TBK1_Skripta_2016-17

Novi Sad, 2016.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Biblioteka Matice srpske, Novi Sad 624.012.35(075.8) Vukobratović , Vladimir Teorija betonskih konstrukcija 1 [Elektronski izvori] : skripta / Vladimir Vukobratović. - Novi Sad : V. Vukobratović, 2016 ISBN 978-86-920481-0-4 a) Betonske konstrukcije COBISS.SR-ID 309191431

Teorija betonskih konstrukcija 1

Školska godina 2016/2017

Sadržaj 1 Opšte karakteristike armiranobetonskih konstrukcija ........................................... ............................................................... ....................5 1.1 Uvod .................................................................. ................................................................................................................................... ................................................................. 5 1.2 Svojstva materijala materijala ..................................................................... ............................................................................................................. ........................................ 6 1.3 Beton................................................................. .................................................................................................................................. ................................................................. 6 1.4 Čelik za armiranje ............................................................................................................. ............................................................................................................ 13 1.5 Zaštitni sloj betona do armature ..................................................................................... 17 1.6 Raspoređivanje, oblikovanje, sidrenje i nastavljanje armature ....................................... ...................................... 22

1.6.1 Raspoređivanje armature u presecima elemenata ......................................... 22 1.6.2 Oblikovanje armature ........................................................ ...................................................................................... .............................. 23 23 1.6.3 Sidrenje armature armature .............................................................. ............................................................................................ .............................. 24 1.6.4 Nastavljanje Nastavljanje armature armature ..................................................................... ..................................................................................... ................ 28

2 Granična stanja nosivosti u armiranobetonskim konstrukcijama ............................................. 32 2.1 Uvod .................................................................. ................................................................................................................................. ............................................................... 32 2.2 Parcijalni koeficijenti koeficijenti sigurnosti sigurnosti ......................................................... ....................................................................................... .............................. 33 33

2.3 Radni dijagrami betona i čelika ........................................................................................ ....................................................................................... 33 gr aničnom stanju nosivosti ......... 35 2.4 Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanje po graničnom 2.5 Osnove proračuna armiranobetonskih konstrukcija ....................................................... 39

3 Granična nosivost preseka za uticaje uticaje momenata savijanja savijanja i normalnih normalnih sila .............................. .............................. 41 3.1 Osnovne pretpostavke pretpostavke i pojmovi pojmovi ..................................................................... ..................................................................................... ................ 41

3.2 Centrično i ekscentrično ekscentrično zatezanje (mali ekscentricitet) ekscentricitet) ................................................. 44 3.2.1 Centrično zatezanje ........................................................... ......................................................................................... .............................. 44 3.2.2 Ekscentrično zatezanje (mali ekscentricitet) ................................................... 45 3.3 Pravo čisto i složeno savijanje .......................................................................................... ......................................................................................... 46 3.3.1 Pravougaoni preseci, čisto savijanje ................................................................ 46 3.3.2 Pravougaoni preseci, složeno savijanje ........................................................... 51 3.3.3 Dvostruko armirani armirani pravougaoni pravougaoni preseci preseci ........................................................ ........................................................ 53 3.3.4 T-preseci, čisto i složeno savijanje ................................................................... 56

3.4 Ekscentrični pritisak (mali ekscentricitet) i centrični pritisak bez uticaja izvijanja .......... 63 3.4.1 Ekscentrični pritisak (mali ekscentricitet) ........................................................ 63 3.4.2 Centrični pritisak ......................................................................................... .............................................................................................. ..... 65

3



3.4.3 Primena dijagrama interakcije za dimenzionisanje.......................................... 67 3.4.4 Pravila za armiranje stubova ............................................................................ 68

4 Granično stanje nosivosti vitkih elemenata ............................................................................ 69 4.1 Uvod ................................................................................................................................. 69

4.2 Uprošćeni kriterijumi za uticaje drugog reda ................................................................... 71 4.2.1 Kriterijum vitkosti za izdvojene elemente........................................................ 71 4.2.2 Kriterijum za globalne uticaje drugog reda u konstrukcijama zgrada.............. 73 4.3 Metode analize uticaja drugog reda ................................................................................ 73 4.3.1 Metoda zasnovana na nominalnoj krutosti...................................................... 73 4.3.2 Metoda zasnovana na nominalnoj krivini ........................................................ 75 4.4 Koso savijanje stubova ..................................................................................................... 76

5 Granična nosivost preseka za uticaje transverzalnih sila i momenata torzije ............................ 78 5.1 Uvod ................................................................................................................................. 78

5.2 Dimenzionisanje poprečnih preseka prema uticajima transverzalnih sila ....................... 80 5.3 Oblikovanje armature za prijem smicanja usled transverzalnih sila ................................ 87 5.4 Dimenzionisanje poprečnih preseka prema uticajima momenata torzije ....................... 88 5.5 Oblikovanje armature za prijem smicanja usled momenata torzije ................................ 94

5.6 Dimenzionisanje poprečnih preseka izloženih istovremenom dejstvu transverzalnih sila i momenata torzije ............................................................................................................. 94 6 Duktilnost armiranobetonskih preseka .................................................................................. 97

6.1 Uvod ................................................................................................................................. 97

6.2 Odnos između momenta savijanja i krivine armiranobetonskog preseka ....................... 98 6.3 Faktori koji utiču na duktilnost armiranobetonskog preseka .......................................... 99 Prilog A - Dimenzionisanje pravougaonih preseka opterećenih na pravo čisto i složeno savijanje (klase betona C ≤ 50/60, armatura B500B).................................................................................... 101 Prilog B - Dimenzionisanje T-preseka primenom κ -postupka (klase betona C ≤ 50/60) .................... 112 Prilog C - Dijagrami interakcije za dimenzionisanje simetrično i nesimetrično armiranih pravougaonih preseka opterećenih na pravo savijanje (klase betona C ≤ 50/60, armatura B500B) ......... 129 Prilog D - Tabele i dijagrami za analizu vitkih elemenata prema odredbama SRPS EN 1992-1-1....... 142 Prilog E - Primeri armiranja greda opterećenih na savijanje i stubova ...............................................145 Literatura .................................................................................................................................150

4



1 Opšte karakteristike armiranobetonskih konstrukcija 1.1 Uvod

Armirani beton je građevinski materijal u kome beton i čelik predstavljaju monolitnu celinu. Pri tome su naponi pritiska povereni betonu, dok napone zatezanja prihvata čelik. Beton i čelik su pogodni za sprezanje zato što je moguće ostvariti njihov zajednički rad, što se pre svega odnosi na činjenicu da oni približno isto reaguju na temperaturne promene. Dodatno, beton dobro prianja uz čelik , štiti ga od korozije i od uticaja požara. Vremenski gledano, smatra se da je armirani beton građevinski materijal novijeg datuma. Pronalazač armiranog betona je Joseph-Louis Lambot. On je 1848. godine kon struisao armiranobetonski čamac koji je bio izložen 1855. godine na svetskoj izložbi u Parizu. Od tog perioda pa sve do kraja 19. veka izveden je niz konstrukcija po inženjerskoj intuiciji i bez poznavanja stvarnih osobina materijala. Kraj 19. i početak 20. veka su okarakterisani izvođenjem konstrukcija većih dimenzija i raspona, i pojavom prvih ozbiljnih naučnih radova i eksperimentalnih istraživanja. Period između 1905. godine pa sve do

danas predstavlja epohu za koju se vezuju najveća naučna dostignuća u oblasti eksperimentalnog i teorijskog istraživanja armiranog betona. Razlog za to leži i u činjenici da je u prethodnom veku došlo do naglog razvoja cementne i metalurške industrije. Armiranobetonski elementi mogu biti linijski (grede, stubovi, rešetke i okviri), površinski (ploče i zidovi) i prostorni (ljuske). Budući da je pogodan za oblikovanje, primena armiranog betona je veoma široka i vezuje se za sve oblasti gradnje: -

zgradarstvo (stambene i poslovne zgrade, zgrade za trgovinu, hoteli, bolnice, škole, verski objekti , bioskopi, pozorišta, koncertne dvorane, stanice, terminali, garaže , poljoprivredne zgrade i dr.); saobraćajna infrastruktura (pešački, drumski i železnički mostovi, vijadukti, propusti i dr.); hidrograđevinski objekti (brane, rezervoari, cevi, pristaništa, dokovi, ustave, akvadukti i dr.); sportski objekti (stadioni, hale, bazeni, skijaške skakaonice, staze za sankanje i bob i dr.); industrijski objekti (rezervoari, silosi, skladišta, hale, magacini, hangari, bunkeri, peći i dr.); geotehnički objekti (duboki i plitki temelji, potporni zidovi, kesoni, bunari i dr.); visoki objekti (dimnjaci, tornjevi, dalekovodi i dr.); podzemni objekti (tuneli, podzemni prolazi i dr.); fortifikacioni objekti (skloništa, bunkeri, utvrđenja, stražare i dr.).

Prednosti armiranog betona su: -

dobre karakteristike betona pri pritisku i čelika pri zatezanju; relativno niska cena koštanja gradnje i održavanja; otpornost na dejstvo vetra; otpornost na kratkotrajne visoke temperature (beton štiti čelik od brzog zagrevanja); dug vek trajanja (što pre svega zavisi od zaštite armature od korozije) ; mogućnost prefabrikacije elemenata i konstrukcija (serijska proizvodnja).

Nedostaci armiranog betona su: -

velika sopstvena težina (što dovodi do ograničenja raspona i osetljivosti na seizmička dejstva ); pojava prslina (što dovodi do korozije armature); izrada monolitnih armiranobetonskih konstrukcija zavisi od temperaturnih uslova okoline; velika toplotna provodljivost; slaba zvučna izolacija.

5



1.2 Svojstva materijala Svojstva materijala su predstavljena kroz karakteristične vrednosti. Karakteristična vrednost ( X k ili Rk) je vrednost svojstva materijala za koju postoji propisana verovatnoća da ne bude dostignuta u nekoj

hipotetički neograničenoj seriji ispitivanja. U opštem slučaju, ta vrednost odgovara određenom fraktilu pretpostavljene statističke raspodele. Ukoliko nije drugačije naglašeno u Evrokod standardima, fraktil iznosi 5% ili 95% (za više detalja videti SRPS EN 1990). Fraktil od 5% znači da pri ispitivanju uzoraka najviše 5% rezultata može da bude ispod propisane vrednosti (slično važi i za slučaj fraktila od 95%). U slučaju nedovoljnih statističkih podataka, nominalne vrednosti mogu biti uzete kao karakteristič ne, ili pak proračunske vrednosti mogu biti određene direktno. Svojstva materijala treba odrediti iz standardizovanih ispitivanja koja su sprovedena pod propisanim uslovima. U slučajevima kada je neophodno konvertovanje rezultata ispitivanja u vrednosti ko je mogu

biti usvojene kao reprezent ponašanja materijala, neophodno je primeniti koeficijente konverzije. Parametre krutosti konstrukcije (modul elastičnost, koeficijent tečenja), kao i koeficijent termičke dilatacije, treba prikazati preko srednjih vrednosti. Različite vrednosti treba da budu korišćene radi

uzimanja u obzir trajanja opterećenja. Proračunska vrednost svojstva materijala X d u opštem obliku može biti izražena kao: X d = η

X k

(1)

γ m

gde su: 

X k – karakteristična vrednost svojstva materijala;



η – srednja vrednost koeficijenta konverzije kojim se uzimaju u obzir uticaji zapremine i



razmere, uticaji vlage i temperature i drugi relevantni parametri; γ m – parcijalni koeficijent svojstva materijala kojim se uzimaju u obzir mogućnost nepovoljnog

odstupanja svojstva materijala od njegove karakteristične vrednosti i slučajni deo koeficijenta konverzije η. Alternativno, u odgovarajućim slučajevima, koeficijent konverzije η može da bude implicitno uzet u obzir unutar same karakteristične vrednosti, ili korišćenjem vrednosti γ M umesto γ m. Pri tome je γ M vrednost parcijalnog koeficijenta svojstva materijala koja u obzir uzima i nepouzdanost modela, kao i odstupanja u dimenzijama. Za vezu između γ M i γ m videti Poglavlje 2.2 i standard SRPS EN 1990.

1.3 Beton

Spravljanje betona se vrši upotrebom cementa (standard SRPS EN 197-1), agregata (standardi SRPS EN 12620 i SRPS EN 13055-1) i vode (standard SRPS EN 1008). Dodatno, pri spravljanju betona je moguće primenjivati i različite dodatke betonu (plastifikatori, akceleratori, retarderi, aeranti, zaptivači i dr.). Spravljanje betonske mešavine se vrši isključivo mašinskim putem, na specijalno organizovanim punktovima na gradilištu, ili u fabrikama betona. Nakon mešanja i ugrađivanja, usled p rocesa hidratacije, dolazi do očvršćavanja betona. Prema zapreminskoj masi ( ρ), u skladu sa standardom SRPS EN 206-1, razlikujemo lake betone (800 kg/m3 ≤ ρ ≤ 2000 kg/m3), betone normalne težine ( 2000 kg/m3 < ρ ≤ 2600 kg/m3) i teške betone ( ρ > 2600 kg/m3). U slučaju betona normalne težine pri proračunu konstrukcija se za nearmirani beton može upotrebiti ρ = 2400 kg/m 3, a za armirani i prednapregnuti beton ρ = 2500 kg/m3, odnosno zapreminske težine nearmiranog i armiranog betona iznose 24,0 i 25,0 kN/m3, respektivno.

6



Prema svojstvima očvrslog betona, kvalitet betonske konstrukcije je definisan sledećim parametrima ponašanja: -

-

sigurnost protiv loma pri graničnom stanju no sivosti, koju uslovljava čvrstoća betona pri pritisku, zatezanju ili savijanju; upotrebl jivost prema graničnom stanju prslina, koju uslovljava čvrstoća betona na zatezanje, i prema graničnom stanju deformacija , koju uslovljava čvrstoća betona pri savijanju, kao i presek i krutost konstrukcije; trajnost koja zavisi od otpornosti betona na agresive uticaje okoline kojima je konstrukcija izložena u toku eksploatacije.

Dakle, kvalitet betonske konstrukcije zavisi od čvrstoće betona i od određenih posebnih svojstava očvrslog betona, u slučaju da se konstrukcija nalazi u agresivnoj sredini. U projektu konstrukcije je

neophodno propisati zahtevani kvalitet betona za predviđene uslove upotrebe i tehnologiju građenja, što podrazumeva izbor klase čvrstoće betona i posebna svojstva koja treba da obezbede otpornost betona na agresivne uticaje sredine. Posebna svojstva su: vodonepropusnost, otpornost na habanje, otpornost na mraz i dr.

Čvrstoća pri pritisku Čvrstoća betona pri pritisku je os novna karakteristika betona i njena promena u toku vremena ukazuje na karakter promena svih ostalih mehaničkih i reoloških svojstava betona u toku vremena. Vremenski tok porasta čvrstoće betona pri pritisku je funkcija eksponencijalnog karaktera. Sa aspekta uslova građenja, obično je od većeg interesa porast čvrstoće betona pri pritisku pri starosti manjoj od 28 dana, ali je često od interesa i vremenski tok ove karakteristike betona pri starosti većoj od 28 dana, naročito u analizi deformacija betona pri kratkotrajnim i dugotrajnim dejstvima i proceni stvarne nosivosti elemenata i konstrukcija određene starosti. Vremenski tok porasta čvrstoće betona pri pritisku, osim od starosti betona, zavisi i od drugih faktora: vrste i količine cementa i vodocementnog faktora, dodataka betonu, uslova spravljanja i ugrađivanja, postupka negovanja, relativne vlažnosti i temperature sredine u kojoj beton očvršćava. Stoga, čvrstoća betona pri pritisku može značajno da varira.

Čvrstoća betona pri pritisku označava se klasama čvrstoće betona, koje odgovaraju karakterističnoj vrednosti čvrstoće betona pri pritisku na cilindar f ck, ili čvrstoće betona pri pritisku na kocku f ck,cube (u oba slučaja sa fraktilom od 5%), prema standardu SRPS EN 206-1. Prema standardu SRPS EN 1992-11, klase čvrstoće se zasnivaju na karakterističnoj vrednosti čvrstoće betona pri pritisku na cilindar f ck, određenoj pri starosti betona od 28 dana. Maksimalna klasa čvrstoće je definisana kao C max, i njena preporučena vrednost je C90/105. Prvi broj označava čvrstoću cilindra, a drugi broj označava čvrstoću kocke (obe vrednosti su date u MPa). Karakteristike betona različitih klasa čvrstoća su prikazane u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1.

Ispitivanje uzoraka se vrši u skladu sa odredbama standarda SRPS EN 12390-3 . Uzorci se mašinskim putem dovode do stanja loma. Maksimalno opterećenje koje je zabeleženo pre loma služi za određivanje čvrstoće betona na pritisak. Karakteristike uređaja za ispitivanje (presa) moraju biti u skladu sa standardom SRPS EN 12390-4. Karakteristike uzoraka korišćenih pri ispitivanju moraju zadovoljavati odredbe standarda SRPS EN 12350-1, SRPS EN 12390-1, SRPS EN 12390-2, ili SRPS EN 12504-1. Ako dimenzije uzoraka ne odgovaraju zahtevima navedenim u SRPS EN 12390-1 zato što prekoračuju odgovarajuće tolerancije, treba ih odbiti, prilagoditi (Aneks A standarda SRPS EN 123901), ili testirati u skladu sa Aneksom B standarda SRPS EN 12390-1. Pri ispitivanju uzoraka najčešće koriste se standardne nominalne vrednosti. Prečnik i visina cilindra iznose 150 i 300 mm, respektivno,

7



dok stranica kocke iznosi 150 mm (prikazani na Slici 1). Za više detalja o mogućim dimenzijama uzoraka videti standard SRPS EN 12390-1.

Slika 1 – Standardni uzorci koji se koriste za ispitivanje čvrstoće betona pri pritisku

U nekim slučajevima je potrebno oceniti čvrstoću betona pri pritisku pri staro sti manjoj ili većoj od 28 dana, na bazi uzoraka skladištenih u uslovima propisanim u standardu SRPS EN 12390. Ako je čvrstoća betona pri pritisku određena pri starosti t > 28 dana, proračunsku vrednost čvrstoće (o čemu će kasnije biti reči) treba redukovati koeficijento m k t, za koji se preporučuje vrednost 0,85. Dodatno, ako je potrebno propisati vrednosti čvrstoće betona pri pritisku za različite starosti betona ( f ck(t )), mogu se koristiti sledeće relacije (tačnije vrednosti treba utvrditi ispitivanjem, posebno za sluča j t ≤ 3 dana): fck t  = fcm t   8 MPa,

3 < t < 28 dana

(2a)

fck t  = fck ,

t  28 dana

(2b)

fcm t  = βcc t  f cm

βcc t  = exp

 1  28 / s

(2c) t

1/2  

(2d)

gde su: 

f cm(t ) – srednja vrednost čvrstoće betona pri pritisku pri starosti od t dana;



f cm – srednja vrednost čvrstoće betona pri pritisku pri starosti od 28 dana (iznosi f ck + 8 MPa,

  

vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1); βcc(t ) – koeficijent koji zavisi od starosti betona t (prikazan na Slici 2); t – starost betona u danima; s – koeficijent koji zavisi od vrste cementa i iznosi 0,20 za brzo očvršćavajuće cemente visoke čvrstoće (klasa R), 0,25 za normaln e i brzo očvršćavajuće cemente (klasa N), ili 0,38 za sporo očvršćavajuće cemente (klasa S). Za više detalja videti standard SRPS EN 1992-1-1.

Slika 2 – Zavisnost čvrstoće betona pri pritisku od starosti betona (koeficijent βcc(t ))

8



Čvrstoća pri zatezanju Čvrstoća betona pri zatezanju je znatno manja od čvrstoće betona pri pritisku, u proseku čak i do 10 puta, pri čemu taj odnos raste sa porastom čvrstoće betona pri pritisku. Čvrstoća betona pri zatezanju zavisi od niza parametara: vrste i količine cementa i vodocementnog faktora, granulometrijskog sastava, uslova i načina ugrađivanja i negovanja betona, relativne vlažnosti i temperature sredine, i starosti betona u trenutku ispitivanja. Budući da uglavnom od istih parametara zavisi i čvrstoća betona pri pritisku, uobičajeno je da se uspostavi veza između čvrstoća betona pri pritis ku i zatezanju. O ovome će kasnije biti više reči. Generalno, postoje tri eksperimentalna načina utvrđivanja čvrstoće betona pri zatezanju: opitom direktnog zatezanja betonskih uzoraka, ispitivanjem betonskih uzoraka savijanjem do loma (standard SRPS EN 12390-5) i izlaganjem betonskih uzoraka linijskom pritisku – ispitivanje cepanjem (standard SRPS EN 12390-6). Ispitivanje uzoraka savijanjem do loma se prema standardu SRPS EN 12390-5 vrši na prizmatičnim uzorcima kvadratnog poprečnog preseka (moguće dimenzije date u standardu SRPS EN 12390-1), pri čemu raspon treba da bude jednak trostrukoj visini poprečnog preseka (Slika 3). Ukupna dužina uzorka ne treba da bude manja od 3,5 visine poprečnog preseka. Uzorci se savijaju do loma koncentrisanom silom u sredini raspona, ili pak sa dve koncentrisane sile u trećinama raspona. U oba slučaja se čvrstoća

betona pri zatezanju savijanjem određuje iz dostignutog momenta loma, uz pretpostavku da je sve do trenutka loma ponašanje betona elastično, kao i da je modul elastičnost betona pri zatezanju isti kao i pri pritisku. S obzirom da beton pri zatezanju znatno pre loma prestaje da se ponaša linearno, dobijene vrednosti čvrstoće su samo konvencionalne, budući da su znatno veće od stvarne čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju.

Slika 3 – Ispitivanje čvrstoće betona pri zatezanju savijanjem Ispitivanje uzoraka cepanjem se prema standardu SRPS EN 12390-6 vrši na uzorcima cilindričnog ili kockastog oblika, iako se kao referentni uzorak preporučuje cilindrični prečnika 150 mm i dužine 300 mm (Slika 4). Rezultati koji se dobijaju ovakvim ispitivanjem daju nešto veće vrednosti od realnih, te zbog toga standard SRPS EN 1992-1-1 preporučuje da bi dobijene vrednosti čvrstoće na zatezanje trebalo pomnožiti koeficijentom 0,9 kako bi se dobili realniji rezultati. Generalno gledano, disperzija rezultata pri eksperimentalnom određivanju čvrstoće betona je mnogo veća u slučaju zatezanja nego u slučaju pritiska. Osim toga, treba imati u vidu da se u realnim uslovima značajan deo laboratorijski

utvrđene čvrstoće betona pri zatezanju može iscrpiti uslovima izvođenja (prekidi betoniranja), ili naponima koji nastaju usled neravnomernog i sprečenog skupljanja, od temperaturnih efekata hidratacione toplote ili od spoljašnjih temperaturnih dejstava.

9



Slika 4 – Ispitivanje čvrstoće betona pri zatezanju cepanjem

Ako se ne raspolaže rezultatima ispitivanja čvrstoće betona pri zatezanju, za srednje vrednosti čvrstoće betona pri zatezanju f ctm, u zavisnosti od klase čvrstoće betona, standard SRPS EN 1992-1-1 u Tabeli 3.1 preporučuje sledeće vrednosti: 2/3

za klase čvrstoće  C50 / 60

(3a)

fctm = 2,12ln1 +  f cm / 10  , za klase čvrstoće > C50/60

(3b)

fctm = 0, 30 f ck ,

Rezultati dobijeni iz jednačine (3a) su prikazani na Slici 5.

Slika 5 – Zavisnost srednje vrednosti čvrstoće betona pri zatezanju f ctm od karakteristične vrednosti čvrstoće betona pri pritisku f ck za klase čvrstoće ≤ C50/60

Veze date jednačinama (3a) i (3b) su u saglasnosti sa eksperimentalno utvrđenim rezultatima. Imajući u vidu prilično velike varijaci je stvarnih vrednosti čvrstoće betona na zatezanje , preporuka je da se vrednosti date gornjim izrazima koriste uzimajući u obzir odstupanja od ±30%. Iz tog razloga su u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1 date vrednosti čvrstoće na zatezanje f ctk,0,05 (fraktil od 5%) i f ctk,0,95 (fraktil od 95%), koje iznose 0,7 f ctm i 1,3 f ctm, respektivno. Za proračun graničnih stanja nosivosti se koristi vrednost f ctk,0,05, za proračun graničnih stanja upotrebljivosti se koristi srednja vrednost f ctm (ili f ctm,fl, o čemu će biti reči ispod), dok se za proračun uticaja indirektnih dejstava, pre pojave prslina, koriste vrednosti f ctk,0,95.

Kao što je gore navedeno, u pojedinim slučajevima je u proračunu potrebno koristiti čvrstoću betona pri zatezanju savijanjem f ctm,fl. U slučaju da se ne raspolaže eksperimentalnim podacima, može se iskoristiti veza koju predlaže standard SRPS EN 1992-1-1:

10



fctm,fl = max 1,6  h / 1000 fctm ; f ctm 

(4)

gde su:  

h – ukupna visina elementa u mm; f ctm – srednja vrednost čvrstoće betona pri aksijalnom zatezanju (vrednosti date u Tabeli 3.1

standarda SRPS EN 1992-1-1).

Odnos dat gornjim izrazom važi i za karakteristične vrednosti čvrstoće pri zatezanju. Čvrstoća betona pri zatezanju pri starosti različitoj od 28 dana određuje se iz sledećeg izraza: α

fctm  t  = βcc t   f ctm

(5)

gde su:  

βcc(t ) – koeficijent koji zavisi od starosti betona t , jednačina (2d) data iznad; α – koeficijent koji je jednak 1 u slučaju da je t < 28 dana, i 2/3 za slučaj da je t ≥ 28 dana.

Deformacije betona pri kratkotrajnim dejstvima – elastične deformacije

Elastične deformacije betona zavise od njegovog sastava, a naročito od agregata. Statički modul elastičnosti pri jednoaksijalnom pritisku predstavlja jednu od najznačajnijih karakteristika betona. Modul elastičnosti betona zavisi od modula elastičnosti njegovih komponenti. Približne vrednosti modula elastičnosti betona E cm, koji se definiše kao sekantni modul između napona σ c=0 i σ c=0,4 f cm (Slika 6), za betone sa agregatom od kvarcita date su za različite klase čvrstoće betona u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1. U navedenoj tabeli se takođe nalazi i analitička relacija između vrednosti E cm i f cm (korišćena za prikaz na Slici 7). Za agregate od krečnjaka i peščara navedene vrednosti treba smanjiti za 10% i 30%, respektivno, dok ih za bazaltne agregate treba povećati za 20%. Zavisnost srednje vrednosti modula elastičnosti betona (E cm) od karakteristične vrednosti čvrstoće betona pri pritisku na cilindar f ck data je na Slici 7.

Slika 6 – Dijagram napon-dilatacija za nelinearnu analizu

Promena modula elastičnosti betona u toku vremena se može odrediti iz izraza: Ecm t  =  fcm t  / fcm 

0,3

Ecm

(6)

11



gde su: 

E cm(t ) i f cm(t ) – vrednosti pri starosti od t dana;



E cm i f cm – vrednosti određene pri starosti od 28 dana.

Slika 7 – Zavisnost srednje vrednosti modula elastičnosti betona E cm od karakteristične vrednosti čvrstoće betona pri pritisku na cilindar f ck

Može se smatrati da vrednost Poasonovog koeficijenta iznosi 0,2 za beton bez prslina, i 0 za beton sa prslinama. Ukoliko se ne raspolaže tačnijim podacima, može se smatrati da koeficijent linearne termičke dilatacije iznosi 10-5 ⁰C-1. Treba imati u vidu da koeficijent linearne termičke dilatacije zavisi od vrste agregata i od stanja vlažnosti betona, te se stoga napominje da njegova vrednost može značajno da varira. Deformacije betona zavisne od vremena – skupljanje i tečenje (osnovni pojmovi)

Skupljanje i tečenje betona su deformacije zavisne od vremena. Pod skupljanjem betona smatra se postepeno smanjenje njegove zapremine usled nastavka procesa hidratacije cementa i promene vlažnosti cementnog tela, u zavisnosti od relativne vlažnost i i temperature sredine. Skupljanje betona je proces koji se odvija nezavisno od spoljašnjeg opterećenja. Usled nehomogenosti strukture samog

betona, skupljanje ne može potpuno slobodno da se odvija već je unutar betona neravnomerno, što dovodi do pojave unutrašnjih napona. Smetnju slobodnom skupljanju predstavlja i armatura, kao i eventualne veze na osloncima i konturi elementa, odnosno konstrukcije. S druge strane, tečenje očvrslog betona predstavlja pojavu postepenog porasta elastičnih deformacija betona koje nastaju u trenutku opterećenja, pod daljim delovanjem dugotrajnih opterećenja. Skupljanje i tečenje kao pojave imaju veoma sličan karakter i zavise praktično od istih parametara, na približno isti način. Osnovni parametri koji utiču na skupljanje i tečenje betona su količina i vrsta cementa i vodocementni faktor, granulometrijski sastav, relativna vlažnost i temperatura sredine, oblik i dimenzije poprečnog preseka betonskog elementa i vremenski interval u kome se ove deformacije posmatraju. U slučaju tečenja betona, veoma je važna i starost betona u trenutku opterećenja. Skupljanje i tečenje betona su procesi koji se u početku relativno brzo razvijaju, a potom se u toku vremena, brzina deformacije betona smanjuje. Posle relativno dugog vremena, skupljanje i tečenje asimptotski teže konačnim vrednostima.

Proces skupljanja betona počinje od trenutka prestanka negovanja, pa se stoga trajanje skupljanja za nekoliko dana razlikuje od starosti betona. Odlaganje početka skupljanja je veoma značajno jer se time pojava napona zatezanja usled neravnomernog procesa skupljanja odlaže za kasniji period, kada će već biti ostvaren dovoljan priraštaj čvrstoće betona na zatezanje – beton će biti u stanju da prihvati

12



napone usled skupljanja bez pojave prslina. Treba napomenuti da je skupljanje delimično reverzibilan proces – pri povećanju sadržaja vode povećava se zapremina betona. Ta pojava se naziva bubrenje. Na slici 8 su prikazane ukupne kratkotrajne i dugotrajne dilatacije od skupljanja i tečenja linijskog betonskog elementa pri konstantnom jednoaksijalnom naponu. Početak skupljanja betona (prestanak nege) je označen sa t 0,s, dok t 0 i t 1 predstavljaju starost betona u trenutku početka i prestanka delovanja konstantnog napona σ , respektivno. Dovoljno dugo vreme u kome vremenske dilatacije betona teže konačnim vrednostima je označeno sa t →∞.

Treba zapaziti da je trenutna, elastična dilatacija u trenutku t 0 nešto veća od dilatacije u trenutku t 1. Razlog leži u porastu modula elastičnosti betona u toku vremena. Uticaj starosti betona se ogleda i u tome što bi konačna dilatacija tečenja betona opterećenog ranije (npr. u trenutku t 0) bila veća od konačne dilatacije tečenja betona opterećenog (ili rasterećenog) u trenutku t 1. Odatle i dolazi do nepovratnog (ireverzibilnog) visokoplastičnog dela dilatacije tečenja rasterećenog betona. Na slici 8 je isprekidanim linijama prikazan i eventualni dalji tok dilatacija za slučaj da ne dođe do rasterećenja, odnosno da u betonu deluje konstantan napon do vremena t →∞.

Slika 8 – Ukupne kratkotrajne i dugotrajne dilatacije od skupljanja i tečenja linijskog betonskog elementa pod konstantnim jednoaksijalnim naponom u intervalu vremena (t 1 – t 0)

Skupljanje i tečenje betona imaju veliki uticaj na stvarno ponašanje armiranobetonskih elemenata i konstrukcija u toku vremena pri dugotrajnim dejstvima. U slučaju graničnih stanja nosivosti, kada u betonu i čeliku nastaju relativo velike post -elastične dilatacije, uticaj skupljanja i tečenja je u većini slučajeva mali (izuzeci su slučajevi u kojima efekti drugog reda u elementima i konstrukcijama ne mogu biti zanemareni). S druge strane, u slučaju graničnih stanja upotrebljivosti (tj. u oblasti eksploatacionih stanja), uticaju skupljanja i tečenja betona su od posebnog značaja. Imajući u vidu da će granična stanja upotrebljivosti biti razmatrana u okviru predmeta Teorija betonskih konstrukcija 2, nastavak priče o skupljanju i tečenju betona će biti dat u ma terijalu vezanom za taj predmet. 1.4 Čelik za armiranje

Uredba o tehničkim i drugim zahtevima za čelik za armiranje betona („Sl. glasnik RS“, br. 35/2015) propisuje zahteve koje u pogledu kvaliteta mora ispunjavati čelik za armiranje. Čelik za armiranje je valjani, vučeni, rebrasti ili urebreni šipkasti čelik , ili čelik u koturovima namenjenim za odmotavanje, koji se koristi za armiranje betonskih konstrukcija u obliku šipki, zavarenih mreža i rešetkastih nosača.

13



Uredba je u skladu sa odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 i SRPS EN 10080. Zapreminska masa betonskog čelika u skladu sa standardom SRPS EN 1992-1-1 iznosi 7850 kg/m 3 (zapreminska težina iznosi 78,5 kN/m3), a proračunska vrednost modula elastičnosti E s iznosi 200 GPa. Koeficijenti termičke dilatacije za sve čelike iznosi 10-5 ⁰C-1. Prvenstvena uloga armature je obezbeđenje nosivosti armiranobetonskih elemenata i konstrukcija prihvatanjem sila zatezanja. Osim toga, armatura u pritisnutim zonama takođe utiče na nosivost u

određenoj meri, naročito kod stubova. U pritisnutim zonama armatura smanjuje uticaj tečenja i skupljanja betona, čime značajno utiče na deform acije elemenata i konstrukcija. Konačno, armatura ima zadatak da limitira širinu prslina. Pretpostavke proračunskih modela se obezbeđuju pr avilnim rasporedom i vođenjem armature u elementima i konstrukcijama, o čemu će kasnije biti više reči.

Slika 9 – Šipka, zavarena mreža i rešetkasti nosač

Ponašanje armaturnog čelika definišu sledeća svojstva: -

karakteristična vrednost granice razvlačenja f yk (ili f 0,2k); maksimalna vrednost stvarne granice razvlačenja ( f y,max); karakteristična vrednost čvrstoće pri zatezanju ( f tk); duktilnost; podobnost za savijanje; prionljivost ( f R);

dimenzije poprečnog preseka i tolerancije ; čvrstoća na zamor; zavarljivost;

čvrstoća pri smicanju i nosivost vara za zavarene armaturne mreže i rešetkaste nosače .

