Leyes de Conservaci´on
Rafael Ordo˜ nez Cardales Ciclo: I 2016 Tarea II
Universidad de Concepci´on Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica Doctorado en Ciencias Aplicadas con menci´on en Ingenier´ıa Matem´atica
1
´ Indice 1 Introducci´ on
3
2 Esquemas Num´ ericos
3
2.1
Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Lax-Friedrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Condici´on CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Resultados Num´ ericos
6
3.1
Problema de Riemman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3.2
Condiciones Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.3
Importancia de la CFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Introducci´on La ecuaci´on escalar ∂t u + ∂x (f (u)) = 0, donde f (u) =
u2 u2 + (1 − u)2
(1)
Es un ejemplo de la ecuaci´on Buckley-Leverett y representa un simple modelo de dos fases del flujo de un fluido en un medio poroso. El presente escrito es un peque˜ no informe comparativo de tres esquemas num´ericos (Godunov, Lax-Friedrisch, y Lax-Wendroff) que resuelva la ecuaci´on de Buckley-Leverett, para el problema de Riemann ul = 0 y ur = 1, y para el problema de Cauchy con una condici´on inicial u(x, 0) = sin(x).
Esquemas Num´ericos considere la ecuaci´on escalar ∂t u + ∂x (f (u)) = 0. Un esquema se dice conservativo para la ecuaci´on anterior si puede escribirse de la forma un+1 = unj − j
δt (F (unj−k , . . . , unj+k ) − F (unj−1−k , . . . , unj−1+k )). δx
(2)
Donde la funci´on F se denomina flujo num´erico. A continuaci´on presentaremos los esquemas de Godunov, Lax-Friedrisch, y Lax-Wendroff §2.1 Godunov Es un m´etodo basado en la evoluci´on de problemas de Riemann en vez del retroceso por caracter´ısticas. Consiste en resolver problemas de Riemann localos con estados ul = uni , ur = uni+1 con estados de tiempo suficientemente peque˜ no. Como se vio en clase el esquema de Godunov est´a dado por un+1 = unj − j
δt (f (wr (0, unj , unj+1 )) − f (wr (0, unj−1 , unj ))), δx 3
(3)
de donde n God n Fj+ (uj , unj+1 ) = f (wr (0, unj , unj+1 )). 1 := F
(4)
2
Este esquema se puede simplificar a´ un m´as si d = 1 y N = 1. En tal caso se tendr´a ın f (v) si unj < unj+1 v∈(um´ n ,un ) j j+1 n God n Fj+ (uj , unj+1 ) = 1 := F 2 ax f (v) si unj ≥ unj+1 v∈(um´ n ,un ) j
(5)
j+1
§2.2 Lax-Friedrisch Es un esquema centrado de primer orden donde el flujo viene dado por n Fj+ 1 2
:= F
LF
(unj , unj+1 )
f (unj ) + f (unj+1 ) = . 2
Luego reemplazando est´a ecuaci´on en (2) se tiene un+1 = unj − j
δt (f (unj+1 ) − f (unj−1 )). 2δx
(6)
El esquema (6) tiene una gran desventaja, es muy difusivo; esto implica que el esquema no es estable. Para lograr estabilizar (6) se le agrega una viscosidad num´erica . As´ı las cosas se tendr´a f (unj ) + f (unj+1 ) + 2
δx n (uj+1 − unj ), 2 2δt | {z } viscosidad num´erica de esta forma el esquema de Lax-Friedrisch Mejorado es el siguiente n LFM n Fj+ (uj , unj+1 ) = 1 := F
un+1 = unj − j
δt (F LF (unj , unj+1 ) − F LF (unj , unj−1 )). 2δx
(7)
(8)
§2.3 Lax-Wendroff Es un esquema num´erico de segundo orden en espacio y tiempo. El flujo num´erico para este esquema es el siguiente 1 n δt n LW n n n n n Fj+ 1 := F (uj , uj+1 ) = f (u + uj ) − (f (uj+1 ) − f (uj )) , 2 2 j+1 2δx
(9)
Por lo tanto el esquema de Lax-Wendroff es un+1 = unj − j
δt LW n n (F (uj , uj+1 ) − F LW (unj , unj−1 )). δx 4
(10)
§2.4 Condici´ on CFL La condici´on de Courant-Friedrisch-Levy (CFL) garantiza la estabilidad de los esquemas num´ericos. La condici´on CFL para los esquemas num´ericos de Godunov, Lax-Friedrisch, y Lax-Wendroff esta dada por δt 0 kf (u)k∞ ≤ 1. δx
(11)
En nuestro caso se tiene u2 f (u) = 2 , u + (1 − u)2 de donde (2u2 − 2u + 1)2u − u2 (4u − 2) [u2 + (1 − u)2 ]2u − u2 [2u − 2(1 − u)] = [u2 + (1 − u)2 ]2 [u2 + (1 − u)2 ]2 4u3 − 4u2 + 2u − 4u3 + 2u2 2u − 2u2 2u(1 − u) = = = 2 ; 2 2 2 2 2 2 [u + (1 − u) ] [u + (1 − u) ] [u + (1 − u)2 ]2
f 0 (u) =
Es decir f 0 (u) =
[u2
2u(1 − u) 2u(1 − u) = . 2 2 + (1 − u) ] (2u2 − 2u + 1)2
(12)
En (??) puede verse que f 0 (u) es c´oncava hacia en [0, 1] por lo tanto posee un m´aximo en ese intervalo. Para encontrar ese valor volvemos a derivar f ; esto es 2[u2 + (1 − u)2 ]2 (1 − 2u) − 4u(1 − u)(u2 + (1 − u)2 )(2 + 4u) [u2 + (1 − u)2 ]4 8u3 − 12u2 + 2 = 2 [u + (1 − u)2 ]3 .
