Universidade da Madeira
Centro de Competência das Ciências Exactas e das Engenharias
Medição e o erro de medição
Docente: Professor Luís Gomes Disciplina: Técnicas de Medida e Instrumentação
Trabalho elaborado em Março de 2011 por: João Vieira – nº 2057705 Roberto Silva – nº 2027407
Índice 1. Resumo ........................................................................................................ 2 2. Introdução da teoria ..................................................................................... 3 2.1.
Voltímetro e amperímetro ideais............................................................ 3
2.2.
Erros sistemáticos e factor de correcção .............................................. 3
2.3.
Método directo e indirecto .................................................................... 4
2.3.1. 2.4.
Método voltímetro-amperímetro ..................................................... 4
Análise da repetibilidade ....................................................................... 5
3. Lista de Material ........................................................................................... 5 4. Procedimento ............................................................................................... 6 4.1.
Resistência interna de um voltímetro .................................................... 6
4.1.1.
Montagem do circuito equivalente de Thévenin .............................. 6
4.1.2.
Cálculo dos valores de tensão para o voltímetro ideal .................... 6
4.1.3. Cálculo dos valores de tensão, erro relativo e factor de correcção para um voltímetro não ideal ........................................................................ 7 4.1.4. 4.2.
Medição de uma tensão contínua.......................................................... 8
4.2.1. 4.3.
Medição dos valores de tensão ...................................................... 8
Método Directo................................................................................ 8
Medição de uma resistência ................................................................ 12
4.3.1.
Montagem de derivação longa ..................................................... 12
4.3.2.
Montagem de derivação curta...................................................... 13
5. Conclusão .................................................................................................. 15 6. Bibliografia ................................................................................................. 16
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1. Resumo Este trabalho teve como objectivo principal a introdução às medições e erros envolvidos durante as suas realizações. A nomenclatura utilizada foi também objecto de estudo. Em primeiro lugar mediu-se a voltagem aos terminais de um circuito simples com o objectivo de verificar a influência da resistência interna de um voltímetro na medição da queda de tensão numa resistência. Outro objectivo deste trabalho consistiu na consulta de parâmetros das medições e dos instrumentos utilizados. Para tal, calculou-se a incerteza associada a cada instrumento de medição e efectuaram-se medições com os respectivos instrumentos para verificação da repetibilidade dos resultados. Por fim, estudaram-se dois esquemas de medição de uma resistência pelo método voltímetro-amperímetro. Neste último ponto o objectivo principal passou por calcular e comparar os erros associados entre as duas formas de medição e finalmente a escolha do esquema de medição mais correcto.
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2. 2.1.
Introdução da teoria
Voltímetro e amperímetro ideais
Durante as medições efectuadas nas disciplinas anteriores na área de electrónica, considerou-se que os aparelhos de medição eram ideais. Um voltímetro ideal apresenta uma resistência interna infinita enquanto um amperímetro ideal apresenta uma resistência interna nula. Na realidade tal não se sucede e as resistências destes aparelhos podem influenciar nas medições efectuadas se a ordem de grandeza das resistências associadas aos circuitos for próxima da ordem de grandeza das resistências destes aparelhos, actuando assim como um divisor de tensão/corrente.
2.2.
Erros sistemáticos e factor de correcção
Os erros associados a uma medição podem (de uma maneira geral) ser classificados em três categorias: Ø Erros aleatórios Ø Erros sistemáticos Ø Erros grosseiros O erro sistemático consiste num erro que se mantém inalterado durante um conjunto de medições. Este erro pode ser calculado subtraindo à média dos valores obtidos com erro sistemático o valor verdadeiro da mensuranda. Contudo, visto que o valor real de uma grandeza é um parâmetro conhecido até uma certa precisão, o erro sistemático e seus motivos não podem ser absolutamente conhecidos. Outro método de conhecer o erro sistemático é através de:
em que consiste na tensão real e na tensão medida [1].
Uma forma de suavizar o erro sistemático, consiste na utilização do factor de correcção. Resumidamente, o factor de correcção consiste numa constante à qual é multiplicado o resultado obtido na medição para compensar o erro sistemático e pode ser calculado por [1]:
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2.3.
