TANGENCIAS

Departamento de Expresión Artística y Tecnología

Área de Educación Plástica y Visual

APUNTES DE TANGENCIAS Y ENLACES PARTE 1: TANGENCIAS TANGENCIAS Dos elementos geométricos son tangentes cuando tienen un punto común, que se denomina

PUNTO

DE TANGENCIA.

En general, estudiaremos dos casos generales: • •

Tangencia entre recta y circunferencia (TRC) Tangencias Tangencias entre circunferencias (TCC)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS TANGENCIAS Tangencias entre recta y circunferencia (TRC) •

El radio de una circunferencia que pasa por su punto de tangencia, siempre es perpendicular a la recta tangente

•

La distancia del centro de una circunferencia a una recta tangente, es siempre igual a su radio

Tangencias entre circunferencias (TCC) •

Los centros de dos circunferencias tangentes entre sí y su punto de tangencia, están siempre alineados.

•

La distancia entre los centros de dos circunferencias tangentes, siempre es igual a la suma o a la diferencia de sus radios, según sean tangentes exteriores o interiores.

Nota importante Para que una tangencia quede correctamente resuelta es imprescindible determinar primero los puntos de tangencia.

TRAZADOS DE TANGENCIAS ENTRE RECTAS CIRCUNFERENCIAS 1. Recta tangente a una circunferencia en un punto P de la misma

Y

El procedimiento es tan obvio como aplicar directamente la propiedad fundamental de las tangencias entre rectas y circunferencias; tan sólo hay que realizar dos pasos:

P dado

(1)

Trazar el radio de la circunferencia que pasa por el punto

(2)

Dibujar una recta perpendicular a dicho radio por ese mismo punto

1



2. Recta tangente a una circunferencia de centro desconocido en un punto P (1) Desde el punto P se trazan dos arcos consecutivos iguales que cortarán circunferencia en los puntos A y B.

a

la

(2)

Desde P, y con radio PB, se traza un arco que cortará en el punto C al último arco trazado.

(3)

La recta CP será la tangente pedida

3. Rectas tangentes a una circunferencia de centro desconocido por un punto exterior P (1)

Unir el punto P dado con el centro segmento que determinan

O de la circunferencia y hallar el punto medio M, del

(2)

Trazar una circunferencia que pase por los puntos los puntos T y T’

(3)

Las rectas PT y PT’ son las rectas pedidas

P y O, que cortará a la circunferencia dada en

4. Circunferencia tangente a una recta en punto dado P y que pasa por un punto exterior Q (1)

Como la circunferencia buscada tiene que pasar por P y Q, su centro O tendrá que estar forzosamente en la mediatriz del segmento PQ que determinan.

(2)

Al ser P el punto de tangencia, el radio de la circunferencia buscada que pasa por él tiene que se perpendicular a la recta.

(3)

Trazamos una perpendicular a la recta dada por el punto P y determinamos sobre la mediatriz antes hallada el punto O, centro de la circunferencia pedida

O y radio OP trazamos la circunferencia tangente a la recta dada. 5. Circunferencia de radio conocido tangente a los lados de un ángulo dado (4)

Con centro en

(1)

Se traza la bisectriz del ángulo dado

(2)

Trazamos una recta paralela a cualquiera de los lados del ángulo a una distancia R igual al radio de la circunferencia buscada, que cortará a la bisectriz antes hallada en el punto O, centro de la circunferencia pedida.

(3)

Desde el centro O se trazan perpendiculares a los lados del ángulo, obteniéndose los puntos M y N, que son los puntos de tangencia buscados.

(4)

Con centro en

O, abriendo hasta M o N, dibujamos con el compás el resultado final 2



6. Circunferencia tangente a un ángulo que pasa por un punto P (1)

Se halla la bisectriz del ángulo

(2)

Por el punto P de levanta una perpendicular al lado, determinando el punto de corte O sobre la bisectriz antes trazada

(3)

Con centro en O y radio circunferencia buscada

OP se traza la

7. Circunferencia de radio conocido tangente a un ángulo mixtilíneo Se trata de hallar una circunferencia, cuyo radio R conocemos, que sea tangente a un ángulo mixtilíneo dado, cuyo vértice es el punto E y sus lados son A y

B

G

(1)

Trazamos paralelas equidistantes la longitud al lado recto del ángulo

(2)

Dibujamos arcos concéntricos equidistantes la distancia H

(3)

Los puntos de intersección entre arcos y rectas determina la bisectriz del ángulo mixtilíneo

(4)

Una vez hallada la bisectriz, se procede como si de un ángulo rectilíneo se tratara

al

dado,

8. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias Sean las circunferencias de centro O y O’ y radios r y R, respectivamente (1) Se unen los centros O y O’ y se halla el punto medio M del segmento que determinan (2) Con centro en O’, se traza una circunferencia concéntrica auxiliar, cuyo radio es igual a R-r, diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas. (3)

Se traza un circunferencia con centro en el punto M, antes hallado, que pase por los centros O’. Ese arco cortará a la circunferencia auxiliar en los puntos A y B

(4)

Se hallan los puntos de tangencia T1 y T3 como puntos de corte de la circunferencia mayor con las prolongaciones de los segmentos O’A y

Oy

O’B (5)

Se determinan los puntos de tangencia T2 y T4 sobre la otra circunferencia al trazar por su centro paralelas a los segmentos O’A y O’B

(6)

Las rectas que pasan respectivamente por T1-T2 y T3-T4 son las tangentes buscadas

3



9. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias Sean las circunferencias de centro O y O’ y radios r y R, respectivamente (1) Con centro en O’, centro de la circunferencia de mayor radio, se traza una circunferencia auxiliar cuyo radio sea igual a la suma de los radios dados r+R (2) Se halla el punto medio M del segmento determinado por los centros O y O’ de las circunferencias dadas (3)

Con centro en el punto M hallado se traza una circunferencia que pase por los puntos O y O’. Dicha circunferencia cortará a la anteriormente trazada (la que tiene como radio r+R) en los puntos A y B.

