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´ ´ MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Edici´ on: Oscar Guillermo Ria˜ no Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a

Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia

Matem´ aticas B´ asicas

Conjuntos

1/1

Parte I Conjuntos

Universidad Nacional de Colombia


Conjuntos

2/1

Definición intuitiva de conjunto

Definición Un conjunto es una colecci´ on de objetos.



Conjuntos

3/1


Definición Un conjunto es una colecci´ on de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana}



Conjuntos

3/1


Definición Un conjunto es una colecci´ on de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio}



Conjuntos

3/1


Definición Un conjunto es una colecci´ on de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . }



Conjuntos

3/1


Definición Un conjunto es una colecci´ on de objetos. Ejemplos A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . } D = {x| x es un estudiante activo de la UN}



Conjuntos

3/1

Conjuntos determinados por extensión y por comprensión

Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensi´ on.



Conjuntos

4/1


Extensión y Comprensión Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensi´ on. Cuando damos una lista expl´ıcita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensi´ on.



Conjuntos

4/1


Ejemplo A = {x| x es un n´ umero impar positivo, menor que 30}



Conjuntos

5/1


Ejemplo A = {x| x es un n´ umero impar positivo, menor que 30} A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}



Conjuntos

5/1


Ejemplo B = {x| x es un entero mayor que − 3}



Conjuntos

6/1


Ejemplo B = {x| x es un entero mayor que − 3} B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Conjuntos

6/1



Ejemplo C = {x| x es un entero mayor o igual que − 3}



Conjuntos

6/1



Ejemplo C = {x| x es un entero mayor o igual que − 3} C = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }



Conjuntos

6/1


Ejemplo D = {x| x es un n´ umero par y primo}



Conjuntos

7/1


Ejemplo D = {x| x es un n´ umero par y primo} D = {2}



Conjuntos

7/1



Ejemplo E = {x| x es un n´ umero impar y primo}



Conjuntos

7/1



Ejemplo E = {x| x es un n´ umero impar y primo} E = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . . }



Conjuntos

7/1


Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x| x es par, primo y mayor que 5}



Conjuntos

8/1


Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x| x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vac´ıo y se acostumbra a notar por ∅ o { }.



Conjuntos

8/1


Ejemplos Consideremos el conjunto G = {x| x es par, primo y mayor que 5} El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vac´ıo y se acostumbra a notar por ∅ o { }. OJO {∅} NO es el conjunto vac´ıo, es un conjunto con un elemento.



Conjuntos

8/1

Pertenencia

Definición Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definida entre un elemento a y un conjunto A.



Conjuntos

9/1

Pertenencia

Definición Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a ∈ A.



Conjuntos

9/1

Pertenencia

Definición Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definida entre un elemento a y un conjunto A. Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cual denotamos por a ∈ A. En caso contrario, decimos que a no pertenece a A y lo escribimos a ∈ / A.



Conjuntos

9/1

Conjunto de referencia o conjunto universal

Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} ,



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia?



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia? ¿letras?



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia? ¿letras? ¿colores?



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia? ¿letras? ¿colores? ¿reales?



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia? ¿letras? ¿colores? ¿reales? ¿naturales?



Conjuntos

10 / 1


Consideremos el conjunto A = {x| x es primo} , ¿hay un conjunto de referencia? ¿letras? ¿colores? ¿reales? ¿naturales? El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad del conjunto lo tomamos como el conjunto universal.



Conjuntos

10 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales:



Conjuntos

11 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U:N



Conjuntos

11 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U:N U:Z



Conjuntos

11 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U:N U:Z U:R



Conjuntos

11 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U:N U:Z U:R U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional



Conjuntos

11 / 1


Ejemplos Son ejemplos de conjuntos universales: U:N U:Z U:R U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional U : Habitantes de Colombia



Conjuntos

11 / 1

Subconjuntos

Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B,



Conjuntos

12 / 1

Subconjuntos

Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B.



Conjuntos

12 / 1

Subconjuntos

Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B. En otras palabras (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).



Conjuntos

12 / 1

Subconjuntos

Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B. En otras palabras (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B). Para decir A 6⊆ B negamos la proposici´ on anterior,



Conjuntos

12 / 1

Subconjuntos

Definición Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es un subconjunto de B si todo elemento de A es también elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B. En otras palabras (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B). Para decir A 6⊆ B negamos la proposici´ on anterior, as´ı ∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B) ⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈ / B)



Conjuntos

12 / 1

Diagramas de Venn

U

B A

Figura: A ⊆ B



Conjuntos

13 / 1

Subconjuntos

Propiedades Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.



Conjuntos

14 / 1

Subconjuntos

Propiedades Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A. Pues de no ser as´ı, existir´ıa x ∈ ∅ tal que x ∈ / A,



Conjuntos

14 / 1

Subconjuntos

Propiedades Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A. Pues de no ser as´ı, existir´ıa x ∈ ∅ tal que x ∈ / A, lo cual contradice el hecho de que vac´ıo no tiene elementos.



Conjuntos

14 / 1

Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C .



