UNIVERSITETI I PRISHTINËS “HASAN PRISHTINA” FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKE-NATYRORE DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PUNIM DIPLOME Konvergjenca e vargut të operatorëve
Kandidati: Arben Abazaj
Mentori: Dr. Sc. Naim L. Braha Prishtinë, 2016
Përmbajtja 1. Hapësirat e normuara
2
1.1. Hapësirat vektoriale
2
1.2. Hapësirat unitare
5
1.3. Hapësirat e normuara
8
1.4. Hapësirat e Banach-ut dhe të Hilbertit
12
1.5. Vazhdueshmëria e normës. Normat ekuivalente
13
1.6. Operatorët linearë të kufizuar
16
1.7. Hapësira e normuar
18
,,
2. Konvergjenca e dobët dhe e fortë e vargut të operatorëve 2.1. Karakteristika të bashkësive të kufizuara në hapësirat e normuara 21 2.2. Konvergjenca e dobët e vargut të operatorëve
21
,, ∗ℎ ,, 22
Përmbajtja 1. Hapësirat e normuara
2
1.1. Hapësirat vektoriale
2
1.2. Hapësirat unitare
5
1.3. Hapësirat e normuara
8
1.4. Hapësirat e Banach-ut dhe të Hilbertit
12
1.5. Vazhdueshmëria e normës. Normat ekuivalente
13
1.6. Operatorët linearë të kufizuar
16
1.7. Hapësira e normuar
18
,,
2. Konvergjenca e dobët dhe e fortë e vargut të operatorëve 2.1. Karakteristika të bashkësive të kufizuara në hapësirat e normuara 21 2.2. Konvergjenca e dobët e vargut të operatorëve
21
,, ∗ℎ ,, 22
Hyrje Në këtë punim diplome, punimi është ndarë në dy kapituj: Kapitulli 1 në të cilin do të ndërtojmë një bazë solide nga hapësirat e normuara. Ky kapitull përmban shtatë paragrafe duke filluar nga konceptet themeloe në hapësirat vektoriale, hapësirat unitare, hapësirat e normuara, hapësirat e Banach-ut dhe të Hilbertit, vazhdueshmëria e normës, operatorët linearë të kufizuar dhe nga hapësirat e normuara
,, .
Duke u bazuar në konceptet, përkufizimet, teoremat dhe rrjedhimet nga kapitulli 1, në kapitullin e dytë do të bëjmë fjalë për konvergjencën e vargut të operatorëve linearë çka është edhe qëllimi i këtij punimi. Këtë kapitull e kemi ndarë në dy paragrafe. Në paragrafin e prë do të përfshijmë karakteristikat e bashkësive të kufizuara në hapësirat e normuara dhe , të përshkruara me tri teorema. Në paragrafin e dytë do të fillojmë me konvergjencën e dobët të vargut të operatorëve. Do të fokusohemi në studimin e pohimeve dhe rrjedhimeve të rëndësishme për të vazhduar me dallimin ndërmjet konvergjencës së dobët dhe konvergjencës sipas normës për të arritur deri te përkufizimi i konvergjencës së vargut të operatorëve.
,, ∗ ,,
1
Hapësirat e normuara
1.1
Hapësirat vektoriale
Struktura e hapësirës vektoriale nëpërmjet dy funksioneve:
,,… × Φ× .
mbi fushën
1 , ↦ 2 ,↦ 1 ℎ 0∈ 00 ∈. ∈ ∈ 0. 2 ℎë 2 2 Φ 2 1∙ nga
Funksioni
,
nga
në
Φ ,,…
përkufizohet
dhe
në
në , ka këto veti:
(HV1)
(HV2) Ekziston elementi i vetëm
(asociativiteti). i tillë që
për çdo
(HV3) Për çdo
ekziston elementi i vetëm
(HV4)
i tillë që
(komutativiteti).
Funksioni
,
, ka këto veti:
Φ 2
(HV5)
(distributiviteti i shumëzimit
ndaj mbledhjes në ).
(HV6)
(distributiviteti i shumëzimit
ndaj mbledhjes në
(HV7)
(kompatibiliteti i shumëzimit në
(HV8)
(jotrivialiteti i shumëzimit
).
dhe i shumëzimit
).
).
Φ 0. Φ ℝ ℂ Φℝ Φℂ. Φ Φ ℝ. Φ ,∈Φ , ∈ 3 . Φ. :⟶ ,∈; ℎ ∈Φ,∈. 3; ∈Φ,∈. ̅ Φℝ Φ :⟶ Φ. , ∘ Φ :⟶,:⟶ ë . ↦
Elementet e hapësirës vektoriale i quajmë vektorë, ndërsa elementet e fushës i quajmë skalarë. Vetitë (HV1)-(HV4) tregojnë se në lidhje me mbledhjen, hapësira vektoriale është grup aditiv dhe se elementi neutral (njësi) i atij grupi është Në vazhdim për marrim fushën e numrave realë , përkatësisht të numrave kompleksë . Hapësira është reale në qoftë se , përkatësisht komplekse në qoftë se Vërejmë se është hapësirë vektoriale mbi e gjithashtu edhe mbi
Për hapësirat vektoriale dhe mbi të njëjtën fushë themi se janë në qoftë se ekziston bieksioni nga në i tillë që për çdo skalar dhe për çdo vektor vlen
Le të jenë dhe hapësira vektoriale mbi fushën
është:
a)
b)
c)
d)
në qoftë se
në qoftë se
në qoftë se është aditiv dhe homogjen, pra në qoftë se vlen në qoftë se është aditiv dhe
Në qoftë se , atëherë funksioni antilinear (linear) njëkohësisht është linear (antilinear). Tutje funksionin i cili e ka domenën në hapësirën vektoriale dhe kodomenën në hapësirën vektoriale do ta quajmë . Krahas kësaj, gjithnjë konsiderojmë se dhe janë hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë . Funksionin linear e quajmë përkatësisht në qoftë se Nga fakti se kryesisht do të shqyrtojmë operatorët linearë, mbiemrin shpesh nuk do ta përmendim. Në qoftë se dhe janë hapësira vektoriale mbi dhe operatorë linearë, atëherë kompozimi është operator linear nga dhe dhe shënohet me
në
janë dhe quhet
Pasqyrimi identik nga hapësira në është operator linear dhe e shënojmë me përkatësisht me kur nga teksti shihet se për cilën hapësirë bëhet fjalë.
