BAB III TENSOR
Berdasarkan uraian bab sebelumnya yang telah menjelaskan beberapa istilah dan materi pendukung yang berkaitan dengan tensor, pada bab ini akan dijelaskan pengertian dasar dari tensor. Tensor merupakan generalisasi dari bentuk skalar dan vektor, sehingga
∈ dim = 0 ∈ dim = 1
jika tensor
dengan
dengan
maka disebut disebut skalar, sedangkan jika tensor
maka disebut disebut vektor.
Pada bagian ini terlebih dahulu akan dijelaskan konsep ruang berdimensi
hingga atau lebih dikenal dengan ruang Euclid. Selanjutnya dalam ruang tersebut akan mendefinisikan tensor-tensor kovariant, kontavariant dan campuran.
3.1 Ruang Berdimensi Hingga/Ruang- Euclid Definisi 3.1
1, 2, … , = = 1, 2, … , < = 1, 2, … , , = 1, 2 , … , = 1, 2, … , = −1 Jika
∈ ℤ
pasangan terurut
, maka tupel- -terorde (ordered- -tupel ) adalah suatu
bilangan real
. Himpunan semua bilangan
pasangan terurut- dinamakan ruang- dan dinyatakan din yatakan dengan
.
Suatu kurva pada suatu ruang- adalah himpunan titik-titik
memenuhi
buah persamaan, yaitu . Misalkan
, dimana adalah adalah parameter dan
adalah subruang dari
adalah himpunan yang memenuhi
dimana
menyatakan
khusus, jika
, maka
yang
dengan
, maka
buah persamaan yaitu buah parameter dan
disebut hypersurface pada ruang
. Kasus
.
18
1, 2, … , 1, 2, … , {, , … , }
= = ∃ ∈ ℝ ∋ ̅ = + + ⋯+⋯+ . → 1′, 2′,…,′ = ′ ∈ 1′ = 1′1, 2, … , 2′ = 2′1, 2, … , …1 ⋮ ′ = ′1, 2, … , ′ = ′1, 2, … , = 1,2,… , disebut membentuk suatu sistem koordinat di menyatakan sebagai titik pada ruang
. Setiap
, sedangkan
menjadi menjadi basis untuk , dengan kata lain
Misalkan ada suatu transformasi,
, dimana
.
Sehingga diperoleh persamaan
Atau
, dimana
. Transformasi tersebut
dikenal sebagai transformasi koordinat yang terdiri dari
buah persamaan.
Karena persamaan (1) belum tentu bebas linear maka nilai Jacobian atau determinan Jacobinya tidak sama dengan nol.
̅ ̅ ⋯ ̅ ̅ ̅ ̅ = ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮ ≠ 0 ̅ ̅ ⋯ ̅
Dalam bentuk vektor (seperti vektor berarah atau vektor kecepatan), contoh vektor kontravariant adalah posisi sebuah objek relatif kesuatu tempat kedudukan, kedudukan, atau setiap turunan dari suatu posisi yang berhubungan dengan dengan waktu,
18
1, 2, … , 1, 2, … , {, , … , }
= = ∃ ∈ ℝ ∋ ̅ = + + ⋯+⋯+ . → 1′, 2′,…,′ = ′ ∈ 1′ = 1′1, 2, … , 2′ = 2′1, 2, … , …1 ⋮ ′ = ′1, 2, … , ′ = ′1, 2, … , = 1,2,… , disebut membentuk suatu sistem koordinat di menyatakan sebagai titik pada ruang
. Setiap
, sedangkan
menjadi menjadi basis untuk , dengan kata lain
Misalkan ada suatu transformasi,
, dimana
.
Sehingga diperoleh persamaan
Atau
, dimana
. Transformasi tersebut
dikenal sebagai transformasi koordinat yang terdiri dari
buah persamaan.
Karena persamaan (1) belum tentu bebas linear maka nilai Jacobian atau determinan Jacobinya tidak sama dengan nol.
̅ ̅ ⋯ ̅ ̅ ̅ ̅ = ⋮ ⋮ ⋯⋱ ⋮ ≠ 0 ̅ ̅ ⋯ ̅
Dalam bentuk vektor (seperti vektor berarah atau vektor kecepatan), contoh vektor kontravariant adalah posisi sebuah objek relatif kesuatu tempat kedudukan, kedudukan, atau setiap turunan dari suatu posisi yang berhubungan dengan dengan waktu,
19
termasuk kecepatan, akselerasi dan hentakan. Dalam notasi Einstein, komponen kontravariant memiliki indeks-indeks pada bagian atas, seperti
=
.
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai tensor kontravariant rank satu atau yang lebih dikenal dengan tensor kontravariant. 3.2 Vektor Kontravariant Definisi 3.2
Fungsi
, , … , → ⟶ = =1 , = 1,2, … , ⋯ 2 1, 2, … , =
dalam sistem koordinat
kontravariant jika pada suatu transformasi koordinat
disebut vektor
, sehingga fungsi
akan ditransformasikan menjadi
dimana
merupakan fungsi dalam sistem koordinat
.
disebut komponen vektor kontravariant atau tensor kontravariant rank satu atau order satu.