U nastavku teksta će navedena svojstva biti posebno razmatrana. Napominje se da neće biti reči o metodama ispitivanja armaturnog čelika , a detalji o tome se mogu naći u standardu SRPS EN 10080. Iako odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1 važe za propisani opsek karakteristične granice razvlačenja f yk između 400 i 600 MPa , vrednost f yk (ili f 0,2k) koju treba koristiti pri proračunu iznosi 500 MPa, što odgovara odredbama standarda SRPS EN 10080. U skladu sa navedenim standardom, u proizvodnji

betonskog čelika koristi se čelik B500. U zavisnosti od oblika i rasporeda (nagiba) poprečnih rebara u odnosu na podužnu osu, betonski čelik B500 dobija dodatnu oznaku, te može biti B500A, B500B i B500C (Slika 10). Šipke čelika B500A imaju dva ili više nizova paralelnih poprečnih rebara sa istim uglom u odnosu na uzdužnu osu šipke, šipke čelika B500B imaju dva ili više nizova poprečnih rebara, od kojih jedan ima drugačiji ugao u odnosu na druge, dok šipke čelika B500C imaju isti raspored nizova rebara kao i B500B, ali u svakom nizu rebara, rebra imaju različite uglove u odnosu na podužnu osu.

Slika 10 – Raspored poprečnih rebara na šipkama

14



Karakteristična vrednost granice razvlačenja f yk (ili vrednost konvencionalne granice razvlačenja pri kojoj je nepovratna dilatacija jednaka 0,2%, f 0,2k) i karakteristična vrednost čvrstoće pri zatezanju f tk, definisane su kao karakteristične vrednosti sile na granici razvlačenja i maksimalne sile pri direktnom aksijalnom zatezanju podeljene sa nominalnom površinom poprečnog preseka , respektivno. Treba imati u vidu da maksimalna vrednost stvarne granice razvlačenja f y,max ne sme biti veća od 1,3 f yk. Armatura mora posedovati adekvatnu duktilnost, koja je definisana odnosom ( f t/ f y)k i dilatacijom pri maksimalnoj sili εuk. Na Slici 11 su prikazane zavisnosti napona i dilatacija za tipič an vruće valjani i hladno oblikovani čelik. Čelik B500A je hladno oblikovan i ima normalnu duktilnost, dok su čelici B500B i B500C vruće valjani i imaju visoku duktilnost. Vrednosti za ( f t/ f y)k i εuk za navedene čelike su prikazane u Tabeli 1.

Slika 11 – Dijagrami napon-dilatacija za tipične betonske čelike Tabela 1 – Karakteristike betonskog čelika

Karakteristike površine rebrastih šipki moraju biti takve da obezbeđuju adekvatno prianjanje betona i armature. Može se pretpostaviti da je prianjanje adekvatno ako armatura zadovoljava propisanu vrednost f R, definisanu kao površinu projekcije svih rebara na ravan upravnu na podužnu osu šipke ili žice, podeljenu sa rastojanjem rebara i nominalnim obimom. Vrednosti f R prema standardu SRPS EN 10080 su date u Tabeli 2.

Armatura mora raspolagati adekvatnom podobnošću za savij anje kako bi mogli da se koriste valjci za savijanje sa minimalnim prečnicima koji su propisani u standardu SRPS EN 1992-1-1, kao i da bi se omogućilo ispravljanje armature. O oblikovanju armature će nešto kasnije biti više reči .

15



Tabela 2 – Karakteristične relativne površine rebara armaturnih šipki

Postupci zavarivanja armature moraju biti u saglasnosti sa standardima SRPS EN 1992-1-1, EN ISO 17660 i SRPS EN 10080. Nosivost varova zavarene armaturne mreže na dužini ankerovanja mora biti dovoljna za prihvatanje proračunskih sila. Korektno je pretpostaviti da je nosivost varova zavarene

mreže adekvatna ako svaki zavareni spoj može da prihvati silu smicanja koja iznosi najmanje 25% sile ekvivalentne proizvodu propisane karakteristične vrednosti granice razvlačenja i nominalne površine poprečnog preseka žice. U slučaju mreža formiranih od jednostruke žice različitog prečnika ta sila se određuje prema žici većeg prečnika, dok se u slučaju mreža koje su u jednom pravcu formirane od dvostruke žice u obzir uzima površina jedne žice . Kada se zahteva čvrstoća na zamor, njenu vrednost treba proveriti u skladu sa odredbama standarda SRPS EN 10080. U Tabeli 3 su dati preporučeni nazivni prečnici, poprečne površine i mase po dužnom metru betonskog čelika, kao i specifikacija proizvoda koji su dostupni prema standardu SRPS EN 10080. Tabela 3 – Preporučeni nazivni prečnici, poprečne površine i mase po dužnom metru

Zavarene armaturne mreže predstavljaju raspored uzdužnih i poprečnih šipki betonskog čelika, valjane ili vučene žice istog ili različitog nazivnog prečnika i dužine, koje su raspoređene pod pravim uglom

16



jedna u odnosu na drugu i spojene elektrootpornim zavarivanjem. Zavarene mreže mogu biti izrađene i od dvostrukih žica, ali samo u jednom pravcu.

Postoje dva tipa armaturnih mreža, tip R i tip Q. Mreže tipa R imaju statičku armaturu u podužnom pravcu i konstrukcijsku armaturu u poprečnom pravcu, okna su pravougaonog oblika, a prečnici armature su različiti u dva pravca. Mreže tipa Q imaju statičku armaturu u oba pravca, okna su obično kvadratnog oblika, a prečnici armature su u oba pravca isti. Na Slici 12 su prikazane geometrijske karakteristike zavarene armaturne mreže.

Slika 12 – Geometrijske karakteristike zavarene armaturne mreže

Rešetkasti nosači su dvodimenzionalne ili trodimenzionalne žičane konstrukcije od betonskog čelika, valjane ili vučene žice, a sastoje se od jedne gornje i jedne ili više donjih šipki međusobno spojenih kontinualnim ili diskontinualnim dijagonalama koje su zavarene ili mehanički sastavljene sa šipkama (Slika 13).

Slika 13 – Prikaz osnovnih elemenata rešetkastih nosača

1.5 Zaštitni sloj betona do armature

Korektno projektovan i kvalitetno izveden zaštitni sloj betona do armature je osnovna, a uglavnom i jedina dugotrajna zaštita armature od korozije. Sve mere za obezbeđenje kvaliteta zaštitnog sloja betona treba smatrati izuzetno značajnim za trajnost armiranobetonskih konstrukcija. Treba imati u vidu da korektno izveden zaštitni sloj takođe poboljšava usl ove prianjanja betona i armature i smanjuje

17



opasnost od izuzetno neprijatnih podužnih prslina u pravcu glav ne armature. Međutim, ni preterano veliki zaštitni sloj nije povoljan , jer povećava opasnost od nastanka prslina usled skupljanja betona i temperaturnih promena, a povećava širinu prslina od momenata savijanja. Konačno, treba istaći da zaštitni sloj betona do armature ima značajnu ulogu u uslovima požarnog dejstva. Smatra se da zaštitni sloj debljine 3 do 3,5 cm obezbeđuje standardnu 90 -minutnu otpornost na dejstvo požara, što naravno ne isključuje potrebe detaljnije analize požarnog dejstva. Smatra se da trajna konstrukcija mora zadovoljiti zahteve upotrebljivosti, nostivosti i stabilnosti u toku

svog proračunskog eksploatacionog veka, bez značajnog gubitka sposobnosti da služi svojoj nameni i bez preterano velikih nepredviđenih troškova održavanja. Kada se predviđa zaštita konstrukcije, ona mora biti usvojena na osnovu razmatranja projektovane namene i proračunskog eksploataciong veka konstrukcije, programa održavanja i dejstava na konstrukciju. Uslovi izloženosti su hemijski i fizički uslovi sredine kojima je konstrukcija izložena pored uticaja ostalih mehaničkih dejstava. Ti uslovi su definisani u Tabeli 4.1 standarda SRPS EN 1992-1-1 (Tabela 4). Osim toga, u obzir treba uzeti i posebne oblike agresivnih ili indirektnih dejstava, uključujući hemijsku i fizičku agresiju (za više detalja videti standard SRPS EN 1992-1-1). Tabela 4 – Klase izloženosti u zavisnosti od uslova sredine

(nastavak Tabele 4 na sledećoj strani)

18



Indikativne klase čvrstoće betona koje se preporučuju za pojedine klase izloženosti uticajima sredine su date u Tabeli 5. Na osnovu uslova izloženosti može da se usvoji klasa čvrstoće viša od one koja je potrebna prema zahtevima proračuna konstrukcije. Tabela 5 – Indikativne klase čvrstoće betona s obzirom na trajnost

Debljina zaštitnog sloja je rastojanje između površine armature koja je najbliža površini betona i najbliže površine betona. Nominalni zaštitni sloj mora biti propisan na planovima armiranja, i definiše se kao minimalni zaštitni sloj cmin uvećan za toleranciju koja se uzima u obzir u proračunu Δ cdev. Stoga, važi sledeća relacija:

19


Školska godina 2016/2017 c

nom

= cmin

 Δc

dev

(7)

Minimalnim zaštitnim slojem se obezbeđuje siguran prenos sile prianjanja betona i armature, zaštita armature od korozije (trajnost) i adekvatna otpornost na dejstvo požara. Usled zadovoljenja uslova prianjanja betona i armature i zahteva koji proizilaze iz uslova sredine, minimalni zaštitni sloj treba odrediti kao:



cmin  max cmin,b ;

cmin,dur  Δcdur,  Δcdur,st  Δcdur,add ;



10 mm

(8)

gde su: 

cmin,b – minimalni zaštitni sloj s obzirom na uslove prianjanja (preporuke date u Tabeli 6);



cmin,dur – minimalni zaštitni sloj s obzirom na uslove sredine (preporuke date u Tabeli 7);

  

Δcdur,γ – dodatni element sigurnosti; Δcdur,st – smanjenje minimalnog zaštitnog sloja kada se koristi nerđajući čelik; Δcdur,add – smanjenje minimalnog zaštitnog sloja kada se koristi dodatna zaštita.

Tabela 6 – Minimalni zaštitni sloj betona cmin,b s obzirom na uslove prianjanja betona i armature

Tabela 7 – Minimalni zaštitni sloj betona cmin,dur s obzirom na uslove sredine za betonski čelik

Polazeći od pretpostavke da je preporučena klasa konstrukcije S4 (proračunski eksploatacioni vek od 50 godina) za indikativne klase čvrstoće betona date u Tabeli 5, preporučene su moguće modifikacije klase konstrukcije u Tabeli 8. Tabela 8 – Preporučene modifikacije klase konstrukcije

Za napomene 1) i 2) iz Tabele 8 videti standard SRPS EN 1992-1-1.

20



Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 preporčene vrednosti za Δ cdur,γ, Δcdur,st i Δcdur,add iznose 0 mm. Ukoliko se beton ugrađuje na licu mesta u kontaktu sa drugim betonskim elementima (ranije

ugrađenim na gradilištu ili prefabrikovanim), minimalni zaštitni sloj betona do armature cmin može da se smanji na vrednost cmin,b, pod uslovom da je kl asa čvrstoće betona najmanje C25/30, vreme za koje je kontaktna površina betona bila izložena uticajima spoljašnje sredine kraće od 28 dana, kao i da je kontakna površina ohrapavljena. Za površine betona koje nisu ravne (na primer površine betona sa vidlji vom strukturom agregata) minimalni zaštitni sloj betona cmin treba povećati za najmanje 5 mm. U slučaju da se beton ugrađuje preko pripremljene podloge (uključujući i sloj mršavog betona ili hidroizolaciju) povećanje minimalnog zaštitnog sloja treba da iznosi najmanje 40 mm, a u slučaju za beton koji se ugrađuje direktno na tlo povećanje minimalnog zaštitnog sloja treba da iznosi najmanje 75 mm. U pogledu abrazije betona posebnu pažnju treba obratiti na agregat (u skladu sa standardom SRPS EN 206-1). Jedna od mogućnosti je da se abrazija betona uzme u obzir povećanjem zaštitnog sloja, kada je potrebno minimalni zaštitni sloj cmin povećati za 5 mm u slučaju umerene abrazije, za 10 mm u slučaju jake abrazije, i za 15 mm za klasu ekstremne abrazije. Za detalje videti standard SRPS EN 19921-1.

Kao što se vidi iz jednačine (7), pri određivanu nominalnog zaštitnog sloja cnom mora se predvideti povećanje minimalnog zaštitnog sloja cmin kako bi se u obzir uzela odstupanja do kojih može doći pri izvođenju (Δcdev). Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1- 1 preporučena vrednost za Δ cdev iznosi 10 mm. Vrednosti Δcdev za zgrade su date u standardu SRPS EN 13670, i te vrednosti su obično dovoljne i za druge vrste konstrukcija. U nekim slučajevima tolerancija, a time i dodatno povećanje minimalnog zaštitnog sloja Δcdev, može da se smanji: -

kada se elementi i konstrukcije proizvode u sistemu u kojem se obezbeđuje kvalitet, i ako kontrole

-

uključuju i merenje zaštitnog sloja betona, proračunsko povećanje zaštitnog sloja zbog odstupanja u izvođenju može da se smanji na 5 mm ≤ Δcdev ≤ 10 mm; kada postoji sigurnost da se za kontrolu koristi veoma tačan uređaj za merenje i kada se odbacuju elementi koji ne zadovoljavaju propisane uslove (na primer prefabrikovani elementi), proračunsko povećanje zaštitnog sloja zbog odstupanja u izvođenju može da se smanji na 0 mm ≤ Δ cdev ≤ 10 mm.

Zaštitni sloj betona se obezbeđuje koriščenjem posebnih elemenata koji se nazivaju distanceri. Oni mogu biti izrađeni od cementnog maltera, plastičnih materijala i čelika. Iako distanceri od cementnog maltera imaju određene prednosti nad ostalim vrstama distancera koji se koriste u praksi, plastični distanceri su najčešće primenjivani u praksi. Kada su u pitanju čelični distanceri, treba napomenuti da njihova primena zahteva određenu zaštitu na mestima gde su u dodiru sa spoljašnjom okolinom. Na Slici 14 su pokazane neke vrste distancera koji se primenjuju u praksi.

Slika 14 – Različite vrste distancera za obezbeđenje zaštitnog sloja betona do armature

21



1.6 Raspoređivanje, oblikovanje, sidrenje i nastavljanje armature

Pravilno konstruisanje armature je od izuzetnog značaja, kako za obezbeđenje projektovanih svojstava armiranobetonskih elemenata i konstrukcija u graničnim stanjima nosivosti i upotrebljivosti, tako i za obezbeđenje njihove trajnosti. Konstruisanje armature je veoma značajno i za obezbeđenje uslova za kvalitetnu i efikasnu ugradnju, i za postizanje potrebnog kvaliteta betona. Projektovana armatura

treba da bude po obliku jednostavna, kako bi se lakše izradila i montirala, i sigurno i tačno ugradila u projektovani položaj. Opšti princip kojim se treba voditi u izboru i konstruisanju armature počiva na ekonomskoj i konstrukterskoj logici da u elementu i konstrukciji nikada ne sme biti manje armature nego što je potrebno za postizanje nosivosti, funkcionalnosti i trajnosti, a li ne treba da je bude ni više

nego što je to zaista potrebno. 1.6.1 Raspoređivanje armature u presecima elemenata

Osnovni uslov za ispravan izbor profila i raspored sračunate potrebne armature u poprečnom preseku je obezbeđenje uslova za efikasno ugrađivanje betona i postizanje kompaktnog zaštitnog sloja betona potrebne debljine i dobrih svojstava prianjanja betona i armature. S obzirom na neophodan uslov pravilne i uspešne ugradnje betona u armiranobetonski element, u standardu SRPS EN 1992-1-1 definisano je minimalno horizontalno i vertikalno čisto rastojanje između šipki (ah i av na Slici 15). Ono ne sme biti manje od prečnika šipke Ø, zbira d g + 5 mm ( d g je najveća dimenzija agregata) ili od 20 mm.

Kada su šipke raspoređene u više horizontalnih slojeva, šipke u svakom sloju treba postaviti vertikalno jednu iznad druge. Dovoljnim prostorom između susednih vertikalnih kolona šipki obezbeđuje se pristup vibratorima i dobro zbijanje betona. Šipke armature koje se nastavljaju preklapanjem moraju biti u neposrednom kontaktu na dužini preklapanja, o čemu će nešto kasnije biti više reči.

Slika 15 – Horizontalno i vertikalno čisto rastojanje između šipki

Pravila navedena za pojedinačne šipke načelno važe i za svežnjeve šipki (Slika 16). Sve šipke u svežnju treba da su istih karakteristika (vrste i klase). Šipke različitih prečnika mogu biti u istom svežnju pod uslovom da odnos njihovih prečnika nije veći od 1,7. U praksi se svežnjevi koriste radi bolje ugradnje betona, uz obezbeđenje svih zahteva vezanih za korektno ugrađivanje. U svežnju se može naći najviše 4 šipke tako da se u istoj ravni ne nalaze više od dva profila jed an uz drugi.

Slika 16 – Svežnjevi šipki

U proračunu se svežanj šipki zamenjuje nominalnom šipkom koja ima istu površinu poprečnog preseka i težište kao svežanj šipki. Ekvivalentni prečnik nominalne šipke je označen sa Øn, i jednak je proizvodu Ønb0,5, pri čemu je nb broj šipki u svežnju. Vrednost Øn je ograničena na 55 mm, dok je nb ograničen na

22



četiri za vertikalne pritisnute šipke i šipke na dužini nastavljanja preklapanjem, i na tri u svim drugim slučajevima. Kao što je iznad rečeno, za rastojanje svežnjeva šipki važe ista pravila kao za rastojanje pojedinačnih šipki. Pri tome, treba koristiti ekvivalentni prečnik Øn, ali čisto rastojanje između svežn jeva treba da se meri od stvarne spoljašnje konture svežnja š ipki (Slika 17). Slično, zaštitni sloj betona treba da se meri od stvarne spoljašnje konture svežnja i ne treba da bude manji od Øn. Kada su dve šipke postavljene jedna iznad druge tako da se dodiruju, i kada su uslovi prianjanja betona i čelika dobri , nije potrebno primenjivati pravila za svežnjeve.

Slika 17 – Nominalni prečnik svežnjeva, horizontalno i vertikalno čisto rastojanje 1.6.2 Oblikovanje armature

Pod oblikovanjem armature se načelno misli na njeno savijanje. Minimalni prečnik savijanja šipke mora biti takav da ne dovede do prslina i da se izbegne lom betona unutar savijene šipke, te stoga njegova vrednost ne treba da bude manja od Øm,min. Za Øm,min su preporučene vrednosti date u Tabeli 9. Tabela 9 – Minimalni prečnici valjka za savijanje (standard SRPS EN 1992-1-1)

Prečnik valjka ne treba proveravati s obzirom na lom betona unutar krivine savijene šipke ukoliko su ispunjeni sledeći uslovi: -

ankerovanje šipke ne zahteva dužinu pravog dela šipke posle kraja krivine veću od 5 Ø; šipka se ne nalazi u uglu betonskog preseka (ravan savijanja šipke nije blizu površine betona) i postoji poprečna šipka prečnika ≥ Ø unutar krivine;

23



-

prečnik valjka je najmanje jednak preporučenim vrednostima datim u Tabeli 9.

Ako gore navedeni uslovi nisu ispunjeni, prečnik valjka Øm,min treba povećati prema izrazu:

m,min  Fbt 1 / ab   1 / 2   / f cd

(9)

gde su: 





F bt – sila zatezanja za granično stanje opterećenja u šip ci ili u grupi šipki koje su u kontaktu na

početku krivine; ab – za datu šipku (ili grupu šipki u kontaktu) polovina rastojanja od ose do ose šipki (ili grupe) upravno na ravan savijanja (za šipku ili grupe šipki uz spoljašnje stranice elementa, treba uzeti da je ab jednako zaštitnom sloju + Ø/2); f cd – projektna (proračunska) čvrstoća betona pri pritisku (o kojoj će više reči biti kasnije) , čija je makslimalna vrednost ograničena na onu koja odgovara betonu klase C55/67.

Savijanje armature se može vršiti mašinskim putem ili ručno. Na Slici 18 su prikazani neki od načina za oblikovanje šipki.

Slika 18 – Oblikovanje armature 1.6.3 Sidrenje armature

Armatura može izvršiti svoju funkciju jedino ako je na krajevima sigurno usidrena (ankerovana). Sila iz armature se postepeno prenosi na beton na dužini sidrenja l b (Slika 19).

Slika 19 – Raspodela napona na dužini sidrenja šipke

24



Šipke za armiranje, žice ili zavarene armaturne mreže moraju biti tako usidrene da se sile prianjanja betona i čelika sigurno prenesu na beton, bez podužnih prslina ili odlamanj a betona. Ako je potrebno, mora se obezbediti i poprečna armatura. Na Slici 19 je prikazan najjednostavniji postupak sidrenja – produžavanje armature za određenu dužinu dalje od preseka u kojem armatura prestaje da bude potrebna za prijem uticaja. Ovim putem se obezbeđuje prenos sile iz armature u beton putem napona prianjanja, u najširem smislu tog pojma. Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1, postoje i drugi načini sidrenja, prikazani na Slici 20. Treba imati u vidu da pravougaone i polukružne kuke n e doprinose sidrenju u slučaju pritisnu te armature, kao i da lom betona unutar pravougaonih kuka treba da se izbegne zadovoljavanjem zadovoljavanjem zahteva vezanih za dopuštene prečnike valjaka za savijanje šipki.

pra vom šipkom Slika 20 – Načini sidrenja drugačiji od sidrenja pravom Granična vrednost napona prianjanja treba da bude dovoljna kako ne bi došlo do loma. Proračunska vrednost graničnog napona prianjanja f bd bd za rebraste šipke iznosi: fbd



2,251 2 f ctd

(10)

gde su: 

f ctd ctd – proračunska vrednost čvrstoće betona pri zatezanju data jednačinom (11), uz napomenu

da maksimalnu vrednost f ctk,0,05 ctk,0,05 koja se koristi u određivanju f ctd ctd treba ograničiti na vrednost koja odgovara betonu klase čvrstoće C60/75; 



η1 – koeficijent koji se odnosi na kvalitet uslova za prianjanje i položaj šipke u elementu za vreme betoniranja (Slika 21), i koji iznosi 1,0 za „dobre“ uslove i 0,7 za sve ostale slučajeve , uključujući i šipke u elementima koji se betoniraju u kliznoj oplati (ukoliko se ne dokaže da su takvi uslovi „dobri“); η2 – koeficijent koji zavisi od prečnika šipke, i koji iznosi 1,0 1 ,0 za Ø ≤ 32 mm i (132 – Ø)/100 za Ø > 32 mm.

f ctd



αct

f ctk,0,05 γ C

(11)

gde su:  

f ctk,0,05 ctk,0,05 – karakteristična vrednost čvrstoće betona pri zatezanju (fraktil od 5%) ;

γ C – parcijalni koeficijent sigurnosti za beton (o čemu će nešto kasnije biti više reči) ;

25


Školska godina 2016/2017 

αct – koeficijent kojim se u obzir uzimaju uticaju dugotrajnosti dejstva na čvrstoću betona p ri zatezanju i nepovoljni uticaji usled načina na koji deluje opterećenje (preporučena vrednost je 1,0).

Slika 21 – Prikaz uslova prianjanja betona i armature

Dužina sidrenja zavisi od položaja armature u elementu, odnosno od uslova za postizanje „dobre“ ili slabije adhezije, od vrste čelika, marke betona i prečnika armature. Osnovna potrebna dužina sidrenja l b,rqd b,rqd za sidrenje sile Asσ sd sd u pravoj šipci, uz pretpostavku da je napon prianjanja na toj dužini konstantan As je površina poprečnog preseka šipke armature, a σ sd i jednak f bd bd (Slika 19), dobija se prema izrazu ( A sd je proračunski napon u šipci, u preseku preseku od ko jeg se meri dužina sidrenja): l b,rqd



 σ sd 4 f bd

(12)

Kada zavarena armaturna mreža ima dvojne žice ili šipke, prečnik Ø u jednačini (12) treba zameniti ekvivalentnim prečnikm Øn = 1,41Ø. Proračunska dužina sidrenja l b data je izrazom: l bd  α1α2α3α4α5 lb,rqd 

lb ,min

(13)

gde su: 



α1, α2, α3, α4, i α5 – koeficijenti koji su dati u Tabeli 8.2 standarda SRPS EN 1992-1-1, a odnose po prečnih se, respektivno, na uticaj: oblika šipki, minimalnog zaštitnog sloja, utezanja betona, poprečnih šipki i pritiska upravno na ravan cepanja; l b,min b,min – minimalna dužina sidrenja data jednačinama (14) i (15).

Napominje se da vrednost proizvoda α2α3α5 ne treba da bude manja od 0,7. Minimalnu dužinu sidrenja

određujemo -

za sidrenje zategnute armature iz



lb,min  max 0, 3l b,rqd ;

26

10 10 ;

10 100 mm

(14)



-

za sidrenje pritisnute armature iz

lb,min



max 0, 6l b,rqd ;

10 10 ;

10 100 mm

(15)

Kao pojednostavljenje prikazanog postupka, sidrenje pojedinih oblika zategnute armature prikazanih

na Slici 20 može se obezbediti ekvivalentnom dužinom sidrenja l b,eq b,eq. Može se smatrati da dužina l b,eq b,eq iznosi α1l b,rqd b,rqd za oblike b) – d) i α4l b,rqd b,rqd za oblik e) sa Slike 20. Kada je u pitanju sidrenje uzengija i armature za prijem smicanja, treba koristiti pravougaone ili kružne kuke, ili zavarenu poprečnu armaturu. Unutar kuka uvek treba predvideti podužnu šipku. Primeri sidrenja su dati na Slici 22 (napominje se da kod slučajeva c) i d) zaštitni sloj betona ne sme biti manji od 3Ø ili 50 mm).

Slika 22 – Sidrenje uzengija i armature za prijem smicanja

Ako se sidrenje obezbeđuje poprečno zavarenim šipkama koje se oslanjaju na beton (Slika 23), treba dokazati da je kvalitet zavarenih spojeva zadovoljavajući. Za više detalja videti standard SRPS EN 19921-1.

Slika 23 – Sidrenje sa zavarenom poprečnom šipkom

Kada su u pitanju šipke velikih prečnika (> 32 mm), standard SRPS EN 1992-1-1 definiše dodatna pravila za sidrenje. Sile cepanja i efekat moždanika veći su kada se koriste šipke velikih prečnika, te ih je zbog toga preporučljivo sidriti mehaničkim uređajima. Kao alternativa, šipke velikih prečnika se mogu sidriti kao prave šipke, ali je u tom slučaju potrebno predvideti uzengije ili druge oblike poprečne armature kako bi se obezbedilo utezanje betona. Za više detalja videti standard SRPS EN 1992-1-1. U slučaju svežnjeva, zategnute šipke se mogu prekidati iznad krajnjih i srednjih oslonaca. Svežnjevi sa ekvivalentnim prečnikom (Øn) manjim od 32 mm mogu se prekidati u blizini oslonaca bez smaknutog rasporeda prekida pojedinačnih šipki. Šipke u svežnjevima sa ekvivalentnim prečnikom koji je jednak ili veći od 32 mm, a koje se sidre u blizini oslonaca, treba da budu smaknute u podužnom pravcu, kao što je pokazano na Slici 24. Za ostale detalje vezane za sidrenje svežnjeva videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1.

27



Slika 24 – Sidrenje šipki u svežnju 1.6.4 Nastavljanje armature

Zbog uslova transporta, montaže i građenja, kao i zbog ograničenih proizvodnih dužina armature većih prečnika, u praksi se vrši nastavljanje armature. Kontinuitet armature se ostvaruje ili posredstvom betona, pri čemu se nastavljanje armature vrši preklapanjem sa ili bez pravougaonih ili polukružnih kuka, ili zavarivanjem i mehaničkim nastavcima, pri čemu beton praktično ne učestvuje u prenosu sile iz jednog u drugi deo armature.

Kada se nastavljanje vrši preklapanjem, konstrukcijski detalji moraju obezbediti siguran prenos sile sa jedne na drugu šipku, ne smeju dozvoliti da dođe do odlamanja betona u okolini nastavka i treba da spreče pojavu prslina velike širine. Nastavci preklapanjem moraju biti smaknuti i raspoređeni izvan područja velikih naprezanja i treba da budu simetrično raspoređeni u svim presecima. Pri nastavljanju šipki, u skladu sa odredbama standarda SRPS EN 1992-1- 1, treba poštovati pravila prikazana na Slici 25, odnosno: -

-

čisto poprečno rastojanje između šipki koje se nastavljaju ne treba da bude veće od 4 Ø ili 50 mm, a u suprotnom dužinu preklapanja treba povećati na dužinu jednaku čistom rastojanju između šipki; podužno rastojanje između dva susedna nastavka ne treba da bude manje od 0,3 l 0, pri čemu je l 0 dužina preklapanja; u slučaju susednih nastavaka preklapanjem čisto rastojanje između susednih šipki ne treba da bude manje od 2Ø ili 20 mm.

Kada se sve zategnute šipke koje se nastavljaju preklapanjem raspoređene u jednom redu po visini preseka i kada su ispunjeni gore navedeni zahtevi dopušteni procenat nastavljanja preklapanjem može biti 100%. U slučaju da su zategnute šipke raspoređene u više slojeva, taj procenat treba smanjiti na 50%. Sve pritisnute šipke, kao i sekundardna podeona armatura, mogu se nastaviti preklapanjem u istom preseku (100% preklapanja).

Slika 25 – Susedni nastavci armaturnih šipki preklapanjem

Proračunska dužina preklapanja se određuje kao: l 0  α1α 2α3α5α 6lb,rqd  l0,min

28

(16)



Pri čemu se l b,rqd određuje iz jednačine (12), a l 0,min predstavlja minimalnu dužinu preklapanja koja je definisana izrazom:

l 0,min



max 0,3α6l b,rqd ;

15 ;

200 mm

(17)

Vrednosti koeficijenata α1, α2, α3, i α5 mogu biti uzete iz Tabele 8.2 standarda SRPS EN 1992-1-1, ali treba voditi računa da za izračunavanje koefic ijenta α3, za ΣAst,min treba uzeti As(σ sd/ f yd), gde je As površina jedne šipke koja se nastavlja preklapanjem. Koeficijent α6 iznosi ( ρ1/25)0,5, ali ne sme biti veći od 1,5, niti manji od 1,0 ( ρ1 je procenat armature nastavljene preklapanjem na dužini od 0,65l 0, mereno od sredine dužine posmatranog nastavka, kao što je prikazano na Slici 26). Vrednosti α6 su date u Tabeli 10. Tabela 10 – Vrednosti koeficijenta α6

Slika 26 – Procenat šipki nastavljenih preklapanjem u istom preseku Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1, u zonama preklapanja je nekim slučajevima potrebno predvideti dodatnu poprečnu armaturu, kao što je opisano u nastavku .

U slučaju zategnutih šipki, kada je prečnik Ø šipki koje se nastavljaju preklapanjem jednak ili veći od 20 mm, treba predvideti poprečnu armaturu ukupne površine ΣAst (što je zbir površina svih poprečnih šipki ili stranica uzengija paralelnih sloju armature koja se nastavlja preklapanjem) , ali ne manju od površine As jedne šipke nastavljene preklapanjem ( ΣAst ≥ As). Tako određena poprečna armatura treba da se rasporedi upravno na pravac armature koja se nastavlja preklapanjem, između te armature i površine betona (Slika 27). Ako je prečnik Ø šipki koje se nastavljaju preklapanjem manji od 20 mm, ili kada je procenat šipki koje se nastavljaju preklapanjem u istom preseku manji od 25%, bez daljeg dokazivanja se može pretpostaviti da su poprečna armatura ili uzengije, koje su već prisutne, dovoljne da prihvate poprečne sile zatezanja. Ako je više od 50% armature nastavljeno preklapanjem u jednom preseku, i ako je rastojanje između susednih nastavaka ( a sa Slike 25) ≤ 10 Ø, poprečna armatura treba da bude usvojena u obliku uzengija ili U šipki (ukosnica), usidrenih unutar poprečnog preseka.

29



Slika 27 – Dodatna poprečna armatura pri nastavljanju preklapanjem zategnutih šipki Pri nastavljanju preklapanjem pritisnutih šipki, pored zahteva navedenih za zategnute šipke, dodatna

šipka poprečne armature treba da se rasporedi izvan kraja oba nastavka, na rastojanju ne većem od 4Ø od kraja dužine preklapanja (Slika 28).

Slika 28 – Dodatna poprečna armatura pri nastavljanju preklapanjem pritisnutih šipki

Nastavljanje preklapanjem se vrši i kod zavarenih armaturnih mreža. Može se izvesti tako da je glavna armatura u istoj ravni, ili sa mrežama u ravnima jednoj iznad druge (Sl ika 29). U slučaju nastavljanja u istoj ravni, dispozicija preklapanja glavnih podužni šipki treba da bude u skladu sa Slikom 25, pri čemu treba zanemariti pozitivne uticaje poprečnih šipki, odnosno računati da je α3 = 1,0. Nastavljanje u istoj ravni treba koristiti uvek kada su elementi opterećeni na zamo r. Ako se nastavljanje vrši u različitim ravnima, nastavke glavne armature treba predvideti u zonama u kojima sračunati naponi u armaturi u graničnom stanju nosivosti nisu veći od 80% proračunske čvrstoće. Ako to nije izvodljivo, statička visina koja se koristi u proračunu nosivosti na savijanje mora se odnositi na sloj armature koji je najudaljeniji od zategnute ivice. Pored toga, pri kontroli prslina u blizini kraja nastavka preklapanjem, napon u čeliku naveden u Tabelama 7.2 i 7.3 standarda SRPS EN 1992-1- 1 treba povećati za 25% zbog diskontinuiteta na krajevima preklapanja. U obe varijante nastavljanja preklapanjem kod armaturnih mreža, u zoni preklapanja nije potrebna dodatna poprečna armatura. Za nastavljanje armaturnih mreža sa glavnom armaturom u istoj ravni, kada je u pitanju procenat glavne armature koji se može nastaviti, važe vrednosti date u Tabeli 10. Z a

nastavljanje armaturnih mreža u različitim slojevima dopušteni procenat glavne armature koja može biti nastavljena preklapanjem u istom preseku zavisi od specifične površine poprečnog preseka armaturne mreže u preseku ( As/s)prov, gde je s rastojanje žica: 100% ako je ( As/s)prov ≤ 1200 mm2/m, ili 60% ako je ( As/s)prov > 1200 mm2/m. Nastavljanje mreža u više ravni treba smaknuti za najmanje 1,3 l 0.

Slika 29 – Nastavljanje preklapanjem zavarenih armaturih mreža Kada je u pitanju sekundarna (podeona) armatura mreža, nastavljanje preklapanjem je moguće izvršiti u istom preseku. Minimalne dužine preklapanja l 0 su date u Tabeli 11.

