2018
Taller General de Estudio MFLU Mecánica de Fluidos (Fuentes:varias)
COMPENDIO ELABORADO POR MONICA VARGAS Y NICOLÁS LÓPEZ
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA | Centro de Estudios Hidráulicos
CONTENIDO
1.
Ecuación de Estado de Gases Ideales ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ...........................2 ..........2
2.
Compresibilidad Compres ibilidad y Expansión Volumétrica Volumétr ica .................................. ................ ................................... ................................... .................................... ................................... ..................3 .3
3.
Ley de Viscosidad Viscosida d de Newton ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ......................4 ....4
4.
Tensión Superficial Superficia l y Capilaridad Capilarid ad.................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... .................................6 ................6
5.
Mezclas y Variables de Concentración Concentr ación .................................. ................. .................................. ................................... .................................... ................................... ........................7 .......7
6.
Esfuerzo Esfuerz o en un punto .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................................8 ...............8
7.
Presión Presió n y Esfuerzo Volumétrico Volumétr ico................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ...................9 .9
8.
Ley de Pascal ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 10
9.
Ley Fundamental Fundament al de la Hidrostática Hidrost ática ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................ ....... 11
10.
Superficies Superficie s Planas y Curvas......................... Curvas....... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 13
11.
Flotación Flotació n y Estabilidad Estabil idad ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 15
12.
Presión Atmosférica Atmosfér ica Estándar .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... .............................. ............. 16
13.
Cinemática Cinemátic a de Fluidos ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 17
14.
Aceleración Acelerac ión y Derivada Deriva da Material Materi al ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 18
15.
Deformación Deforma ción de un Fluido y Vorticidad Vortici dad ................................... ................. ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 19
16.
Análisis Integral: Integra l: Conservación Conservaci ón de Masa ................................. ............... ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 21
17.
Análisis Integral: Conservación de Momentum Lineal ................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. ................. ........ 22
18.
Análisis Integral: Conservación de Momentum Angular ................. ........................... ................... .................. .................. .................. .................. .............. ..... 24
19.
Análisis Integral: Integra l: Ecuación de Bernoulli Bernoull i................................... ................. ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 25
20.
Análisis Integral: Integra l: Conservación Conservaci ón de Energía ................................. ............... ................................... ................................... .................................... .............................. ............ 26
21.
Análisis Integral: Integra l: Aplicaciones Aplicacione s Combinadas Combinada s .................................. ................ ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 27
22.
Análisis Dimensional Dimension al .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 29
23.
Flujo en Tuberías a Presión................... Presión. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................. ................ 31
24.
Análisis Diferencial: Diferenci al: Ecuaciones de Navier-Stokes Navier- Stokes ................................. ................ ................................... ................................... ................................. ................ 33
25.
Flujo Irrotacional Irrota cional .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 37
26.
Sustentación Sustenta ción y Arrastre Arrast re ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 38
CONTENIDO
1.
Ecuación de Estado de Gases Ideales ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ...........................2 ..........2
2.
Compresibilidad Compres ibilidad y Expansión Volumétrica Volumétr ica .................................. ................ ................................... ................................... .................................... ................................... ..................3 .3
3.
Ley de Viscosidad Viscosida d de Newton ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ......................4 ....4
4.
Tensión Superficial Superficia l y Capilaridad Capilarid ad.................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... .................................6 ................6
5.
Mezclas y Variables de Concentración Concentr ación .................................. ................. .................................. ................................... .................................... ................................... ........................7 .......7
6.
Esfuerzo Esfuerz o en un punto .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... .................................8 ...............8
7.
Presión Presió n y Esfuerzo Volumétrico Volumétr ico................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ...................9 .9
8.
Ley de Pascal ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 10
9.
Ley Fundamental Fundament al de la Hidrostática Hidrost ática ................................... .................. ................................... ................................... ................................... ................................... ........................ ....... 11
10.
Superficies Superficie s Planas y Curvas......................... Curvas....... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 13
11.
Flotación Flotació n y Estabilidad Estabil idad ................................... .................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 15
12.
Presión Atmosférica Atmosfér ica Estándar .................................. ................. ................................... ................................... ................................... ................................... .............................. ............. 16
13.
Cinemática Cinemátic a de Fluidos ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 17
14.
Aceleración Acelerac ión y Derivada Deriva da Material Materi al ................................. ................ ................................... ................................... ................................... ................................... ........................... .......... 18
15.
Deformación Deforma ción de un Fluido y Vorticidad Vortici dad ................................... ................. ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 19
16.
Análisis Integral: Integra l: Conservación Conservaci ón de Masa ................................. ............... ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 21
17.
Análisis Integral: Conservación de Momentum Lineal ................. .......................... ................... ................... .................. .................. .................. ................. ........ 22
18.
Análisis Integral: Conservación de Momentum Angular ................. ........................... ................... .................. .................. .................. .................. .............. ..... 24
19.
Análisis Integral: Integra l: Ecuación de Bernoulli Bernoull i................................... ................. ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 25
20.
Análisis Integral: Integra l: Conservación Conservaci ón de Energía ................................. ............... ................................... ................................... .................................... .............................. ............ 26
21.
Análisis Integral: Integra l: Aplicaciones Aplicacione s Combinadas Combinada s .................................. ................ ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 27
22.
Análisis Dimensional Dimension al .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................... ......... 29
23.
Flujo en Tuberías a Presión................... Presión. ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................. ................ 31
24.
Análisis Diferencial: Diferenci al: Ecuaciones de Navier-Stokes Navier- Stokes ................................. ................ ................................... ................................... ................................. ................ 33
25.
Flujo Irrotacional Irrota cional .................................. ................. .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ................................. ............... 37
26.
