1. La ecuación de demanda de demanda de cierto producto cierto producto es: p + 2 x = 25 y la ecuación de la l a oferta es: p – 3 x = 5, en donde p es el precio el precio y x es la cantidad demandada o suministrada. Calcule los valores de x y p en el punto de equilibrio de equilibrio de mercado. de mercado. La ecuación de demanda esta dada: p + 2 x = 25 La ecuación de oferta esta dada: p – 3 x = 5 Donde: p: precio. x: cantidad demandada o suministrada. La matriz aumentada asociada al sistema esta dada por:
Por lo tanto:
p=7 x=4
2. (Punto de equilibrio del mercado) Las ecuaciones de la demanda y la oferta de cierto artículo son 3p + 5x = 200 y 7p - 3x = 56, respectivamente. Determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.
3p + 5x = 200 7p - 3x = 56 Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 y encontramos el valor de p 9p + 15x = 600 35p – 15x = 280 44p = 880 p = 880/44 p = 20 Luego hallamos x 3p + 5x = 200 3(20) + 5x = 200 60 + 5x = 200 5x = 200 – 60 5x = 140 x = 140/5 x = 28
3. (Utilidades del fabricante) El costo en dólares de producir x artículos a la semana de cierto producto está dado por C = 3x + 500. Si los artículos se venden a $5 cada uno, ¿cuántos deberá producir a fin de lograr una utilidad semanal igual a $300 más el 10% de los costos de producción?
4. (Asignación de maquinaria) Una empresa produce tres productos, A, B y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas está dado enseguida.
5. CARGA AEREA Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga eran de 5, 2 y 4 pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó 2, 3 y 1 kilogramos, respectivamente; mientras que los valores unitarios de los tres tipos de carga fueron $10, $40 y $60, respectivamente. Determine el número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor total de la carga fue de $13,500, ocupó 1050 pies cúbicos de espacio y pesó 550 kilogramos. X = Unidades de Carga 1 (5 ft³, 2 Kg, $10) Y = Unidades de Carga 2 (2 ft³, 3 Kg, $40) Z = Unidades de Carga 3 (4 ft³, 1 Kg, $60) 5X + 2Y + 4Z = 1050 (1) 2X + 3Y + Z = 550 (2) 10X + 40Y + 60Z = 13500 X + 4Y + 6Z = 1350 (3) (2) : 2X + 3Y + Z = 550 +(3)x-2 -2X - 8Y - 12Z = -2700 --------------------------------------------5Y - 11Z = -2150 (4) (1) : 5X + 2Y + 4Z = 1050 +(3)x-5 -5X - 20Y - 30Z = -6750 ---------------------------------------------18Y - 26Z = -5700 (5) (4)x18: -90Y - 198Z = -38700 +(5)x-5; +90Y +130Z = +28500 -----------------------------------------------68Z = -10200; Z = (-10200/-68) = 150 Z = 150 En (4) -5Y - 11Z = -2150; -11Z + 2150 = 5Y 5Y = 2150 - 11(150); 5Y = 500;
Y = 100 En (2) 2X + 3Y + Z = 550; 2X = 550 - 3Y - Z 2X = 550 - 3(100) - 150 2X = 550 - 450 2X = 100; X = 50. Unidades de Carga 1 = 50 Unidades de Carga 2 = 100 Unidades de Carga 3 = 150
6. INVERSIONES Una persona invirtió un total de $20,000 en tres inversiones al 6, 8 y 10%. El ingreso anual total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión? partes del capital x,y,z Total del capital 1) x + y + z = 20000 Total de ingreso 2) 0.06 x + 0.08 y + 0.10 z = 1624 ó, dividiendo por 0.02 2) 3 x + 4 y + 5 z = 81200 3) 0.10 z = 2 (0.06 x) ó 3) z = (0.12/0.10) x = 1.2 x remplazamos 3) en 1) 2) 1') x + y + 1.2 x = 20000 1') 2.2 x + y = 20000 2') 3 x + 4 y + 5 (1.2 x) = 81200 2') 3 x + 4 y + 6 x = 81200 2') 9 x + 4 y = 81200 Multiplicamos 1') por -4 y sumamos a 2') 1') -8.8 x - 4 y = -80000 2') 9 x + 4 y = 81200 0.2 x = 1200 x = 1200/0.2 x = 6000 ======== y = 20000 - 2.2 x y = 20000 - 2.2*6000 y = 20000 - 13200 y = 6800 ======== z = 20000 - x - y z = 20000 - (6000 + 6800) z = 20000 - 12800 z = 7200 ========= Capital x + y + z = 6000 + 6800 + 7200 = 20000 Ingresos 6%*6000 + 8%*6800 + 10%*7200 = = 360 + 544 + 720 = 1624 Ingresos 10% = 720 = 2*360 = 2*Ingresos 6%
7. CONTRATISTA Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para tres proyectos. Los costos por hora-hombre de los tres proyectos son de $8, $10 y $12, respectivamente, y el costo total es de $53,000. Si el número de horas-hombre para el tercer proyecto es igual a la suma de las horashombre requeridas por los primeros dos proyectos, calcule el número de horas-hombre de que puede disponerse en cada proyecto. 1) x+y+z=5000 2) x+y=z 3) 16x+20y+24z=106000 de 1 y 2: 2z=5000 => z=5000/2 z=2500 x+y=2500 => y=2500-x sustituyendo en 3: 16x+20(2500-x)+24*2500=106000 16x+50000-20x+60000=106000 -4x=-4000
x=1000 y=2500-x y=2500-1000 y=1500 X=1000 horas, Y=1500h, Z=2500h.
8. ASIGNACIÓN DE RECURSOS
Una pequeña compañía constructora ofrece tres tipos de casas. El primer tipo de casa requiere 3 unidades de concreto, 2 unidades de madera para cancelería y 5 unidades de madera para estructuras. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades, respectivamente, de concreto, madera para cancelería y madera para estructuras. Si cada mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de madera para cancelería y 250 unidades de madera para estructuras, calcule el número de diferentes tipos de casas que la compañía podrá construir al mes si usa todos los materiales de que dispone. Cantidad de concreto: 3X+2Y+4Z Cantidad de madera para cancelería: 2X+3Y+2Z Cantidad de madera para estructuras: 5X+5Y+6Z Queremos que se cumplan las siguientes ecuaciones: 3X+2Y+4Z = 150 2X+3Y+2Z = 100 5X+5Y+6Z = 250 Observamos que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, así que nuestro sistema de ecuaciones tiene sólo dos grados de libertad: 3X+2Y+4Z = 150 {1} 2X+3Y+2Z = 100 {2} {1} → 3X+2Y+4Z = 150 {3} 2*{1} -3*{2} → -5Y+2Z = 0 {4} 5*{3}+2*{4} → 15X +24Z = 750 {4} → -5Y+ 2Z = 0 Por lo tanto X = 50 - (8/5)*Z Y = (2/5)*Z Como queremos que X y Y sean números enteros no negativos, entonces Z debe ser múltiplo de 5 y menor que 35 (para que X no sea negativo). Entonces hay 7 valores posibles de Z: Z=0, Z=5, Z=10, Z=15, Z=20, Z=25 y Z=30 Con estos valores las posibles respuestas son (50,0,0) (42,2,5) (34,4,10) (26,6,15) (18,8,20) (10,10,25) (2,12,30)