30



Tabela 11 – Potrebne dužine preklapanja sekundarne armature mreža

Nastavljanje preklapan jem se koristi i kod svežnjeva šipki. Svežnjevi šipki sastavljeni od dve šipke sa ekvivalentnim prečnikom manjim od 32 mm mogu se nastaviti preklapanjem bez smaknutih prekida pojedinačnih šipki. U tom slučaju za proračun l 0 treba uzeti u obzir ekvivalentni prečnik šipke Øn. Ako

je svežanj sastavljen od dve šipke prečnika ≥ 32 mm, ili od tri šipke, pojedinačne šipke treba da budu smaknute u podužnom pravcu za najmanje 1,3l 0, kao što je prikazano na Slici 30, pri čemu se l 0 računa prema prečniku pojedinačne šipke . U slučaju prikazanom na Slici 30, šipka broj 4 se koristi kao šipka za preklapanje. Treba voditi računa da ne bude više od 4 šipke u bilo kom preseku u kome se svežanj nastavlja preklapanjem. Svežnjeve sa više od tri šipke ne treba nastavljati preklapanjem.

Slika 30 – Nastavak preklapanjem zategnutog svežnja, uključujući i četvrtu šipku

Mogućnost nastavljanja armature mehaničkim nastavcima se primenjuje svuda gde je nastavljanje preklapanjem nepovoljno zbog nedostatka prostora u presecima jako armiranih elemenata, kao i kada je takvo nastavljanje u gradilišnim uslovima pogodnije od nastavljanja zavarivanjem. Na Slici 31 su dati

neki primeri mehaničkih nastavaka koji se koriste u praksi.

Slika 31 – Primeri mehaničkih nastavaka za armaturu Nastavljanje armature zavarivanjem ovde neće biti analizirano.

31



2 Granična stanja nosivosti u armiranobetonskim konstrukcijama 2.1 Uvod Stanje konstrukcije nakon kojeg ona ne ispunjava relevantne projektne kriterijume naziva se granično stanje. Stanje konstrukcije se može odnositi na stepen opterećenja ili drugih dejstava na konstrukciju, dok se kriterijumi odnose na integritet konstrukcije, mogućnost njenog korišćenja, trajnost ili druge projektne zahteve. Konstrukcija koja je projektovana prema graničnim stanjima je takva da može da izdrži sva dejstva do kojih bi moglo doći tokom njenog projektnog veka, i da ostane upotrebljiva sa

odgovarajućim stepenom pouzdanosti za svako granično stanje. Proračun prema graničnim stanjima podrazumeva da konstrukcija treba da zadovolji dva kriterijuma: granična stanja nosivosti i granična stanja upotrebljivosti . Proračunom prema graničnim stanjima nosivosti se utvrđuje potreban koeficijent sigurnosti u odnosu na lom, ali pri tome ponašanje u stanju eksploatacije ostaje nepoznato. Zbog toga je potrebno sprovesti i proračun prema graničnim stanjima upotrebljivosti.

Granična stanja koja se odnose na sigurnost ljudi, konstrukcija i (u određenim slučajevima) sadržaja konstrukcija, klasifikuju se kao granična stanja nosivosti. Granična stanja nosivosti koja, u slučaju da su relevantna, moraju biti dokazana proračunski su: -

gubitak ravnoteže konstrukcije ili bilo ko jeg njenog dela razmatranih kao kruto telo, kada male promene u vrednosti ili prostornoj raspodeli dejstava istog porekla imaju značajnog uticaja, kao i kada čvrstoće konstrukcijskih materijala ili tla nemaju uticaja (stanje EQU prema standardu SRPS EN 1990);

-

unutrašnji lom ili prevelika deformacija konstrukcije ili konstrukcijskih elemenata, transformacija

-

konstrukcije ili bilo kojeg njenog dela u mehanizam, prelom, gubitak stabilnosti konstrukcije ili bilo kojeg njenog dela, uključujući oslonce i temelje (stanje STR prema standardu SRPS EN 1990); lom ili prevelika deformacija tla kada čvrstoće tla ili stene imaju značajnog uticaja pri određivanju nosivosti (stanje GEO prema standardu SRPS EN 1990); lom usled zamora konstrukcije ili njenih elemenata (stanje FAT prema standardu SRPS EN 1990).

-

Granična stanja koja se odnose na funkcionisanje konstrukcije ili njenih elemenata pri normalnoj eksploataciji, kao i komfor ljudi i izgled objekta, klasifikuju se kao granična stanja upotrebljivosti. Dokaz graničnih stanja upotrebljivosti treba bazirati n a kriterijumima koji se odnose na aspekte oštećenja, deformacija i vibracija. Imajući u vidu da će granična stanja upotrebljivosti biti razmatrana u okviru predmeta Teorija betonskih konstrukcija 2, u daljem tekstu ona neće biti razmatrana. Obezbeđenje sigurnosti konstrukcije ne zavisi ne samo od projektanta, već je problem daleko složeniji. Faktori koji utiču na sigurnost konstrukcije su vezani i za izvođenje i eksploataciju. Generalno, sigurnost konstrukcije zavisi od: -

32

tačnosti proračunskog modela i njegove usaglašenosti sa stvarnim ponašanjem konstrukcije ; odstupanja nastalih pri analizi i proračunu konstrukcije; fizičko-mehaničkih svojstava materijala od kojih je konstrukcija izvedena; promena koje se odražavaju na fizičko -mehanička svojstva, a vezane su za klimatske i druge uslove pri građenju i eksploataciji; nepredviđenih okolnosti pri građenju; geometrijskih netačnosti, kao što su promene dimenzija, vertikalnost i sl.; veličine i načina delovanja opterećenja i različitih dejstava u toku eksploatacije; stepena održavanja konstrukcije.



Svi navedeni faktori mogu delovati kombinatorno, te ih je potrebno posmatrati kao slučajne procese ili slučajne promenljive. Stoga je jasno da se problem sigurnosti konstrukcije razmatra kao problem verovatnoće, a ne kao problem mehanike. Takav probabilistički pristup predstavlja osnovu modernog konstrukterstva.

2.2 Parcijalni koeficijenti sigurnosti Za materijale i dejstva na konstrukcije koriste se parcijalni koeficijenti sigurnosti, γ M i γ F, respektivno. Parcijalni koeficijent za svojstvo materijala γ M u obzir uzima i nepouzdanost modela, kao i odstupanja dimenzija, te je stoga on zapravo jednak proizvodu γ m i γ Rd. Slično tome, parcijalni koeficijent za dejstva γ F koji u obzir uzima mogućnost nepovoljnih odstupanja dejstava od reprezentatvnih vrednosti, uzima u obzir i nepouzdanosti modela i odstupanja dimenzija, te je on zapravo jednak proizvodu γ f i γ Sd.

Parcijalni koeficijenti sigurnosti, u odnosu na materijale, treba da pokriju netačnosti u određivanju čvrtoća i deformacija i moguće disperzije na uzorcima i u konstrukciji. U odnosu na dejstva, parcijalni koeficijenti sigurnosti treba da pokriju netačnosti procene dejstava i moguće disperzije intenziteta. Pored toga, parcijalni koeficijenti sigurnosti treba da pokriju i netačnosti proračunskog modela, greške u određivanju kritičnih preseka, greške u proračunu koje se mogu tolerisati, odstupanje u ponašanju materijala u konstrukciji i uzorcima, uticaje tečenja i skupljanja, netačnosti nastale u izvođenju, i dr.

2.3 Radni dijagrami betona i čelika U dokazu graničnih stanja nosivosti armiranobetonskih konstrukcija koristimo proračunske (projektne) karakteristike materijala, a dobijamo ih deljenjem karakterističnih vrednosti svojstava odgovarajućim parcijalnim koeficijentima sigurnosti. Pri tome treba imati u vidu da se u projektovanju koriste tzv. radni (idealizovani) dijagrami napon-dilatacija u betonu i čeliku, a ne dijagrami dati na Slikama 6 i 11. Radni dijagram betona je dat na Slici 32. Za idealizaci ju ponašanja betona (Slika 6) usvojena je veza opisana parabolom i pravom. Dilatacija koja odgovara maksimalnoj čvrstoći je označena sa εc2, dok je granična dilatacija u betonu označena sa εcu2. Vrednosti tih dilatacija su date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1. Za betone klase čvrstoće ≤ C50/60 εc2 i εcu2 iznose 2,0‰ i 3,5‰, respektivno. Analitički izrazi za zavisnost napona (σ c) i dilatacija (εc) u betonu glase:

  ε  σc = fcd 1   1  c    εc2  σc = fcd ,

n

  , za 0  εc  εc2  za εc2

 εc  εcu2

(18a) (18b)

gde su: 



n – eksponent u skladu sa Tabelom 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1 (vrednost koeficijenta je

2,0 za betone klase čvrstoće ≤ C50/60); f cd – vrednost proračunske čvrstoće betona pri pritisku, definisana jednačinom (19). f cd



αcc

f ck

(19)

γ C

U jednačini (19) f ck je karakteristična vrednost čvrstoće betona pri pritisku na cilindar (o čemu je bilo reči ranije), αcc je koeficijent kojim se u obzir uzimaju uticaji dugotrajnosti dejstva na čvrstoću betona pri pritisku i nepovoljni uticaji usled načina na koji deluje opterećenj e (vrednost koja je propisana u standardu SRPS EN 1992-1-1 iznosi 0,85), dok je γ C parcijalni koeficijent sigurnosti za beton dat u Tabeli 12 (proračunske situacije koje se spominju u tabeli će biti razjašnjene u nastavku teksta).

33



Slika 32 – Radni dijagram betona Napominje se da prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1- 1 u proračunu mogu biti korišćen i uprošćeni radni dijagrami betona, ukoliko su ekvivalentni ili na strani sigurnosti u odnosu na dijagram dat na Slici 32. U slučaju utegnutog betona, kada se menja efektivni odnos napon -dilatacija, što dovodi do toga da beton pri opterećenju do loma dostiže veće čvrstoće i kritične dilatacije, koristi se odgovarajući radni dijagram. Za više detalja videti standard SRPS EN 1992-1-1.

Radni dijagram čelika je dat na Slici 33. Za idealizaciju ponašanja čelika (Slika 11) usvojena je bilinearna veza, na slici označena sa A. Za projektovanje se može pretpostaviti dijagram sa gornjom granom u nagibu i sa ograničenjem dilatacije na vrednost εud, ili dijagram sa horizontalnom gornjom granom bez ograničenja dilatacije (obe varijante su na Slici 11 označene sa B). U nastavku teksta se pretpostavlja da će za proračun biti korišćen dijagram sa horizontalnom gornjom granom i ograničenjem dilatacije na vrednost od 20‰. Proračunska vrednost granice razvlačenja čelika f yd se dobija kao: f yd



f yk

(20)

γ S

U jednačini (20) f yk je karakteristična vrednost granice razvlačenja (o čemu je bilo reči ranije), dok je γ S parcijalni koeficijent sigurnosti za čelik dat u Tabeli 12 (proračunske situacije koje se spominju u tabeli će biti razjašnjene u nastavku teksta).

Slika 33 – Radni dijagram čelika

34



Tabela 12 – Parcijalni koeficijenti sigurnosti za beton i čelik

Kada su u pitanju seizmičke kombinacije, odredbe koje se odnose na parcijalne koeficijente sigurnosti za materijale su date u standardu SRPS EN 1998-1, čija je preporuka da se koriste parcijalni koeficijenti sigurnosti koji odgovaraju stalnim i prolaznim kombinacijama (1,5 za γ C i 1,15 za γ S).

2.4 Određivanje graničnih uticaja za dimenzionisanje prema graničnom stanju nosivosti Granične vrednosti uticaja određuju se množenjem reprez entativnih vrednosti uticaja parcijalnim koeficijentima sigurnosti koji zavise od prirode dejstava i vrste graničnog stanja. U opštem slučaju, moraju važiti ispod navedeni uslovi. -

Za granično stanje statičke ravnoteže konstrukcije (EQU) mor a važiti uslov dat jednačinom (2 1), pri čemu su E d,dst i E d,stb proračunske vrednosti uticaja od destabilizujućih i stabilizujućih dejstava, respektivno: Ed,dst  E d,stb

-

(21)

Za granično stanje rušenja ili prevelike deformacije preseka, elementa ili veze (STR i/ili GEO ) mora

važiti uslov dat jednačinom (22), pri čemu je E d proračunska vrednosta uticaja od dejstava kao što su unutrašnja sila i momenat, ili vektor koji predstavlja nekoliko unutrašnjih sila ili momenata, a Rd je proračunska vrednost odgovarajuće nosivosti. Ed  Rd

(22)

Granično stanje zamora (FAT) nije predmet ovog teksta.

Za svaki kritičan slučaj opterećenja, proračunske vrednosti uticaja od dejstava E d moraju biti određene kombinovanjem vrednosti dejstava za koja se smatra da mogu da se pojave istovremeno. Stoga, svaka kombinacija treba da obuhvati dominantno promenljivo dejstvo ili incidentno dejstvo. U slučaju da su rezultati proračunskog dokaza osetl jivi na promene intenziteta stalnog dejstva, nepovoljni i povoljni uticaji tog dejstva moraju biti razmatrani kao posebna dejstva. Ovo se naročito odnosi na stanje EQU.

U slučaju da su relevantne, prinudne deformacije treba da budu uzete u obzir. Kombinaci je dejstava za stalne i prolazne proračunske situacije (osnovne kombinacije)

Kombinacija uticaja od dejstava treba da bude bazirana na proračunskoj vrednosti dominantnog promenljivog dejstva i proračunskim vrednostima ostalih promenljivih dejstava za kombi naciju: Ed





= E γG,jGk,j ; γPP ; γQ,1Qk,1 ; γ Q,iψ0,iQk,i , j

 1;

i > 1

(23)

pri čemu su γ G, γ P i γ Q parcijalni koeficijenti sigurnosti za stalna dejstva, dejstva usled prednaprezanja i promenljiva dejstva, respektivno, a Ψ0 je koeficijent za kombinaciju vrednosti promenljivog dejstva. Karakteristične vrednosti stalnih i promenljivih dejstava su označene sa Gk i Qk, dok je reprezentativna vrednost usled prednaprezanja označena sa P. Kombinacija dejstava napisana u zagradi jednačine (23)

može biti izražena kao:

γ

Gk,j  γPP  γQ,1Qk,1  γQ,iψ0,iQk,i

G,j

j 1

(24)

i 1

35



Ili, alternativno za stanja STR i GEO, kao manje povoljna od sledećih (pri čemu je ξ faktor redukcije za nepovoljna stalna dejstva):

γ

Gk,j  γPP  γQ,1ψ0,1Qk,1 

G,j

γ

j 1

ψ0,iQk,i

(25)

Q,i

i 1

ξ γ

Gk,j  γPP  γQ,1Qk,1 

j G,j

j 1

γ

ψ0,iQk,i

(26)

Q,i

i 1

Kombinacije dejstava za incidentne prorač unske situacije

Opšti oblik uticaja od dejstava glasi: Ed

=E

G

k,j

; P;

Ad ;

ψ

1,1



ili ψ2,1  Qk,1 ; ψ2,iQk,i , j

 1;

i > 1

(27)

pri čemu je Ad proračunska vrednost incidentnog dejstva, a Ψ1 i Ψ2 su koeficijenti za čestu i kvazi -stalnu vrednost promenljivog dejstva, respektivno. Izbor između Ψ1,1 ili Ψ2,1 treba da odgovara relevantnoj incidentnoj proračunskoj situaciji (udar, požar, i sl. ). Kombinacija dejstava napisana u zagradi jednačine

(27) može biti izražena kao:

G

k,j

j 1

 P  Ad   ψ1,1 ili ψ2,1  Qk,1   ψ2,iQk,i

(28)

i 1

Kombinacije dejstava za seizmičke proračunske situacije Opšti oblik uticaja od dejstava glasi: Ed

=E

G

k,j

;

P ; AEd ;



ψ2,iQk,i , j

 1;

i  1

(29)

pri čemu je AEd proračunska vrednost seizmičkog dejstva , jednaka proizvodu γ A I Ek (γ I je faktor značaja, a AEk je karakteristična vrednost seizmičkog dejstva ). Kombinacija napisana u zagradi jednačine (29) može biti izražena kao:

G

k,j

j 1

 P  AEd   ψ2,iQk,i

(30)

i 1

Proračunske vrednosti dejstava za različite situacije treba odrediti u skladu sa Tabelama 13– 17. Tabela 13 – Proračunske vrednosti dejstava za stalne i prolazne situacije (EQU – Skup A)

36



Tabela 14 – Proračunske vrednosti dejstava za stalne i prolazne situacije (STR/GEO – Skup B)

37



Tabela 15 - Proračunske vrednosti dejstava za stalne i prolazne situacije (STR/GEO – Skup C)

Tabela 16 - Proračunske vrednosti dejstava za incidentne i seizmičke proračunske situacije

Tabela 17 – Vrednosti koeficijenata Ψ za konstrukcije u zgradarstvu

Kada su u pitanu proračunske vrednosti dejstava za stalne i prolazne proračunske situacije, p reporuke standarda SRPS EN 1990 za primenu Tabela 13 –15 su date ispod. -

Statička ravnoteža (EQU) za konstrukcije zgrada treba da bude proračunski dokazana primenom Tabele 13.

-

38

Proračun konstrukcijskih elemenata (STR) koji ne sadrži geotehnička dejstva, treba sprovesti uz primenu proračunskih vrednosti dejstava iz Tabele 14. Proračun konstrukcijskih elemenata poput temeljnih stopa, šipova, podrumskih zidova i sl. (STR) koji sadrži geotehnička dejstva i nosivost tla (GEO), treba sprovesti uz primenu jednog od sledeća tri dopunska pristupa, za geotehnička dejstva i nosivosti :



1) Primenom, u odvojenim proračunima, proračunskih vrednosti iz Tabele 15 za geotehnička dejstva i iz Tabele 14 za druga dejstva na konstrukciju, ili od nje. U uobičajenim slučajevima, Tabela 15 služi za dokaz nosivosti tla, a Tabela 14 za dimenzionisanje temeljne konstrukcije. 2) Primenom proračunskih vrednosti iz Tabele 14 kako za geotehnička dejstva, tako i za druga dejstva na konstrukciju, ili od nje. 3) Primenom proračunskih vrednosti iz Tabele 15 za geotehnička dejstva , i istovremenom primenom parcijalnih koeficijenata iz Tabele 14 za druga dejstva na konstrukciju, ili od nje.

Imajući u vidu kompleksnost gore opisanog problema kombinovanja različitih dejstava, kao i upotrebe različitih parcijalnih koeficijenata sigurnosti, u Tabeli 18 je prikazan sumiran prikaz koji je koristan za praktičnu upotrebu u slučaju stalnih i prolaznih proračunskih situacija. Pretpostavljeno je da se u svim slučajevima primenjuje jednačina (24). Takođe se pretpostavlja da je u slučaju proračuna elemenata temeljnih konstrukcija usvojen gore opisani pristup 1). Primer primene za granična stanja EQU i STR je dat na Slici 34. Tabela 18 – Sumiran prikaz primene Tabela 13 –15

Granično stanje nosivosti

γ Gj,sup

γ Gj,inf

γ Q,1

EQU (Tabela 13, Napomena 1) STR (Tabela 14) GEO (Tabela 15)

1,1 1,35 1,0

0,9 1,0 1,0

1,5 1,5 1,3

γ Q,iΨ0,i 1,5 Ψ0,i 1,5Ψ0,i 1,3Ψ0,i

Slika 34 – Primer primene parcijalnih koeficijenata sigurnost za granična stanja EQU i STR

2.5 Osnove proračuna armiranobetonskih konstrukcija

U opštem slučaju, proračun statičkih uticaja u armiranobetonskim konstrukcijama se može sprovoditi prema: -

linearnoj teoriji, linearnoj teoriji sa ograničenom preraspodelom,

teoriji plastičnosti, i nelinearnoj teoriji,

a izbor zavisi od vrste, namene i karakteristika konstrukcije, vrste i intenziteta opterećenja, naponsko deformacijskog stanja koje se razmatra, karakteristika preseka, itd. U svakom slučaju, u proračunu je potrebno koristiti idealizacije geometrije i ponašanja konstrukcije, u skladu sa razmatranim slučajem. Linearna teorija se zasniva na teoriji elastičnosti i primenjuje se za proračun graničnih stanja nosivosti

i upotrebljivosti. Pri tome se pretpostavlja da su poprečni preseci bez prslina, linearna veza napona i dilatacija u poprečnom preseku, i primena srednje vrednosti modula elastičnosti.

39


Školska godina 2016/2017 Linearna teorija sa ograničenom preraspodelom se primenjuje za proračun graničnih stanja nosivosti.

Momenti savijanja u graničnom stanju nosivosti, koji su dobijeni primenom linearne analize, mogu se preraspodeliti, pod uslovom da rezultujući preraspodeljeni momenti ostaju u ravnoteži sa apliciranim opterećenjima. Za više detalja videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1. Teorija plastičnosti se primenjuje za proračun graničnih stanja nosivosti. Njena primena je pogodna u

slučaju incidentnih i seizmičkih situacija, kada je potrebno projektovati duktilne poprečne preseke u elementima i konstrukcijama. Za više detalja videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1. Nelinearna teorija se može primeniti za proračun graničnih stanja nosivosti i upotrebljivosti, ako su

ravnoteža i kompatibilnost zadovoljeni, i ako je pretpostavljeno odgovarajuće nelinearno ponašanje materijala. Za više detalja videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1. Pri proračunu statičkih uticaja prema linearnoj teoriji koristi se krutost homogenog betonskog preseka (bez prslina), ne vodeći računa o uticaju armature. To je iz praktičnih razloga i najprihvatljivije, budući da je armatura još uvek nepoznata. Treba imati u vidu da uticaj armature na veličinu krutosti preseka i nije tako značajan, pa se može zanemariti (izuzetak su jako armirani preseci u kojima zanemaranje uticaja armature nije moguće). Treba istaći da u slučaju armiranobetonskih preseka napregnutih na savijanje prisustvo prslina smanjuje krutost. Iz tog razloga pojedini propisi preporučuju primenu tzv. efektivne krutosti, koja predstavlja deo krutosti homogenog betonskog preseka. Standard SRPS EN 1998-1, u odsustvu tačni jih analiza, dopušta usvajanje efektivne krutosti koja iznosi 50% krutosti homogenog preseka. Postavlja se pitanje, da li je korektno određivati statičke uticaje pri graničnom opterećenju na osnovu elastičnog ponašanja konstrukcije, a potom dimenzionisati poprečne preseke uzimajući u obzir neelastična svojstva betona i čelika. Odgovor je naravno potvrdan, iz razloga što je

na taj način dobijena raspodela sila statički moguća i jer su zadovoljeni uslovi ravnoteže i granični uslovi po silama. Napominje se da će pri proračunu statičkih uticaja prema teoriji elastičnosti kod statički neodređenih konstrukcija doći do relativno male preraspodele momenata savijanja pre nego što bude dostignuto granično opterećenje. Zbog toga, kritični preseci neće posedovati potrebnu duktilnost, što dovodi do opasnosti od pojave krtog loma , a granična nosivost cele konstrukcije se može samo neznatno povećati u odnosu na graničnu nosivost prvog kritičnog preseka, tj. preseka u kome je najpre dostignuto granično stanje. Neduktilne konstrukcije su u seizmički aktivnim područjima neprihvatljive, budući da ne poseduju mogućnost dovoljne disipacije energije . Zbog toga se mora voditi računa o obezbeđenju dovoljnog kapaciteta rotacije u armiranobetonskim konstrukcijama, kako bi se izbegla pojava krtih lomova. Iako se projektovanjem prema odredbama SRPS EN 1998-1 obezbeđuje dovoljan kapacitet rotacije u elementima u slučaju seizmičkih proračunskih situacija, potrebno je obezbediti i određeni kapacitet rotacije za slučaj stalnih i prolaznih proračunskih situacija. U slučaju elemenata opterećenih na savijanje, to se može postići zadovoljenjem sledećih uslova: x  0,45d , za klase

čvrstoće



C50 / 60

(31a)

x  0,35d , za klase

čvrstoće

 C50 / 60

(31b)

gde je x položaj neutralne linije (visina pritisnute zone preseka), a d je statička visina (o čemu će više reči biti u Poglavlju 3).

U nastavku će biti razmatrana granična stanja nosivosti za uticaje momenata savijanja i normalnih sila, transverzalnih sila i momenata torzije. Granična stanja proboja, ankerovanja i preklapanja, lokalnog loma i zamora, kao i primena proračunskog modela sa pritisnutim štapovima i zategama , nisu predmet ovog teksta. Za više detalja o navedenim oblastima treba videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1.

40



3 Granična nosivost preseka za uticaje momenata savijanja i normalnih sila 3.1 Osnovne pretpostavke i pojmovi

Proračun armiranobetonskih preseka opterećenih momentima savijanja i/ili normalnim silama zasniva se na četiri osnovne pretpostavke: 1) Raspodela deformacija (dilatacija) po visini preseka je linearna. Ova pretpostavka je zapravo Bernulijeva hipoteza o ravnim presecima – presek ostaje ravan i nakon deformacije nosača. Pretpostavka je za nivoe uticaja koji odgovaraju dejstvima u eksploataciji konstrukcije gotovo

tačna, naročito kada se radi o pritisnutoj zoni preseka. U zategnutoj zoni nakon pojave prslina dolazi do klizanja između šipki armature i okolnog betona u neposrednoj blizini prsline pa se iz tog razloga javljaju manja odstupanja od Bernulijeve hipoteze. U graničnom stanju nosivosti, usled intenzivnijeg razvoja prslina, kao i plastifikacije pritisnute zone preseka, pretpostavka o ravnosti preseka nije ispunjena. S obzirom da odstupanja nisu značajna, može se usvojiti da

preseci ostaju ravni i u graničnom stanju. Za ostvarivanje pretpostavke je ključno da postoji dobro prianjanje između armature i okolnog betona, odnosno da je zadovoljen uslov da su podužne dilatacije betona i čelika jednake (εc = εs) na jednakim odstojanjima od neutrale linije. 2) Beton u zategnutoj zoni preseka, u graničnom stanju nosivosti, ne prima napone zatezanja. Dakle, ukupna sila zatezanja se poverava samo podužnoj zategnutoj armaturi. 3) Poznata je veza napon-dilatacija za armaturu. U proračunu, prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1, usvaja se radni dijagram čelika dat na Slici 33, i to varijanta sa horizontalnom gornjom granom i ograničenjem dilatacije na vrednost od 20‰. 4) Poznata je veza napon-dilatacija za beton, što određuje vel ičinu i raspodelu napona pritiska po visini pritisnute zone preseka. U proračunu, prema odredbama standarda SRPS EN 1992-11, usvaja se radni dijagram betona dat na Slici 32.

Na Slici 35 su prikazani dijagrami normalnih napona u betonu po visini poprečnog preseka pri različitim vrednostima momenta savijanja, za slučaj armiranobetonske grede opterećene na čist o savijanje od nulte faze do stanja loma. Pri niskoj vrednosti momenta M(Ia) raspodela normalnih napona je linearna, kako u pritisnutoj, tako i u zategnutoj zoni preseka. Pri nešto višoj vrednosti momenta M(Ib), koji se javlja neposredno pred pojavu prslina, raspodela u pritisnutoj zoni preseka je i dalje linearna, dok se u zategnutoj zoni javlja odstupanje od linearnosti. Pri momentu M(II) se javljaju prsline u gredi, pa su u presecima sa prslinom naponi u betonu u zategnutoj zoni preseka jednaki nuli, a raspodela napona u

pritisnutoj zoni više nije linearna. Pri daljem povećanju opterećenja dostiže se moment savijanja M(III) i prsline se intenzivno šire, zategnuta armatura teče (naponi u armaturi dostižu granicu razvlačenja), beton u pritisnutoj zoni trpi nelinearne (plastične) deformacije. Stanja I (presek bez prslina) i II (presek sa prslinama) odgovaraju graničnim stanjima upotrebljivosti, dok stanje III odgovara graničnom stanju nosivosti. Treba primetiti da se neutralna linija, prikazana na mestu nulte vrednosti napona, podiže sa promenom stanja naprezanja.

U graničnom stanju nosivosti (stanje III), karakter loma zavisi od količine i svojstava glavne armature, i može nastupiti: 1) Lom po armaturi koji se javlja kod normalnih procenata armiranja. Ovaj tip loma je duktilan i poželjan. Nastaje kada napon u armaturi dostigne granicu razvlačenja uz dilatacije u vrednosti od 20‰, a prethodi mu razvijena mreža prslina u nosaču, koja praćena velikim ugibima. Nosač gubi funkciju zbog prevelikih ugiba. 2) Lom po betonu koji se javlja kod visokih procenata armiranja. Ovaj tip loma je krt i nepoželjan. Nastaje kada naponi pritiska u betonu dostignu čvrstoću betona pri pritisku, javlja se potpuno iznenada i bez najave, tj. ne dolazi do prethodnih većih deformacija i drugih vidljivih znakova.

41



3) Simultani lom po betonu i armaturi, kada se istovremeno dostiže granična nosivost pritisnutog betona i zategnute armature.

Osim navedenih vrsta loma može se javiti i lom na prelasku iz stanja I u stanje II, kao posledica skoka napona u zategnutoj armaturi u preseku na mestu prsline. Ovakav lom se dešava u slučajevima kada je procenat armiranja zategnutom armaturom nedovoljan, odnosno manji od minimalnog. Zbog toga

se u svim propisima za projektovanje armiranobetonskih konstrukcija definiše zahtevana vrednost minimalnog procenta armiranja.

Slika 35 – Prikaz karakterističnih naponsko deformacijskih stanja u prostoj gredi opterećenoj na čisto savijanje Na Slici 36 je prikazan raspored dilatacija po visini armiranobetonskog preseka u zavisnosti od stanja naprezanja, uz napomenu da navedene vrednosti dilatacija u betonu i položaja tačke C važe za klase čvrstoće ≤ C50/60 (za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti iz T abele 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1). Razlikujemo pet oblasti, i to: 1) Oblast 1, koja se nalazi između linija a i b, i koja obuhvata slučajeve kod kojih je ceo poprečni

presek zategnut, tj. centrično zatezanje i ekscentrično zatezanje u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija se uvek nalazi van preseka. Linije a i b prikazuju dilatacije betona i čelika za područje εc ≤ 0‰ i εs1 = εud = 20‰, pri čemu je tačka A tačka rotacije mogućih dilatacija. Uzrok loma je lom po armaturi. Budući da u skladu sa pretpostavkom da beton u zategnutoj zoni u graničnom stanju nosivosti ne prima napone zatezanja, aktivni poprečni presek se sastoji iz površine armatura As1 i As2. 2) Oblast 2, koja se nalazi između linija b i c, obuhvata slučajeve čistog savijanja i savijanja sa normalnom silom pritiska ili zatezanja u fazi velikog ekscentriciteta. Neutralna linija se uvek nalazi visoko u preseku. Linije b i c prikazuju prikazuju dilataci je betona i čelika za područje 0‰ ≤ εc ≤ 3,5‰ i εs1 = εud = 20‰, Tačka A je tačka rotacije mogućih dilatacija. Uzrok loma je lom po armaturi u svim slučajevima osim u graničnom slučaju koji je opisan linijom c, kada dolazi do simultanog loma po betonu i armaturi. Dakle, linija c predstavlja raspodelu dilatacija

po visini preseka pri kojoj su oba materijala maksimalno iskorišćena.

42



3) Oblast 3, koja se nalazi između linija c i d, obuhvata slučajeve preseka koji su napregnuti na čisto savijanje i savijanje sa n ormalnom silom pritiska ili zatezanja u fazi većih ili srednjih ekscentriciteta. Neutralna linija se nalazi poprečnom preseku, ali ne tako visoko kao što je to slučaj u Oblasti 2. Linije c i d prikazuju prikazuju dilatacije betona i čelika za područje εc = 3,5‰ i f yd/E s ≤ εs1 ≤ εud = 20‰. Tačka B je tačka rotacije mogućih dilatacija. Uzrok loma je lom po betonu u svim slučajevima osim u graničnom slučaju koji je opisan linijom c, kada dolazi do simultanog loma po betonu i armaturi. 4) Oblast 4, koja se nalazi između linija d i e, obuhvata slučajeve preseka napregnut ih na savijanje sa normalnom silom pritiska, čiji ekscentricitet nije tako veliki. Neutralna linija leži nisko u poprečnom preseku, a z ategnuta armatura nije dovoljno iskorišćena po dilatacijama. Lin ija d predstavlja dijagram raspodele dilatacija pri kome su naponi u betonu i zategnutoj armaturi potpuno iskorišćeni, σ s = f yd i σ c = f cd. Tačka B je tačka rotacije mogućih dilatacija. Uzrok loma je lom po betonu. Pri dilataciji zategnute armature εs1 < f yd/E s lom preseka nastaje pre nego što armatura počne da teče. U graničnom slučaju koji je opisan linijom e, ceo poprečni presek je pritisnut. 5) Oblast 5, koja se nalazi između linija e i f , obuhvata slučajeve kod kojih je ceo poprečni presek pritisnut, tj. centrični pritisak i ekscentrični pritisak u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija se uvek nalazi van preseka. Tačka C je tačka rotacije mogućih dilatacija. Ako je presek centrično pritisnut, dilatacije su konstantne i iznose 2‰ po visini preseka (linija f ). Uzrok loma je uvek lom po betonu.

Slika 36 – Oblasti mogućih raspodela dilatacija u armiranobetonskom preseku

43



3.2 Centrično i ekscentrično zatezanje (mali ekscentricitet) U ovom poglavlju se razmatra poprečni presek armiranobetonskog elementa koji je potpuno zategnut. Po celom preseku se javljaju prsline, celokupnu silu zatezanja prihvata armatura, a uloga betona je da zaštiti armaturu od korozije i požara. Razmatrani slučajevi pripadaju Oblasti 1 prikazanoj na Slici 36.

Pretpostavlja se da presek ima vertikalnu osu simetrije i da napadna tačka normalne sile leži na njoj. 3.2.1 Centrično zatezanje Ako normalna sila zatezanja NEd deluje u težištu armiranobetonskog pres eka Gc, kao što je prikazano na Slici 37, radi se o slučaju centrično zategnutog preseka. Sile F s1 i F s2 su sile zatezanja koje se javljaju u armaturi. Dilatacije su konstantne po visini poprečnog preseka i iznose 20‰.

Slika 37 – Centrično zategnut armiranobetonski presek

Iz uslova ravnoteže horizontalnih sila (ΣH = 0) sledi: Fs1

+ Fs2



NEd

(32)

Imajući u vidu da važi da je F s1 = As1σ s1 i F s2 = As2σ s2, odnosno da važi da je F s1 = As1 f yd i F s2 = As2 f yd, može se napisati sledeća relacija:

 As1 + As2  fyd  NEd

(33)

Armatura u centrično zategnutim elementima se raspoređuje ravnomerno po obimu i preseku , tako da se njeno težište poklapa sa težištem betonskog preseka Gc. Iz tog razloga zbir površina armature iz gornje jednačine možemo zameniti ukupnom količinom armature As:

As  As1 + As2

(34)

Konačno, ukupna potrebna površina armature u centrično zategnutom preseku se dobija kao: As



NEd f yd

(35)

Primer pravilno raspoređene armature unutar poprečnog preseka opterećenog na centrično zatezanje je prikazan na Slici 38. Projektovani položaj armature se obezbeđuje uzengijama i „češljevima“ (ako za to postoji potreba).

