21. Describe por extension cada uno de los siguientes conjuntos a) {n / x ∈ℕ , n2 = 9} b) {x / x ∈ℕ , x2 = 9} c ) {n / x ∈ℤ, 3 < n < 7}
d ) {x / x ∈ℝ, x < 1 y x
≥ 1}
e) {x / x ∈ℚ , x 2 = 3}
25.Consideremos U ={ ={a , b , c , d , e } como conjunto universal y los subconjuntos subcon juntos A={a , b , d } , B={b , d , e } y C ={ ={a ,b , e }. Halla: A∪B , A∪C , B∪C , B∪B , A∩B , A∪ B∪C , A∩ A, B∩C , A∩B
∩C
,
A∩ B∩C , A−B, A' ' ,
C − A, B−C , B− A, B∩ A' , A− A, A' , B' , A∩C ' , U', A∪ A' , A∩ A' , ∅'
,
A' ∪C ' , A∪B ' , A' ∩B' , B−C ' , A∪B' , B' − A'
B∩A'= { c, e} U'=∅ →Conjunto Vacío (A∩C)= {c} → Conjunto Unitario B'= {a,c} A∩A= A → {a, b, d} A-A= A B-C= {d} (A∩B)= {b, d} ∩C= {b} → Conjunto Unitario A∩(B∩C)= {b} ↓ {b, e}
A∪A'= U ∅= Conjunto Vacío A∩A'= ∅ → Conjunto Vacío
Consideremos U={a ,b , c ,d , e} como conjunto universal y los subconjuntosA={a ,b, d}, B={b ,d , e} y C={a ,b , e }. Halla: (A')'=? A'UC'=? A'nB'=? (B-C)'= AUB'=? B'-A'=?
' complemento o negación, si se aplica dos veces sobre el mismo conjunto, quedaría el mismo conjunto. Supongo que n = ∩ = intersección (A')' = {a ,b, d} A'UC' = {c, e} U {c, d} = {c, d, e} A'∩B' = {c} (B-C)'= {a ,b, c, e} AUB' = {a ,b, c, d} B'-A' = {a} Consideremos u=(a,b,c,d,e) como conjunto universal y los subconjuntos a=(a,b,d) b=(b,d,e) c=(a,b,e) halla AuB
A ={a, b, d} B ={b, d, e} A u B={a, b, d, e}
Consideremos U={a , b , c , d , e} como conjunto universal y los subconjuntos A={a , b , d } , B={b , d , e} y C={a ,b , e }. Halla: A∪B , A∩B∩C, A−B, A', A'∪C '
AUB={a,b,d,e} A∩B∩C={b} A-B={a,e} suponiendo que ' signifique complemento A'={c,e} A'UC'={c,d,e} Consideremos U={a ,b , c ,d , e} como conjunto universal y los subconjuntos A={a ,b, d}, B={b ,d , e} y C={a ,b , e }. Halla: A∪(B∪C), A∩A, B∩C , (A∩B)∩C ,
A∩(B∩C), A−B, (A')' , C−A, B−C , B−A, B∩A' , A−A, A' , B' , (A∩C)' , U', A∪A' , A∩A' , ∅' , A'∪C ' , (A∪B)' , A'∩B' , (B−C)' , A∪B' , B'−A'
Es cuestión de saber la definición para cada c aso la unión (U) es la unión de los elementos la intersección (∩) son los elementos que se encuentran en ambos (A y B) en base a eso te daré las respuesta de los primeros: 1) a,b,c,d 2) a,b,d 3) e 4) b,d 5) b,d y asi con las diferencias y el complemento
Consideremos U={a ,b , c ,d , e} como conjunto universal y los subconjuntosA={a ,b, d}, B={b ,d , e} y C={a ,b , e }. Halla: A∪(B∪C) Te piden unir los subconjuntos: A unión B unión C A unión (B unión C) , si unes B y C da como resultado: {a ; b ; d ; e} Ahora eso lo unes con el subconjunto A que seria { a ; b; d}
Entonces A unión (B unión C) es: {a ,b ,d ,e} esa es la respuesta espero que sea la correcta =) Consideremos u=(a,b,c,d,e) como conjunto universal y los subconjuntos a=(a,b,d) b=(b,d,e) c=(a,b,e) halla AuB
AuB = {a,b,d,e}
Consideremos u=(a,b,c,d,e) como conjunto universal y los subconjuntos a=(a,b,d) b=(b,d,e) c=(a,b,e) halla AuB
AuB = { d, b } Espero que te sirva
29-Consideremos como conjunto universal al conjunto U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. a) Escribe dos subconjuntos A y B de U tales que cumplan A≠∅, B≠∅, A∩B=∅ y A∪B=U . b) Escribe tres subconjuntos propios A, B y C de U, cuya unión sea el universal, que sean disjuntos dos a dos. c) Escribe cuatro subconjuntos propios A, B, C y D de U, cuya unión sea el universal, que sean disjuntos dos a dos.
a) Si tomamos A={0} y B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, se tiene que ambos conjuntos son no vacíos y su unión A∪B=A∪B={0}∪{1,2,3,4,5,6,7,8,9}=U b) Los conjuntos A={0}, B={2,4,6,8} y C={1,3,5,7,8} son disjuntos dos a dos (no tienen elementos en común) y su unión es U. c) Los conjuntos A={0}, B={2,4,6,8}, C={1,3,5,7} y D={9} son disjuntos dos a dos (no tienen elementos en común) y su unión es U.