Sustentación Sustenta ción y Arrastre Arrast re ................................. ................ .................................. ................................... ................................... ................................... .................................... ........................ ...... 38
1.1. Un recipiente contiene 1 kg de aire a 30°C y 9 MPa de presión absoluta. Si se añaden 1.5 kg de aire y la temperatura final es 110°C, ¿Cuál es la pr esión absoluta final? 1.2. En los Estados Unidos, cuando se dice que el neumático de la llanta de un carro se llena "a 32 Lb", se habla de que su presión interna es 32 Lbf/in2 por encima de la presión atmosférica. Si la llanta está a nivel del mar, tiene un volumen de 3 ft3 y está a 80°F, estime el peso total de aire d entro del neumático, en Lbf. 1.3. Sabemos que, si se tienen dos globos iguales que se inflan, uno con aire y el otro con helio, hasta llegar a un volumen de 0.3 m3 cada uno a una presión absoluta de 1 atm y temperatura de 20ºC, el que se llenó con helio se elevará. a. ¿Por qué ocurre esto?; b. ¿Qué pasaría si el helio estuviera a una presión absoluta de 5 atm?; a tm?; c. ¿A qué presión absoluta tendría que estar el helio para que el globo no se eleve tal como lo hace el que está lleno con aire? Las constantes de los gases ideales aire y helio son: Rair=287 Nm/kg.K y RHe=2077 Nm/kg.K y 1atm=101325 Pa
2.1. ¿Cuál es el módulo de elasticidad volumétrica de un líquido que tiene un incremento de densidad de 0,02% para un incremento de presión de 1000 lb/ft2? ¿y para un incremento de presión de 60 KPa? 2.2. Un tanque se llena por completo con agua líquida a 20°C. El material del tanque es tal que puede soportar tensión causada por una expansión volumétrica de 2 por ciento. Determine la elevación máxima en la temperatura admisible sin poner en peligro la seguridad. 2.3. Cuando la presión en un tanque de acero se incrementa en 70MPa, dicho tanque se expande un 1.5% en volumen. Tome el módulo de compresibilidad volumétrica del agua κ como 2070 MPa. Si inicialmente el tanque contiene 30 kg de agua a presión de 1 atm (ρ=1000Kg/m3), a. ¿Cuál es el incremento de la densidad del agua con el aumento de presión antes mencionado?; b. ¿Qué peso de agua debió agregarse al tanque para generar ese aumento de presión dentro del tanque? 2.4. Un tanque cilíndrico de 300 mm de diámetro, contiene aceite y agua sobre los cuales la presión varía. Las dimensiones que se muestran corresponden a las condiciones iniciales, a presión atmosférica estándar (1 atm). Si se agrega lentamente aire utilizando una bomba para elevar la presión manométrica del aire ΔP=1MPa. El módulo de elasticidad volumétrica κ del aceite es 2050MPa y el del agua es 2075 MPa. Suponga que el tanque es rígido y no cambia de volumen. Ignore la variación hidrostática de presiones a.
¿Cuál será la variación de los volúmenes de los líquidos? b. ¿Cuál será el movimiento hacia abajo de la superficie (interfaz entre aire y aceite), con respecto a la condición inicial? c. ¿Cuál será el movimiento hacia abajo de la superficie (interfaz entre aire y aceite), con respecto a la condición inicial si el tanque es de base cuadrada de 250 mm de lado? Concluya. d. Si ya no se puede suponer que el tanque es rígido, sino que éste tiene una deformación longitudinal igual a e = 2.34×10-5 en la pared, y el diámetro cambia en 0.01%, determine el movimiento de la superficie libre (interfaz entre el aire y el aceite) con relación a la condición inicial.
3.1. Un cilindro de 6 cm de diámetro está siendo empujado axialmente a través de una camisa de 6.04 cm de en diámetro y 40 cm de longitud. La holgura, que se puede asumir uniforme, está llena con aceite con viscosidad cinemática 0.003 m2/s y densidad relativa de 0.88. Encuentre la ecuación diferencial que describe el movimiento del cilindro y estime la fuerza y potencia requerida para que el cilindro se mueva a una velocidad constante de 0.4 m/s.
3.2. Un disco de radio 5 cm rota a una velocidad angular constante de 100 rpm dentro de una camisa en forma de disco, con una holgura de 0.01 cm llena de fluido con viscosidad cinemática 0.0001 m2/s, con densidad relativa de 0.76. Asumiendo un perfil de velocidad lineal y despreciando el esfuerzo cortante en los bordes del disco, derive una fórmula y evalúe el momento externo y la potencia externa que se requiere.
3.3. Un viscosímetro rotacional de longitud L=30cm consta de dos cilindros concéntricos, un cilindro interno de radio Ri=4cm que gira a una velocidad angular ω y un cilindro externo fijo de radio Re=4.4cm. En el espacio entre los dos cilindros se encuentra un fluido de viscosidad μ=0.05 kg/(m.s). a.
Determine el torque y la potencia que se requiere para hacer que el cilindro interno rote a una velocidad de 180 rpm, mientras que el cilindro externo se encuentre fijo. Asuma para este numeral una distribución de velocidad lineal para el fluido. b. Si no se conoce qué fluido llena el espacio entre los cilindros, pero se conoce que su distribución de velocidad es: u(r)=(0.8/r)-1000r en m/s, y el momento aplicado al cilindro interno es de 0.0027 N.m, determine la viscosidad del fluido.
3.4. Un cuerpo en forma de tronco está rotando a una velocidad angular constante de 200 rpm en un contenedor lleno con aceite SAE 10W a 20°C (μ = 0.1 Pa.s), como muestra la figura. Si el espesor de la película de aceite en todos los lados del cuerpo es de 1.2 mm, determine la potencia requerida para mantener el movimiento, así como la reducción en la potencia requerida si el aceite aumenta su temperatura a 80°C (μ=0.0078 Pa.s)
3.5. Un bloque de 1.5 kN de peso y 20 cm de lado se desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con espesor de 0.007 mm. Si se utiliza un perfil lineal de velocidades, ¿Cuál es la velocidad terminal del bloque? Μ = 0.08 Poise (10 Poise = 1 Pa.s).