44



Slika 38 – Pravilno raspoređivanje armature unutar poprečnog preseka opterećenog na c entrično zatezanje

3.2.2 Ekscentrično zatezanje (mali ekscentricitet) Ako normalna sila zatezanja NEd ne deluje u težištu armiranobetonskog preseka Gc, već na određenoj udaljenosti od njega, radi se o slučaju ekscentrično zategnutog preseka. Ako je ekscentricitet sile e takav da se u poprečnom preseku javljaju samo naponi zatezanja , govorimo od dejstvu sile sa malim ekscentricitetom. U odnosu na težište betonskog preseka Gc, ekscentricitet normalne sile zatezanja iznosi e = MEd/NEd. Razmatrani slučaj je prikazan na Slici 39.

Slika 39 – Ekscentrično zategnut armiranobetonski presek (mali ekscentricitet)

Sile u armaturi se određuju iz uslova da je suma momenata savijanja spo ljašnjih i unutrašnjih sila jednaka nuli, u odnosu na težišta armature s1 i s2 ( y s1 i y s2 su udaljenosti težišta armature od težišta betonskog preseka Gc):

M

 0  Fs1  ys1 + y s2   NEd  y s2 + e   0  Fs1  NEd

M

 0  Fs2  y s1 + y s2   NEd  y s1  e   0  Fs2  N Ed

As2

As1

ys2 + e ys1 + y s2 ys1  e ys1 + y s2

(36a)

(36b)

S obzirom da važi da je F s1 = As1σ s1 i F s2 = As2σ s2, potrebne površine armature As1 i As2 se mogu izraziti kao: As1

As2

NEd ys2 + e



σs1 ys1 + y s2 

NEd ys1  e σs2 ys1

+ y s2

(37a) (37b)

45



Imajući u vidu raspodelu dilatacija koja važi za Oblast 1 prikazanu na Slici 36 može se zaključiti da , u slučaju većih ekscentriciteta e, dilatacija u armaturi s2 (εs2) može biti manja od granične dilatacije pri tečenju ( f yd/E s). U prevodu, može se dogoditi da napon u armaturi s2 ( σ s2) ne dostigne proračunsku vrednost granice razvlačenja f yd. U proračunu se radi pojednostavljenja pretpostavlja da je σ s2 približno jednako f yd, čak i kada to nije slučaj, što je i opravdano budući da su odstupanja u dilatacijama praktično bez većeg značaja. Konačno, potrebna površina armature s1 i s2 se može odrediti kao: As1

As2





NEd ys2 + e

fyd ys1 + y s2 NEd y s1



e

fyd ys1 + y s2

(38a)

(38b)

Treba imati u vidu da u slučaju većih ekscentriciteta, kada napon u armaturi s2 ne dostiže proračunsku granicu razvlačenja, vrednost potrebne površine armature As2 koja se određuje iz jednačine (3 8b) teži nuli. U tim slučajevima je za armaturu s2 potrebno usvojiti odgovarajuću konstruktivnu armaturu. Iz jednačine (38b) je takođe jasno da u slučaju da vrednost ekscentriciteta e postane veća od vrednosti udaljenosti težišta armature s1 od težišta betonskog preseka ( y s1) dolazi do promene predznaka. Stoga, kažemo da sila NEd deluje sa malim ekscentricitetom u slučajevima kada je e ≤ y s1, odnosno, u opštem slučaju, kada se e nalazi unutar oblasti ograničene položajima težišta armature y s1 i y s2 ([y s1, y s2]).

Kod ekscentrično zategnutih elemenata ukupnu površi nu armature As ( As = As1 + As2) treba rasporediti tako da se njeno težište poklapa sa tačkom dejstva zatežuće sile. Na Slici 4 0 je dat primer armiranja ekscentrično zategnutog poprečnog preseka.

Slika 40 - Pravilno raspoređivanje armature unutar poprečnog preseka opterećenog na ekscentrično zatezanje

3.3 Pravo čisto i složeno s avijanje

U ovom poglavlju se razmatra poprečni presek armiranobetonskog elementa koje je napregnut na pravo savijanje. U poprečnom preseku se javljaju prsline, a celokupnu silu zatezanja prihvata armatura. Biće razmatrani slučajevi čistog savijanja ( bez normalne sile) i složenog savijanja sa normalnom silom u fazi velikog ekscentriciteta. Razmatrani slučajevi pripadaju Oblastima 2, 3 i 4 prikazanim na Slici 36. Napominje se da će biti razmatrani samo pravougaoni i T-preseci. U slučaju preseka drugačijeg oblika (trougaonog, trapeznog, kružnog i dr. ), kao i u slučaju kosog savijanja, treba konsultovati literaturu iz oblasti teorije betonskih konstrukcija. 3.3.1 Pravougaoni preseci, čisto savijanje

U statičkom smislu, pravougaonim presecima smatraju se svi preseci čija pritisnuta zona ima oblik pravougaonika. Vrlo je bitno praviti razliku između geometrijskog i statičkog pravougaonog poprečnog preseka: statički pravougaoni poprečni presek ne mora biti i u geometrijskom smislu pravougaoni, jer zategnuta zona može biti proizvoljnog oblika.

46



Na Slici 41 je prikazan (geometrijski i statički) pravougaoni poprečni presek opterećen momentom savijanja MEd. Pored već uvedenih oznaka, treba imati u vidu da je x položaj neutralne linije (izražen kao proizvod statičke visine d i koeficijenta ξ ), da je z krak unutrašnjih sila F c (u pritisnutom betonu) i F s1 (u zategnutom čeliku) izražen kao proizvod statičke visine d i koeficijenta ζ , i da proizvod k a i x definiše položaj sile F c. Takođe se napominje da navedena vrednost dilatacije u betonu od 3,5‰ važi za klase čvrstoće betona ≤ C50/60 , a da za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1. Iz Bernulijeve hipoteze o ravnim presecima, sa dijagrama dilatacija datog na Slici 41, koeficijent ξ se

može izraziti iz sličnosti trouglova kao: ξ =

εc εc + εs1

(39)

Imajući u vidu da je ξ jednak količniku x /d , kao i zahteve standarda SRPS EN 1992-1-1 koji su opisani jednačinama (31a) i (31b) , zaključuje se da vrednost ξ treba ograničiti na 0,45 za klase čvrstoće betona ≤ C50/60, i na 0,35 za klase čvrstoće betona > C50/60, o čemu će kasnije biti više reči .

Slika 41 – Pravougaoni poprečni presek opterećen na pravo čisto savijanje

Određivanje sila u zategnutoj (s1) i pri tisnutoj (s2) armaturi je jednostavno (F s1 = As1σ s1 i F s2 = As2σ s2). Sila u pritisnutom betonu (F c) se određuje kao proizvod pritisnutog dela površine poprečnog preseka i vrednosti napona koji je dostignut u betonu. Treba primetiti da dijagram napona u pritisnutom betonu koji je dat na Slici 41 zapravo predstavlja radni dijagram betona koji je usvojen za projektovanje (Slika 32), i da je promena napona u betonu po visini pritisnute zone opisana jednačinama (18a) i (18b). U praksi je uobičajeno da se umesto rešavanja određenog integrala na visini pritisnute zone preseka sila pritiska u betonu F c odredi kao: F c = αv fcdbx = α vξfcdbd

(40)

pri čemu αv označava koeficijent punoće radnog dijagrama betona za slučaj savijanja , određen kao: αv = αv

εc 12

=1

6  ε  , c

2 3εc

,

za 0‰  εc

 2, 0‰

za 2, 0‰  εc

 3, 5‰

(41a) (41b)

47



Položaj sile F c u odnosu na pritisnutu ivicu preseka (ivica koja je obeležena sa 2 na Slici 41) je određen proizvodom koeficijenta k a i položaja neutralne linije x . Pri tome se koeficijent k a određuje kao: k a =

8  εc



4 6  εc 2

k a =

3εc



 4 εc 2

6εc

,

+2

 4εc

za 0‰  εc

,

 2, 0‰

za 2,0‰  εc

 3, 5‰

(42a)

(42b)

Napominje se da se u jednačinama ( 41a), (41b), (42a) i (42b) dilatacije betona unose u ‰. Koeficijent ζ , koji predstavlja vezu između kraka unutrašnjih sila z i statičke visine d , može se izraziti iz sledeće veze:

z  ζd  d  ka x  d  kaξd  d 1  kaξ 

(43)

iz čega sledi da je ζ



1



kaξ

(44)

Jasno je da će u pojedinim slučajevima beton biti potpuno iskorišćen, odnosno da će nastupiti lom po betonu sa dilatacijom od 3,5‰. U takvim slučajevima vrednost koeficijenta punoće αv iznosi 0,81 (Slika 42a). S druge strane, u pojedinim slučajevima će napon u betonu dostići vrednost projektne čvrstoće, ali neće doći do maksimalnog iskorišćenja po dilatacijama (Slika 42b). Takođe je moguće je da naponi pritiska u betonu ne dostignu vrednost projektne čvrstoće (Slika 42c). Primena veze date jednačinom (40), zajedno sa vezama datim jednačinama (41a), (41b), (42a) i (42b) , značajno olakšava proračun u praksi, budući da na jednostavan način „pokriva“ sve moguće slučajeve raspodele napona u pritisnutoj zoni preseka.

Slika 42 – Moguća stanja naprezanja u pritisnutoj zoni poprečnog preseka U skladu sa prikazanim na Slici 41, mogu se postaviti dva uslova ravnoteže:

H  0 M  0 As1



Fc  Fs1 + Fs2  0

(45a)



Fc z + Fs2  d  d2   MEd  0

(45b)



αv ξfcdbd  As1σs1 + As2 σs2  0

(46a)



MEd

odnosno:

H  0 M  0 As1

 αv ξζfcdbd + As2σs2 d  d2  2

(46b)

U slučaju da je presek jednostruko armiran, odnosno kada nema potrebe za računskom pritisnutom armaturom ( As2 = 0), uslovi ravnoteže postaju:

48



H  0 M  0 As1



As1σs1



MEd

 αv ξbdfcd 2

 αv ξζbd f cd

(47a) (47b)

Potrebna površina armature As1 se iz jednačine (47a) može izraziti direktno: As1



αv ξbd

f cd σ s1

(48)

Kada je u pitanju jednačina (47b), može se izraziti veza αvξbd

MEd



ζdf cd

(49)

koja kada se uvrsti u jednačinu (48) daje potrebnu površinu armature As1: As1

MEd



MEd



ζdσs1

zσs1

(50)

Iz jednačina (48) i (50) je jasno da se potrebna površina zategnute armature može dobiti na dva načina. Proizvod αvξ se naziva mehanički koeficijent armiranja i u praksi se obeležava sa ω. Budući da će u većini slučajeva doći do tečenja armature (biće dostignuta granična dilatacija tečenja f yd/E s), u gornjim izrazima možemo pretpostaviti da važi σ s1 = f yd. Konačno, potrebna površina zategnute armature može se odrediti kao:

As1 As1



f cd

ωbd



,

f yd

MEd ζdfyd

ω

MEd



zfyd



α vξ

(51a)

(51b)

Iz uslova ravnoteže za sumu momenata datog u jednačini (47b), statička visina se može izraziti kao: d

MEd 

α vξζbf cd

(52)

Uvođenjem bezdimenzionalnog koeficijenta nosivosti preseka μEd, koji je izražen kao μEd



αv ξζ

(53)

statička visina d se može odrediti iz sledećeg izraza: d 

MEd

μEdbf cd

(54)

Za praktičnu primenu je korisno izraziti μEd u funkciji od spoljašnjeg opterećenja. Ako izjednačimo veze date jednačinama (51a) i (51b) dobijamo da važi: αvξbd

fcd f yd



MEd ζdf yd

(55)

i tada koeficijent μEd možemo izraziti kao:

49



μEd

MEd 

2

bd f cd

(56)

U praksi se, radi pojednostavljenja, za dimenzionisanje koriste različite tabele i/ili dijagrami. U Prilogu A su tabelarno prikazane vrednosti koeficijenata ξ , αv, k a, ζ , ω i μEd potrebne za dimenzionisanje. Tabele su izrađene tako da prikazuju vrednosti navedenih koeficije nata u zavisnosti od stanja dilatacija u preseku (εc/εs1). Uz primenu navedenih tabela, problem dimenzionisanja preseka se svodi na 4 slučaja: 1) Slobodno dimenzionisanje . Uz poznate vrednosti momenta savijanja MEd i svojstava materijala ( f cd i f yd), usvaja se jedna dimenzija poprečnog preseka (po pravilu je to širina b), kao i stanje dilatacija betona i čelika (εc/εs1). Budući da su dilatacije poznate, iz tabela datih u Prilogu A je moguće očitati koeficijente μEd, ω i ζ . Statičku visinu d treba odrediti iz izraza (54), a potrebnu površinu zategnute armature As1 iz jednačine (51a) ili (51b). Konačno, visina poprečnog preseka h se usvaja kao zbir statičke visine d i položaja težišta zategnute armature d 1 (h = d + d 1). 2) Vezano dimenzionisanje . Svodi se na određivanje potrebne površine zategnute armature As1 za unapred zadate dimenzije poprečnog preseka ( b/h), i poznate vrednosti momenta savijanja MEd i svojstava materijala ( f cd i f yd). Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature ( d 1) i određuje se statička visina d = h – d 1. Sada je moguće odrediti koeficijent μEd iz jednačine (56), na osnovu koga se iz tabela datih u Prilogu A očitavaju vrednosti stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1), kao i vrednosti koeficijenata ω i ζ , pomoću kojih se iz jednačine (51a) ili (51b) može odrediti potrebna površina zategnute armature As1. Nakon usvajanja i raspoređivanja armature u preseku, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju njenog težišta ( d 1) ispunjena. Ako je odstupanje značajno,

neophodno je izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje tačnosti koja je zadovoljavajuća. 3) Određivanje granične vrednosti momenta MEd iz poznatog poprečnog preseka (b/h), površine i položaja armature ( As1 i d 1), i poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd). Statička visina d se određuje jednostavno (d = h – d 1). Iz jednačine (51a) je moguće izračunati mehanički koeficijent armiranja ω, na osnovu koga se iz tabela datih u Prilogu A očitava stanje dilatacija (εc/εs1), kao i koeficijenti ζ i μEd. Vrednost momenta MEd se može odrediti iz jednačine (51b) ili (56). 4) Određivanje granične vrednosti momenta MEd i površine zategnute armature As1 iz već poznatog poprečnog preseka ( b/h), poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd), kao i unapred izabranog stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1). S obzirom da su dilatacije poznate, iz tabela datih u Prilogu A je moguće očitati koeficijente μEd i ω. Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature ( d 1) i određuje se statička visina d = h – d 1. Vrednost momenta MEd se može odrediti iz jednačine (56), a potrebna površina zategnute armature As1 se može odrediti iz jednačine (51a). Nakon usvajanja i raspoređivanja armature u preseku, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju težišta armature (d 1) ispunjena. Ako dođe do značajni jeg odstupanja neophodno je izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje zadovoljavajuće tačnosti. Kao što je već rečeno u Poglavlju 3.1, u slučajevima kada je procenat armiranja zategnutom armaturom nedovoljan, može se desiti da u momentu nastanka prvih prslina dođe do pojave krtog loma. Iz tog razloga, svi propisi za projektovanje betonskih konstrukcija definišu zahtevane vrednosti minimalnog procenta armiranja. U slučaju grednih nosača, standard SRPS EN 1992-1-1 definiše minimalnu površinu zategnute armature kao: As,min



0,26

f ctm f yk

btd, ali ne manje od 0, 0013btd

(57)

pri čemu bt označava srednju širinu zategnute zone (kod geometrijski pravougaonih preseka je bt = b).

50



Preseci kod kojih je površina zategnute armature manja As,min od smatraju se nearmiranim presecima. Standard SRPS EN 1992-1-1 takođe propisuje i maksimalnu površinu zategnute (i p ritisnute) armature, koja ne treba da pređe As,max, za čiju je vrednost preporučeno da iznosi 0,04 Ac, pri čemu je Ac površina poprečnog preseka. Objašnjenje za ovakav kriterijum nije dato, zbog čega u praksi treba koristiti drugi kriterijum dat u standardu SRPS EN 1992-1-1, a koji je opisan u nastavku, jer njegovim ispunjavanjem možemo automatski zadovoljiti i zahtev da je As,max = 0,04 Ac. Dodatne odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1 koje se odnose na podužnu armaturu u grednim nosačima su date u Poglavlju 5.3. U armiranobetonskim elementima je potrebno obezbediti dovoljan kapacitet rotacije (duktilnost). Za postizanje ovog uslova neophodno je da se dostigne plastifikacija armature pre iscrpljenja nosivosti betona. Kao što je ranije već spomenuto, dovoljan kapacitet rotacije je moguće obezbediti ako je zadovoljen uslov za položaj neutralne linije (tj. za visinu pritisnute zone) dat jednačinama (31a) i (31b), odnosno ako je vrednost koeficijenta ξ datog jednačinom (39) ograničena na 0,45 za klase čvrstoće betona ≤ C50/60, i na 0,35 za klase čvrstoće > C50/60. Uz pretpostavku da će dilatacija u pritisnutom betonu (εc) dostići graničnu vrednost od 3,5‰ ( klase čvrstoće betona ≤ C50/60 ), iz jednačine (39) se može odrediti dilatacija zategnutog čelika (εs1) koja je granična za obezbeđenje pomenutog uslova duktilnosti, i koja iznosi 4,28‰. Zahtevi za betone većih čvrstoća su strožiji iz razloga što su takvi betoni „krtiji“ u odnosu na betone nižih klasa . Nastavak priče o ispunjavanju uslova duktilnosti se nalazi u Poglavlju 3.3.3.

3.3.2 Pravougaoni preseci, složeno savijanje Na Slici 43 je prikazan (geometrijski i statički) pravougaoni poprečni presek opterećen normalnom silom u fazi velikog ekscentriciteta NEd. Napominje se da je izvođenje koje sledi urađe no za silu pritiska, a da će komentar vezan za silu zatezanja biti dat na kraju ovog poglavlja. Pored već uvedenih oznaka, treba imati u vidu da e predstavlja ekscentricitet sile NEd u odnosu na težišt e betonskog preseka Gc (e = MEd/NEd). Takođe se napominje da navedena vrednost dilatacije u betonu od 3,5‰ važi za klase čvrstoće betona ≤ C50/60, a da za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1.

Slika 43 – Pravougaoni poprečni presek opterećen na pravo složeno savijanje U skladu sa prikazanim na Slici 43, mogu se postaviti dva uslova ravnoteže:

H  0 M  0 As1



Fc  Fs1 + Fs2  NEd  0

(58a)



Fc z + Fs2 d  d2   NEdys1  MEd  0

(58b)

51



Ako se napiše veza za graničnu vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature (MEds) kao MEds  NEd  e + ys1   MEd + NEdys1

(59)

tada, uz korišćenje jednačine (40) za F c i veza F s1 = As1σ s1 i F s2 = As2σ s2, uslovi ravnoteže glase:

H  0 M

 NEd  αv ξfcdbd  As1σs1 + As2σs2

0 

As1

MEds

2

 αv ξζfcdbd + As2σs2 d  d2 

(60a) (60b)

U slučaju da je presek jednostruko armiran, odnosno kada da nema potrebe za računskom pritisnutom armaturom ( As2 = 0), uslovi ravnoteže postaju:

H  0 M  0 As1



NEd  αv ξbdfcd  As1σs1



MEds  αv ξζbd f cd

2

(61a) (61b)

Potrebna površina armature As1 se iz jednačine (61a) može izraziti direktno: As1  αv ξbd

fcd σs1



NEd σ s1

(62)

Kada je u pitanju jednačina (61b), može se izraziti veza αvξbd



MEds

ζdf cd

(63)

koja kada se uvrsti u jednačinu ( 62) daje potrebnu površinu armature As1: As1

MEds

NEd





ζdσs1

MEds 

σs1

NEd 

zσs1

σs1

(64)

Iz jednačina (62) i (64) je jasno da se potrebna površina zategnute armature može dobiti na dva načina , kao i u slučaju čistog savijanja . Proizvod αvξ , koji je u prethodnom poglavlju predstavljen kao mehanički koeficijent armiranja ω, koristi se i u slučaju složenog savianja. Budući da će u većini slučajeva doći do tečenja armature, u gornjim izrazima pretpostavljamo da važi σ s1 = f yd. Konačno, potrebna površina zategnute armature može se odrediti kao: As1 As1



ωbd



fcd fyd

MEds

ζdfyd





NEd f yd

NEd

fyd



ω MEds

zfyd





α v ξ 

NEd

fyd

(65a)

(65b)

Statička visina d se određuje isto kao i u slučaju čistog savijanja, odnosno kao: d 

MEds α v ξζbfcd



MEds μEds bfcd

,

 MEds  μ   Eds  2 bd fcd  

(66)

Izrazi (65a) i (65b) su izvedeni za silu pritiska, koja je prema konvenciji u betonskim konstrukcijama pozitivna. Ako u preseku deluje sila zatezanja, koja je negativna prema konvenciji, u izrazima (65a) i (65b) treba umesto „–“ koristiti „+“.

52



Sve što je u prethodnom poglavlju rečeno za ograničenja po pitanju minimalne i maksimalne armature u poprečnom preseku, važi i za slučaj složenog savijanja. Z a dimenzionisanje je moguće koristiti iste tabele kao i u slučaju čistog savijanja (Prilog A). S obzirom na prisustvo normalne sile u slučaju složenog savijanja, razmotrićemo probleme dimenzionisanja: 1) Slobodno dimenzionisanje . Postupak dimenzionisanja je iterativan jer vrednost momenta MEds zavisi od visine poprečnog preseka h koja je nepoznata. Uz poznate vrednosti momenta savijanja MEd i normalne sile NEd, kao i svojstava materijala ( f cd i f yd), usvaja se jedna dimenzija poprečnog preseka (po pravilu je to širina b) i stanje dilatacija betona i čelika (εc/εs1). Budući da su dilatacije poznate, iz tabela datih u Prilogu A je moguće očitati koeficijente μEds, ω i ζ . S obzirom da visina preseka h nije poznata, u prvoj iteraciji se usvaja da je MEds(1) = MEd. Statičku visinu u prvoj iteraciji (d (1)) treba odrediti iz izraza (66). Visina preseka u prvoj iteraciji iznosi h(1) = d (1) + d 1(1), pri čemu se pretpostavlja da je d 1(1) ≈ 0,1d (1). Sa tako dobijenom visinom h(1) se određuje vrednost momenta MEds(2) = MEd + NEd(0,5h(1) – d 1(1)). Iz dobijene vrednosti momenta se određuje statička visina u drugoj iteraciji (d (2)), iz čega sledi visina preseka u drugoj iteraciji ( h(2)). Postupak treba ponavljati sve dok razlika dve uzastopne vrednosti visine preseka (h(i+1) – h(i)) ne bude ≈ 1 cm. Po dostizanju dovoljne tačnosti, potrebnu površinu zategnute armature As1 određujemo iz jednačine (65a) ili (65b). 2) Vezano dimenzionisanje . Svodi se na određivanje potrebne površine zategnute armature As1 za unapred zadate dimenzije poprečnog preseka ( b/h), poznate vrednosti momenta savijanja MEd i sile NEd, i svojstava materijala ( f cd i f yd). Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature ( d 1) i određuju se statička visina d = h – d 1, i vrednost momenta MEds = MEd + NEd(0,5h – d 1). Sada je moguće odrediti koeficijent μEds iz jednačine (66), na osnovu koga se iz tabela datih u Prilogu A očitavaju vrednosti stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1), kao i vrednosti koeficijenata ω i ζ , pomoću kojih se iz jednačine ( 65a) ili (65b) može odrediti potrebna površina zategnute armature As1. Nakon usvajanja i raspoređivanja armature, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju

njenog težišta (d 1) ispunjena. Pri značajnom odstupanju, neophodno je izvršiti korekciju proračuna sa bro jem iteracija koji je dovoljan za postizanje tačnosti koja je zadovoljavajuća. 3) Određivanje granične vrednosti momenta MEd iz poznatog poprečnog preseka (b/h), normalne sile NEd, površine i položaja armature ( As1 i d 1), i poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd). Statička visina d se određuje na jednostavan način (d = h – d 1). Iz jednačine (65a) je moguće izračunati mehanički koeficijent armiranja ω, na osnovu koga se iz tabela datih u Prilogu A očitava stanje dilatacija (εc/εs1), kao i koeficijenti ζ i μEds. Vrednost momenta MEds se može odrediti iz jednačine ( 65b) ili (66). Konačno, granična vrednost momenta se određuje kao MEd = MEds – NEd(0,5h – d 1). 4) Određivanje granične vrednosti momenta MEd i površine zategnute armature As1 iz već poznatog poprečnog preseka (b/h), normalne sile NEd, poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd), kao i unapred izabranog stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1). S obzirom da su dilatacije poznate, iz tabela datih u Prilogu A je moguće očitati koeficijente μEds i ω. Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature (d 1) i određuje se statička visina d = h – d 1. Vrednost momenta MEds se može odrediti iz jednačine (66), a potrebna površina zategnute armature As1 s e može odrediti iz jednačine (65 a). Po usvajanju i raspoređivanju armature u preseku, treba proveriti tačnost pretpostavke o položaju težišta armature (d 1). Ako je odstupanje značajno, treba izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje zadovoljavajuće tačnosti. Granična vrednost momenta se određuje kao MEd = MEds – NEd(0,5h – d 1). 3.3.3 Dvostruko armirani pravougaoni preseci

U praksi se dimenzionisanje armiranobetonskih preseka u najvećem broju slučajeva svodi na vezano dimenzionisanje. U prevodu, za poznate vrednosti spoljašnjih uticaja, svojstava materijala i dimenzija

53



poprečnog preseka, potrebno je odrediti površinu zategnute armature. U pojedinim slučajevima dolazi do dostizanja stanja dilatacija (εc/εs1) koje, iako je teorijski moguće, nije zadovoljavajuće sa aspekta kriterijuma projektovanja. Pod time se pre svega misli na stanje dilatacija koje ne obezbeđuje dovoljan kapacitet rotacije u armiranobetonskim elementima, odnosno dovoljnu duktilnost. Kao što je gore već naglašeno, u cilju obezbeđenja dovoljne duktilnosti treba ograničiti visinu pritisnute zone betona x na 0,45d za klase čvrstoće betona ≤ C50/60, i na 0,35 d za klase čvrstoće > C50/60. Za betone koji su klase čvrstoće ≤ C50/60, pri maksimalnom iskorišćenju betona (εc = 3,5‰), ispunjenje uslova duktilnosti se postiže pri stanju dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28. Dilatacija čelika εs1 od 4,28‰ predstavlja donju granicu za zadovoljenje kriterijuma duktilnosti. U praksi se za vrednosti dilatacija εc = 3,5‰ i 4,28‰ ≤ εs1 ≤ εud = 20‰ preseci opterećeni na savijanje dimenzionišu kao jednostruko armirani. Ako vrednost dilatacije u zategnutom čeliku (εs1) padne ispod 4,28‰, treba preći na dvostruko (dvojno, obostrano) armiranje. Napominje se da je usvajanjem granične dilatacije u čeliku od 4,28‰ pretpostavka o tečenju zategnute armature (σ s1 = f yd) korišćena u slučaju jednostruko armiranih preseka (jednačine (51a), (51b), (65a) i (65b)) uvek ispunjena.

U slučaju vezanog dimenzionisanja, bilo da je presek opterećen na čist o ili složeno savijanje, nakon pretpostavke o položaju težišta zategnute armature ( d 1), određuje se statička visina, d = h – d 1. Prvi korak u analizi predstavlja određivanje koeficijenta μEd (ili μEds) iz jednačine (56), odnosno (66). Na osnovu dobijene vrednosti se iz tabela u Prilogu A očitava stanje dilatacija εc/εs1. Ako je dilatacija u čeliku εs1 manja od 4,28‰, presek se dimenzioniše kao dvostruko armiran, št o podrazumeva usvajanje određene površine armature u pritisnutoj zoni preseka ( As2). Dvojno armiranim presecima je pritisnuta zona betona ojačana prisustvom armature As2, ali njeno dodavanje zahteva i dodatnu armaturu u zategnutoj zoni (Δ As1), kako bi uslovi ravnoteže bili zadovoljeni. Za potrebe izvođenja koje je prikazano u nastavku se usvaja da je presek opterećen na složeno savijanje (MEds → μEds), uz uzimanje u obzir sile pritiska. Ako u preseku deluje sila zatezanja, u jednačini (74) umesto „–“ ispred količnika NEd/ f yd treba koristiti „+“. Napominje se da za čisto savijanje važi potpuna analogija, uz zanemarenje normalne sile. Kada se ustanovi da je dilatacija čeliku (εs1) manja od 4,28‰, sledi određivanje graničnog momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature koji presek može da prihvati kao jednostruko armiran pri stanju dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28 (M*Eds). Moment M*Eds se može odrediti kao: *

*

2

MEds  μEds bd fcd

(67)

pri čemu μ*Eds ima vrednost koja odgovara stanju dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28, i iznosi 0,296 (dodatno, ω* = 0,364 i ζ * = 0,813). Za praktične potrebe, radi uprošćenja, može se napisati: *

2

MEds  0,296bd fcd

(68)

Razlika između spoljašnjeg momenta (MEds) i graničnog momenta koji presek može da prihvati kao jednostruko armiran (M*Eds) je zapravo moment koji treba poveriti spregu sila prikazanom na Slici 44, a koji je obeležen sa ΔMEds (ΔMEds = M Eds – M*Eds). U skladu sa prikazanim na Slici 44, mogu se postaviti

dva uslova ravnoteže:

H  0 M  0 As1



ΔFs1

 F s2



ΔMEds

 Fs2  d  d2 

(69a) (69b)

Uz korišćenje veza ΔF s1 = Δ As1σ s1 i F s2 = As2σ s2, iz uslova ravnoteže se dobija: Δ As1

54



ΔMEds



σs1 d



d 2



(70)



As2



ΔMEds



σs2 d  d 2



(71)

Budući da je εs1 = 4,28‰, jasno je da je napon u zategnutoj armaturi (σ s1) jednak f yd. Postavlja se pitanje kolika je vrednost napona u pritisnutoj armaturi (σ s2), odnosno da li je dostignuta vrednost napona u iznosu od f yd. Uz pretpostavku o položaju težišta pritisnute armature ( d 2), iz sličnosti trouglova sa dijagrama dilatacija prikazanog na Slici 44, moguće je odrediti dilataciju pritisnute armature εs2, a samim tim će biti poznato i da li važi da je σ s2 = f yd. Za donju granicu položaja težišta pritisnute armature d 2 potpuno je opravdano pretpostaviti vrednost 0,05d . Možemo napisati relaciju εs2 /  0, 45d  0, 05d   3, 5 /  0, 45d 

(72)

iz koje sledi da je εs2 = 3,11‰. Sada je jasno da je vrednost napona u pritisnutoj armaturi jednaka f yd, kako za stalne i prolazne, tako i za incidentne proračunske situacije (parcijalni koeficijent sigurnosti za čelik se razlikuje u navedenim slučajevima). Jednačine (70) i (71) se mogu napisati kao: Δ As1

 As2 

ΔMEds

fyd  d  d 2 

(73)

Slika 44 – Podaci za određivanje armature Aa2 i Δ As1 usled dejstva momenta Δ MEds

Ukupna površina potrebne zategnute armature u slučaju dvostruko armiranog preseka opterećenog na savijanje dobija se superpozicijom armature određene za slučaj jednostruko armiranog preseka pri stanju dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28 ( A*s1 iz jednačine (65a) ili (65b)) i dodatne armature Δ As1, odnosno: As1



* s1

A + ΔAs1

*



MEds *

z fyd

+



*

ω bd

ΔMEds fyd  d  d2 



fcd fyd

NEd fyd

+

ΔMEds

fyd  d



d2 

 0,364bd



fcd fyd

NEd f yd

+

*



M Eds *

ζ dfyd

ΔMEds fyd  d  d2 

+

ΔM Eds

f yd  d d 2  



NEd

fyd



N Ed f yd



(74)

Opet se napominje da je izvođenje urađeno za slučaj složenog savijanja, a da u slučaju čistog savijanja važi potpuna analogija, uz zanemarivanje normalne sile NEd.

Primeri armiranja preseka opterećenih na čisto i složeno savijanje, kao i dvostruko armiranih preseka, dati su u Prilogu E.

55


Školska godina 2016/2017 3.3.4 T-preseci, čisto i složeno savijanje

U statičkom smislu, u T -preseke spadaju poprečni preseci čija pritisnuta zona ima oblika slova T, kao što je prikazano na Slici 45a. Kao i u slučaju pravougaonih poprečnih preseka, kod T-preseka je veoma važno praviti razliku između geometrijskih i statičkih T -preseka. Geometrijski T-presek ne mora biti Tpresek i u statičkom smislu, što se događa kada je neutralna linija u pritisnutoj flanši, kao što je prikazano na Slici 45b (presek tretira kao pravougaoni, budući da je pritisnuta zona pravougaonog oblika).

Slika 45 – Statički i geometrijski T-preseci U armiranobetonskim konstrukcijama su T-preseci veoma zastupljeni, naročito u zgradarstvu. Tipičan

primer je monolitno izvedena međuspratna konstrukcija sačinjena od ploče i greda na koje se ploča oslanja (Slika 46). Grede se oslanjaju na stubove, pa se delovi greda koji se nalaze u polju (moment savijanja zateže donju ivicu) tretiraju kao grede T -preseka (ako je neutralna linija u rebru, kao na Slici 45a), dok se delovi greda u zonama iznad stubova (moment savijanja zateže gornju ivicu) tretiraju kao grede pravougaonog poprečnog preseka. Navedeni primer na vrlo dobar način ilustruje razliku između geometrijske i statičke klasifikacije poprečnog preseka . Treba napomenuti da se ivične grede koje se nalaze u međuspratnim konstrukcijama u pojedinim slučajevima klasifikuju kao grede Γ-preseka, što se dešava kada ploče nisu prepuštene preko ivičnih greda, kao što je prikazano na Slici 46 .

Slika 46 – Tipična monolitno izvedena međuspratna konstrukcija sačinjena od greda i ploče U primeru prikazanom na Slici 46, deo ploče iznad, levo i desno od grede, koji se tretira kao deo grede T ili Γ-preseka, naziva se efektivna širina flanš e (beff ). Na toj širini se može pretpostaviti da je dijagram napona pritiska uniforman. Efektivna širina flanše zavisi od dimenzija rebra i ploče, vrste opterećenja, raspona, uslova oslanjanja i poprečne armature. Monolitna veza između grede i ploče je obezbeđenja naponima smicanja na spoju ploče i rebra , kao i armaturom u ploči postavljenom upravno na pravac pružanja grede.

