Barranquilla, 26 de octubre de 2016 Universida Universidad d del Norte Norte ´ n de ciencias basicas ´ sicas Division o a ´ ticas y estadisti Depart Departamento de matem matematicas a estadisticas cas Ecuaciones Ecuaciones diferenciales diferenciales - Aplicacio Aplicaciones nes - Laplace Laplace -
Tabla 1: Tabla de Transformada de Laplace s e l a 1 s i at L e L {cos at} = = , s>a , c 2 s−a s + a2 n e r n! a n e L L = 0 sin = { } { } t , s > at , f sn+1 s2 + a2 i d at L {f (t)} = sF L e f ( = sF ((s) − f (0 = F ((s − a) f (0+ ) f (t) = F s e n L {f ( = e as F ( f (t − a)U (t − a)} = e F (s), a > 0 o i c donde a u L {f ( = F ((s) f (t)} = F c E 0 Grupo I 3 6 1 Tener en cuenta en la verificaci´ on on de respuestas 0 2 + a)) = h( h(t)U (−t + a h (t) − h(t)U (t − a) l a n fi Tarea T1: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s l e A un resorte con constante el´astica astica de 4 N/ m se le coloca una masa de 2 Kg a y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 3 N cuando la r a velocidad de la masa es 1 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte 3 p del reposo desde la posici´ on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte on r e act´ua ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por l l a 112 t 0 ≤ t < 1 T F (t) = 112, 112, t ≥ 1 r e l l on del problema de valor inicial que describe el movi a determine la soluci´on utilizando do ´ unicamente argumentos de transforunicamente T miento de la masa utilizan
′
−
s > 0 s > 0
2
mada de Laplace .
NRC: 4192-94, 7357, 7358, 7437-7508, 7471, 7599 Prof. Catalina Dom´ınguez ınguez - Prof. Ricardo Prato T.
1/13
Masa
F (t)
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Soluci´ on
−4
x (t) = 28 tU (−t + 1) + e
t+4
t/2+1/2
−
− 64 e
+ 91
U (t
−4
− 1) − 63 − e
t
t/2
−
+ 64 e
Tarea T2: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 A un resorte con constante el´astica de 3 N/ m se le coloca una masa de 3 Kg s e y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 4 N cuando la l a velocidad de la masa es 2 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte i 5 c del reposo desde la posici´ on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte n e act´ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por r e f i 72 t 0 ≤ t < 1 d F (t) = 72, t ≥ 1 s e n o determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi i c miento de la masa utilizando ´unicamente argumentos de transfor a mada de Laplace . u c Soluci´ on E 0 3 x (t) = 24 tU (−t + 1) + −81 e t/3+1/3 + e 3 t+3 + 104 U (t − 1) + 81 e 6 1 0 2 l Tarea T3: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s a n fi A un resorte con constante el´astica de 3 N/ m se le coloca una masa de 4 Kg l e y se sumerge en un medio5 que imparte una fuerza viscosa de 5 N cuando la a velocidad de la masa es 13 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte r del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte a act´ua una fuerza externa (t) (en N) dada por F p r e 396 t 0 ≤ t < 1 l l F (t) = a 396, t ≥ 1 T determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi r e l miento de la masa utilizando ´ unicamente argumentos de transfor l a mada de Laplace . T
−
−
Masa
F (t)
t/3
−
−3
−e
2
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2/13
Masa
F (t)
t
− 80
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Soluci´ on x (t)
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 0 3 6 1 0 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T
−3
= − 572 + 132 tU (−t + 1) − 4 e
t
t/4
−
+ 576 e
−3
+ 4 U (t − 1) 176 + e
t+3
t/4+1/4
−
− 144e
Tarea T4: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 A un resorte con constante el´astica de 2 N/ m se le coloca una masa de 4 Kg y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 6 N cuando la velocidad de la masa es 32 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por
F (t) =
28 t 0 ≤ t < 1 28, t ≥ 1 Masa
determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movimiento de la masa utilizando ´ unicamente argumentos de transformada de Laplace .