Untuk suatu vektor dual, vektor kovariant biasanya muncul ketika dikonstruksi gradien dari suatu fungsi (effektifnya pembagian dengan suatu vektor). Dalam notasi Einstein, komponen kovariant memiliki indeks-indeks pada bagian bawah, seperti
=
.
20
3.3 Vektor Kovariant Definisi 3.3
, , …, → ⟶ = =1 , = 1,2, … , ⋯ 33 1, 2, … , =
Fungsi
dalam sistem koordinat
disebut vektor kovariant disebut
jika pada suatu transformasi koordinat
, sehingga fungsi
akan
ditransformasikan menjadi
dimana
merupakan fungsi dalam sistem koordinat
.
disebut komponen vektor kovariant atau tensor kovariant rank satu atau order satu. 3.4 Invariant Definisi 3.4
=, , … , → ⟶ ̅ = …4
Suatu fungsi
disebut invariant jika pada suatu
transformasi koordinat
, sehingga fungsi
akan ditransformasikan
menjadi
Contoh: Jika
maka
adalah suatu vektor kontravaiant dan adalah suatu invariant.
Perhatikan bentuk
,
adalah suatu vektor kovariant,
21
Karena indeks Diperoleh
= = ̅ ̅ = = = = ∀
sembarang, maka
berlaku
dengan memilih
adalah suatu invariant.
=
.
Misalkan untuk tensor kontravariant rank dua, maka sifat transformasinya menjadi
12 = 1 2 12 , 1, 2 = 1,2, … , 2=1 1=1 1 2 12… = … 1 2 … 12… =1 2=1 1=1 1 2 1, 2, … , = 1,2, … , 12… = 11 22 … 12…
sehingga bentuk umum transformasi tensor kontravariant rank adalah
dimana
dengan
〱
adalah komponen tensor kontravariant rank
.
Sekarang untuk tensor kovariant rank dua, maka sifat transformasinya menjadi
22
12 = 2=1 1=1 11 22 12 , 1, 2 = 1,2, … , , 12… = =1… 2=1 1=111 22 … 12… 1, 2, … , = 1,2, … , 12… = 11 22 … 12… や
sehingga bentuk umum transformasi tensor kovariant rank
dimana
adalah
dengan
adalah komponen tensor kovariant rank
.
Setelah mengetahui definisi dari komponen-komponen kontravariant dan
kovariant rank , selanjutnya akan didefinisikan tensor pada Definisi 3.5 berikut. 3.5 Tensor Definisi 3.5
∗
= +∗, … , ∗,,…,;ℝ , ∈ 1 2 1 ∈ 1+ 2 ∈ 2 1 2 1⨂2 ∈ 11+22 1⨂21, … , 1, 1, … , 2 , 1, … , 1, 1, … , 2 = 1 1, … , 1, 1, … , 1, 1, … , 2 2 1, … , 2 , 1, … , 2 , ∈ ∗ , ∈
1. Misalkan ruang vektor dan misalkan untuk
, sedangkan untuk
yang berjenis
2. Jika
). Unsur-unsur dari
disebut tensor pada
.
maka disebut tensor.
3. Misalkan
dan
tensor
dimana
(
, hasilkali tensor dari
didefinisikan oleh
dan
.
dan
adalah
23
Contoh
= , � , = + + + , = , Jika adalah tensor jenis komponen
0, 2 pada
maka tensor mempunyai komponen-
adalah suatu matriks
. Dengan cara inilah
menghubungkan bentuk bilinear dengan suatu matriks. Misalnya, dalam bentuk
bilinear
(dimana
dan
) dihubungkan ke bentuk matriks
ℝ2 =
.
Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan
jenis kovariant kuat maupun kontravariant kuat. Berdasarkan definisi tensor selanjutnya akan didefinisikan tensor campuran. Definisi 3.5.2 Tensor Campuran
, , … , → ⟶ = , , = 1,2, … , =1 =1 1, 2, … , = 1122…… 12… ↦ 12…
Fungsi
dalam sistem koordinat
disebut tensor campuran
yang memiliki komponen kontravariant rank satu dan komponen kovariant rank satu, jika pada suatu transformasi koordinat
fungsi
ditransformasikan
menjadi
晜
dimana
merupakan fungsi dalam sistem koordinat
Diperoleh
.
adalah komponen tensor campuran.
Kemudian, untuk fungsi
disebut tensor campuran yang memiliki
komponen kontravariant rank
dan komponen kovariant rank
transformasi koordinat
fungsi
, jika pada suatu
ditransformasikan menjadi
24
1122…… ⟶ 1122…… = … 11 11 22 22 … 1122…… . 1122…… = 11 11 22 22 … 1122…… , = =̅ ̅ = = 1,0, =≠ = 1,0, =≠ 楜
Diperoleh
adalah komponen tensor campuran order
.
