a; b; nأعداد طبيعية حيث: /1بين أن العدد 2n + 1قاسم مشترك للعددين
a = 2n 3 + 5n 2 + 4n + 1 a
و
؛
b = 2n 2 + n
b
/2باستخدام مبرهنة بيزو بين أن PGC D(n; n + 1) = 1 :و /3استنتج )PGC D(a; b uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
]PGC D[n; (n + 1)2 = 1
][4
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 5
/1بين أن العدد 251أولي
/2حلل العدد 2008إلى جداء عوامل اولية و استنتج الأعداد الطبيعية التي مكعب كل منها يقسم /3عين الأعداد الطبيعية a; bبحيث m 3 +35d 3 = 2008 :علما ان ) d = PGC D(a; bو uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
a; b; nأعداد طبيعية غير معدومة حيث : /1بين أن كل قاسم مشترك للعددين aو bيقسم 50
a = 11n + 3
/2
)m = P PC M(a; b ][5
عم
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 6
و
2008
b = 13n − 1
باستخدام خوارزمية أقليدس عين حلا خاصا للمعادلة :
50x − 11y = 1
؛ ثم حل في
Z
المعادلة :
50x − 11y = 3
/3استنتج قيم nالتي يكون من أجلها uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
PGC D(a; b) = 25
][6
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 7 نعتبر في Z2المعادلة
حمد م
/3استنتج قيم nالتي يكون من أجلها
PGC D(a; b) = 50
)7x + 13y = 119 . . . (1
.1بين أنه إذا كان ) (x; yحلا للمعادلة ) (1فإن
y
مضاعف للعدد 7؛ ثم استنتج حلول المعادلة
.2عين الأعداد الطبيعية غير المعدومة α; β; γحيث
7
8
6
αγ1 + 1β3β = 32γα
3
)(1
uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ
▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
][7
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 8
:نا تاذ أس ال
.1أدرس حسب قيم العدد الطبيعي nبواقي قسمة العدد 8nعلى .2ماهو باقي قسمة العددين 2192و 8341على 10
10
.3بين أنه من اجل كل عدد طبيعي غير معدوم : n uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
]3 × 84n + 212n+9 ≡ 0[10
][8
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 9
.1أدرس حسب قيم العدد الطبيعي nبواقي قسمة العدد 5nعلى
7
.2أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي : n .3عين قيم العدد الطبيعي nحيث 196n+3 + 266n+4 + 4n 2 + 4 ≡ 0[7] : uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
]196n+3 + 266n+4 + 546n+1 + 1 ≡ 0[7
][9
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 10
نعتبر في Z2المعادلة :
)5x − 3y = 2 . . . (1
.1بين أن المعادلة ) (1تقبل حلا .2أثبت أنه إذا كانت الثنائية ) (x; yحلا للمعادلة ) (1فإن : .3استنتج حلول المعادلة )(1
]x ≡ 1[3
.4أ( بين إذا كانت الثنائية ) (x; yحلا للمعادلة ) (1فإن : ب( استنتج القيم الممكنة لـ )PGC D(x; y جـ( عين الثنائيات ) (x; yحلول المعادلة ) (1التي تحقق PGC D(x; y) = 2 : uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
عم
