Talleres de C´ alc alculo Integ ntegr ral
Pontificia Universidad Javeriana Facultad de Ciencias Depar Departam tamento ento de Matem´ Mat em´ aticas ati cas
Mois´ Mois´es es Aran Aranda da Silva Silva H´ector ecto r O. Linares Lina res Gonz´alez alez A˜ no no 2018
Contenido 1. Taller 1. Derivadas Derivadas parciales parciales
4
2. Taller aller 2. Regla de la cadena cadena,, deriv derivaci´ aci´ on on impl´ im pl´ ıcit ıc ita a
6
3. Taller 3. M´ aximos aximos y m´ ınimos en dos variables
7
4. Taller 4. Multiplicadores Multiplicadores de Lagrange
9
5. Taller 5. La integral definida definida
11
6. Taller 6. Teorema fundamental del c´ alculo alculo
14
7. Taller 7. Teorema del valor valor medio, m´ etodo etodo de sustituci´ on on
17
8. Taller 8. Integraci´ Integraci´ on por partes y fracciones parciales on
20
´ 9. Taller aller 9. Area entre curvas, excedentes del consumidor y productor
21
10.Taller 10. Integrales impropias
22
11.Taller 11. Integrales dobles
24
12.Taller 12. Cambio de variable en integrales dobles
26
13.Taller 13. Serie geom´ etrica etrica
27
2
Talleres de C´alculo alculo Integral
11 de julio de 2018
3
1.
Taller aller 1. Deriv Derivada adass parc parcial iales es
Ejercicio E1. 1. Un tanque rectangula rectangularr abierto debe construirse construirse de modo que albergue 100
pies c´ ubicos de agua. Los costos del material son de $5 por pie cuadrado en ubicos la base y de $3 por pie cuadrado en las paredes verticales. Si C denota C denota el costo total (en d´olares), olares), determine C determine C como como funci´on on de las dimensiones de la base. Ejercicio E1. 2. Una empres empresaa produce produce dos product productos, os, X y Y . Y . Las unidades de costos de
mano de obra y de materiales son de $5 en el caso del producto X y X y de $12 por lo que respecta a Y . as, la empresa tambi´ tambi´en en tiene costos fijos de Y . Adem´as, $3000 al mes. Exprese el costo mensual C (en olares) como una funci´en en de C (en d´olares) las unidades de X y Y al es el costo total de producir 200 Y producidas. ¿Cu´al unidades de X de X y y 150 unidades de Y de Y ?? Ejercicio E1. 3. Un oleoducto tiene tiene que construirse construirse desde el punto punto A hasta punto B situa situa A hasta el punto B
do 500 millas al sur y 500 al este de A. de A,, las 200 millas al sur A . A partir de A son de tundra, las siguientes 100 millas atraviesan pantanos y las ´ultimas ultimas 200 millas consisten en terrenos de roca dura. El costo del oleoducto es de P d´olares olares por milla sobre el ultimo u ´ ltimo tipo de terreno, 3P 3 P d´olares olares por milla sobre pantanos y 2P 2P d´olares olares por milla sobre la tundra. El oleoducto constar´a de tres secciones rectil´ rectil´ıneas, una a trav´ trav´es es de cada tipo de terreno; sean x las millas hacia el este atravesando la franja de tundra y sean y millas m´as as hacia el este es te a trav´es es de d e los pantanos. Exprese su costo total en t´erminos erminos de x y y. y . Ejercicio E1. 4. 4. Calcule Calcule ∂z/∂x ∂z/∂x,, ∂z/∂y para ∂z/∂y para cada una de las siguientes funciones dadas por
a) z = = 3e2x b) z = = xy 2
− 5 ln y + 7. − x y. 2
+3xy c) z = = (x + 3y 3y)ex+3xy . xexy d) z = = . y e) z = = ln(e ln(ex + xy 3 ).
x2 + y3 f) z = = 2 . x y3 x g) z = = . x y
− √ −
Ejercicio E1. 5. Encuentr Encuentree todas las derivadas derivadas parciales parciales de segundo segundo orden de cada una de
las siguientes funciones dadas por a) f ( 3x2 y . f (x, y) = x 4 + y4 + 3x 4
b) f ( f (x, y) = xe −y
x
− ye− .
c) f ( ln(x + y). f (x, y) = xy + xy + ln(x y ). d) f ( ln(ex + ey ). f (x, y) = ln(e x e) f ( f (x, y) = . x+y f) f ( f (x, y) = x 3/2 y−4 . g) f ( f (x, y) = (x2 + y 2 )4 . h) P ( 250L0.6 K 0.4 . P (K, L) = 250L i) P ( + L2 P (K, L) = 5LK + L
2
− 3K + a(L + K ),), con a con a constante.
j) P ( 100L3/4 K 1/4 . P (L, K ) = 100L
Ejercicio E1. 6. La utilida utilidad d por hect´ hect´area area de cierto cultivo de arroz es
40L + 5S 5S + + 20F 20 F P = 40L
2
2
2
− 3L − S − 2F − 4SF −
en donde L es el costo de la mano de obra, S es S es el costo de la semilla y y eval´uelas uelas F es F es el costo del fertilizante. Calcule ∂P/∂L, ∂P/∂L, ∂P/∂S , y ∂P/∂F y cuando L cuando L = = 10, S 10, S = 3 y F = F = 4. Interprete estas derivadas.
5
2.
Talle aller r 2. Regla Regla de la cade cadena na,, deriv derivac aci´ i´ on on impl mp l´ıcita ci ta
Ejercicio E2 1. Use la regla de la cadena para encontrar dz/dt o dw/dt.
a) z = =
1 + x + x + y , 2
2
x = ln t,
y = cos t.
b) w = arctan(y/x arctan(y/x)) x = e = e t ,
y = 1
c) w = xe = xey/z ,
− t,
= t 2 , x = t
y = 1
t
− e− .
= 1 + 2t. 2t. z =
Ejercicio E2 2. Use la regla de la cadena para encontrar ∂z/∂s y ∂z/∂s y ∂z/∂t
a) z = x = x 2 y 3 ,
= s cos t, x = s
b) z = = tan(u/v tan(u/v)), c) z = e = e r cos m,
= s sin t. y = s
3t, u = 2s + 3t,
v = 3s − 2t. √ m = s + t . 2
r = st,
2
Ejercicio E2 3. Use la regla de la cadena para encontrar las derivadas indicadas.
a) R = ln(u ln(u2 + v 2 + w 2 ), u = x = x + + 2y, 2 y, = y = = 1. ∂R/∂y, cuando x = y 2
b) M = xe y−z , 3, v = 1.
x = 2uv,
= u v, y = u
−
−
v = 2x
− y,
w = 2xy; xy; ∂R/∂x, ∂R/∂x,
= u+ z = u+v ; ∂M/∂u, ∂M/∂u, ∂M/∂v, cuando u =
Ejercicio E2 4. Utilice derivaci´ derivaci´on on impl i mpl´´ıcita para encontrar las derivadas dadas. d adas. 2
a) y 5 + x2 y3 = 1 + yex ,
dy /d /dx.
b) x2 + y2 + z 2 = 3xyz ; ∂z/∂x ∂z/∂x,, c) yz = = ln(x ln(x + z ); ); ∂z/∂x ∂z/∂x,,
∂z/ ∂z/∂y. ∂y.
∂z/∂y ∂z/∂y
Ejercicio E2 5. La producci´ on on W de no dado depende de la temperatura T y W de trigo en una a˜no T y
las precipitaciones anuales R. Los cient´ cient´ıficos estimasn que la temperatura o est´a creciendo a una tasa de 0. 0 .15 C /a˜ /a˜no no y que las precipitaciones est´an an decreciendo a una tasa de 0. 0 .1cm/a˜ no. Ellos tambi´en en estiman, es timan, en los l os niveles cm/a˜no. actuales, que ∂W/∂T que ∂W/∂T = 2 y ∂W/∂R = ∂W/∂R = 8.
−
a) ¿Qu´e significan los signos de estas derivadas derivadas parciales? b) Estime la tasa de cambio actual de la producci´on de trigo, dW/dt trigo, dW/dt..
6
3.
Taller 3. M´ aximos aximos y m´ınimos en dos variables
Ejercicio E3. 1. Encuentre los valores valores m´aximo aximo y m´ınimo y los puntos de silla de cada una de
las siguientes funciones. Utilice un programa computacional para graficar la funci´on on y contrastar los puntos anteriores. 2
a) f ( f (x, y) = 9
2
− 2x + 4y 4y − x − 4y . b) f ( f (x, y) = x + y − 4xy + xy + 2. 4
4
2
2
c) f ( f (x, y) = e 4y−x −y .
d) f ( 5x2 + y2 . f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x e) f ( f (x, y) = xy + xy + x1 + y1 . 2
2
f) f ( f (x, y) = (x2 + y 2 )ey −x . g) f ( f (x, y) = e y (y2
2
− x ).
Ejercicio E3. 2. Una empresa empresa produce dos tipos de productos, A y B . El costo diario total
(en d´olares) olares) de producir x producir x unidades de A de A y y unidades de B de B est´a dado por C (x, y ) = 250
2
− 4x − 7y + 0.0.2x
+ 0. 0.1y2 .
Determine el n´umero umero de unidades de A de A y y B que la empresa empresa debe producir al B que d´ıa con co n eell prop´ pro p´osito osito de minimizar el costo total. Si la empresa puede vender cada unidad de A de A a $20 y cada unidad de B a $16, encuentre los niveles de producci´on on de A de A y B que maximizar´ maximizar´ıan las utilidades de la empresa. ¿Cu´al al es la utilidad diaria m´axima? axima? Ejercicio E3. 3. Usando L Usando L unidade unidadess de mano de obra y K y K unidades unidades de capital, la producci´on on
semanal total de una empresa est´a dada por 20K + + 32L 32 L + 3LK 3LK P ( P (L, K ) = 20K
2
2
− 2L − 2.5K . −
Halle el n´ umero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa umero debe utilizar para maximizar su producci´on. on. Ejercicio E3. 4. Una empresa empresa utiliza dos tipos de materias materias primas, X y Y , Y , en su producto.
Usando x unidades de X y y unidades de Y , Y , la empresa puede elaborar P unidades del producto, con 52x + 0. 0.48y 48y + 0. 0 .12xy 12xy P = 0.52x
2
2
− 0.07x 07x − 0.06y 06y .
Si el costo de cada unidad de X $5 .10 y de $1. $1.80 por cada unidad X es de $5. utilizada utilizada de Y , Y , y la empresa puede vender todas las unidades que produce a $15 cada una. ¿Qu´e cantidades ca ntidades de X de X y Y deber´ıa ıa utilizar u tilizar la empresa con el prop´osito osito de maximizar sus utilidades? 7
Ejercicio E3. 5. Juguetes Juguetes M´ onica produce dos tipos diferentes de cochecitos de pl´astico onica astico con
un costo de $0. $0.1 y $0. $0.3 cada uno. Las demandas anuales x anuales x 1 y x 2 (en miles) est´an an dadas por x1 = 30 + 2 p2
− 5 p ,
+ p1 x2 = 100 + p
1
− 2 p . 2
con p con p 1 y p y p 2 los precios unitarios (en centavos) de los dos tipos de cochecitos. Determine los precios p1 y p2 que la compa˜n´ıa debe fijar para maximizar sus utilidades. Ejercicio E3. 6. Suponga que una compa˜ n´ıa manufactura manufactura dos modelos de micr´ ofonos, ofonos, el
ultra mini y el grande. La demanda para cada uno depende parcialmente del precio del otro. Si uno de ellos es costoso, entonces m´as gente comprar´a el otro. Si p1 es el precio del ultra mini, y p2 es el precio del grande, la demanda para el ultra mini est´a dada por q 1( p1 , p2 ) = 100000
− 100 p + p + p 1
2
donde q donde q 1 representa el n´umero umero de ultra minis que ser´an an vendidos en un a˜no. no. La demanda para el grande est´a dada por 10 p1 q 2 ( p1 , p2 ) = 150000 + 10 p
− 100 p . 2
Encuentre los precios para el ultra mini y el grand que maximizar´an a n el ingreso total. Ejercicio E3. 7. American American Airlines Airlines requiere requiere que la dimensi´on on exterior de una maleta (longi-
tud+anchura+altura) no exceda 62 pulgadas. ¿Cu´ales ales son las dimensiones de la caja con volumen m´aximo aximo que se puede p uede llevar en dicha aerol a erol´´ınea? Ejercicio E3. 8. A una compa˜ n´ıa le cuesta $2 por unidad elaborar elab orar su producto. Si A d´ olares A d´olares
se gastan por mes en publicidad, entonces, el n´umero umero de unidades por mes que se vender´a est´a dado por x = 30(1
0.001A 001A
− e−
)(22
− p) p)
en donde p donde p es es el precio de venta. Halle los valores de A y que maximizar´an an A y p p que la utilidad mensual neta de la empresa y calcule el valor de esta utilidad m´axima. axima. Ejercicio E3. 9. Con el objetivo de fabricar x art´ art´ıculos por semana, la funci´ on o n de costo
semanal de una empresa es 20 1 x + x2 . 3 60 Si A Si A d´ d´olares olares por semana se gastan en publicidad, el precio p (en olares) en p (en d´olares) que la demanda ser´a de x de x art´ art´ıculos por semana est´a dado por x p = p = 20 . 001A ) 60(1 e−0.001A C (x) = 50 +
−
−
Determine los valores de x de x y y A que maximizan la utilidad semanal y calcule A que esta utilidad m´axima. axima. 8
4.
Taller aller 4. 4. Multi Multipli plicad cadore oress de Lagr Lagrang ange e
Ejercicio E4. 1. Utilice Utilice los multipli multiplicador cadores es de Lagrange Lagrange para encontrar encontrar los valores alores m´aximos aximos
y m´ınimos de la funci´on on sujeta a la restricci´on on dada. a) f ( f (x, y) = x 2 + y2 ; xy = 1 . b) f ( f (x, y) = e xy ; x 3 + y 3 = 16. c) f ( 6y + 10z 10 z ; x 2 + y2 + z 2 = 35. f (x,y,z ) = 2x + 6y d) f ( f (x,y,z ) = x 2 y 2 z 2 ; x 2 + y2 + z 2 = 1. e) f ( f (x,y,z ) = x 2 + y2 + z 2 ; x 4 + y4 + z 4 = 1. f)
2
∗f ( f (x, y) = 2x g) ∗f ( f (x, y) = e −
+ 3y 3y 2
xy
; x 2
2
− 4x − 5; x + 4y 4y ≤ 1. 1 .
+ y2
2
≤ 16. 16 .
Ejercicio E4. 2. Una empresa empresa puede elaborar elaborar su producto en dos de sus plantas. plantas. El costo de
producir x producir x unidades unidades en su primera planta y y y y unidades unidades en la segunda planta est´a dado por la funci´on on conjunta de costo 2y2 + 5xy 5xy + + 700. 700. C (x, y) = x 2 + 2y Si la empresa tiene una orden de suministrar 500 unidades, ¿cu´antas antas unidades debe producir en cada planta con el objetivo de minimizar el costo total? Ejercicio E4. 3. La funci´ on on de producci´on on de una empresa es
80L3/4 K 1/4 , P ( P (L, K ) = 80L en donde L y K representan umero de unidades de mano de obra y de K representan el n´umero capital utilizadas y P umero de unidades elaboradas del producto. P es el n´umero Cada unidad de mano de obra tiene un costo de $60 y cada unidad de capital cuesta $200 y la empresa dispone de $40000 destinados para gastar en la producci´on on de ´estos. estos. Determine el n´umero umero de unidades de mano de obra y de capital que la empresa debe emplear para obtener una producci´on on m´axima. axima. Ejercicio E4. 4. 4. Repita Repita el ejercicio ejercicio anterior anterior suponiendo suponiendo que la funci´ funci´on on de producci´on on est´a
dada por
√
1.5k 2 . P ( P (L, K ) = 800 3L2 + 1. Los costos unitarios de la mano de obra y del capital son de $250 y $50, respectiv respectivamen amente; te; y la empresa empresa dispone de $6750 para gastar en producci´ producci´on. on.
9
Ejercicio E4. 5. Usando L Usando L unidades unidades de mano de obra y K y K unidades unidades de capital, una empresa
puede elaborar P elaborar P unidades unidades de su producto, en donde 60L2/3 K 1/3 . P ( P (L, K ) = 60L Los costos de la mano de obra y del capital son de $64 y $108 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 2160 unidades de su producto, halle el n´ umero de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse umero con el objetivo de minimizar el costo total. Ejercicio E4. 6. Si una empresa empresa gasta x miles de d´olares olares en publicidad en la ciudad A, sus
ventas potenciales (en miles de d´olares) olares) en tal ciudad est´an an dadas por 300x 300x . x + 10 Si gasta y gasta y miles de d´olares olares en la ciudad B ciudad B , sus ventas potenciales (en miles de d´olares) olares) en tal ciudad est´an an dadas por 500y 500y . 13 .5 y + 13. Si la utilidad es del 25 % de las ventas ventas y la empresa empresa dispone de una restricci´on on del presupuesto de $16500 destinados a publicidad en las dos ciudades, ¿cu´anto anto deber´a gastar en publicidad en cada ciudad con el objetivo de maximizar la utilidad neta de la empresa? Ejercicio E4. 7. Un consumidor consumidor mide la utilidad utilidad u de cantidad x de manzanas y u de poseer una cantidad x
una cantidad y cantidad y de pl´atanos atanos por la f´ormula ormula u(x, y) = x α y1−α . Se sabe que cuando el presupuesto del consumidor para manzanas y pl´atanos atanos es $1 ´el el compr co mprar´ ar´a 1 manzana y 2 pl´atanos atanos cuando tienen precio igual. Utilice esta Informaci´on on para encontrar α. El precio de las manzanas es de $4, mientras que el de los pl´atanos atanos es $8. ¿Cu´antas antas manzanas y pl´atanos atanos podr´a comprar el consumidor por $10 para maximizar la utilidad?
10
5.
Talle aller r 5. La La inte integr gral al defi defini nida da
Ejercicio E5. 5. La siguiente siguiente figura muestra muestra la velocidad velocidad v de una part´ part´ıcula (en metros por
segundo). Estime la distancia total recorrida por el objeto entre t = 0 y t = 6.
Ejercicio E5. 5. Un carro empieza a moverse en el tiempo t = 0 cada vez m´ as as r´apido. apido. Su
velocidad velocida d se muestra en la siguiente si guiente tabla. tabl a. Estime Estim e qu´e distancia distan cia ha recorrido r ecorrido el carro durante los 12 segundos. 0 3 6 9 12 t (segundos) Veloci ocidad (pie/s) 0 10 25 35 65 Ejercicio E5. 5. La siguiente siguiente tabla muestra muestra el consumo de petr´ p etr´ oleo en el mundo, en billones oleo
de barriles por a˜no. no. Estime el consumo total durante un per´ per´ıodo de 25 a˜nos. nos. A˜no 0 5 10 15 20 25 bar/a˜no 22.3 21. 21.3 24. 24.9 24. 24.9 27. 27.0 29. 29.3 Ejercicio E5. 5. Los filtros de agua en las plantas plantas de tratamiento tratamiento se vuelven vuelven menos efectivos efectivos
con el tiempo. La tasa a la cual ingresa la poluci˜nn nn a trav´es es de los filtros en un lago cercano se muestra en la siguiente tabla. Estime la cantidad total de poluci´on on que entra al lago durante un per´ per´ıodo de 30 d´ıas. D´ıa 0 6 12 12 18 18 24 24 30 30 Tasa (kg/d´ıa) 7 8 10 14 20 36 Ejercicio E5. 5. La siguiente siguiente tabla muestr muestraa la tasa de cambio cambio de la poblaci´ on on de peces en un
estanque. Estime la cantidad total de peces un per´ per´ıodo de 12 meses.
11
04t Ejercicio E5. 5. El valor de un fondo de inversiones inversiones crece a una tasa tasa de R de R = = 500 e 500 e0.04t d´olares olares
por a˜ no, no, donde t donde t est´a en a˜ nos nos desde 2010. a) Usando t Usando t = = 0, 2, 4, 6, 8, 10, construya una tabla para los valores de R de R.. b) Utilice Utilice la tabla para estimar el valor valor del fondo entre entre el a˜no no 2010 y 2020. 4
Ejercicio E5. 5. Use la siguiente siguiente tabla para estimar estimar el valor de
W ( W (t) dt
3
t W ( W (t) 2
Ejercicio E5. 5. Estime Estime el valor valor de
3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 25 25 23 20 15 9 1
on de n de n = = 4 consideran considerando do xx dx con dx con una partici´on
1
a) Las sumas de Riemann Riemann por la izquierda izquierda de cada subinterv subintervalo. alo. b) Las sumas de Riemann Riemann por la derecha derecha de cada subinterv subintervalo. alo. c) Promedie Promedie las dos sumas anteriore anteriores. s. d) Utilice el paquete computacional en l´ınea Wolfram Alpha para para hallar la integral de manera m´as as precisa. π
Ejercicio E5. 5. Estime Estime el valor valor de
donde f est´a dada por f ( f (x) dx, dx , donde f
0
sin(x sin(x) x f (x) = 1
si x = 0
si x = 0
con una partici´on on de n de n = = 4 considerand considerandoo a) Las sumas de Riemann Riemann por la izquierda izquierda de cada subinterv subintervalo. alo. b) Las sumas de Riemann Riemann por la derecha derecha de cada subinterv subintervalo. alo. c) Promedie Promedie las dos sumas anteriore anteriores. s. 12
d) Utilice el paquete computacional en l´ınea Wolfram Alpha para para hallar la integral de manera m´as as precisa. Ejercicio E5. 5. Una empresa productora productora de frutas frutas ha encontrado encontrado que el costo marginal marginal de
producir x producir x botellas de zumo de naranja est´a dada por: 000008 x 2 C (x) = 0.000008 x
− 0.004 x 004 x + 2, 2, para
x
≤ 350, 350 ,
donde C donde C (x) est´a en d´olares olares por botella. Aproxime el costo total de producir 270 botellas de jugo, usando 3 subintervalos sobre [0, [0 , 270] y los extremos izquierdos de cada subintervalo.
13
6.
Taller 6. Teorema fundamental fundamental del c´ alculo alculo
Ejercicio E6. 1. En cada uno de los siguientes siguientes casos encuentr encuentree la funci´ funci´on on que satisface la (s)
condicione (s) dada (s). 1 si f (1) (1) = 6. , t > 0; si f t3 b) f (θ) = sin θ + cos θ, si f si f (0) (0) = 3, 3, f (0) = 4. 4. a) f (t) = t + t +
c) f (x) = 2 + cos x, si f si f (0) (0) =
−1, f ( 0. f (π/2) π/2) = 0.
Ejercicio E6. 2. La densidad lineal lineal de una varilla arilla de longitud longitud 1 metro est´a dada por
ρ(x) =
√ 1x ,
en gramo gr amoss por po r cent´ cent´ımetro, ımet ro, dond d ondee x se c ent´´ımetros desde un extremo e xtremo x se mide en cent de la varilla. Encuentre la masa de la varilla. Ejercicio E6. 3. Una compa˜ n´ıa estima estima que el costo marginal marginal (en d´olares olares por unidad) de
producir x unidades est´a dado por C (x) = 1.92 0. 0 .002 x. Si x. Si el costo de producir prod ucir un art a rt´´ıculo es $562, $ 562, encuentre el costo c osto de produc p roducir ir 100 1 00 art´ art´ıculos.
−
Ejercicio E6. 4. El costo en d´olares olares para producir q unidades unidades de un producto es C (q ). Los
costos fijos son $20 000. El costo marginal est´a dado por: 005 q 2 C (q ) = 0.005 q
− q + + 56. 56 .
a) Sobre la gr´afica afica de C ilustre gr´aficamente aficamente el costo variable de producir 150 unidades. b) Halle el costo total total de producir producir 150 unidades c) Encuentr Encuentree C (150) e interpr interprete ete su respuesta respuesta en t´ erminos erminos de costos costos de producci´on. on. Ejercicio E6. 5. Una poblaci´ on de una ciudad crece a una tasa de P (t) = 0.005 t on
− 9. 9 .53
millones de habitantes por a˜no n o desde 1970 a 1990 (t (t corresponde al a˜no). no). ¿Cu´al al es el cambio en la poblaci´on on entre 1970 y 1990? Ejercicio E6. 6. Una capa capa de hielo se est´ est´a formando en un estanque a una tasa dada por:
√
dy t = pulgadas/hora, 2 dt donde y donde y es el grosor de la capa de hielo en pulgadas en el tiempo t medido en horas desde que la capa empieza a formarse. a) Halle el grosor de la capa de hielo despu´ despu´es es de 8 horas. 14
b) ¿A qu´e tasa t asa est´a creciendo la capa de hielo despu´es es de 8 horas? Ejercicio E6. 7. El patrimonio patrimonio neto de una empresa, W empresa, W ((t) est´a creciendo a una tasa de
W (t) = 2000
2
− 2t
d´olares olares por a˜ no, no, donde t donde t corresponde corresponde al a˜no no desde 2005. Si la empresa tiene un patrimonio neto de $40 000 en 2005, ¿cu´anto anto es su patrimonio en 2015? Ejercicio E6. 8. La velocidad de una part´ part´ıcula que se mueve mueve en una l´ınea recta est´a dada
por v (t) = 3et + t. a) Encuentr Encuentree una expresi´ expresi´on on para la posici´on on s(t) despu´es es de un tiempo tiemp o t, que involucre todas to das las posibles posiciones de la part´ part´ıcula. b) Si s Si s = = 3 cuando t cuando t = = 0, halle nuevamente s nuevamente s en en t´ermi er mino noss de d e t sin t sin constantes desconocidas. Ejercicio E6. 9. Sea H (t) la cantidad de dinero invertida en Estados Unidos en el cuidado
de la salud en el a˜no t no t,, medido desde el a˜no no 2000. La tasa de crecimiento de alcanzar´ıa desde $100 $10 0 billones por p or a˜no n o en el a˜ no no H (t) fue proyectada que alcanzar´ 2000 hasta aproximadadmente $190 billones por a˜ no no en el 2010. a) Encuentr Encuentree el modelo lineal para la tasa de cambio cambio H ( H (t). b) Si se gastaron $1300 billones en el cuidado de la salud en el a˜no no 2000, encuentre H ( H (t). 2
Ejercicio E6. 10. Encuentr Encuentree
f ( f (x) dx donde
−2
2 f ( f (x) = 4−x
2
si si
−2 ≤ x ≤ 0 0 < x ≤ 2
Ejercicio E6. 11. Enu Enuent entre re las deriv derivadas de cada una de las siguient siguientes es funciones funciones dadas por e
a) b)
x
1
x4
ln t dt. 1 + t + t2 cos(θ cos(θ4 ) dθ. dθ .
0
sin x
c)
√ 3
1 + t + t3 dt.
x2
Ejercicio E6. 12. Calcule Calcule cada una de las siguientes siguientes integrales integrales definidas definidas 1
√ a) 3 + x + x x dx. x − 1 0
9
b)
1
√ x
dx.
15
1
c)
eu+3 du.
−1
Ejercicio E6. 13. Calcule Calcule cada una de las siguienes siguienes integral integrales es indefinidas indefinidas
x − 2√ x a) dx. x 1 b) x +1+ dx. 1 + x + x x + 10 c) dx. 10 (x − 1) 3
2
2
10
x
3
d)
x2
dx.
16
7.
Taller aller 7. Teorema eorema del valor valor medio, m´ etodo etodo de sustisustituci´ on on
Ejercicio E7. 1. Dada la gr´ afica afica de f de f
Estime lo siguiente: 5
a)
f (x) dx.
0
b) El valor promedio de f entre x = 0 y x = 5. f entre x Ejercicio E7. 2. El valor V olares, V del patrimonio de una empresa era $225 en 1975, en d´olares,
desp de spu´ u´es es de t a˜ a nos n ˜ os desde 1975 est´a dado por: 225(1.15)t . V ( V (t) = 225(1. Halle el valor promedio del patrimonio en el per´ per´ıodo 1975
− 2016.
Ejercicio E7. 3. La poblaci´ on on del mundo t a˜nos nos despues del a˜no no 2000 se predice que est´a
dada por la expresi´on: on: 0125t P ( P (t) = 6.1 e 0.0125t
billones. billones.
a) ¿Qu´e pobl p oblaci´ aci´on on habr´a en 2017? b) ¿Cu´al al es la poblaci´on on promedio entre 2000 y 2017? Se puede comprobar que
con k = 0. ekx dx = dx = e e kx /k + /k + C C , con k
17
Ejercicio E7. 4. Una barra barra de metal se est´ est´a enfriando desde 1000o C hasta hasta la temperatura de
una habitaci´ habitaci´ on o n de 20o C . La temperatura H de mi nutos os despu´ des pu´es es H de la barra t minut de empezar el enfriamiento est´a dada por: H (t) = 20 + 980 e−0.1t donde H donde H ((t) est´a dado en grados cent´ cent´ıgrados. ıgrados . a) Encuentre la temperatura de la barra al cabo de una hora. b) Encuent Encuentre re la temperatur temperaturaa promedio al cabo de la primera primera hora. Ejercicio E7. 5. Calcule cada una de las siguientes integrales por sustituci´ on on
1 a) dt. dt. (1 + 6t 6t) sec (1/x (1/x)) b) dx. dx. x c) x e dx. dx. √ d) (x + 1) 2x + x dx. dx. e e) du. du. (1 − e ) f) (2x + 5) x(2x dx. dx. x √ 1 + 2x g) dx. 2x arcsin x √ 1 − x dx. h) 1 4
2
2
2 x3
2
u
u
2017
4
0
1/2
2
0
1
i)
0
(1 +
√ x)
4
dx.
Ejercicio E7. 6. Un modelo de rapidez del metabolismo basal, en kcal/h, de un hombre hombre joven joven
es R(t) = 85
− 0.18 cos( cos(πt/ 12),, πt/12)
donde t donde t es el tiempo en horas a partir de las 5:00. ¿Cu´al al es el metabolismo basal en un per´ per´ıodo de 24 horas? Ejercicio E7. 7. El n´ umero umero de art´ art´ıculos en una prestigiosa prestigi osa revista cient´ cient´ıfica se puede apro-
ximar por:
7e0.2t miles de art´ıculos ıculos por p or a˜no no E (t) = 5 + e + e0.2t donde t donde t es el tiempo en a˜nos nos (t (t = 0 corresponde a 1983).
18
a) Encuentr Encuentree una expresi´ expresi´on on aproximada para el n´ umero umero total de art´ art´ıculos escritos por los investigadores desde 1983. b) ¿Cu´antos antos art´ art´ıculos fueron fu eron escritos escri tos por p or los investigadores i nvestigadores desde d esde 1983 hasta 2016? Ejercicio E7. 8. La tasa de ventas de botellas de agua en los Estados Unidos para el per´ per´ıodo
comprendido entre 1993 - 2003 se puede aproximar por: 2
17(t R(t) = 17(t
− 1990) + 100(t 100(t − 1990) + 2300 millones de galones por a˜no no (1993 ≤ t ≤ 2003), donde t donde t es es el correspondiente
a˜no. no. ¿Qu´e cantidad de agua fue vendida desde 1993 hasta 2003?
19
8.
Talle aller r 8. Inte Integr grac aci´ i´ on por partes y fracciones parciales on
Ejercicio E8. 1. Eval´ Eval´ ue las siguientes integrales por integraci´on ue on por partes.
− a) te dt. √ b) ln x dx. − c) cos(2θ) dθ. e cos(2θ dθ . d) arcsec(x) dx. x arcsec(x e) (t + 1)e 1)e− dt. f) r ln r dr. 3t
3
θ
1
2
2t
0
3
3
1
π/2 π/ 2
g)
cos x ln(sin x) dx.
π/4 π/ 4
Ejercicio E8. 2. Calcule Calcule cada una de las siguientes siguientes integrales integrales por fraccione fraccioness parciales parciales
10x 10x a) dx. x − 2x − 24 y + 1 b) dy. 3y − 18y 18y y + 3y dx c) dx. x − 2x − 4x + 8 z + + 1 d) dz. + 4) z (z + x − 4x − 4 e) dx. x − 4x − 5 x + 1 2
3
2
3
2
2
2 2
4
f)
x3
− 9x dx.
20
9.
´ Taller 9. Area entre curvas, excedentes del consumidor y productor
Ejercicio E9. 1. Encuentre el ´area area de la regi´on on limitada por las curvas siguientes en cada
caso (bosqueje la regi´on on tambi ta mbi´´en). en ). a) f ( f (x) = x 2 , g(x) =
2
−x + 4x. 4x. b) x = y = y − y, x = y = y − y . c) y = 2x − 3x − 9x, y = x − 2x − 3x. d) f ( f (x) = |x − 3|, g( g (x) = x/2 x/2. 2
2
3
2
3
2
e) La regi´on on en el primer cuadrante acotada por y = x −2 , y = 8x, y = x/ = x/88. f) La regi´on on en el primer cuadrante acotada por y = 9 y = 5x/2 x/2.
2
− x , y
g) f ( f (x) = x 2 ln x, g(x) = 4 ln x. 10 h) y = 2 , y = 0, x = 2x 24 x
− −
−2,
= 8x,
x = 2.
002q Ejercicio E9. 2. La demanda para un producto est´a dada por p = 20 e−0.002q y la curva
de oferta est´a dada por p = 0.02 q + + 1 para 0 cantidad y p y p es el precio en d´olares olares por unidad.
≤ q ≤ ≤ 1000, donde q q es la
a) Bosqueje Bosqueje las curvas curvas de oferta oferta y demanda. demanda. b) Encuent Encuentre re el pun punto to de equilibrio equilibrio (utilice (utilice un graficador graficador si es necesario.) necesario.) c) Utilice Utilice precio de equilibri equilibrioo y la cantidad cantidad para calcular calcular e interpr interpretar etar los excedentes del productor y consumidor. y la funci´on on de oferta p oferta p = = 3 + q + q 2 , encuentre el excedente del productor cuando el mercado ent´a en equilibrio.
Ejercicio E9. 3. Dad Dadaa la funci´ funci´ on on de demanda p demanda p = = 35
2
− q
Ejercicio E9. 4. Encuentre el el excedente del del consumidor para la curva de demanda p demanda p = = 100
4q cuando q cuando q = = 10.
21
−
10.. 10
Taller aller 10. Integ Integral rales es improp impropias ias
Ejercicio E10. 1. Determine si cada una de las siguiente integrales impropias converge o
diverge
∞ dx √ 1 + x a) . + x ∞ − | | b) 10 e dx. dx. −∞ ∞ c) sin (t) dt. dt . ∞ dv d) . 2v − 3 v + 2v ∞ dx e) . (x + 1)(x 1)(x + 2)(x 2)(x + 3) ln x f) dx. dx. x ∞ e g) dx. dx. −∞ e + 1 4 h) dx. dx. (x − 6) 4
0
3x
2
0
2
2
1
1
0
x
2x
8
3
6
2
z 2 ln z dz .
i)
0
Ejercicio E10. 2. Encuentre el volumen del s´olido olido de revoluci´on on descrito por la regi´on on bajo 2
la gr´afica afica de f de f ((x) = e −x sobre [0, [0,
∞) alrededor del eje y.
Ejercicio E10. 3. Desde junio de 2001 hasta junio de 2002, los ingresos publicitarios de la
revista Esquire podr´ıan ıan aproximarse por p or la expresi´on on 57.0 (0. (0.927)t R(t) = 57. en millones de d´olares olares por a˜no no (0 t 1). Donde t es el tiempo en a˜nos nos desde junio de 2001. Extrapolando este modelo en un futuro indefinido, proyecte los ingresos publicitarios totales de esta revista a partir de junio de 2001 en adelante.
≤ ≤
Ejercicio E10. 4. Seg´ un un la Comisi´on on Federal de Comercio de Estados Unidos, el n´umero umero de
cigarrillos vendidos en 2002 decreci´o en una tasa de r de r = 5.5 % desde desde 2001 de un total (inicial) de aproximadamente S 0 = 400 billones de cigarrillos. Esto puede modelarse por el modelo exponencial S (t) = S 0(1 22
− r)
t
= 400 (0. (0.945)t
en miles de millones de cigarrillos por a˜no. no. Suponiendo que ´este este ser´a el comportamiento en el futuro, pronostique el n´umero umero total de cigarrillos que se vender´an an desde 2001 en adelante. Ejercicio E10. 5. Las ventas de un texto de C´alculo alculo para Ciencias han estado declinando a
una tasa de r = 5% por a˜ no. no. Suponiendo que este texto vendi´o 5000 el a˜no no pasado y que las ventas seguir´an an este patr´on on de declinaci´on, on, calcule las ventas futuras totales del texto. Ejercicio E10. 6. Seg´ un fuentes publicadad por el Banco Mundial, la inversi´on extranjera un
directa en pa´ıses ıses de ba jos ingresos ingre sos desde 1999 1 999 a 2002 20 02 fue aproximadamente aproxim adamente q (t) = 1.7 t2
− 0.5 t + 8
en miles de millones de d´o´ıares ıare s por po r a˜no. no. Donde t es el tiempo en a˜nos nos desde el 2000. Asumiendo una tasa de inflaci´on o n mund mundia iall de 5 % por a˜no, no, encuentre encuentre el valor de todos los Inversiones Inversiones directas en los pa´ pa´ıses de ba jos ingresos desde el a˜no no 2000 en adelante en d´olares olares constantes. (El valor de d´olares olares constantes de una cantidad q (t) d´olares, olares, t a˜nos nos desde ahora est´a dada por V P ( P (t) = q (t) e −rt donde r donde r es la tasa de inflaci´on.) on.) Ejercicio E10. 7. La demanda de galones de gasolina de una estaci´ on on de servicio se modela
por la ecuaci´on on
50 e2t−1 q (t) = 1 + e + e2t−1 donde t donde t es es el tiempo en semanas y q y q (t) es el n´umero umero de galones vendidos por semana. Calcule la siguiente integral e interprete interprete el resultado en t´erminos erminos del contexto del problema
∞
q (t) dt
0
.
Ejercicio E10. 8. La frecuencia frecuencia de impactos impactos de meteoros meteoros sobre la tierra puede ser modelado modelado
por la expresi´on on
1 5.6997 k 6997 k 1.081 donde n(k ) = N (k) y N (k) es el n´umero umero promedio de meteoros de energ´ıa menor o igual a k megatones que impactar´an an la tierra por a˜no. no. (Una peque˜na na bomba nuclear libera alrededor de un megat´on on de energ´ ene rg´ıa) ıa ) n(k ) =
a) ¿Cu´antos antos meteoros con una energ´ energ´ıa de al menos k = 0.2 impactan la tierra cada a˜no? no? b) Calcule Calcule la siguiente siguiente integral integral e interpr interprete ete el resultado resultado en el contexto contexto del problema 1
0
23
n(k ) dk. dk .