Efektivna širina flanše za grede T ili Γ -preseka (beff ) prikazana na Slici 47, može se odrediti na osnovu rastojanja l 0 između nultih tačaka momenata duž raspona , u skladu sa Slikom 48 kao: beff   beff,i + bw  b

56

(75)



gde je beff,i

 0,2bi + 0,1l0  0,2l0 i beff,i  bi

(76)

Slika 47 – Parametri za odeđivanje efektivne širine flanše

Slika 48 – Definicija l 0 za određivanje efektivne širine flanše Napominje se da raspon konzole prikazane na Slici 48 (l 3) treba da bude manji od polovine raspona

susednog polja, kao i da odnos raspona susednih polja treba da bude između 2/3 i 3/2. U nastavku se razmatraju postupci proračuna greda T -preseka. Kao što je već rečeno, u slučaju da je flanša pritisnuta i da se neutralna linija x nalazi u flanši ( x ≤ hf , Slika 49a), presek se dimenzioniše kao pravougaoni sa širinom flanše b ili beff . Ako je rebro pritisnuto i neutralna linija x se nalazi u rebru (Slika 49b), presek se takođe dimenzioniše kao pravougaoni , ali sa širinom rebra bw. Ako navedeni uslovi nisu ispunjeni, dimenzionisanje se vrši za T -presek.

Slika 49 – Situacije u kojima se geometrijski T-presek dimenzioniše kao pravougaoni

Za proračun T-preseka je moguće koristiti tačno rešenje, koje je zasnovano na izrazima izvedenim za opšti oblik poprečnog preseka (za više detalja videti literaturu iz oblasti teorije betonskih konstrukcija). U većini praktičnih problema dovoljna tačnost se postiže primenom uprošćenih pristupa koji su opisani u nastavku. Ovde se napominje da se, s ob zirom da nosači T-preseka imaju znatnu pritisnutu površinu, pritisnuta armatura po pravilu ne uvodi u proračun, bez obzira na proračunski pristup. U zavisnosti od odnosa širine flanše i rebra b(beff )/bw, primenjuju se različiti približni postupci analize i u dimenzionisanja: 1) Uprošćeni postupak sa zanemarenjem sile pritiska u rebru, primenljiv za b(beff )/bw > 5.

57



2) Uprošćeni postupak koji se zasniva na zamenjujućoj širini pravougaonog preseka , primenljiv za b(beff )/bw ≤ 5.

U nastavku će biti prikazana oba postupka, uz napomenu da će efektivna širina flanše biti obeležena sa b, a da se podrazumeva da sve prikazano važi i za beff . Biće razmatran slučaj složenog savijanja, uz napomenu da za čisto savijanje važi potpuna analogija. Izvođenja koja slede su urađena za silu pritiska, a ako u preseku deluje sila zatezanja, koja je negativna prema konvenciji, u jednačinama umesto „–“ treba koristiti „+“.Takođe se napominje da navedena vrednost dilatacije u betonu od 3,5‰ važi za klase čvrstoće betona ≤ C50/60, a da za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1.

Uprošćeni postupak za b(beff )/bw > 5 Za praktične potrebe, u slučajevima kada važi da je b/bw > 5, dovoljno je primeniti uprošćeni postupak koji je dovoljno tačan i nalazi se na strani sigurnosti. Osnovna pretpostavka postupka je da ukupnu silu pritiska F c prima samo flanša debljine hf , i da sila F c deluje u srednjoj ravni flanše (na hf /2), kao što je prikazano na Slici 50. Dodatno, pretpostavlja se da je napon pritiska po debljini flanše konstantan i jednak naponu u sredini debljine flanše (σ cf ). Greška do koje dolazi u ovom postupku je relativno mala jer je mala i zanemarena površina rebra, a proračun je veoma jednostavan.

Slika 50 – Podaci za proračun T-preseka pri b/bw > 5

Sa Slike 50 je jasno da je krak unutrašnjih sila određen kao: z



d



hf



d



2

0,5hf

(77)

U skladu sa prikazanim na Slici 50, mogu se postaviti dva uslova ravnoteže:

H  0

M

As1



Fc

 Fs1  NEd  0

 0  F z N y M  0 c

Ed

s1

Ed

(78a) (78b)

Ako se napiše veza za graničnu vrednost spoljašnjeg momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature (MEds) kao

MEds  NEd  e + ys1   MEd + NEdys1

58

(79)



tada, uz korišćenje veza F c = bhf σ cf i F s1 = As1σ s1, uslovi ravnoteže glase:

H  0 M  0 As1



NEd

 bhf σcf  As1σ s1



MEds  bhf σcf  d  0,5hf 

(80a)

(80b)

Potrebna površina armature As1 iz jednačine (80a) se može izraziti kao As1



bhf σcf



NEd

σ s1

(81a)

a, uz korišćenje veze date jednačinom (80b), može se izraziti i kao As1



MEds



σs1 d





0,5hf 

NEd

σ s1

(81b)

Budući da će doći do tečenja armature, u jednačinama (81a) i (81b) usvajamo da važi σ s1 = f yd. Konačno, potrebnu površinu zategnute armature određujemo kao: As1



As1



bhf σcf



NEd

f yd

MEds fyd  d  0,5hf 

(82a)



NEd f yd

(82b)

Statička visina d se može izraziti iz jednačine (80b) kao: d



MEds bhf σ cf

 0,5hf

(83)

Za približan postupak koji je prikazan, potrebno je računski dokazati da prosečni napon u sredini flanše (σ cf ) ne prelazi računsku čvrstoću betona ( f cd). Napon se može izraziti iz jednačin a (82a) i (80b), pa navedeni uslov možemo napisati kao: σcf



σcf



As1 fyd  NEd bhf

 f cd

MEds bhf  d  0, 5hf 

 f cd

(84a)

(84b)

Dilatacija u betonu εcf koja odgovara naponu σ cf se može odrediti iz veze date jednačinom (18a). Za betone klase čvrstoće ≤ C50/60 (vrednost eksponenta n je 2,0) dobija se kvadratna jednačina za εcf : ε

2

cf

4  4 εcf 

σ

cf

f cd

=0

(85)

Iako postoje dva rešenja jednačine (85), navodi se samo smisleno rešenje koje glasi:

ε

cf

  

= 21 

1

  f  σ

cf

(86)

cd

59



Položaj neutralne linije mereno od sredine flanše ( x f) se određuje iz sličnosti trouglova sa dijagrama dilatacija prikazanog na Slici 50 kao: xf =

ε cf

z=

ε ε cf s1

ε cf

ε ε cf s1

d  0, 5hf 

(87)

Sada se položaj stvarne neutralne linije ( x ) može odrediti kao x

= xf



0,5hf

(88)

a dilatacija na pritisnutoj ivici betona se može odrediti kao εc = εcf

x x f

(89)

Razmotri ćemo 4 moguća slučaja dimenzionisanja T-preseka prema opisanom uprošćenom postupku : 1) Slobodno dimenzionisanje . Uz poznate vrednosti momenta savijanja MEd i normalne sile NEd, kao i svojstava materijala ( f cd i f yd), usvaja se debljina ploče hf i širina rebra bw, na osnovu koje se iz jednačine (75) određuje efektivna širina beff koja je u ovoj analizi obeležena sa b. Usvaja se veličina napona u sredini flanše (σ cf ), u granicama 0,5 f cd ≤ σ cf ≤ 0,8 f cd. Predložene granice za napon σ cf daju ekonomične i tehnički opravdane dimenzije poprečnog preseka. S obzirom da visina preseka h nije poznata, u prvoj iteraciji treba usvojiti da je MEds(1) = MEd. Statičku visinu u prvoj iteraciji (d (1)) treba odrediti iz jednačine (83), a visina preseka u prvoj iteraciji iznosi h(1) = d (1) + d 1(1) (pretpostavlja se da je d 1(1) ≈ 0,1d (1)). Sa tako dobijenom visinom h(1) se određuje vrednost momenta MEds(2) = MEd + NEdy s1(1), pri čemu se y s1(1) određuje iz geometrijskih karakteristika poprečnog preseka. Iz dobijene

vrednosti momenta se određuje statička visina u drugoj iteraciji ( d (2)), iz čega sledi visina preseka u drugoj iteraciji (h(2)). Postupak treba ponavljati sve dok razlika dve uzastopne vrednosti visine preseka (h(i+1) – h(i)) ne bude ≈ 1 cm (u slučaju čistog savijanja se iterativni postupak ne sprovodi) . Po dostizanju dovoljne tačnosti određujemo dilataciju u sredini flanše (εcf ) iz jednačine (86). Uz pretpostavku o dilataciji u zategnutoj armaturi (εs1) od 20‰, određujemo položaj neutralne linije mereno od polovine flanše ( x f) iz jednačine (87). Ako je neutralna linija u flanši ( x f ≤ hf /2) presek se razmatra kao pravougaoni, širine b. Ukoliko je x f > hf /2, potrebna površina zategnute armature se određuje iz jednačine (82a) ili (82b). Položaj stvarne neutralne linije ( x ) i veličine dilatacije na pritisnutoj ivici preseka (εc) se mogu odrediti iz jednačina (88) i (89), respektivno. Napominje se da

εc ne sme biti veće od 3,5‰. 2) Vezano dimenzionisanje . Svodi se na određivanje potrebne površine zategnute armature As1 za unapred zadate dimenzije poprečnog preseka ( bw/b/h/hf ), poznate vrednosti momenta savijanja MEd i normalne sile NEd, i svojstava materijala ( f cd i f yd). Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature (d 1) i određuju se statička visina d = h – d 1 i vrednost momenta MEds = MEd + NEdy s1, pri čemu se y s1 određuje iz geometrijskih karakteristika preseka . Iz uslova datog jednačinom (84 b) se određuje veličina napona σ cf . Ako je σ cf > f cd proračun se prekida i prelazi se na tačan proračun. U suprotnom (σ cf < f cd), dilatacija u sredini flanše (εcf ) se određuje iz jednačine (86). Uz pretpostavku o dilataciji u zategnutoj armaturi (εs1 = 20‰) određujemo položaj neutralne linije mereno od sredine flanše ( x f) iz jednačine (87). Presek se razmatra kao pravougaoni (širine b) ako je x f ≤ hf /2. Ukoliko je x f > hf /2, potrebna površina zategnute armature se određuje iz jednačine (82 a) ili (82b). Nakon usvajanja i raspoređivanja armature, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju njenog težišta (d 1) ispunjena. Ako je odstupanje značajno, neophodno je izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje tačnosti koja je zadovoljavajuća. Položaj stvarne

60



neutralne linije ( x ) i veličine dilatacije na pritisnutoj ivici betona se mogu odrediti iz jednačina (88) i (89), respektivno. Napominje se da εc ne sme biti veće od 3,5‰. 3) Određivanje granične vrednosti momenta MEd iz poznatog preseka (bw/b/h/hf ), normalne sile NEd, površine i položaja armature ( As1 i d 1), i poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd). Statička visina d se određuje kao d = h – d 1. Veličina napona σ cf se može odrediti iz jednačine (84a). Ako je σ cf > f cd proračun se prekida i prelazi se na tačan proračun. U suprotnom (σ cf < f cd), vrednost momenta MEds se može odrediti iz jednačine (84b) . Konačno, granična vrednost momenta se određuje kao MEd = MEds – NEdy s1, pri čemu se y s1 određuje iz geometrijskih karakteristika preseka.

4) Određivanje granične vrednosti momenta MEd i površine zategnute armature As1 iz već poznatog poprečnog preseka ( bw/b/h/hf ), normalne sile NEd, poznatih svojstava materijala ( f cd i f yd), kao i unapred izabranog stanja dilatacija betona i čelika (εcf /εs1). Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature (d 1) i određuje se statička visina d = h – d 1. S obzirom da su dilatacije poznate, može se odrediti položaj neutralne linije mereno od sredine flanše ( x f) iz jednačine (87). Presek se razmatra kao pravougaoni (širine b) ako je x f ≤ hf /2. Ukoliko je x f > hf /2, iz jednačine (86) se može odrediti veličina napona σ cf . Ukoliko je σ cf > f cd proračun se prekida i prelazi se na tačan proračun. U suprotnom (σ cf < f cd), površina armature As1 se može odrediti iz jednačine (82a), a moment MEds

se može odrediti iz jednačine (84b). Po usvajanju i raspoređivanju armature u preseku, neophodno je proveriti tačnost pretpostavke o položaju težišta armature ( d 1). Ako je odstupanje značajno, treba izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje zadovoljavajuće tačnosti. Granična vrednost momenta se određuje kao MEd = MEds – NEdy s1, pri čemu se y s1 određuje iz geometrijskih karakteristika preseka.

Uprošćeni postupak za b(beff )/bw ≤ 5 U slučajevima kada je b/bw ≤ 5 primena gore prikazanog uprošćenog postupka obično ne daje rezultate dovoljne tačnosti, naročito ako je nosač većeg raspona i sa većim opterećenjem. Tada primenjujemo tačnije postupke u kojima doprinos pritisnutog betona u rebru nije zanemaren. Tačniji postupke treba primeniti i u slučajevima b/bw > 5, kada stvarna neutralna linija značajno izlazi iz flanše ( x >> hf ), što se događa kod preseka napregnutih na savijanje sa velikom normalnom silom pritiska. U nastavku ćemo razmotriti proračunski postupak (tzv. κ -postupak) koji se zasniva na zamenjujućoj širini pravougaonog preseka bi. Zamenjujuća širina preseka se određuje iz uslova da se pri jednakim položajima neutralne linije dobijaju jednake sile pritiska u pritisnutom T-preseku i idealizovanom pravougaonom preseku širine bi (Slika 51):

Slika 51 - Podaci za proračun T-preseka prema κ postupku pri b/bw ≤ 5

61



Ekvivalentna širina se određuje pomoć u koeficijenta κ : bi = κb

(90)

Koeficijent κ se određuje kao: αv 

hf 1   bw  1 1     αv  d ξ  b  '

κ = 1 

(91)

pri čemu su αv’ i αv koeficijenti punoće radnog dijagrama betona koji odgovaraju dilatacijama u betonu

na donjoj i gornjoj ivici flanše, respektivno. Za rešavanje praktičnih problema, koeficijent κ se očitava iz tabela datih u Prilogu B, u kojima je izračunat u zavisnosti od b/bw, hf /d i ξ . Razmotrićemo slučaj vezanog dimenzionisanja T-preseka primenom κ -postupka. Dimenzionisanje se svodi na određivanje potrebne površine zategnute armature As1 za već izabrane dimenzije poprečnog preseka (bw/b/h/hf ), poznate vrednosti momenta savijanja MEd i normalne sile NEd, i poznata svojstava materijala ( f cd i f yd). Pretpostavlja se položaj težišta zategnute armature ( d 1) i određuje se statička visina d = h – d 1, kao i vrednost momenta MEds = MEd + NEdy s1, pri čemu se y s1 određuje iz geometrijskih karakteristika preseka. Iz jednačine (66) se izračunava koeficijent μEds, na osnovu koga se iz tabela datih u Prilogu A očitavaju vrednosti stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1) i koeficijenta ξ . Izračunava se položaj neutralne linije ( x = ξd ). Ako neutralna linija leži u flanši ( x ≤ hf ) proračun se nastavlja kao za pravougaoni poprečni presek, odnosno, iz tabela iz Priloga A se očitavaju vrednosti koeficijenata ω i ζ , pomoću kojih se iz jednačine (65a) ili (65b) određuje potrebna površina zategnute armature As1. Po usvajanju i raspoređivanju armature, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju njenog težišta ( d 1)

ispunjena. Ako je odstupanje značajno, neophodno je izvršiti korekciju proračuna sa brojem iteracija koji je dovoljan za postizanje tačnosti koja je zadovoljavajuća. Ako je neutralna linija u rebru ( x > hf ), prelazi se na κ -postupak. Određuju se odnosi b/bw i hf /d . U slučaju da dobijene vrednosti ne odgovaraju vrednostima iz tabela datih u Prilogu B, treba izvršiti linearnu interpolaciju da bi se dobile odgovarajuće međuvrednosti κ . Očitavanjem koeficijenta κ je moguće izračuna ti ekvivalentnu širinu bi iz jednačine (90), nakon čega treba odrediti novi koeficijent μEds iz jednačine (66). Na osnovu njegove vrednosti iz tabela datih u Prilogu A treba očitati vrednosti stanja dilatacija betona i čelika (εc/εs1) i koeficijenta ξ . Ako postoji značajna razlika između novoočitane vrednosti koeficijenta ξ i vrednosti sa kojom se ušlo u određivanje koeficijenta κ radi se nova iteracija. Postupak treba ponavljati sve dok dve uzastopne vrednosti koeficijenta ξ ne postanu približno jednake. Kada se završi iterativni postupak, iz podataka dobijenih u poslednjoj iteraciji (koeficijenti ω i ζ ) se određuje potrebna površina armature iz jednačine (65a) ili (65b). Po usvajanju i raspoređivanju armature, treba proveriti da li je pretpostavka o položaju njenog težišta (d 1) ispunjena. Ako nije, proračun je potrebno ponoviti. Iako se, generalno, κ -postupak primenjuje u slučajev ima kada je b/bw ≤ 5, u tabelama datim u Prilogu B su vrednosti koeficijenta κ izračunate i za niz vrednosti odnosa b/bw koji je veći od 5. U pojedinim slučajevima je moguće primeniti κ -postupak i kada je b/bw > 5. Takvi slučajevi se javljaju kada je nosač opterećen na savijanje sa relativno ve likom normalnom silom pritiska. Sa dijagrama dilatacija koji je prikazan na Slici 51 je moguće dobiti vezu (εc‘ je dilatacija koja se javlja na donjoj ivici flanše): '

εc x  hf

=

εc

'



εc

=

x  hf

εc

x

x

=1

hf

= 1

x

hf 1

d ξ

(92)

Koeficijent ξ se iz jednačine (92) može izraziti kao:





ξ =  hf / d  / 1  εc / εc

62

'

(93)



Korišćenjem veze date jednačinom (92) jednačina (91) postaje: αv εc 

bw  1   αv εc  b  '

κ = 1 

'

(94)

Vrednosti koeficijenta κ prikazane u tabelama datim u Prilogu B su izračunate za unapred izabrane vrednosti koeficijenta ξ , i odnose hf /d i b/bw. Kao što je gore rečeno, maksimalna vrednost koeficijenta ξ je ograničena na 0,45 (za klase čvrstoće betona ≤ C50/60) kako bi se obezbedila dovoljna duktilnost preseka (u slučajevima kada je ξ > 0,45 treba preći na dvojno armiranje). Uz pretpostavku loma po armaturi (εs1 = 20‰), iz jednačine (39) je uz poznatu vrednost koeficijenta ξ moguće odrediti dilataciju u betonu εc kao ξεs1/(1 – ξ ). Kada se pri određenoj vrednosti ξ dostigne dilatacija u betonu koja je veća

od 3,5‰, treba promeniti prvobitnu pretpostavku loma po armatri i pretpostaviti lom po betonu (treba fiksirati vrednost εc na 3,5‰). Iz poznatih vrednosti dilatacija u betonu je moguće odrediti odgovar ajuće koeficijente punoće radnog dijagrama αv iz jednačina (41a) i (41b). Dilatacije na donjoj ivici flanše (εc‘) se mogu odrediti iz veze date jednačinom (92), odgovarajući koeficijenti αv‘ iz jednačina (41a) i (41b), a koeficijenti κ iz jednačine (94). Primeri armiranja T-preseka opterećenih na čisto i složeno savijanje dati su u Prilogu E.

3.4 Ekscentrični pritisak (mali ekscentricitet) i centrični pritisak bez uticaja izvijanja U ovom poglavlju se razmatra poprečni presek armiranobetonskog elementa koji je napregnut na ekscentrični pritisak u fazi malog ekscentriciteta i centrični pritisak. Poprečni presek se nalazi u stanju bez prslina. Pretpostavlja se da presek ima vertikalnu osu simetrije i da napadna tačka normalne sil e leži na njoj. Razmatrani slučajevi naprezanja pripadaju Oblasti 5. Uticaj izvijanja neće biti uzet u obzir, odnosno, pretpostavlja se da je vitkost elementa manja od granične vrednosti vitkosti do koje uticaj izvijanja može biti zanemaren ( λ < λmin). Proračun vitkih elemenata prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 će biti prikazan u Poglavlju 4. 3.4.1 Ekscentrični pritisak (mali ekscentricitet) Ako u armiranobetonskom elementu van njegovog težišta deluje normalna sila pritiska takva da je ceo presek pritisnut, radi se stanju o ekscentričnog pritiska u fazi malog ekscentriciteta. Neutralna linija se nalazi van poprečnog preseka ( x ≥ h). Budući da je presek bez prslina, aktivni deo poprečnog preseka čine ukupna površina betona i armature . Na Slici 52 je prikazan poprečni presek opterećen na pritisak u fazi malog ekscentriciteta. Napominje da navedene vrednosti dilatacija u betonu, kao i položaj tačke C važe za klase čvrstoće betona ≤ C50/60 (za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1).

U slučaju pravougaonih poprečnih preseka sila pritiska u betonu (F c) se može izraziti kao: F c = αw fcd bh

(95)

pri čemu αw označava koeficijent punoće radnog dijagrama betona za slučaj delovanja sile pritiska u fazi malog ekscentriciteta, određen kao: αw =

1

125  64ε 189

c"2"

2

 16εc"2"



(96)

Položaj sile F c u odnosu na tačku C, koja je tačka rotacije mogućih dilatacija, određen je proizvodom koeficijenta k b i visine poprečnog preseka h. Pri tome se koeficijent k b određuje kao:

63



k b =

ε

40

c"2"

2

7 125  64 εc"2"

2



 16 ε

2

(97)

c"2"

Slika 52 –Armiranobetonski presek opterećen silom pritiska u fazi malog ekscentriciteta

U poprečnom preseku se granične vrednosti dilatacija kreću u intervalu od ε c”1” = 0‰ do ε c”2” = 3,5‰, što zavisi od ekscentriciteta normalne sile NEd, pa sve do εc”1” = εc”2” = 2,0‰, što je granični slučaj koji odgovara centričnom pritisku. Dilataciju u betonu na donjoj ivici poprečnog preseka (εc”1”) je moguće izraziti u funkciji dilatacije na gornjoj ivici preseka (εc”2”) kao: εc"1" =

14  4 εc"2" 3

za 2, 0‰  εc

,

 3, 5‰

(98)

Stanje napona i deformacija prikazano na Slici 52 je karakteristično za stubove. U praksi je uobičajeno da se stubovi pravougaonih poprečnih preseka opterećeni silom pritiska u fazi malog ekscentriciteta armiraju simetrično, budući da se na taj način postižu optimalna konstrukcijska rešenja. Dakle, usvaja se da važi: As1 = As2 =

1 2

As

(99)

Imajući u vidu vezu datu jednačinom (99) , logično je pretpostaviti da su položaji težišta armature s1 i s2 jednaki, odnosno da važi: d1 = d2 = a

(100)

U skladu sa prikazanim na Slici 52, za pravougaoni poprečni presek je moguće postaviti dva uslova

ravnoteže:

H  0

M

Gc



Fc + Fs1 + Fs2

 NEd  0

(101a)

h  h   0  F k h +F  a F  a M  0 2  2  c

b

s2

s1

Ed

(101b)

Uz korišćenje veza datih jednačinama (95) i (99), i veza F s1 = As1σ s1 i F s2 = As2σ s2, uslovi ravnoteže postaju:

64



H  0

M



αwbhfcd +

 0  α k bh f 2

Gc

w

b

cd

As

2 +

σ

s1

+ σ s2

 N

Ed

0

(102a)

h  σ  σ    a   M  0 2

As

s2

2

s1





Ed

(102b)

Sila NEd i moment MEd mogu biti izraženi kao: NEd  αw bhfcd + MEd  α wkbbh

2

As

2

σ

fcd +

s1

As

2

+ σs2 

(103)

h  σ  σ    a  2 s2

s1



(104)



Deljenjem obe strane jednačine (103) i (104) sa bhf cd, odnosno sa bh2 f cd, dobijaju se bezdimenzionalni koeficijenti nEd i mEd:

nEd



NEd bhfcd



MEd

mEd 

2

bh fcd

α

w

+

1 As

σ

s1

+ σ s2

bhfcd

2

 αwk b +

1



(105)

h  a 2 

As  σs2  σs1   2

(106)

bh fcd

2

Ako izrazimo mehanički koeficijent armiranja ω dat jednačinom (51b) u odnosu na ukupnu površinu betona (bh) i armature ( As) dobijamo: ω



As f yd bh f cd

(107)

Sada se izrazi za nEd i mEd mogu napisati kao:

nEd



NEd bhfcd

mEd 



MEd 2

bh fcd

α w

+

1

σ ω

2

 αwkb +

s1

+ σ s2

fyd 1  2α 4

ω

(108)

σs2  σ s1 fyd

,

α

a h

(109)

Odnos mEd/nEd se svodi na: mEd nEd

e 

h

(110)

Praktični značaj koeficijenata nEd i mEd će biti razmatran u narednom poglavlju. 3.4.2 Centrični pritisak Ako u armiranobetonskom elementu normalna sila pritiska deluje u njegovom težištu radi se o stanju centričnog pritiska. Presek je bez prslina i aktivni deo poprečnog preseka čine ukupna površina betona i armature. Na Slici 53 je prikazan poprečni presek opterećen na centrični pritisak . Treba imati u vidu da navedena vrednosti dilatacija u betonu od 2,0‰ važi za klase betona ≤ C50/60, a da za betone viših klasa treba koristiti odgovarajuće vrednosti date u Tabeli 3.1 standarda SRPS EN 1992-1-1.

65



Slika 53 - Armiranobetonski presek opterećen na centrični pritisak Sa Slike 53 je jasno da se nosivost preseka iscrpljuje pri dilataciji koja je konstantna po visini poprečnog preseka i koja iznosi 2,0‰. Stanje centričnog pritiska je karakteristično za stubove (h ≤ 4b) i zidove (h > 4b).

U slučaju pravougaonih poprečnih preseka sila pritiska u betonu data jednačinom (95) se izražava kao: Fc = bhfcd

(111)

jer koeficijent αw za vrednost dilatacije od 2‰ iznosi 1.

Kao i u slučaju ekscentričnog pritiska, uobičajeno je da se vrši simetrično armiranje pravougaonih poprečnih preseka, tj. usvaja se da važi veza data jednačinom (99 ). Budući da su dilatacije u armaturi s1 i s2 jednake (εs1 = εs2 = εs), jednake su i vrednosti napona (σ s1 = σ s2 = σ s). U skladu sa prikazanim na Slici 53, za pravougaoni poprečni presek je dovoljno postaviti jedan uslov ravnoteže:

H  0



Fc + Fs1 + Fs2  NEd  0

(112)

Sila NEd se može izraziti kao:

NEd



bhfcd + As σ s

(113)

Iz jednačine (107) je moguće izraziti ukupnu površinu armature As kao As



ωbh

f cd f yd

(114)

što, ako se iskoristi u jednačini (113) dovodi do veze: NEd  bhfcd + ωbh

f cd fyd

  

σs  bhfcd  1 + ω

σ s 

 f yd 

(115)

U proračunu se radi pojednostavljenja usvaja da je σ s približno jednako f yd, budući da za čelik B500B u slučaju stalne i prolazne proračunske situacije dilatacija ( f yd/E s) iznosi 2,17‰ što je približno jednako

66



dilataciji u preseku koja iznosi 2‰. U slučaju incidentne proračunske situacije je odstupanje nešto veće jer je f yd/E s = 2,5‰. U svakom slučaju, izjednačavanje σ s i f yd je potpuno opravdano, zato što je nosivost preseka prvenstveno zasnovana na nosivosti betona. Sila NEd se sada može izraziti kao:

NEd



bhfcd + ωbh

f cd f yd

σs



bhfcd 1 + ω 

(116)

U slučaju centričnog pritiska bezdimenzionalni koeficijent nEd se može izraziti kao: nEd



NEd bhf cd



1+ ω

(117)

3.4.3 Primena dijagrama interakcije za dimenzionisanje

U Prilogu C su dati tzv. dijagrami interakcije mEd – nEd – ω1 koji se mogu koristiti za proračun preseka koji su napregnuti na pravo savijanje. Primena interakcionih dijagrama je u praksi ipak najzastupljenija u slučaju preseka koji su opterećeni silom pritiska u fazi malog ekscentriciteta. Na dijagramima se koeficijent mEd = MEd/(bh2 f cd) nalazi na apscisi, a koeficijent nEd = NEd/(bhf cd) na ordinati. Pozitivne vrednosti ordinate se odnose na silu pritiska, dok se negativne odnose na silu zatezanja. Dilatacije u pritisnutom delu preseka imaju pozitivan predznak, a dilatacije u zategnutom delu negativan. Stoga, dilatacije u pritisnutom betonu i pritisnutoj armaturi imaju predznak „+“, a dilatacije u zategnutoj armaturi predznak „–“. Za detalje o postupku konstruisanja interakcionih dijagrama treba konsultovati literaturu iz teorije betonskih konstrukcija. Treba imati u vidu da je konstruisanje dijagrama interakcije moguće za razne oblike poprečnih preseka, kao za slučaj preseka opterećenih na koso savijanje.

Na dijagramima interakcije je prikazana računska nosivost poprečnog preseka za izabrane parametre. Smatra se da je sigurnost u odnosu na lom preseka zadovoljena kada se vrednosti koeficijenata nEd i mEd nalaze unutar površine koja je ograničena graničnom krivom i koordinatnim osama za vrednost

određenog mehaničkog koeficijenta armiranja. Interakcioni dijagrami koji su dati u Prilogu C se odnose na armaturu B500B i klase čvrstoće betona ≤ C50/60, i pokrivaju slučajeve simetričnog i nesimetričnog armiranja za različite vrednosti položaja težišta armature u preseku. Ako se u proračunu pokaže da se pretpostavljeni položaji težišta armature nalaze između dve susedne vrednosti za koje su interakcioni dijagrami konstruisani, potrebno je ili izvršiti linearnu interpolaciju, ili uzeti podatke za dimenzionisanje koji su na strani sigurnosti. Kao što se može videti iz Priloga C, dijagrami pokrivaju sve naponsko-deformacijske oblasti prikazane na Slici 36. Pri korišćenju dijagrama treba imati u vidu da se pritisnut a armatura upotrebljava samo onda kada

je to neophodno (o čemu je ranije bilo reči). Izuzetak su armiranobetonski preseci koji su u celosti pritisnuti, ili preseci na koje deluju alternativni momenti savijanja, sa ili bez normalne sile (± MEd(s)). Primena dijagrama interakcije je veoma jednostavna. Za poznate vrednosti spoljašnjeg opterećenja (NEd i MEd), usvojene dimenzije poprečnog preseka (b/h) i izabranu klasu čvrstoće betona, izračunavaju se bezdimenzionalni koeficijenti nEd i mEd. Pretpostavljaju se položaji težišta armature (d 1 = d 2 = a) i sa interakcionog dijagrama se očitava vrednost mehaničkog koeficijenta armiranja ω1. Ako se radi o simetričnom armiranju važi da je ω1 = ω2 = ω/2. U slučaju nesimetrično armiranih preseka važi veza As1/ As2 = ω1/ω2. Potrebna površina armature se izračunava kao: As1  ω1bh

As2



ω2bh

f cd f yd

f cd f yd

(118a)

(118b)

67



Iako postoji jasna analogija između jednačine (51a) i jednačina (118a) i (118b), napominje se da je u slučaju jednačine (51a) mehanički koeficijent armiranja ω izražen preko proizvoda širine preseka b i statičke visine d (bd ), dok je u slučaju jednačina (118a) i (118b) izražen u odnosu na ukupnu površinu betonskog preseka (bh), što je jasno iz jednačine (107). 3.4.4 Pravila za armiranje stubova

Kada je u pitanju armiranje stubova, o pterećenih bilo ekscentričnim ili centričnim pritiskom, treba imati u vidu odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1: -

Minimalni prečnik podužne armature (Ømin) je 8 mm. U konstrukterskoj praksi ni je uobičajeno da se za prečnik usvaja vrednost ispod 12 mm. Ukupna površina podužne armature ne sme biti manja od As,min (pri čemu je Ac površina poprečnog preseka):

As,min

 0,10NEd   max  f yd 0,002 A c 

(119)

-

Ukupna površina podužne armature ne sme biti veća od As,max, što iznosi 0,04 Ac izvan zona u kojima

-

se armatura nastavlja preklapanjem i 0,08 Ac u zonama nastavljanja preklapanjem. U slučaju stubova poligonalnog poprečnog preseka neophodno je da u svakom ugl u postoji barem

-

po jedna šipka. U slučaju stubova kružnog poprečnog preseka minimalni broj šipki je 4. Prečnik poprečne armature (uzengija, petlji ili spiralne armature) ne treba da bude manji od 6 mm, niti od jedne četvrtine maksimalnog prečnika podužnih šipki . Rastojanje poprečne armature po visini stuba ne treba da bude veće od scl,tmax:

scl,t

-

 scl,tmax

 20 min   min  b 400 mm 

(120)

Maksimalno rastojanje definisano izrazom (120) treba smanjiti za 40% (pomnožiti sa faktorom 0,6)

u presecima iznad i ispod ploče ili grede, na visini jednakoj većoj dimenziji poprečnog preseka stuba, i u zoni nastavljanja armature preklapanjem ako je maksimalni prečnik šipki veći od 14 mm (veza data izrazom (121)) . Na dužini preklapanja treba da se predvide najmanje 3 šipke koje su raspoređene na jednakom međusobnom rastojanju.

scl,t

-

-

 scl,tmax

 12 min   min  0,6b 240 mm 

Kada u stubu dolazi do promene pravca podužnih šipki (npr. u slučaju promene dimenzija stuba), rastojanje poprečne armature treba da se sračuna uzimajući u obzir prisutne bočne sile. Navedene efekte je moguće zanmariti ako promena pravca nije veća od 1:12. Svaka podužna šipka ili svežanj šipki koji se nalazi u uglu poprečnog preseka moraju biti pridržani poprečnom armaturom. U pritisnutoj zoni nijedna šipka ne sme da bude na rastojanju većem od 150 mm od šipke čije je pomeranje sprečeno poprečnom armaturom.

Primeri armiranja stubova različitih poprečnih preseka su dati u Prilogu E.