. . . >2 . . . . . .− . , ,. . ., , ,. . ., . . . , , . . . , , ,. . .,. , , . . . , ∈ ℎ ë , ,. . ., . . . 0 ℎ || || . . .|| >0. , ,. . ., ∈ ℎ ë ∈ℕ , ,. . ., ∈ . . .. , , . . . , ë , , . . . , , ,. . .,. Shumën prej përkufizojmë në mënyrë induktive me formulën
Për vektorët
të vektorëve nga hapësira vektoriale
nga dhe skalarët
quhet
, vektori
ose lidhje lineare e vektorëve
Vektorët
e
janë
me koeficientët
në qoftë se ekzistojnë skalarët
të tillë që
Vektorët linearisht të varur.
janë
në qoftë se nuk janë
Hapësira vektoriale është dimensionale, , në qoftë se ekzistojnë vektorët në të tillë që çdo vektor të ketë paraqitje të vetme në trajtën
Në këtë rast themi se
është
në
dhe se
janë
në bazën
1.2
Hapësirat unitare
| , ↦ × Φ ||| || | | | ≥0 |0⇔0 ℎëë . Përkufizim. Funksioni
hapësirën vektoriale (S1) parë); (S2) (S3) (S4) (S5)
nga në qoftë se ai ka këto veti:
Dyshja e renditur e hapësirës vektoriale
në
është
në
(aditiviteti i produktit skalar në raport me variablën e
(homogjeniteti në raport me variablën e parë); (simetria hermitiane e produktit skalar); (definiteti pozitiv);
(definiteti pozitiv).
dhe e produktiti skalar është
Φ ∀, ∈ | |. ℎ 1. 1 |∑= ̅, , Φ ℝ 1 ℎëë , . ℎ 2. ∆⊂ℝ ∆ , × , × . . . × , ; < 1,2,. . .,; , ∈ℝ. ∆ ∆ ∆Φ : ∆⟶Φ ∆ Φ. 2 | ∫ ∆ . ∗ ℎℎ ,∈ 3 ||| ≤ || ∙ ||, |||. 3 ↦ || |⁄ || ≥0 ∈; ||0⇔0; ||||∙|| ∈Φ,∈; Përkufizim. Hapësirat unitare
bieksioni linear
nga
në
dhe
mbi
janë
në qoftë se ekziston
i tillë që
Me
është dhënë produkti skalar në
. Hapësira vektoriale
Nënbashkësia
me produktin skalar
është
është interval i mbyllur në qoftë se
Bashkësia e të gjitha funksioneve të cilat janë të vazhdueshme në nënhapësirë e hapësirës vektoriale të të gjitha funksioneve nga në
është
Me
është dhënë produkti skalar në hapësirën
Në qoftë se
është hapësirë unitare, atëherë për çdo
vlen
ku kemi marrur
Barazimi në varur.
vlen atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se vektorët dhe janë linearisht të
Pohim 1. Në qoftë se
është hapësirë unitare, atëherë funksioni =
ka këto veti: 1. 2. 3.
| | ≤ || || ,∈; 0 >0 0 ; | ||||| |0⇔||≤| | ∈Φ. ,∈ ⊥ |0.|ëℎë ë , ⊆ ⊥ 0 ∈ ∈. ⊆, . ∈:⊥ ⊥ ∈ ∗ , , . . . , , . . . , ,. . ., , , . . . , , ,. . ., ,∈ ⊂ℕ ℱ , , . . . , , ,. . ., , , . . . ∈ℕ + ∉,. . .,. ⁄ | | , , . . . , ,. . ., , ,. . .,, ,. . ., ≤. + ∉, ,. . ., + + ∑=+| 0. + +⁄|+| , ,. . .,+ , ,. . .,+ + ⊥, ,. . .,. ∎ 4.
5. Në qoftë se dhe atëherë nëse ekziston numri real 6.
, atëherë kemi i tillë që
atëherë dhe vetëm
për çdo skalar
Për vektorët Për qoftë se Vërejmë se
themi se janë ortogonalë dhe shënojmë në qoftë se kemi themi se janë dhe shënojmë në për çdo dhe për çdo Për bashkësinë bashkësia është nënhapësirë dhe quhet komplementi ortogonal i bashkësisë do të thotë se bashkësitë dhe janë ortogonale.
Bashkësia është ortogonale në qoftë se çfarëdo dy vektorë të ndryshëm nga janë ortogonalë. Bashkësia është e normuar në qoftë se elementet e saj janë vektorë njësi. Bashkësia është e ortonormuar në qoftë se është ortogonale dhe e normuar.
Procedura e ortogonalizimit e Gram-Schmid-it mundëson që çdo varg
i vektorëve linearisht të pavarur të hapësirës unitare të zëvendësohet me vargun e ortonormuar i cili ka vetinë që për çdo vektorët ndërtojnë të njëjtën nënhapësirë ashtu si edhe vektorët .
Krahas kësaj për vargun të vektorëve në hapësirën vektoriale themi se është linearishtt i pavarur në qoftë se për çdo bashkësi të fundme , vargu i fundëm është linearisht i pavarur. Nga këtu rrjedh se vargu është linearisht i pavarur atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo vlen
Vektorët i përkufizojmë në mënyrë induktive. Marrim , atëherë vektorët dhe ndërtojnë të të njëjtën nënhapësirë. Le të zëmë se kemi përkufizuar vektorë të ortonormuar të tillë që
për çdo Pasi që
, atëherë
Vektori
e ka vetinë që
dhe
1.3
Hapësirat e normuara
| | ↦ || ≥0 ∈; ||0 0; ||||∙|| ∈Φ ∈ | | ≤ || || ,∈ , |∙| ↦ ||
nga hapësira vektoriale Përkufizim. Funksioni realë është normë në në qoftë se ka këto veti: (N1) (N2) (N3) (N4)
në bashkësinë e numrave
për çdo
atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se për çdo
dhe çdo
për çdo
(homogjeniteti i normës);
(mosbarazimi i trekëndëshit).
Dyshja e renditur e hapësirës vektoriale quhet hapësirë vektoriale e normuar. Shembulli 1. Me
1
|| =||,
dhe normës
të përkufizuar në
, ,. . .,
Φ . 2 || ||, ||,. . .,, , ,. . ., Φ. 3 || ∆ || . . . |, ,. . .,|. . . Δ :Δ⟶Φ , ×, ×. . .× , ⊂ℝ. 4 || ||: ∈Δ Δ. , ↦ | 5 ↦ || |⁄ është dhënë norma në hapësirën vektoriale Shembulli 2. Me
është dhënë norma në hapësirën vektoriale Shembulli 3. Me
është dhënë norma në hapësirën vektoriale në segmentin
e të të gjitha funksioneve të vazhdueshme
Δ
Shembulli 4. Me
është dhënë norma në hapësirën
Shembulli 5. Në qoftë se
kemi
është produkt skalar në hapësirën , atëherë
është normë në
5 6 6 Norma
.
e plotëson të ashtuquajturin relacioni i paralelogramit:
| | | | 2|| 2|| ,∈. | | || || || | | || || | |. 6 ..,1935. ë ë ↦ || ë ℎë ë ë 6 ë 1 , ëℎë 7 | 4 | | | | ëℎë ℎëë 1 ë ë 1 ëℎë ℎëë ëëℎ 8 | 4 | | | | 4 | | | | ë ëℎë ℎëë . ë ë 9 || |. :×→ℝ ë ,≥0 , ∈; ,0 ; , , , ∈; , ≤, , , , ∈ ëëℎ. , ℎëë . , ,∈ , ∈:,< Relacioni
fitohet me mbledhjen e këtyre dy relacioneve:
Se është relacion karakteristik për hapësirat unitare, rrjedh nga teorema në vijim të cilën do ta marrim pa vërtetim. Teorema 1.