Método directo e indirecto
Usualmente o valor de uma grandeza pode ser obtido através de vários métodos nomeadamente o método directo ou o método indirecto. Ø Método Directo – neste método a grandeza a medir é obtida através de um aparelho de medição que apresenta o valor dessa grandeza e não o valor de grandezas relacionadas a grandeza pretendida. A medição de uma resistência por parte de um ohmímetro é um exemplo deste método [1]. Ø Método Indirecto – por oposição ao método directo, no método indirecto a grandeza pretendida é calculada através de operações entre a(s) grandeza(s) fornecida(s) pelos aparelhos de medição. Como exemplo deste método tem-se a medição de uma resistência através do método voltímetro-amperímetro [1]. 2.3.1. Método voltímetro-amperímetro Sendo este método um método indirecto para a medição de uma resistência, o cálculo do valor resistivo é efectuado a partir do rácio tensão/corrente dos valores fornecidos pelos respectivos voltímetro e amperímetros. A medição da resistência pode ser efectuada a partir das montagens ilustradas na figura 1:
Figura 1: variações do método voltímetro-amperímetro. a) Montagem de derivação longa; b) Montagem de derivação curta.
Em qualquer uma das montagens, a medição apresenta um erro sistemático associado às resistências internas dos aparelhos. A montagem mais adequada varia com o valor das resistências internas dos aparelhos e com R, podendo ser conhecida por:
em que corresponde à resistência interna do amperímetro e à resistência interna do voltímetro. Caso deve-se usar a montagem de derivação longa. Caso deve-se usar a montagem de derivação curta [3].
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2.4.
Análise da repetibilidade
A repetibilidade de instrumento de medição consiste num parâmetro que descreve a aproximação dos valores obtidos sucessivamente para a mesma mensuranda. Tal repetibilidade pode ser avaliada através de factores como a média( ), desvio padrão( ), desvio médio( ) e erro relativo() associados aos valores de medição obtidos. Tais parâmetros podem ser calculados por: ! # $% % # $% ) % )
" " &
&
%'(
%'(
em que " é o número total de medições efectuadas, e $% é a frequência que a medição de índice * aparece [1].
3. Lista de Material
Equipamento: • •
Fonte de alimentação: Topward 6303A Multímetros “Fluke 111”, “Fluke 87” e “Wavetek 25XT”
Acessórios: • •
Placa de montagem Fios condutores
Componentes: •
Resistências 1kΩ, 100kΩ, 10MΩ
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4. Procedimento O procedimento deste trabalho foi dividido em três partes: •
Resistência interna do um voltímetro
•
Medição de uma tensão contínua
•
Medição de uma resistência
Ao longo do procedimento é feito uma análise crítica entre os resultados teóricos e os resultados práticos.
4.1.
Resistência interna de um voltímetro
4.1.1. Montagem do circuito equivalente de Thévenin Montou-se o circuito da figura 2. Apesar da simplicidade aparente do circuito (uma fonte de tensão e uma resistência), este circuito pretende representar o equivalente de Thévenin de outro circuito. Sendo assim possível usar a abordagem descrita nas alíneas seguintes para medir/verificar a influência da resistência de um voltímetro em qualquer circuito.
Figura 2: equivalente de Thévenin de um circuito mais complexo.
É de referir que para o estudo da resistência interna do voltímetro, utilizaram-se (nas restantes alíneas desta subsecção) três valores para a resistência do circuito representado na figura 2: +,- ..*,- ./,. 4.1.2. Cálculo dos valores de tensão para o voltímetro ideal Calcularam-se os valores medidos por um voltímetro ideal quando ligado aos terminais A e B da figura 2. Considerando a resistência interna do voltímetro infinita (caso ideal), tem-se:
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0 1 00
sendo que V corresponde à tensão aos terminais do voltímetro e RV a resistência interna do voltímetro.
