NSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
ESIME Unidad “Culhuacán”
ANALISIS NUMERICO
PROF. ING. JESUS RODRIGUEZ BUENDIA
ALUMNO: RUBIO LOPEZ LEONARDO DANIEL
GRUPO 4EM7
TAREA DE INVESTIGACION “FACTORIZACION LU Y METODO DE CHOLESKY”
FACTORIZACION LU La factorización o descomposición LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elemento de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización PA = LU o LU con pivote. Definiciones
Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)
donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente. Para matrices
, esto es:
Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:
Con matrices triangulares inferiores, una matriz triangular superior. Para determinar
y cada
matrices de permutación y
:
está dado por:
= Esto se debe a que
es igual a
, pero con los elementos de la subdiagonal permutados.
Otra forma de ver éste tipo de factorización es: Recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su traspuesta Unicidad
son únicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no ser únicas.
Demostración: Dada la matriz A ∈
y Recordemos que entonces:
son invertibles por tener el determinante distinto de cero
Entonces es una matriz triangular inferior, con unos en la diagonal y es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matriz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto: y Con lo cual: y Algoritmos
La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.
Donde son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matriz elemental, es otra matriz elemental:
Llamamos L a Aplicaciones Resolviendo sistemas de álgebra lineal
Dada la ecuación matricial
una matriz triangular inferior.
Queremos la solución para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes: 1. Primero, resolvemos 2. Segundo, resolvemos
para y para x .
Nótese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de este método es que es computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca y no tenemos que volver a hacer la eliminación de Gauss cada vez. Factorización L-U con pivotación: Al utilizar la técnica de triangulación de Gauss para obtener la
descomposición L-U de una matriz A podemos encontrarnos con el mismo problema de encontrar un coeficiente en la diagonal que sea 0 o un mal condicionamiento. Podemos entonces utilizar la misma técnica de pivotación: buscar el siguiente elemento en la columna que sea distinto de 0 o, mejor aún, el de mayor valor absoluto. Pero una vez obtenida la descomposición L-U, si queremos aplicarla a resolver un sistema de ecuaciones, tendremos que tener en cuenta la “historia” o registro de las pivotaciones efectuadas para aplicar al vector de términos independientes. Esto se realiza mediante la matriz de permutación P, que consiste en efectuar sobre la matriz identidad, las mismas permutaciones de filas que se vayan efectuando sobre la matriz que se está triangulando por Gauss. Al mismo tiempo se efectúan las mismas permutaciones sobre los elementos subdiagonal de la matriz L. Así, si tenemos, por ejemplo, el sistema: AX=B
y L y U son las matrices obtenidas de la matriz A como descomposición L-U por triangulación de Gauss con pivotaciones recogidas en la matriz de permutación P, es fácil comprobar que : LU=PA (LU)X=P(AX)=PB=NUEVOB
Por tanto los procesos de sustitución descendente y ascendente los aplicamos a : LD=NUEVOB UX=D METODO DE CHOLESKY
Una matriz A cuyas componentes son números reales, es positiva definida si y solo si los determinantes de A son positivas.
a1 , 1 a1 ,1
a1 , 1
a1 , 2
.
.
.
a1 ,
n
a 2 ,1
a2,2
.
.
.
a2,
n
.
.
a1,1
0,
a1 , 1
0,…,
a1,1
.
.
.
.
.
.
.
a
n
a
,1
n
,1
.
.
.
a
n
,
0
n
En caso de tener un sistema AX=b, con A positiva definida, la factorización de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya que toma la forma L LT , donde L es triangular inferior.
L
l 1 ,1
l 1 ,2
.
.
.
l 1 , n
l 2 ,1
l 2 ,2
.
.
.
l 2 , n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
l n,2
l n,2
.
.
.
l n,
n
Los cálculos se reducen, ya que ahora vasta estimar n(n+1) elementos (los en lugar de los n 2 elementos de una factorización nominal (los
u
1,1
l
1 ,1
l
1,1
0),
tales que i j y los
tales que i j). El número de cálculos es prácticamente la mitad.