30.Representa, en cada uno de los diagramas de Venn dados, los siguientes conjuntos: A∪B A∪B ,
B∪B , A∩B , A∩ A, B− A , A−B, A' ' , B∩ A' , A∪B ' A' ∩B' , A∩B ' , A' ∪B' , A− A, A' , B' , U', A∪ A' , A∩ A' , A∪B' , B' − A' A∪ B∩ A , B∩ A∪B
.
31.Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, define por extension los siguientes conjuntos: a) A ∪ B, b) A − B, c ) A' , d ) U ' , e) B ∩ U f ) B' ∩ (C − A) g ) A∩B ' h) B ∩ C i ) A ∪ ∅
∪ C
j ) A ∩ (B ∪ C) k ) (A ∩ B) ∪ C l ) A ∩ B) − C m) (A ∪ B) − (C − B)
34. Sean A={ x ∈ℝ / −2< x ⩽10 } y B={ x ∈ℝ / x >1 } Expresa dichos conjuntos mediante intervalos y calcula la union, la interseccion y la diferencia de uno con el otro. Calcula, ademas, los complementario y comprueba que se cumplen las leyes de De Morgan
38.Sean A y B subconjuntos de un conjunto U. Expresa correctamente, usando la simbologia de la logica cuantificacional o de predicados las expresiones dadas a continuacion, representa mediante un diagrama de Venn las situaciones en ellas descritas y escribe el equivalente de cada una de dichas expresiones usando la terminologia propia de la teoria de conjuntos: a) Para todo x ∈U , si x ∈ A, entonces x ∈B b) Para todo x ∈U , si x ∉B , entonces x ∉ A c) Para todo x ∈U , x in A o x nin B d) Hay algun x ∈U tal que x ∈B y x ∉ A e) Para todo x ∈U , x ∈ A y x ∈B f) Para todo x ∈U , si x ∉ A, entonces x ∉B g) Todo x ∈B es x ∈ A, pero A y B no tienen los mismos elementos h) Hay algun x ∉ A y x ∈B
i) Hay algun x ∈U t al que x ∈ A y x ∉B j) Para todo x ∈U , si x ∈ A, entonces x ∉B a) Para todo x ∈U , si x∈A, entonces x∈B ∀x ∈U / x∈A --> x∈B A ⊂ B b) Para todo x∈U , si x∉B , entonces x∉A ∀x ∈U / x∉B --> x∉A A ⊂ B
c) Para todo x∈U , x in A ó x nin B ∀x ∈U / x∈A ∨ x∈B AUB d) Hay algún x ∈U tal que x∈B y x∉A ∃x∈U / x∈B ∧ x∉A B ⊄ A
e) Para todo x∈U , x∈A y x∈B ∀x ∈U / x∈A ∧ x∈B
AUB f) Para todo x ∈U , si x∉A, entonces x∉B ∀x ∈U / x∉A --> x∉B B ⊂ A
g) Todo x ∈B es x∈A, pero A y B no tienen los mismos elementos ∀x ∈U / x∈B --> x∈A B ⊂ A h) Hay algún x∉A y x∈B ∃x∈U / x∉A ∧ x∈B
B ⊄ A
i) Hay algún x ∈U t al que x∈A y x∉B ∃x∈U / x∈A ∧ x∉B A ⊄ B j) Para todo x∈U , si x∈A, entonces x∉B ∀x ∈U / x∈A --> x∉B A ⊂ Bc (U - B)
44.El equipo de fútbol de un Colegio está formado por Pe dro, Diego, Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El equipo de las Olimpiadas de Matemáticas de dicha clase está formado por Andrea, Diego, Cristina, Rolando y Edgar. ¿Quiénes están en ambos equipos? ¿Quiénes están en al menos uno de los dos equipos? ¿Quiénes están en el equipo de fútbol pero no en el de las olimpiadas? ¿Quiénes están únicamente en el equipo de las olimpiadas? ¿Quiénes están sólo en uno de esos dos equipos? ¿Quienes están en 2 equipos? Diego, Edgar, Rolando ¿Quienes están al menos en uno? Andrea, Hugo, Pedro, Cristina, Roberto, Carlos. ¿Quienes están en fútbol pero no en olimpiadas? Pedro, Hugo, Carlos, Roberto ¿Quienes están únicamente en la olimpiadas? Andrea, Cristina ¿Quienes están en solo uno? Andrea, Cristina, Hugo, Pedro, Carlos, Roberto ¿Quienes están en 2 equipos? Diego, Edgar, Rolando
¿Quienes están al menos en uno? Andrea, Hugo, Pedro, Cristina, Roberto, Carlos. ¿Quienes están en fútbol pero no en olimpiadas? Pedro, Hugo, Carlos, Roberto ¿Quienes están únicamente en la olimpiadas? Andrea, Cristina ¿Quienes están en solo uno? Andrea, Cristina, Hugo, Pedro, Carlos, Roberto 39.Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que (A ∩ B) tiene 2 elementos entonces, ¿cuál es la cardinalidad de (A ∪B)? Prop:
n(AUB) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
Entonces: n(AUB) = 5 + 3 - 2
n(AUB) = 6
40.Dado que el conjunto A está definido como : A = { (a, b) / a ΙN, b ΙN y a + b = 12} Entonces, ¿Cuál es a cardinalidad del conjunto A ? La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que posee ese conjunto. A = { (a, b) / a ∈ ΙN, b ∈ ΙN y a + b = 12} A = { (1,11) (2,10) (3,9) (4,8) (5,7) (6,6) (7,5) (8,4) (9,3) (10,2) (11,1)} su cardinalidad es de 11
46.Se preguntó a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican sólo fútbol, 12 practican fútbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de padres que practican natación, el número de ellos que sólo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes. si 20 solo practican futbol y 10 no practican nada entonces quedan 20.de esos 20 sobrantes 12 practican natacion y futbol entonces 8 padres solo practican natacion pero el total de
practicantes de natacion son 20 y el que practica alguno de estos deportes son 28 (20 solo futbol y 8 solo natación.