3.6. Un puck de air-hockey cuya masa es de 50 g y cuyo diámetro es de 9 cm se coloca sobre la mesa. De este modo, entre la mesa y el puck se forma una película de aire a 20º C, de 0.12 mm de espesor. El puck es golpeado inicialmente con una velocidad inicial de 10 m/s. Si supone una distribución lineal de velocidades, determine: a. El tiempo que tarda el puck en alcanzar una velocidad de 1 m/s, b. El recorrido que ha hecho hasta esta condición y c. El tiempo que tarda en detenerse por completo. Puede suponer una viscosidad del aire de μ=1.8×10-5 kg/m.s. Analice primero el problema. 3.7. Un disco horizontal de 25 cm de diámetro gira a una distancia de 2 mm sobre una superficie sólida, sobre un aceite con viscosidad de 0.1 Kg/m.s. a. Calcule el torque necesario para hacerlo girar a 400 rpm. b. Determine la potencia necesaria para mantener ese movimiento. c. Obtenga una expresión que dé el tiempo necesario para reducir hasta el 10% de su valor inicial, si se retira el torque externo del numeral a.
4.1. Deducir una fórmula para la elevación capilar entre dos tubos de vidrio concéntricos, cuyos radios son R y r, en los que el ángulo de contacto es θ.
4.2. Una bola de acero sólido puede flotar sobre el agua debido al efecto de la tensión superficial. Determine el diámetro máximo de una bola de acero que flotaría sobre agua a 20°C (σs = 0.07275 N.m). ¿Cuál sería su respuesta para una bola de aluminio? Tome la densidad de la bola de acero y de aluminio como 7800 kg/m3 y 2700 kg/m3, respectivamente.
4.3. Un tubo de diámetro D = 0.05 mm, cerrado en uno de sus extremos, se introduce en posición vertical con el extremo abierto hacia abajo de manera que se sumerge en agua contenida en un depósito abierto a la atmósfera. Determine la presión existente en la burbuja de aire atrapada en la parte superior del tubo si el agua asciende por el capilar una altura h = 50 cm. (ϕ = 0°; σs = 0.0072 N/m).
5.1. En un mismo instante de tiempo y en un mismo sitio, se tomaron 3 muestras de aguas residuales; después de analizarlas en el laboratorio se obtuvieron los resultados mostrados en la tabla. Las tres muestras tienen la misma densidad, y la primera contiene sólidos con una densidad relativa de 1.93. Encontrar la densidad y la concentración de sólidos suspendidos en las tres muestras. Tomar la fracción de masa de sólidos en la muestra No. 3 como el promedio de las primeras 2.
Muestra 1 2 3
Volumen (mL) 75 83.2 80
Masa de Sólidos Suspendidos (g) 23.0 35.6 Vaso de vidrio roto (dato perdido)
5.2. En una planta de procesamiento de jugos, se produce una mezcla de jugo concentrado de naranja, p iña y kiwi mediante el paso de una mezcla de jugo fresco a través de u n evaporador. Las fracciones de masa de los sólidos contenidos en la mezcla son 6 .7%, 4.35% y 7.83%, respectivamente. En el evaporador se elimina parte del agua y la fracción de masa total de sólidos se incrementa a 48.45%. Si la mezcla de jugo fresco se conduce al evaporador a una tasa de 850 kg/h (1.43 m3/h), determinar las concentraciones de naranja, piña y kiwi en el jugo fresco y evaporado, así como la densidad del jugo fresco y evaporado.
6.1. El tensor de esfuerzo del punto o en un flujo en la figura está dado por:
2000 500 0 =[ 5000 1000 4000 1000 1000]/ ′′
Cuál es el tensor de esfuerzo z?
para las coordenadas rotadas un ángulo de 30º alreded or del eje
6.2. Un campo vectorial puede formarse tomando el gradiente de un campo escalar. Si ϕ = xy + 16t2+ yz3, ¿Cuál es el campo grad ϕ? ¿Cuál es la magnitud del tensor grad ϕ en la posición (0, 3, 2) metros cuando t = 0?
6.3. La distribución de una fuerza de cuerpo está dada por B = 16x î +10 j N/Kg, por unidad de masa del material en el que actúa. Si la densidad está dada por ρ = x2 + 2z kg/m3, ¿Cuál es la fuerza de cuerpo resultante sobre el material de la región qu e aparece en el diagrama?
7.1. Calcule la matriz de cosenos directores entre los ejes originales (x -y-z) y los ejes rotados 20° como muestra la figura (x’-y’-z’).
7.2. En un punto dentro de un flujo, los esfuerzos en el tiempo están dados por el tensor mostrado. Calcule: a. La presión y el esfuerzo volumétrico para ese estado de esf uerzos, b. El esfuerzo normal en una cara cuyo vector director es = < 0.6; 0.8; 0 > y c. El tensor de esfuerzos si los ejes rotan 30° alrededor del eje z en sentido antihorario.
2000 500 1000 =[1000 ]10 500 3000 3000 3000 4000
8.1. Cuando se requiere una gran precisión en la medición de presiones se utiliza un micromanómetro. En el sistema se utilizan dos líquidos no miscibles con pesos específicos γ1 y γ2 respectivamente. Se supone que los fluidos en los tanques E y B, cuya diferencia de presión quiere medirse, son gases con pesos específicos insignificantes. Calcule la diferencia de presión PE-PB en función de δ, d, γ1 y γ2. Si el área transversal del tubo del micromanómetro es α y la de los tanques C y D es A, determine δ en función de d, mediante consideraciones geométricas. Explique por qué si se tiene una relación α/A muy pequeña y γ1 casi igual a γ2, una pequeña diferencia de presiones PE-PB causará un desplazamiento d grande, de modo que el micromanómetro descrito resulta muy sensible.
