C apí apí tulo 1 – T écnica cni cass de I nteg nteg r ação ação
1
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
1.1 INTEGRAÇÃO INTEGRAÇÃO POR PARTES Uma técnica de integração muito útil é a integração por partes, que depende da fórmula para a diferencial de um produto. Sejam f e g funções diferenciáveis diferenciáveis de x. Então, Então, pela regra do produto, temos: D x f ( x ).g( x ) f ' ( x ).g( x ) g' ( x ).f ( x ) f ( x ).g' ( x ) D x f ( x ).g ( x ) f ' ( x ).g( x )
Integrando ambos os membros, temos:
Verificamos que a primeira integral do lado direito é igual a f(x) . g(x) + C . Como da Segunda integral resulta outra constante de integração, é desnecessário incluir C na fórmula, isto é: f ( x ).g' ( x )dx f ( x ).g( x )
u.dv
ln xdx u.v
v.du
ln xdx ln x.( x )
x
ln xdx x ln x ln xdx x ln x
x
1
(x )
x
dx
dx
dx
ln xdx x ln x x C ln xdx x ln x x C
u dv u.v
v.du
A fim de aplicar esta fórmula a uma determinada integral, representamos por u uma parte do integrando e por dv o restante, ( inclusive dx) .
Exemplo 1 Calcule
lnxdx
Verificamos que não existe fórmula para esta integral na tabela. Fazemos u = ln x e dv = dx 1
du dx Assim:
v=x
x
dv dx
dv
Exemplo 1 Calcule
x.e 2 x dx
Fazendo: u x
dv = e 2x dx
e
dv
du = dx
v
g( x ).f ' ( x )dx
Fazendo u = f(x) e v = g(x) , de modo que du = f ’(x) dx e dv = g’(x) dx, então a fórmula precedente pode ser escrita:
ln xdx
f ( x ).g' ( x )dx
D x f ( x).g( x )dx g( x ).f ' ( x )dx
-1
dx v x C
e 2x 2
e 2x dx
C
Voltando na integral, temos:
x.e 2x dx
u.dv
x.e 2x dx u.v x.e 2x dx x. x.e 2x dx
e 2x 2
x.e 2 x 2
v.du
e 2x
1
2
2
dx
e 2x dx
x.e 2 x 1 e 2x 2 x x.e dx 2 2 2 x.e 2 x e 2x 2 x C x.e dx 2 4
Obs: Para resolver esta parte direita devemos fazer uma substituição. E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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-2
Seja
t 2x dt dx
2 dx
dt
e x . cos x dx =
2
e x sen x e x cos x
Substituindo, temos
e 2x dx
et
e 2x dx
1
2
dt
2
e t dt
e 2x 2 x e dx C 2
e x cos xdx
e x cos xdx e x cos xdx e x (sen x cos x )
2. e x cos xdx e x (sen x cos x )
e x . cos x dx
Seja u ex
Exemplo 2 Calcule
e x . cos x dx =
e x sen x e x cos x
et 2 x e dx C 2
e x cos xdx
e x (sen x cos x ) x e cos xdx C 2
dv = cos x dx
du e x dx
EXERCÍCIO E.1 Calcule as seguintes integrais:
v = senx
a ) x.e x dx
Integrando por partes,
b) x.e 2x dx
c) x.e x dx
d) x 2 .e 3x dx
e) x 2 e 2x .dx
f)
g) x sen x dx
h) e 2x sen x dx
Apliquemos em seguida a integração por partes à integral da direita da equação (a). Fazendo:
i) x. cos 5xdx
j) x.secx.tgx dx
k ) e x cos x.dx
l)
sen 3 xdx
u ex
dv = sen x dx
m) x sec 2 x.dx
n)
sec 3 xdx
du e x dx
v = - cosx
o) x 2 sen x dx
p) e x sen x dx
e x . cos x dx = u.v
v.du
e x . cos x dx = e x sen x
e x sen xdx (a)
e integrando por partes temos:
q) x. sen 2xdx
e x . sen x dx = u.v
e x . sen x dx = e x cos x
v.du
s)
ln x 2 .dx
r)
x 2 .e x dx
x lnx dx
t ) cos 3 xdx
e x cos xdx (b)
Levando agora a equação ( b) no membro direito da equação (a), obtemos; E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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-3
1.2
Respostas: E1 a ) e x ( x 1) C 1 1 x C 4 2
b)e 2 x .