48-Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos, Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les gusta alguno de los dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta vinea pero no kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola. Se desea saber ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Kofola? a) 5 b) 3 c) 4 d) 2 e) 10 La respuesta correcta es la C ya que si organizamos los datos nos daría así: 6 Dijeron que no les gusta kofola lo cual seria obvio que les gusta vinea Y Los cuatro restantes serian los que les gusta Kofola
47-Se preguntó a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos; 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero sí la B. Se desea saber: a) ¿Cuántas personas prefirieron la marca A? b) ¿Cuántas personas prefirieron sólo la B? c) ¿Cuántas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas?PORFA RESPUESTAS EN TERMINOS DE CONJUNTOS, MUCHAS GRACIAS
Elaborando el diagrama de ven los pasos y analisis son asi 1- 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero sí la B esto significa que esas 3 solo les gusta B 2- 7 les gusta solo una de las marcas entonces a 4 les gusta solo A pues a 3 vimos que les gusta solo B
3- el número de personas que prefirieron ambas marcas = al número de personas que no prefirió ninguno de las dos como de los 11 quedan 4 repartimos 2 y 2 te anexo diagrama respuestas a-6 b-3 c-2
49-Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava Para determinar el medio de comunicación empleado para conocer las noticias del día. 4 00 respondieron que se enteran de forma regular de l os sucesos del día a través de la televisión, 300 lo hacen a través de la radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al número de personas que utilizan ambos medios para estar al día en los acontecimientos del mundo. a) .Cuantas de las personas encuestadas se enteran de las noticias solo a través de la televisión? b) .Cuantas de las personas entrevistadas lo hacen únicamente a través de la radio? c) .Cuantas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos medios?
mira es supremamente facil a) 400 b)300 c)25
50.A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales
65 aprobaron el examen de Matematicas, 25 el de Matematicas y Fisica y 15 aprobaron solo el de Fisica. .Cuantos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados. Am no sería: 65+15= 80 100-80=20 (No se cuentan los 25 porque ya están contados juntos con los 65 ... No?) :/
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alexfut Novato
2013-03-11T09:52:47+01:00 La respuesta es 20 ya que los 25 ya están contados y sólo se le suman 15 sería 15+65=80 y quedarían 20 debes hacer un diagrama de ven
el universal son 100
mate interseccion y fisica 40
40+15=55
25
15
osea q 45 no ganaron ninguno
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andrea1645 Aspirante
2013-04-25T15:49:35+02:00 como esta la imagen donde dibuje el diagrama de venn, la matemática y la fisica no se suman porque salirian al numero mayor de alumnos que es 100, por lo tanto solo hice sumar 40 +15 +x= 100 que x es numero sin aprobar, la suma de todos esos números es igual al numero de alumnos.
50-¿A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos,? de los cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron sólo el de Física. ¿Cuántos aprobaron sólo el examen de matemáticas? 15 alumnos. 40 alumnos. 20 alumnos. 12 alumnos. 30 alumnos. Seguir 2 respuestas 2 Notificar abuso ¿Estás seguro que deseas eliminar esta respuesta? Sí No
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Solo Fisica(SF) = 15 Fisica y matematica(FnM) = 25 Matmatica = 65 Solo Matematica(SM) = ?? SM = M - (SnM) = 65 - 25 = 40 Total Fisica sera igual a SF + SnM = 15 + 25 = 40 alumnos aprobaron Fisica asi que la respusta es 40 los que no aprobaron ninguna fueron 20 jjeej http://sketchtoy.com/65547159 Sebastian A · hace 2 años 1 Pulgar hacia arriba
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es una simple resta 65- 25 = 40 alumnos
52.Se pregunto a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no alguna de las revistas “La Marqueza”, “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron los siguientes resultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Solo Para Mujeres”, 34 leen “Buena Comida”, 25 leen “La Marqueza” y “Solo Para Mujeres”, 14 leen “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida”, 23 leen “La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide ilustrar el problema con un diagrama de Venn, el numero de madres entrevistadas, y .cuantas de ellas leen solo una de las tres revistas?
