E2e%cicio 3$ Algunas aves vuelan más lento sobre el agua que sobre la tierra. Un ave vuela con una velocidad constante de 6 km/h sobre el agua y de 10 km/h por tierra.
Utiliza la inormaci!n de la siguiente igura para determinar la trayectoria que debe seguir el ave a in de minimizar el tiempo de vuelo entre la playa de una isla y su nido en otra isla.
"rimero consideramos las dos dierentes velocidades que tenemos. #elocidad $va% por agua & 6 km/h #elocidad $vb% por tierra & 10 km/h 'l problema nos pide determinar la trayectoria con el in de minimizar el ()'*"+ por lo que sabemos que el tiempo inal será la suma del tiempo que tarde sobre el agua más el tiempo que tarde sobre la tierra. ttotal & ta , tb -e la ecuaci!n de la velocidad podemos despear el tiempo #a &
d1 t
y
#b &
d2 t
→ →
ta & d1/va
tb & d/vb
→
→
ta & d1/6 km/h
tb & d/10 km/h
Ahora tenemos que encontrar las distancias d1 y d para poder sustituir en las ecuaciones anteriores. a distancia 1 $d1% se puede obtener a partir del teorema de pitágoras ya que la recta que traza la trayectoria d1 resulta ser el complemento para un triángulo rectángulo con lados d1 2 y 3 km. "or lo tanto4
Teorema de Pitágoras: a ² =b ² + c ²
-e ah5 obtenemos que. d 1=√ ❑
d 2=20 − x
y
ustituyendo las ecuaciones anteriores para d1 y d en las ecuaciones para obtener el ta y tb obtendremos4
ta = √ ❑ ❑
tb =
y
− x
20
10
"or lo tanto el tiempo total será4
√ ❑ ❑
ttotal &
As5 encontramos la ecuaci!n a optimizar. "ara encontrar m5nimos o má2imos se deriva la unci!n y despu7s se igualará a cero. a derivada de una raiz cuadrada es4
d √ ❑
y la derivada de una constante es igual a 0 y la derivada de una constante por 2 es4 d cx =c por lo tanto. dx la derivada de ttotal & 1
t8total &
6
∗2 x
9
❑
2 √
1 10
√ ❑ es4 ❑ &0 →
x
❑
6 √
&
1 10
→
10 x
=9
→
=6 √ ❑
→ 10 x 6
x ² =
=√ ❑ 9 1.77
→
→
2.77 x ²
=9 + x ²
→
1.77 x ²
x =± √ ❑
:os encontramos con dos valores de 2 que representan la distancia nos quedamos con el valor positivo ya que la distancia no puede tomar valores negativos. ustitu5mos el valor de 2 en la ormula
ttotal &
√ ❑ ❑
→
ttotal &
√ ❑ & .; hrs. ❑
"ara corroborar que sea el tiempo m5nimo nos basamos en el metodo de la primera derivada y evaluamos en una unidad de distancia menor y en otra mayor. 1 km menor
→
ttotal &
1 km mayor
→
ttotal &
√ ❑ & .;166 hrs. ❑ √ ❑ & <.6<= hrs ❑
os valores son mayores lo que indica que .= es un m5nimo y el tiempo m5nimo de vuelo entre un isla y el nido es de .; hrs
E2e%cicio 4 1
a% -emostrar que el vol>men de un cono es V = π r ² h 3
'l volumen de un cono se puede simpliicar como 1/3 del volumen de un cilindro
V =
Areacirculo ( h ) 3
#oltear el cono y hacerlo pasar por el origen nos ayudará simpliicando la ecuaci!n de la recta $rh%. -espu7s seleccionamos un disco inscrito en el cono con un radio $r% & 2 y un al tura $h% & dy
a recta $rh% delimita el radio que el disco o discos tendrán. "or lo tanto la pendiente de la recta será4 y ₂ − y ₁ h− 0 h = m= m= → x ₂ − x ₁ r −0 r o que signiica que conorme sube la altura aumenta el radio. i seleccionamos el punto p$00% para encontrar la ecuaci!n de la recta y&m2 , b r y = x + 0 → h ?a que b es el cruce que tiene con el ee y y 7ste es en 0. ⋅
-e la ecuaci!n anterior debemos despear 2 ya que necesitamos la ecuaci!n en t7rminos de y porque el disco as5 lo e2ige.
r x = y h
→
-e la !rmula para el vol>men de un disco $#& π r ² h %
r h
sustituiremos el r por el radio obtenido que es x = y y la altura $h% por la altura $dy% obteniendo4
r v =π ( y ) ² dy h
'sta es la unci!n que debe integrarse con la inalidad de tener la sumatoria de todas la áreas de los discos inscritos en el cono. h
∫ π ( rh y ) ² dy & 0
h
r² r ² y ³ π ∫ y ² dy = π [ ] h² h² 3
r ² h ³ r² h³ π [ −0 ]= π ⋅ 3 3 h² h²
'valuado de 0 a h obtenemos
0
→
obtener el vol>men de un cono
r ² π h /3
→ a cual representa la !rmula para
1
V = π r ² h . 3
b% 'ncontrar el ángulo que hace que el volumen que se orme del ragmento del c5rculo cortado sea má2imo.
@& radio& constante omo primer paso para resolver este problema se tiene que ormular una ecuaci!n. Bormulamos una ecuaci!n en donde se pongan de maniiesto los datos que tenemos.
R = Área del círculo R θ= Fracción cortadadel círculo 2 π r = Fracción del círculo que no fue cortada 2π
Ahora se ormula una ecuaci!n en la que se le resta
2π
R − R θ =2 π r
-espu7s se despea el valor de 2π R
r (θ ) 4
− R θ =2 π r r =(2 π R − R θ )/ 2 π = R − R θ= R − R θ ⇒
on el pedazo que se cort! de la circunerencia notamos que se orma un cono y dentro de este cono se orman dos triángulos rectángulos en los cuales podremos utilizar la !rmula del teorema de pitágoras. @&g 2
2
h + r = R
2
-espeamos el valor de ecuaci!n. 2
2
h + r = R
2
⇒
h ( θ ) sustituyendo el valor de
r ( θ ) dentro de la
h =√ ❑
?a que tenemos despeados los valores de
1
3
3
2
r (θ ) podemos sustituir
1
V = π r ² h .
valores en la !rmula de 1
h(θ ) y
3
2
1
2
2
1
2
V = π r ² h= π ( R − R θ )( R θ )= π ( R ( R θ ))−( R θ )( R θ )= π ( R ( R θ ))− R θ 3
3
-espu7s de obtener el valor de # derivamos la unci!n. 1
3
V ' = π ( R )−3 R θ
2
3
)gualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos cr5ticos.
3
1 3
3
2
π ( R )−3 Rθ =0
? resolviendo esta ecuaci!n tenemos un punto cr5tico en
√ ❑ &0.=C
0 ,
θ=¿
√ ❑ &0.=C
Ahora convertimos los 0.=C radianes a grados.
(180 / π )
θ=33.8
1 9
a unci!n presenta un má2imo en
1 rad&
θ=± √ ❑
⇒
0.59 rad
=33.8
c% uponga que @&= cmD graique para ese valor el volumen en t7rminos del ángulo θ . 'mpezamos creando un archivo m para ir haciendo cambios a lo largo del planteamiento4
Al momento de eecutar el archivo en la ventana de comandosE
Fráica que relaciona cada valor para el ángulo arroado con la !rmula con relaci!n al volumenD se entiende pues que entre mayor apertura mayor el volumen pero que e2iste un punto tal que el volumen se mantendrá.