(4)

Uniendo los puntos A y B con el centro O’ de la mayor de las dos circunferencias dadas, obtenemos respectivamente los puntos de tangencia T1 y T3

(5)

Los otros puntos de tangencia, T2 y T4, se determinan trazando paralelas a O’A y O’B, respectivamente

(6)

Las soluciones se obtienen uniendo los puntos

T1-T2 y T3-T4

10. Trazado de una circunferencia tangente a tres rectas que se cortan (1)

Se hallan las bisectrices de los ángulos formados por las tres rectas secantes. El punto de corte O de ambas bisectrices, es el centro de la circunferencia buscada

(2)

Trazando perpendiculares a las tres rectas dadas por el punto O, se determinan los puntos de tangencia N, S y T, cuya distancia a O será el igual al radio del arco tangente a las rectas iniciales

11. Trazado de todas las circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan, formando un triángulo (1)

Se hallan las bisectrices de todos los ángulos, internos y externos, determinados por las tres rectas

(2)

Los puntos O1, O2, O3 y O4 en los que se cortan las bisectrices, son los centros de las circunferencias tangentes a las tres rectas.

(3)

Los radios serán las distancias de los centros a las rectas, tomadas perpendicularmente

4



TRAZADOS DE TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS 1. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia dada, en un punto P de la misma El procedimiento es simple, basta con aplicar la propiedad fundamental de las tangencias entre circunferencias, es decir, que los centros de dos circunferencias tangentes y sus puntos de tangencia están siempre alineados. (1) (2)

Se traza una recta que pase por los puntos P yO Sobre dicha línea se lleva, a partir de P, la longitud del radio propuesto R, obteniéndose los puntos de corte O’ y O’’, que son los centros de las circunferencias que resuelven el problema.

2. Trazado de una circunferencia de radio conocido tangente a otra dada y que pase por un punto N exterior a la misma Sean una circunferencia de centro O y un punto N exterior a ella (1)

Con centro en O se traza una circunferencia concéntrica de radio igual a la suma del R dado y el de la circunferencia

(2)

Desde el punto exterior N se traza un arco de radio R, que cortará a la concéntrica a O en el punto O’, siendo esta intersección el centro de la circunferencia que resuelve el problema.

3. Trazado de tres circunferencias de radios conocidos tangentes entre sí. (1)

Se construye un triángulo cuyos lados son iguales a las sumas de los radios dados, tomados de dos en dos.

(2)

Los vértices O, O’ y O’’ de dicho triángulo son los centros de las tres circunferencias buscadas

4. Trazado de cuatro circunferencias de igual radio tangentes entre sí (1)

Se construye un cuadrado que tenga como lado el doble del radio R de las circunferencias buscadas

(2)

Los vértices de dicho cuadrado son los centros de las circunferencias que resuelven el problema 5



5. Trazado de una circunferencia tangente a una recta y a una circunferencia que pase por un punto P de la misma (1) Se trazan el radio OP y la tangente T en el punto P de la circunferencia dada, obteniéndose el punto C sobre la recta dada A. (2)

Se hallan las bisectrices de los ángulos que forman las rectas A y T, que cortarán a la prolongación del radio OP en los puntos O’ y O’’

(3)

Con centro en los puntos O’ y O’’ y abriendo hasta P se trazan las dos posibles circunferencias que solucionan el problema, cuyos puntos de tangencia con la recta serán los puntos S y N, respectivamente y con la circunferencia el punto P dado

6. Trazado de una circunferencia de radio conocido R, tangente interior a dos circunferencias dadas (O y O’) Si el radio de la circunferencia buscada es mayor que la suma de los radios de las circunferencias dadas, se procede de la siguiente manera: desde O y O’, centros de las dadas, arcos con radio igual a la radio R conocido, menos el circunferencia correspondiente.

(1)

Se trazan de circunferencias diferencia del respectivo de la

(2)

La intersección O’’ de ambos arcos es el centro de la circunferencia buscada.

(3)

Uniendo el punto O’’ con los centros obtienen los puntos de tangencia M y N

(4)

Con centro en O’’ y radio circunferencia tangente buscada

O y O’, se

R se traza la

7. Trazado de una circunferencia de radio conocido R, tangente exterior a dos circunferencias dadas (O y O’) (1) Se trazan de desde O y O’, centros de las circunferencias dadas, arcos con radio igual a la suma del radio R conocido y el respectivo de la circunferencia correspondiente. (2)

El punto de intersección de ambos arcos es el centro de la circunferencia buscada.

(3)

Uniendo el punto obtenido con los centros O y O’, se obtienen los puntos de tangencia

(4)

Con centro en el punto hallado y radio

R se traza la circunferencia tangente buscada

6



8. Trazado de una circunferencia de radio conocido R, tangente a dos circunferencias dadas, siendo exterior la de radio mayor (O) e interior la de radio menor (1)

Haciendo centro en O se describe un arco de radio suma del suyo y el radio dado

R+R’,

(2)

De igual modo, se traza otro arco desde O’, pero con radio R-R’’, diferencia entre el radio conocido y el de la menor de las circunferencias.

(3)

Los dos arcos determinan en su intersección el punto centro de la circunferencia tangente buscada

(4)

Los puntos de tangencia M y N se calculan al unir el punto O’’,antes hallado, con los centro de las circunferencias de dadas, con centros en O y O’, respectivamente

O’’,

7

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