53.En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto
A, 54 el producto B, 50 consumen unicamente el producto A, 30 solo el producto B, el numero de personas que consuen solo B y C es la mitad del numero de personas que consumen solo A y C, el numero de personas que consumen solo A y B es el tripe del numero de las que consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que consumen solo C. Determina a) el numero de personas que consumen solo dos de los productos, b) el numero de personas que no consumen ninguno de los tres productos, c) el numero de personas que consumen al menos uno de los tres productos. Mejor respuesta: Con base en el enunciado del problema se obtiene: Consumen A = 82 Consumen B = 54 # que consumen solo A = 50 # que consumen solo B = 30 Consumen solo B y C = (A y C)/2 = Consumen solo A y B = 3(ABC) # de personas que no consumen los productos mencionados = # de personas que consumen sólo C. Siendo x los que consumen los tres productos, entonces los que consumen solo A y B = 3(ABC) = 3x. Siendo y los que consumen A y C, entonces los que consumen solo B y C = (A y C)/2 = (y/2) Representando esto en un diagrama de Venn se obtiene lo que se muestra en http://oi45.tinypic.com/3r78h.jpg Con base en el diagrama anterior se obtienen los siguientes números de elementos: A = 50 B = 30 (A∩B∩C) = x A∩B = 3x A∩C = y B∩C = (y/2)
El número de elementos de A es: 4x + y + 50 = 82 4x + y = 82 - 50 4x + y = 32 (1) El numero de elementos de B es: 4x + (y/2) + 30 = 54 4x + (y/2) = 54 - 30 4x + (y/2) = 24 (2) Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtienen x = 4, y = 16. Luego, reemplazando: (A∩B∩C) = x = 4 (A∩B) = 3x = 12 (A∩C) = y = 16 (B∩C) = (y/2) = 8 Número de personas que consumen A y B: 82 + 30 + 8 = 120 Los que consumen C y otro producto son: 16 + 4 + 8 = 28 Los que no consumen ninguno de los productos son: 150 - 120 = 30 Como el # de personas que no consume ninguno de los productos es igual al # de personas que solo consumen C, dividimos este valor entre 2, entonces: 30/2 = 15 (En el diagrama corresponde a U y a solo C) a) el número de personas que consumen sólo dos de los productos 12 + 16 + 8 = 36 personas b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos 15 personas (En el diagrama corresponde al valo r de U) c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos Esto es equivalente a las personas que consumen 2 y 3 productos: 12 + 4 + 16 + 8 = 40 personas
54.Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al f útbol, 32 al balóncesto y 23 al voleybol. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. ¿Cuántas personas practican sólo un deporte? ¿cuántas practican sólo dos
deportes? ¿Cuántas practican al menos dos deportes? ¿Cuántas practican a lo sumo dos
deportes? Total:78 futbol:50 solo futbol: 50-6=44 basket:32 solo basket:32-6=26 voley:23 solo voley: 23-6=17 l os tres deportes: 6 ningun deporte :10 entonces piden cuantos practican solo un deporte : 44+26+17 = 77 personas practican un solo deporte
un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan futbol, 32 basquet, y 23 voley, seis figuran en los tres deportes, y 10 no practican deporte alguno. futbol es a, basquet es b y voley es c 1 cuantas personas practican un solo deporte espero que me ayuden, el ultimo que me ayudo se llamava elvis, ojala el lo... mostrar más un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan futbol, 32 basquet, y 23 voley, seis figuran en los tres deportes, y 10 no practican deporte alguno. futbol es a, basquet es b y voley es c 1 cuantas personas practican un solo deporte espero que me ayuden, el ultimo que me ayudo se llamava elvis, ojala el lo responda gracias. Seguir 2 respuestas 2 Notificar abuso ¿Estás seguro que deseas eliminar esta respuesta? Sí No Lo sentimos, ocurrió un error.