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Nesta seção discutiremos um método para o cálculo de integrais contendo radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas.
c) e x (x 1) C
Para determinar a área de um círculo ou de uma
x 2 2x 2 3 x d )e C 9 27 3 1 1 e) e 2x x 2 x C 2 2
elipse, uma integral do tipo
f ) e x .(x 2 2x 2) C g) sen x x cos x C h) i)
e 2x 5
x
2 sen x cos x C
sen 5x
5
1 25
cos 5x C
j) x sec x ln sec x t gx C k )
ex 2
sen x cos x C
2 cos 3 x 2 l) sen x cos x C 3
a 2 u 2 du
aparece, onde a > 0. Se a integral fosse do tipo
u. a 2 u 2 du uma simples substituição de
variáveis ( t a 2 u 2 ) seria suficiente para resolver a integral em questão, mas como esta definida a integral que queremos solucionar é mais difícil. Muitas vezes substituições trigonométricas convenientes nos levam à solução de determinadas integrais. Se o integrando envolver funções contendo as expressões: a2 u2
, a2 u2
ou
u2 a2
com a > 0, é possível realizar uma uma substituição substituição trigonométrica apropriada conforme vemos na Fig. 1
m)xtgx ln cos x C n)
1 2
sec x.t gx
1 2
ln sec x t gx C
o) x 2 cos x ex sen x e cos x C p)
e
x
2 1
q)
sen x cos x C x cos 2x
1
sen 2x C 2 4 2 32 4 32 r ) x ln x x C 3 9 3 s) x ln 2x 3 x ln 2x 3 C 2 1 t ) sen x sen 3 x C 3
Figura 1
Podemos assim sugerir a seguinte tabela: 1.2.1
Tabela de Substituições trigonométricas.
expressão a2 u2 a2 u2 u2 a2
substituição u a sen * u a t g
*
u a sec ** E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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*
2
** 0
Neste caso, faremos a substituição u a sec . Então du a sec .t g d . Assim, temos
2
2
ou
3
u 2 a 2 = a 2 sec 2 a 2
2
2 = a 2 sec 1
1.2.2
Identidades trigonométricas úteis
u 2 a 2 = a t g
ii) 1 t g2 sec2
Exemplo 3
Observe as resoluções abaixo. caso:
A
função
integrando
envolve
a2 u2 .
Neste caso, faremos a substituição u a sen . Então du a cos d . Assim, temos a 2 u 2 = a 2 a sen 2
= a 2 a 2 sen 2
a 2 u 2 = a cos
Neste caso, faremos a substituição substituição u a t g .
9 x2 dx = 2 x
9 3 sen 2
3 sen 2
3 cos d
9 x2 dx = 2 x
3 cos
3 sen 2
3 cos d
3 cos 2 d 2 3 sen
= =
cot g 2 d cos ec 2 1 d
9
a 2 u 2 = a 2 a t g2
= a 2 a 2 t g2
Devemos agora escrever este resultado em termos da variável original x. Sabendo que se
2 = a 2 1 t g
x 3 sen , com
= a 2 sec 2
- 2
2
,
então
x
arcsen . 3
a 2 u 2 = a sec
função
dx
x2 dx = cot g c 2 x
Então du a sec 2 d . Assim, temos
A
2
Resolução: Usamos x 3 sen , entãodx 3 cos d Substituindo na integral, temos:
=
2º caso: A função integrando envolve a 2 u 2
caso:
Calcule a integral
= a 2 cos 2
3º
9x x2
Pelo 1º caso, temos que:
2 = a 2 1 sen
= a 2 t g2
i) 1 sen 2 cos 2
1º
-4
integrando
envolve
u2 a2 E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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Observando a Fig 1 (a) cot g
9 x2
vemos que
.
x
9 x2 dx = cot g c 2 x
9 x2 9 x2 x dx = arcsen C x 3 x2
Calcule
x 2 25 x
dx
dx
x
2 x x 25 5 arc sec = 5. C 5 5
Assim, temos:
Exemplo 4
x 2 25
-5
a
integral
x
u2 a2
dx = . x 2 25 5arc sec
x
Exemplo 5
com x 5 .