Contoh:
Akan ditunjukkan bahwa
adalah suatu tensor campuran. Sekarang
perhatikan persamaan transformasi berikut
dimana
dan
Jadi, bahwa tensor
.
merupakan tensor campuran dengan kontravariant dan
kovariant masing-masing rank satu.
3.6 Tensor Simetri dan Antisimetri
12…12… 21… 12… = 1 2 12… = − 21… 12… 1 2
Misalkan 1. Jika
pertukaran indeks 2. Jika
pertukaran indeks
sebarang tensor kontravariant,berlaku maka
dan
.
maka
dan
disebut simetri terhadap
.
disebut antisimetri terhadap
25
Demikian juga berlaku untuk tensor kovariant. Misalkan kovariant sebarang, berlaku 1. Jika
12… = 21… 12… 1 2 12… = − 21… 12… 1 2 1 2 12 12 = 0. maka
pertukaran indeks 2. Jika
dan
dan
tensor
disebut simetri terhadap
.
maka
pertukaran indeks
12…
disebut antisimetri terhadap
.
Sekarang perhatikan, jika
adalah suatu tensor simetri dan
adalah suatu tensor antisimetri, maka
12
Setiap tensor selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari tensor simetri dengan tensor antisimetri.
Contoh:
12… 1 2 12… = 1212… + 21… + 1212… − 21… …5 12 = 1212… + 21… 12 = 1212… − 21… 12… = 12 + 12. Misalkan suatu tensor umum dan
. Sekarang bentuk tensor
sebarang dan pertukaran antara indeks
menjadi
Tensor memiliki bagian simetri dan antisimetri yang didefinisikan sebagai
Sehingga persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk
26
Semua sifat-sifat yang berlaku pada vektor, akan berlaku pula pada tensor. Hal ini dikarenakan operator-operator yang berlaku dan digunakan pada tensor merupakan bentuk generalisasi dari operator-operator yang berlaku pada vektor. Berikut akan dijelaskan operasi-operasi dasar yang berlaku pada tensor. 3.7 Operasi-Operasi Dasar pada Tensor 1. Penjumlahan
Penjumlahan dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama (sebagai contoh: Misalkan tensor A dan B banyaknya indeks kontravariant dan banyaknya indeks kovariant sama) akan menghasilkan tensor yang memiliki rank dan jenis yang sama pula.
12 12 , , … , 12 12 12 = + 12 12 , , … , 12 + 12 = 11 22 12 + 11 22 12 = ̅ ̅ ̅ + ̅ ̅ = ̅ = Misalkan
dan
merupakan tensor dalam sistem koordinat
, maka
Bukti:
Ambil
sebarang
tensor
, maka
dan
dalam
sistem
koordinat
27
adalah merupakan tensor juga. Pada operasi penjumlahan ini berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif. 2. Pengurangan
Selisih dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama adalah tensor dengan rank dan jenis yang sama pula.
12 12 , , … , 12 12 12 = − Misalkan
dan
merupakan tensor dalam sistem koordinat
, maka
merupakan tensor juga. Bukti:
12 12 , , … , 12 − 12 = 1 2 12 − 1 2 12 1 2 1 2 ̅ ̅ = ̅ − = ̅ ̅ ̅ = Ambil
sebarang
tensor
dan
dalam
sistem
koordinat
, maka
3. Perkalian (Outer Multiplication)
Hasil kali dua tensor adalah tensor dimana ranknya merupakan jumlah dari rank tensor-tensor tersebut. Komponen tensor ini disebut outer product . Sebagai contoh,
11223 = 11223
adalah outer product dari
112 23 dan
.
Tetapi, tidak semua bentuk tensor dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua
28
tensor yang ranknya lebih sederhana. Contohnya
1
, tensor tersebut tidak
dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua tensor yang ranknya lebih sederhana atau rendah karena tensor sederhana. Begitupun dengan tensor 4. Kontraksi
Misalkan
1122
1 1
merupakan bentuk tensor yang lebih
.
adalah suatu tensor campuran yang memiliki rank lima,
dengan kontravariant rank dua dan kovariant rank tiga. Jika salah satu indeks kovariant sama dengan salah satu indeks kontravariant, maka rank tensor tersebut akan berkurang sebanyak dua. Artinya, bentuk
1122
merupakan
tensor yang memiliki rank tiga. Proses demikian lebih dikenal sebagai kontraksi tensor.
Contoh: Untuk memperlihatkan contoh diatas yang memperoleh rank tiga,
11222 11222 11222= 11 22 11 22 32 11223 = ̅ ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ 11 222
perhatikan tensor
. Bentuk transformasi dari tensor
adalah
ㄱ
Dari koefisien transformasi tersebut jelas bahwa
merupakan suatu
tensor rank tiga, yaitu kontravariant rank satu dan kovariant rank dua.