4.1.3. Cálculo dos valores de tensão, erro relativo e factor de correcção para um voltímetro não ideal Neste ponto voltaram-se a calcular quais os valores de tensão medidos aos terminais A e B do circuito ilustrado pela figura 1, mas desta feita, para um voltímetro real. Consultando o datasheet do voltímetro utilizado (“Fluke 87”), verificou-se que a sua resistência interna é de 10MΩ. Tendo em conta a resistência interna do voltímetro, calcularam-se para os três valores de R mencionados na alínea 4.1.1. qual a tensão obtida aos terminais do voltímetro, o erro relativo e o factor de correcção. Por (1) e (2) tem-se: Para R = 1KΩ 0
./, 23333330 ./, +,
42555555676 6
Para R = 100KΩ
0 2...... 23333330
0
.2...... .2.... 8
./, 230. ./, ..+,
230. 0 .2. 8 0
Para R = 10MΩ 0
0 2. 230.
./, 20 ./, ./,
20 0 .20 0.8 0
7
0 20
Verifica-se que o erro relativo a cada medição aumenta conforme a ordem de grandeza da resistência R se aproxima da ordem de grandeza da resistência interna do voltímetro. 4.1.4. Medição dos valores de tensão Ligaram-se os terminais do voltímetro “Fluke 87” aos terminais A e B do circuito representado pela figura 2. Com a tensão na fonte a 4,99V, obtiveramse os seguintes resultados: Ø Para R = 1KΩ; V = 4,990V Ø Para R = 100KΩ; V = 4,950V Ø Para R = 10MΩ; V = 2,61V
Verifica-se que os resultados experimentais estão próximos dos resultados da análise teórica. Outro aspecto a ter em conta consiste no aumento do erro sistemático quando a ordem de grandeza da resistência interna do voltímetro é próxima da ordem de grandeza da resistência a medir.
4.2.
Medição de uma tensão contínua
Este ponto consiste na medição da tensão fornecida por uma fonte de tensão através de dois métodos apresentados no ponto 2.3. (na secção introdução), nomeadamente os métodos directo e indirecto. 4.2.1. Método Directo Ajustou-se a fonte de tensão para um valor em torno dos 8V sem ter precisão no valor para o qual a fonte estava realmente ajustada. É de referir que a incerteza associada a uma medição pode ser obtida através de duas maneiras: •
•
Metade do LSB – quando não existe especificação da incerteza, considera-se (por defeito) metade do algarismo menos significativo. – quando especificada no 9 8:;<=>?;:; @ABC
datasheet, a incerteza tem duas componentes. A primeira está relacionada com o erro associado ao aparelho de medição (circuitos internos, etc) e normalmente consiste numa percentagem do valor medido 8:;<=>?;:; . A segunda componente está relacionada com o ADC do instrumento e
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apresenta um número de bits (menos significativos) a serem somados à incerteza@ABC . É de referir que os mutímetros utilizados neste ponto foram os multímetros “Fluke 87” e “Fluke 111”. Consultando as especificações de cada instrumento, calculou-se a incerteza associada a cada medição de uma tensão contínua em torno dos 8V: “Fluke 87”: Para este instrumento o datasheet especifica que a incerteza é de 9.2 8 . Calculando o valor da incerteza da medição: D=E
“Fluke 111”:
Para este instrumento o datasheet especifica que a incerteza é de: 9.2J8 .Neste ponto utilizou-se a média das incertezas associadas às medições descritas na tabela 1. Calculando o valor da incerteza da medição: D=E
9.2.IJ
De seguida, efectuaram-se e registaram-se vinte medições à tensão nos terminais da fonte de tensão com os dois multímetros anteriormente mencionados. A tabela 2 ilustra os resultados obtidos. Tabela 1: Medição de vinte valores da fonte de tensão com o multímetro “Fluke 87” e “Fluke 111”, respectivamente.
“Fluke 87” Índice k 1 Leitura (V) xk 8,45 Frequência ik 20
“Fluke 111” Índice k 1 Leitura (V) xk 8,45 Frequência ik 15
2 8,46 5
Ambas as leituras são apresentadas com três algarismos significativos, assim sendo o intervalo de confiança associada a cada leitura é o mesmo, não se podendo tirar qualquer conclusão prévia relativamente à dispersão dos resultados. Para verificar a repetibilidade das medições, calcularam-se os diferentes parâmetros estatísticos mencionados na alínea 2.4 (da introdução). Por (4) obteve-se:
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Tabela 2: valores dos diferentes parâmetros para estatística.