Resolução: Observamos que esta integral envolve a função
2 25
Calcule x2
5 x2 9
dx
a
x 5
C
integral
.
Resolução: Observamos que esta integral envolve a função u2 a2
do 3º tipo, com a = 5 . Assim, podemos fazer a substituição sugerida. sugerida.
do 2º tipo, com a = 3 . Assim, podemos fazer a substituição sugerida. sugerida.
Fazendo x = 5 sec , temos dx = 5 sec . tg d.
Fazendo x = 3 tg , temos dx = 3 sec2 d.
x 2 25 x
Assim, o radicando
dx =
25 sec 2
25 5 sec t g d 5 sec 5 t g = 5 sec t g d 5 sec
= =
5 t g2 d
5
x 2 25 x
sec 2
1 d
9 dx = 5t g 5 C
5 9
Agora precisamos expressar o resultado em função de x. x 5
Como x = 5 sec , então arc sec e observando a Fig 1c vemos que t g
x 2 25 5
. Daí, substituindo no resultado da integral, temos:
5 9 5 9 5
x2 5 x2 9
dx =
9 t g2 5 9( t g2 1) 9t g2 5 9 sec 2
t g2
3 sec
x 2 9 3 sec . 9 t g2 .3 sec 2 d 5 9 t g2 9
.3 sec 2 d
.3 sec 2 d
.3 sec 2 d
t g2 . sec d sec 2 1 sec d
sec3 sec d
(1)
Agora, usando a tabela de integrais, podemos ver que:
sec d ln sec t g
(2) e que
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n sec d 1 n 2 n 2 d sec n 2 t g sec n 1 n 1 3 isto é, sec d
1
1
2
2
= sec t g
9 10
EXERCÍCIO E.2 Resolva as seguintes integrais
c)
sec3 sec d =
9
e)
10
sec t g
9 10
ln sec t g C
g)
Daí, a integral é:
x
2
2 2 x 4 dx
d)
f )
=
9 x2 dx 2 2x
a)
sec d (3)
Assim, substituindo (2) e (3) na expressão (1) e realizando as simplificações, teremos:
-6
dx
x2 4 x2 dx
x 2 16 x 2 1
4
x2
2
9
x
x
dx
dx
3
=
x
2
5 x2 9
9 10
9
sec t g
10
i)
ln sec t g C
Precisamos agora retornar a variável x. Observando a Fig 1b, temos x2 9
sec
e t g
3
x 3
, logo realizando
estas substituições, teremos:
=
h)
dx
5 x2 9
dx dx
1
j)
x 2 x 2 25 x k ) dx 2 9x
dx
Respostas: 9 x2 x a) arcsen C 2 x 3
dx
9
9 x
10
3
3
x2 5 x2 9 x. x 2 9 10
1
x 9 x2
9 10
ln
x2
9
3
x 3
c)
1 4
d)
=
x6
1
x2
x2
1 x 2 2
dx
e) 9
10
ln
.x
x2 9 3
C
f ) ln
2
x x 4 ln 1 4x
2 x 4x
2
C
4 x2 C
16 x 2 16x
C
4 x2 x 2
C
f ) ln 4 x 2 x D
ou onde D = ln2 +C E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes;
x C 3
g) x 2 9 3arc sec 5
CASO 1 : O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1º grau. Neste caso , a cada fator da forma (ax +b) ,
2 1 x 2 C h) 5x 5
1
2
i) ln 3 x x2
j)
25
25x
4 x2 x
, que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma
C
A (ax b)
2 2 x.( x 2 1) x.( x 1).x 1) 2 A B C x.( x 2 1) x ( x 1) ( x 1)
, onde p e q são polinomiais e o
grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A idéias é desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser integradas. É fácil verificar que:
decomposição em frações parciais de x
2 2
. 1
Pode-se usar esta decomposição para calcular a 2 . 2 x 1
Basta integrarmos
cada uma das frações da decomposição, obtendo: 2 dx 2 x 1
1 x 1
Calcule
4x 2 13x 9 dx 3 2 x 2x 3x
Resolução: Sabemos que:
x 3 2x 2 3x x.( x 3).(x 1)
A expressão à direita é o que se chama uma
integral indefinida de
Exemplo 7
x 3 2x 2 3x x.( x 2 2x 3)
1 2 1 x2 1 x 1 x 1
.
Exemplo 6
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma q(x )
e b
C
1.3
p( x )
*
a
k ) 9 x 2 C
R ( x )
-7
dx
Assim, 4x 2 13x 9 x 3 2x 2 3x 4x 2 13x 9 x 3 2x 2 3x
4 x 2 13x 9 x.( x 3).(x 1) A x
B ( x 3)
Tirando o m.m.c. denominadores, temos:
e
C ( x 1)
eliminando
os
1 dx x 1
2 dx ln x 1 ln x 1 C 2 x 1 2 x 1 C dx ln 2 x 1 x 1
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4 x 2 13x 9 A( x 3)(x 1) B.x.( x 1) C.x.( x 3)
(Ax 3A)( x 1) Bx 2 Bx Cx 2 3Cx Ax 2 Ax 3Ax 3A Bx 2 Bx Cx 2 3Cx Ax 2 Bx 2 Cx 2 Ax 3Ax Bx 3Cx 3A 4 x 2 13x 9 (A B C) x 2 (2A B 3C) x 3A
Comparando os coeficientes de x, temos: 3A 9 A 3
CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1º grau. A cada fator da forma ( ax + b ) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n frações da forma: A1 A2 An ... ax b (ax b) 2 (ax b)n
Exemplo: 1 x 1 x ( x 1) 2 .( x 2 2x 1) 2 ( x 1)(x 1).[(x 1) 2 ] 2
e
A B C 4 3A + 4C = 17 2A B 3C 13
1 x 1 ( x 1) 2 .( x 2 2x 1) 2 ( x 1) 2 .( x 1) 4
como A = 3 , temos3.3 + 4C = 17
1 x ( x 1) 2 .( x 2 2x 1) 2
4C = 8 C = 2 Agora com A = 3 e C = 2 , temosB = - 1
a decomposição em frações parciais, é pois: 4x 2 13x 9 3 1 2 x3 2x 2 3x x ( x 3) ( x 1)
x 3 2 x 2 3x
3 x
dx
Calcule
1 dx ( x 3)
x 3 2 x 2 3x 4x 2 13x 9
2 ( x 1)
x 3 2 x 2 3x
ln x 3 ln x 3 ln x 1 2 C
ln
x 3 .( x 1) 2 x 3
3x 3 18x 2 29x 4 dx 3 ( x 1).( x 2)
Resolução: Verificamos que:
3 ln x ln x 3 2 ln x 1 C 4x 2 13x 9
A3 A5 A1 A2 A4 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4
Exemplo 8
Agora, integrando, temos; 4x 2 13x 9
-8
dx
3x 3 18x 2 29x 4 (x 1).(x 2) 3
A (x 1)
B ( x 2)
C (x 2) 2
D (x 2) 3
tirando o m.m.c. e eliminando o denominador, denominador, temos; 3x 3 18x 2 29x 4
C
A( x 2) 3 B(x 1).(x 2) 2 C.( x 1).(x 2) D( x 1)
daí, temos: A = 2 , B = 1 , C = -3
e
D=2
Então: 3x 3 18x 2 29x 4 ( x 1).(x 2) 3
2 ( x 1)
1 ( x 2)
3 ( x 2) 2
2 ( x 2) 3
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Integrando, temos:
3x 3 18x 2 29x 4 ( x 1).(x 2) 3
2 ( x 1)
dx
( x 2)
3x 3 18x 2 29x 4 ( x 1).(x 2) 3
2 ln x 1 ln x 2
tirando o m.m.c e eliminando o denominador, teremos;
1
x 2 x 21 (Ax B)(2x 1) C( x 2 4)
dx
3 ( x 2) 2
dx
2
x 21 (2A C) x 2 (2B A) x 4C B