F (t)
Soluci´ on x (t)
= 14 tU (−t + 1) + e
−2
t+2
t/4+1/4
−
− 64 e
+ 77
U (t
− 1) − e
−2
t
Grupo II
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3/13
t/4
−
+ 64 e
− 63
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Tarea T5: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 A un resorte con constante el´astica de 2 N/ m se le coloca una masa de 4 Kg y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 10 N cuando la velocidad de la masa es 10 m/s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte 9 del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por
0, 0 ≤ t < 1 28 t − 28, 1 ≤ t < 2 56 t − 84, t ≥ 2
s F (t) = e l a i c n determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi e r miento de la masa utilizando ´ unicamente argumentos de transfor e f mada de Laplace . i d Soluci´ on s e n x (t) = U (t − 2) −91 + 64 e t/4+1/2 + 14 t − e 2 t+4 o i + U (t − 1) −77 + 64 e t/4+1/4 + 14 t − e 2 t+2 c a u c E Tarea T6: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s 0 3 A un resorte con constante el´astica de 2 N/ m se le coloca una masa de 3 Kg 6 y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 9 N cuando la 1 0 velocidad de la masa es 79 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte 2 del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte l a act´ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por n fi 0, 0 ≤ t < 1 l e F (t) = 60 t − 60, 1 ≤ t < 2 a r 120 t − 180, t ≥ 2 a p determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi r e miento de la masa utilizando ´unicamente argumentos de transfor l l a mada de Laplace . T Soluci´ on r e l x (t) = 3 U (t − 2) −55 + 36 e t/3+2/3 + 10 t − e 2 t+4 l a + 3 U (t − 1) −45 + 36 e t/3+1/3 + 10 t − e 2 t+2 T
−
−
−
−
Masa
F (t)
2
−
−
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−
−
4/13
Masa
F (t)
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Tarea T7: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 A un resorte con constante el´astica de 3 N/ m se le coloca una masa de 4 Kg y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 7 N cuando la 7 velocidad de la masa es 13 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por
0, 0 ≤ t < 1 396 t − 396, 1 ≤ t < 2 792 t − 1188, t ≥ 2
s F (t) = e l a i c n determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi e r miento de la masa utilizando ´ unicamente argumentos de transfor e f mada de Laplace . i d Soluci´ on s e n x (t) = 4 U (t − 2) −209 − e 3 t+6 + 33 t + 144 e t/4+1/2 o i + 4 U (t − 1) −176 − e 3 t+3 + 33 t + 144 e t/4+1/4 c a u c E Tarea T8: Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s 0 3 A un resorte con constante el´astica de 4 N/ m se le coloca una masa de 3 Kg 6 y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 5 N cuando la 1 0 velocidad de la masa es 135 m /s. Si en el instante inicial t = 0 la masa parte 2 del reposo desde la posici´on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte l a act´ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por n fi 0, 0 ≤ t < 1 l e F (t) = 528 t − 528, 1 ≤ t < 2 a r 1056 t − 1584, t ≥ 2 a p determine la soluci´on del problema de valor inicial que describe el movi r e miento de la masa utilizando ´unicamente argumentos de transfor l l a mada de Laplace . T Soluci´ on r e l x (t) = 3 U (t − 2) −231 + 144 e t/3+2/3 + 44 t − e 4 t+8 l a + 3 U (t − 1) −187 + 144 e t/3+1/3 + 44 t − e 4 t+4 T
−
F (t)
−
−
Masa
−
2
−
−
NRC: 4192-94, 7357, 7358, 7437-7508, 7471, 7599 Prof. Catalina Dom´ınguez - Prof. Ricardo Prato T.
−
−
5/13
Masa
F (t)
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 0 3 6 1 0 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T
Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 Una masa m2 extiende un resorte una longitud s . A este resorte se le coloca una masa m y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa F β cuando la velocidad de la masa es vβ . Si en el instante inicial on t = 0 la masa se pone en marcha con una velocidad v 0 desde una posici´ x0 y sobre este sistema masa-resorte act´ua una fuerza externa F (t) (en N) . Formular el problema de valor inicial que describe el movimiento de la masa y utilizando u ´ nicamente argumentos de transformada de Laplace determine la soluci´on del mismo para cada uno de los siguientes casos:
Masa
F (t)
Tarea T9 m2 = 10 Kg, s =
25 6
m, m = 3 Kg, F β = 3 N, v β = 41 , x 0 = 0 m, v 0 = − 1 m/seg
F (t) =
0, 0 ≤ t < π −195 cos (t) , t ≥ π
Soluci´ on x (t)
1 = − sin(2 t) e 2
−2
t
−2
+ −4 sin(t) − 7 cos (t) − e
t+2 π
(7 cos (2 t) + 9 sin (2 t))
U (t − π )
Tarea T10 m2 = 10 Kg, s = 5 m, m = 4 Kg, F β = 3 N, v β = 83 , x 0 = 1 m, v 0 = 0 m/seg
F (t) =
0, 0 ≤ t < π −80 cos(t) , t ≥ π
Soluci´ on x (t)
=
1 −t e (2 cos(2 t) + sin (2 t)) + −2 sin (t) − 4 cos(t) − e−t+π (4 cos(2 t) + 3 sin(2 t)) 2
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6/13
U (t
− π)
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Tarea T11 m2 = 10 Kg, s = 5 m, m = 4 Kg, F β = 3 N, v β = 83 , x 0 = −1 m, v0 = 0 m/seg
F (t) =
0, 0 ≤ t < 80 sin(t) , t ≥ π2
π 2
Soluci´ on
s 1 − e x (t) = − e (2 cos(2 t) + sin (2 t)) + −2 cos(t) + 4 sin (t) + e − (4 cos (2 t) + 3 sin(2 t)) U l 2 a i c n e r e f i Tarea T12 d s m2 = 6 Kg, s = 6 m, m = 2 Kg, F β = 4 N, v β = 1, x 0 = −1 m, v 0 = 1 m/seg e n o 0, 0 ≤ t < 32π i F (t) = c −40 sin(t) , t ≥ 32π a u c Soluci´ on E 0 3 3 π − x (t) = − e cos(2 t) + −4 sin (t) + 2 cos (t) + e − (4 cos(2 t) + 3 sin (2 t)) U t − 6 2 1 0 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T t
t+
2
t
t+
3π 2
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π
π
7/13
t
−
2
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Grupo III
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 0 3 6 1 0 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T
Un circuito en serie LC , tambien llamado circuito resonante es un circuito formado por un inductor (con inductancia) L, un condensador (con capacitancia) C , y una fuerza electromotriz E (t) (en V). Si en el tiempo t = 0 la carga es q 0 C y la corriente es i0 A , encontrar la carga y la corriente en cualquier momento t en cada uno de los siguientes casos:
E
L
C
Tarea T13 L = 2 H y C = 81 F , q 0 = 1 ,i0 = 1 E (t) =
2 cos (2 t) , 0 ≤ t < 2 cos (2 t) − 2 cos(t) , t ≥ π2
π 2
Soluci´ on 1 1 π (sin (2 t) − 2 cos(t)) + sin(2 t) (2 + t) q (t) = cos(2 t) + U t − 6 2 4
Tarea T14 L = 3 H y C =
1 12
F , q 0 = 1 ,i0 = 1
E (t) =
36 cos (2 t) , 0 ≤ t < 36 cos (2 t) + 36 sin (t) , t ≥ π2
π 2
Soluci´ on 1 π (cos (2 t) + sin (t)) q (t) = cos(2 t) + sin(2 t) (6 t + 1) + 4 U t − 2 2
Tarea T15 L = 4 H y C =
1 16
F , q 0 = 1 ,i0 = 2
E (t) =
96 sin (2 t) , 0 ≤ t < 96 sin (2 t) − 96 sin(t) , t ≥ 32π
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3π 2
8/13
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Soluci´ on
q (t) = 4 sin (2 t) + 8 U t −
3π 2
(cos (2 t) − sin(t)) − cos (2 t) (−1 + 6 t)
Tarea T16
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 0 3 6 1 0 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T
L = 5 H y C =
1 20
F , q 0 = 1 ,i0 = 2
E (t) =
120 sin(2 t) , 0 ≤ t < 120 sin(2 t) + 120 cos (t) , t ≥ 32π
3π 2
Soluci´ on
q (t) = 4 sin (2 t) − cos (2 t) (6 t − 1) + 4 U t −
3π 2