29
Jika
adalah suatu tensor kontravariant rank satu, dan jika
suatu invariant, maka
adalah
= 1 2 +
merupakan suatu tensor kovariant rank dua. 5. Perkalian Dalam ( Inner Multiplication)
, , … , Misalkan
dan
, maka
merupakan tensor dalam sistem koordinat
= = =
disebut outer product. Misalkan dengan memisalkan
.
dan
, sehingga diperoleh
atau
, sehingga diperoleh bentuk tensor
Dengan menggunakan proses outer multiplication dan kontraksi, dapat
diperoleh tensor baru yang disebut inner product . Proses ini disebut inner multiplication. Pada inner dan outer multiplication berlaku juga sifat
komutatif dan assosiatif. 6. Hukum Qoutient
a). Jika
12…
adalah suatu tensor kontravariant rank
, dan jika berlaku
12… 1 2… = 12…+ 1 2… + 12… 1 2… = 1122……
yang merupakan tensor kontravariant rank
, maka
adalah
tensor kontravariant rank . b). Jika
12…
adalah suatu tensor kontravariant rank
, dan jika berlaku
30
yang merupakan tensor campuran kontravariant rank
1 2… 12… , maka
c). Jika
adalah tensor kovariant rank
.
dan kovariant rank
12… 1 2… = 12…+ + 1 2…
adalah suatu tensor kovariant rank
yang merupakan tensor kovariant rank
, dan jika berlaku
, maka
adalah
tensor kovariant rank .
3.8 Tensor Metrik
,, = + + . = . …6
Pada koordinat
turunan dari panjang busur
diperoleh dari
Dengan mentransformasikannya ke bentuk koordinat kurvilinear umum menjadi
Sehingga ruang yang memuat persamaan jarak diatas disebut ruang Euclid dimensi 3. Berikut ini merupakan perumuman ke ruang dimensi
dengan sistem
, , … , = atau = , = 1,2, … , ⋯ 11 1 ⋮ ⋱ ⋮ det = 1 ⋯ ≠ 0.
koordinat
. Definisikan suatu elemen garis
pada ruang dimensi
yang dibentuk oleh bentuk kuadratik, disebut bentuk metrik atau metrik,
dengan
dan
31
12 + 22 + ⋯+ 2 …7
Misalkan terdapat suatu transformasi koordinat dari
ke
sedemikian sehingga
bentuk metrik ditransformasikan menjadi
Persamaan (7) disebut sebagai ruang Euclid dimensi- atau secara umum dikenal dengan ruang Riemann. Jumlah
merupakan komponen-komponen dari tensor kovariant rank
dua yang disebut tensor metrik atau fundamental tensor. 3.9 Tensor Konjugat
Misalkan
merupakan tensor metrik dan
sebagai determinan dengan elemen-elemen dari berikut
maka
= ≠ 0
menotasikan
. Definisikan
sebagai
= kofaktordari
adalah kontravariant tensor simetrik rank dua disebut konjugat atau
reciprocal tensor dari
.
3.10 Asosiasi Tensor
,
Misalkan sebarang tensor campuran pada ruang dimensi- dengan jenis
atau dengan komponen kontravariant rank
dimana notasi
,
digunakan untuk menotasikan rank
batas atas dan indeks batas bawah.
dan komponen kovariant ,
+ dengan
indeks
32
, , + 1, − 1 , , − 1, + 1 0, 1 ∙ 1,0 Suatu tensor jenis
dikatakan indeks naik jika jenis
. Sedangkan tensor jenis
diubah ke jenis
diubah ke jenis
dikatakan indeks turun jika jenis
.
Contoh:
Misalkan tensor kovariant diperoleh tensor
dengan jenis
dengan jenis
. Jika indeksnya dinaikkan
. Tanda titik memperlihatkan posisi
awal yang indeksnya berubah. Agar tidak menimbulkan kebingungan dalam hal pembacaan indeks, biasanya tanda titik dihilangkan; sehingga
.
∙
menjadi
Perkalian tensor kontravariant dengan tensor metrik diperoleh sebarang
tensor kovariant.
Contoh:
= = atau
.
Sedangkan perkalian tensor kovariant dengan tensor metrik diperoleh sebarang tensor kontravariant. Contohnya:
= = atau
.
Seluruh tensor yang dihasilkan dari perkalian dengan tensor metrik disebut dengan associated tensors.
3.11 Panjang dan Sudut Antara Dua Vektor
Misalkan
dan
sebarang vektor pada ruang dimensi
adalah suatuinner product , maka panjang vektor
adalah
dan
33
= = = cos = . 12 23 31 cos12 = 111222, cos12 = 222333, cos12 = 333111 1 2 3 2 = 1112 ⇔ 1= 111. 1 1= 111 1 2 3 2= 122 1 1 = 133 1 12 1 2 cos12 = 1 2 = 111 1 122 1 = 111222 23 2 3 cos23 = 2 3 = 122 2 133 3 = 222333 31 3 1
dan sudut antara
Contoh:
dan
didefinisikan sebagai berikut
Buktikan sudut-sudut berikut
,
dan
dalam suatu kurva koordinat
yang didefinisikan sebagai berikut
Solusi. Misalkan kasus untuk sepanjang koordinat
sehingga
dan
berupa konstanta, maka bentuk metriknya menjadi,
Sehingga tangen vektor sepanjang kurva
adalah
Sedangkan untuk tangen vektor sepanjang kurva adalah
dan
Selanjutnya, cosinus sudut
.
dan
.
diantara
dan
cosinus sudut
diantara
dan
adalah
cosinus sudut
diantara
dan
adalah
adalah
masing-masing
34
cos31 = 3 1 = 133 2 111 3 = 333111. Pada subbagian berikut akan dijelaskan mengenai konsep differensial yang berlaku pada tensor. Tidak berbeda jauh dengan differensial vektor namun pada differensial tensor ini membutuhkan konsep dasar yang mendukung yaitu simbol Christoffel.
