Tamaño

MÉTODOS ESTADÍSTICOS

UCV

Lic. Wilder Alvarado Castillo

EJERCICIOS Tamaño de Muestra GRUPO 1

1.

Un fabricante de automóviles desea estimar el kilometraje promedio por galón de gasolina que los clientes obtendrán en un nuevo modelo de carburador. ¿Cuántos viajes de muestra debe efectuar, a fin de que su estimación tenga una precisión de 0,5 kilómetros por galón, con una confianza del 95%, suponiendo que la desviación típica es de 1,9 kilómetros por galón?

2.

Suponga que una compañía desea estimar la proporción de cuentas que incluye gastos específicos por trabajo y el valor promedio por cuenta. Además se ha fijado una confianza de 95% y un error del 6%. ¿Qué tamaño de muestra se debe fijar, si una encuesta preliminar de 30 cuentas dio como resultado 12 tarjetas que incluyen gastos específicos, por un valor de $5.400.000 y una desviación estándar de $20.000.

3.

En una ciudad hay 360 fábricas de helados y se requiere realizar una muestra para estimar la proporción de consumo de acuerdo a una nueva forma de presentación. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea una confianza del 95,5% y un error del 9%?

4.

Un investigador asegura que el salario promedio de los obreros, en cierto sector industrial, es de $750.000 y sus edades oscilan entre los 18 y los 40 años, además sus gastos en alimentación deben encontrarse entre los 40 y 60%. Se desea estimar el salario promedio, (suponiendo para ello una desviación típica de $40.000) y el porcentaje de los gastos en alimentos. Considere un error del 2% para el promedio y un 8% para la proporción, además una confianza del 95% y un total de 10.000 obreros, para calcular el el tamaño de la muestra. muestra.

5.

Se estima que el sesgo en la proporción de ejecutivos subalternos que renuncian en compañías manufactureras manufactureras grandes, después de tres años es del 3%. Se utiliza el grado de confianza de 0,95. Un estudio realizado hace varios años reveló que el porcentaje de ejecutivos subalternos que renuncian después de tres años fue del 21%. a) Para actualizar este estudio, ¿cuántos ejecutivos subalternos deberían estudiarse de los archivos? b) ¿Cuántos funcionarios, de un total de 520 deberían considerarse, si no se contara con una estimación previa? GRUPO 2

6.

Se estimará el número medio de días de viaje al año de los vendedores foráneos empleados por una empresa. Se utiliza el grado de confianza del 90%. La media de un estudio piloto realizado a 25 vendedores fue de 5,2 meses y la proporción de viajeros con más de 100 días fue del 62%. La empresa emplea un total de 620 vendedores que recorren todo el país. Dicha encuesta permitió conocer o estimar la desviación estándar de 14 días. ¿Cuántos vendedores foráneos deberán considerarse si se establece un error del 1,5% para el promedio de viajes y, del 12% para la proporción con más de 100 días de viaje?

7.

Un investigador está interesado en estimar la ganancia total en peso, en un período de 0 a 4 semanas de 5.000 pollitos alimentados con una nueva ración. Obviamente pesar


UCV


cada vez sería tedioso y llevaría demasiado tiempo. Por lo tanto, se debe determinar el número de pollitos a seleccionar en una muestra para estimar el total con un límite para el error de estimación igual a 5.000 gramos. Muchos estudios similares sobre nutrición de pollitos se han llevado a cabo en el pasado. Usando datos de estos estudios el investigador encontró que la varianza es aproximadamente de 36 gramos. Determine el tamaño de la muestra requerido. 8.

Explique brevemente la diferencia que hay entre: a) estimador y parámetro b) población y muestra c) estadística descriptiva e inferencia d) muestreo aleatorio y no aleatorio

9.