)PGC D(x; y) = PGC D(x; 2
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 11 و مجموعة أخرى دفعت
15
حمد م
حافلة صغيرة لنقل المسافرين بها
16
][10
راكبا مصنفون إلى ثلاثة أصناف :مجموعة دفعت
20
دج )صنف (a
دج )صنف (b؛ أما المجموعة الثالثة فلم تدفع شيئا )صنف (c؛ إذا علمت أن
المبلغ الإجمالي المدفوع هو 285دج ؛ أحسب عدد الركاب من كل صنف uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 12 .1عين الأعداد الصحيحة xحيث : .2استنتج في مجموعة الأعداد الصحيحة حلول المعادلة : ]7x ≡ −19[9
4
)7x − 9y = −19 . . . (1
][11
.3من بين حلول المعادلة ) (1عين تلك التي تحقق : نعتبر العدد الطبيعي
.4
ذي الأساس
n
الذي يُكتب
7
2α5
]x ≡ 0[y
في نظام العد ذي الأساس
7
؛ و يُكتب
9
1β3
في نظام العد
9
Îعين αو β؛ ثم أكتب العدد nفي النظام العشري uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
:نا تاذ أس ال
][12
3
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻣﻦ ﺑﻜﺎﻟﻮرﻳﺎت ﺳﺎﺑﻘﺔ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 13
xو yعددان صحيحان و ) (Eالمعادلة ذات المجهول ) (x; yالتالية : .1أ( عين ) (x 0 ; y 0حل المعادلة ) (Eالذي يحقق x 0 + y 0 = −1 : ب( استنتج حلول المعادلة ) (E a .2
11x + 7y = 1
S = 11a + 1 S = 7b + 2
و bعددان صحيحان و Sالعدد الذي يحقق :
أ( بين أن ) (a; −bحل للمعادلة ب( ماهو باقي القسمة الإقليدية للعدد Sعلى 77 n .3عدد طبيعي باقي قسمته على 11هو 1و باقي قسمته على 7هو 2 ) (E
عين أكبر قيمة للعدد nحتى يكون uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
n < 2013
عم
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 14 (1أ( عين الأعداد الطبيعية nالتي تحقق :
]2n + 27 ≡ 0[n + 1
ب( عين الثنائيات ) (a; bمن الأعداد الطبيعية حيث : p جـ( استنتج طر يقة لرسم قطعة مستقيمة طولها 24
(b − a)(b + a) = 24
α (2و βعددان صحيحان مكتوبان في النظام ذي الأساس خمسة على الشكل α = 10141؛ أ( أكتب العددين αو βفي النظام العشري
(3
2013
1434
و ب( حل في Z2المعادلة ذات المجهول ) (x; yالتالية: uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
β = 3403
b 2 − a 2 = 24 αa − βb = 9
ب( عين الثنائية ) (a; bمن الأعداد الطبيعية حيث : و
5
حمد م
5
أ( عين القاسم المشترك الأكبر للعددين
][13
؛ ثم استنتج القاسم المشترك الأكبر للعددين
671
478
2013x − 1434y = 27 ][14
5
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 15 اجب بصحيح أو خطأ في كل حالة من الحالات التالية مع التبرير .1المعادلة 21x + 14y = 40لا تقبل حلولا في Z2 .2في نظام التعداد ذي الأساس 7يكون .3باقي القسمة الإقليدية للعدد 1 + 3 + . . . + 32011على 7هو 6 uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ 7
أ( بين أن : ب( ماهي القيم الممكنة للعدد )PGC D(β; 10 )PGC D(α; β) = PGC D(β; 10
جـ( عين مجموعة قيم العدد الطبيعي nبحيث يكون :