3.12 Differensial Tensor
Proses differensial tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa dikenal dalam differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensial yang biasa digunakan yaitu 1. Differensial Kovariant 2. Differensial Intrinsik Terlebih dahulu akan dijelaskan tentang differensial kovariant, kemudian akan
dibahas
hubungan-hubungan
antara
differensial
kovariant
dengan
differensial intrinsik. 1. Differensial Kovariant Sebelum masuk pada pembahasan differensial kovariant, perlu diketahui tentang simbol Christoffel. Definisi 3.12.1 (simbol Christoffel)
Misalkan
sebarang tensor metrik pada ruang Riemann dimensi- ,
maka a) Simbol Christoffel dari jenis pertama, yang dinotasikan dengan didefinisikan sebagai berikut
Γ,
,
35
Γ, = , = 12 + − Γ, Γ Γ= = =1 Γ,= 1Γ,1 + ⋯+ Γ, = 1, 2, ⋯ , Γ 2 = Γ + …8 ,,
b) Simbol Christoffel dari jenis kedua, yang dihubungkan dengan persamaan dan dinotasikan dengan
Untuk transformasi
didefinisikan sebagai berikut
, simbol Christoffel
dalam sistem
koordinat ke ditransformasikan oleh
쳌
dimana bentuk pertama pada sebelah kanan adalah penjumlahan pada indeksindeks
dan bentuk kedua adalah penjumlahan pada indeks . Persamaan (8)
disebut transformasi simbol Christoffel. Sekarang,
dengan
menggunakan
simbol
Christoffel
dapat
didefinisikan
differensial kovariant. Definisi 3.12.2
Misalkan kovariant, maka
dan
masing-masing adalah vektor kontravariant dan
a) Differensial kovariant dari sebarang vektor kontravariant sebagai berikut
;= + Γ
b) Differensial kovariant dari sebarang vektor kovariant sebagai berikut
didefinisikan
didefinisikan
36
; = − Γ
Catatan: Tanda (;) menyatakan sebagai differensial kovariant vektor atau tensor rank satu. Perhatikan bahwa
; ; ↦ ; ; ; = ; dan ; = ;. dan
terdapat transformasi koordinat
masing-masing adalah tensor, sehingga jika , maka transformasi dari
dan
晜
masing-masing adalah
Generalisasi proses differensial kovariant untuk tensor yang memiliki rank lebih tinggi sebagai berikut:
12…; = 12…+Γ 1 23… + ⋯+Γ 12…−1 12…; = 12…−Γ 1 23… − ⋯−Γ 12…−1 12… 1122…… ;= 12…+Γ 1 122…3… + ⋯+Γ 1122……−1 −Γ ……− ⋯− Γ ……
a) Differensial kovariant terhadap tensor kontravariant rank
b) Differensial kovariant terhadap tensor kovariant rank
c) Differensial kovariant terhadap tensor campuran kontravariant rank kovariant rank
3.12.3 Sifat-sifat Differensial Kovariant
dan
37
Teorema 3.12.3 Misalkan
dan
adalah tensor kontravariant rank satu,
; = ; + ; ; = ; + ; � ; = ; � ; ; = +Γ + Γ = 0 ; = 0 = ; − ; ; + ; + ; = 0 ∇ = grad = ; = ; ; = ; = 1 ; − ; = − ∇2 = ; = 1
tensor metrik rank dua dan
adalah
adalah suatu invariant, maka berlaku sifat-sifat
differensial kovariant berikut
1. 2. 3. 4.
5. Jika 6. Jika
maka
invariant, maka gradien dari
dimana
adalah differensial kovariant invariant
7. Divergensi dari
8. Curl dari tensor
terhadap
adalah kontraksi dari differensial kovariant
contohnya adalah kontraksi dari
9. Misalkan
adalah
.
, sebagai
. Diperoleh
adalah
adalah suatu invariant, maka Laplacian dari
divergensi dari grad
atau
adalah
38
Bukti: 1. Misalkan
dan
masing-masing adalah tensor kontravariant rank satu.