I. DEDUCCION DE FORMULAS 1. si se tiene un sistema de la forma AX=b donde la matriz A es simétrica y su determinante es mayor que cero.
2. se aplica EL METODO CHOLESKY que es la factorización de A en la forma LU que toma la forma LLT 3. para poder factorizar la matriz L debe ser triangular superior. 4. una vez hallado la matriz L 5. Se resolver el sistema Lc=b donde se encontrara la matriz columna C 6. luego con la matriz transpuesta L T se resuelve el sistema L Tx=c de donde nos dará el resultado de las X
DEDUCCION
AX=b
a a . . . a
1 ,1
a1 , 2
.
.
.
a1 , n
2 ,1
a2 ,2
.
.
.
a2 , n
m ,1
.
.
.
.
.
. .
am , 2
.
.
am , n
x x . . . x
b b . . . b
1
1
2
2
m
m
FACTORIZA A
l 1,1
0
0
0
0
l 1,1
l 2,1
l 3,1
l 4,1
l 5,1
a1,1
a1,2
.
.
a1,5
l 2,1
l 2,2
0
0
0
0
l 2,2
l 3,2
l 4,2
l 5 ,2
a2,1
a2,2
.
.
a2,5
l 3,1
l 3,2
l 3,3
0
0
0
0
l 3,3
l 4,3
l 5,3 =
.
.
.
l 4,1
l 4 ,2
l 4 ,3
l 4,4
0
0
0
0
l 4,4
l 5,4
.
.
.
l 5 ,1
l 5 ,2
l 5,3
l 5 ,4
l 5,5
0
0
0
0
l 5,5
a5,1
a5,2
Primera fila por columnas (1, 2, 3, 4, 5)
a5,3
a5,4
a5,5
l 2 1,1
a 1,1
=
l 1,1 = a 1, 1
l 1,1 l 2,1
a 1,2
=
a1,2
l 2,1 =
l 1,1
l 1,1 l 3,1
l 3,1
a1,3
a1,3 =
l 1,1
l 1,1 l 4,1
l 4,1
a1,4
a1,4 =
l 1,1
l 1,1 l 5 ,1
l 5 ,1
a1,5
a1,5 =
l 1,1
Segunda fila por columna (2, 3, 4, 5) l
2
l
2
2 ,1
2 , 2
l 2 , 2
l
2 2 , 2
a2 ,2
a2 , 2 l
2 2 ,1
a2 , 2 l 2 2 ,1
l 2,1 l 3,1 l 2,2 l 3,2 a2,3
l 2,2 l 3,2 a2,3 - l 2,1 l 3,1
a2,3 - l 2,1 l 3,1
l 3,2
l 2,2
l 2,1 l 4,1
l 2,2 l 4,2
l 2,2 l 4,2
a2,4
a2,4 - l 2,1 l 4,1
a2,4 - l 2,1 l 4,1
l 4,2
l 2,2
l 2,1 l 5,1
l 2,2 l 5,2
l 5,2
l 2,2 l 5,2
a2,4
a2,5 - l 2,1 l 5,1
a2,5 - l 2,1 l 5,1
l 2,2
Tercera fila por columna (3, 4, 5) 2
l 3,1 l 2 3,3 l 3,3
2
l 3,2
2
l 3,3
a3,3 - ( l 2 3,1 a3,3 - ( l 2 3,1
a3,3
l 3 2 )
2
,
l 2 3,2 )
l 3,1 l 4,1 l 3,2 l 4,2 l 3,3 l 4,3
a3,4
l 3,3 l 4,3 a3,4 - (l 3,1 l 4,1 l 3,2 l 4,2 )
a3,4 - (l 3,1 l 4,1 l 3,2 l 4,2 )
l 4,3
l 3,3
l 3,1 l 5,1 l 3,2 l 5,2 l 3,3 l 5,3
a3,4
l 3,3 l 4,3 a3,4 - (l 3,1 l 4,1 l 3,2 l 4,2 )
l 5,3