Trending Now Respuestas Mejor respuesta: A ver este problema es similar al que me dejaste la otra vez. Vamos primero a nombrar los conjuntos: Fútbol -> F Basquet -> B Voley -> V F = Fs + Fb + Fv + Fbv F = Personas que juegan fútbol Fs = Personas que juegan sólo fútbol Fb = Personas que juegan sólo fútbol y basquet Fv = Personas que juegan sólo Fútbol y Voley Fbv = Personas que juegan Fútbol, basquet y Voley De manera similar para los otros conjuntos : B = Bs + Bv+ Bf + Bvf B = Personas que juegan basquet V = Vs + Vb + Vf + Vfb V = Personas que juegan Voley Se cumple que: Fb= Bf Fv = Vf Bv = Vb Fbv = Bvf = Vfb Datos : 1) El club consta de 78 personas, es decir el universo U es 78, en el club debe haber los que practican al menos un deporte que es la suma de los conjunto (FBV) y los que no juegan ningún deporte que es el complemento c(FBV), la suma de los 2 conjuntos suman el
universo: U = 78 = (FBC) + c(FBV) ... i Vamos con los siguientes datos: 2) 50 juegan Fútbol : F = 50 ... ii 3) 32 juegan basquet B = 32 ... iii 4) 23 juegan Voley V = 23 ... iv 5) 6 practican los 3 deportes Fbv = 6 ... v 6) 10 ningún deporte c(FBV) = 10 ... vi
Ahora usa las ecuaciones i y iv 78 = (FBC) + c(FBV) ... i c(FBV) = 10 ... vi Con estas 2 ecuaciones tienes que c(FBV) = 10 FBV = 68 ... vii Ahora veamos a que es igual la suma de los 3 conjuntos: FBV = Fs+Bs+Vs + Fb + Bv + Vf + Fbv ... viii Ahora hay que tratar de acomodar la ecuación para que podamos operar mejor FBV = Fs + Fb + Fv + Fbv + Bs + Bv + Bf + Bvf + Vs + Vf + Vb + Vfb - Bvf - Vfb - Bf Vf - Vb Teniendo en cuenta que:
Fb= Bf Fv = Vf Bv = Vb Fbv = Bvf = Vfb Entonces la ecuación queda de la siguiente manera: FBV = F + B + V - 2Fbv - Fb - Fv - Bv Reemplazando los datos : 68 = 50 + 32 + 23 - 2*6 - (Fb + Fv + Bv) 68 = 50 + 32 + 23 - 12 - (Fb + Fv + Bv) 68 = 93 - (Fb + Fv + Bv) -> (Fb + Fv + Bv) = 25 ... ix A ver al principio pensé que a este problema le faltaban datos pero si te fijas la pregunta es ¿Cuantas personas practican un sólo deporte? , vemos quienes practican un sólo deporte son Fs , Bs y Vs por lo tanto lo que nos piden es (Fs + Bs + Vs) , usemos las ecuaciones v, vii, viii y ix: Fbv = 6 ... v FBV = 60 ... vii FBV = Fs+Bs+Vs + Fb + Bv + Vf + Fbv ... viii (Fb + Fv + Bv) = 25 ... ix Trabajemos sobre viii FBV = Fs+Bs+Vs + Fb + Bv + Vf + Fbv FBV = (Fs+Bs+Vs) + (Fb + Bv + Vf) + Fbv Como Vf = Fv FBV = (Fs+Bs+Vs) + (Fb + Bv + Fv) + Fbv Reemplazando las otras ecuaciones: 60 = (Fs+Bs+Vs) + (25) + 6
60 = (Fs+Bs+Vs) + 31 -> (Fs+Bs+Vs) = 29 Listo esta es tu respuesta 29 personas juegan un sólo deporte, nos faltan datos para hallar cada uno de los componentes de cada conjunto pero no para lo que nos preguntan que es lo que interesa al fin.
55.En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la eutanasia y se planteó una moción. Los resultados fueron los siguientes: 115 europeos votaron a favor de la moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos votaron a favor. Si el n úmero de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. ¿Cuántos médicos participaron en el congreso? Mejor respuesta: Sea: M = número total de médicos Te = número total de médicos eur opeos Ta = número total de médicos americanos Ce = número de cardiólogos europeos Ca = número de cardiólogos americanos C = número total de cardiólogos Oa = número de médicos americanos de otras especialidades. Sabemos que: a) 115 europeos votaron a favor b) 60 europeos votaron en contra c) No hubo abstenciones Por lo tanto el total de médicos europeos fue: Te = 115 + 60 O sea: 1) Te = 175 Sabemos que: a) 80 cardiólogos votaron a favor b) 75 cardiólogos votaron en contra c) No hubo abstenciones Por lo tanto el total de cardiólogos fue: C = 80 + 75 = 155
Como: C = Ce + Ca Resulta; 2) Ce + Ca = 155 También sabemos que el número de cardiólogos europeos excede e n 30 al número de americanos de otras especialidades. En base a las variables definidas al principio, esto se expresa así: 3) Ce = Oa + 30 Reemplazando 3) en 2): Oa + 30 + Ca = 155 Se llega a: 4) Oa + Ca = 125 Como (ver definición de variables): Oa + Ca = Ta Resulta: 5) Ta = 125 Finalmente, como (ver definición de variables): 6) M = Te + Ta Reemplazando 1) y 5), en 6); resulta: M = 175 + 125 M = 300 La respuesta es: a) Participaron del debate 300 médicos
56.Se hizo una encuesta a 160 alumnos de un internado sobre las preferencias de cuatro carreras profesionales: Secretariado Internacional (S), Enfermeria (E), Computacion (C ) y Biologia, obteniendose los siguientes datos: ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B), 22 solo con (S), 20 solo con (E), 20 solo con (C), 20 con (S) y (B) pero no con (E), 6 solo con (C) y (E), 4 con (S) y (C), 24 con (B) y (E), 28 solo con (B). .Cuantos prefieren solo (S) y (E), si a todos les gusta por lo menos una de esas tres carreras? Hay 160 alumnos y 4 carreras (A,B,C ,D) Si tienen que ordenarlas por orden de preferencia Cada alumno habrá dado 4 respuestas, total 160 * 4 = 640 respuestas Los porcentajes de cada carrera serán pues