Sehingga differensial kovariant terhadap perkalian dua tensor tersebut
; = +Γ adalah
= + + Γ + Γ = + + + = + + + = ; + ;
Jadi, untuk setiap perkalian dua tensor kontravariant rank satu, differensial kovariantnya adalah
2. Misalkan
dan
; = ; + ;.
masing-masing adalah tensor kontravariant dan tensor
kovariant rank satu. Sehingga differensial kovariant terhadap perkalian
; = +Γ − Γ dua tensor tersebut
adalah
= + + − = + + −
39
= + + − = ; + ;
Jadi, untuk setiap perkalian tensor kontravariant rank satu dengan tensor kovariant rank satu, differensial kovariantnya adalah
; = ; + ;
� � ; = � +Γ � = � + Γ � Γ = + Γ � + Γ = ; � ;
3. Misalkan
dan
merupakan tensor kontravariant rank satu. Sehingga
differensial kovariant terhadap penjumlahan maupun pengurangan kedua tensor tersebut
adalah
Jadi, untuk setiap penjumlahan maupun pengurangan dua tensor kontravariant rank satu, differensial kovariantnya adalah
;= 0 = −Γ − Γ . = = 0
4. Sebelum membuktikan
Perhatikan bahwa
� ; = ; � ;
, akan ditunjukkan bahwa
, maka berdasarkan sifat
differensial parsial pada suatu vektor diperoleh bahwa
40
= + = 0. = − …4.1 = − = − , + , = − , − , = − − = −Γ − Γ …4.2
Akibatnya,
Jika persamaan (4.1) dikalikan dengan
, maka
Karena berlaku untuk semua jenis tensor maka persamaan (4.2) berlaku pula untuk persamaan
= −Γ − Γ …4.3 ; = +Γ + Γ = −Γ − Γ + Γ + Γ =0 ; = −Γ − Γ Sekarang misalkan
dan
masing-masing adalah tensor metrik
kontravariant rank dua dan tensor metrik kovariant rank dua. Sehingga differensial kovariant terhadap tensor metrik
dan
adalah
41
= − ; − ; = − 12 + − − 12 + − =0
Jadi, untuk setiap tensor metrik kontravariant rank dua dan kovariant rank dua, maka differensial kovariantnya adalah
; = +Γ + Γ = 0 dan ; = 0 ; ; ; − ; ; + ; + ; = 0 ; = ; − ; ; = ; − ; ; = ; − ;
5. Ambil sebarang tensor kovariant rank dua terhadap tensor kovariant, katakanlah
dan differensial kovariant
dan
akan ditunjukkan bahwa
. Jika berlaku .
=
〱
Sehingga
; + ; + ; = ; − ; + ; − ; + ; − ; = 0 = ; − ; ; + ; + ; = 0. , , … , = = = ; = ; …∗ Jika
maka
6. Misalkan suatu invariant pada sistem koordinat dapat dikonstruksi menjadi
, sehingga
.
Sekarang perhatikan
Berdasarkan differensial kovariant sifat 2, maka persamaan (*) menjadi
42
= ; + ; = + Γ + − Γ = + Γ − Γ …∗∗ Γ = Γ = + Γ − Γ = = ∇ = grad = ; = ; Γ= ln = = , , , = , _ = = , = = , + , Dengan menggunakan pertukaran indeks antara
dan
, yang berlaku
, maka persamaan (**) menjadi
Jadi, untuk setiap invariant
dimana
, berlaku
adalah differensial kovariant invariant
7. Sebelumnya akan dibuktikan
adalah
diperoleh
. Karena
terhadap
.
. Misalkan determinan dari
.
Berdasarkan
, dimana
tidak memuat
. Sehingga berlaku
determinan
tersebut
adalah kofaktor-kofaktor dari
secara eksplisit, maka berlaku
43
= + = 2 = 2Γ ⟺ 21 = Γ ⟺ Γ = ln …9 = ; = + Γ = + ln = + 1 = 1 = ; = 1 . Misalkan
sebarang tensor kontravariant rank satu. Divergensi dari
didefinisikan sebagai kontraksi dari differensial kovariant terhadap pada tensor
. Sehingga berlaku
Berdasarkan persamaan (9), maka
扣
Jadi, untuk setiap
tensor kontravariant rank satu, divergensi dari tensor
adalah
8. Misalkan
dan
merupakan tensor kovariant rank satu. Dengan
menggunakan differensial kovariant terhadap masing-masing tensor diperoleh
; = − Γ dan; = − Γ …10
Berdasarkan persamaan (10), maka diperoleh
44
; − ; = − Γ − − Γ = −Γ − + Γ = − − Γ + Γ = − curl = ; − ; = − ∇ = grad = ; ; = ∇2 = = 1 = = 1, 2
Jadi, untuk setiap dua tensor kovariant rank satu dan berlaku differensial kovariant terhadap kedua tensor tersebut, maka curl dari
9. Misalkan
adalah
adalah suatu invariant, diketahui bahwa gradien dari
adalah
, juga tensor kovariant rank satu didefinisikan sebagai
differensial kovariant dari
, katakanlah
satu yang dihubungkan dengan
adalah
. Tensor kontravariant rank . Berdasarkan
pembuktian sifat no 6. diatas diperoleh bahwa
2. Differensial Intrinsik Misalkan
dinotasikan sebagai persamaan parametrik dari suatu
kurva pada permukaan yang didefinisikan oleh persamaan parametrik
, maka dapat menyatakan kurva permukaan dalam geometri ruang
karena permukaan kurva dapat direpresentasikan dalam koordinat ruang yang
45
melalui persamaan
= sepanjang
= 1, 2 =
sebarang kurva
. Ingat kembali bahwa untuk
, maka differensial intrinsik dari suatu vetor
didefinisikan sebagai inner product dari differensial kovariant d engan
1122……
tangent vetor pada Definisi 3.12.4
Misalkan
.