PGC D(α; β) = 5
.2أ( أدرس حسب قيم العدد الطبيعي nبواقي القسمة الإقليدية للعدد 4nعلى 11 ] 45n + 4n + n ≡ 0[11 ب( عين مجموعة قيم العدد الطبيعي nالتي تحقق الجملة التالية : ] n ≡ 2[10
uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 17
] x ≡ 3[15 ] x ≡ 6[7
/1بين أن العدد 153حل للجملة /2إذا كان
x0
حيث
x
)(S
حلا لـ ) (S؛ بين أن ) :
x
عدد صحيح
عم
نسمي ) (Sالجملة التالية :
▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
حل لـ ) ((Sيكافئ
] x − x ≡ 0[15 0 ] x − x ≡ 0[7 0
/3حل الجملة /4يريد مكتبي وضع عدد من الـكتب في علب ؛ فإذا استعمل علبا ٺتسع لـ )(S
6
كتاب ؛ ماهو عدد هذه الـكتب ؟ uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
/1أ( أنشر ) (n + 3)(3n 2 − 9n + 16حيث ل عدد طبيعي n؛ 3n 3 − 11n + 48يقبل القسمة على n + 3 Îاستنتج أن ّه من أجل ك ّ n ∈N
ل عدد طبيعي n؛ 3n 2 − 9n + 16هو عدد طبيعي غير معدوم ب( برهن أن ّه من أجل ك ّ
ل الأعداد الطبيعي ّة غير المعدومة a; b; cيكون : /2برهن أن ّه من أجل ك ّ ل عدد طبيعي nأكبر أو يساوي PGC D(3n 3 −11n; n +3) = PGC D(48; n +3) : 2 /3برهن أن ّه من أجل ك ّ )PGC D(a; b) = PGC D(bc − a; b
عم
/4أ( عيّن القواسم الطبيعي ّة للعدد
48
3
3n − 11n n +3
ب( استنتج الأعداد الطبيعي ّة nبحيث يكون الـكسر uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 21
=A
عددا ً طبيعيا ً
(1أ( عين حسب قيم العدد الطبيعي nباقي القسمة الإقليدية للعدد 2nعلى ب( استنتج باقي القسمة الإقليدية للعدد ] [19621954 − 19541962 + 201553على 7
][20
7
جـ( بين أن العددين 981و 977أوّليان فيما بينهما قاسماهما المشترك هو 2 x (3و yعددان طبيعيان غير معدومين -عين
x
و
a, b, c (4
y
علما أن :
حمد م
(2أ( بين أن 89عدد أوّلي ب( عين القواسم الطبيعية للعدد 7832
x 2 − y 2 = 31328 ] x − y ≡ 8[22
أعداد طبيعية غير معدومة حيث
أ( باستعمال مبرهنة بيزو ؛ برهن أن
a
a
أوّلي مع bو
أوّلي مع
b ×c
7
a
أوّلي مع
c
ب( باستعمال الإستدلال بالتراجع ؛ أثبت أن ّه من أجل كل عدد طبيعي nغير معدوم فإن : PGC D(a; b n ) = 1
جـ( استنتج القاسم المشترك الأكبر للعددين 19621954و uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
19541962 ][21
:نا تاذ أس ال 4
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻣﻦ اﻟﻜﺘﺎب اﻟﻤﺪرﺳﻲ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 22
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 54ﺻﻔﺤﺔ
59
/1برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي , nرقم آحاد العدد n 5 − nهو /2استنتج أن من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 55ﺻﻔﺤﺔ
العددين n p+1و n p+5لهما نفس رقم الآحاد
59
برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي nيكون n 7 − nيقبل القسمة على uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ ▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 24
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 96ﺻﻔﺤﺔ
][22
62
14
][23
عم
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 23
p
0
/1من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم nنضع : في هذا التمرين يمكن استعمال النتيجة التالية PGC D(a, b) = 1 :يكافئ PGC D(a 2 ; b 2 ) = 1 3
3
3
3
Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n
/2تحقق من أن : Îبرهن أن PGC D(S 2k ; S 2k+1 ) = (2k + 1)2 :من أجل PGC D(k; k + 1) = 1
/3عين ) PGC D(2k + 1; 2k + 3من أجل kعدد طبيعي
/4أحسب ) PGC D(S 2k+1 ; S 2k+2من أجل Îاستنتج حسب قيم العدد الطبيعي ) PGC D(S n ; S n+1 k ∈N
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 25 8
)n(n + 1 = Sn 2
حمد م
/1برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم : n
)2
(
kعدد طبيعي غير معدوم
][24
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 99ﺻﻔﺤﺔ
نقول عن العدد الطبيعي
p
63
أنه أولي إذا قبل قاسمين بالضبط هما 1و
نعتبر ،في المجموعة ⋆ ، Nالمعادلة Eذات المجهولين
/1نضع
p =2
x
بين أن المعادلة Eلا تقبل حلول
و
y
التالية :
p
x2 + y2 = p2
حيث
p
أولي
:نا تاذ أس ال
/2نفرض أن p ̸= 2و ) (x; yحل للمعادلة أ ـ برهن أن العددين xو yأحدهما زوجي والآخر فردي E
ب ـ برهن أن
p
لا يقسم
x
ولا
y
جـ ـ برهن أن ) PGC D(x 2 ; y 2يقسم
د ـ استنتج أن العددين
x
و
p2
أوليان فيما بينهما
y
/3نفرض أن معدومين أ ـ تحقق أن ) (|u 2 − v 2 |; 2uvهي حل للمعادلة p
هو مجموع مربعين تامين غير معدومين أي E
ب ـ أعط حلا للمعادلة Eفي حالة P = 5ثم في حالة
/4في كل حالة من الحالتين التاليتين بين أن أ ـ . p =3ب ـ uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ
p
p = u2 + v 2
مع
u
و
v
عددين طبيعيين غير
p = 13
ليس مجموع مربعين وأن المعادلة Eلا تقبل حلول
p =7
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 26
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 32ﺻﻔﺤﺔ
79
حل في Zكل من الجملتين التاليتين :أ ـ
uﺍﻟﺤﻞ ﺍﻟﻤﻔﺼﻞ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 27
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 93ﺻﻔﺤﺔ
] x ≡ 3[5 ] x ≡ 1[6
.بـ
83
] 2x ≡ 2[4 ] 4x ≡ 1[3
/1أدرس حسب قيم العدد الطبيعي nبواقي القسمة الأقليدية لكل من العددين 3و 4على n
n
7
/2برهن أنه من أجل كل عدد طبيعي nيكون العدد 2 × 20063n+2 + 14246n+1قابلا للقسمة على /3من أجل كل عدد طبيعي nنضع : ◁ ـ أحسب بدلالة nالمجموع
Un = 2 × 3n + 3 × 4n
][26
حمد م
▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
عم
▼أﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
][25
7
S n = U0 +U1 +U2 + . . . +Un
ـ ما هي قي ّم الأعداد الطبيعية nالتي يكون من أجلها S nقابلا للقسمة على 7؟
9
][27
5