a3,4 - (l 3,1 l 4,1 l 3,2 l 4,2 )
l 3,3
Cuarta fila por columna (4, 5) l
2
4,1
2
l 4,4 l 4,4
2
2
l 2 4,2 l 4,3 l 4,4
a4,4
a4,4 - ( l 2 4,1 l 2 4,2 l 2 4,3 ) a4,4 - ( l 2 4,1 l 2 4,2 l 2 4,3 )
l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 l 4,4 l 5,4 a3,4
l 4,4 l 5,4 a3,4 - (l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 )
l 5,4
a3,4 - (l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 )
l 4,4
Quinta fila por columna (5)
2
2
l 5,1 2
l
l 5,2
5,5
l 5,5
2
2
l 5,3
l 5,4
a5,5 - ( l 2 5,1
2
a 5,5 - ( l 2 5,1
l
2
l
2
l 5,5
a4,4
2
5,2
5,2
l 5,3 ) 2
l 5,3 )
Formulas de la deducción de este algoritmo para un sistema de “n” ecuaciones
l 1,1 a1,1 l i ,1
l i , i
a1,1
i 2,3...,n
l 1,1 i 1
a l k 1 i, i
1 2
2
i , k
i 2,3..., n
i 1 2 1 l i , i ai, i l i , k l j , k k 1 l i , i
i 2,3...,n j i 1 ,i 2,..., n 1 l i , i 0
i j
Luego resolver el sistema Lc =b
l 1,1
0
0
0
0
c1
b1
l 2,1
l 2,2
0
0
0
c2
b2
l 3,1
l 3, 2
l 3,3
0
0
c3
b3
l 4,1
l 4,2
l 4 ,3
l 4,4
0
c4
b4
l 5,1
l 5 ,2
l 5,3
l 5,4
l 5,5
c5
b5
l 1 ,1 c1 b1
b1
c1
l 1 ,1
l 2 ,1 c1 l 2,2 c2 b2
b2 l 2 ,1 c1
c2
l 2,2
l 3 ,1 c1 l 3,2 c2 l 3,3 c3 b3
b3 - l 3 ,1 c1 l 3,2 c2
c3
l 3,3
l 4 ,1 c1 l 4,2 c2 l 4,3 c3 l 4,3 c4 b4
c4
b4 - l 4 ,1 c1 l 4,2 c2 l 4,3 c3
l 4,3
l 5 ,1 c1 l 5,2 c2 l 5,3 c3 l 5,3 c3 l 5,4 c5 b5
c5
b5 - l 5 ,1 c1 l 5,2 c2 l 5,3 c3 l 5,3 c3
l 5,4
Luego resolver el sistema
T
L
X
c1
l 5,1
x1
c1
l 2,2 l 3,2 l 4,2 l 5,2
x2
c2
x3
c3
x4
c4
x5
c5
l 1,1 l 2,1 0
l 3,1
0
0
0
0
0
0
0
0
l 4,1
l 3,3 l 4,3 l 5,3 l 4,4 l 5,4 0
l 5,5
l 5 ,5 x5 c5
x5
l 4 ,4 x4
x5
l 3 ,3 x3
l 2 ,2 x2
x5
x5
x5
l 1 ,1 x1
c5 l 5 ,5
l 5,4 x5
c4
c4 - l 4 ,4 l x4
l 5,4 l 4,3 x4
l 5,3 x5
c3 l 3 ,3 x3
c3
l 4,3 x4
l 5,3 l 3,2 x3
l 4,2 x4
c4 - l 2 ,2 x2
l 5,2 x5
l 3,2 x3
c4
l 4,2 x4
l 5,2
l 1,2 x2 l 1,3 x3 l 1,4 x3 l 1,5 x5 c5
x5 - l 1 ,1 x1
l 1,2 x2 l 1,3 x3 l 1,4 x3
l 1,5
PROGRAMA – ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY
El resultado de ejecutar este Programa, con las matrices de ejemplo sería:
