Matemáticas II
Tema 11: Propiedades métricas
Tema 11: Propiedades métricas 1. Ángulo entre dos rectas Dos rectas secantes r y s determinan, al cortarse, cuatro ángulos iguales dos a dos. Los ángulos α y β son suplementarios. Se llama ángulo entre r y s al menor de ellos. El ángulo formado por dos rectas que se cruzan r y s se define como el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas. El ángulo entre dos rectas coincide con el ángulo de sus vectores directores o su suplementario. Los cosenos de ángulos suplementarios tienen el mismo valor absoluto y el de menor de ellos es x − p1 y − p 2 z − p 3 = = positivo, luego el ángulo α entre las rectas r : y u1 u2 u3 x − q1 y − q 2 z − q 3 = = s: verifica que: v1 v2 v3 →
cos α =
v r · v s
u 1 · v1 + u 2 · v 2 + u 3 · v 3 2
2
2
2
→
2
u 1 + u 2 + u 3 · v1 + v 2 + v 3
2
=
→
→
v r · v s →
→
Observación: Según esto, r y s serán perpendiculares si cumplen que v r · vs = 0. 2. Ángulo entre dos planos Dos planos secantes π y π´ dividen el espacio en cuatro regiones, cada una de las cuales recibe el nombre de ángulo diedro. Los planos que definen un diedro son las caras del mismo, y la recta determinada por ellos, la arista del diedro. Se llama medida de un ángulo diedro a la medida del ángulo que forman dos semirrectas contenidas en cada una de sus caras, perpendiculares a la arista del diedro. Los ángulos α y β son suplementarios y el menor de ellos es el ángulo formado por π y π´. π´ α
β
π
El ángulo entre dos planos es el mismo que el ángulo que forman sus respectivos →
→
vectores normales, n π y n π´ de aquí obtenemnos el siguiente resultado: Dados los planos π : ax + by + cz + d = 0 y π´ : a´x + b´y + c´z + d´ = 0 se tiene que →
cos α =
a · a´+ b · b´+c · c´ a 2 + b 2 + c 2 · a´2 + b´2 +c´2
→
n π · n π´ =
→
→
n π · n π´ →
→
Observación: Los planos π y π´ serán s erán perpendiculares si cumplen que n π · n π´ = 0. -1-
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3. Ángulo entre una recta y un plano El ángulo formado por una recta r y un plano π es el ángulo α determinado por r y su proyección ortogonal sobre π. El ángulo a que forma el vector director de la recta r, →
v r con el el vector vector normal normal del plano plano es la complemen complementario tario de de α , es decir, decir, α = 90º – a y →
→
v r · n π por tanto se cumple que sen α = cos a, es decir, sen α =
→
→
v r · n π
x − p1 y − p 2 z − p 3 = = y por u1 u2 u3 u 1 · a + u 2 · b + u 3 · c
En consecuencia, el ángulo formado por la recta r : el plano π : ax + by + cz + d = 0 verifica sen α =
u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 · a 2 + b 2 + c 2
Observaciones: →
→
→
Cuando r y π son perpendiculares, v r y n π son proporcionales luego se u u u cumple 1 = 2 = 3 . a b c →
→
→
Cuando r y π son paralelos, v r y n π son perpendiculares luego v r · n π = 0
4. Distancias en el espacio Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos A( x 1 , y1 , z1 ) y B( x 2 , y 2 , z 2 ) es el módulo del vector
→
AB por tanto d(A, B) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + (z 2 − z1 ) 2 Distancia de un punto a un plano La distancia del punto P( x 1 , y1 , z1 ) al plano π : ax + by + cz + d = 0 es la distancia entre P y su proyección ortogonal P´ sobre π, se obtiene a partir de la fórmula
d(P, π) =
a ⋅ x 1 + b ⋅ y1 + c ⋅ z1 + d a 2 + b 2 + c 2
Observación: Esta fórmula también permite calcular la distancia entre planos paralelos. -2-
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Ejemplo: Halla la distancia del punto P(4, 2, 1) al plano π: 3x – y – z + 2 = 0. d(P, π) =
3 ⋅ 4 − 1 ⋅ 2 − 1 ⋅1 + 2 3 2 + (−1) 2 + (−1) 2
=
11 = 11 unidades 11
Distancia de un punto a una recta
Se llama proyección ortogonal de un punto P sobre la recta r al punto P´ intersección de r con el plano perpendicular a ella trazado desde el punto P. La distancia entre P y r es la distancia entre P y P´. P P´
r
π →
→
AP x Vr Se obtiene de la fórmula d (P; r ) =
→
→
donde A es un punto de r y Vr es el
Vr vector director de r. Observación: Esta fórmula permite medir la distancia entre dos rectas paralelas. x = −11 − t Ejemplo: Halla la distancia del punto P(2, 1, 2) a la recta r : y = 6 z = t
Tomamos un punto de la recta i j → → → AP = (13, − 5, 2) y AP x Vr = 13 − 5 −1 0 →
→
A(-11, 6, 0) y Vr = (– 1, 0, 1) 1) por tanto tanto k → → 2 = −5i − 15 j − 5k , de donde AP x Vr = 275 1
275 5 11 5 22 = = unidades 2 2 2 Distancia entre dos rectas que se cruzan
y Vr = 2 en consecuencia d(P, r ) =
La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a s que pasa por r y el plano paralelo a r que pasa por s. r s -3-
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→
La distancia entre las rectas r y s, con vectores Vr y Vs verifica: →
→
→
det(Vr , Vs, AB) d(r , s) =
→
→
donde A es un punto de r y B es un punto de s.