respuesta de A (en primer lugar) * 100/160 = %A respuesta de B (en primer lugar) * 100/160 = %B
57.Se llevo a cabo una investigacion con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para conocer las noticias del dia. Se encontro que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. a.-.Cuantas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? b.-.Cuantas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? c.-.Cuantas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias? Pues mira, nose como se resuelva en matemáticas discretas (ni se que es eso); pero es muy fácil de hacer por conjuntos, primeroo dibuja dos círculos que se intersecten, uno será para los que ven TV y otro para los que escuchan la radio y por tanto en medio para los que se enteran por los dos. entonces, si 275 se enteran por ambos, el 275 va en la intersección; ahora solo resta (para saber cuántos ven tele o escuchan radio) quitar e ste 275 a 400 y a 300 [lo de los círculos es para darnos un aidea completamente gráfica, aunque no le veo mucho fin], que sería 125 y 25 respectivamente, por lo que 125 se enteran por tele, 25 por radio y las que no se enteran, simplemente restamos lo de adentro de los círculos a 1000 (1000-25-125-275) que sería 57 5
58.Se realizo una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A y B. Obteniendose lo siguientes resultados: El numero de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7. El numero de personas que prefirieron ambos productos fue igual al numero de personas que no prefirio ninguno de los dos productos. El numero de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3. Se desea saber: a) .Cuantas personas prefieren el producto A? b) .Cuantas personas prefieren el producto B solamente? c) .Cuantas personas prefieren ambos productos? El conjunto Universo tiene 11 elementos (personas) número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de los dos productos-------------------> A intersección B = Universo- (A unión B)
el número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3 se desea saber: ----------------> Número de elementos totales de B -(B intersección A)= 3 el número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7 -----------> Del anterior ejercicio se refería a este tipo de personas que corresponden al producto B, fueron 3. Por tanto, el número de personas que prefirieron solo el producto A fue 4. se desea saber: El conjunto universo - 7= 11-7=4/2 =2 personas en A intersección B y 2 personas fuera de estos conjuntos , pero que pertenece al gran conjunto universo ¿cuántas personas prefieren el producto A? Sería igual a: 3+ ( A intersección B) 2+2= 5 personas ¿cuántas personas prefieren el producto B solamente? Fueron 3 personas (deducido anteriormente) ¿cuántas personas prefieren ambos productos? Es la intersección A, B = 2 personas.
59.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcasde refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniendose lo siguientes resultados: El numero de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El numero de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: a) .Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi? b) . Cuantos de los encuestados prefirieron Coca Cola? c) . Cuantos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola? a)prefieron pepsi 9 estudiantes b) ninguno prefiere cockacola c) solo 1 prefiere pepsi o cockacola
a) pepsi 3 estudiantes b) coca cola 6 estudiantes c)cualquiera de ellas 1
60.Determina el numero de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al menos una de las tres seminarios de ampliacion de las asignaturas Matematicas, Fisica o Quimica. 48 participan en el de Matematicas, 45 en el de Fisica, 49 en el de Quimica, 28 en el de Matematicas y Fisica, 26 en el de Matematicas y Quimica, 28 en el de Fisica y Quimica y 18 en los tres seminarios. .Cuantos alumnos participan en los seminarios de Fisica y Matematicas, pero no en el de Quimica? .Cuantos participan solo en el de Quimica
61.La empresa Kia ha decidido aumentar su produccion de coches, por lo que saca a concurso 22 plazas de trabajo para titulados en ingenieria. Los aspirantes han de ser
ingenieros mecanicos, ingenieros en electricidad o ingenieros quimicos. Los ingenieros en mecanica han de ser 11, los ingenieros en electricidad han de ser 12 y en quimica han de ser 10. Algunos puestos han de ser ocupados por ingenieros con doble titulacion, en concreto, 5 han de ser ingenieros mecanicos y en electricidad, 4 han de serlo en mecanica y quimica, y 4 en electricidad y quimica. Algunas de las plazas ofrecidas deben ser ocupadas por ingenieros con triple titulacion. .Cuantos ingenieros han de poseer triple titulacion? .Cuantos puestos hay para ingenieros que tengan unicamente la especialidad en electricidad? .Cuantas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en electricidad y quimica pero no en mecánica?