Përkufizim. Funksioni
është
në bashkësinë
në qoftë se ai ka
këto veti: (M1)
për çdo
(M2)
atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se
(M3)
për çdo
(M4)
për çdo
Dyshja e renditur
e bashkësisë dhe metrikës në quhet
Në hapësirën metrike numrin
Bashkësia
e quajmë distancë e elementeve
.
>0 . ℎë ⊆ ℎ ∈ , , ⊆. . ë ℎë ⊆ ∅ ∖ . ℎë ⊆ ë ë ↦|| ëℎë ë ë ℎëë ,ëℎë 10 , | | ,∈ ë ë . ⁄ | ↦ , ↦ | |. ,, <⁄ || ∫|| || ∫|| . ∈, ⁄ ⁄ || || ≤ | | ⇒ 11 ⁄ || ≤||, . 11 . është rruzull me rreze
me qendër në pikën
është në qoftë se për çdo ekziston rruzulli i Bashkësia e të të gjitha bashkësive të hapura të hapësirës metrike në
tillë që është
është të theksojmë se bashkësia e zbrazët hapura dhe të mbyllura në
në qoftë se komplementi i saj është i hapur. Le dhe e tërë hapësira janë njëkohësisht bashkësi të
është në qoftë se ajo përmbahet në ndonjë rruzull. Në të kundërtën është bashkësi e pakufizuar. Pohim 2.
ështëë
(Vërtetimi i këtij pohimi është trivial).
Vërejtje. Në shqyrtimin e mëtutjeshëm konsiderojmë se çdo hapësirë unitare është e paisur me normën dhe se çdo hapësirë e normuar është e paisur me metrikën
Kjo na mundëson përdorimin e terminologjisë dhe rezultateve nga teoria e hapësirave metrike në hapësirat e normuara dhe unitare. Shembulli 6. Me
përkatësisht
shënojmë hapësirën
me normën
përkatësisht
Për
me ndihmën e mosbarazimit të BuniakoËsky-SchËarz-it fitojmë:
ku Nga rrjedh se rruzull i hapësirës përmbahet në ndonjë rruzull të hapësirës . Kjo tërheq faktin se çdo bashkësi e kufizuar në është e kufizuar edhe në Nga ana tjetër, për funksionet të paraqitura në figurën vijuese kemi:
x
0
a
b-1/n
b-1/2n
b
t
1 0 ë ≤≤ ë 12∙1 ≤≤ 1 ë ≤≤ 2∙ , || | |≥ − ∙ 21 2 ⇒|| ≥ 2 .
Tutje kemi
|| || ≥ ′ >0 || ≤′|| Nga
hapësirës
dhe
|| | | 34 .
0, 1 ∈ : || <1 ∈ , . ,
përfundojmë se rruzulli njësi
i
është bashkësi e pakufizuar në hapësirën . Sipas kësaj nuk ekziston numri real i tillë që për çdo Arsyeja që bashkësia mund të jetë e kufizuar në dhe njëkohësisht e pakufizuar në , rrjedh nga fakti se hapësira është me dimension të pafundëm.
1.4
Hapësirat e Banach-ut dhe të Hilbertit
,∈ℕ
∈ ↦ | | ∑ , ∈ℕ . . . ∑ ∑||. → , lim lim→ . →′ →′ ′ | | | ′ | ≤′ | | | ′| | |0 →∞ → >0 | | ≤ 2 ≥ ,≥ ( )( )≤ ≤ 2 2 . >0 ∈ℕ 1 ,≥ ⇒ ≤. 1 ,∈ℕ 1. >0 . i vektorëve të hapësirës së normuar konvergjon sipas Përkufizim. Vargu në qoftë se vargu i numrave normës ose konvergjon në mënyrë të fortë në vektorin konvergjon në zero.
Seria
konvergjon në qoftë se vargu
i shumave të pjesshme
konvergjon sipas normës.
Seria
konvergjon absolutisht në qoftë se konvergjon seria numerike
Në qoftë se vargu konvergjon në vargut gjë që e shënojmë në trajtën Në qoftë se
dhe
për
, pra
, atëherë për çdo
. Kështu për
dhe themi se
është limit
, atëherë
për tërheqë në vete ka vetëm një pikë kufitare (limit). Në qoftë se
shënojmë ose
. Kjo tregon se vargu konvergjent në
ekziston numri natyror
i tillë që
fitojmë
Sipas kësaj për çdo
ekziston
i tillë që
Vetia e shprehur në
shërben për përkufizimin e të ashtuquajturit vargu fundamental ose
vargu i Cauchy-it.
Përkufizim. Vargu
se për çdo
i hapësirës së normuar është varg i Cauchy-it në qoftë ekziston numri natyror i tillë që të vlejë relacioni
Përkufizim. Hapësira e normuar
është e plotë ose hapësirë e Banach-ut në qoftë se çdo varg i Cauchy-it i elementeve nga konvergjon në Hapësira plotësisht unitare quhet hapësirë e Hilbert-it.
Pohim 3. Le të jetë
varg i Cauchy-it në hapësirën e normuar
. Atëherë kemi :
I. bashkësia
() 2
:∈ℕ + ≤ ∈ℕ. është e kufizuar ;
II. për çdo varg zbritës i tillë që
të numrave realë rigorozisht pozitivë, ekziston nënvargu
Pohim 4. Hapësira e normuar është e plotë atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se çdo seri absolutisht konvergjente e vektorëve nga konvergjon në .
1.5 Vazhdueshmëria e normës. Normat ekuivalente
. → : ∈ >0 >0 ∈ ∧| |≤⇒| |≤. ⊆ . ⊆ > 0 >0 , : , ∈∧| |≤⇒| |≤. : → . ↦ ||, , ↦ ,↦ × × ∗ , ,. .×., × . . . × Φ , ,. . .,. 1 ,. . ., , ,. . ., Përkufizim. Le të jenë dhe hapësira të normuara dhe funksion nga fushë të përkufizimit Funksioni është i vazhdueshëm në pikën
qoftë se për çdo
ekziston
në
me në
ashtu që
Funksioni është i vazhdueshëm në bashkësinë në çdo pikë të bashkësisë
në qoftë se ai është i vazhdueshëm
Funksioni është uniformisht i vazhdueshëm në bashkësinë ekziston ashtu që për çdo
Lehtë tregohet se funksioni vetëm atëherë në qoftë se për çdo varg përkatës nga konvergjon në
në qoftë se për çdo
është i vazhdueshëm në pikën nga i cili konvergjon në
atëherë dhe edhe vargu
Këtu do të tregojmë se funksionet
janë të vazhdueshme. Për të treguar vazhdueshmërinë e mbledhjes si funksione nga në është e nevojshme që në bashkësinë të fusim konceptin e konvergjencës respektivisht të ashtuquajturën strukturë toplogjike. Në lidhje me këtë marrim në konsideratë disa koncepte me rëndësi e me të cilat shërbehemi në vijim.