68

(121)



4 Granično stanje nosivosti vitkih elemenata 4.1 Uvod

U složenim konstrukcijskim sistemima je proračun vitkih elemenata u graničnom stanju nosivosti vrlo kompleksan. Stoga se problemi povezani sa uticajima drugog reda pojednostavljuju odgovarajućim proračunskim modelima koji daju rezultate zadovoljavajuće tač nosti. Pravilnim definisanjem uslova oslanjanja i pomerljivosti čvorova u konstrukciji, problem izvijanja u oblasti granične nosivosti se svodi na analizu zamenjujućih vitkih štapova prema teoriji drugog reda. Pritom, neophodno je uzeti u obzir stvarna reološka svojstva materijala i moguća geometrijska odstupanja. Prema odredbama standarda SRPS EN 1990, uticaje drugog reda treba uzeti u obzir kada se očekuje da mogu znatno da utiču na globalnu stabilnost konstrukcije, i na dostizanje graničnog stanja nosivo sti u kritičnim presecima. Uticaji drugog reda u armiranobetonskim konstrukcijama zgrada se razmatraju u skladu sa odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1. U pojedinim slučajevima uticaji drugog red a mogu da se zanemare, o će kasnije biti više reči . Pre prelaska na analizu uticaja drugog reda, neophodno je definisati osnovne pojmove. Uticaji prvog reda su uticaji usled dejstava na konstrukciji koji su izračunati ne vodeći računa od uticaju deformacija konstrukcije, ali uzimajući u obzir geometrijske imperfekcije (što je i neophodno prema

odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1). Odstupanja dimenzija poprečnog preseka su u obzir uzeta kroz koeficijente sigurnosti za materijale i njih ne treba uvoditi u analizu. Minimalni ekscentricitet za simetrično armirane poprečne preseke opterećene silom pritiska iznosi e0 = h/30, ali ne manje od 20 mm, gde je h je visina poprečnog preseka. U graničnim stanjima nosivosti geometrijske imperfekcije moraju da se uzmu u obzir za trajne i incidentne proračunske situacije, dok ih u slučaju graničnih stanja upotrebljivosti ne treba razmatrati. Odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1 koje su prikazane u nastavku se odnose na elemente opterećene aksijalnim silama pritiska , kao i na konstrukcije sa vertikalnim opterećenjima. Imperfekcije mogu biti predstavljene nagibom θi koji se određuje kao: θi



θ0αhαm

(122)

gde su:  



θ0 – osnovna vrednost, za koju je preporučeno 1/200; αh – redukcioni koeficijent za visinu koji se kreće u granicama 2/3 ≤ αh ≤ 1, a određuje se kao 2/l 0,5, pri čemu je l dužina ili visina u metrima; αm – redukcioni koeficijent za broj elemenata koji se određuje kao (0,5(1 + 1/ m))0,5, pri čemu je m broj vertikalnih elemenata koji doprinose ukupnom uticaju;

U izrazu (122) definicija vrednosti l i m zavisi od razmatranog uticaja, pri čemu razlikujemo tri osnovna slučaja (prikazana na Slici 54): -

Uticaj na izdvojeni element: l = stvarna dužina elementa, m = 1. Uticaj na sistem za ukrućenje konstrukcije: l = visina zgrade, m = broj vertikalnih elemenata koji

-

prenose horizontalnu silu na sistem za ukrućenje. Uticaj na međuspratne konstrukcije ili krovne dijafragme koje prenose horizontalna opterećenja: l = spratna visina, m = broj vertikalnih elemenata u spratu (ili spratovima) koji prenose ukupnu

horizontalnu silu na međuspratnu konstrukciju/dijafragmu. U slučaju izdvojenih (samostalnih) elemenata (primeri dati na Slici 55), uticaj imperfekcija može biti uzet u obzir na dva alternativna načina:

69



a) Kao ekscentricitet ei (Slika 54a1 i Slika 54a2 levo) koji se određuje kao ei = θil 0/2, pri čemu je l 0 efektivna dužina elementa ( Slika 55). Za zidove i izdvojene stubove u ukrućenim sistemima, kao uprošćenje se može usvojiti da je ei = l 0/400, što odgovara vrednosti αh = 1. b) Kao transverzalna sila Hi, u položaju koji daje maksimalni momenat. Za neukrućene elemente (Slika 54a1 desno) je Hi = θiN, a za ukrućene elemente (Slika 54a2 desno) je Hi = 2θiN, pri čemu je N aksijalno opterećenje. Ekscentricitet je pogodan za sluča j statički određenih elemenata, dok transverzalno opterećenje može

biti primenjeno i za statički određene i za statički neodređene elemente. Silu Hi je moguće zameniti nekim drugim ekvivalentnim transverzalnim dejstvom. Pod ukrućenim elementom se smatra element za koji u analizi i proračunu može biti pretpostavljeno da ne doprinosi ukupnoj horizontalnoj stabilnosti konstrukcije.

Slika 54 – Primeri uticaja geometrijskih imperfekcija

Slika 55 – Primeri različitih oblika izvijanja i odgovarajućih efektivnih dužina za izdvojene elemente

70



U konstrukcijama uticaj nagiba θi može biti predstavljen transverzalnim silama koje u analizi treba uzeti u obzir zajedno sa ostalim dejstvima. Pritom, u slučaju sistema za ukrućenje transverzalna sila se određuje kao Hi = θi(Nb – Na), u slučaju međuspratne dijafragme kao Hi = θi(Nb + Na)/2, dok se u slučaju krovne dijafragme određuje kao Hi = θiNa, pri čemu su Na i Nb podužne sile koje daju horizontalnu silu Hi (Slika 54b, 54c1 i 54c2, respektivno).

Uticaji drugog reda su dodatni uticaji od dejstava koji nastaju usled deformacija konstrukcije. Njihova

pojava se dešava u konstrukcijama sa fleksibilnim sistemom za ukrućenje. Ako se uticaji drugog reda uzimaju u obzir, ravnoteža i nosivost moraju biti provereni na deformisanoj konstrukciji. Deformacije moraju biti sračunate uzimajući u obzir relevantn e uticaje prslina, nelinearnog ponašanja materijala i tečenja betona. U slučaju da se konstrukcija analizira na osnovu linearnih svojstava materijala, moguće je odrediti deformacije uvođenjem redukovanih vrednosti krutosti u proračun, o čemu će nešto kasnije biti više reči. Uticaji drugog reda mogu biti zanemareni ako su manji od 10% od odgovarajućih uticaja prvog reda. U nastavku teksta će biti opisani uprošćeni krit erijumi procene za izdvojene elemente i konstrukcije.

4.2 Uprošćeni kriterijumi za uticaje drugog reda 4.2.1 Kriterijum vitkosti za izdvojene elemente

U slučaju izdvojenih elemenata uticaj i drugog reda mogu biti zanemareni ako je vitkost elementa λ manja od vitkosti λmin definisane kao: λmin

20 ABC 

(123)

n

Koeficijent A se određuje kao 1/(1 + 0,2ϕef ), gde je ϕef efektivni koeficijent tečenja koji je definisan kao ϕ(∞,t 0)M0Eqp/M0Ed. ϕ(∞,t 0) je konačni koeficijent tečenja definisan u standardu SRPS EN 1992-1-1, a M0Eqp i M0Ed su momenti savijanja prvog reda određeni za kvazi-stalnu i proračunsku kombinaciju opterećenja u graničnim stanjima upotrebljivosti i nosivosti, respektivno. U slučaju da ϕef nije poznat, može se usvojiti A = 0,7. Uticaj tečenja se može zanemariti (ϕef = 0) ako je ϕ(∞,t 0) ≤ 2, λ ≤ 75 i M0Ed/NEd ≥ h. Koeficijent B se određuje kao (1 + 2ω)0,5, pri čemu je ω mehanički koeficijent armiranja dat u odnosu na ukupnu površinu betona ( Ac) i armature ( As), tj. dat jednačinom (107). Ako vrednost ω nije poznata, može se usvojiti B = 1,1. Koeficijent C se određuje kao 1,7 – r m, gde je r m odnos momenata prvog reda na krajevima elementa, tj. r m = M01/M02. Za momente mora važiti da je |M02| ≥ |M01|. Ako momenti zatežu istu stranu r m treba usvojiti kao pozitivan (što daje C ≤ 1,7), a ako zatežu različite strane treba ga usvojiti kao negativan (što daje C > 1,7). Ako odnos r m nije poznat, može se usvojiti C = 0,7. Kod ukrućenih elemenata u kojima momenti prvog reda nastaju dominantno ili jedino usled imperfekcija ili transverzalnog opterećenja, kao i kod neukrućenih elemenata , treba usvojiti r m = 1 (što daje C = 0,7). Koeficijent n je definisan kao relativna normalna sila NEd/( Ac f cd), tj. ekvivalentan je koeficijentu nEd koji je dat jednačinama (108) i (117). Vitkost λ je definisana kao: λ 

l 0 i

(124)

pri čemu je l 0 efektivna dužina elementa, a i je poluprečnik inercije betonskog preseka bez prslina. Efektivna dužina je dužina na kojoj se u obzir uzima oblik deformacione krive. Ona se može definisati i kao dužina izvijanja . Razni primeri efektivne dužine , odnosno dužine izvijanja za izdvojene elemente su dati na Slici 55. Preporuka je da vrednost vitkosti ne prelazi 140, odnosno 200 u fazi montaže.

71



Za pritisnute elemente u geometrijski pravilnim ramovskim konstrukcijama kriterijum vitkosti treba

proveriti sa efektivnom dužinom l 0 određenom na sledeći način: -

Za ukrućene elemente (videti Sliku 55f): l0

-

   k1 k 2  0, 5l  1 +  1 +   K12l k k 0, 45 + 0, 45 + 1  2  

(125)

Za neukrućene elemente (videti Sliku 55g):

  k1k 2   1+10   k1 + k 2    l0  l ×max  k1  k 2   1 + 1 + k  1 + 1 + k 1  2 

  

 K12 l

(126)

gde su k 1 i k 2 relativne elastičnosti uklještenja koja sprečavaju rotaciju na krajevima „1“ i „2“ elementa, repsektivno, a K 12 je koeficijent efektivne dužine izvijanja. Koeficijent k se može odrediti kao : k

θ EI 

M l

(127)

U izrazu (127) θ označava rotaciju elastičnog uklještenja usled momenta savijanja M (Slika 55, slučajevi f i g), EI je krutost na savijanje pritisnutog elementa, a l je čista visina pritisnutog elementa između uklještenih krajeva. Teorijska granica za apsolutno kruto uklještenje je k = 0. S obzirom da je ostvarenje apsolutne krutosti u praksi retko, za vrednosti k 1 i k 2 se umesto nule preporučuje upotreba 0,1. Tabele sa koeficijentom efektivne dužine izvijanja ( K 12), izračunatim u zavisnosti od vrednosti koeficijenata k 1 i k 2, su date u Prilogu D. Njihovom primenom se za unapred određene vrednosti koeficijenata k 1 i k 2 efektivna dužina izvijanja razmatranog sistema određuje relativno brzo. U slučaju da može da se pretpostavi da susedni pritisnuti element (stub) u čvoru može da doprinese rotaciji posmatranog elementa pri izvijanju, vrednost EI/l u jednačini (127) treba zameniti sa [(EI/l )a + (EI/l )b], pri čemu a i b označavaju pritisnuti element (stub) iznad i ispod čvora. Pri definisanju efektivne dužine l 0, krutost elemenata koji sprečavaju deformacije treba da se odredi uzimajući u obzir uticaj prslina, osim ako se može pokazati da se radi o elementima u kojima ne dolazi do pojave prslina u graničnom stanju nosivosti. Za slučajeve koji nisu opisani Slikom 55 i jednačinama (125) i (126) , npr. elementi sa promenljivom normalnom silom i/ili poprečnim presekom, kriterijum vitkosti treba proveriti sa efektivnom dužinom koja odgovara opterećenju pri kojem dolazi od izvijanja (u slučaju izdvojenih elastičnih elemenata to je sinonim za Ojlerovu silu): l 0  π

EI NB

(128)

pri čemu je EI reprezentativna krutost na savijanje, a NB je opterećenje pri kojem dolazi do izvijanja, izraženo pomoću krutosti EI. Takođe treba imati u vidu da i u jednačini (124) poluprečnik inercije i takođe odgovara krutosti EI.

72


Školska godina 2016/2017 4.2.2 Kriterijum za globalne uticaje drugog reda u konstrukcijama zgrada

U konstrukcijama zgrada za koje se može smatrati da poseduju dovoljnu simetričnost u osnovi (uticaj torzije u osnovi nije značajan), u kojima su smičuće deformacije zanemarljive (kao n a primer u sistemu za ukrućenje koji se sastoji pretežno od zidova bez većih otvora) , u kojima su svi elementi za ukrućenje kruto vezani u osnovi (rotacije su zanemarljive), u kojima je krutost elemenata za ukrućenje je približno konstantna po visini, i u kojima se ukupno vertikalno opterećenje povećava približno ravnomerno po spratovima, globalni efekti drugog reda se mogu zanemariti ako je zadovoljen uslov FV,Ed  k 1

ns

E

ns +1,6

2

L

I

cd c

(129)

gde su: 

F V,Ed – ukupno vertikalno opterećenje (na ukrućene elemente i na elemente za ukrućenje) ;



ns – broj spratova;



L – ukupna visina zgrade iznad nivoa uklještenja;



E cd – proračunska vrednost modula elastičnosti betona jednaka E cm/γ cE (preporučena vrednost

za γ cE je 1,2); 

Ic – moment inercije poprečnog preseka elemen (a)ta za ukrućenje (bez prslina);



k 1 – koeficijent za koji je preporučena vrednost 0,31.

Koeficijent k 1 se u jednačini (129) može zameniti koeficijentom k 2 ako se može dokazati da su elementi za ukrućenje bez prslina. Preporučena vrednost za koeficijent k 2 je 0,62. Ako konstrukcijski sistem za ukrućenje ima značajne globalne deformacije od smicanja i/ili torzije, potrebno je konsultovati Aneks H standarda SRPS EN 1992-1-1. U istom aneksu je prikazano i izvođenje veze date izrazom (129).

4.3 Metode analize uticaja drugog reda

Pored opšte metode analize, koja je zasnovana na nelinearnoj analizi drugog reda, u praksi je moguće primeniti i dve pojednostavljene metode: metodu koja se zasniva na nominalnoj krutosti i metodu koja se zasniva na nominalnoj krivini. Metoda zasnovana na nominalnoj krutosti se može primeniti kako u

slučaju izdvojenih elemenata, tako i u slučaju konstrukcija u celosti, dok se metoda koja je zasnovana na nominalnoj krivini uglavnom primenjuje u analizi izdvojenih elemenata (u određenim slučajevima, kada je moguće napraviti realne pretpostavke o raspodeli krivine, može se koristiti i za analizu celih konstrukcija). U nastavku će biti razmatrane obe gore navedene pojednostavljene metode. 4.3.1 Metoda zasnovana na nominalnoj krutosti

Ako se analiza uticaja drugog reda zasniva na krutosti, treba koristiti nominalne vrednosti krutosti na

savijanje, uzimajući u obzir uticaje prslina, nelinearnosti materijala i tečenja na globalno ponašanje konstrukcije. Isto se odnosi i na susedne elemente koji su obuhvaćeni analizom (npr. grede i ploče). Veličina nominalne krutosti vitkih elemenata se procenjuje kao: EI



KcE cdI c + K sE sI s

(130)

gde su: 

E cd – proračunska vrednost modula elastičnosti betona jednaka E cm/γ cE (preporučena vrednost

za γ cE je 1,2); 

Ic – moment inercije poprečnog preseka betona (bez prslina);



E s – proračunska vrednost modula elastičnosti armature;



Is – moment inercije površine armature u odnosu na težište betona ;

73


Školska godina 2016/2017 

K c – koeficijent kojim se u obzir uzima uticaj prslina, tečenja i dr. ;



K s – koeficijent kojim se u obzir uzima doprinos armature.

Ako geometrijski odnos površina armature i betona ( ρ = As/ Ac) nije manji od 0,002, može se usvojiti da je K s = 1 i da je K c = k 1k 2/(1 + ϕef ). Pritom, koeficijent k 1 zavisi od klase čvrstoće betona, određuje se kao ( f ck/20)0,5, i izražen je u MPa, dok koeficijent k 2 zavisi od aksijalne sile i vitkosti, određen je kao nλ/170 i nije veći od 0,20 (n je relativna aksijalna sila NEd/( Ac f cd), a λ je vitkost). Ako vitkost nije poznata, može se usvojiti da je k 2 = 0,30n ≤ 0,20. Kao pojednostavljena alternativa, u slučaju da je ρ ≥ 0,01, može se usvojiti da je K s = 0 i da se K c određuje kao 0,3/(1 + 0,5ϕef ). U statički neodređenim konstrukcijama nepovoljni efekti pojave prslina u susednim elementima koji sprečavaju deformacije moraju biti uzeti u obzir nezavisnom analizom, budući da jednačina (130) na njih ne može biti primenjena. Radi uprošćenja, može se pretpostaviti da su preseci potpuno isprskali i tada krutost treba izračunati sa efektivnim modulom elastičnosti betona ( E cd,eff ) koji je određen kao E cd/(1 + ϕef ). Ukupan proračunski moment savijanja, koji uključuje i moment savijanja drugog reda, može se dobiti povećanjem momenta savijanja određenog linearnom analizom kao: MEd

  β  M0Ed 1 +  NB / NEd   1   

(131)

pri čemu je M0Ed moment savijanja prvog reda u kome su uključene geometrijske imperfekcije , NEd je

projektna vrednost aksijalnog opterećenja, NB je opterećenje pri kojem dolazi do izvijanja, a β je koeficijent koji zavisi od dijagrama momenata prvog i drugog reda. U slučaju izdvojenih aksijalno opterećenih elemenata koji imaju konstantni poprečni pr esek, normalno je pretpostaviti da dijagram momenata drugog reda ima sinusni oblik, odnosno tada je β = π2/c0, pri čemu je c0 koeficijent koji zavisi od dijagrama momenata prvog reda i iznosi 8 u slučaju konstantnog, 9,6 u slučaju paraboličnog i 12 u slučaju simetričnog trougaonog dijagrama. Ako elementi nemaju transverzalno opterećenje, različite vrednosti momenata na krajevima elementa (M01 i M02) mogu da se zamene ekvivalentnim konstantnim momentom prvog reda ( M0e): M0e  0,6M02

+ 0,4 M01

 0,4M02

(132)

pri čemu treba imati u vidu da M01 i M02 imaju isti predznak ako zatežu istu stranu, kao i da mora važiti da je |M02| ≥ |M01|. U skladu sa pretpostavkom o konstantnom momentu prvog reda treba koristiti vrednost c0 = 8. U moment M0e treba uključiti geometrijske imperfekcije. Ako se ne radi o izdvojenim aksijalno opterećenim elementima, ili o elementima bez transverzalnog opterećenja, razumno je pretpostaviti da je β = 1, čime jednačina (131) postaje: MEd



M0Ed

1



NEd / NB 

(133)

što je primenljivo i u globalnoj analizi određenih tipova konstrukcija kao što su konstrukcije ukrućene smičućim zidovima. Iako na prvi pogled prikazana metoda izgleda jednostavno, treba imati u vidu da je njena praktična primena veoma kompleksna. Iako je u kalibraciju metode zasnovane na nominalnoj krutosti uloženo dosta truda, ona ne pruža jasnu sliku o stvarnom ponašanju razmatranog elementa.

74


Školska godina 2016/2017 4.3.2 Metoda zasnovana na nominalnoj krivini

Upotreba ove metode je prvenstveno pogodna za izdvojene elemente sa konstantnom normalnom

silom i definisanom efektivnom dužinom l 0. Nominalni momenti drugog reda se određuju na osnovu deformacije ose elementa, koja se određuje iz efektivne dužine i procenjene maksimalne krivine. Proračunski moment savijanja glasi: MEd



M0Ed + M2

(134)

pri čemu je M0Ed moment savijanja prvog reda u kome su uključene geometrijske imperfekcije, dok je M2 nominalni moment savijanja drugog reda za čiji dijagram se može pretpostaviti da je paraboličnog ili sinusnog oblika na efektivnoj dužini. Različite vrednosti momenata prvog reda na krajevima (M01 i M02) mogu da se zamene ekvivalentnim momentom savijanja M0e u skladu sa jednačinom (132), uz uzimanje u obzir geometrijskih imperfekcija i uslova da je |M02| ≥ |M01| (M01 i M02 imaju isti predznak ako zatežu istu stranu) . Nominalni moment savijanja drugog reda (M2) se određuje kao: M2



NEde2

(135)

NEd je proračunska vrednost aksijalne sile, a e2 je ugib definisan kao (1/r )l 02/c, pri čemu je 1/r krivina, l 0 je efektivna dužina i c je koeficijent koji zavisi od dijagrama krivine. Za konstantne poprečne preseke

se usvaja da je c = 10 (≈ π2). Ako je moment savijanja prvog reda konstantan, za koeficijent c treba usvojiti nižu vrednost, pri čemu je 8 donja gran ica koja odgovara konstantnom ukupnom momentu.

U slučaju elemenata sa konstantnim simetričnim poprečnim presekom (uključujući i armaturu), krivina se može odrediti kao: 1 / r  Kr Kφ × 1 / r0

(136)

gde su: 

K r – koeficijent korekcije koji zavisi od aksijalnog opterećenja, definisan u nastavku;



K ϕ – koeficijent kojim se u obzir uzima tečenje, definisan u nastavku ;



1/r 0 – koeficijent definisan kao εyd/(0,45 d ), pri čemu je εyd = f yd/E s, a d je statička visina preseka.

U slučaju da ukupna armatura nija koncentrisana na suprotnim stranama preseka, već je njen određeni deo raspoređen paralelno sa ravni savijanja, statička visina d se određuje kao ( h/2) + i s, pri čemu je i s poluprečnik inercije ukupne površine armature. Koeficijent K r se određuje kao : K r 

nu  n nu  nbal

 1

(137)

pri čemu je n relativna aksijalna sila (NEd/( Ac f cd)), nu je jednako 1 + ω, a nbal je vrednost n pri maksimalnoj

nosivosti pri savijanju (može se usvojiti vrednost 0,4). Budući da koeficijent K r zavisi od mehaničkog koeficijenta armiranja ω, njegovo određivanje je iterativno. Dijagrami koji prikazuju koeficijent K r u zavisnosti od odnosa M/(bhf ck), N/(bhf ck) i položaja težišta armature (a/h), dati su u Prilogu D. Dodatno, napominje se da se dijagrami mogu primeniti u slučaju simetrično armiranih pravougaonih poprečnih preseka.

75



Uticaj tečenja se uzima u obzir putem koeficijenta K ϕ, određenog kao: K φ  1 + βφef  1

(138)

pri čemu je ϕ ef efektivni koeficijent tečenja definisan iznad, a β = 0,35 + f ck/200 – λ/150. Nezavisno od izbora gore opisanih metoda, potrebna površina armature se od ređuje na isti način, tj.

na osnovu uvećanih momenata savijanja određenih iz jednačina (131) ili (133) u slučaju metode koja se zasniva na nominalnoj krutosti, ili iz jednačine (134) u slučaju metode koja se zasniva na nominalnoj krivini. Za dimenzionisanje se mogu primenjivati dijagrami interakcije na način opisan u Poglavlju 3.4.3. 4.4 Koso savijanje stubova Koso (dvoosno, biaksijalno) savijanje stubova podrazumeva savijanje u dve ravni.

Kriterijum vitkosti u slučaju kosog savijanja može da se proveri nezavisno za svaki pravac. U zavisnosti od dobijenih rezultata, uticaji drugog reda mogu biti zanemareni u oba pravca, razmatrani samo u jednom pravcu, ili razmatrani u oba pravca.

Gore pomenuta opšta metoda analiza, koja je zasnovana na nelinearnoj analizi drugog reda, može se primenjivati i u slučaju kosog savijanja. Odredbe koje su date u nastavku se odnose na slučaj primene uprošćenih metoda. Posebnu pažnju treba posvetiti određivanju preseka u razmatranom elementu u kome je kombinacija momenata kritična. Sprovođenje nezavisnog proračuna za svaki glavni pravac, uz zanemarenje kosog savijanja, može bit i prvi korak u analizi. Pritom, geometrijske imperfekcije treba uzeti u obzir samo u onom pravcu u kojem će imati nepovoljniji efekat. Razmatranje kosog savijanja nije potrebno ako odnosi vitkosti u dva glavna pravca (koji su obeleženi sa y i z) ispunjavaju sledeće uslove: λy λz

2

i

λz λy

 2

(139)

i ako relativni ekscentriciteti ey/h i ez/b (Slika 56) ispunjavaju jedan od sledećih uslova: ey

/ heq

ez

/ beq



0,2 ili

ez

/ beq

ey

/ heq



0,2

(140)

gde su:  

b i h – širina i visina poprečnog preseka ; beq i heq – dimenzije ekvivalentnog pravougaonog preseka (beq = i y√12 i heq = i z√12), pri čemu su i y i i z poluprečnici inercije u odnosu na y i z osu, respektivno;



ez – ekscentricitet u pravcu ose z (ez = MEdy/NEd);



ey – ekscentricitet u pravcu ose y (ey = MEdz/NEd);



MEdy i MEdz – proračunski momenti oko osa y i z (respektivno), uključujući i momente drugog

reda; 

NEd – proračunska vrednost aksijalnog opterećenja.

Ako uslovi u izrazima (139) i (140) nisu ispunjeni, koso savijanje mora biti uzeto u obzir, uključujući i uticaje drugog reda u oba pravca (osim ako mogu da se zanemare u skladu sa gore navedenim).

U odsustvu tačne analize poprečnog preseka opterećenog na koso savijanje, može se primeniti sledeći uprošćeni kriterijum:

76


Školska godina 2016/2017 a

 MEdz   MEdy   +  M  Rdz   MRdy

a

   1 

(141)

pri čemu su MRdy i MRdz momenti nosivosti u odgovarajućim pravcima, a eksponent je dat u Tabeli 19

(u slučaju međuvrednosti treba izvršiti linearnu interpolaciju). NRd je proračunska aksijalna a ksijalna nosivost preseka određena kao Ac f f cd f yd cd + As f yd. Tabela 19 – Vrednosti eksponenta a

Slika 56 – Definicija ekscentriciteta ey i ez

Za unapred zadate dimenzije poprečnog preseka ( b/h), poznate vrednosti momenata savijanja MEdy i MEdz, sile NEd, i svojstava materijala materijala ( f cd cd i f yd yd), potrebna površina armature se određuje iterativno. Prvi korak je pretpostavljanje položaja težišta armature ( ay i az) za svaki pravac. Radi jednostavnosti jednostavnosti opisa postupka, pretpostavićemo da je u svakom pravcu armiranje simetrično. Iterativni proces se svodi na promenu pretpostavljenog mehaničko g koeficijenta armiranja ω sve dok se ne ispuni uslov dat vezom (141). Prva pretpostavka vrednosti ω se može dobiti iz dimenzionisanja preseka za svaki pravac 2 posebno, korišćenjem dijagrama interakcije datih u Prilogu C (nEd = NEd/(bhf cd cd), mEdy = MEdy/(b hf cd cd) → 2 ωy i nEd = NEd/(bhf cd cd), mEdz = MEdz/(bh f cd cd) → ωz). Treba imati u vidu da je za pravac y ω = 2ωy, a da je za pravac z ω = 2ωz, budući da je usvojeno simetrično armiranje i da su dijagrami iz Priloga C dati za jednu stranu preseka. U ovom trenutku uslov dat vezom (141) nije ispunjen, budući da odnosi MEdz/MRdz i MEdy/MRdy iznose 1, i zbog toga se ulazi u iterativni proces. Pretpostavljaju se vrednosti ωy i ωz veće od postojećih i usvaja se ukupna površina armature As kao 2(ωy + ωz)bhf cd cd/ f yd yd. Uz korišćenje već određene vrednosti koeficijenta nEd i usvojenih položaja težišta armature, sa interakcionih dijagrama u Prilogu C r ačunaju vrednosti momenata se očitavaju odgovarajuće vrednosti koeficijenata mRdy i mRdz, iz čega se računaju 2 2 nosivosti kao MRdy = mRdyb hf cd cd i MRdz = mRdzbh f cd cd. Proračunska aksijalna nosivost se određuje kao NRd f cd f yd = Ac f cd + As f yd, i nakon određivanja eksponenta a, ponovo se kontroliše uslov dat vezom (141). U slučaju da uslov nije zadovoljen, treba izvršiti novu iteraciju uz pretpostavljanje većih vrednosti ωy i ωz. Ako je uslov zadovoljen, ali sa velikim faktorom sigurnosti, treba izvršiti novu iteraciju uz pretpostavljanje nešto manjih vrednosti ωy i ωz. Iterativni postupak treba prekinuti kada se leva strana uslova datog vezom (141) približi 1. Konačno, usvojenu površinu armature treba ravnomerno rasporediti po obimu poprečnog preseka. Ako pretpostavljeni položaji težišta armature značajno odstupaju od usvojenih vrednosti, proračun je potrebno ponoviti.

77



5 Granična nosivost preseka za uticaje transverzalnih transverzalnih sila i momenata torzije 5.1 Uvod

Čvrstoća betona pri pritisku je daleko veća od čvrstoće pri zatezanju. U slučaju da je betonski presek opterećen samo naponima pritiska, lom će nastati usled dostizanja čvrstoće pri pritisku po smičućim ravnima. S druge strane, ako je napon zatezanja jedan od glavnih napona, do loma će doći kada se iscrpi čvrstoća betona pri zatezanju. Iz otpornosti materijala je poznato da se glavni naponi i njihovi pravci određuju kao:

σ 1,2



σ x

+ σy 2

2

 σx + σ y  2 ±   + τ xy ,  2 

tg2α1,2

2τ xy

± σ

 σ y x

(142)

U slučaju linijskih nosača izloženih savijanju transverzalnim silama, naponi koji su upravni na podužnu osu nosača (naponi σ y) su u najvećem broju slučajeva veoma mali, te se stoga u praksi njihov uticaj na veličinu glavnih napona zanemaruje. Tada se, ako se normalni naponi u betonu označe sa σ c umesto sa σ x, i ako se smičući naponi označe sa τ umesto umesto sa τ xy xy, glavni naponi i njihovi pravci određuju kao: σ 1,2



σ c

2

2 σ c

±

4

2

+τ ,

tg2α1,2



±

2τ

(143)

σ c

U slučaju armiranobetonskih preseka sa prslinama (stanje II na Slici 35), u celoj zategnutoj zoni preseka (uključujući i ravan u kojoj se nalazi neutralna linija) je napon u betonu jednak nuli, što znači da su u toj zoni glavni naponi jednaki naponima smicanja σ1,2



±τ

(144)

i da se pravci glavnih napona nalaze pod uglovima od 45° i 135° u odnosu na podužnu osu nosača, kao

što je prikazano na Slici 57.

Slika 57 – Trajektorije glavnih napona u elementu izloženom savijanju transverzalnim silama

Polazeći od hipoteze Žuravskog i pojma idealizovanog poprečnog poprečnog preseka (za više detalja videti literaturu iz oblasti teorije betonskih konstrukcija), maksimalni smičući napon se određuje kao: τ max



VEdSi bminIi

(145)

pri čemu je Si statički moment dela površine idealizovanog poprečnog preseka koji se nala zi dalje od posmatranog vlakna (u odnosu na neutralnu liniju), a Ii je moment inercije površine idealizovanog

78



poprečnog preseka u odnosu na neutralnu liniju. U slučaju da presek nije armiran, neutralna linija je ujedno i težišna linija, pa je odnos Ii/Si jednak kraku unutrašnjih sila z. Tada se jednačina (145) može napisati kao: τ max



V Ed bmin z

(146)

U slučaju armiranih pravougaonih poprečnih preseka bmin = b, maksimalni napon smicanja se javlja na mestu neutralne linije, a krak unutrašnjih sila, budući da se kreće u uskim granicama duž ose nosača , obično može biti usvojen kao 0,9 d , pri čemu je d statička visina. Za armirane pravougaone poprečne

preseke se jednačina (146) može napisati kao: τ max



V Ed

0,9 bd

(147)

Analiza poprečnih preseka izloženih momentima torzije se sprovodi prema proračunskom modelu koji je baziran na istim pretpostavkama kao i proračunski model korišćen u slučaju dejstva transverzalnih sila. Torzija nastaje usled dejstva momenta torzije (T Ed Ed) oko podužne ose nosača. Obrtanje dovodi do pojave podužnih i poprečnih smičućih napona (τ t), koji izazivaju glavne napone zatezanja pod uglom od 45° u odnosu na podužnu osu nosača, kao što se vidi sa Slike 58 (σ 1,2 1,2 = ± τ t). Do pojave dijagonalnih (spiralnih) prslina dolazi kada glavni naponi zatezanja prekorače čvrstoću betona pri zatezanju .

Slika 58 – Dejstvo torzionog momenta Smičući napon koji se javlja usled dejstva momenta torzije se određuje na osnovu teorije tankozidnih zatvorenih štapova. Svaki armiranobetonski nosač punog poprečnog preseka proizvoljnog oblika koji

je opterećen momentom torzije se aproksimira tankozidnim zatvorenim presekom, o čemu će nešto kasnije biti više reči. Navedena aproksimacija aproksimacija je u potpunosti opravdana, imajući u vidu činjenicu da su središnji delovi poprečnog preseka daleko manje napregnuti nego periferni , u kojima dolazi do po jave prslina i tečenja armature. Dodatno, treba imati u vidu da su pretpostavke koje se odnose na ponašanje armiranobetonskih elemenata opterećenih momentima torzije potvrđen e i rezultatima koji su dobijeni eksperimentalnim eksperimentalnim putem.

U slučaju linijskih armiranobetonskih nosača čista torzija nastaje veoma retko. Mnogo češći slučaj je pojava momenata torzije u kombinaciji sa savijanjem (sa ili bez normalne sile). U slučaju istovremenog dejstva momenata torzije i savijanja poprečnim sila ma, razmatraju se sumirane vrednosti smičućih napona nastalih usled oba uticaja, o čemu će kasnije biti više reči . Treba imati u vidu da se pri simultanom dejstvu više statičkih uticaja (normalne sile, momenti savijanja, transverzalne sile, momenti torzije) prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 primenjuje princip

superpozicije. To praktično znači da se nezavisno posmatraju granična stanja nosivosti preseka za pojedine uticaje, što ne odgovara realnom ponašanju armiranobetonskih konstrukcija, ali je ta kav pristup znatno jednostavniji za primenu u praksi i daje rezultate koji su na strani sigurnosti.

79



5.2 Dimenzionisanje poprečnih preseka prema uticajima transverzalnih sila Lom nosača usled dejstva transverzalnih sila nastaje iz jednog od sledećih razlo ga: - usled nedostatka ili malog procenta poprečne armature u nosaču (uzengije ili kose šipke), - usled loma nastalog kao posledice smicanja i savijanja, pri čemu se kosa prslina proteže po celoj visini poprečnog preseka sve do krajnje pritisnute iv ice gde dolazi do mrvljenja betona (Slika 59), i - usled proklizavanja zategnute armature u blizini oslonaca kada nije izvršeno pravilno sidrenje.

Slika 59 – Lom usled smicanja i savijanja

Na početku razmatranja treba definisati osnovne pojmove : V Rd,c – proračunska vrednost nosivosti pri smicanju elementa bez armature za prijem smicanja ; V Rd,s – proračunska vrednost sile smicanja koju može da prihvati armatura za prijem smicanja pri dostizanju granice razvlačenja; V Rd,max – proračunska vrednost maksimalne sile smicanja koju element može da pri hvati, a koja je ograničena lomom betona u pritisnutim štapovima (o kojima će kasnije biti više reči) .  