Conjuntos

15 / 1

Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos (∀x)(x ∈ A → x ∈ B) (∀x)(x ∈ B → x ∈ C )



Conjuntos

15 / 1

Subconjuntos

Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C . Veamos (∀x)(x ∈ A → x ∈ B) =⇒ (∀x)(x ∈ A → x ∈ C ) (∀x)(x ∈ B → x ∈ C )



Conjuntos

15 / 1

Igualdad entre conjuntos

Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y s´ olo si A ⊆ B y B ⊆ A.



Conjuntos

16 / 1

Igualdad entre conjuntos

Igualdad entre conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales si y s´ olo si A ⊆ B y B ⊆ A. En otras palabras (∀x)(x ∈ A ←→ x ∈ B)



Conjuntos

16 / 1

Subconjuntos

Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.



Conjuntos

17 / 1

Subconjuntos

Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tenemos que B ⊆ A, pero C 6⊆ A.



Conjuntos

17 / 1

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colecci´ on P(A) := {X | X ⊆ A}



Conjuntos

18 / 1


Conjunto Potencia o conjunto de Partes Sea A un conjunto. Definimos la colecci´ on P(A) := {X | X ⊆ A} Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.



Conjuntos

18 / 1


Ejemplo Sea A = {a}.



Conjuntos

19 / 1


Ejemplo Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.



Conjuntos

19 / 1



Ejemplo Sea A = {a, b}.



Conjuntos

19 / 1



Ejemplo Sea A = {a, b}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}}.



Conjuntos

19 / 1




Ejemplo Sea A = {a, b, c}.



Conjuntos

19 / 1




Ejemplo Sea A = {a, b, c}. P(A) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}}.



Conjuntos

19 / 1


Propiedades Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).



Conjuntos

20 / 1


Propiedades Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B). Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.



Conjuntos

20 / 1

Operaciones entre conjuntos

Unión Sean A y B dos conjuntos, definimos la uni´ on de A y B como A ∪ B := {x| x ∈ A ∨ x ∈ B} .



Conjuntos

21 / 1

Unión

A

B

U

Figura: A ∪ B



Conjuntos

22 / 1

Intersección

Intersección Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersecci´ on de A y B como A ∩ B := {x| x ∈ A ∧ x ∈ B} .



Conjuntos

23 / 1

Intersección

A

B

U

Figura: A ∩ B



Conjuntos

24 / 1

Unión e Intersección

Propiedades A∩B =B ∩A



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A A∩∅=∅



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A A∩∅=∅ A∪∅=A



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A A∩∅=∅ A∪∅=A A∪A=A



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A∩B =B ∩A A∪B =B ∪A A∩∅=∅ A∪∅=A A∪A=A A∩A=A



Conjuntos

25 / 1


Propiedades A⊆A∪B



Conjuntos

26 / 1


Propiedades A⊆A∪B A∩B ⊆A



Conjuntos

26 / 1


Propiedades A⊆A∪B A∩B ⊆A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )



Conjuntos

26 / 1


Propiedades A⊆A∪B A∩B ⊆A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )



Conjuntos

26 / 1


Propiedades A⊆A∪B A∩B ⊆A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )



Conjuntos

26 / 1


Propiedades A⊆A∪B A∩B ⊆A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )



Conjuntos

26 / 1

Complemento

Definición Sea A un conjunto considerado como subconjunto de un conjunto universal U. Definimos el complemento de A (con respecto a U) como A0 := {a ∈ U| a ∈ / A} El complemento de A se nota por A0 o por AC .



Conjuntos

27 / 1

Complemento

U A

A0 Figura: A0



Conjuntos

28 / 1

Complemento

Propiedades A00 = A



Conjuntos

29 / 1

Complemento

Propiedades A00 = A A ⊆ B si y sólo si B 0 ⊆ A0



Conjuntos

29 / 1

Complemento

Propiedades A00 = A A ⊆ B si y sólo si B 0 ⊆ A0 (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0



Conjuntos

29 / 1

Complemento

Propiedades A00 = A A ⊆ B si y sólo si B 0 ⊆ A0 (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0



Conjuntos

29 / 1

Diferencia

Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B como A − B := {x| x ∈ A ∧ x ∈ / B}



Conjuntos

30 / 1

Diferencia

A

B

U

Figura: A − B



Conjuntos

31 / 1

Diferencia

Propiedades A − B = A ∩ B0



Conjuntos

32 / 1

Diferencia

Propiedades A − B = A ∩ B0 A−A=∅



Conjuntos

32 / 1

Diferencia

Propiedades A − B = A ∩ B0 A−A=∅ A−∅=A



Conjuntos

32 / 1

Diferencia

Propiedades A − B = A ∩ B0 A−A=∅ A−∅=A A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅



Conjuntos

32 / 1

Diferencia

Propiedades A − B = A ∩ B0 A−A=∅ A−∅=A A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅ A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B



Conjuntos

32 / 1

Diferencia

Ejercicio Sean U = {a, b, c, d, e, f , g , h, i, j, k}, A = {a, b, d, f , h}, B = {b, c, d, e, f } y C = {c, g , h, k}. Encuentre A−B B −A (A − B) ∪ C 0