Në qoftë se produktit kartezian
Në raport me funksionet
janë hapësira vektoriale mbi fushën i shënojmë me
, atëherë elementet e
,. . .,. ,↦| , ∈ 2 | =| , ,. . .,. 2 : ⁄ 3 || |= | ↦ | | 3 , ,. ..,1, 2 , . . . , 3 4 || =|| 5 || ||: 1, 2 , . . . , 4 5 ∈ 6 || ≤|| ≤|| 7 || ≤ || ≤ √ || 8 √ || ≤|| ≤||. 7 3 5 | | ‖ ‖ ↦ ↦ ,>0 ∈ është hapësirë vektoriale. Hapësira vektoriale e tillë
hapësirave vektoriale
Në qoftë se çdonjëra ,
nga hapësirat
është prodhim i drejtëpërdrejtë i
është
unitare me produktin skalar
, atëherë me
është dhënë produkti skalar në hapësirën vektoriale . Hapësira unitare e tillë është prodhimi i drejtëpërdrejtë i hapësirave unitare
Produkti skalar
gjeneron normën në
Në qoftë se çdonjëra nga hapësirat gjithashtu është dhënë norma në
është e normuar me normën , atëherë me . Një hapësirë vektoriale e tillë është produkt i drejtëpërdrejtë i hapësirave të normuara . Hapësira është e plotë atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se çdonjëra nga hapësirat është e plotë. Krahas normës
Lehtë tregohet se me mosbarazime:
, në futen edhe këto norma të cilat në disa situata kanë përparësi:
dhe
janë dhënë normat në dhe se për çdo
vlejnë këto
Për shembull nga mosbarazimi rrjedh se çdo varg i Cauchy-it në raport me normën njëkohësisht është varg i Chauchy-it në raport me normën dhe anasjelltas. Për norma të tilla themi se janë ekuivalente. dhe të tillë që për çdo
Përkufizim. Normat
numrat
në
janë ekuivalente në qoftë se ekzistojnë
9 9 10
|| ≤ ‖‖ ≤||. ‖‖≤||≤ ‖‖, 9 10 | | ⊂ ↦ ↦ ‖‖. ,| | ∙ , ‖∙‖. ,|∙| 3 , 4 5 × × . . . × , ,. . .,. , ,. . ., , ⁄ ) ,[( , ] = Nga
rrjedh se
gjë që arsyeton shprehjen normat ekuivalente.Nga
dhe
rrjedh:
1. Bashkësia është e kufizuar në raport me normën atëherë në qoftë se ajo është e kufizuar në raport me normën
atëherë dhe vetëm
2. Vargu nga është varg i Cauchy-it në hapësirën atëherë në qoftë se ai është varg i Cauchy-it në hapësirën
atëherë dhe vetëm
3. Hapësira është e plotë.
është e plotë atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se hapësira
,‖∙‖
Duke patur parasysh ekuivalentshmërinë e normave dhe në hapësirën , për hapësirën të pajisur me cilëndo nga ato norma, themi se është
produkt i drejtëpërdrejtë i hapësirave të normuara
Në qoftë se
janë hapësira metrike, atëherë me
respektivisht me
, , = , , : 1, . . × . . . × ,, ,, 1,,2,,. .,.. respektivisht me
. ,
është dhënë metrika në bashkësinë . Për çdonjërën nga hapësirat themi se është produkt i drejtëpërdrejtë i hapësirave metrike Në vazhdim do t’i japim theks të veçanët disa pohimeve, rrjedhimeve dhe teoremave të rëndësishme të cilat do t’i pranojmë pa vërtetim.
|| , ↦ ,↦
, Φ×
| | ↦ , , ↦ ×. ↦ ×.
Pohim 5. Në qoftë se është hapësirë e normuar, atëherë funksionet dhe janë të vazhdueshme në respektivisht në Norma dhe mbledhja janë uniformisht të vazhdueshme në respektivisht në Rrjedhim 1. Funksionet
,. . .,, ,. . ., ↦ . . ., | . . .| Φ × ℝ. , ↦ | × Φ. | | ‖ ‖ , ∙ , ∙ Φ. : ⟶ 11 ∀∈ ‖‖||. | | ‖ ‖ , ∙ , ∙ 11 , |∙| , ‖∙‖ − Φ Φ ,. . ., ↦ || . . . ||⁄.
janë të vazhdueshme si funksione nga Rrjedhim
në
respektivisht në
respektivisht në
2. Në qoftë se është hapësirë unitare, atëherë produkti skalar është funksion i vazhdueshëm nga në
Teorema 2. Çfarëdo dy normat në hapësirën me dimension të fundëm
janë ekuivalente.
dhe dy hapësira të normuara mbi fushën Përkufizim. Le të jenë është izometrik në qoftë se Pasqyrimi
Hapësirat
bieksioni nga
në
dhe janë izometrikisht izomorfe në qoftë se ekziston i tillë që të vlejë dhe të jetë operator linear.
dhe qoftë se ekziston bieksioni linear vazhdueshme. Hapësirat
janë izomorfe (plotësisht: topologjikisht izomorfe) në nga në i tillë që dhe të jenë funksione të
Pohim 6. Në qoftë se hapësirat dhe është i plotë, atëherë tjetri është i plotë.
janë izomorfe dhe në qoftë se njëri nga to nuk
Rrjedhim 3. Çdo hapësirë e normuar n-dimensionale hapësirën e normuar me normën
mbi
është izomorfe me
1.6 Operatorët linearë të kufizuar
Φ → . , , , → , :→ :→ ∈ ⟶ ,∈ → :→ →; ∈ →. . , .
Krahas hapësirave vektoriale dhe mbi fushën , në mënyrë të natyrshme është e lidhur hapësira vektoriale e të gjithë operatorëve linearë nga në Në qoftë se dhe janë hapësira të normuara, atëherë ngjashëm, në mënyrë të natyrshme paraqitet bashkësia e të gjithë operatorëve linear të vazhdueshëm nga në . Në qoftë se , atëherë bashkësia shënohet me . Fakti se është nënhapësirë e hapësirës vektoriale rrjedh nga fakti se kombinimi linear në i funksioneve të vazhdueshme përsëri është funksion i vazhdueshëm në . Në qoftë se operatori linear është i vazhdueshëm në pikën , atëherë implikon , gjë që jep prej nga Sipas kësaj, vazhdueshmëria e operatorit linear atij operatori në
në një pikë
implikon vazhdueshmërinë e
Hapësira vektoriale është me rëndësi të madhe në teorinë e hapësirave të normuara, veçanërisht me rëndësi është fakti se në këtë hapësirë mund të futet norma në mënyrë plotësisht të përcaktuar me ndihmën e normës në dhe
:→ > 0 1 | | ≤|| ∈. .∎ :→ . , :→ ̃ : ̃ → ̃ ∈. dim<∞ , →. është i kufizuar në qoftë se ekziston numri real
Përkufizim. Operatori linear
i tillë që
Pohim 1. Operatori linear nga hapësira e normuar në hapësirën e normuar kufizuar atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se ai është i kufizuar në
është i
Rrjedhim 1. Në qoftë se operatori linear është i vazhdueshëm në hapësirën e normuar , atëherë ai është uniformisht i vazhdueshëm në Pohim 2. Le të jenë vazhdueshëm.