Se desea realizar una investigación sobre el número de unidades en mal estado, en 4.000 cajas que se encuentran en bodega, además, la proporción de cajas con unidades en mal estado. Se realiza una encuesta preliminar de 80 cajas con el siguiente resultado, que se presenta en una tabla de frecuencias. No. De unidades en mal estado: No. De cajas examinadas:

0

1

2

4

5

8

10

12

37

16

6

8

4

2

2

3

Determinar el tamaño óptimo para una muestra que cumpla con las dos condiciones anteriores, Para ello el investigador establece un error del 6% para el promedio de unidades en mal estado por caja y, del 12% para la proporción de cajas con unidades en mal estado. La confianza será del 95%. 10. Los gerentes de una cadena de almacenes, han decidido actuar rápidamente y en forma

drástica, para reducir el número (frecuencias) y el valor de las pérdidas debidas a hurtos. Se han propuesto varias alternativas algunas de ellas son costosas. Al investigarse cada alternativa se hace patente que la firma requiere de una estimación con la mayor precisión posible, del porcentaje de compradores que cometen hurto y el valor que ello representa. Un examen en fuentes secundarias revela estimaciones de compradores que han hurtado un artículo en la semana pasada que van desde 0,01% al 10%, por un valor promedio de $23.000. Mediante una muestra aleatoria simple de compradores, los que serán seguidos durante toda su visita al almacén, mediante la utilización de detectives especialmente adiestrados. Si la gerencia quiere estar «prácticamente segura» que la estimación no difiera de la cifra real del 0,5% en ambos casos, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra, si para el valor de las pérdidas piensa, que la desviación estándar es de $1.500 y el número de clientes que entran durante la toma de la muestra en de 5.000 personas? La confianza en ambos casos es de 95%. GRUPO 3

11. A partir de una muestra de

200 observaciones se encontró que, en una remesa habrá 20 acumuladores defectuosos. Con una confianza del 95%, calcular el error de la muestra.

12. Un

auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, de tal manera que la verdadera proporción de errores no exceda del 6%. Si la población es de 2.000 cuentas, ¿qué tamaño tendrá la muestra que va a tomar, si el auditor estima que la proporción de errores es del 4%?


UCV


13. Se

desea estimar el gasto mensual en energía eléctrica por familia de clase media de una ciudad, que cuenta con 10.000 familias clasificadas en ese grupo de ingresos. Con base en estudios realizados en otras ciudades con estratificación y comportamiento de consumo similar, se supone que la desviación estándar es de $3.000. Se quiere estimar con una aproximación de ± $380 del promedio real, con 95% de confianza. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para dicha investigación?

14. Explique brevemente:

a) el objetivo del muestreo b) "si se utilizan métodos de muestreo no probabilístico, los resultados, pueden estar sesgados" c) qué significa «error de muestreo»? d) ¿en qué condiciones es más apropiado el muestreo no probabilístico que el probabilístico? 15. Interesa

estimar el número de accidentes de tránsito en una ciudad cualquiera. Durante un año (365 días) se determina una desviación típica de 12 accidentes diarios. ¿Cuántos días (tamaño de muestra) debemos observar para no errar, en más de 3 accidentes, con un 90% de confianza?

GRUPO 4

16. Se

quiere determinar el tamaño de la muestra para un estudio sobre el gasto mensual en productos de limpieza para el hogar. Para estimar la desviación típica de la población, el investigador utiliza una muestra preliminar de 80 familias, habiendo encontrado que la desviación estándar era de $20. 500. a) ¿Cuál es el valor de n si se desea que el error estándar de la medida inferida de la población no exceda de ± $2.400 con un nivel de confianza del 95%? b) ¿Cuál es el tamaño de la muestra en el punto anterior, si se sabe que N= 2.000?

17. Se selecciona una muestra aleatoria simple de familias de clases media de un barrio de

la ciudad, con el fin de estimar el ingreso promedio semanal. El error debe estar en el rango de $20.000, con un riesgo de 0,045, ¿de qué tamaño debe ser seleccionada la muestra, si la desviación normal ha sido calculada en $80.000?. 18. Entre los estudiantes de cierta universidad privada, se

desea una muestra aleatoria para estimar la proporción de lectores de obras literarias. El error debe conservarse en un 5%, con un riesgo de 0,045. ¿Cuál es el tamaño de muestra requerida?