f 00 (u) =
√ Igualando a cero encontramos que las ra´ıces de dicha ecuaci´on son u1 = 1/2, u2 = 1/2− 3/2 y √ u3 = 1/2 + 3/2. Debido a que las dos ultimas ra´ıces no pertenecen al intervalo [0, 1] entonces podemos concluir que el valor m´aximo de la derivada de f se encuentra en u = 1/2. Luego reemplazando este valor en (12) obtenemos f 0 (1/2) =
5
1 2 1 4
= 2.
Por lo tanto kf 0 (u)k∞ = 2,
(13)
En consecuencia reemplazando en (11) encontramos que δt 1 ≤ δx 2
(14)
Resultados Num´ericos Se realizo un programa en MATLAB para resolver la ecuaci´on escalar ∂t u+∂x (f (u)) = 0, donde u2 f (u) = 2 . u + (1 − u)2 Utilizando los esquemas num´ericos de Godunov, Lax-Friedrisch Mejorado, y Lax-Wendroff con tiempo de simulaci´on T = 1,5 y tama˜ no de la partici´on n = 500. Para garantizar que se satisfaga (11) y (14) definimos δt β = δx α donde los par´ametros α y β corresponden a α = kf 0 (u)k∞ = 2 y β = 1. §3.1 Problema de Riemman Consideramos 0 si x < 0 u0 (x) = , 1 si x ≥ 0
6
(15)
el tiempo de simulaci´on fue T = 1,5 y el tama˜ no de la partici´on fue n = 500. Con lo cual se obtuvieron las siguientes soluciones num´ericas
(a) Condici´ on Inicial
(b) Godunov
(c) Lax-Friedrisch
(d) Lax-Wendroff
Figura 1: Solucion de la ecuaci´on de Buck˜ ney-Leverett Como puede verse en la Figura (1) los tres esquemas num´ericos funcionan correctamente y se aproximan a la soluci´on exacta la cual viene dada por una onda de rarefacci´on seguida de un shock. Como era de esperarse el esquema de Lax-Wendroff se aproxima mejor y esto se debe a que es un esquema de segundo orden. 7
§3.2 Condiciones Periodicas En est´a secci´on consideraremos uo (x) = sin(x), con lo cual se obtuvo lo siguiente.
(a) Condici´ on Inicial
(b) Godunov
(c) Lax-Friedrisch
(d) Lax-Wendroff
Figura 2: Solucion de la ecuaci´on de Buck˜ ney-Leverett Al igual que en la secci´on anterior los tres esquemas funcionan correctamente, adem´as podemos ver que el esquema de Lax-Friedrisch presenta oscilaciones cuando se acerca al shock. 8
§3.3 Importancia de la CFL Consideremos α = 2 y β = 2,95 con esto obtenemos que
(a) Condici´ on Inicial
(b) Godunov
(c) Lax-Friedrisch
(d) Lax-Wendroff
Figura 3: Importancia de la CFL Comparando las Figuras (3) y (2) se puede ver que los esquemas de Lax-Friedrisch, LaxWendroff Presentan demasiadas oscilaciones esto se debe a que la condici´on CFL se viola cuando β = 2,95.
9
Referencias [1] Helge Holden and Nils H. Risebro, Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws. Editorial Springer, Second Edition, 2015.
10