U slučaju elemenata sa nagnutim ivicama (Slika 60), definisani su sledeći dodatni pojmovi: V ccd – proračunska vrednost smičuće komponente sile u pritisnutoj zoni , kada je pritisnuta ivica 

u nagibu; 

V td – proračunska vrednost smičuće komponente sile u zategnutoj armaturi , kada je zategnuta

ivica u nagibu.

Slika 60 – Smičuće komponente u elementima sa nagnutim ivicama

U zonama nosača u kojima proračunska vrednost transverzalne sile ne prelazi proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju elementa bez armature za prijem smicanja (V Ed ≤ V Rd,c), nije potrebna nikakva proračunska armatura za prijem smicanja. Ako je to slučaj, ipak je neophodn o predvideti minimalnu armaturu, o čemu će više reči biti nešto kasnije. Izuzetak su ploče , kao i neki manje važni elementi koji nemaju značajan doprinos globalnoj nosivosti i stabilnosti. Proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju elementa bez armature za prijem smicanja (V Rd,c) treba odrediti kao: VRd,c  CRd,c k 100 ρl fck 

1/3



gde su:

80

+ k1 σcp  bw d  VRd,c,min [N]



(148)


Školska godina 2016/2017  



C Rd,c – koeficijent koji se prema preporuci određuje kao 0,18/γ C; k – koeficijent koji se prema preporuci određuje kao 1 + (200/ d )0,5 ≤ 2,0, pri čemu se statička visina d unosi u mm;

ρl – količnik površine zategnute armature koja se produžava za ≥ ( l bd + d ) dalje od posmatranog preseka (Slika 61) i proizvoda bwd ( ρl = Asl /bwd ≤ 0,02), pri čemu je bw najmanja širina preseka u zategnutoj zoni u izražena mm (budući da su bw i d izraženi u mm, površinu armature treba izraziti u mm2);

  

f ck – karakteristična vrednost čvrstoće betona pri pritisku na cilindar izražena u MPa; k 1 – koeficijent čija vrednost prema preporuci iznosi 0,15;

σ cp – napon koji se određuje kao NEd/ Ac < 0,2 f cd u MPa, pri čemu je f cd proračunska čvrstoća betona pri pritisku, NEd je normalna sila (pozitivna za pritisak), dok je Ac je površina betonskog preseka izražena u mm 2.

Minimalna vrednost proračunske nosivosti pri smicanju bez armature za prijem smicanja ( V Rd,c,min) se određuje kao: VRd,c,min



 0,035k

3/2

1/2



fck + k1σcp bwd [N]

(149)

Slika 61 – Definicija Asl u izrazu (148)

U poprečnim pr esecima čija se širina menja po visini, glavni napon zatezanja može imati maksimalnu vrednost na mestu koje se ne poklapa sa težišnom osom. U tom slučaju minimalnu vrednosti nosivosti pri smicanju treba odrediti izračunavanjem V Rd,c u različitim osama po visini poprečnog preseka. U slučaju nosača bez armature za prijem smicanja, prilikom određivanja potrebne površine podužne armature u zonama sa prslinama usled savijanja, linija zatežućih sila treba da se pomeri za al = d u pravcu koji je manje povoljan. O liniji zatežućih sila, kao i njenom pomeranju, će nešto kasnije biti više reči. Za elemente opterećene sa gornje strane, doprinos sili smicanja V Ed od opterećenja koje deluje unutar rastojanja 0,5d ≤ av ≤ 2d od ivice oslonca ili sredine ležišta (Slika 62) može da se smanji koeficijentom β = av/2d . Smanjenje se može primeniti jedino u slučajevima kada je podužna armatura potpuno usidrena na osloncu. Redukovana vrednost sile V Ed se može koristiti prilikom poređenja sa vrednošću V Rd,c koja se određuje iz jednačine (148). U slučaju da je av < 0,5d , usvaja se da je av = 0,5d . Treba imati u vidu da sila V Ed određena bez redukcije pomoću koeficijenta β, ne sme biti veća od 0,5 bwdνf cd, pri čemu je ν faktor smanjenja čvrstoće betona sa prslinama usled smicanja, koji se određuje kao 0,6 (1 – f ck/250), gde je f ck izraženo u MPa. U zonama nosača u kojima proračunska vrednost transverzalne sile V Ed prelazi proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju elementa bez armature za prijem smicanja (V Ed > V Rd,c), neophodno je predvideti armaturu za prijem smicanja. Nosivost pri smicanju elementa sa armaturom za prijem smicanja treba odrediti kao: VRd  VRd,s + Vccd + Vtd

(150)

81



Slika 62 – Opterećenja koja deluju u blizini oslonaca

Dakle, po usvajanju armature za prijem smicanja mora važiti da je V Ed ≤ V Rd. U slučaju da nosač nema nagnute ivice, iz jednačine (150) je jasno da je V Rd = V Rd,s, i tada treba imati u vidu da ni u kom slučaju vrednost V Ed ne sme preći vrednost sile smicanja koju element može da prihvati, a koja je ograničena lomom betona u pritisnutim štapovima ( V Ed ≤ V Rd,max). Ako nosač ima nagnute ivice, tada mora važiti da je V Ed – V ccd – V td ≤ V Rd,max. Radi lakšeg razumevan ja gore navedenog, navodi se sledeća relacija: VRd,c < VEd  VRd  VRd,s + Vccd + Vtd   VRd,max

(151)

Određivanje količine potrebne površine armature za osiguranje od uticaja merodavnih transverzalnih sila, odnosno od zatežućih sila nastalih usled glavnih napona zatezanja, određujemo iz modela rešetke prikazanog na Slici 63. Pritom α označava ugao između armature za prijem smicanja i ose grede koja je upravna na silu smicanja, θ je ugao između pritisnutih betonskih štapova i ose grede upravne na silu smicanja, F td je proračunska vrednost sile u podužnoj armaturi, F cd je proračunska vrednost sile pritiska u betonu u pravcu podužne ose elementa, proizvod Asw f ywd je sila u armaturi za prijem smicanja ( Asw je površina armature, a f ywd je granica razvlačenja), z je krak unutrašnjih sila, s je rastojanje na kome je postavljena armatura za prijem smicanja, a c je horizontalno rastojanje od ose oslonca do tačke T (krak sile V Ed), o čemu će nešto kasnije biti više reči . Treba imati u vidu da je vrednost ugla θ ograničena na 1 ≤ ctgθ ≤ 2,5, što znači da se ugao θ može kretati u granicama 21,8° ≤ θ ≤ 45°. Ugao α se kreće u granicama 45° ≤ α ≤ 90°. Stoga, u graničnom slučaju kada je θ = α = 45°, važi da je c = 1,5s.

Slika 63 – Model rešetke za analizu uticaja transverzalnih sila Iz uslova ravnoteže vertikalnih sila se dobija:

V  0

 Asw f ywdsinα  V Ed

(152)

Rastojanje s je moguće izraziti kao s = z(ctgα + ctgθ). Sada se potrebna površina armature za prijem

smicanja iz jednačine (152) može izraziti po jedinici dužine kao: Asw s

82



V Ed zf ywd  ctgα + ctgθ  sinα

(153)



Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 smičuća nosivost elemenata sa ivicama koje nisu u nagibu i sa nagnutom armaturom (α ≠ 90°) se određuje kao:

Asw  V zf ywd  ctgα + ctgθ  sinα   Rd,s s  V Rd  min  αcw bw zν1 fcd  ctgα + ctgθ  V Rd,max   1+ctg2θ 

(154)

pri čemu je αcw = 1,0 u slučaju konstrukcija koje nisu prednapregnute (za sve ostale slučajeve videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1), a ν 1 je koeficijent kojim se smanjuje čvrstoća betona zbog prslina nastalih usled smicanja i njegova preporučena vrednost je jednaka vrednosti koeficijenta ν koji je definisan iznad (ν 1 = ν = 0,6(1 – f ck/250), gde je f ck izraženo u MPa). Dodatno, ako je proračunski napon u armaturi za prijem smicanja ispod 80% karakteristične vrednosti granice razvlačenja čelika ( f ywd < 0,8 f yk), može se usvojiti da je ν 1 = 0,6, za f ck ≤ 60 MPa, ili ν 1 = 0,9 – f ck/200 > 0,5, za f ck > 60 MPa. Može se videti da je jednačina za V Rd,s data u vezi (154) proizašla iz jednačine (153), odnosno, dobijena je iz uslova ravnoteže. To praktično znači da je usvojeno da važi da je V Rd,s = V Ed. Potrebna površina armature po jedinici dužine se stoga određuje kao: Asw s



V Ed zf ywd  ctgα + ctgθ  sinα

(155)

Iz uslova datog vezom (154) se takođe može zaključiti da mora važiti da je V Rd,s ≤ V Rd,max, odnosno, može se napisati: Asw s



αcwbwν1 fcd



2

f ywd 1+ctg θ



sinα

(156)

što je gornja granica površine armature za prijem smicanja (po jedinici dužine) koju možemo usvojiti. Dakle, armatura za prijem smicanja izražena po jedinici dužine se mora naći u granicama: VEd zf ywd  ctgα + ctgθ  sinα



Asw

s

αcwbwν1 fcd





2



f ywd 1+ctg θ sinα

(157)

Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 smičuća nosivost elemenata sa ivicama koje nisu u nagibu i sa vertikalnom armaturom (α = 90°) se određuje kao: Asw  V zf ywdctgθ   Rd,s s V Rd  min  αcw bw zν1 fcd V Rd,max   tgθ+ctgθ

(158)

U tom slučaju se armatura za prijem smicanja data po jedinici dužine mora naći u granicama: VEd zfywdctgθ



Asw



αcw bwν1 fcd



s f ywd 1+ctg2θ



(159)

Iz veze (159) je jasno da se najmanja potrebna površina armature dobija kada ctgθ ima maksimalnu vrednosti, odnosno kada je ctgθ = 2,5 (tada je veličina ugla θ minimalna i iznosi 21,8°). S druge strane,

83



treba imati u vidu da usvajanje minimalne vrednosti ugla θ rezultira minimalnom vrednošću nosivosti V Rd,max, što je jasno iz veze (158). Prilikom projektovanja u praksi je na početku proračuna korektno pretpostaviti minimalnu vrednost ugla θ od 21,8°. Ako se ispostavi da za tu pretpostavku važi V Ed ≤ V Rd,max treba nastaviti dimenzionisanje. Dodatno, treba imati u vidu sledeće: iako usvajanjem θ = 21,8° dobijamo minimalnu potrebnu površinu armature za prijem smicanja, javlja se potreba značajnijim povećanjem podužne armature nego u slučaju većih vrednosti ugla θ, o čemu će ispod biti više reči. Ako je V Ed > V Rd,max, treba povećati veličinu ugla θ tako da uslov V Ed ≤ V Rd,max bude ispunjen, uz uzimanje u obzir maksimalne vrednosti θ od 45°. U tu svrhu je praktično izjednačiti V Ed i V Rd,max i izraziti θ kao: θ

1 

2V Ed

arcsin

αcw bw zν1 fcd

2

(160)

Ako se ispostavi da i pri maksimalnoj dozvoljenoj vrednosti ugla θ od 45° važi uslov da je V Ed > V Rd,max, potrebno je povećati dimenzije poprečnog preseka. Imajući u vidu geometriju modela rešetke prikazanog na Slici 6 3, rastojanje c se može izraziti kao c = z(ctgα + 2ctgθ). Kao što je gore rečeno, rastojanje c predstavlja krak sile V Ed u odnosu na čvor rešetke T. Iz uslova ravnoteže momenata savijanja oko tačke T se dobija:

M

T

0



VEdc

 Ftd z

(161)

Proračunska vrednost sile u podužnoj armaturi F td se može izraziti kao: Ftd



VEdc



VEdz

ctgα + 2ctgθ

z



z

V Ed

 ctgα + 2ctgθ

(162)

Na Slici 64 je opet prikazan proračunski model rešetke, ali ovaj put zajedno sa modelom odgovarajućeg grednog nosača. U slučaju grednog nosača, iz uslova ravnoteže se dobija da važi: Ftd



3 VEd s 2

z



3 VEd z  ctgα + ctgθ  2

z

3 

2

V Ed

 ctgα + ctgθ

(163)

Slika 64 – Model rešetke i odgovarajućeg grednog nosača

Iz jednačina (162) i (163) je jasno da postoji razlika između sila F td dobijenih iz dva posmatrana modela, što se može izraziti oduzimanjem jednačine (16 3) od jednačine (162): ΔFtd

84

1 

2

V Ed

 ctgθ



ctgα 

(164)



Sila ΔF td izražena jednačinom (164) je zapravo dodatna sila zatezanja nastala usled smicanja, koju treba da prihvati zategnuta armatura As koja je određena iz stanja savijanja. Ipak, treba imati u vidu sledeće (radi jednostavnosti, razmatraćemo slučaj nosača opterećenih na č isto savijanje, tj. nosača u kojima je NEd = 0). Količnik MEd/z predstavlja tzv. liniju zatežućih sila (Slika 65). Zbir [(MEd/z) + ΔF td] ne sme preći vrednost MEd,max/z, pri čemu je MEd,max maksimalni moment duž raspona. U prevodu, zbir postojeće zategnute armature ( As) i dodatne armature (Δ As = ΔF td/ f yd = 0,5V Ed(ctgθ – ctgα)/ f yd) ne treba da pređe maksimalnu vrednost količine armature određenu iz MEd,max. Kao što je gore rečeno, u slučaju nosača bez armature za prijem smicanja, pri određivanju potrebne površine podužne armature u zonama sa prslinama usled savijanja, linija zatežućih sila (MEd/z) treba da se pomeri za al = d u pravcu koji je manje povoljan. U slučaju da se u nosačima nalazi armatura za prijem smicanja, može se primeniti isti pri ncip, s tim što se usvaja da je al = 0,5z(ctgθ – ctgα). Pomeranje linije zatežućih sila ima veliki praktični značaj, jer je time automatski ispunjen zahtev koji se odnosi na dodatnu silu Δ F td koju treba poveriti zategnutoj podužnoj armaturi, odnosno, automatski je obuhvaćena dodatna površina zategnute armature Δ As koju treba uzeti u obzir. Iz jednačine (164) je jasno da ako se usvoji da je θ = 45° i α = 90° (vertikalne uzengije su najčešće usvajana armatura za prijem smicanja u praksi) velič ina ΔF td je znatno manja nego u slučaju kada je θ = 21,8° (pri α = 90°). Izbor ugla θ ostaje na projektantu, budući da je iz svega gore navedenog jasno da značajno utiče na konačnu količinu armature, kako poprečne, tako i podužne . Na Slici 65 je jasno prikazano šta u praksi treba uraditi: nakon određene anvelope momenta savijanja MEd, istu treba podeliti sa krakom unutrašnjih sila z (može se usvojiti da je z ≈ 0,9d ), kako bi se odredila linija zatežućih sila označena sa A. Liniju zatežućih sila je potrebno pomeriti za al = 0,5z(ctgθ – ctgα), što je označeno sa B. Podužnu armaturu C treba usvojti tako da „pokriva“ pomerenu liniju zatežućih sila. Treba imati u vidu da površina donje armature na krajnjim osloncima, na kojima u proračunu nije

pretpostavljeno ili je u obzir uzeto delimično uklještenje, treba da bude najmanje jednaka četvrtini površine armature koja je potrebna u rasponu. Pritom, treba uzeti u obzir ranije razmatranu odredbu koja se odnosi na minimalnu količinu armature As,min.

Slika 65 – Vođenje podužne armature sa uzimanjem u obzir uticaja smicanja

Za elemente opterećene sa gornje strane doprinos sili smicanja V Ed od opterećenja koje deluje unutar rastojanja 0,5d ≤ av ≤ 2d od ivice oslonca ili sredine ležišta (Slika 66) može da se smanji koeficijentom β = av/2d (slična mogućnost je data i kod nosača bez armature za prijem smicanja, što je razmotreno iznad).

85



Slika 66 – Armatura za prijem smicanja u delovima u kojima je smicanje dominantno Treba imati u vidu da redukovana vrednost sile V Ed ne sme biti veća od Asw f ydsinα, pri čemu je Asw f yd nosivost smičuće armature koja pro lazi kroz prsline nastale usled smicanja kao što je prikazano na Slici 66. U obzir treba uzeti samo armaturu koja se nalazi na centralnom delu rastojanja, tj. unutar 0,75av.

Redukcija pomoću koeficijenta β se može primeniti samo pri proračunu smičuće armature, i to pod uslovom da je podužna armatura potpuno usidrena na osloncu. U slučaju da je av < 0,5d , usvaja se da je av = 0,5d . Treba imati u vidu da sila V Ed određena bez redukcije pomoću koeficijenta β, ne sme biti veća od 0,5bwdνf cd, gde je ν faktor smanjenja čvrstoće betona sa prslinama usled smicanja, određ en kao 0,6(1 – f ck/250), pri čemu je f ck izraženo u MPa. Jasno je da je gore razmatrana mogućnost redukcije korisna najčešće u slučaju kratkih elemenata , jer

su grede i ploče znatno ređe opterećene značajnim koncentrisanim silama u blizini oslonaca. Dodatno, prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 je moguće i u slučaju nosača koji su dominantno izloženi jednokopodeljenom opterećenju izvršiti redukciju proračunske sile smicanja, tako što se na rastojanju koje je manje od d od ivice oslonca proračunska sila smicanja ne proverava nego je potrebno usvojenu armaturu za prijem smicanja produžiti do o slonca (na Slici 67 je prikazana redukcija sile V Ed). Pritom, napominje se da je u tom slučaju neophodno proveriti da li redukovana računska sila smicanja nad osloncem (V *Ed = V Ed - ΔV Ed) nije veća od V Rd,max.

Slika 67 – Redukcija proračunske transverzalne sile u blizini oslon aca Iz Slike 67 je jasno da je prilikom dimenzionisanja neophodno izvršiti podelu nosača na delove, budući da je u opštem slučaju transverzalna sila V Ed promenljiva duž nosača. U zonama elemenata u kojima ne postoje diskontinuiteti sile V Ed (npr. jednakopodeljeno opterećenje), moguće je odrediti armaturu za prijem smicanja na svakom inkrementu dužine s = z(ctgα + ctgθ) prema najmanjoj vrednosti sile V Ed na posmatranom inkrementu.

86



5.3 Oblikovanje armature za prijem smicanja usled transverzalnih sila

Kao što je već rečeno, armatura za prijem smicanja usled transverzalnih sila treba da bude postavljena pod uglom α koji se kreće u granicama 45° ≤ α ≤ 90° u odnosu na podužnu osu elementa. Armatura može biti sastavljena od uzengija (spoljašnjih i unutrašnjih, otvorenih ili zatvorenih) prikazanih na Slici 68, koso povijenih šipki, i drugih oblika poput armaturnih koševa, lestvičaste armature, i sl. Neophodno je da armatura za prijem smicanja bude efikasno usidrena. Nastavljanje preklapanjem na vertikalnom delu uzengije uz spoljašnju ivicu rebra nosača je dopušteno samo pod uslovom da uzengija ne prihvata uticaje od torzije (o kojoj će nešto kasnije biti više reči). Preporučuje se da uzengije predstavljaju barem pola od ukupne armature za prijem smicanja.

Procenat armiranja armaturom za prijem smicanja je definisan kao odnos površine armature i površine betona, odnosno ρw 

Asw sbwsinα

 ρw,min

(165)

pri čemu je minimalni procenat armiranja definisan kao:

ρw,min



0,08 f ck

f yk

(166)

Iz jednačine (165) se može izraziti minimalna površina armature za prijem smicanja po jedinici dužine : Asw,min s



ρw,minbwsinα

(167)

Kao što je gore rečeno, u zonama nosača u kojima proračunska vrednost transverzalne sile ne prelazi proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju elementa bez armature za prijem smicanja ( V Ed ≤ V Rd,c) nije potrebna nikakva proračunska armatura za prijem smicanja, ali je neo phodno usvojiti minimalnu armaturu ( Asw,min).

Slika 68 – Primeri oblikovanja uzengija za prijem smicanja usled transverzalnih sila Horizontalno rastojanje na kome je postavljena armatura za prijem smicanja u obliku uzengija ( s) ne sme biti veće od sl,max = 0,75d (1 + ctgα). U slučaju povijenih šipki, maksimalno rastojanje ne sme biti veće od sb,max = 0,6d (1 + ctgα). Rastojanje između vertikalnih stranica uzengija u poprečnom pravcu u preseku ne sme biti veće od st,max = 0,75d ≤ 600 mm. Dodatno, svaka pritisnuta šipka podužne armature koja je uzeta u obzir pri proračunu nosivosti, treba da bude obuhvaćena poprečnom armaturom na

rastojanju ne većem od 15Ø, pri čemu je Ø prečnik šipke.

87



U slučaju da se kao armatura za prijem smicanja koriste uzengije, može se napisati: Asw



1

mas

(168)

pri čemu je m sečnost uzengija, a as(1) je površina preseka šipke od koje je uzengija formirana. Ako je u poprečnom preseku usvojena samo spoljašnja uzengija tada je m = 2. Ako opterećenje deluje u donjoj zoni preseka, osim armature koja je potrebna za prijem smicanja treba

obezbediti i dodatnu vertikalnu armaturu koja je dovoljna da prenese opterećenje u gornju zonu.

5.4 Dimenzionisanje poprečnih preseka prema uticajima momenata torzije U slučaju dejstva momenata torzije granična nosivost može da bude dostignuta u betonu ili u čeliku. Problem granične nosivosti pri dejstvu torzije je veoma složen, budući da se torzija u najvećem broju slučajeva ne javlja samostalno. Kada u slučaju statički neodređenih konstrukcija torzija nastaje samo iz uslova kompatibilnosti deformacija, i kada stabilnost konstrukcije ne zavisi od torzione otpornosti, u graničnom stanju nosivosti torziju n ije ni potrebno razmatrati. Pritom je u elementima neophodno obezbediti minimalnu armaturu u obliku uzengija i podužnih šipki, što je automatski ispunjeno kada je element dimenizonisan na dejstva savijanja i transverzalnih sila. S druge strane, ako u posmatranom elementu dejstvo torzije potiče od spoljašnjeg opterećenja (Slika 69), torzija se mora detaljno uzeti u obzir u analizi.

Slika 69 – Primer dejstva torzije

Generalno gledano, postoje dva tipa torzije: slobodna (Sen Venanova) i o graničena (Slika 70). Slobodna torzija će biti razmatrana u tekstu ispod. Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 ograničenu torziju treba uzeti u obzir u slučajevima veoma vitkih otvorenih tankozidnih elemenata.

Slika 70 – Primeri slobodne i ograničene torzije

88



Kada je armiranobetonski element izložen dejstvu momenta torzije, smičući naponi koji pritom nastaju će dovesti do pojave glavnih napona zatezanja pod uglom od 45° u odnosu na podužnu osu nosača. Kada naponi zatezanja dostignu veličinu čvrstoće betona pri zatezanju, doći će do razvoja spiralnih 71) . Odgovor armiranobetonskog elementa izloženog dejstvu momenta prslina po obimu nosača (Slika 71). torzije je sličan odgovoru u slučaju de jstva transverzalnih sila, ali treba primetiti da se u slučaju torzije prsline javljaju na svim, a ne samo na vertikalnim stranama elementa. Treba takođe imati u vidu da je pravac pružanja prslina na naspramnim stranama elementa u slučaju dejstva torzije suprotan.

Slika 71 – Spiralne prsline po obimu armiranobetonskog nosača nastale usled dejstva momenta torzije

Poprečni preseci koji su efikasni za prijem uticaja torzije su šuplji kutijasti, puni kružni i pravougaoni preseci. Kao što je rečeno u Poglavlju 5.1, nosivost armiranobetonskih preseka pri dejstvu torzije može se odrediti primenom koncepta tankozidnog zatvorenog preseka u kome je ravnoteža zadovoljena tzv. zatvorenim tokom smicanja. smicanja. Pritom, kompleksni oblici preseka (npr. T -preseci) mogu da se podele na niz preseka, od kojih se svaki razmatra kao ekvivalentan tankozidni presek, a ukupna torziona nosivost predstavlja sumu nosivosti pojedinačnih preseka.

Analiza poprečnog preseka opterećenog momentom torzije se spovodi na ošupljenom preseku male debljine zidova, pri čemu se svaki zid posmatra kao poprečni presek grede opterećene transverzalnom silom V Ed,i Ed,i. Svaki zid pruža otpor momentu torzije preko sile V i koja se nalazi u njegovoj ravni i jednaka je sili V Ed,i Ed,i, koja se može izraziti kao: V Ed,i



τ t,it ef,iz i

(169)

gde su:  



τ t,i t,i – napon smicanja usled torzije u zidu i ; t ef,i ef,i – efektivna debljina zida i za koju se može uzeti da iznosi A/u, ali ne treba da bude manja od dvostrukog rastojanja između spoljašnje ivice i težišta podužne armature (pri čemu je A ukupna površina preseka unutar spoljašnjeg obima, uključujući i površine unutrašnjih otvora, a u je spoljašnji obim preseka). Za preseke sa otvorima je gornja granica za t ef,i ef,i stvarna debljina zida. U praksi se za uobičajene poprečne preseke za sve zidove usvaja da je t ef = A/u; ef = tač aka središnjih zi – dužina zida i u preseku, koja je definisana rastojanjem između presečnih tačaka linija susednih zidova.

Radi jednostavosti razmatranja problema, u obzir će biti uzet kvadratni poprečni presek predstavljen šupljim kutijastim presekom, koji je opterećen moment om torzije T Ed Ed (Slika 72). Jasno je da u slučaju kvadratnog poprečnog preseka zbog simetrije u dva pravca važi da je z1 = z2 = z3 = z4 = z i τ t,1 t,1 = τ t,2 t,2 = τ t,3 t,3 ), važi da je V Ed,1 = τ t,4 t,4 = τ t. Budući da je debljina zida zamenjujućeg kutijastog preseka konstantna ( t ef ef ), Ed,1 = V Ed,2 Ed,2 = V Ed,3 Ed,3 = V Ed,4 Ed,4 = V Ed Ed = V . Iz uslova ravnoteže momenata koji deluju oko težišta poprečnog preseka može se napisati da važi:

89


Školska godina 2016/2017 TEd



4V

z

2



4V Ed

z

2



4τ tt ef z

z

2



2τ tt ef z

2 

2τ tt ef Ak

(170)

pri čemu je Ak površina zatvorena središnjim linijama obimnih zidova, uključujući i površine unutrašnjih otvora (ona je u slučaju kvadratnog poprečnog preseka prikazanog na Slici 72 jednaka z2).

Slika 72 – Zamenjujući kutijasti presek u slučaju punog kvadratnog popreč nog preseka

Osnovna jednačina za određivanje napona smicanja u zidu poprečnog preseka koji je izložen momentu čiste torzije data u standardu SRPS EN 1992-1- 1 za proizvoljni poprečni presek (Slika 73), može se izraziti iz analogije sa jednačinom (170): τ t,i



T Ed

2t ef ,i,i Ak

(171)

tor zionog dejstva Slika 73 – Osnovne oznake korišćene u analizi torzionog Ukoliko proračunska vrednost momenta torzije ne prelazi proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju usled torzije elementa bez armature za prijem smicanja (T Ed Ed ≤ T Rd,c Rd,c), nije potrebna nikakva proračunska armatura osim minimalne, o čemu će u sledećem poglavlju biti reči. Proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju usled torzije elementa bez armature za prijem smicanja (T Rd,c Rd,c) treba odrediti na osnovu

veze date jednačinom (171) kao: TRd,c  2 Ak fctdtef, min

(172)

Iz jednačine (172) je jasno da je napon τ t,i t,i dat u jednačini (171) izjednačen sa projektnom čvrstoćom betona pri zatezanju f ctd ctd koja je definisana jednačinom (11), a da je za debljinu zida t ef,i ef,i uzeta minimalna vrednost. Izjednačavanje τ t,i prekoračenju t,i i f ctd ctd je logičan izbor, budući da će do pojave prslina doći pri prekoračenju napona f ctd ctd. Razlog za izbor minimalne debljina zida u jednačini (172) je očigledan.

90



Ako proračunska vrednost momenta torzije T Ed Ed prelazi proračunsku vrednost nosivosti pri smicanju usled torzije elementa bez armature za prijem smicanja (T Ed Ed > T Rd,c Rd,c), neophodno je predvideti armaturu koja će primiti uticaj smicanja nastalog usled torzije. Treba imati u vidu da ni u kom slučaju proračunska vrednost momenta torzije T Ed Ed ≤ Ed ne sme preći proračunsku vrednost nosivosti pri momentu torzije ( T Ed T Rd,max Rd,max), o čemu će nešto kasnije biti više reči.

Kao što je već rečeno, odgovor armiranobetonskog elementa izloženog dejstvu momenta torzije je sličan odgovoru u slučaju de jstva transverzalnih sila, odnosno, u pritisnutom betonu između prslina ne sme doći do loma, a armatura mora biti u stanju da prihvati napone zatetanja i na taj način obezbedi siguran prenos opterećenja do oslonaca. Treba primetiti da se smicanje usled dejstva transverzalnih sila može smatrati dvodimenzionalnim problemom, dok je dejstvo torzije trodimenzionalni problem. Prsline koje se pri dejstvu torzije javljaju u betonu dovode do transformacije transformacije nosača u prostornu (3D) rešetku u kojoj podužna (torziona) armatura čini pojasne zategnute štapove, poprečna vertikalna armatura predstavlja zategnute štapove ispune (vertikale), a pritisnuti štapovi su betonske dijagonale koje se nalaze pod uglom θ u odnosu na osu štapa, kao što je prikazano na Slici 74 . Isto kao i u slučaju smicanja usled transverzalnih sila, u slučaju torzije važi da se ugao θ može kretati u granicama 21,8° ≤ θ ≤ 45°.

Slika 74 – Model rešetke za analizu uticaja momenata torzije

Ako se površina zategnute armature označi sa Asl i ako se pretpostavi da će podužna armatura dostići granicu razvlačenja f yd yd, može se formirati zatvoreni poligon sila prikazan na Slici 75, koji se odnosi na jednu stranu nosača.

Slika 75 – Zatvoreni poligon sila koji se odnosi na jednu stranu nosača

Iz sile zatezanja u podužnoj armaturi koja je prikazana na Slici 75, uz korišćenje veza datih jednačinama (169) i (171) može se dobiti veza: Asl fyd  V Ed ctgθ ctgθ  τ t,it ef,izictgθ  Ed,i

TEd 2tef,i Ak

t ef,iz ictgθ 

T Ed 2Ak

z ictgθ

(173)

91



Budući da se jednačina (173) odnosi samo na jednu stranu nosača, da bi se obuhvatio ukupan uticaj torzije (na svim stranama) potrebno je izvršiti sumiranje. Iako površina armature Asl nema indeks i (koji je namerno izostavljen), jasno je da ona predstavlja deo ukupne podužne armature za prijem torzije. Sa desne strane jednačine (17 3) su svi članovi osim širine zi konstante. Dakle, sumiranjem obe strane jednačine po promenljivoj i (što neće biti pisano ispod sume) se dobija:

 A



f

sl yd

T Ed 2 Ak

ctgθ zi

(174)

Iz Slike 72 je jasno da Σ zi zapravo predstavlja obim površine Ak, koji možemo označiti kao uk. Ako se uvede veza Σzi = uk, iz jednačine (174) se dobija:

 A

f

sl y d



uk

T Ed 2Ak

ctgθ

(175)

što je izraz za određivanje ukupne količine podužne armature dat u standardu SRPS EN 1992-1-1. Namerno izostavljanje indeksa i u slučaju površine armature Asl je urađeno kako bi se izvođenjem došlo do izraza koji je dat u navedenom standardu.

Iz jednačine (175) se može izraziti sledeća veza:

 A

sl



TEduk 2 Ak f yd

ctgθ

(176)

Može se napisati da važi:



Asl

1

 nasl



n



A

sl

  1

(177)

asl

pri čemu je n ukupan broj šipki podužne armatue, a asl(1) je površina poprečnog preseka jedne šipke izabranog profila. Sa određenim ukupnim brojem šipki izabranog profila potrebno je izvršiti njihovo raspoređivanje u poprečnom preseku, o čemu će više reči biti u sledećem poglavlju. U skladu sa razmatranim modelom 3D rešetke prikazanim na Slici 74, pored podužne armature treba odrediti i potrebnu količinu poprečne armature. Na zatvorenom poligonu sila prikazanom na Slici 75 rastojanje između zategnutih vertikala je označeno sa s. Iz Slike 75 je jasno da vertikalnu silu V Ed,i u zidu i prihvata poprečna armatura, što se može izraziti kao: *

Asw fywd



V Ed,i

(178)

Imajući u vidu da je s = zictgθ, potrebna površina armature za prijem smicanja nastalog usled dejstv a torzije u jednom zidu (u nastavku označeno sa * uz Asw) se može po jedinici dužine izraziti kao: *

Asw s



V Ed,i fy wdzictgθ

(179)

Uz korišćenje veza datih jednačinama (169) i (171), iz jednačine (179) se može se dobiti veza: *

Asw s

92



T Ed

2Ak f ywdctgθ

(180)



Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1 nosivost elemenata pri smicanju nastalom usled torzije (T Rd) se određuje kao: *  Asw Ak f ywdctgθ  TRd,s  2 T Rd  min  s T sinθcosθ  Rd,max  2ναcw fcd Akt ef,i

(181)

pri čemu je T Rd,s proračunska vrednost momenta torzije koju može da prihvati armatura za prijem smicanja usled torzije pri dostizanju granice razvlačenja , T Rd,max je proračunska vrednost maksimalnog

momenta torzije koju element može da prihvati, a koja je ograničena lomom betona u pritisnutim štapovima, ν je faktor smanjenja čvrstoće betona sa prslinama usled smicanja, koji se određuje kao 0,6(1 – f ck/250), gde je f ck izraženo u MPa, a αcw je koeficijent koji iznosi 1,0 u slučaju konstrukcija koje nisu prednapregnute (za ostale slučajeve videti odredbe standarda SRPS EN 1992-1-1). Može se videti da je jednačina za T Rd,s data u vezi (181) proizašla iz jednačine (180), odnosno, dobijena je iz uslova ravnoteže. To praktično znači da je usvojeno da važi da je T Rd,s = T Ed. Potrebna površina armature u jednom zidu po jedinici dužine se stoga određuje kao: *

Asw s



T Ed

2 Ak f y wdctgθ

(182)

Iz uslova datog vezom (181) se takođe može zaključiti da mora važiti da je T Rd,s ≤ T Rd,max, odnosno, može se napisati: 2

*

Asw s



ναcw fcdtef,i sin

θ

f ywd

(183)

što je gornja granica površine armature za prijem smicanja nastalog usled torzije koju možemo usvojiti. Dakle, poprečna armatura za prijem smicanja usled torzije u jednom zidu, koja je izražena po jedinici dužine, mora se naći u granicama: TEd 2 Ak fywdctgθ

2

*



Asw s



ναcw fcdtef,i sin f ywd

θ

(184)

Iz veze (184) je jasno da se najmanja potrebna površina armature dobija kada ctgθ ima maksimalnu vrednosti, odnosno kada je ctgθ = 2,5 (tada je veličina ugla θ minimalna i iznosi 21,8°). S druge strane, treba imati u vidu da usvajanje minimalne vrednosti ugla θ rezultira minimalnom vrednošću nosivosti T Rd,max, što je takođe jasno iz veze (184). Prilikom projektovanja u praksi je na početku proračuna korektno pretpostaviti minimalnu vrednost ugla θ od 21,8°. Ako se ispostavi da za tu pretpostavku važi T Ed ≤ T Rd,max treba nastaviti dimenzionisanje. Ako je T Ed > T Rd,max, treba povećati veličinu ugla θ tako da uslov T Ed ≤ T Rd,max bude ispunjen, uz uzimanje u obzir maksimalne vrednosti θ od 45°. U tu svrhu je praktično izjednačiti T Ed i T Rd,max i izraziti θ kao: θ

1 2

arcsin

T Ed ναcw fcd Akte f,i

(185)

Ako se ispostavi da i pri maksimalnoj dozvoljenoj vrednosti ugla θ od 45° važi uslov da je V Ed > V Rd,max, potrebno je povećati dimenzije poprečnog preseka.