19. Una

fábrica de gaseosa tiene un total de 628 camiones repartidores; la varianza de las ventas diarias de todos los camiones es de 25.000 (miles de $). Se va a seleccionar una muestra aleatoria de camiones para la realizar con base en ella estimación de la media poblacional de ventas. ¿Cuál es el tamaño de tal muestra, para que el 0.95 sea la probabilidad (confianza) de que la diferencia entre la media muestral y la población no exceda en 80 (miles $)?

20. En

una zona en donde hay 4. 000 viviendas, el porcentaje de propietarios va a ser estimado con una muestra no mayor de 2%y el porcentaje de propietarios de autos no


UCV


mayor al 1%. Con una confianza del 90%. Se piensa que el verdadero porcentaje de propietario de vivienda puede estar entre el 45% y el 65%, y el porcentaje de propietarios de 2 autos entre el 5 y el 10%, ¿Qué tan grande debe ser una muestra para satisfacer las dos finalidades? GRUPO 5

21. Una

empresa productora de bombillas de 75 w , quiere estimar su vida media de tal manera que el error estándar de la media inferida no sea mayor a las 25 horas . se sabe que la vida media tiene una desviación típica de 100 horas y se desea una confianza del 95 % para la estimación. ¿Cuán grande debe ser la muestra? ¿Cuál sería la respuesta si la población fuera de 1.000 bombillas?

22. Una

biblioteca pública quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 2005 o anteriores. ¿De qué tamaño debe tomar la muestra aleatoria para que se tenga un 90 % de seguridad de quedar dentro del 5 % de la proporción real de la muestra? Se sabe que la biblioteca tiene 5.000 títulos.

23. El

administrador de un restaurante quiere determinar el tiempo promedio que los clientes tardan en tomar sus alimentos con el fin de efectuar una ampliación de sus instalaciones. Considera que la desviación estándar razonable es de 10 minutos basados en una muestra anterior hecha a 30 clientes. En esa encuesta se encontró que el 75% de los que frecuentan el establecimiento son hombres. Se quiere determinar el tamaño de la muestra, con un intervalo de confianza del 95 %, para tener la seguridad de que el promedio quede dentro del 6 % es de anotar , el dueño afirma, que el promedio de permanencia de sus clientes es aproximadamente de una hora. 24. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para una población de 5.000 unidades, si se desea un error del 8 % y un intervalo de confianza del 95 %? 25. A

partir de una muestra de 200 observaciones se encontró que, en una remesa, había 20 acumuladores defectuosos. Utilizando un nivel de confianza del 99%, calcule el error de muestreo.

GRUPO 6

26. La

Secretaría de Tránsito y Transporte requiere estimar la proporción de conductores con experiencia de un año o menos, que pueden clasificarse como conductores descuidados. ¿De qué tamaño debería ser la muestra a fin de que los resultados estén dentro de un 2%, en una confianza del 95%? Se espera aproximadamente observar que ¼ del total de conductores son descuidados.

27. El

mantenimiento de cuantas de crédito puede resultar demasiado costoso si el promedio de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un almacén desea estimar el promedio de cantidad comprada por sus clientes mensualmente, que usan cuenta de crédito, con un error no más de $12.500, con una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuántas cuentas deberán ser seleccionadas de un total de 7000, si se sabe que la desviación estándar de los balances mensuales de las cuentas de créditos es de $95000?

28. La

producción, en un día, de tarjetas perforadas es de 3000. Se requiere estimar el


UCV


porcentaje de tarjetas que tienen al menos dos errores mediante una muestra aleatoria simple: a) ¿Qué tamaño de muestra es necesario si se acepta un error del 3%?; b) Si alguien que conoce el trabajo, considera que el porcentaje podría encontrarse entre el 72 y 80%, ¿Cuál sería el tamaño? Deberá ser utilizada una confianza del 95%. 29. Al examinar el directorio

telefónico de una localidad que contiene 50 mil suscriptores, se desea estimar el porcentaje de ellos cuyo apellido empieza con la letra V. Desgraciadamente por error de elaboración del directorio, no se hizo teniendo en cuenta el orden alfabético sino localización o dirección. Se pide encontrar el tamaño de la muestra, si el porcentaje es considerado en un 10%, con un error del 0.5% y una confianza del 95%.

30. Un fabricante de automóviles produce una gran cantidad de vehículos antes de recibir

pedidos. Le agradaría poder calcular la proporción de automóviles que debe pintar de verde pampa en su producción por adelantado. Este fabricante ofrece una opción entre 7 colores. a) ¿Que tamaño de muestra necesitará? Si se desea hacer una estimación dentro de un margen del 1% y un nivel de confianza del 98% para una producción de 5000 vehículos; b) Defínase la población de interés para el fabricante. GRUPO 7

31. Decir si son ciertas o

falsas las siguientes aseveraciones: a) Se dice que en todo proceso de selección debe haber sustitución de las unidades que no se han podido entrevistar.

b) El parámetro describe una determinada característica de las unidades que conforman la población. c) El muestreo sistemático consiste en seleccionar uno a uno los elementos de la muestra en un orden indeterminado. d) A medida que aumento el error, manteniendo constante la varianza, se aumenta el tamaño de la muestra. e) Una muestra aleatoria es aquella en la cual ciertas unidades tiene mayor posibilidad que otras de ser seleccionadas. 32. La

Asociación de egresados de la universidad esta trabajando para formular una propuesta relativa a la consecución de una sede en la universidad. Se tienen 5600 egresados registrados, de los cuales se toma una muestra preliminar del 1%, con la cual se obtiene que 28 de ellos piensan que la idea deberá ser llevada a cabo. ¿Cuál deberá ser el tamaño de la muestra a fin de que la asociación pueda estimar la proporción de egresados que están a favor de la propuesta, dentro de un 3%, con una confianza del 95%?

33. Un

analista del Departamento de personal quiere estimar el promedio de horas de entrenamiento para los supervisores de la compañía y el porcentaje de supervisores que están de acuerdo con la efectividad de esos entrenamientos. ¿Cual es el tamaño mínimo sugerido, si la compañía tiene 500 supervisores? La confianza será el 95%, los factores de error son ±3 horas y varianza de 400 horas² de entrenamiento, se sabe que 6 de cada 10 supervisores se mostraron partidarios, siendo el error del 5%.


UCV


34. El gerente de una tienda de departamentos de tamaño medio ha observado que el total

de cuentas pendientes por tarjetas de crédito de la propia firma ha aumentado en forma alarmante. Para formular una política de descuento por pago oportuno, se desea estimar la cantidad total en pesos ($) de cuentas pendientes que tengan por lo menos 90 días de vencidas. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si se fija el error tolerable de $ 10.000, con probabilidad de 0,90? Supóngase que hay 1.500 cuentas distintas con 90 o mas días de vencidas y se piensa que la desviación típica de esas cuentas vencidas es inferior a $ 20.000. 35. Un

estimativo del total de artículos alterados de un inventario de depósito de cierto almacén, bajo condiciones desfavorables es obtenido dentro de un error de + 0,03, con un 97,5% de nivel de confianza. El inventario total se debe hacer sobre un total de 20.000 artículos. Para ello se realizo una encuesta preliminar de 100 artículos de los cuales 85 no están alterados. ¿Cuál será el valor de n?

GRUPO 8

36. Un

publicista desea calcular el tamaño de la muestra de hogares, que va a tomar en cierta región para determinar en que proporción de hogares por lo menos uno de sus miembros ve un programa musical de televisión. En esta región hay un total de 700 hogares y se desea que la estimación este a 0,05 de la proporción verdadera, con una confianza del 90%. Anteriormente se realizo una encuesta a 40 hogares, en la cual 14 de los entrevistados contestaron que alguien en su casa veía regularmente dicho programa. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra?