adalah sebarang tensor campuran, maka differensial
1122…… = 1122…… ; . 2 11222…… = 1122…… ;1212+ 1122…… ;1 ;2 2
intrinsik pada tensor terhadap parameter adalah
Untuk differensial intrinsik orde dua pada tensor terhadap parameter adalah
3.12.5 Sifat-sifat Differensial Kovariant Teorema 3.12.5 Misalkan
dan
tensor metrik rank dua dan differensial intrinsik berikut
1. 2. 3. 4.
adalah tensor kontravariant rank satu,
adalah
adalah suatu invariant, maka berlaku sifat-sifat
= +Γ = −Γ = = 0 = 22+Γ
46
5. 6.
� = � = +
Bukti 1. Misalkan
sebarang tensor kontravariant rank satu. Sehingga differensial
= ; = + Γ = + Γ = + Γ = +Γ = ; = − Γ = − Γ = − Γ
intrinsik pada
terhadap parameter adalah
Jadi, untuk setiap tensor kontravariant rank satu, differensial intrinsik pada tensor
terhadap parameter adalah
2. Misalkan
sebarang tensor kovariant rank satu. Sehingga differensial
intrinsik pada tensor
terhadap parameter adalah
47
Jadi, untuk setiap tensor kovariant rank satu, differensial intrinsik pada tensor
= −Γ = = 0 ; = 0 ; = 0 = ; = 0 = ; = 0 = ; = + Γ =+ Γ � = � ; = ; � ; terhadap parameter adalah
3. Akan ditunjukkan yaitu
. Berdasarkan sifat differensial kovariant,
dan
, serta definisi differensial intrinsik,
mengakibatkan
4. Misalkan bentuk
5. Misalkan
adalah differensial
terhadap parameter . Sehingga jika
didifferensial-intrinsikkan menjadi
dan
merupakan tensor kontravariant rank satu. Sehingga
differensial intrinsik pada penjumlahan maupun pengurangan kedua tensor tersebut terhadap parameter adalah
가
48
= ; � ; = � 瑰
Jadi, untuk setiap penjumlahan maupun pengurangan dua tensor kontravariant rank satu, maka bentuk differensial intrinsik terhadap
� = � = ; = ; + ; = ; + ; = ; + ; = + = +
parameter adalah
6. Misalkan
dan
masing-masing adalah tensor kontravariant rank satu.
Sehingga bentuk differensial intrinsik pada perkalian dua tensor tersebut terhadap parameter adalah
Jadi, untuk setiap perkalian dua tensor kontravariant rank satu, maka differensial intrinsik terhadap parameter berbentuk
愰
Hubungan antara differensial kovariant dengan differensial intrinsik adalah sebagai berikut. Misalkan
sebarang tensor kontravariant rank satu, sehingga
49
; = +Γ
= ; + Γ ; = + Γ + Γ + Γ = + Γ + Γ +Γ …11 ; = ; ; = + Γ ; = ; + Γ ; − Γ ; …12
Selanjutnya pehatikan persamaan berikut
Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh bahwa differensial kovariant dengan differensial intrinsik tidaklah bersifat komutatif satu sama lain. Artinya
; ≠ ; .
Pada differensial intrinsik tidak memiliki sifat komutatif, sebab: misalkan dan
masing-masing adalah sebarang parameter, maka untuk parameter berlaku
= ; = + Γ = + Γ
50
= ; + Γ ; = ; + Γ ; …13 = ; = + Γ = + Γ = ; + Γ ; = ; + Γ ; …14 ≠ . 獦
Sedangkan untuk parameter berlaku
〱
Sehingga dari persamaan (13) dan (14) diperoleh bahwa
3.13 Persamaan Geodesik
Pada ruang Euclid, jarak terpendek antara dua titik adalah suatu garis lurus. Pada bagian ini akan dibahas mengenai generalisasi pengertian jarak terpendek di antara dua titik dalam suatu ruang Riemann. Untuk sistem koordinat umum di
pada dimensi-
= 1,2,…,
terpendek antara dua titik) diberikan oleh
, persamaan goedesik (garis
51
22+ Γ = 0 , = 1, 2, … ,
penjumlahan pada indeks-indeks dan
Γ
, dimana adalah panjang busur
adalah simbol Christoffel dari jenis kedua.
Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat cartesius di
ruang Euclid, jika koeffisien jaraknya konstan; maka turunannya nol, dan simbol Christoffel juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya berbentuk
untuk solusi adalah
22= 0 = + Γ = 0
(garis lurus). Sebarang sistem koordinat yang
simbol-simbol Christoffelnya
adalah sistem koordinat geodesik.