N M 8,45V
“Fluke 87” “Fluke 8,4525V 111”
s 0mV
2IO
δ 0mV
3,75 O
ε 0%
.2.II8
Por (6) e (7) previa-se que o “Fluke 87” apresentaria menor dispersão (e consequentemente melhor repetibilidade ) nos resultados obtidos, visto a incerteza associada a cada medição ser inferior à incerteza do “Fluke 111”. A tabela 2 confirma esta melhor repetibilidade do “Fluke 87” prevista anteriormente.
4.2.2. Método Indirecto Com a fonte de tensão apresentando o mesmo valor utilizado no método directo, montou-se o circuito ilustrado pela figura 3.
Figura 3: montagem utilizada para medição da tensão no método indirecto.
Como abordado da alínea 2.3. , pretende-se calcular a tensão V com base na corrente obtida pelo amperímetro. Visto que os valores em tensão obtidos pela fonte podem variar entre 0 e 30V e a resistência utilizada é de 1kΩ (ignorou-se a resistências interna do amperímetro por ter uma ordem de grandeza muito inferior a Rx), pelo datasheet do multímetro “Fluke 87”, a incerteza associada a esta gama de valores de corrente (de 0 a 30mA) é de 9.28 . Assim sendo, o intervalo de valores de tensão é dado por:
por conseguinte:
D=E
QRST G20OP 9 .2.OP *U G20 9 .2.3
Para o multímetro Wavetek 25XT tem-se:
10
por conseguinte:
D=E
QRST G2OP 9 .2 OP *U G2 9 .2
De seguida, ligaram-se os multímetros “Fluke 87” e “Wavetek 25XT” em função de amperímetro como é ilustrado na figura 2 obtendo-se os valores apresentados na tabela 3. Tabela 3: : Medição de vinte valores de corrente com o multímetro “Fluke 87” e “Wavetek 25XT”, respectivamente e cálculo da tensão.
“Fluke 87” Índice k Frequência xk
1
2
12
8
“Wavetek 25XT” Índice 1 k Frequência 6 xk
8,54
8,55
Leitura (mA)
Resistência (Ω)
ik R
1000
1000
Resistência (Ω)
Tensão (V)
R. ik
8,54
8,55
Tensão (V)
Leitura (mA)
Tensão média (V)
Tensão média (V)
8,544
ik R
2
3
5
9
8,41 8,42 8,43 1000 1000 1000
R. ik 8,41 8,42 8,43 8,4215
Apesar de o “Wavetek 25XT” apresentar menor repetibilidade nas medições relativamente ao ”Fluke 87”, apresenta valores de medição mais próximos do valor obtido através do método directo. Este facto sugere que a resistência interna do “Wavetek 25XT” seja inferior à do “Fluke 87” aproximando-se mais ao caso ideal. Esta suposição não pode ser confirmada, visto a resistência interna do “Wavetek 25XT” não constar nas folhas de características fornecidas do aparelho.
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4.3.
Medição de uma resistência
4.3.1. Montagem de derivação longa Procedeu-se a montagem de derivação longa ilustrada pelo circuito da figura 3.
Figura 4: montagem de derivação longa.
Cálculo do erro na medição da resistência Calcularam-se os erros de medição da resistência, tendo em conta as especificações do multímetros “Fluke 87” e “Fluke 111”. Calculou-se o erro absoluto: ..,
sendo V W a resistência interna do Amperímetro “Fluke 87”. O erro relativo é dado por: X
VW .., Y .7\ .2 8 V Z V Z ..[,
Cálculo do valor da resistência Após a montagem do circuito ilustrado pela figura 3, utilizou-se o multímetro “Fluke 111” como função de voltímetro e o “Fluke 87” com função de amperímetro visto que pelo datasheet o “Fluke 111” não é adequado para medir correntes na ordem dos mA, tendo-se posteriormente calculado o valor da resistência. Tabela 4: cálculo da resistência para a montagem de derivação longa.
