Dibuje un grafo que represente las rutas aéreas diarias de una compañía que ofrece los siguientes vuelos: todos los días hay cuatro vuelos que unen Boston y Nueva York, dos Nueva York y Miami, uno entre Miami y Madrid, cuatro Madrid y Barcelona, uno Barcelona-Boston uno Madrid-Nueva York y uno B arcelona-Nueva York. R// Utilizando las siguientes convenciones convenciones para distinguir los vértices del grafo, tenemos: Boston -> a Nueva York -> b Miami -> c Madrid -> d Barcelona -> e Se tiene que el conjunto de vértices del grafo es: {} } Y las aristas { } }
Segunda Forma:
¿Cuántas aristas tiene un grafo simple si sus vértices tienen los siguientes grados 4, 3, 3, 2, 2? Realicen el dibujo. R//
Según el Teorema: “Sea G un grafo con vértices v1, v2,..., vn. Entonces la suma de los grados de todos los vértices de G es igual a dos veces el número de aristas en G”. Es decir, grad (v1) + grad (v2) + ………+ grad (vn) = 2 A, donde A es el número de aristas de G. Por lo tanto se tiene que: { }
Aplicando el teorema, se tiene que la suma de todos los grados de los vértices es: Y según el teorema, la suma de todos los grados es igual al doble de las aristas, se tiene que o sea que deben existir 7 aristas, pues:
Dibujo:
Analicen si existe un grafo simple con 5 vértices y con los siguientes grados: a) 3, 3, 3, 3, 2 b) 1, 2, 3, 4, 5 c) 1, 2, 3, 4, 4 d) 3, 4, 3, 4, 3 R// a)
3, 3, 3, 3, 2
Este grafo si es posible, ya que la suma de los grados de los vértices es par “14”, y el número de vértices del grafo, tiene grado impar “5”.
b) 1, 2, 3, 4, 5 Este grafo no es posible, ya que para cualquier grafo, el número de vértices de grado impar, (en este caso 5), debe ser par (y la suma de los grados de los vértices es 15, un número impar). b) 1, 2, 3, 4, 4 Este grafo si es posible, ya que la suma de los grados de los vértices es par “14”, y el número de vértices del grafo, tiene grado impar “5”. c) 3, 4, 3, 4, 3 Este grafo no es posible, ya que para cualquier grafo, el número de vértices de grado impar, (en este caso 5), debe ser par (y la suma de los grados de los vértices es 17, un número impar).
Dada la matriz de adyacencia de un grafo G de 5 vértices {v1, v2, v3, v4, v5}, hallen la sucesión de los grados de los vértices y el número de aristas del grafo G.
R//
Teniendo en cuenta la matriz de adyacencia, podemos deducir el grado de los vértices, sumando cada columna de la matriz. Por lo tanto se tiene que: { }
Aplicando el teorema, se tiene que la suma de todos los grados de los vértices es:
Y según el teorema, la suma de todos los grados es igual al doble de las aristas, se tiene que o sea que deben existir 7 aristas. Para hallar la sucesión de los grados de los vértices, la obtenemos ordenando en forma no decreciente los grados de todos los vértices así: 2, 2, 2, 3, 5.
Explicar con un ejemplo el algoritmo de recorrer un árbol en Orden. R// Recorrido de un árbol binario:
Si se desea manipular la información contenida en un árbol, lo primero que hay que saber es cómo se puede recorrer ese árbol, de manera que se acceda a todos los nodos del árbol solamente una vez. El recorrido completo de un árbol produce un orden lineal en la información del árbol. Este orden puede ser útil en determinadas ocasiones. Cuando se recorre un árbol se desea tratar cada nodo y cada subárbol de la misma manera. Existen entonces seis posibles formas de recorrer un árbol binario: (1) nodo - subárbol izquierdo - subárbol derecho (2) subárbol izquierdo - nodo - subárbol derecho (3) subárbol izquierdo - subárbol derecho - nodo (4) nodo - subárbol derecho - subárbol izquierdo (5) subárbol derecho - nodo - subárbol izquierdo (6) subárbol derecho - subárbol izquierdo – nodo Si se adopta el convenio de que, por razones de simetría, siempre se recorrerá antes el subárbol izquierdo que el derecho, entonces tenemos solamente tres tipos de recorrido de un árbol (los tres primeros en la lista
anterior). Estos recorridos, atendiendo a la posición en que se procesa la información del nodo, reciben, respectivamente, el nombre de recorrido prefijo, infijo y posfijo. Los tres tipos de recorrido tienen una definición m uy simple si se hace uso de una expresión recursiva de los mismos Algoritmo Prefijo Entrada Arbol arb Inicio si ( arb no es Vacio ) entonces Procesar ( Informacion de arb ) Prefijo ( Hijo izquierdo de arb ) Prefijo ( Hijo derecho de arb ) fin_si fin
Algoritmo Infijo Entrada Arbol arb Inicio si ( arb no es Vacio ) entonces Infijo ( Hijo izquierdo de arb ) Procesar ( Informacion de arb ) Infijo ( Hijo derecho de arb ) fin_si fin
Algoritmo Posfijo Entrada Arbol arb Inicio si ( arb no es Vacio ) entonces Posfijo ( Hijo izquierdo de arb ) Posfijo ( Hijo derecho de arb ) Procesar ( Informacion de arb ) fin_si fin Ejemplo: Sea el siguiente árbol binario:
Recorrido Prefijo: A B C D E F G Recorrido Infijo: C B D E A G F Recorrido Posfijo: C E D B G F A