3.14 Curvature Tensor Definisi 3.14.1
Jika
maka
ℛ
Γ
ℛ= Γ − Γ + ΓΓ − Γ Γ =1 =1
simbol Christoffel pada
dan
disebut sebagai Riemann-Christoffel tensor, yang lebih dikenal dengan
nama curvature tensor. Kasus khusus, jika suatu ruang yang memiliki curvature tensor nol atau maka ruang tersebut dikatakan sebagai ruang Euclid.
Definisi 3.14.2
Misalkan
ℛ
sebarang curvature tensor. Jika
salah satu indeksnya misalkan terhadap indeks
ℛ
ℛ= 0
,
dikontraksi terhadap
dan sehingga berlaku
52
Γ Γ ℛ= − + =1 Γ Γ − =1 Γ Γ ℛ= Γ − Γ + =1 Γ Γ − =1 ΓΓ ℛ ℛ ℛ ℛ = ℛ ℛ ℎ ℛℎ = =1 ℎℛ.
Jika dikontraksi terhadap indeks
Maka curvature tensor
Definisi 3.15.3
Misalkan
dan sehingga berlaku
disebut Ricci tensor dan dinotasikan sebagai
adalah suatu Ricci tensor dan
.
adalah tensor metrik
kontravariant rank dua, maka curvature skalar didefinisikan sebagai
Sedangkan, jika
adalah suatu curvature tensor dan
adalah tensor metrik
kovariant rank satu, maka curvature tensor kovariant didefinisikan sebagai
3.15 Tensor Relatif
Tensor-tensor yang telah dipelajari pada subbab-subbab sebelumnya merupakan jenis-jenis tensor mutlak atau yang lebih dikenal dengan tensor mutlak.
Pada
bagian
ditransformasikan dari Definisi 3.15.1
ini
akan
ke
.
ℝ ℝ
dibahas
mengenai
tensor
relatif
yang
53
11…… ℝ = 1, 2, … , ℝ → ℝ 11…… 11…… = 11 … 11 … 11…… …∗
Suatu fungsi
dari
terhadap sistem koordinat
disebut tensor relatif yag mempunyai bobot koordinat dari
dimana
, fungsi
, jika terhadap transformasi
bertransformasi berdasarkan persamaan
adalah determinan Jacobi untuk transformasi pada persamaan (*) yang
didefinisikan sebagai berikut
11 ⋯ 1 = ⋮ 1 ⋯⋱ ⋮
Berdasarkan definisi tensor relatif diatas dapat disimpulkan bahwa suatu tensor mutlak dapat diasumsikan sebagai tensor relatif dengan bobot
=0
.
3.15.2 Sifat-sifat Tensor Relatif
Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat tensor relatif yang biasa digunakan dalam bidang matematika maupun bidang fisika. Teorema 3.15.2 Sifat-sifat tensor relatif a. Jika
11…… 11…… 11…… = 11…… � 11…… 11…… dan
adalah sebarang tensor relatif dengan bobot
maka berlaku
dimana
Bukti:
adalah sebuah tensor relatif juga dengan bobot
.
,
54
11…… 11…… … … ℝ 11… � 11… 11…… � 11…… = 11 … 11 … 11…… �̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ …… = ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ …… � …… = ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ …… = ……… … 11… 11… ℝ 11…… = 11…… � 11…… ∎ 11…… 11…… 1 2 11… 1… … 11… , = 1…11… 1111…… 1 + 2 11…… 11…… 1 2 ℝ 11…… 11…… Misalkan di
dan
adalah sebarang tensor relatif dengan bobot
. Sekarang perhatikan 賌
ㅡ
Jadi, untuk setiap
dan
tensor relatif dengan bobot
di
,
maka berlaku
b. Jika
dan
dan
adalah tensor relatif dengan bobot masing-masing
, maka berlaku
dimana
adalah sebuah tensor relatif juga dengan bobot
.
Bukti:
Misalkan
masing-masing
dan
dan
adalah sebarang tensor relatif dengan bobot
di
. Sekarang perhatikan
55
11…… 11…… = 1 11 … 11 … 11…… 2 −11 … 11 … 11…… = ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ 11……11…… = ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ ̅ … ̅ 1111……… = …… 11… 11…… 1 2 ℝ 11… 1… 1… 11… = 1…1… ∎ 11…… 11……
Jadi, untuk setiap masing
c. Misalkan
dan
dan
di
tensor relatif dengan bobot masing-
, maka berlaku
adalah suatu tensor relatif dengan bobot
, jika
dikontraksi maka berlaku
11……−1 = 11……−1−1 11……−1−1 −1 −1 11…… ℝ 11…… 11……−1 = 11 … 11 … 11…… dimana
adalah suatu tensor relatif juga dengan bobot
memiliki rank kontravariant
dan rank kovariant
, tetapi
.
Bukti:
Misalkan
adalah sebarang tensor relatif dengan bobot
dikontraksi, misalkan terhadap indeks
maka
di
. Jika