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺣﻮل اﻟﺘﺸﻔﻴﺮ
ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 28
ناع ذ: ستا الأ
نعر ّف الت ّشفير التآلفي بـ
]y = ax +b[28
؛ حيث xهو الر ّقم المناسب للحرف قبل الت ّشفير و
للحرف بعد الت ّشفير ؛
a, b
y
ن عددان طبيعيان محصوران بين 0و 27و نفرض في هذا التّمرين أ ّ
الحروف حسب الجدول الت ّالي :
ي
و
هـ
ن
م
ل
ك
ق
ف
27
26
25
24
23
22
21
20
19
غ
ع
ظ
ط
ض
ص
ش
س
ز
ر
ذ
د
خ
ح
ج
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
القّرم المناسب a
أوّلي ؛ نرقم
ث
ت
ب
أ
3
2
1
0
ن الحرف ) ث ( يحو ّل إلى الحرف )ذ( و الحرف )ص( يحو ّل إلى الحرف )خ( نفرض أ ّ ن: /1بيّن أ ّ
ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 2 /1نضع PGC D(a, b) = d :ومنه يوجد عددان طبيعيان غير معدومين ▲ ﻟﻠﻌﻮدةإﻟﻰ اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
10
a ′, b ′
حيث :
a = d a′
و
b = d b′
مع
a ′; b ′
أوّليان فيما بينهما
من معطيات التّمرين يمكن أن نكتب 6a ′ × 6b ′ = 360أي : إذن (a ′ ; b ′ ) ∈ {(1; 10); (10; 1); (2; 5); (5; 2)} :ومنه (a; b) ∈ {(6; 60); (60; 6); (12; 30); (30; 12)} : /2نضع P PC M(a; b) = m :؛ PGC D(a, b) = d؛ نعلم أن d × m = ab :و a = a ′ dو b = d b ′مع a ′ × b ′ = 10
مع
PGC D(a ′ ; b ′ ) = 1
ناع ذ: ستا الأ
PGC D(a ′ ; b ′ ) = 1
و عليه : ومنه (a; b) ∈ {(18; 90); (90; 18)} : /3لدينا P PC M(a; b)−9PGC D(a; b) = 13 :ومنه m−9d = 13ومنه d a ′ b ′ −9d = 13 :إذن = )d (a ′ b ′ −9 13ومنه d \ 13إذن }d ∈ {1; 13 d = 1ينتج عنه a ′ b ′ −9 = 13أي a ′ b ′ = 22إذن }) (a ′ ; b ′ ) ∈ {(1; 22); (2; 11و عليه })(a; b) ∈ {(1; 22); (2; 11 d = 13ينتج عنه a ′ b ′ 10ومنه }) (a ′ ; b ′ ) ∈ {(1; 10); (2; 5ومنه })(a; b) ∈ {(13; 130); (26; 65 m = d a ′b ′
ل من 2, 3, 5, 7, 11, 13إذن هو عدد أوّلي و العدد 251لا يقبل القسمة على ك ّ
ل منها يقسم 2008هي 1و 2008 = 23 × 251 /2ومنه الأعداد الطبيعي ّة التي مكعب ك ّ 11
2
.3نضع : إذن m = d a ′ b ′ لدينا m 3 + 35d 3 = 2008ومنه (d a ′ b ′ )3 + 35d 3 = 2008وعليه d 3 [(a ′ b ′ )3 + 35] = 2008إذن : مما سبق نجد }d ∈ {1, 2 p d = 1؛ (a ′ b ′ )3 + 35 = 2008إذن a ′ b ′ = 3 1973؛ غير ممكن لأن a ′ ; b ′عددان صحيحان p 3 d = 2؛ a ′ b ′ = 216 = 6ومنه })(a ′ , b ′ ) ∈ {(1; 6); (6; 1); (2; 3); (3; 2 PGC D(a; b) = d
ل عدد طبيعي nالعدد 3n 2 − 9n + 16هو عدد طبيعي غير معدوم كان xمن Rومنه من أجل ك ّ /2نضع PGC D(a; b) = dو PGC D(bc − a; b) = d ′ d \a d \b
ومنه
ومنه
ومنه
d \d′
d ′ \ bc − a d ′ \ bc
عم
d ′ \ bc − a d \b
d \ bc − a d \b
مهما
ومنه d ′ \ aومنه
d′ \d
مما سبق d = d ′ :أي )PGC D(a; b) = PGC D(bc − a; b
/3من أجل
a = 48; b = n + 3; c = 3n 2 − 9n + 16
و حسب السؤال السابق نجد
)PGC D(3n 3 − 11n; n + 3) = PGC D(48; n + 3