Daí, temos; A=3, B= 1,
3
( x 2)
ax 2 bx c
x 2 x 21 2Ax 2 Ax 2Bx B Cx 2 4C
dx
( x 2) 3 x 2
1 ( x 2) 2
C
CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da forma
q( x )
com a 0 e não
pode portanto ser decomposto em fatores do 1º grau. A cada fator q(x) que aparece no denominador , corresponde uma fração da forma q( x )
x 2 x 21 3x 1 5 2 x 3 x 2 8x 4 x 2 4 2x 1 5 x 2 x 21 3x 1 3 2 2 2 2 x x 8x 4 x 4 x 4 2x 1
Integrando, temos:
x 2 x 21 2 x 3 x 2 8x 4
Exemplo: (x 2 x 1)(x 2 1)
A1x B1 ( x 2 x 1)
Calcule
x2 2x 3
x 21 x2
( x 2 1)
8x 4
dx
Resolução: O denominador pode ser fatorado como se segue: 2 x 3 x 2 8x 4
x 2 (2x 1) 4(2x 1) ( x 2 4)(2x 1)
Assim:
x2 4
3 2 2 x x 8x 4
3 2
dx
3x
x 2 x 21
A 2 x B2
Exemplo 9
C= - 5
Assim:
Ax B
1
-9
dx
1 x2 4
dx
5 dx 2x 1
dx
1 tg 1 x 5 ln 2x 1 C 2 2 2
ln x 2 4
CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da forma
q( x )
ax 2 bx c
com a 0 e não
pode portanto ser decomposto em fatores do 1º grau. A cada fator q(x) que aparece repetido no denominador , corresponde uma soma de fração da forma: A1x B1 A 2 x B 2 A x Bn + + ... + n q( x ) q(x)2 q(x)n
x 2 x 21 Ax B C 2 x 3 x 2 8x 4 x 2 4 2 x 1 E laine laine Cristina Cr istina Fe F err uzz uzzi
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- 10
EXERCÍCIO E.3 Calcule as seguintes integrais: Exemplo 10 Calcule
5x 3
a)
3x 2 7 x 3 dx 2 2 (x 1)
c)
R esolução solução;
Verificamos que:
5x 12
dx
b)
6 x 11 dx 2 ( x 1)
d)
x ( x 4)
5x 2 10x 8 e) dx 3 x 4x
5x 3 3x 2 7 x 3 Ax B Cx D ( x 2 1) 2 ( x 2 1) ( x 2 1) 2
37 11x ( x 1)( x 2)( x 3) x 16 x 2 2x 8
dx
2 x 2 25x 33 f) dx 2 ( x 1) ( x 5)
Respostas:
e portanto:
a )3 ln x 2 ln x 4 C
5x 3 3x 2 7 x 3 (Ax B)(x 2 1) Cx D
b)4 ln x 1 5 ln x 2 ln x 3 C
daí:
c)6 ln x 1
A=5
dx
, B = -3
5
C x 1 d )2 ln x 4 3 ln x 2 C
C= 2 e D = 0
e)2 ln x ln x 2 4 ln x 2 C
Portanto:
f )5 ln x 1
5x 3 3x 2 7 x 3
( x 2 1) 2 5x 3 3x 2 7 x 3 (x
5x 3 ( x 2 1) 5x
2 1) 2
(x
2 1)
1 x 1
3 ln x 5 C
2x ( x 2 1) 2 3
(x
2 1)
2x
(x
2 1) 2
Integrando, temos;
5x 3 3x 2 7 x 3 ( x 2 1) 2
5x ( x 2 1)
dx
5x 3 3x 2 7 x 3 ( x 2 1) 2
5 2
dx
3 ( x 2 1)
2x ( x 2 1) 2
dx
dx
ln x 2 1 3tg 1x
dx
1 x 2 1
C
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