Algèbre : Matrices symétriques et formes bilinéaires
Feuille de TD 4
Exercice Exercice 1
Parmi les applications f i : v = (x , y , z ) ∈ R3 par
R3
× R −→ R, définies pour tous v = (x , y , z) ∈ R 3
3
f 1 (v, v ) = x2 + yz + 2xy f 2 (v, v ) = 2xx
− 2zy + 3z
f 3 (v, v ) =
et
− yz + 3xz + 2y + 2y xx − 2xy + zz − 3xz − 3x z − 2x y 2yy − 3xy − 2x y + x z + xz + 2zz xx − yy + z − 1.
f 4 (v, v ) =
f 5 (v, v ) =
2
1. Détermine Déterminerr celles celles qui sont des formes formes bilin bilinéraire éraires, s, celles celles qui sont des formes formes bilin bilinéraire érairess symésymétriques. 2. Dans le cas de forme bilinéaire symétrique, (a) écrire leur matrice dans la base canonique de R3 , (b) donner la forme quadratique associée, (c) préciser préciser si la forme quadratique quadratique associée est positive et/ou définie. définie. Exercice Exercice 2
On note E = (e1 , e2, e3) la base canonique de R3. y e2 + ze z e3 et v = x e1 + y e2 + z e3 deux vecteurs de Soient v = xe1 + ye symétrique de R3 définie par f (v, v ) = xx + 3yy + 5zz
R3
. Soit f la forme bilinéaire
− y z − yz − 2z x − 2zx .
On pose v1 = (1, 0, 0) = e 1 , v2 = (2, 1, 1) et v3 = (2, 0, 1). On note ν la la famille ( v1 , v2 , v3). 1. Développer ( x − 2z )2 + (y − z )2 + 2y2 . En déduire que f est un produit scalaire sur R3 . Écrire la matrice Ω de f dans la base E . La base E est-elle est-elle orthogonale pour f ? ? 2. Montrer que ν est est une base de R3. Écrice la matrice Ω de f dans la base ν . La base ν est-elle est-elle orthogonale pour f ? ? 3. Soient v = X v1 + Y v2 + Z v3 et v = X v1 + Y v2 + Z v3 les coordonnées des vecteurs v et v dans la base ν . Exprimer f (v, v ) dans la base ν . 4. On se place dans l’espace l’espace euclidien euclidien ( R3, f ). On notera ||.|| la norme associée au produit scalaire f . On considère v = e 1 + e2 + e3 et v = e 1 + e2 − e3 . Déterminer f (v, v ), ||v ||, ||v ||, d(v, v ) et α l’angle non orienté entre les vecteurs v et v . Exercice Exercice 3
Soient l’espace euclidien canonique
R3 3
tique définie pour tout vecteur x =
= (e1 , e2 , e3 ) et q la forme quadramuni de la base canonique B =
x i ei
par q (x) = 2x1 x2 + 2 x1x3 .
i=1
1. Écrire la matrice Ω de q dans dans la base B . 2. La forme bilinéaire symétrique f associée à q est-elle est-elle un produit scalaire scalaire ? 3. Déterminer les valeurs propres de Ω . Donner une base orthonormée de vecteurs propres de Ω et écrire la matrice de q dans dans cette base. Que remarquez remarquez-vo -vous us ? 4. La forme quadratique q est-elle est-elle dégénérée dégénérée ? (Donner plusieurs démonstrations du résultat).
Exercice 4
Soit l’espace euclidien (R4 , > . , . >) où < . , . > désigne le produit scalaire canonique sur R4 . Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4. On considère la forme quadratique q définie par :
∀ v = xe + ye + ze + te = (x , y , z , t) 1
2
3
B
4
, q (v ) = 3x2 + 2y 2 + 3z 2 + t2
− 2xz.
1. Déterminer f la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique q . 2. Déterminer Ω la matrice de f dans la base B . 3. Déterminer u l’endomorphisme de R4 tel que Ω soit sa matrice dans la base B . 4. Montrer, sans la calculer, qu’il existe une base orthonormée W = (w1 , w2 , w3, w4 ) de laquelle la matrice de u s’écrit
1 0 mat(u, W ) = 0
0 2 0 0 0
On admet que w1 = e 4, w2 = e 2 , w3 =
0 0 2 0
0 0 0 4
R4
dans
.