8.2. El gato hidráulico de la figura está lleno de aceite con 56 lbf/ft3. Si se desprecia el peso de ambos pistones, ¿qué fuerza hay que ejercer sobre la palanca si se requieren soportar 2000 lbf de peso?
9.1. Para el manómetro invertido de la figura, todos los fluidos están a 20°C. Si la diferencia de presión entre B y A es de 97 kPa, ¿Cuál debe ser la altura H en centímetros?
9.2. Considere el tubo en U de la figura, con un extremo cerrado y el otro terminado en un embudo de 2 in de altura. Se vierte mercurio en el embudo para atrapar el aire en el tubo, que tiene 0.1 in de diámetro interno y una longitud de 3 ft. Suponiendo que el aire atrapado se comprime isotérmicamente, ¿cuál es el valor de h cuando el embudo empieza a desbordar? (a) Ignore los efectos capilares en este proceso (b) tenga en cuenta los efectos capilares agua-aire-mercurio.
9.3. El recipiente de la figura contiene agua. Cuando el menisco de la izquierda ocupa la posición cero de la escala, PA=10 cm de agua. Encuentre la lectura del menisco de la derecha para PA=8KPa, si no se hace ningún ajuste en la escala o en el manómetro. El líquido tiene una GS=2.94
9.4. Un recipiente cónico de 60º con su extremo inferior abierto se une mediante pernos a un cilindro que contiene aceite y agua. El aceite llena completamente el recipiente cónico. Encuentre la fuerza sobre cada uno de los 30 pernos que unen el cono con el cilindro, de manera que se tenga un factor de seguridad de 6000 N en la fuerza que resisten los pernos del recipiente. El cono pesa 1000 N y el cilindro pesa 1600 N.
9.5. El tanque cilíndrico de la figura se llena con agu a a 20ºC (ρ=998 Kg/m3) con una bomba que desarrolla una presión de salida de 175 KPa. En el instante que se muestra, la presión del aire es de 110 KPa y H = 35 cm. Eventualmente, la bomba tendrá que detenerse cuando ya no pueda lograr que aumente la presión del agua dentro del tanque. Si se asume compresión isotérmica del aire dentro del tanque a medida que se agrega agua, determine el valor de H cuando se detiene la bomba.
10.1. El flujo de agua desde un recipiente se controla por una compuerta con forma de L que tiene 5 ft de ancho y se encuentra articulada en el punto A de la figura. Si se desea que la compuerta se abra cuando la altura del agua sea de 12 ft, determine la masa del peso necesario W.
10.2. El depósito de la figura tiene un tapón de 4 cm de diámetro en el lado de la derecha. Todos los fluidos se encuentran a 20º C. El tapón saltará si la fuerza hidrostática que soporta supera los 25 N. En esta condición, ¿cuál será la lectura h del manómetro de mercurio de la izquierda?
10.3. Determinar la fuerza que actúa sobre una de las caras de la superficie vertical de la Figura.
10.4. En un tanque cerrado lleno con agua que tiene un domo semiesférico, se ha conectado un manómetro. Determine la fuerza del agua en el domo, si se tienen las lecturas indicadas en el manómetro y la presión del aire es de 12.6 PSI.
10.5. ¿Cuál es la fuerza vertical sobre la esfera si las dos secciones del tanque están completamente aisladas una de otra?
11.1. Un bloque uniforme de acero (DR=7.85) “flotará” en la interfaz de agua-mercurio (DR=13.56), como se muestra en la figura. ¿Cuál es la relación entre las distancias a y b en ese caso?
11.2. Considere un cilindro de madera (DR=0.63) de 1 m de diámetro y 0.8 m de longitud. ¿es estable este cilindro si se ubica verticalmente en aceite (DR=0.8)?
11.3. Una esfera hueca de 1.0 m de diámetro que pesa 100 N está pegada a un bloque de concreto sólido que pesa 4.1 kN. Si el concreto tiene un peso específico de 23.6 kN/m3, ¿los dos objetos se hundirán o flotarán en el agua?
12.1. Calcule la presión atmosférica teórica en la cima del monte Everest. 12.2. ¿Cuál es la altitud teórica en la cual el agua a 20°C se evaporaría de manera autónoma? 12.3. Se puede usar un barómetro básico para medir la altura de un edificio. Si las lecturas barométricas en las partes superior e inferior del edificio son de 730 y 755 mm Hg, respectivamente, determine la altura del edificio y la elevación de la entrada del edificio sobre el nivel del mar. La ecuación para la atmósfera estándar entre 0 y 11km de altitud es:
⁄ = (1 ) , =101325 , =288.15, =0.00650 , =286.9
13.1. Calcular las líneas de corriente para el siguiente campo:
⃗ =⟨63+8;2++4⟩ 13.2. Calcular las trayectorias para el siguiente campo:
⃗ =⟨63+8;2++4⟩ 13.3. Para el campo de velocidades del punto anterior, se ubican 2 partículas en el tiempo inicial to=0: la partícula #1 en el punto <1;1> y la partícula #2 en el punto <1;2>. Calcule la longitud de la línea de tiempo entre estas 2 partículas para t= {0 , 0.25, 0.50, 0.75, 1.0}
13.4. Calcule las líneas de corriente, las líneas de traza y las tra yectorias para el campo de velocidades:
=1+2
=
13.5. Calcule las líneas de corriente, las líneas de traza y las tra yectorias para el campo de velocidades:
=+2
= +3
13.6. Calcule las líneas de corriente y las trayectorias para el campo de velocidades:
=+ +2
= ++3
13.7. La ecuación de las líneas de corriente en un campo bidimensional dada en metros es:
+ =0
Dónde K/C es una constante. ¿Cuál es la componente vertical (Vy) en el punto (5,10) si Vx = 5 m/s? Conociendo que las líneas de corriente son círculos, ¿a lo largo de qué eje se localizan sus centros? Haga un esquema del sistema de líneas de corriente.
14.1. Para el siguiente campo de velocidades, calcular las aceleraciones (local, convectiva y lagrangiana) en x=1.1, y=2.3, z=4, t=1:
⃗ =⟨63+8;2++4⟩ 14.2. Determinar
y
⃗ =⟨;;0⟩
dibujar
las
líneas
de
corriente
en
el
flujo
definido
por:
, siendo a una constante positiva. Suponga que la concentración de un contaminante en el fluido se puede expresar como: . Para x > 0, siendo b una constante positiva, determine la variación en el tiempo de la concentración de contaminante siguiendo una partícula fluida.
,,=−
15.1. Para el siguiente campo de velocidades, calcular la tasa de traslación, la tasa de rotación, la tasa de deformación lineal y la tasa de deformación angular.
⃗ =⟨63+8;2++4⟩ 15.2. Considere para este problema 3 partículas, ubicadas en tO=0.0 en A= (2.0, 1.0), B= (1.0, 1.0), y C= (1.0, 2.0). Calcule cuál es el ángulo ABC para t={0.0, 0.1, 0.2, 0.5} si se someten al siguiente campo de velocidades:
=2 =3
15.3. Para el siguiente campo de velocidades, calcular la tasa de traslación, la tasa de rotación, la tasa de deformación lineal y la tasa de deformación angular.
⃗ =⟨3 +sen;cos;2 + ln ⟩ 15.4. Considere el flujo de deslizamiento bidimensional, incompresible y estacionario para el cual el
⃗ =⟨+;0;0⟩
campo de velocidad es: , donde a y b son constantes. De acuerdo con la figura, la esquina inferior izquierda está en (x, y) en el instante t, en donde la componente x de la velocidad es u = a + by. En el instante ulterior, esta esquina se mueve hasta (x + u·dt, y). a. De manera semejante, calcule la ubicación de cada una de las otras tres esquinas de la partícula del fluido, en el instante t + ∆dt. b. A partir de la definición fundamental de la razón de deformación lineal (la razón de incremento de la longitud por unidad de longitud), calcule las razones de deformación lineal εxx y εyy. Compare sus resultados con los obtenidos a partir de las ecuaciones para y en
coordenadas cartesianas; es decir: εxx = ∂u/∂x y εyy = ∂v/∂y. ¿Es un flujo incompresible? c. ¿Es un flujo rotacional o irrotacional?
15.5. Dado el campo de velocidades: a.
= + =
[ft/s]
Calcular el cambio en longitud de un segmento que se mueve con el fluido en el eje x.
b. Si el campo de presión está dado por:
= 2+ +
, donde Po es el
valor de presión en x = 0. Genere una expresión para la razón de cambio de la presión desde un enfoque Lagrangiano a una partícula que pasa por (xO,yO) en to=0. c.
Para el caso en que Uo = 50 ft/s y b = 4.6 [1/s]. Considere una sección inicialmente cuadrada de fluido con dimensiones de las aristas de 0.20 ft con centro en (0.5, 1.0) ft. Calcule dónde estará esa partícula de fluido y cómo se verá en el instante t = 0.2 s. Describa con palabras qué cambio sufrió esa partícula.
16.1. Considere un cubo con aristas de 0.5m, paralelas a los ejes coordenadas localizados en el primer cuadrante, con uno de sus vértices en el origen. Utilizando la siguiente distribución de velocidad, encontrar el caudal a través de cada una de las caras y demostrar o refutar que se está acumulando masa dentro del cubo, suponiendo que el fluido tiene densidad constante:
=5 =5 =10
16.2. Un fluido incompresible fluye encima de una placa impermeable como muestra la figura, con perfil de entrada uniforme u=Uo y un perfil de velocidad cúbico a la salida. Calcule el caudal que fluye por la cara superior del volumen de control, si el perfil cúbico es de la forma:
− =
, donde :
=/
16.3. El tanque en forma de V de la figura tiene ancho b=10m (entrando al papel) y está siendo llenado a través de la tubería de entrada con un caudal constante Q=5 L/s. Adicionalmente, la máxima profundidad que puede alcanzar sin desbordarse es HMAX=2m. Encuentre una expresión para la tasa de cambio de la profundidad y el tiempo que tardaría en llenarse, dado que la profundidad inicial es HO=0.5m.
16.4. Fluye agua desde un reservorio de nivel constante hacia uno que se encuentra más abajo a través de un orificio de área A, como se muestra en la figura. El tanque de abajo tiene un nivel inicial h, y un área transversal AB. Determine el tiempo que tarda en subir el nivel del agua en el tanque de abajo, desde la altura h hasta 4h. Tenga en cuenta que la velocidad de salida del agua a través de un orificio se
= √ 2
puede expresar como:
, dónde y es la altura de
agua sobre el centro de gravedad del orificio.
17.1. Aceite con DR=0.83 fluye a través de un codo de 90° que se expande de 400 mm a 600 mm de diámetro. La presión de entrada del codo es 130 kPa y se pueden despreciar las pérdidas de energía. Para un caudal de 0.6 m3/s, determinar las componentes de la fuerza (paralela y perpendicular a la velocidad de aproximación) necesaria para soportar el codo.
17.2. Un sistema vertical como el mostrado en la figura conduce un caudal de 1m3/s desde un gran embalse. En la bifurcación localizada en B, 1/3 se dirige hacia la izquierda y 2/3 se dirige hacia la derecha. El peso de las tuberías (sin agua) EB, AB, y BC es 1kN/m, 0.6 kN/m y 0.8 kN/m respectivamente. Encuentre la resultante de fuerzas total requerida en un soporte en el punto B para sostener todo el sistema. Suponga que el tanque ya está apoyado y soporta el agua que está acumulada en él.
17.3. Un jet de agua a 20°C golpea un vano montado sobre un tanque con ruedas sin fricción, tal como en la figura 3.61. El chorro gira y cae dentro del tanque sin salpicar hacia afuera. Si el ángulo θ = 35°, calcule la fuerza horizontal F requerida para mantener inmóvil el tanque.
17.4. A través de una boquilla triangular sale agua formando una lámina de 10 mm con V = 10 m/s. La lectura en el manómetro de la figura es 20 kPa. Si la boquilla triangular pesa 500 N, ¿cuál es la fuerza promedio en cada uno de los pernos que conectan A con B? La tensión inicial en cada uno de los 14 pernos es de 50 N, 7 a cada lado.
17.5. A través del codo de doble salida se mueve agua en forma permanente con V1 = 5 m/s. El volumen interno del codo es de 1 m3. Encuentre las fuerzas vertical y horizontal que el agua ejerce sobre el codo. Se sabe que V2 = 10 m/s y que la gravedad actúa en sentido negativo del eje y.
18.1. El brazo rotatorio de un lavavajillas proporciona agua a 60oC a seis boquillas. El caudal total es de 3 gal/min. Cada boquilla tiene un diámetro de 3/16 in. Si el flujo es igual en todas las boquillas y se desprecia la fricción dentro del brazo rotatorio, estime la velocidad de rotación estacionaria en rpm.
18.2. Por la tubería de 0.2 m de diámetro fluye agua en forma permanente. El peso del tubo es de 2 kN/m. Encuentre las componentes y la magnitud del momento que el agua y la tubería ejercen sobre la base en A, utilizando la ecuación de Cantidad de Movimiento o Momentum Lineal y también la ecuación del Momento de Momentum o Momentum Angular.
19.1. Agua a 20°C es extraída por sifonamiento desde un tanque como muestra la figura. Si d = 10 cm y D = 16 cm, determine el mínimo caudal que puede ser alcanzado sin que ocurra cavitación en el sistema y la máxima elevación del punto más alto del sistema de tuberías para evitar cavitación.
19.2. En la figura se muestra un sifón. Si no se tiene en cuenta la fricción, ¿cuál es la velocidad del agua (a 15ºC) que sale por C como un chorro libre? ¿cuáles son las presiones del agua dentro de la tubería en B y en A? Si la presión del vapor de agua a 15°C obtenida de la literatura es 0.1799 m de agua, ¿a qué altura h por encima de la superficie libre puede localizarse el punto B antes de que se pierda la acción de sifón?. A 25ºC: Pv=2 500 Pa, Patm = 1 Atm = 101325 Pa, ρ = 997.13 kg/m3.
19.3. ¿Cuál es la potencia requerida para que 30 ft3/s de agua fluyan a través de la bomba de la figura? Ignore las pérdidas de energía en la tubería. El diámetro de la salida en la boquilla es 10in
20.1. Una planta eléctrica debe eliminar 50MW de calor de sus máquinas al río. Las condiciones del río aguas arriba (antes de la planta) son Qi = 2.5m3/s y Ti = 18°C. El río tiene 45m de ancho y 2.7m de profundidad. Si las pérdidas de calor a la atmósfera y al suelo son despreciables, estime las condiciones (Qo, To) aguas abajo (luego de la planta). El calor específico del agua para este problema se puede tomar como 4280 J/(kg*C).
20.2. La turbina de la figura aprovecha el flujo de agua en una presa, como muestra la figura. Las pérdidas por fricción del sistema son 3.5V2/2g, donde V es la velocidad promedio en la tubería de suministro. ¿Para qué caudal en m3/s se extraerá una potencia de 25MW? ¿Cuál de las 2 posibles soluciones tiene una mejor “eficiencia de conversión”?
20.3. El sistema de bombeo de la figura debe tener una presión de 0,4 kg/cm2 en la línea de descarga cuando la cavitación es incipiente en la entrada de la bomba. Suponga que el agua se encuentra a 20ºC. Calcular la longitud de la tubería desde el depósito a la bomba para esta condición de operación si las pérdidas en esta tubería se pueden expresar mediante hf = (0,03) (L/D) (V12/2g). ¿Qué potencia se suministra al fluido por la bomba? Dibuje la línea de energía y piezométrica en la figura.
20.4. Keroseno a 20ºC fluye a través de la bomba de la figura, a 2.3 ft3/s. Las pérdidas totales entre la entrada (1) y la salida (2) son de 8 ft y la bomba puede entregar una potencia de 8 HP al fluido. ¿Cuál debe ser la lectura h del manómetro? DRkeroseno = 0.804 y DRHg = 13.6.
21.1. Si la distribución de velocidad en un flujo en una tubería de sección circular con un radio R está dada por:
/7 = ( )
Encuentre: a. El esfuerzo cortante. b. Caudal. c. Velocidad media. d. Factor de corrección de cantidad de movimiento, . e. Factor de corrección de energía cinética, .
21.2. Desde un embalse grande entra agua a una tubería, y al salir de ésta choca con una placa deflectora de 90º como se muestra. Si sobre el deflector se desarrolla un empuje horizontal de 200 lb, ¿Cuál es la potencia desarrollada por la turbina?
21.3. Un río de ancho b y profundidad h1, pasa sobre el obstáculo sumergido de la figura, emergiendo en unas nuevas condiciones de flujo (V2 y h 2). Desprecie la presión atmosférica y suponga que la presión del agua es correspondiente a la presión hidrostática en las secciones (1) y (2). Obtenga una expresión para la fuerza ejercida sobre el obstáculo en función de V1, h1, h2, b, y g. Desprecie la fricción del agua sobre el fondo del río.
21.4. Una bomba extrae agua de un tanque, como se muestra. La bomba suministra 10 caballos de fuerza al flujo. ¿Cuál es la fuerza horizontal sobre el soporte D requerida como un resultado del flujo?
21.5. PENDIENTE
22.1. Un medidor Venturi es un tubo con una garganta, que sirve para determinar el caudal que circula a través de una tubería, al medir la diferencia de presiones entre la garganta y la parte inicial del tubo. Un modelo de un medidor Venturi tiene dimensiones lineales iguales a una quinta parte del prototipo. El prototipo opera con agua a 20°C y el modelo con agua a 95°C. Para un diámetro de garganta de 600 mm y una velocidad en la garganta de 6 m/s en el prototipo, ¿cuál es el caudal que debe circular a través del modelo para tener similitud? Es n ecesario definir y justificar el uso de un número adimensional apropiado para resolver este problema. ρ20oC = 998.29 Kg/m3; ρ95oC = 961.62 Kg/m3; μ20oC = 0.001003 Kg/m.s ; μ95oC = 0.000298 Kg/m.s .
22.2. Teniendo en cuenta las fuerzas viscosas y gravitatorias para asegurar la semejanza. (a) ¿Cuál será la escala geométrica del modelo si el aceite empleado en el ensayo sobre modelo tiene una viscosidad cinemática de 10 x 10 -5 m 2/seg y el líquido en el prototipo tiene una viscosidad de 80 x 10 -5 m 2/seg? (b) ¿Cuáles serán las relaciones de velocidades y caudales para estos líquidos si la escala geométrica modelo-prototipo es 1:4?
22.3. Se va a llevar a cabo el diseño de un submarino prototipo de 2.24 m de longitud, esperándose que éste pueda viajar sumergido a una velocidad de 0.56 m/s en un lago con agua a 15º C. Para realizar el diseño, se decide usar un modelo a un octavo de escala para probarlo en un túnel de viento, y se le pone un escudo para que la fuerza de arrastre en el soporte del modelo no influya en los resultados experimentales. Determine la velocidad a la que se requeriría que viajara el aire en el túnel de viento para lograr similitud. (ρair = 1.185 kg/m3; μair = 1.849 X 10-5 kg/m.s). Verifique que el número de Mach sea menor que 0.3, para que pueda considerarse que los efectos de la compresibilidad del fluido son despreciables. Finalmente, calcule la escala mínima que podría tener el modelo para seguir considerando despreciable la compresibilidad del f luido.
22.4. Se utiliza un conjunto de paletas para mezclar petróleo crudo en un tanque grande por debajo de la superficie libre a una temperatura de 20°C y con una velocidad angular = 0.2 rad/s. Un modelo geométricamente similar de este aparato reducido a una escala de 1:5 con respecto al prototipo, rota a una velocidad , requerida para similitud dinámica, en un tanque de agua muy por debajo de la superficie y a una temperatura de 60°C. Si el modelo requiere un torque de 0.4 N.m, ¿cuáles son el torque y la potencia requerid os por el prototipo?
Temperatura (oC) 20 60
Densidad (Kg/m3) 876.53 824,97
Viscosidad (Kg/ms) 0.008143 0.003832
∆=,,, 40
22.5. El aumento de presión en una bomba centrífuga puede expresarse como: , donde D es el diámetro del impulsor, es la velocidad angular, la densidad del fluido y Q el flujo volumétrico que pasa por la bomba. Un modelo de bomba con un diámetro de 8 in se prueba en un laboratorio usando agua. Cuando la bomba se opera a una velocidad angular de rad/s, el aumento de presión es función de Q, como se muestra en la gráfica.
a.
Use esta curva para predecir la elevación de presión a través de un prototipo cuyo flujo volumétrico es de 6 ft3/s. El prototipo tiene un diámetro de 12 in y opera a una velocidad angular de rad/s con agua. Recuerdequeparagarantizarlasemejanzaentreelmodeloy elprototipo,losdenominados oparámetrosadimensionales,querepresentanelproblema, debenserigualestantoenelmodelocomoenelprototipo.
60
b. Realice una curva adimensional utilizando los parámetros adimensionales que encontró en el numeral anterior. Investigue qué es y para qué sirve una curva adimensional. Utilícela para averiguar la elevación de presión a través del mismo prototipo con el mismo flujo volumétrico, si éste opera con aceite (DR=0.85).
23.1. Calcule el caudal que circula a través de la tubería de la figura, así como la línea de energía y la línea piezométrica. Dibuje las dos líneas sobre el esquema. La turbina desarrolla 50 kW y la temperatura del agua es 4°C.
23.2. ¿Cuál es el caudal que circula a través del sistema de la figura? A) Resuelva suponiendo f=0.024. B) Resuelva si la tubería es de acero comercial.
23.3. A través del sifón que se muestra en la figura fluye gasolina con densidad relativa 0.6 desde un tanque a través de una manguera de caucho con diámetro interno de 25mm. La rugosidad relativa de la manguera es 0.0004. La longitud total de la manguera es 9m y la longitud hasta el punto A es de 3.25m. Ignore las pérdidas menores a la entrada. A) ¿Cuál es el caudal de gasolina? B) ¿Cuál es el caudal de gasolina máximo posible para este sistema, sin que se presente cavitación? Suponga presión atmosférica estándar y presión de vapor de la gasolina de 45kPa.
23.4. En la figura, hay 3 tramos de 25 ft de longitud cada uno en tubería de 2in, 1 tramo de 75 ft en tubería de 6in, y 2 tramos de 75 ft de longitud cada uno de tubería de 3in, todas en hierro fundido. La entrada es de canto afilado (K=0.5). Hay 2 codos de 90° (K=0.95 c/u), una expansión brusca de 2in a 6in (K=0.79) y una válvula de globo abierta (k=6.3), todos con conexión bridada. Si la tubería de salida tiene una elevación z=0, ¿cuál es la potencia extraída p or la turbina cuando el caudal de agua es 0.16 ft3/s? Suponga f=0.00175
24.1. Considere una forma modificada del flujo de Couette en el que existen dos fluidos colocados entre dos placas planas paralelas de largo y ancho infinito. El flujo es estacionario, incompresible, paralelo y laminar. La placa superior se mueve con velocidad hacia la derecha, y la placa inferior esta en reposo. La gravedad actúa en la dirección (hacia abajo en la figura). No hay gradiente de presión forzado que empuje al fluido a través del cana l: el flujo se establece solamente por los efectos viscosos creados por la placa superior en movimiento. Puede ignorar los efectos de tensión superficial y suponga que la interfase es horizontal. La presión en el fondo del flujo ( ) es igual a .
0
=
a.
Haga una lista con todas las condiciones de frontera adecuadas tanto para velocidad como para presión (sugerencia: existen seis condiciones de frontera necesarias). b. Resuelva para el campo de velocidad (sugerencia: divida la solución en dos porciones, una para cada fluido. Genere expresiones para como función de y como función de . c. Resuelva para el campo de presión (sugerencia: de nuevo divida la solución. Resuelva para y . d. Sea el fluido 1 y el fluido 2 aceite de motor no usado, ambos a 80 °C. También sea , y . Grafique como función de a través de todo el canal.
5.0 ℎ =8.0 =10.0 /
+ + =0 ( + + + )= + + + + ( + + + )= + + + + ( + + + )= + + + +
ℎ =
24.2. Un líquido newtoniano incompresible está confinado entre dos cilindros circulares; un cilindro sólido interior de radio Ri y un cilindro exterior en reposo hueco de radio Ro. El eje z es normal hacia afuera del plano. El cilindro interior rota con una velocidad angular . El flujo es estacionario, laminar y bidimensional en el plano . El flujo también es simétrico rotacionalmente, es decir, nada es función de la coordenada (los campos de velocidad y de presión son funciones sólo del radio). El flujo es circular, de modo que la componente de velocidad en es igual a cero en todas partes. Genere una expresión exacta para la componente de velocidad como función del radio y los otros parámetros en el problema. Ignore la gra vedad. Recuerdeestablecerlashipótesis,eliminartérminosdelasecuacionesde Navier-Stokes, establecerlascondicionesdefrontera,resolverlasecuacionesyexpresarlasolución.
1 + 1 + =0 2 1 1 + + + = + + ( )+ + 2 1 1 1 ( + + + )= + + ( )+ + + 1 1 ( + + + )= + + ( )+ +
24.3. Considere flujo laminar estacionario incompresible de un fluido newtoniano en una tubería redonda de longitud infinita y diámetro o radio inclinado un ángulo . No hay gradiente de presión aplicado ( ). En vez de ello, el fluido fluye por la tubería debido sólo a la gravedad. Se adopta el sistema coordenado que se muestra, con como el eje de la tubería. Deduzca una expresión para la componente de velocidad como función del radio y los otros parámetros del problema. Calcule la razón de flujo volumétrico y la velocidad axial promedio en la tubería.
/=0
=/2
1 + 1 + =0 + + + = + +1 ( )+ 1 + 2 ( + + + )= 1 + +1 ( )+ 1 + + 2 ( + + + )= + +1 ( )+ 1 +
24.4. Se tiene un flujo radial, permanente, incompresible, viscoso y laminar entre dos discos horizontales y concéntricos de radio R, que sale a la atmósfera. Se supone que el caudal es aportado por una tubería vertical de diámetro D, y que fluye entre los discos hasta salir a la atmósfera. Determine: a. El perfil de velocidades en cada posición radial en términos del gradiente de presión; b. El flujo volumétrico en términos del gradiente de presión; c. El campo de presiones en términos del caudal. Planteelas hipótesisqueconsidereconvenientes.
1 + 1 + =0 + + + = + + 1 + 1 + 2 ( + + + )= 1 + +1 ( )+ 1 + + 2 ( + + + )= + +1 ( )+ 1 +
25.1. Encuentre las funciones de corriente y de potencial que se obtienen de la combinación entre una fuente de potencia 2 m ubicada en (x, y) = (+a, 0) y una fuente de potencia m en (-a, 0). ¿Existen puntos de estancamiento en el campo de flujo? 25.2. Una planta de generación eléctrica toma agua fría a través de un tubo perforado, como muestra la figura. El volumen total qu e entra es 110 m3/s. La corriente tiene una velocidad uniforme de 25 cm/s. Calcule (a) la distancia hacia aguas abajo y (b) la distancia perpendicular al flujo donde se sienten los efectos de la extracción de agua en el río. 25.3. Un campo de flujo alrededor de una esfera de radio a=0.1m se puede representar mediante un doblete de intensidad K = 0.08 m2/s, un vórtice lineal de intensidad = 5.0265 m2/s y una corriente uniforme de velocidad (en x) de 8 m / s.
Γ
a. Grafique las líneas de corriente sobre la esfera a partir de la función de corriente; b. Calcule los puntos de estancamiento; c. Comente, a partir de las líneas de corriente, qué fenómeno se presenta con la esfera; d. Calcule las presiones en
= = y
, así como los coeficientes de presión en ambos
puntos. ¿Hay alguna diferencia de presión entre estos dos puntos? Sugerencia: utilice coordenadas cilíndricas. 25.4. Una fuente que descarga 20 cfs/ft se localiza en (-1, 0), y un sumidero con el d oble de intensidad se localiza en (2, 0). Para una presión dinámica en el origen de 100 lb/pie2 , slug/pie3, encontrar la velocidad y la presión dinámica en (0, 1) y (1, 1).
=1.8
25.5. Una corriente de aire fluye a 1.2 m/s sobre una superficie cuando se encuentra con un chorro de aire que sale de la pared horizontal en el punto A. El flujo volumétrico es de 0.4 m3/s por unidad de ancho perpendicular al papel. a.
Encuentre la función de corriente, la función potencial de velocidad y las componentes de velocidad. b. Encuentre el punto de estancamiento S en la pared. c. ¿Qué tan lejos se extenderá el flujo de la pared a través de la corriente?