Principio de inclusión-exclusión n(M) = 11 n(E) = 12 n(Q) = 10 n(M∩E) = 5 n(M∩Q) = 4 n(E∩Q) = 4
n(MUEUQ) = 22 Entonces ¿Cuántos ingenieros han de poseer triple titulación? n(M∩E∩Q) = n(MUEUQ) - ( n(M) + n(E) + n(Q) ) + + ( n(M∩E) + n(M∩Q) + n(E∩Q) ) n(M∩E∩Q) = 22 - (11+12+10) + (5+4+4) n(M∩E∩Q) = 22 - 33 + 13 n(M∩E∩Q) = 2 ===================================
¿Cuántos puestos hay para ingenieros que tengan únicamente la especialidad en electricidad? n(E solo) = n(E) - (n(M∩E) + n(E∩Q)) + n(M∩E∩Q) n(E solo) = 12 - (5 + 4) + 2 n(E solo) = 12 - 9 + 2 n(E solo) = 5 =============================== ¿Cuántas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en electricidad y química pero no en mecánica? n(MUEUQ) - n(M) = 22 - 11 n(MUEUQ) - n(M) = 11
62.Una farmacia rebajo el precio de una locion y el de una crema. La contabilidad al final de un dia indico que 66 personas habian comprado crema; 21 compraron locion y 21 ambos productos. a) .Cuantas personas aprovecharon la oferta? b) .Cuantas compraron solamente la locion? c) .Cuantas compraron solamente la crema?
Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x compró crema} L = {x/x compró loción} De acuerdo al problema tenemos que: η (C ∩ L) = 21 Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler. Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están contabilizando las que compraron cremas y lociones (12), de esta manera se tiene que, para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente cálculo: η (Solamente Crema) = η (C) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 66 - 12 = 54 De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE lociones: η (Solamente Lociones) = η (L) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 21 - 12 = 9 De esta
forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta? η (C ∪ L)= η (C) + η (L) - η (C ∩ L). η (C ∪ L)= 66 + 21 - 12 η (C ∪ L)= 75 Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:
63-Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor. a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x tiene casa p ropia} T = {x/x tiene televisor} A = {x/x tiene automóvil} De acuerdo al problema tenemos que η (C ∩ T ∩ A) = 105 Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la intersección de los tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación: η (C ∩ T) = 190 η (C ∩ T ∩ A) = 190 – 105 = 85 η (C ∩ A) = 120 - η (C ∩ T ∩ A) = 120 – 105 = 15 η (A ∩ T) = 165 - η (C ∩ T ∩ A) = 165 – 105 = 60 De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-Euler, así: Observe que la suma de los números que se encuentran en la región sombreada de corresponde al cardinal del conjunto; por ejemplo, η (C) = 277 η (C) = x + η (C ∩ A ∩ T) + η (C ∩ A) + η (C ∩ T) 277 = x + 15 +105 + 85, de donde x = 72
Siguiendo el anterior raciocinio se llega a: a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la unión de los tres conjuntos: η (C ∪ A ∪ T) = η (C)+η (A)+η (T)-η (C ∩ A)-η (C ∩ T)-η (A ∩ T)+η (C ∩ A ∩ T) η (C ∪ A ∪ T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105 η (C ∪ A ∪ T) = 545 b. La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen casa propia, es decir, 72 c. La región sombreada en la siguiente figura correspond e al número de personas que solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de: η η η η (C ∪ T) = η (C) + η (T) - η (C ∩ T) (C ∩ T) = η (C) + η (T) - η (C ∪ T) (C ∪ T) = 277 + 405 – 492 (C ∪ T) = 190. 64.En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés? Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad al final de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21 ambos productos. a. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta? b. ¿Cuántas compraron solamente la loción? c. ¿Cuántas compraron solamente la crema? Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x compró crema} L = {x/x compró loción} De acuerdo al problema tenemos que: η (C ∩ L) = 21 Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler. Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están contabilizando las que compraron cremas y lociones (12), de esta manera se tiene que, para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente cálculo: η (Solamente Crema) = η (C) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 66 - 12 = 54 De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE lociones: η (Solamente Lociones) = η (L) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 21 - 12 = 9 De esta forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta? η (C ∪ L)= η (C) + η (L) - η (C ∩ L). η (C ∪ L)= 66 + 21 - 12 η (C ∪ L)= 75 Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:
2. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor. a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x tiene casa propia} T = {x/x tiene televisor} A = {x/x tiene automóvil} De acuerdo al problema tenemos que η (C ∩ T ∩ A) = 105 Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la intersección de lo s tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación: η (C ∩ T) = 190 - η (C ∩ T ∩ A) = 190 – 105 = 85 η (C ∩ A) = 120 - η (C ∩ T ∩ A) = 120 – 105 = 15 η (A ∩ T) = 165 - η (C ∩ T ∩ A) = 165 – 105 = 60 De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-Euler, así: Observe que la suma de los números que se encuentran en la región sombreada de corresponde al cardinal del conjunto; por ejemplo, η (C) = 277 η (C) = x + η (C ∩ A ∩ T) + η (C ∩ A) + η (C ∩ T) 277 = x + 15 +105 + 85, de donde x = 72
Siguiendo el anterior raciocinio se llega a: a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos e l cardinal de la unión de los tres conjuntos: η (C ∪ A ∪ T) = η (C)+η (A)+η (T)-η (C ∩ A)-η (C ∩ T)-η (A ∩ T)+η (C ∩ A ∩ T) η (C ∪ A ∪ T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105 η (C ∪ A ∪ T) = 545 b. La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen casa propia, es decir, 72 c. La región sombreada en la siguiente figura correspond e al número de personas que solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de: η η η η (C ∪ T) = η (C) + η (T) - η (C ∩ T) (C ∩ T) = η (C) + η (T) - η (C ∪ T) (C ∪ T) = 277 + 405 – 492 (C ∪ T) = 190. 64.En un curso compuesto por 22 alumnos; 12 estudian Alemán ; 11 estudian inglés y 11 francés, 6 estudian alemán e inglés; 7 estudian Inglés y Francés ; 5 estudian alemán y francés y 2 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian sólo inglés?
