atau d yang #enar=
1.
Sisi siku-siku sebuah segitiga adalah ) cm dan 5 cm. sisi miring segitiga tersebut adalah . . . a.
12 cm c.
1" cm
b.
1 cm d.
1) cm
.
Sisi siku-siku sebuah segitiga adalah 2 cm dan 1! m. sisi miring segitiga tersebut adalah F. a.
2 cm c. ! cm
b.
$ cm d. $2 cm
$22
3
$.
Pan&ang diagonal dan lebar sebuah persegi pan&ang adalah 1! cm berturut-turut % cm. Pan&ang persegi pan&ang tersebut adalah ...... a.
5 cm c.
1 cm
b.
12 cm d.
1" cm
".
Ci antara ukuran berikut yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku adalah FF a.
) cm. 5 cm, dan % cm
b.
) cm, < cm,. dan 5 cm
c.
5 cm, %cm dan 12 cm
d.
) cm, 5 cm, dan 12 cm
!.
Ciketahui
sisi-sisi
sebuah
segitiga
berturut-turut adalah 2,) mR 2.5 mR dan 1m segitiga tersebut berbentuk .... a.
9ancip c.
Siku-siku
b.
Tumpul
d.
).
Sembarang
Pada sebuah segitiga siku-siku. umlah pan&ang siku-sikunya adalah "% cm. adapun pan&ang sisi miringnya $! cm. pan&ang sisi sikusiku segitiga tersebut adalah . . . a.
2 cm dan % cm
c.
$
d.
1
cm dan ) cm b.
1< cm dan $ cm cm dan 5 cm
<.
Pan&ang salah satu sisi sebuah segitiga siku-siku adalah 5 cm lebihnya daripada pan&ang sisi siku-siku yang lain. dapun pan&ang sisi miring segitiga tersebut adalah "2 cm. Pan&ang sisi siku-siku segitiga tersebut adalah ... a.
5 cm dan ) cm
c.
"
d.
1
cm dan $ cm b.
1 cm dan % cm cm dan $! cm
5.
7ilangan
berikut
merupakan
triple
Pythagoras, keua
5, 1!, dan 1< c.
)- ". dan
!, ), dan <
1$. 1. dan
12 b.
d.
! %.
Perhatikan gambar berikut. ika &arak BC adalah ") m maka tinggi AB adalah . . F. a.
5 m c.
1$ m
b.
5
d.
12.
$
m
1$
m
Perhatikan gambar berikut. ika &arak :; adalah 122 m maka tinggi P: adalah ....... a.
!2 m c.
122
$m
b.
!2
d.
122
%
$ m
m
Kerjakan"ah soa"-soa" #erikut dengan #enar=
1.
Perhatikan berikut.
gambar 3
! cm
$22
C
"!2
7
Tentukanlah pan&ang sisi AB& AC& dan C$. .
Pada bangun di baah ini, dua segitiga siku-siku berimpit pada sisi AC . ika pan&ang sisi C$
adalah 12 cm, maka
2
tentukanlah pan&ang "! sisi-sisi yang lain. 7 %22
C
%22 $22
3
$.
Paulus berangkat dari asrama sisa yang berada di arah barat menu&u ke sekolah dengan terlebih dahulu menu&u arah timur se&auh ) meter, kemudian ber&alan lagi menu&u arah selatan se&auh 5 meter. 7erapa &arak terpendek yang dapat ditempuh dari asrama ke sekolah*
".
Seorang
pramuka
mendirikan tiang bendera dengan cara mengikat u&ung tiang dengan tiga buah tali yang sama pan&angnya ke tanah pada tiga arah yang berbeda. ika &arak pangkal tiang kemasingmasing tali adalah $ meter. Sedangkan pan&ang tali ! meter, berapakah tinggi bendera tersebut* !.
;umah >osef tepat di sebelah barat rumah Klen dengan &arak ! meter. ;umah 'elky tepat di sebelah selatan rumah Klen dengan &arak 1 meter. 7erapa &arak rumah >osef ke rumah 'elky*