Conjuntos

33 / 1

Diferencia Simétrica

Definición Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica de A y B como A4B = (A − B) ∪ (B − A)



Conjuntos

34 / 1


A

B

U

Figura: A4B



Conjuntos

35 / 1


Propiedades A4B = B4A



Conjuntos

36 / 1


Propiedades A4B = B4A A4∅ = A



Conjuntos

36 / 1


Propiedades A4B = B4A A4∅ = A A4A = ∅



Conjuntos

36 / 1


Propiedades A4B = B4A A4∅ = A A4A = ∅ A ⊆ B entonces A4B = B − A



Conjuntos

36 / 1

Producto cartesiano

Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A × B como A × B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B}



Conjuntos

37 / 1

Producto cartesiano

Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A × B como A × B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B} Los elementos de A × B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece,



Conjuntos

37 / 1

Producto cartesiano

Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A × B como A × B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B} Los elementos de A × B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a).



Conjuntos

37 / 1

Producto cartesiano

Definición Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesiano de A y B, notado A × B como A × B := {(a, b)| a ∈ A ∧ b ∈ B} Los elementos de A × B se llaman parejas ordenadas, y como su nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es, (a, b) 6= (b, a). As´ı B × A = {(b, a)| b ∈ B ∧ a ∈ A}



Conjuntos

37 / 1

Producto cartesiano

Ejercicio Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2}. Encuentre A×B B ×A



Conjuntos

38 / 1

Producto cartesiano

Propiedades ¿ A × B es igual a B × A ?



Conjuntos

39 / 1

Cardinal de un conjunto

Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier n´ umero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota



Conjuntos

40 / 1


Definición Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquier n´ umero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota n(A) = k.



Conjuntos

40 / 1



Ejemplo Si A = {a, b, c}



Conjuntos

40 / 1



Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3



Conjuntos

40 / 1



Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3 Si B = {x| x es primo y x < 12}



Conjuntos

40 / 1



Ejemplo Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3 Si B = {x| x es primo y x < 12} entonces n(B) = 5



Conjuntos

40 / 1

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto Si n(A) = a y n(B) = b, entonces n(A × B) =



Conjuntos

41 / 1

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto Si n(A) = a y n(B) = b, entonces n(A × B) = n(B × A) =



Conjuntos

41 / 1

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto Si n(A) = a y n(B) = b, entonces n(A × B) = n(B × A) = n(A) × n(B) =



Conjuntos

41 / 1

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto Si n(A) = a y n(B) = b, entonces n(A × B) = n(B × A) = n(A) × n(B) = n(B) × n(A) =



Conjuntos

41 / 1

Producto Cartesiano

Número cardinal de un producto Si n(A) = a y n(B) = b, entonces n(A × B) = n(B × A) = n(A) × n(B) = n(B) × n(A) = ab.



Conjuntos

41 / 1

Producto Cartesiano

Ejercicios Encuentre el n´ umero cardinal en cada caso Si n(A × B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)



Conjuntos

42 / 1

Producto Cartesiano

Ejercicios Encuentre el n´ umero cardinal en cada caso Si n(A × B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B) Si n(A × B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)



Conjuntos

42 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal.



Conjuntos

43 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A0 = {x ∈ U| x ∈ / A}.



Conjuntos

43 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A0 = {x ∈ U| x ∈ / A}. La uni´ on de A y B es A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}.



Conjuntos

43 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A0 = {x ∈ U| x ∈ / A}. La uni´ on de A y B es A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}. La intersección de A y B es A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}.



Conjuntos

43 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A0 = {x ∈ U| x ∈ / A}. La uni´ on de A y B es A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}. La intersección de A y B es A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}. La diferencia de A y B es A − B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ / B}.



Conjuntos

43 / 1

Resumen Operaciones entre conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es el conjunto universal. El complemento de A es A0 = {x ∈ U| x ∈ / A}. La uni´ on de A y B es A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}. La intersección de A y B es A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}. La diferencia de A y B es A − B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ / B}. La diferencia simétrica de A y B es A4B = {x| (x ∈ A ∧ x ∈ / B) ∨ (x ∈ / A ∧ x ∈ B)} .



Conjuntos

43 / 1

Resumen

Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B



Conjuntos

44 / 1

Resumen

Leyes de De Morgan Para dos conjuntos A y B (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0 (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0



Conjuntos

44 / 1

Conjuntos Ejercicio Cierta empresa entrevistó a 160 personas en un centro comercial con el fin de averiguar sus preferencias a la hora de las comunicaciones y obtuvo los siguientes resultados: 115 tienen internet en casa, 96 tienen cable en casa, 91 tienen celular, 68 tienen internet y cable en casa, 60 tienen internet en casa y celular, 54 tienen cable y celular, 38 tienen los tres, 2 no tienen ni internet , ni cable, ni celular.

Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos. Universidad Nacional de Colombia


Conjuntos

45 / 1

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