37. Un entidad social dedicada a la protección del niño realizo una muestra al azar de 225

mujeres, de una población de 6.000, con el fin de determinar sus actitudes ante ciertos problemas sociales. Una de las preguntas que tiene relación directa con el objetivo de la encuesta decía: ¿Cree usted que las madres de los niños con edad inferior a los 7 años deben trabajar fuera del hogar? 90 contestaron negativamente. Si se desea que esa muestra tenga una confianza del 95%, ¿Cuál deberá ser el error en la muestra? 38. El

administrador de una taberna desea estimar la cantidad y promedio gastada por su clientela los fines de semana, con un error menor de $ 12.000 y con una probabilidad de 95%. ¿Cuántos clientes que cancelan la cuenta deberán ser entrevistados, si se sabe que el número de clientes es de 400? Suponga que el administrador sabe que esos gastos varían entre $ 80.000 y $ 150.000.

39. Una firma constructora de apartamento desea estimar el promedio de

resistencia de las varillas de acero utilizadas en la construcción. ¿Qué tamaño se requiere para garantizar un riesgo de solo 0,05 de sobrepasar un error de 5 kg o más en la estimación? La desviación típica de la resistencia de este tipo de varillas se estima en 25 kg y se tiene en el momento de realizar el estudio un total de 5.000 varillas.


UCV


FORMULARIO

Resolver los ejercicios utilizando las siguientes fórmulas TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR PARÁMETROS (

, )

Donde: E = error permisible máximo de muestreo Z = es el valor de z normal asociado al grado de confianza seleccionado S = es la desviación estándar de la muestra del estudio piloto.

TAMAÑO DE MUESTRA PARA ESTIMAR PROPORCIONES (p) La fórmula que se aplica para determinar el tamaño de muestra en el caso de una proporción es :

Donde: P = es la proporción estimada, con base en la experiencia o en estudio piloto. Q=1-P Z0 = es el valor de z asociado con el grado de confianza deseado. E = es el error máximo permisible que el investigador tolerará. Tamañ o óptim o d e la mu estra para po blacion es fin itas. (cuand o s e con oce N) Generalmente las poblaciones son demasiados grandes, por eso se consideran infinitas. Pero cuando la proporción muestreada no es demasiado grande y se conoce su límite superior (N), se considera finita. Por ejemplo los estudiantes matriculados en la Escuela de Administración de la UCV en el programa SUBE – sede Chiclayo en Junio 2013, sería un a población conocida y fácil de determinar su tamaño.

Para variables Numéricas

Para variables Cualitativas

(medias)

(proporciones)

Utilización del Factor de co rrección para población fin ita. Para una población finita donde se conoce el número total de elementos N y el tamaño de muestra n 0 se ha calculado considerando población infinita, también se puede hacer el siguiente ajuste a los errores estándares de la media y de la proporción:

n0 =

tamaño de muestra calculado considerando población infinita.

Nivel de confianza ( )

0,90

0,95

0,98

0,99

Z

1,645

1,96

2,33

2,576


UCV


Ejemplos – Guía de Ejercicios desarrollados. 1.

De una población, N=10.000 personas nos proponemos obtener una muestra, para estimar el ingreso promedio por persona. Se quiere que la estimación muestral no se aparte en más de $5.000 del promedio verdadero y que esto se cumpla en 95 de cada 100 casos. La desviación típica es de $30.000. ¿Cuál será el tamaño óptimo?

Solución: N  10.000 n

E  5.000

N Z 2

P  95%



 30.000

n?

2



( N  1) E 2  Z 2

2



10.000 1,96

30.0002  137 personas  136,42 2 2   1 , 96 30 . 000 

2

n

2.

10.000  1 5.0002

n  137 personas

¿Qué tamaño debe tener una muestra para estimar dentro del 3%, la proporción de mujeres casadas que van periódicamente a consulta ginecológica, en una población de 5.000 mujeres y una seguridad del 95%? Solución:

E  3% n

N  5.000

Como no se conoce P, se tiene que P  0,50

N Z 2 P Q

 N 1 E 2  Z 2

PQ 2

n

Z  1,96 ;

5.000 1,96

0,500,50   1,962 0,50,5

5.000  1 0,032

800

mujeres casadas

n  880 mujeres

casadas 3.