Vr x Vs x = 4 + t x = 1 + 2u Ejemplo: Calcula la distancia de r a s siendo r : y = −1 − t y s : y = −1 + u z = −3 − 2t z = 3 − u →
Tomamos A(4, – 1, – 3) y B(1, – 1, 3) entonces AB= (– 3, 0, 6) y por tanto tenemos 1 −1 − 2 i j k → → → → → que det(Vr , Vs, AB) = 2 1 − 1 = 9 y Vr x Vs = 1 − 1 − 2 = 3i − 3 j + 3k −3 0 6 2 1 −1 9 9 = = 3 unidades luego d(r , s) = 2 2 2 27 3 +3 +3 5. Plano mediador, plano bisector y perpendicular común
Plano mediador
El plano mediador del segmento segmento AB es el lugar geométrico de los puntos puntos del espacio que equidistan de A y de B, su expresión se obtiene de la igualdad d(P,A) = d(P,B) siendo P un punto genérico P(x, y, z) π
Ejemplo: Calcula el plano mediador mediador de AB siendo A(1, – 2, 2) y B(– 3, 1, 1) d(P, A) = ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + (z − 2) 2 = ( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 + (z − 1) 2 = d(P, B) operamos y obtenemos π: 8x – 6y + 2z +2 = 0.
Plano bisector
El plano bisector del ángulo formado por dos planos α y β es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los l os dos planos dados. Observación: Siempre hay dos planos bisectores. Su ecuación se obtiene de la igualdad d(P,α) = d(P,β) Siendo P(x, y, z) un punto genérico del espacio.
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Ejemplo: Calcula los planos bisectores de α: 2x + 2y – z + 3 = 0 y β: 4x + 3z – 5 = 0 2x + 2 y − z + 3
4x + 3z − 5
2x + 2 y − z + 3 4 x + 3z − 5 =± 3 5 2 2 + 2 2 + (−1) 2 4 2 + 32 desarrollando obtenemos obtenemos π: x – 5y + 7z – 15 = 0 y π´: 11x + 5y + 2z = 0. d ( P, α ) =
=
= d (P, β) ⇒
Perpendicular común de dos rectas
Dadas dos rectas r y s que se cruzan en el espacio, recibe el nombre de perpendicular común a ellas la recta p que corta perpendicularmente a cada una de ellas. p
→
→
Si u r y u s son son los los vect vector ores es dire direct ctor ores es de r y s , como como p es es per perpe pend ndic icul ular ar a r y s, s, su su →
→
→
vector es u p = u r x u s , la ecuación de p es la intersección de los planos π determinado →
→
→
→
por un punto A ∈ r , u r y u p , y π´ π´ determinado por un punto B ∈ s, u s y u p . Ejemplo: Halla la perpendicular común a las rectas r : s:
x −1 y − 2 z − 3 = = y 2 2 1
x − 3 y − 2 z −1 = = . 1 2 2
i j k u r = (2, 2, 1) y u s = (1, 2, 2) entonces u p = u r x u s = 2 2 1 = 2i − 3 j + 2k = (2, − 3, 2) 1 2 2 x −1 y − 2 z − 3 x − 3 y − 2 z −1 luego π : 2 2 1 = 0 y π´: 1 2 2 = 0 por tanto la ecuación de la 2 −3 2 2 −3 2 π : −7 x + 2 y + 10z − 27 = 0 recta p perpendicular común a r y s es p : π´: −10x − 2 y + 7z + 27 = 0 →
→
→
→
→
6. Áreas y volúmenes
Área del paralelogramo
El área del paralelogramo de vértices A, B, C y D →
→
es Área (A, B, C, D) = AB x AC
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Área de un triángulo
El área del triángulo de vértices A, B y C es →
→
AB x AC Área (A, B, C) =
2
Volumen del paralelepípedo
El volumen del paralelepípedo de aristas →
→
→
→
→
→
AB, AC, AD es V = det(AB, AC, AD)
Volumen del tetraedro
El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D →