dhe
hapësira të normuara dhe
operator linear i
Në qoftë se është nënhapësirë e dendur e hapësirës dhe është hapësirë e Banach-ut, atëherë ekziston operatori linear i përcaktuar në mënyrë të vetme i cili është i vazhdueshëm në dhe për çdo
, atëherë çdo operator linear nga
Pohim 3. Në qoftë se
në
është i
vazhdueshëm, pra
1.7 Hapësira e normuar
,
, ,
>0 ∈ ,
Krahas hapësirave të normuara në paragrafin 1, kemi futur konceptin e hapësirës vektoriale të të gjithë operatorëve linearë të vazhdueshëm nga në . Sipas pohimit 1. të këtij paragrafi, çdo operator është i kufizuar, pra ekziston numri real i tillë që
1 2
∈ , | |≤|| ∈. | || |: ∈,||≤1 . | | ≤ | | | ∈. >0 ∈, 0 | | ≥ | | ||. | | >0
Përkufizim. Le të jenë
dhe hapësira të normuara. Për operatorin
numri
quhet normë e operatorit
Nga përkufizimi i normës së operatorit rrjedh se
Tutje, për çdo
1.
ekziston vektori
Kjo tregon se norma
i tillë që
e operatorit është më i vogli nga numrat realë
për të cilën vlen
Φ . , ↦| || |: ∈, ||≤1 ,. , , ∈ , ∈ | | | | ≤ | | || ≤ | | ∙ || || ∙ || ⇒ | | ≤ | | |||| ⇒ | | ≤ | | ||. ,. 2 ↦| | ,. >0 ∈ℕ 3 ,≥ ⇒ | | ≤. ∈ 4 ,≥⇒| |≤||, . , → lim limlim, limlim limlim, 4 →∞ 5 ≥⇒| |≤||. | |≤||| |≤| ||| Teorema 1. Le të jenë dhe hapësira të normuara mbi fushën hapësira vektoriale e të gjithë operatorëve linearë të vazhdueshëm nga
dhe le të jetë në
I. Me
është dhënë norma në hapësirën
II. Në qoftë se është hapësirë e Banach-ut, atëherë
Vërtetimi. I. Për
dhe për
Meqë vetitë është dhënë norma në
II. Le të jetë
Nga këtu për
të çfarëdoshëm kemi:
të normës për funksionin
varg i Cauchy-it në
është hapësirë e Banach-ut.
Për
janë evidente, atëherë me
ekziston
i tillë që
gjejmë
gjë që tregon se është varg i Cauchy-it në hapësirën Pasi që është hapësirë e plotë, atëherë ekziston vektori i përcaktuar në mënyrë të vetme, të cilin e shënojmë me në i tillë që . Në bazë të vazhdueshmërisë së shumëzimit me skalar dhe mbledhjes (pohimi 5, paragrafi 1) fitojmë:
gjë që tregon se Tutje nga
është operator linear nga në .
, për
kemi
Pasi që vargu i Cuchy-it është i kufizuar, atëherë
≥ >0 ∈ℕ ≥ ⇒ | 5 | ≤, | | ≤ ∈ ,.∎ Φ ∗ Φ ,Φ ∗ ,Φ ∗ ∈∗ ∗ 6 |∗ | ∗ | |: ∈,∗ |∗| ≤1, 7 | | ≤ | | ∙ || ∈ ,∈. për tregon se është operator i kufizuar. Kështu nga Pasi që për çdo ekziston i tillë që konvergjon në operatorin Nga teorema 1. për
rrjedh se . rrjedh se vargu
marrim:
Teorema 2. Në qoftë se është hapësirë e normuar mbi fushën , atëherë hapësira e të gjithë funksionalëve linearë të vazhdueshëm në është hapësirë e Banach-ut.
Përkufizim. Hapësirën e Banach-ut adjunguar të hapësirës .
Të theksojmë se për
e quajmë hapësirë duale apo të
kemi:
Ekzistenca e operatorëve linearë të vazhdueshëm bazohet në të ashtuquajturën teorema e Hahn-Banach-ut për zgjerimin e funksioneve lineare. Kjo teoremë është njëra ndër teoremat më të rëndësishme të analizës funksionale.
∈∗ | | || ∈. , . ∗ |∗|1 ∗||. 6∗ ∗ ∗ ∗ || | |: ∈ , | | 1, ∈ ∗ ∈∗
Teorema e Hahn-Banach-ut. Në qoftë se është nënhapësirë e hapësirës së normuar atëherë për çdo funksional ekziston së paku një funksional i tillë që
,
dhe
Me fjalë të tjera, në funksionali i përkufizuar linear dhe i vazhdueshëm mund të zgjerohet deri në funksionalin linear të vazhdueshëm në ashtu që ka të njëjtën normë sikurse funksionali Rrjedhojë e rëndësishme e teoremës së Hahn-Banachut është ky rrjedhim.
, 8 9
Rrjedhim i teoremës së Hahn-Banach-ut. Në qoftë se është hapësirë e normuar dhe atëherë ekziston funksionali linear i vazhdueshëm në i tillë që
dhe
Ky rrjedhim na mundëson që formulës
t’i shoqërojmë formulën duale
me të cilën norma e vektorit mund të fitohet me ndihmën e vlerës në funksionalëve njësi nga hapësira duale.
2
∈
të
Konvergjenca e dobët dhe e fortë e vargut të operatorëve
,
2.1. Karakteristika të bashkësive të kufizuara në hapësirat e normuara
dhe
∗ ,
Krahas teoremës së Hahn Banach- ut, principi i kufizueshmërisë uniforme ka rol të rëndësisë së parë në teori dhe në zbatim në hapësirat e Banach-ut dhe në analizën funksionale në përgjithësi. Me principin e kufizueshmërisë uniforme, në radhë të parë nënkuptojmë tri teoremat të cilat do t’i përmendim në këtë paragraf. Në teoremën 1. me ndihmën e funksionalëve të vazhdueshëm karakterizojmë kufizueshmërinë e nënbashkësisë së hapësirës së normuar. Në teoremën 2. karakterizojmë kufizueshmërinë e nënbashkësisë nga hapësira duale me ndihmën e veprimit të funksionalit nga ajo nënbashkësi në elementet e hapësirës së Banach-ut Në teoremën 3. karakterizojmë kufizueshmërinë e nënbashkësisë së hapësirës të operatorëve linear të vazhdueshëm nga hapësira e Banach- ut në hapësirën e normuar .
∗ . ,
(,∈ℱ) :∈}<∞ :∈ℱ}<∞. (,∈ℱ) . :∈ℱ}<∞; ∗():∈ℱ}<∞ ∗ ∈∗. (∗,∈ℱ) ∗. ∗:∈ℱ}<∞; ∗:∈ℱ}<∞ ∈. ( ,∈ℱ) ,. :∈ℱ}<∞; :∈ℱ}<∞ ∈;
Të kujtojmë se nënbashkësia respektivisht familja është e kufizuar atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se
e hapësirës së normuar
respektivisht
Teorema 1. Le të jetë janë ekuivalente:
hapësirë e normuar dhe
familje nga
Pohimet vijuese
për çdo
Teorema 2. Le të jetë
hapësirë e Banach-ut dhe
familje nga
vijuese janë ekuivalente:
për çdo
Teorema 3. Le të jetë hapësirë e Banach-ut, familje nga Pohimet vijuese janë ekuivalente:
hapësirë e normuar dhe
për çdo
Pohimet
∗():∈ℱ}<∞ ∈ për çdo
dhe për çdo
∗ ∈∗.