“Fluke 111” Tensão “Fluke 87” Corrente Resistência calculada
8,44V 84,7 µA 99645,8Ω
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Pela tabela 4, verifica-se que o valor da resistência calculado é próximo do valor da resistência Rx ,que quando medida directamente com o multímetro foi de 99,2KΩ. 4.3.2. Montagem de derivação curta Procedeu-se a montagem de derivação curta ilustrada pelo circuito da figura 4.
Figura 5: circuito de derivação curta.
Cálculo do erro na medição da resistência Tendo-se novamente por base as especificações dos multímetros utilizados na alínea 4.3.1.2. , calculou-se o erro na medição da resistência. O erro absoluto é dado por: Y
VZ ..[ .233_U
V ] V Z .^ ..[
Em que V ] corresponde o valor da resistência interna do voltímetro e . O erro relativo é dado por: X
VZ Y 323 .7\ .2338 0
VZ VZ V]
Cálculo do valor da resistência
Após a montagem do circuito ilustrado pela figura 4, utilizou-se novamente o multímetro “Fluke 111” como função de voltímetro e o “Fluke 87” com função de amperímetro. Tabela 5: cálculo da resistência para a montagem de derivação curta.
“Fluke 111” Tensão “Fluke 87” Corrente Resistência calculada
8,43V 85,5 µA 98596,5Ω
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Comparação dos resultados obtidos Pelos resultados obtidos para a resistência nas tabelas 4 e 5, verifica-se que pelo método de derivação longa obtém-se um resultado mais próximo do valor da resistência utilizado no circuito (100kΩ) quando comparado ao método de derivação curta. Os erros absolutos e relativos, como já era esperado, foram maiores na montagem de derivação curta do que na montagem de derivação longa. Como referido anteriormente na alínea 2.3.1., o método do voltímetroamperímetro mais indicado para a análise deste circuito, poderia ser facilmente obtido através de (3). Assim sendo, o valor obtido para a Rind é de:
2 `2 2 .a
J3JU
visto que V Z é superior a V bc , confirma-se que a montagem mais apropriada nesta situação é a de longa derivação.
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5. Conclusão Com o finalizar do primeiro trabalho para a cadeira de Técnicas de Medida e Instrumentação traduziram-se conceitos teóricos a nível prático nomeadamente o desempenho e a influencia nos resultados obtidos pelos aparelhos de medição utilizados. Em primeiro lugar verificou-se como a resistência interna de um voltímetro pode influenciar a medição de uma tensão numa resistência. Esta influência tem normalmente maior impacto se a ordem de grandeza da resistência a medir for próxima da ordem de grandeza da resistência interna do voltímetro. Relativamente aos métodos de medição directo e indirecto, observou-se uma maior fiabilidade dos resultados no primeiro método relativamente ao método indirecto. O facto das resistências internas dos amperímetros variarem consoante o modelo juntamente com a incerteza associada da cada resistência (d ) resultam numa menor fiabilidade nos resultados por oposição ao método directo que única incerteza consiste na resistência interna do voltímetro. Por fim, estudaram-se e projectaram-se dois tipos de montagens indirectas para o cálculo de uma resistência, nomeadamente as montagens de derivação longa e derivação curta. Os resultados práticos estão de acordo com a análise teórica uma vez que os resultados mais próximos do valor real da resistência (medidos directamente com um multímetro) foram obtidos pelo método que apresentava menor erro na medição (método de derivação longa). Este aspecto foi também confirmado por (3) substituindo os valores resistivos do circuito. Um aspecto de interesse verificado por parte dos elementos do grupo, consistiu na percepção de como é difícil controlar todos os erros sistemáticos durante uma medição. No caso deste trabalho, não se considerou a incerteza associada às resistências bem como influência da fonte de tensão na medição por simplificação dos cálculos. Contudo quantos mais parâmetros forem considerados, mais exactas serão as nossas medições (apesar dos erros aleatórios).
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6. Bibliografia [1]
Aurélio Campilho, Instrumentação Eletrónica. Métodos e Técnicas de
Medição, FEUP Edições, 1ª edição, 2000. [2]
http://www.if.ufrj.br/teaching/metrol/metro.html acedido a 7/03/2011
[3]
Gomes, L. A. A. O., "Apontamentos de Técnicas de Medida e
Instrumentação", Universidade da Madeira, 2011
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