√ 12 (e + e ) et w = √ 12 (e − e ). 1
3
4
1
3
5. Déterminer D = mat (f, W ) et préciser quel est le lien entre D et Ω . 6. Soient v = (X , Y , Z , T )W ∈ R4 et v = (X , Y , Z , T )W ∈ R4 . Déterminer les expressions de q (v ) et de f (v, v ) dans la base W . 7. Déterminer la signature de q . q est-elle positive ? définie ? dégénérée? 8. Montrer que ( R4 , f ) est un espace euclidien. 9. Soient s = 4w1 + 2 w2 + 2 w3 + w4 et F = V ect(s). Le but de cette question est d’étudier F ⊥ = {w ∈ R3 ; ∀v ∈ F, f (w, v) = 0}, l’orthogonal de F pour le produit scalaire f . (a) Déterminer la dimension de F ⊥ . (b) Soit v = X w1 + Y w2 + Zw 3 + T w4 = (X , Y , Z , T )W . À l’aide des coordonnées de v dans la base W , traduire que v ∈ F ⊥ (c) Déterminer une base de F ⊥ , puis une base de F ⊥ qui soit orthogonale pour f . Exercice 5
Soient l’espace vectoriel
R4
muni de la base canonique B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) et la forme quadratique q 4
définie pour tout vecteur x =
xi ei
par q (x) = 12 (x1 x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 ).
i=1
1. Déterminer la matrice M de q dans la base B . En déduire le rang de q . 2. Déterminer V une base de R4 dans laquelle la matrice de q est diagonale. Donner la matrice de q dans cette base V . 3. Soit I 4 la matrice identité de M 4 (R). On pose A = I 4 − M . Montrer que A est une matrice symétrique définie positive.
Exercice 6
Déterminer une base orthonormée de R4 euclidien canonique telle que dans cette base la matrice de la forme quadratique Φ 1 définie pour tout v = (x1 , x2 , x3 , x4) par Φ1(v ) = x 1 x2 + x1 x3 + x1x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4
soit diagonale.
Exercice 7
Soient a ∈ R et R3 euclidien canonique muni de B = (e1, e2, e3 ), sa base canonique. On définit pour tout v = (x , y , z), la forme quadratique q par q (v ) = (1
2
− a)(x
+ y2 + z2)
− 2a(xy + xz + yz )
1. Exprimer Ω = Mat(q, B ) 2. Déterminer la dimension de Ker(Ω − I 3) (on discutera selon les valeurs de a) et en déduire le polynôme caractéristique de Ω . 3. Discuter la signature de q . Pour quelles valeurs de a , la forme quadratique q est-elle dégénérée?, définie positive ?, positive ? 4. Justifier l’existence d’une base ( v1 , v2 , v3 ) de vecteurs propres de Ω orthonormée par rapport au produit scalaire usuel. Soit v = X v1 + Y v2 + Zv 3 . Exprimer q (v ) en fonction de X , Y , Z . 5. Pour quelles valeur de a, la forme quadratique q n’est pas définie mais non dégénérée ? 6. Expliciter ( v1 , v2, v3 ). Exercice 8
Soit l’équation de la conique C de l’espace affine euclidien R2 définie dans le repère orthonormé (0, e1 , e2 ) par l’équation : 5x2
2
− 6xy + 5y − 22x + 26y − 35 = 0.
Le but de cet exercice est de réduire cette équation afin de reconnaître cette conique. Soit Ψ la forme quadratique associée à la conique C définie pour tout vecteur v = (x, y) de 2
Ψ(v ) = 5x
R
2
par :
2
− 6xy + 5y .
1. Déterminer une base V = (v1 , v2 ) de R2 qui soit orthonormée pour le produit scalaire canonique de R2 et telle que la matrice de Ψ dans cette base soit diagonale. 2. Soit la matrice de passage P = mat (idR , V , E ) entre la nouvelle base V et la base canonique E . Soit v = xe 1 + ye 2 = X v1 + Y v2 . Donner la formule de changement de bases liant les vecteurs (x, y)T , ( X, Y )T et la matrice P . 3. En déduire l’équation et la nature de la conique C dans le nouveau repère (0 , v1 , v2 ). 2