2.2 Konvergjenca e dobët e vargut të operatorëve
∗ 0 ∈ | | ∈ℱ 0. ∈ ∗ ∈ 0. ,∈ℕ ∗ ,∈ℕ ∈ ∈ . lim→ . ′ ′ lim→ ℎ ′ lim→ ⇒( → ℎ →′) ∈∗. ′ ′ ∗ 0 ∈ , ′ 0. . ∗ ∈ ∘ , lim → ∘→ ∘, → . lim→ . ∗ lim → ∈ ,∈ℕ → Siç dihet, hapësira duale e hapësirës së normuar është jotriviale, pra në ekziston funksionali linear i vazhdueshëm, i ndryshëm nga zero. Pra për vektorin ekziston funksionali , i tillë që dhe Kjo tregon se për çdo vektor , të ndryshëm nga zero, ekziston funksionali i tillë që
Përkufizim 1. Vargu i vektorëve nga hapësira e normuar konvergjon dobët kah vektori në qoftë se për çdo funksional të vazhdueshëm , vargu i skalarëve konvergjon kah skalari
Faktin se
konvergjon dobët kah vektori
Në qoftë se vargu
për çdo
e shënojmë në formën
konvergjon dobët kah vektori
Prej këtu gjejmë
prej nga fitojmë
dhe
, atëherë kemi
. Vërtet
, pra
Pra vargu mund të konvergjojë dobët më së shumti në një vektor.
Në qoftë se vargu nga konvergjon dobët kah vektori dhe në qoftë se është operator linear i vazhdueshëm nga në hapësirën e normuar , atëherë edhe vargu konvergjon dobët kah vektori Vërtet, për çdo
funksionali
implikon
është i vazhdueshëm në
prandaj
pra
Prej këtu, për arsye se funksionali është i çfarëdoshëm kemi
Pohim 1. Vargu i vektorëve me konvergjencë të dobët i hapësirës së normuar është i kufizuar. Vërtëtim. Le të jetë
vargu i skalarëve
. Atëherë
është i kufizuar, pra
për çdo
. Atëherë
1
| |: ∈ℕ <∞.
1 ∈∗, ||: ∈ℕ <∞. ∎ | | →0, lim→ . | | →0 ∈∗ | →|≤| |∙| |→0. Pasi që
vlen për çdo
teorema 1. (paragrafi 2.1.) implikon
Konvergjencën e dobët duhet dalluar nga konvergjenca sipas normës, e cila në të vërtetë në bazë të saj edhe quhet konvergjenca e fortë, prandaj në vend të shkruhet
Në qoftë se vargu konvergjon në mënyrë të fortë, atëherë ai konvergjon edhe dobët. Vërtet, në qoftë se atëherë për kemi
Nga ana tjetër vargu mund të konvergjojë dobët e të mos konvergjojë në mënyrë të fortë. Për të dhënë një shembull të një vargu të tillë, shiqojmë kuptimin e konvergjencës së dobët në hapësirën e Hilbertit. Për këtë qëllim së pari marrim pa vërtetim këtë teoremë:
∗ . ∗ ∗ ∈ ∗ ∈ 2 | , ∈. ∗ → ∗ ∈∗ : ∈ 2, ∗ ∗ |∗ | | | ; ∗ ∗ ∗ ∗; ̅ , ∗. | ∈∗∈. ∈ lim→ | → | ∈. ∈ | ∈∗ ∈. → |→| Teorema 4 (Teorema e F. Riesz-it). Le të jetë e hapësirës
I. Për çdo
II. Funksioni
ekziston vektori i vetëm
i cili funksionalit
hapësirë e Hilbertit dhe
hapësirë duale
i tillë që
i shoqëron vektorin
për të cilin vlen
ka këto veti: 1. 2. 3.
pra
është izomorfizëm izometrik antilinear i hapësirave
Në qoftë se tillë që
dhe
është hapësirë e Hilbertit dhe , atëherë ekziston vektori i vetëm i për çdo vektor Nga këtu përfundojmë se për vargun nga nga hapësira e Hilbertit atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë
se vlen
për çdo
Në qoftë se është hapësirë e Hilbertit dhe ekziston vektori i vetëm i tillë që për vargun nga hapësira e Hilbertit
, atëherë sipas teoremës së Riesz-it, për çdo Nga këtu përfundojmë se
atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se vlen
∈. ,∈ℕ . ,∈ℕ | ∈ → √ 2, |→0 ∈. →0. : 3 = . → , ( ) 1 4 = . , , . . . ∗ ∉ ∈ 0 0 ∈. 0 ∈ℕ0. →∈ lim 0 | |→0. |0|| <1. 121>1 | →0 ,. . ., > 1 ()< ≥;1, . . . , | |≤ >0 ∈ℕ. ∑= ≤ ∑= (() . . .()) (() . . .()) . . . (−) për çdo
Le të jetë bazë e ortonormuar në Atëherë vargu konvergjon dobët kah zero-vektori. Vërtet, për çdo vargu i koeficientëve Fourie të
vektorit konvergjon në zero; pra për çdo Kjo tregon se Nga ana tjetër për kemi prandaj vargu nuk konvergjon në mënyrë të fortë. Pohim 2. Në qoftë se vargu , atëherë ekziston vargu
i kombinimeve lineare të vektorëve
nga hapësira e normuar
konvergjon dobët kah vektori
i cili konvergjon në mënyrë të fortë kah vektori
Në qoftë se është hapësirë e Hilbertit dh vargut i tillë që vargu i meseve aritmetike
atëherë ekziston nënvargu
i
konvergjon në mënyrë të fortë kah Vërtetim. Le të jetë
nënhapësirë e cila e zbërthen bashkësinë dhe le të jetë mbyllës i bashkësisë në raport me konvergjencën e fortë (konvergjencën sipas normës). Supozojmë se . Atëherë ekziston i tillë që dhe për Pasi që
dhe
kontradiksion me
Pra
atëherë
, gjë që është në
. Kështu pra ekziston vargu
në
i tillë që
Le të jetë tani hapësirë e Hilbertit. Pa e cenuar rastin e përgjithshëm mund të marrim se . Marrim . Pasi që , atëherë ekziston indeksi i tillë që Me shënojmë indeksin më të vogël prej indeksave të tillë. Në qoftë se vektorët janë të përkufizuar që më parë, atëherë me shënojmë indeksin më të vogël nga indeksat të tillë që dhe që .
Pasi që vargu është i kufizuar, atëherë ekziston numri Tani kemi
i tillë që
për çdo
+
+
≤ 1 ∙ 2 ∙1 2 ∙ 22 . . . 2 ∙ . . . 2 ∙ 11 ≤ 2∙ 1 ∙ 1 →0. ∎ = ∈ → →. . 1≤<∞∗ ,∈ℕ,∈ℕ, ,∈ℕ 1 ∗∑= , ∗ ∑= . ,∈ℕ ,∈ℕ ∗ →∗→ ∈ℕ 5 lim→ ∈ℕ. 5 ∈5 → ? ,∈ℕ ∗ ∗ ⊂ ∈ 6 → ∈, . 6 → ∈ . ∗ ∈|,|: ∈ℕ. >0 ∈ | | ≤. | || | ≤ | | | | | | | | ≤2 | | Vërejtje: Në qoftë se
është operator komapkt, atëherë
implikon
Në hapësirat refleksive me këtë veti karakterizohet operatori kompakt.