11.. 11
Talle aller r 11. 11. Inte Integr gral ales es dob doble less
Ejercicio E11. 1. Eval´ ue las siguientes integrales iteradas ue π/2 π/ 2
1
a) cos(xy)) dy dx. x cos(xy dx. b) 6xe dx dy. dy. y c) dx dy. dy. 1 + x + x 0
0
ln 2
1
3y
0
0 1
1
0
2
0
ln 5
ln 3
ex+y dx dy. dy.
d)
1
0
Ejercicio E11. 2. Eval´ ue las siguientes integrales dobles sobre la regi´on ue on
R.
x a) 1 , 1 ≤ y ≤ 4 } . dA; dA; R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1, R y b) sin(x ) dA; xy sin(x dA ; R = (x, y) : 0 ≤ x ≤ π/2 π/2, 0 ≤ y ≤ 1 . R c) 4x cos(y cos(y) dA; 2 , 0 ≤ y ≤ π/ dA; R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, π /2} . R d) 6x e dA; 2 , 0 ≤ y ≤ 2 } . dA; R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, R 2
3
5 x3 y
(y + 1)e 1) ex(y+1) dA; dA;
e)
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 , −1 ≤ y ≤ 1 } .
R
Ejercicio E11. 3. Calcule cada una de las siguientes integrales en el orden de integraci´on on
dado. Bosqueje la regi´on on de integraci´on. on. 2
2x
a) xy dy dx. dx. − b) x dy dx. dx. − c) dy dx. dx. d) e dx dy. dy. √ − x2
0
8 x2
2
x2
2
ln 2
2
0
e
x
π/2 π/ 2
0
0
sin y
0
4
e)
cos y
16 y 2
√ − −
16 y
2xy dx dy. dy.
2
24
π/2 π/ 2
f)
π/2 π/ 2
0
6 sin( sin(22x
y
− 3y) dx dy. dy.
Ejercicio E11. 4. Plantee las integrales integrales dobles del item anterior invirtiendo invirtiendo el orden de inte-
graci´ on. on. Ejercicio E11. 5. Calcule las siguientes integrales integrales invirtiendo el orden de integraci´ integraci´on. on. 1
1
a) e dx dy. dy. x b) dx. √ y + 1 dy dx. − xe c) dy dx. dx. 4−y d) e dy dx. dx. 1 e) dx. √ y + 1 dy dx. 0
x2
y
4
2
0
5
x
4 x2
2
0
2y
0
1
1
x/y
0
x
4
2
0
x
8
f)
0
2
3 4
x dy. √ y e dx dy. 3
25
12.. 12
Taller aller 12. Cam Cambio de var variab iable le en integr integrale aless dobles dobles
Ejercicio E12. 1. Use la transformaci´on on dada para calcular la integral.
a)
(x 3y) dA; dA; donde
(4x (4x 8y ) dA; dA; donde
−
R
R es la regi´on on trian t riangul gular ar con co n v´ertices erti ces (0 ( 0, 0), 0), (2, (2, 1), 1), (1, (1, 2);
= u + 2v. 2v. x = 2u + v, y = u
b)
R es el paral p aralelo elogram gramaa con v´ertices erti ces ( −1, 3), 3), (1, (1, −3), 3), 1 1 (3, (3, −1), 1), (1, (1, 5); x 5); x = = (u + v), y = (u − 3v ). 4 4 c) on en el primer cuadrante acotada por las xy dA; dA; donde R es la regi´on −
R
R
rectas y rectas y = x, y = 3x y las hip´erbola erb olass xy = 1, xy = 3; x = = u/v, xy = 3; x u/v, y = y = v v..
Ejercicio E12. 2. Eval´ ue las siguientes integrales dobles haciendo un cambio apropiado de ue
variables. 1
y +2
√ a) x − y dx dy. x − 2y 0
b)
c)
y
R 3x
dA; donde R es el paralelogramo encerrado por las rectas − y dA; x − 2y = 0, x − 2y = 4, 3x − y = 1, 3x − y = 8. 2
2
(x + y)ex −y dA; dA; donde
R x
R es el rect´angulo angulo encerrado por las rectas
− y = 0, x − y = 2, x + y = 0, x + y = y = 3.
d) 1 . e dA; dA; donde R est´a dado por la desigualdad |x| + |y| ≤ 1. R x − 2y x+y
e)
R 3x
dA; donde R es el paralelogramo encerrado por las rectas − y dA; x − 2y = 0, x − 2y = 4, 3x − y = 1, 3x − y = 8.
26
13.
Taller 13. Serie geom´ geom´ etrica etrica
Ejercicio E13. 1. Para cada una de las siguientes series geom´ etricas etricas eval´uelas uelas cuando sean
convergentes y en el caso contrario justifique su divergencia.
∞ 1 a) 5− . k
6 k
k=0
b)
4
1 5
9 27 − 253 + 125 − 625 + . + . . .
∞ 4 c) . 3− ∞ 2 −3 . d) ∞ 2 3 − e) . k+1
k 1
k=0
k
k=3
n
n=1
2n 1
73n+1
Ejercicio E13. 2. Cada ma˜ nana, un paciente recibe una inyecci´on nana, o n de 25 mg de un anti-
inflamatorio, y el 40 % del medicamento medicamento p permanece ermanece en el cuerpo despu´es es de 24 horas. Encuentre la cantidad presente en el cuerpo a) Justo despu´es es de la tercera terc era inyecci´on. b) Justo despu´es es de la sexta se xta inyecci´on. on. c) En el largo largo plazo plazo (un horizo horizont ntee infinit infinito), o), justo justo despu despu´´es es de una s´ola ola inyecci´on. on. Ejercicio E13. 3. Cada a˜ no, un fabricante produce un n´umero no, umero fijo de unidades de un produc-
to y cada a˜no no un porcentaje fijo de estas unidades (independientemente del tiempo) fallan o se quedan fuera de uso. El n´umero umero total de unidades en uso a largo plazo se denomina punto de estabilizaci´ on del mercado. (Este es un caso t´ıpico se acu˜nan nan monedas.) Encuent Encuentre re el pun punto to de estabiliza estabilizaci´ ci´on o n del mercado para un producto si 10.000 nuevas unidades del producto se fabrican al comienzo de cada a˜no no y 25% del n´ umero total de unidades en uso fallan al final de cada a˜no. umero no.
27