→
→
det(AB, AC, AD) es V =
6
Ejemplos:
Calcula el área del triángulo de vértices A(1, 1, 1) B(1, 0, 2) y C(0, C(0, 2, – 1) →
→
Tenemos que AB = (0, − 1, 1) y que AC = (−1, 1, − 2) por tanto el área del triángulo será i j k → → 12 + (−1) 2 + (−1) 2 3 2 AB x AC = 0 − 1 1 = i − j − k = (1, − 1, − 1) ⇒ Área = = u 2 2 −1 1 − 2 →
Calcula el volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores →
→
AB, AC y AD, siendo: A(2, 2, 2), B(4, 3, 3), C(4, 5, 4) y D(5, 5, 6) →
→
→
Tenemos que AB = (2, 1, 1), AC = (2, 3, 2) y AD = (3, 3, 4) luego el volumen será 2 1 1 V = 2 3 2 = 7 = 7 u3 . 3 3 4
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7. Puntos simétricos Punto simétrico respecto de un punto
Se llama punto simétrico de un punto P respecto de otro punto Q, a un punto P´ que cumple que Q es el punto medio del segmento PP´. Q |
P
P´
Ejemplo: Calcula el simétrico del punto P(1, 3, 5) respecto de Q(– 1, 0, 3). Tomamos P´(a, b, c) entonces 0=
3 + b ⇒ b = −3 2
3=
Q=
PP´ 1+ a ⇒ a = −3 por tanto − 1 = 2 2
5+c ⇒ c = 1 y nos queda P´(– 3, – 3, 1). 2
Punto simétrico respecto de un plano
Se llama punto simétrico de un punto P respecto del plano π, a un punto P´ que hace que π sea el plano mediador entre P y P´. Para calcular P´ se toma una recta r perpendicular a π pasando por P, se halla el punto Q intersección de π y la recta r, y se hace el simétrico de P respecto de Q.
Q P
P´
Ejemplo: Calcula el simétrico de P(1, 3, 2) respecto de π: 2x – y + z + 1 = 0. x = 1 + 2t Se calcula r : y = 3 − t se sustituye en la ecuación del plano y obtenemos z = 2 + t
2(1 + 2t) – (3 – t) + (2 + t) + 1 = 0 ⇒ 6t = – 2 ⇒ t = en r obtenemos − 1 11 , , 3 3
P ´
−1
3
sustituyendo este valor
1 10 5 , , y de forma análoga al caso anterior obtenemos 3 3 3
Q
4 3
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Tema 11: Propiedades métricas
Punto simétrico respecto de una recta
Se llama punto simétrico de P respecto de la recta r a un punto P´ que está en la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r, estando a la misma distancia de r que el punto P. Para calcularlo tomamos un plano π perpendicular a r que pase por P, se halla el punto Q intersección de π y la recta r, y se hace el simétrico de P respecto de Q.
π Q P
P´ r
x = 1 + 2t Ejemplo: Calcula el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto de la recta r : y = 3 − t z = 2 + t
Construimos el plano π: 2(x – 1) – 1(y – 0) + 1(z – 3) = 0 ⇒ π: 2x – y + z – 5 = 0 se sustituye en la ecuación del plano y obtenemos 2 2(1 + 2t) – (3 – t) + (2 + t) – 5 = 0 ⇒ 6t = 4 ⇒ t = sustituyendo este valor en r 3 7 7 8 obtenemos Q , , y de forma análoga al caso anterior obtenemos 3 3 3 11 14 7 P´ , , 3 3 3 Observación: Cualquier otra situación para calcular puntos simétricos se reduce a alguno de los tres casos anteriores, por ejemplo, el simétrico de una recta respecto de un plano se calcularía tomando dos puntos de la recta, hallando sus simétricos respecto del plano y calculando la recta que forman dichos puntos simétricos.
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