Le të jetë
kanonike në
dhe me
Është e qartë se
shënojmë bazën
është vektor në
,
dhe
pra
vlen për çdo vektor
Në qoftë se vargu atëherë
nga
për çdo
konvergjon dobët kah vektori , pra
Formula tregon se konvergjenca e dobët e vargut në kah vektori konvergjencën e vargjeve të koordinatave përkatëse. Shtrohet pyetja se relacioni
implikon a implikon
Pohim 3. Le të jetë varg i vektorëve nga hapësira e normuar dhe le të jetë nënbashkësi e tillë që të jetë bashkësi e dendur në . Në qoftë se vargu është I kufizuar dhe në qoftë se ekziston vektori i tillë që
atëherë vargu
konvergjon dobët kah vektori
Vërtetim. Në radhë të parë nga
atëherë për çdo Tani
implikon
rrjedh ekziston
për çdo
e tillë që
Në qoftë se Le të jetë
lim| | ≤2, lim. ∎ 5 → ∈ ∗:∈ℕ. 1<<∞, 5 1<<∞. 1<<∞. , ∗ , , . . . , ,∈ℕ 1,1,. . . ∈ 1 ∈ℕ. . | | ∈ | | >0 (,∈ℕ) ≥ | | () ≤ 1 ()→0 ∈. 1 7 = ∗()1 ∈ℕ, ℱ ⊂ℕ |ℱ ∗|> 34 . gjë që për arsye se numri është i çfarëdoshëm jep Në qoftë se vargu për çdo
është i kufizuar në , ku
dhe në qoftë se vlen Në qoftë se
→ . →0
, atëherë vlen edhe atëherë është
bazë kanonike në prandaj është e dendur në dhe sipas rrjedhimit 3. fitojmë Sipas kësaj, relacioni dhe kufizueshmëria e vargut implikojnë konvergjencën e dobët në Pasi që baza kanonike është bashkësi e kufizuar në
në qoftë se
atëherë
në qoftë se
Të theksojmë se hapësira është joseperabile, pra bashkësia nuk është e dendur në kështu që kushtet e rrjedhimit 3. nuk janë plotësuar për bazën kanonike të hapësirës . Fakti se nuk konvergjon dobët kah zeroja është rrjedhim nga fakti se dhe për çdo Është evidente se në hapësirat me dimension të fundëm çdo varg i cili konvergjon dobët, konvergjon edhe në mënyrë të fortë. Kjo më pak evidente është në hapësirat
Pohim 4. (I. Schur). Çdo varg dobët konvergjent nga hapësira fortë në .
konvergjon në mënyrë të
Vërtetim. Supozojmë së nuk vlen pohimi 4. Atëherë ekziston vargu
∈ℕ.
në i cili konvergjon dobët te vektori , por vargu nuk konvergjon ne zero. Atëherë në mënyrë të dobët tenton te zero-vektori dhe nuk konvergjon ne zero. Pra ekziston numri real dhe nënvargu të tillë që për çdo Kështu vargu
i vektorëve njësi ka vetinë
për çdo
Pasi që
, pra
atëherë ekziston bashkësia e fundme
e tillë që për vektorin
të vlejë
lim|∗|0 >1∈ℕ ℱ ∗| < 14. | ∈ℱ ℱ ⊂ℕ ℱ ℱ |∗| > 34. ℱ ∪ℱ > ∗| < 14. | ∈ℱ∪ℱ ℱ ⊂ℕ ℱ ∪ℱ ∩ℱ ∅ |ℱ ∗| > 34. ,∈ℕ ,∈ℕ ℱ,∈ℕ ℕ |ℱ ∗| > 34 ∈ℕ. ∗∗ ∈. = ∈ℱ
Duke qenë se
për çdo
atëherë ekziston vektori
është e kufizuar,
i tillë që
Atëherë ekziston bashkësia e fundme
Pasi që bashkësia që
dhe fakti se bashkësia
(disnjukte me
) e tillë që
është e fundme, atëherë ekziston vektori
Tani ekziston bashkësia e fundme
e tillë që
,
ashtu që
Duke vazhduar kështu më tutje, arrijmë deri te nënvargu i vargut deri te vargu i nëbashkësive të fundme disnjukte të bashkësisë të tillë që
dhe që vargu
Nga
të konvergjojë dobët në zero-vektor. Tani në
Tutje,
dhe
përkufizojmë funksionalin
∗ ∗ | | ≤ | | | | ≤ = ∈ℱ = . ∗∗∗ ⇒ = ∈ℱ ℱ ≠
Rrjedh vazhdueshmëria e funksionalit
i tillë
Tani
∗ ℱ ∗≤| | = ∈ℱ ≠ ∗ ∗⇒ ≤| ||= | ℱ ∗ || >2∙ 34 1 12 . | | ≥2 ℱ | |> ∈ℕ lim0. për
është në kontradiksion me
,
Φ
:→ 8 | | | |: || ≤1,∈. , 1 ∈ ,, | |→0 ⊂ 0, | |→0, >0 ∈ℕ ≥ ⇒ | | ≤ . ∈ ≥ | | ≤ | | | ≤ || ≤ ; ∈,≥ ⇒ | | ≤, . 0, 1 >0 ∈ℕ ∈0, 1 ≥ | | ≤. | |: ∈0, 1 ≤, | | ≤. Në qoftë se dhe janë hapësira të normuara mbi fushën , atëherë bashkësia e të gjithë operatorëve linear të kufizuar është hapësirë e normuar në lidhje me normën operatoriale
Vargu i operatorëve nga konvergjon sipas normës në operatorin pra atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se ai konvergjon uniformisht nëpër bashkësitë e kufizuara.
Le të jetë
që
bashkësi e kufizuar, pra le të përmbahet në ndonjë rruzull atëherë për çdo ekziston i tillë që
Atëherë për
dhe
. Pasi
kemi
prej nga për çdo
e kjo do të thotë se vargu i funksioneve në konvergjon uniformisht në funksionin Në anën tjetër, në qoftë se vargu , atëherë për çdo ekziston
konvergjon uniformisht në i tillë që për çdo
vlen
Nga kjo kemi
pra
në rruzullin njësi dhe
≥ | | ≤, | | →0. , 1 ∈ , . ∗ ,Φ ∗ Φ | | →0 , , >1, >1. , Φ. , ∈ ,: | |→0 → lim; | |→0 ∈, → lim; ∗ ∗ ∗ ∗ → ∈ ∈ , → lim ,∈ℕ , | |: ∈ℕ<∞. ,∈ℕ ,. ∈ lim ∈ | |≤lim→ | |. → ,∈ℕ | |: ∈ℕ <∞ ∈. Pasi që
implikon
atëherë
Nga siç u tha më lartë rrjedh se konvergjencën e vargut nga në operatorin , sipas normës operatoriale , natyrshëm mund ta quajmë konvergjenca në uniforme e vargut Në qoftë se , atëherë , kështu që për funkisonalët nga konvergjenca nënkupton konvergjencën e fortë. Për këtë shkak thuhet se vargu i operatorëve konvergjon uniformisht, ndërsa vargu i funksionalëve konvergjon në mënyrë të fortë., Në realitet, kur flitet për konvergjencën uniforme të vargut të operatorëve nga kryesisht mendohet se si dhe Përkufizim. Le të jenë
hapësira të normuara mbi fushën konvergjon në operatorin
nga
a) uniformisht në qoftë se
, e shënojmë
për çdo
c) në mënyrë të butë në qoftë se
për çdo
përkatësisht
i operatorëve
përkatësisht
b) në mënyrë të fortë në qoftë se përkatësisht
shënojmë
Vargu
e shënojmë
dhe për çdo
e
.