Se desea estimar el costo promedio de matrículas de los estudiantes universitarios de la ciudad. Por estudios anteriores y a precios actuales se sabe que la desviación típica es de $18.000. a) Calcular el tamaño muestral fijando para ello un error de ±3.000 y una confianza del 99%; b) Si se considera que la población estudiantil que se desea investigar es de 12.000, ¿cuál sería el valor de n?; c) Calcular el valor de n si se desea estimar el valor total de la matricula cancelada por los 12.000 estudiantes.

Solución: 

a)

 18.000 n? n

E  3.000

Z 2

2



E 2

 Z      E 

Z  2,57

2

2

 2,57  18.000  n   237,78  238 estudiantes universitarios 3.000   b) Siendo N  12.000 ¿cuál es el valor de n?

MÉTODOS ESTADÍSTICOS n0 n n 1 0 N n

UCV



n0 

Z 2

2



E 2


 237,78

237,78  233,16  234 estudiantes 237,78 1 12.000

universitarios

c) El cálculo para totales, arroja un resultado, igual al anterior siendo de 234 estudiantes universitarios. 4.

La gerencia de una empresa manufacturera desea hacer una investigación entre sus trabajadores, con el fin de establecer si a través de cursos de entrenamiento y programas de mejoramiento de las condiciones de trabajo, tanto en la empresa como en su vida familiar, se logra elevar el rendimiento del personal. Con la ayuda de un experto en estudios de tiempos y movimientos, además de una trabajadora social, se realiza una encuesta preliminar en 70 de los 3.600 trabajadores. Algunos resultados de la encuesta fueron: Solución:

n preliminar  70

N  3.600 trabajador es

a) el tiempo promedio necesario para realizar una operación fue de 40 minutos, con una varianza de 2,4  . 40 2 n ? x  40 minutos  x   0 ,67 horas  2,4 horas2  60

Z  1,96 n

E  5% de x 3.600 1,962



E  0,05 0,67  0,0335

 2,4

3.600  1 0,03352  1,962 2,4

 2.503,35

n  2.504 trabajadores b) 44 de los trabajadores son casados o de unió n libre. 44 P  Z 1,96 N  3.600  0,63 70

n

E  10%

N Z 2 PQ

 N 1 E 2  Z 2

PQ

3.600 1,96

0,63 0,37  87,40  1,962 0,630,37 2

n

3.600  1 0,102

n  87,40  88 trabajador es c) El total de gastos mensuales en recreación de los hijos fue de $59.000, con una desviación típica del promedio igual a $325. x  59.000  842,86 E  0,05842,86  42,14 Z  1,96 N  3.600 70 S  325

n



3.600 1,962 3252

3.600  1 42,14  1,96 2

n  215 trabajador es



2

325   2

214,92


UCV


Se toma el mayor valor de los n calculados, es este caso el tamaño muestral para la investigación es de 215 trabajadores. 5.

En un barrio residencial se espera que el 60% de las familias tengan vehículo propio. Se desea hacer una investigación para estimar la proporción de familias propietarias de vehículo, con un intervalo de confianza cuya amplitud no sea mayor de a 0,03 y un coeficiente de confianza del 95,5% Solución:

P  0,60 E  0,03 P  95,5%  Z  2 a) Determinar el tamaño de la muestra. Z 2 PQ n  E 2 n

22 0,6 0,4 0,032

 1.066,67  1.067 Familias con vehículo propio

b) ¿Qué sucedería si P=0,50?; ¿si es igual a 0,90?

¿aumenta el tamaño de la muestra? ¿Cuál es el valor máximo de n?

22 0,5 0,5 22 5050 n   1.111,11  1.112 Familias con carro propio (valor máx) 0,032 32

Si P = 90 el valor de n se reduce n

22 0,9 0,1 0,032



22 90  10 32

 400 Familias con carro propio

c) en el caso del aparte a), si se conoce el número de familias en el barrio (N=10.000), ¿cuál sería el tamaño de la muestra? n0 1.066,67 c) n    963,86  964 familias con carro propio n0 1.066,67 1 1 10.000 N

Tamaño

Recommend Documents