/4أ( ب( لدينا n + 3 ∈ N؛ الشرط اللازم لـكي يكون أجل n = 0أو من أجل n = 0؛ A = 0ومنه A ∈ N من أجل n ≥ 2يكون A ∈ Nإذا وفقط إذا كان
A
حمد م
}D 48 = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48
عدد طبيعي هو 3n 3 − 11n ≥ 0؛ هذا الشرط محقق من
n ≥2
حسب السؤال السابق نستنتج أن :
n + 3 \ 3n 3 − 11nأي
PGC D(48; n + 3) = n + 3
ومنه
PGC D(3n 3 − 11n; n + 3) = n + 3 n + 3 \ 48
ومنه
n + 3 ∈ D 48
}n + 3 ∈ {6; 8; 12; 16; 24; 48
و بالت ّالي n ∈ {3; 5; 9; 13; 21; 45} :؛ قيم nحتى يكون Aطبيعي هي }n ∈ {0; 3; 5; 9; 13; 21; 45
x = 2x ′ x 2 − y 2 = 31328 ′ y = 2yومنه ؛ PGC D(x; y) = 2ومنه /3 ]x − y ≡ 8[22 PGC D(x ′ , y ′ ) = 1 (x ′ + y ′ )(x ′ − y ′ ) = 31328 x ′2 − y ′2 = 7832 ′ ′ ′ ′ ′ ′ومنه ) (x − yو ) (x + yقاسمين للعدد ′ ′ومنه ومنه ]x − y ≡ 4[11 ]x − y ≡ 4[11 x ′ − y ′ = 4و x ′ + y ′ = 1958 7832وباقي قسمة x ′ − y ′على 11هو 4ومنه x ′ − y ′ = 356و x ′ + y ′ = 22 x ′ − y ′ = 356 x′ − y′ = 4 ′ ′ ، ′ ′مو هذه الجملة نجد ′ ′من هذه الجملة نجد x = 981و y = 977؛ x + y = 22 x + y = 1958
ن الحلّين طبيعيين ( x ′ = 189و ) ، y ′ = −167مرفوض لأ ّ بالت ّعو يض نجد x = 981 × 2 = 1962و y = 977 × 2 = 1954 /4
أ( حسب مبرهنة بيزو لدينا aأوّلي مع
b
معناه يوجد عددان صحيحان
بضرب ) (1في ) (2نجد (αa + βb)(α′ a + β′ c) = 1أي
)α′ a + β′ c = 1 . . . (2
حمد
a ،أوّلي مع cمعناه يوجد عددان صحيحان α′و β′بحيث
α
و
β
بحيث
)αa + βb = 1 . . . (1
αα′ a 2 + αaβ′ c + βbα′ a + βbββ′ c = 1
ومنه (αα′ a + αβ′ c + βbα′ )a + ββ′ βbc = 1ومنه aو bcأوّليان فيما بينهما ن )PGC D(a; b n+1 = 1 ب( التحقق PGC D(a; b) = 1محققة ؛ نفرض أن ) PGC D(a; b n = 1و نبرهن أ ّ PGC D(a; b) = 1و ) PGC D(a; b n = 1؛ فحسب ما سبق ) PGC D(a; b ×b n = 1و منه = PGC D(a; b n+1 ل عدد طبيعي PGC D(a; b n = 1) n ) 1ومنه من أجل ك ّ ج( ) PGC D(1954; 1962) = 2PGC D(977; 981ومنه × PGC D(19541962 ; 19621954 ) = 21954 PGC D(28 ) 9771962 ; 9811954
19
لدينا PGC D(977; 981) = 1فحسب ب( PGC D(9771962 ; 9811954 ) = 1و لدينا PGC D(2; 981) = 1فحسب ب( أيضا ً PGC D(28 ; 9811954 ) = 1ومنه حسب أ(
PGC D(28 × 9771962 ; 9811954 ) = 1
PGC D(19541962 ; 19621954 ) = 21954
ناع ذ: ستا الأ
ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 22
▲ ﻟﻠﻌﻮدةإﻟﻰ اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
/1رقم آحاد n 5 − nهو 0معناه n 5 − nيقبل القسمة على 10؛ من قواسم 10هناك قاسمين أوّلين هما 2و ) n 5 −n = n(n 4 −1) = n(n −1)(n +1)(n 2 +1؛ العدد ) n(n +1هو جداء عددين طبيعيين متتابعين فهو إذن عدد زوجي أي مضاعف للعدد 2؛ إذن n 5 − nمضاعف للعدد 2 5
ن n 5 − nمضاعف للعدد إذا كان nمضاعف للعدد 5فإ ّ ن بواقي قسمته على 5هي 1أو 2؛ أو 3؛ أو 4 إذا كان nليس مضاعف لـ 5فإ ّ 5