Nga teorema 3. Dhe nga përkufizimi i konvergjencës së fortë dhe asaj të dobët të vargut të operatorëve fitojmë këtë pohim. Pohim 5. Le të jetë
nga
hapësirë e Banach-ut dhe hapësirë e normuar. Në qoftë se vargu konvergjon në mënyrë të fortë ose të dobët , atëherë ai është i kufizuar,
pra
Pohim 6. Le të jetë hapësirë e Banach-ut, hapësirë e normuar dhe Në qoftë se vargu konvergjon në mënyrë të fortë për çdo
varg në , atëherë
me
është përkufizuar operatori i vazhdueshëm linear nga
Vërtetim. Lineariteti i operatorit
; prej nga
është evident. Nga
në . Tutje kemi
rrjedh kufizueshmëria e vargut
| |: ∈ℕ <∞ | | ≤ | | | | |lim| |≤lim| | | ⇒| |≤lim| |. , ,∈ℕ , | ,∈ℕ |: ∈ℕ <∞. ⊆ → , → ∈. | |: ∈ℕ <∞ ∈. | |: ∈ℕ <∞ . ,∈ℕ , ∈ >0 ∈ , , | | <. , ∈ℕ ,≥ ⇒| , ,| ≤. | |≤|≤ 21 .,| | , ,| | , |≤ | || | ,∈ℕ . lim , ∈ , →. → ∈ → ∈ | | | |≤| , → → |∗ ∗ |≤|∗| | Nga këtu dhe nga teorema 3 rrjedh
, prandaj
implikon
Teorema në vijim ka mjaft zbatime.
Teorema 5. (S. Banach- H. Steinhaus). Le të jenë dh hapësira të Banach-ut dhe varg i operatorëve nga hapësira . Vargu konvergjon ne mënyrë të fortë në operatorin nga atëherë dhe vetëm atëherë nëse janë plotësuar dy kushtet vijuese: (i) (ii)
Vargu
është varg Cauchy për çdo
fundamentale në , pra
Vërtetim. Në qoftë se
Pasi që
nga bashkësia
e cila është
.
atëherë sioas teoremës 3 kemi
për çdo
nga këtu rrjedh
është varg konvergjent, atëherë vlenë (ii).
Le të marrim se tani vljenë kushtet (i) dhe (ii). Për dhe marrim vektorin të tillë që Pasi që është varg Cauchy në , atëherë ekziston numri natyrorë I tillë që
Nga këtu kemi
Pra
është varg Cauchy në
Atëherë vargu
atëherë me zbatimin e pohimit e pohimit 6 fitojmë Vërejmë se
konvergjon. Marrim
dhe
atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se për çdo
vargu i
vektorëve nga hapësira konvergjon në mënyrë të fortë në vektorin . Tutje atëherë dhe vetëm atëherë në qoftë se për çdo vargu i vektorëve të hapësirës konvergjon në mënyrë të dobët në vektorin . Pasi që konvergjenca uniforme Ngjashëm
implikon konvergjencën në mënyrë të fortë
.
→
tregon se konvergjenca në mënyrë të fortë dobët
.
→
implikon konvergjencën në mënyrë të
Tani me anë të shembujve do të tregojmë se konvergjenca në mënyrë të dobët nuk e implikon konvergjencën në mënyrë të fortë dhe se konvergjeca e fortë nuk e implikon konvergjencën uniforme të vargut të operatorëve.
,∈ℕ ∗ + ∈ℕ. ∗ ∗ 0, + ∈ℕ. ,∈ℕ ∗,∈ℕ |∗| ||+ |+. . . | ||+| ||+| . . ., ∗ ∑ | | | | | →∞ = →0. |∗| 1 ∗ ,∈ ∗ ∗ | || | | | |≤| |→0 →0. |||| ∈,∈ℕ + ,∈ℕ Le të marrim se është bazë e ortonormuar në hapësirën të Hilbertit dhe se Atëherë për operatorin e adjunguar hermetian kemi:
Vërtetojmë se:
(a) vargu konvergjon në mënyrë të dobët në zero- operator , por jo në mënyrë të fortë; (b) vargu konvergjon në mënyrë të fortë në zero- operator, por jo në mënyrë uniforme.
Për t`u bindur me këtë, vërejmë se
që tenton në zero kur
, sepse seria
Nga ana tjetër operator.
implikon se
konvergjon në numrin
. Pra
nuk konvergjon në mënyrë uniforme në zero-
Tutje, për
tregon se Me që dhe për çdo nuk konvergjon në mënyrë të fortë atëherë vargu fortë te asnjë operator.
dhe
, vargu nuk konvergjon në mënyrë të
Të përmendim se adjungimi hermitian nuk është << i vazhdueshëm>> në raport me
→ , ∗| | → | ∗| ∗ → ∗ → ⇒ ∗ → ∗. ∗ ∗ 0 → .
konvergjencën e fortë edhe pse është i vazhdueshëm në raport me konvergjencën uniforme dhe me konvergjencën e dobët. Vërtetë, në qoftë se
tregon se
atëherë
; pra
Tutje , për vargun operatorin
,
kemi
, por
nuk konvergjon në zero-
9 10 11
Shtrohet pyetja se cilat nga implikacionet vijuese janë të sakta:
→ ℎ → ⇒ ⇢ → ℎ → ⇒ → → ℎ →⇒ →. ∗ ∈ℕ ∗ . 12 →0, →0, , 11 10. ∈ | || |≤| || | | → . → . ≥0 | |≤ ∈ℕ; | | →0. Le të vështrojmë vargjet
dhe
. Tani
implikon
Pasi që
vërejmë se implikacioni në kemi:
nuk është i saktë. Tregojmë saktësinë e implikacionit
Mbledhori i parë në anën e djathtë tenton në zero sepse pohimit 5 ekziston numri i tillë që
Tutje
Prej nga
LITERATURA
1. Kurepa S. Funkcionalna analiza, Skolska Knjiga, Zagreb, 1981. 2. Kato T. Perturbation Theory, Springer-Verlag, Berlin Neë York, 1980. 3. Gulas B. Normirani prostori i operatori, Zagreb, 2010.
Për
Sipas