Un circuito en serie RLC consiste de una resistencia R , un inductor (con inductancia) L, un condensador (con capacitancia) C , y una fuerza electromotriz E (t) (en V). Si en el tiempo t = 0 la carga es q 0 = 0 C y la corriente es i0 = 0 A , encontrar la carga y la corriente en cualquier momento t en cada uno de los siguientes casos: Tarea T17 L = 2 H, R = 20 Ω y C =
1 100
(sin (2 t) + 2 cos (t))
R
E
L
C
F
E (t) = 1258 cos (2 t) + 200
Soluci´ on q (t) = 2 +
23 1 cos(2 t) + 5 sin (2 t) − e 2 2
−5
t
(27 cos (5 t) + 31 sin (5 t))
Tarea T18 L = 3 H, R = 24 Ω y C =
1 75
F
E (t) = 2091 sin (2 t) + 225
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9/13
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Soluci´ on 1 q (t) = 3 − 16 cos (2 t) + 21 sin (2 t) + e 3
−4
t
(39 cos (3 t) + 10 sin (3 t))
Tarea T19 L = 1 H, R = 8Ω y C =
1 15
F
s e l 754 cos (2 t) 0 ≤ t ≤ π2 a E (t) = i 450 t − 225 π + 754 cos (2 t) t > π2 c n e r Soluci´ on e f i d q (t) = −87 e 3 t + 65 e 5 t + 32 sin (2 t) + 22 cos (2 t) s π e + U t − −16 + 25 e 3 t+ + 30 t − 15 π − 9 e 5 t+ 2 n o i c a u Tarea T20 c E L = 1 H, R = 7Ω y C = 1 F 12 0 3 130 sin (2 t) 0 ≤ t ≤ π2 6 E (t) = 1 −144 t + 130 sin (2 t) , t > π2 0 2 l Soluci´ on a n fi q (t) = −13 e 4 t + 20 e 3 t − 7 cos(2 t) l e + 4 sin(2 t) − −7 + 12 t + 9 e 4 t+2 π (2 π − 1) − 8 e 3 t+3/2 π (3 π − 2) a r a p r e l l a T r e l l a T
−
−
−
3π
−
2
5π 2
−
−
−
−
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10/13
π 2
U
t−
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Grupo IV
Determine f (t) de manera que satisfaga la ecuaci´on
Tarea T21 t
f (t) + 8
π 2
f (y)sin(t − y) dy = sin (t) − sin (2 t) U t −
0
Soluci´ on
s 1 1 π e l U t − (9 sin (2 t) + 16 cos (3 t)) f (t) = sin(3 t) + 3 15 2 a i c n e r Tarea T22 e f i t 3π d f (t) − 2 f (y)sin(2 t − 2 y) dy = cos (t) U t − s 2 0 e n Soluci´ on o i c 3π a U (t) = (−3 cos(t) + 4 t − 6 π) − f t u 2 c E 0 3 - Tarea T23 6 t 1 π 0 U t − (t) (y)sin(t dy = cos (t) + cos (3 − − f f y) t) 2 2 0 l a Soluci´ on n fi 1 π l U (t) = 1 + (16 cos(3 t) − 3 π + 6 t) − f t e 18 2 a r a p Tarea T24 r e t l π l U (t) 2 (y)sin(2 2 dy = sin (t)cos(t) sin (3 f f t y) t) t − − − − a 3 0 T Soluci´ on r e l l 1 π f (t) = t + (−5 sin(3 t) − 4 π + 12 t) U t − a 9 3 T
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9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Grupo V
Calcule la transformada de laplace de las siguientes funciones peri´odicas
Tarea T25 1
s e l Soluci´ on a i c n e r e f i d s Tarea T26 e 1 n o i c a u c E Soluci´ on 0 3 6 1 0 2 l a Tarea T27 n 1 fi l e a r a p −1 r e l l Soluci´ on a T r e l l a T
1
2
3
4
5
1 F (s) = − 1−e
−2
1
2
3
3
4
−3
s
s
·
−
s2
6
1 − 2 e
s
+e
7
−2
s
s2
6
7
− 2 s + 4 − 5 e · 2s2
s
−
s
7
+ e ss
−
−
5
1 F (s) = 1−e
− 1 + e
5
−2
2
s
4
1 F (s) = 1−e
1
·
6
8
+e
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−3
9
s
12/13
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
Tarea T28 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
Soluci´ on
s e e s (e 2 s + 2 e s s − 1) l F (s) = − a (1 − e 3 s )s2 i c n e r e Tarea T29 f i 1 d s e n o i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 c a −1 u f (t) = 2t2 − 1, t ∈ [0, 1] f (t) = −2t2 + 8t − 7, t ∈ [2, 3] c E Soluci´ on 0 3 6 1 (s2 + 4 + 4 s) e 3 s (s2 − 4) e 2 s s 2 − 4 (s2 + 4 + 4 s) e 1 + F (s) = · − − 3s 3 3 3 0 1 e s s s s3 − 2 l a n fi l e a r a p r e l l a T r e l l a T −
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NRC: 4192-94, 7357, 7358, 7437-7508, 7471, 7599 Prof. Catalina Dom´ınguez - Prof. Ricardo Prato T.
s
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13/13
9 9 5 7 , 1 7 4 7 , 8 0 5 7 7 3 4 7 , 8 5 3 7 , 7 5 3 7 , 4 9 2 9 1 4 : C R N