93



5.5 Oblikovanje armature za prijem smicanja usled momenata torzije Iz prethodnog poglavlja je jasno da se armatura za prijem smicanja nastalog usled dejstva momenata torzije sastoji od podužne i poprečne armature.

Podužnu armaturu (Σ Asl) je potrebno rasporediti po obimu preseka tako da barem jedna šipka bude u svakom uglu preseka, a da su ostale šipke uniformno raspoređene duž unutrašnje konture uzengija na rastojanju koje nije veće od 350 mm. U slučaju poprečnih preseka manjih dimenzi ja podužnu armaturu je moguće grupisati u uglovima poprečnog preseka , što zapravo u potpunosti odgovara modelu 3D rešetke koji je razmatran u Poglavlju 5.4. Treba imati u vidu da podužna armatura za prijem smicanja usled torzije predstavlja dodatak postojećoj podužnoj armaturi prethodno određenoj za slučajeve dejstava savijanja i transverzalnih sila (ΔF td). U pritisnutim pojasevima se podužna armatura određena iz dejstva torije može smanjiti srazmerno sili pritiska koja deluje u pojasu. U slučaju dejstva torzije poprečnu armaturu čine uzengije postavljene pod uglom od 90° u odnosu na osu elementa. Uzengije treba da budu zatvorene i usidrene preklapanjem ili polukružnim kukama na

krajevima, kao što je prikazano na Slici 76.

Slika 76 – Primeri oblikovanja uzengija za prijem smicanja usled momenata torzije U skladu sa odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1, može se smatrati da je minimalni procenat armiranja poprečnom armaturom zadovoljen ako su poštovani zahtevi koji se odnose na min imalni procenat armiranja dat u slučaju dejstva transverzalnih sila.

Maksimalno podužno rastojanje poprečne armature (sl,max) treba odrediti kao:

sl,max

0,75d   u/8  min  najmanja dimenzija poprečnog preseka 

(186)

pri čemu je d statička visina, a u je spoljašnji obim poprečnog preseka. 5.6 Dimenzionisanje poprečnih preseka izloženih istovremenom dejstvu transverzalnih sila i momenata torzije Istovremeno dejstvo transverzalnih sila i momenata torzije je u praksi daleko češći slučaj od dejstva čiste torzije. Prema odredbama standarda SRPS EN 1992-1-1, dozvoljeno je izvršiti superpoziciju uticaja koji su nastali usled dejstava transverzalnih sila i momenata torzije. To praktično znači da se smičuća sila u svakom zidu poprečnog preseka nastala usled dejstva momenta torzije dodaje smičućoj sili nastaloj usled dejstva transverzalne sile. Pritom je neophodno pretpostaviti istu veličinu ugla θ za

oba stanja naprezanja, pri čemu mora važiti da je 21,8° ≤ θ ≤ 45°. U slučaju približno pravougaonih punih preseka izloženih istovremenom dejstvu transve rzalnih sila i momenata torzije potrebno je obezbediti samo minimalnu armaturu ako je zadovoljen uslov:

94


Školska godina 2016/2017 VEd VRd,c

+

T Ed

1

T Rd,c

(187)

gde su V Rd,c i T Rd,c definisani u prethodnim poglavljima i dati su jednačinama (1 48) i (172), respektivno. Ukoliko uslov definisan ne jednačinom (187) nije ispunjen, potrebno je odrediti proračunsku armaturu za prijem uticaja smicanja usled transverzalnih sila i momenata torzije. Pre toga je neophodno proveriti da li je presek uopšte u stanju da primi proračunsk e vrednosti uticaja transverzalnih sila i momenata torzije. U tu svrhu, pretpostavlja se maksimalna vrednost ugla θ od 45° (tada je nosivost pritisnutih betonskih dijagonala u modelu rešetke najveća) i proverava se uslov:

VEd VRd ,m ax

+

T Ed T R d,ma x

1

(188)

gde su V Rd,max i T Rd,max definisani u prethodnim poglavljima u vezama (158) i (181), respektivno.

Ukoliko uslov definisan nejednačinom (1 88) nije ispunjen, potrebno je povećati dimenzije preseka. U suprotnom, treba nastaviti dimenzionisanje na način koji je opisan nastavku. Radi jednostavnosti, biće razmatran slučaj kvadratnog poprečnog preseka izložen og istovremenom dejstvu transverzalne sile V Ed i momenta torzije T Ed (Slika 77).

Slika 77 – Kvadratni poprečni presek opterećen transverzalnom silom i momentom torzije Na Slici 77 je sa V V označena sila otpora transverzalnoj sili, a sa V T je označena sila otpora momentu torzije. Iz uslova ravnoteže za svaki razmatrani uticaj se dobija: VEd  2V V

TEd



(189)

zv

4V T

2

(190)

Iz jednačine (189) se sila V V može izraziti kao: V V



V Ed

2

(191)

Ako se desna strana jednačine (19 0) pomnoži i podeli sa zv, i ako se iskoristi veza da je Ak = zv2, sila V T

se može izraziti kao: V T



TEd zv 2 Ak

(192)

Iz Slike 77 je jasno da je za dimenzionisanje merodavan slučaj kada V V i V T imaju isti predznak, što se može napisati kao:

95


Školska godina 2016/2017 VEd

V+T

V Ed



+

2

TEd zv

2 Ak

(193)

pri čemu sila V EdV+T predstavlja zamenjujuću transverzalnu silu pomoću koje se može odrediti potrebna količina poprečne armature u jednom zidu. Pritom se napominje da uzengije moraju biti postavljene pod uglom od 90° u odnosu na osu elementa , što proizilazi iz zahteva vezanih za torziju. Dodatno, treba imati u vidu da je zv dužina zida u kome se vrši superpozicija sila V V i V T. Dimenzionisanje se sprovodi na način koji je opisan u Poglavlju 5.2, uz korišćenje sile V EdV+T umesto sile V Ed, pri čemu je razlika u tome što se u konkretnom slučaju potrebna količina armature određuje za jedan zid, što nije bio slučaj pri dejstvu transverzalnih sila ( A*sw ≠ Asw). Postupak će ovde biti ponovljen. Smičuća nosivost elemenata sa poprečnom armaturom upravnom na osu nosača (α = 90°) se određuje iz veze (158) kao: *  Asw zf ywdctgθ  VRd,s  s V Rd  min  V Rd,max  αcwbw zν1 fcd  tgθ+ctgθ

Armatura za prijem smicanja u jednom zidu data po jedinici dužine se mora naći u granicama: V+T

VEd

zfywdctgθ

*



Asw

αcw bwν1 fcd





s f ywd 1+ctg2θ



(194)

Iz veze (194) je jasno da se najmanja potrebna površina armature dobija kada ctgθ ima maksimalnu

vrednosti, odnosno kada je ctgθ = 2,5 (tada je veličina ugla θ minimalna i iznosi 21,8°). S druge strane, treba imati u vidu da usvajanje minimalne vrednosti ugla θ rezultira minimalnom vrednošću nosivosti V Rd,max. Prilikom projektovanja je na početku proračuna korektno pretpostaviti minimalnu vrednost ugla θ od 21,8°. Ako se ispostavi da za tu pretpostavku važi da je V EdV+T ≤ V Rd,max dimenzionisanje treba nastaviti. Ako je V EdV+T > V Rd,max, treba povećati ugao θ tako da uslov V EdV+T ≤ V Rd,max bude ispunjen, uz uzimanje u obzir maksimalne vrednosti θ od 45°. U tu svrhu je praktično izjednačiti V EdV+T i V Rd,max i izraziti θ kao: θ

1 

2

V+T

arcsin

2V Ed

αcwbw zν1 fcd

(195)

S obzirom da kontrola naprezanja pritisnutih betonskih dijagonala data nejednačinom (1 88) treba da

bude sprovedena na početku razmatranja simultanog dejstva transverzalnih sila i momenata torzije, u ovoj fazi dimenzionisanja se ne može dogoditi da ugao θ određen iz veze (19 5) ne bude u dozvoljenim granicama (21,8° ≤ θ ≤ 45°). Nakon određene poprečne armature prema postupku prikazanom iznad, potrebno je odrediti dodatnu podužnu armaturu. U slučaju transverzalne sile se dodatna podužna zategnuta armatura Δ As određuje kao ΔF td/ f yd = 0,5V Edctgθ/ f yd, ili pomeranjem linije zatežućih sila u skladu sa prikazanim u Poglavlju 5.2, dok se u slučaju momenta torzije ukupna dodatna podužna armatura određuje iz jednačine (176). Odredbe koje se odnose na oblikovanje armature za prijem uticaja smicanja i na minimalne procente armiranja (predstavljene u Poglavljima 5.3 i 5.5) važe i u slučaju simultanog dejstva transverzalnih sila i momenata torzije. Pritom su uvek merodavne one odredbe koje su strožije, što se pre svega odnosi na oblikovanje uzengija.

96



6 Duktilnost armiranobetonskih preseka 6.1 Uvod

Beton je krt materijal, sa prilično ograničenom sposobnošću plastičn og deformisanja. Zadovoljavajuć nivo duktilnosti armiranobetonskih preseka se dostiže pravilnim konstruisanjem armature. Ovo je naročito važno pri projektovanju konstrukcija u seizmički aktivnim područjima, jer je u tim slučajevima mogućnost disipacije energije konstrukcije osnova za redukciju sila nastalih usled dejstva zemljotresa. Duktilnost se može definisati kao sposobnost neelastičnog deformisanja (Slika 78).

Slika 78 – Veza između opšte sile (F ) i opšte deformacije (D) pri krtom i duktilnom ponašanju Mera duktilnosti je faktor duktilnosti, definisan kao odnos deformacije pri lomu (Du) i deformacije na granici tečenja (Dy): μD



Du Dy

(196)

U opštem slučaju, određivanje vrednosti Dy i Du nije jednostavno, pa se iz tog razloga nelinearna veza između sile i deformacije obično predstavlja nekom jednostavnijom vezom (npr. bilinearnom vezom koja je prikazana crtkastom linijom na Slici 78). U armiranobetonskim presecima opšta sila F označava moment savijanja M, dok opšta deformacija D označava krivinu κ ili rotaciju φ preseka. U nastavku će biti razmatrana veza moment-krivina (M-κ ). Krivina armiranobetonskog preseka je definisana na Slici 79.

Slika 79 – Definicija krivine armiranobetonskog preseka

97



Korišćenjem veze date na Slici 79, krivine na granici tečenja (κ y) i pri lomu (κ u) se određuju kao: κ y



κ u



εc



εsy

d εcu

ε

s

d

(197)

(198)

pri čemu εsy označava dilataciju zategnute armature pri kojoj dolazi do tečenja, a εcu označava graničnu dilataciju pritisnutog betona. U slučaju armature B500B za stalne i prolazne proračunske situacije važi da je εsy = f yd/E s = 2,17‰, dok u slučaju neutegnutog betona klase ≤ C50/60 važi da je εcu = 3,5‰. Faktor duktilnosti armiranobetonskog preseka izražen preko krivine glasi: μκ



κ u

(199)

κ y

Iz gore prikazanog je jasno da je armiranobetonski presek duktilan samo ako do tečenja armature dođe pre drobljenja pritisnute zone betona.

6.2 Odnos između momenta savijanja i krivine armiranobetonskog preseka Zavisnost između momenta savijanja i krivine armiranobetonskog preseka predstavljamo trilinearnom krivom prikazanom na Slici 80. Veza važi za slučaj neutegnutog armiranobetonskog preseka (presek bez poprečne armature).

Slika 80 – Zavisnost između momenta savijanja i krivine armiranobetonskog preseka Na Slici 80 Mcr, My i Mu označavaju moment pri pojavi prsline, moment na granici tečenja i moment pri lomu, respektivno, a κ cr, κ y i κ u označavaju odgovarajuće krivine.

U nastavku će biti analiziran stub kvadratnog poprečnog preseka (dimenzija strane 40 cm), koji je simetrično armiran sa 8Ø16, kao što je prikazano na Slici 81. Težište armature se nalazi na 4 cm od ivice betonskog preseka. Beton je klase C25/30 ( f ck = 25 MPa, αcc = 0,85, γ C = 1,5 → f cd = 14,2 MPa), a armatura je B500B (E s = 200 GPa, f yk = 500 MPa, γ S = 1,15 → f yd = 434,8 MPa). U poprečnom preseku deluje sila pritiska intenziteta 340 kN. Nosivost poprečnog preseka na granici tečenja određujemo pri stanju deformacija kada u zategnutoj armaturi dilatacija iznosi εs = εsy = 2,17‰.

98



Slika 81 – Geometrija analiziranog poprečnog preseka

Određivanje ivične dilatacije u pritisnutom betonu (εc) se sprovodi iterativno, iz uslova ravnoteže sila u poprečnom preseku. Nakon sprovođenja iterativnog postupka, određene su vrednosti: εc = 1,59‰, My = 137 kNm i κ y = 0,104 m-1. Nosivost poprečnog preseka pri lomu određujemo pri stanju deformacija kada je εc = εcu = 3,5‰. Sada se određivanje dilatacije u zategnutoj armaturi (εs) sprovodi iterativno, iz uslova ravnoteže sila. Nakon sprovođenja iterativnog postupka, određene su vrednosti: εs = 7,73‰, Mu = 163 kNm i κ u = 0,312 m-1. Konačno, faktor duktilnosti iznosi: μκ



κ u κ y

0,312 



0,104

3, 0

(200)

Duktilnost preseka je prilično mala. Razlog za to je činjenica da je u an alizi zanemaren povoljan uticaj uzengija na karakteristike preseka.

6.3 Faktori koji utiču na duktilnost armiranobetonskog preseka

Duktilnost armiranobetonskog preseka zavisi od različitih faktora, a najvažniji su: 1. Karakter i v eličina normal ne sile koja deluje u preseku

Normalna sila zatezanja povećava duktilnost preseka u odnosu na savijanje bez normalne sile, a sila pritiska je smanjuje. Dodatno, sa smanjenjem ekscentriciteta sile pritiska smanjuje se i duktilnost, dok za silu zatezanja važi obratno. Da bi se sprečila pojava krtog loma, propisi za projektovanje seizmički otpornih konstrukcija definišu dozvoljenu vrednost napona pritiska u poprečnom preseku. 2. Količina i kvalitet zategnute armature

Povećanje količine zategnute armature povećava nosivost preseka, ali dovodi do smanjenja njegove duktilnosti. U duktilnim presecima se očekuje tečenj e zategnute armature, što znači da će napon u armaturi biti konstantan. Pri konstantnom naponu je sila u armaturi linearno zavisna od njene površine. Veća sila u zategnutoj armaturi dovodi i do većeg opterećenja pritisnute zone betona, što znači da je duktilnost preseka manja. Iz tog razloga propisi za projektovanje definišu maksimalnu vrednost procenta armiranja u zategnutoj zoni. Kada je u pitanju kvalitet armature, treba napomenuti da čelici sa nižom granicom tečenja imaju veću duktilnost. 3. Količina pritisnute armature

Na osnovu prethodnog razmatranja se zaključuje da povećanje armature u pritisnutoj zoni dovodi do povećanja duktilnosti preseka. Pritisnuta armatura preuzima deo pritiska i na taj

99



način rasterećuje beton. Zbog toga p ropisi za projektovanje seizmički otpornih konstrukcija definišu minimalni odnos procenata armiranja pritisnutom i zategnutom armaturom. Prema odredbama standarda SRPS EN 1998-1, površina pritisnute armature ne sme biti manja od polovine površine zategnute armature. 4. Kvalitet betona

Iako su betoni viših čvrstoća manje duktilni od betona nižih čvrstoća, njihova primena dovodi do povećanja kapaciteta pritisnute zone preseka, a time i do povećanja duktilnosti preseka. 5. Oblik poprečnog preseka

Poprečni preseci u kojima je površina pritisnut e zone velika (kutijasti, T-preseci) su sa aspekta duktilnosti povoljniji od poprečnih preseka kod kojih je ona mala (pravougaoni presek). 6. Stepen utezanja poprečnom armaturom

Duktilnost preseka zavisi od stepena utezanja poprečnom armaturom (uzengije, spirale i dr.) .

Povećanje količine poprečne armature dovodi do većeg poprečnog utezanja preseka, zbog čega dolazi do povećanja duktilnosti. U preseku se tada umesto jednoaksijalnog pritiska javlja prostorno (troosno) naponsko stanje pritiska, kao što je prikazano na Slici 82. Na istoj slici je prikazana i veza napon-dilatacija (σ -ε) za utegnuti i neutegnuti beton, iz koje se vidi pozitivan uticaj poprečne armature na nosivost betona .

Slika 82 – Troosno naponsko stanje pri utezanju preseka poprečnom armaturom i njen u ticaj na čvrstoću betona pri pritisku

Može se zaključiti da se povećanje duktilnosti preseka postiže:      

100

smanjenjem količine zategnute armatre; upotrebom čelika sa nižom granicom razvlačenja; povećanjem količine pritisnute armature; povećanjem klase čvrstoće betona (betoni izrazito visoke klase čvrstoće nisu povoljni); izborom poprečnih preseka sa velikom površinom pritisnute zone; povećanjem količine poprečne armature.



PRILOG A Dimenzionisanje pravougaonih preseka opterećenih na pravo čisto i složeno savijanje (klase betona C ≤ 50/60, armatura B500B)

Naponi u betonu:

σc = 0,25 fcd  4  εc  εc , za 0‰  εc σc = fcd ,

 2,0‰

za 2, 0‰  εc

 3, 5‰

Naponi u armaturi: = Es εs1 ,

σs1

za 0‰  εs1

σs1 = fyd ,

 εyd

= 2,17‰

za εyd = 2,17‰  εs1



εud = 20, 0‰

Koeficijent punoće radnog dijagrama betona: α

v

αv

=

ε

c

12

6  ε  ,

=1

za 0‰  εc

c

2 3εc

,

 2, 0‰

za 2, 0‰  εc

 3, 5‰

Koeficijent k a za određivanje položaja sile F c: k a =

8  εc



4 6  εc



,

za 0‰



ε

c

 2, 0‰

2

k a =

3εc  4 εc + 2 2

6 εc  4 εc

,

za 2, 0‰  εc

 3, 5‰

MEds  MEd + NEd  0,5h  d1 

μEd s



MEd s 2

bd f cd

,

d



MEd s μEd s bfcd

,

ξ=

εc εc + εs1

,

ζ



1 kaξ , 

ω



α vξ

101


Školska godina 2016/2017 Jednostruko armirani presek

As1

f ωbd cd fyd





NEd



MEds



f yd ζdfyd

NEd fyd

Gornji izraz važi za silu pritiska. Ako u poprečnom preseku deluje sila zatezanja u izrazu treba koristiti „+“umesto „–“. Dvostruko armirani presek

Kada se iz izraza za μEd(s) ustanovi da je dilatacija čeliku (εs1) manja od 4,28‰, treba određiti vrednost

graničnog momenta savijanja u odnosu na težište zategnute armature koji presek može da prihvati kao jednostruko armiran pri stanju dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28: *

MEd

*

2

μEds  bd fcd



 s

2

0,296bd fcd



Razlika između spoljašnjeg momenta (MEd(s)) i graničnog momenta jednostruko armiranog preseka (M*Ed(s)) je moment koji treba poveriti spregu sila prikazanom na slici iznad, a koji je obeležen sa Δ MEd(s). ΔMEd

s 



MEd

*

 s



MEd

 s

Površina armature s1 i s2 se određuje kao: As1



*

ω bd

fcd fyd

+

ΔMEd

 s

fyd  d d 2 





NEd f yd

*



MEd s *

ζ df yd

+

ΔMEd

 s

f yd d



d2



NEd f yd

,

odnosno za stanje dilatacija εc/εs1 = 3,5/4,28 ( μ*Ed(s) = 0,296, ω* = 0,364 i ζ * = 0,813) kao As1  0,364bd

As2



fcd fyd

+

ΔMEd

s 

fyd d  d 2 



NEd f yd

ΔMEds

fyd  d d 2  

Gornji izrazi za As1 važe za silu pritiska. Ako u poprečnom preseku deluje sila zatezanja u izrazima treba koristiti „+“ umesto „–“.

102


Školska godina 2016/2017 Lom po armaturi (εs1 = εud = 20‰, 0‰ ≤ εc ≤ 3,5‰)

103



104



105



106


Školska godina 2016/2017 Lom po betonu (εc = 3,5‰, 0‰ ≤ εs1 ≤ εud = 20‰, αv = 0,810, k a = 0,416)

107



108



109



110



111



PRILOG B Dimenzionisanje T-preseka primenom κ -postupka (klase betona C ≤ 50/60 )

Ekvivalentna širina preseka se određuje pomoću koeficijenta κ : bi = κb

Koeficijent κ se određuje kao: αv 

hf 1   bw  1 1     αv  d ξ  b  '

κ = 1 

pri čemu su αv’ i αv koeficijenti punoće radnog dijagrama betona koji odgovaraju dilatacijama u betonu na donjoj i gornjoj ivici flanše, respektivno. Za rešavanje praktičnih problema, koeficijent κ se očitava iz tabela datih u nastavku, u kojima je izračunat u zavisnosti od b/bw, hf /d i ξ . Sa dijagrama dilatacija koji je prikazan na slici iznad je moguće dobiti vezu (εc‘ je dilatacija koja se javlja

na donjoj ivici flanše): '

εc x  hf

=

'

εc



x

εc

=

x  hf

εc

x

=1

hf

x

=1

hf 1

d ξ

Koeficijent ξ se iz gornje jednačine može izraziti kao:



ξ =  hf / d  / 1  εc / εc '



Konačno, koeficijent κ se može izraziti kao: αv εc 

bw 

αv εc 

b 

'

κ = 1 

'

1 



U slučaju da vrednosti odnosa b/bw i hf /d ne odgovaraju vrednostima iz tabela datih ispod, treba izvršiti linearnu interpolaciju da bi se dobile odgovarajuće međuvrednosti koeficijenta κ .

112



113



114



115



116



117



118



119



120



121



122



123



124



125



126



127



128



PRILOG C Di jagrami interakcije za dimenzionisanje simetrično i nesimetrično armiranih pravougaonih preseka opterećenih na pravo savijanje (klase betona C ≤ 50/60, armatura B500B) Na dijagramima interakcije datim u ovom prilogu* koeficijent mEd se nalazi na apscisi, a koeficijent nEd na ordinati. Pozitivne vrednosti koeficijenta nEd se odnose na silu pritiska, dok se negativne odnose na silu zatezanja. Dilatacije u pritisnutom delu poprečnog preseka imaju pozitivan predznak, a dilatacije u zategnutom delu negativan. Stoga, dilatacije u pritisnutom betonu i pritisnutoj armaturi imaju

predznak „+“, a dilatacije u zategnutoj armaturi predznak „–“. Na dijagramima interakcije je prikazana računska nosivost poprečnog preseka za izabrane parametre (odnos površina armature i položaji težišta) . Sigurnost u odnosu na lom preseka je zadovoljena kada se vrednosti koeficijenata nEd i mEd nalaze unutar površine koja je ograničena graničnom k rivom i

koordinatnim osama za vrednost određenog mehaničkog koeficijenta armiranja. Ako se u proračunu pokaže da se pretpostavljeni položaji težišta armature nalaze između dve susedne vrednosti za koje su interakcioni dijagrami konstruisani, potrebno je ili izvršiti linearnu interpolaciju, ili uzeti podatke za dimenzionisanje koji su na strani sigurnosti. 

Za poznate vrednosti spoljašnjeg opterećenja ( NEd i MEd), usvojene dimenzije poprečnog preseka (b/h) i izabranu klasu čvrstoće betona, izračunavaju se b ezdimenzionalni koeficijenti nEd i mEd: nEd mEd







NEd 

bhf cd



MEd 2

bh f cd

Pretpostavljaju se položaji težišta armature d 1 i d 2 i određuju se odnosi d 1/h i d 2/h. Treba imati u vidu da su dijagrami interakcije konstruisani uz pretpostavku da je d 1 = d 2, iz čega sledi da je d 1/h = d 2/h. Pretpostavlja odnos površina armature As2/ As1 (dijagrami interakcije su konstruisani za odnose 0,2, 0,4, 0,6 i 1). Sa dijagrama se očitava vrednost mehaničkog koeficijenta armiranja ω1. Ako se radi o simetričnom armiranju važi da je ω1 = ω2. U slučaju nesimetričnog armiranja važi da je As1/ As2 = ω1/ω2. Potrebna

površina armature se izračunava kao:

*

As1



ω1 bh

As2



ω2bh

f cd f yd f cd f yd

Dijagrame interakcije date u ovom prilogu su izradili Anka Starčev-Ćurčin i Drago Žarković.

129



130



131



132



133



134



135



136



137



138



139



140



141



PRILOG D Tabele i dijagrami za analizu vitkih elemenata prema odredbama SRPS EN 1992-1-1 Vitkost elementa ( λ) je definisana kao: λ

l 0 

i

pri čemu je l 0 efektivna dužina elementa, a i je poluprečnik inercije betonskog preseka bez prslina. Efektivna dužina se može definisati i kao dužina izvijanja . Razni primeri efektivne dužine, odnosno dužine izvijanja za izdvojene elemente su dati na slici ispod. Preporuka je da vrednost vitkosti ne prelazi 140, odnosno 200 u fazi montaže.

Za pritisnute elemente u geometrijski pravilnim ramovskim konstrukcijama kriterijum vitkosti treba

proveriti sa efektivnom dužinom l 0 određenom na sledeći način: Za ukrućene elemente (videti sliku iznad pod f):

-

l0

   k1 k 2  0, 5l  1 +  1 +   K12l 0, 45 + 0, 45 + k k 1  2  

Za neukrućene elemente (videti sliku iznad pod g):

-

  k k   1+10   k + k    l  l ×max   k  k 1 + 1 +     1 + k  1 + k 1

1

2

2

0

1

2

1

2

  

K l 12

gde su k 1 i k 2 relativne elastičnosti uklještenja koja sprečavaju rotaciju na krajevima „1“ i „2“ elementa, repsektivno, a K 12 je koeficijent efektivne dužine izvijanja dat u tabelama ispod*. Tabele date u ovom prilogu su izradili Anka Starčev-Ćurčin i Drago Žarković.

*

142



U slučaju vitkih elemenata sa konstantnim simetričnim poprečnim presekom (uključujući i armaturu), pri korišćenju metode zasnovane na nominalnoj krivini , nominalna krivina se može odrediti kao: 1 / r  Kr K φ × 1 / r0

gde su: 

K r – koeficijent korekcije koji zavisi od aksijalnog opterećenja, definisan u nastavku;



K ϕ – koeficijent kojim se u obzir uzima tečenje, definisan u nastavku;



1/r 0 – koeficijent definisan kao εyd/(0,45 d ), pri čemu je εyd = f yd/E s, a d je statička visina preseka.

Uticaj tečenja se uzima u obzir putem koeficijenta K ϕ, određenog kao: K φ  1 + βφef  1

pri čemu je ϕ ef efektivni koeficijent tečenja definisan u Poglavlju 4.2.1, a β = 0,35 + f ck/200 – λ/150. Koeficijent K r se određuje kao:

143


Školska godina 2016/2017 K r 

nu  n nu  nbal

1

pri čemu je n relativna aksijalna sila (NEd/( Ac f cd)), nu je jednako 1 + ω, a nbal je vrednost n pri maksimalnoj nosivosti pri savijanju (može se usvojiti vrednost 0,4). Budući da koeficijent K r zavisi od mehaničkog koeficijenta armiranja ω, njegovo određivanje je iterativno. Dijagrami koji prikazuju koeficijent K r u zavisnosti od odnosa M/(bhf ck), N/(bhf ck) i položaja težišta armature (a/h), dati su ispod (dijagrami su preuzeti iz Designers’ Guide to Eurocode 2: Design of Concrete Structures, 2009). Napominje se da se dijagrami mogu primeniti u slučaju simetrično armiranih pravougaonih poprečnih preseka.

144



PRILOG E Primeri armiranja greda opterećenih na savijanje i stubova

145



146



147



148



149



Literatura Beeby, A. W., Narayanan, R. S. (2009). Designers’ guide to Eurocode 2: Design of concr ete structures. Thomas Telford Publishing, Thomas Telford Ltd, London. Beton i armirani beton prema BAB87 (2000). Knjiga 1 - Osnovi proračuna i konstruisanje (IV izdanje).

Univerzitet u Beogradu, Centar za izdavačku delatnost, Univerzitetska štampa, Beograd. Beton i armirani beton prema BAB87 (2000). Knjiga 2 - Primeri i prilozi (IV izdanje). Univerzitet u Beogradu,

Centar za izdavačku delatnost, Univerzitetska štampa, Beograd. Brčić, S. (2014). Materijal sa predavanja iz Betonskih konstrukcija 1. Državni Univerzitet u Novom Pazaru, Departman za tehničke nauke, Studijski program Građevinarstvo. Web: http://www.np.ac.rs/yu/nastavnimaterijal-teh/menunmtehgradj (pristupljeno 17.10.2016.) Dahlgren, A., Svensson, L. (2013). Guidelines and Rules for Detailing of Reinforcement in Concrete Structures. A compilation and Evaluation of Ambiguities in Eurocode 2. Master of Science Thesis in the Master ’ s Programme Structural Engineering and Building Technology . Chalmers University of Technology, Department of Civil and Environmental Engineering, Division of Structural Engineering, Concrete Structures, Geteburg. Web: http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/188834/188834.pdf (pristupljeno 17.10.2016.) EN 1990 (2002). Eurocode - Basis of structural design. European standard, European Committee for Standardization, Brisel. EN 1992-1-1 (2004). Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings. European standard, European Committee for Standardization, Brisel. EN 1998-1 (2004). Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. European standard, European Committee for Standardization, Brisel. EN ISO 17660-1 (2006). Welding - Welding of reinforcing steel - Part 1: Load-bearing welded joints. European standard, European Committee for Standardization, Brisel. EN ISO 17660-2 (2006). Welding - Welding of reinforcing steel - Part 2: Non load-bearing welded joints. European standard, European Committee for Standardization, Brisel. Eurocode 2 Worked Examples (2008). European Concrete Platform ASBL, Brisel. Web: http://www.europeanconcrete.eu/images/stories/publications/worked_examples.pdf (pristupljeno 17.10.2016.) Martin, L., Purkiss, J. (2006). Concrete Desing to EN 1992 (II izdanje). Butterworth-Heinemann, Oksford. Mosley, B., Bungey, J., Hulse, R. (2012). Concrete Design to Eurocode 2 (VII izdanje). Palgrave Macmillan, London.

Najdanović, D. (2015). Betonske konstrukcije. Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet, Akademska misao, Beograd. Pravilnik o klasifikaciji objekata, „Sl. glasnik RS“, br. 22/2015.

Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po Evrokod standardih (2009). Inženirska zbornica Slovenije, Ljubljana.

Radosavljević, Ž. (1977). Armirani beton, knjiga 1. Građevinska knjiga, Beograd. Radosavljević, Ž. (1986). Armirani beton, knjiga 2 (teorija graničnih stanja). Građevinska knjiga, Beograd. SRPS EN 197-1 (2013). Cement – Deo 1: Sastav, specifikacije i kriterijumi usaglašenosti za obične cemente. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd.

150


Školska godina 2016/2017 SRPS EN 206-1 (2011). Beton – Deo 1: Specifikacija, performanse, proizvodnja i usaglašenost. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 1008 (2010). Voda za pripremu betona - Specifikacije za uzimanje uzoraka, ispitivanje i ocenu

pogodnosti vode za pripremu betona, uključujući vodu dobijenu iz procesa u industriji betona. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 1990 (2012). Evrokod – Osnove projektovanja konstrukcija. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 1992-1-1 (2015). Evrokod 2 – Projektovanje betonskih konstrukcija – Deo 1-1: Opšta pravila i pravila za zgrade. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 1992-1-1/NA:2015 (2015). Evrokod 2 – Projektovanje betonskih konstrukcija – Deo 1-1: Opšta pravila i pravila za zgrade – Nacionalni prilog. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 1998-1 (2015). Evrokod 8 – Projektovanje seizmički otpornih konstrukcija – Deo 1: Opšta pravila, seizmička dejstva i pravila za zgrade. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije , Beograd. SRPS EN 10080 (2008). Betonski čelik - Zavarivi betonski čelik - Opšti deo. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12350-1 (2010). Ispitivanje svežeg betona – Deo 1: Uzimanje uzoraka. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-1 (2014). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 1: Oblik, dimenzije i ostali zahtevi za uzorke i kalupe. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-2 (2010). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 2: Izrada i negovanje uzoraka za ispitivanje čvrstoće. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-3 (2010). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 3: Čvrstoća pri pritisku uzoraka za ispitivanje. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-3:2010/AC (2014). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 3: Čvrstoća pri pritisku uzoraka za ispitivanje – Ispravka. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-4 (2008). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 4: Čvrstoća pri pritisku - Specifikacija uređaja za ispitivanje. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-5 (2010). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 5: Čvrstoća pri savijanju uzoraka za ispitivanje. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12390-6 (2012). Ispitivanje očvrslog betona – Deo 6: Čvrstoća pri cepanju zatezanjem uzoraka za ispitivanje. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12504-1 (2010). Ispitivanje betona u konstrukcijama – Deo 1: Jezgrovani uzorci (kernovi) - Uzimanje, pregled i ispitivanje pri pritisku. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 12620 (2010). Agregati za beton. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd. SRPS EN 13055-1 (2007). Laki agregati – Deo 1: Laki agregati za beton, malter i injekcione smese. Srpski standard, Institut za standardizaciju Srbije, Beograd.

SRPS EN 13670 (2012). Izvođenje betonskih konstrukcija. Srpski standard, Institut za standardiza ciju Srbije, Beograd.

Starčev-Ćurčin, A., Žarković, D. (2015). Pripreme za vežbe iz Teorije betonskih konstrukcija 1 (radni materijal). Uredba o tehničkim i drugim zahtevima za čelik za armiranje betona, „Sl. glasnik RS“, br. 35/2015.

151



Prazna strana.

152

TBK1_Skripta_2016-17

Recommend Documents