ن n − 1مضاعف للعدد 5ومنه n 5 − nمضاعف للعدد إذا كان باقي قسمة nعلى 5هو 1فإ ّ
5
ن n + 1مضاعف للعدد 5ومنه n 5 − nمضاعف للعدد إذا كان باقي قسمة nعلى 5هو 4فإ ّ إذا كان باقي قسمة nعلى 5هو rحيث } r ∈ {2; 3ومنه n = 5k + rإذن n 2 = 25k 2 + 10k × r + r 2؛ومنه 5
n 2 + 1 = 25k 2 + 10k × r + r 2 + 1
} r ∈ {2; 3ومنه n 5 − nمضاعف للعدد 5 في كل الحالات n 5 − nمضاعف للعدد
n 2 + 1 = 25k 2 + 20k + 5
آحاده
/2
5
أو
n 2 + 1 = 25k 2 + 30k + 10
و مضاعف للعدد
2
ومنه
n2 + 1
مضاعف لـ
إذن فهو مضاعف للعدد
10
5
إذن
و بالتالي رقم
0
n p+1و n p+5لهما نفس رقم الآحاد معناه رقم آحاد العدد n p+5 − n p+1هو
لدينا )n p+5 − n p+1 = n p (n 5 − n؛ مما سبق
n5 − n
n p+1و n p+5لهما نفس رقم الآحاد
n p+5 − n p+1
رقم آحده هو
0
ومنه
مم
ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 23
▲ ﻟﻠﻌﻮدةإﻟﻰ اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
رقم آحده
0
ومنه
0
ن n 7 − nيقبل القسمة على 14يكفي أن نثبت أن ّه يقبل القسمة على 2و 7لأنّهما أوّليان فيما بينهما لإثبات أ ّ لدينا )n 7 − n = n(n 6 − 1) = n(n − 1)(n 2 + n + 1)(n 3 + 1 العدد ) n(n − 1هو عدد زوجي لأن ّه جداء عددين طبيعيين متتابعين ومنه العدد n 7 − nيقبل القسمة على 2؛
حمد
ن العدد n 7 − nيقبل القسمة على 7و ذلك بتمييز الحالات يمكن أن نثبت أ ّ
n = 7k; n = 7k + 1; n = 7k + 2; n = 7k + 3; n = 7k + 4; n = 7k + 5; n = 7k + 6
بما أن العدد n 7 − nيقبل القسمة على 2و 7فهو يقبل القسمة على 14فهو مضاعف لـ ﺣﻞ ﺍﻟﺘﻤﺮﻳﻦ 25 p = 2 /1المعادلة Eتصبح
▲ ﻟﻠﻌﻮدةإﻟﻰ اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻧﻘﺮ ﻫﻨﺎ
x2 + y2 = 4
ومنه
y2 = 4 − x2
ومنه
)y 2 = (2 − x)(2 + x
ن ⋆ y ∈ Nومنه x < 2و ⋆ x ∈ Nإذن x + 2 > 0لأ ّ المعادلة Eتصبح y 2 = 3و هذه المعادلة الأخيرة لا تقبل حلولا ًفي
14
و عليه
2−x > 0
و
x =1
20
⋆N؛ وعليه المعادلة
E
لا تقبل حلولا ًفي
⋆ Nمن أجل /2أ( نفرض p ̸= 2و ) (x; yحل لـ E ن xو yزوجيان أي x = 2ℓو نفرض أ ّ p =2
من أجل k = 0نجد x = 0؛ من أجل k = 1نجد y = 0؛ لـكن العددان xو yعددان طبيعيان غير معدومين ن pيقسم y؛ وعليه pلا يقسم xو لا يقسم y نصل إلى نفس الن ّتائج إذا افترضنا أ ّ ج( نضع PGC D(x 2 ; y 2 ) = d؛ d \ x 2و d \ y 2ومنه d \ x 2 + y 2و منه d \ p 2ومنه } d ∈ {1; p; p 2 د( بما أن
p
لا يقسم
x
و لا يقسم
y
و منه d ̸= pو d ̸= p 2ومنه d = 1؛ إذن
x
و
y
أوّليان فيما بينهما
/3أ( ) (|u 2 − v 2 |; 2uvحل لـ Eمعناه (u 2 − v 2 )2 + (2uv )2 = (u 2 + v 2 )2؛ وهذا الطحقق بسيط ب( في حالة p = 5أي p = 12 + 22مم سبق نجد ) (3; 4حل لـ E؛ و في حالة p = 13أي p = 32 + 22 إذن ) (5; 12حل لـ E ن u 2 + v 2 = 3ومنه u 2 = 3 − v 2ومنه v 2 < 3ومنه v 2 = 1ومنه v = 1إذن u 2 = 2 /4أ( p = 3؛ نفرض أ ّ ؛ لـكن 2ليس مربعا تاما ومنه 3ليس مجموع مرب ّعين المعادلة Eتصبح x 2 + y 2 = 9ومنه