No hay alumnos que estudien sólo inglés para el resulatdo de estos los 4 que estan por fuera que son? Los que no estudian ningún idioma
65.En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.V., 7, 9 y 13 se obtuvo la siguiente informacion: 55 Encuestados ven el canal 7, 15 Solo ven el canal 7 y el canal 9, 33 Ven el canal 7 y el canal 13, 3 Solo ven el canal 13, 25 Ven los tres canales, 46 Ven el canal 9, 6 No ven T.V, 2 Solo ven el canal 13 y el canal 9. Averigua: a) La cantidad de personas encuestadas. b) La cantidad de personas que ven solo el Canal 9
66.En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban te con leche, 40 personas tomaban cafe con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150 tomaban cafe o leche. a) .Cuantas personas tomaban te puro? b) .Cuantas personas tomaban leche pura? c) .Cuantas personas tomaban cafe puro? d) .Cuantas
personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? 67.Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como m í nimo 1 semana, 43 gastan como mí nimo 30.000 € diarios, 32 están completamente satisfechos del servicio; 30 permanecieron como mí nimo una semana y gastaron como mí nimo 30.000 € diarios, 26 permanecieron como mí nimo una semana y quedaron completamente satisfechos, 27 gastaron como mí nimo 30.000 € diarios y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron como mí nimo una semana, gastaron como mí nimo 30,000 € diarios y quedaron completamente satisfechos. a) ¿Cuántos visitantes permanecieron como mí nimo una semana, gastaron como mí nimo 30.000 € diarios pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cuántos visitantes quedaron completamente satisfechos , pero permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios? c) ¿Cuántos visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios y no quedaron completamente satisfechos.
66.En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban te con leche, 40 personas tomaban cafe con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150 tomaban cafe o leche. a) .Cuantas personas tomaban te puro? b) .Cuantas personas tomaban leche pura? c) .Cuantas personas tomaban cafe puro? d) .Cuantas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? Son tres conjuntos: Té, café y leche Suponemos que nadie toma café y té. leche..._________ ______|_____......| Té |..........|..30..|..50.| |......... |____|____| | 10...______|______......50 |.......|..40.....|..........| |____|______|..........| Café ........|.......70..........| ........|____________|
a) ¿Cuántas personas tomaban té puro? __50 b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura?__10 c) ¿Cuántas personas tomaban café puro?__70 d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?__50 67.Un hotel recibe 60 visitantes, de los c uales 37 permanecen como mínimo 1 semana, 43 gastan como mínimo 30.000 € diarios, 32 están completamente satisfechos del
servicio; 30 permanecieron como mínimo una semana y gastaron como mínimo 30.000 € diarios, 26 permanecieron como mínimo una semana y quedaron completamente satisfechos, 27 gastaron como mínimo 30.000 € diarios y quedaron
completamente satisfechos y 24 permanecieron como mínimo una semana, g astaron como mínimo 30,000 € diarios y quedaron completamente satisfechos. a) ¿Cuántos visitantes permanecieron como mínimo una semana, gastaron como mínimo 30.000 €
diarios pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cuántos visitantes quedaron completamente satisfechos , pero permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios? c) ¿Cuántos visitantes permanecieron menos de una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios y no quedaron completamente
satisfechos.? G= gastan NG=no gastan P= personas que permanecen NP=personas que no permanecen he hecho un cuadro para enterderlo bien .........G.......NG.... .....----------------------.....-.........-............P..-...30...-.....7....- =37 .....----------------------.....-.........-...........NP-....13..-...10....- =13 .....---------------------.........43........17....= 60
observacion .las sumas verticales y horizontales se suman y nos tiene que dar 60.el total de visitantes
68. Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información: -Todo encuestado que es propietario de automóvil también lo es de una casa. - 54 encuestados son hombres. - 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de un automóvil. - 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa. 5 de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa. - 15 encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automóvil. a) Hacer un diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada región. b) ¿Cuántos encuestados que son hombres son solamente propietarios de casa? c) ¿Cuántas mujeres no son propietarios de casa?
69.Una tienda de artí culos electrónicos vende en un d í a 44 equipos de música, todos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de cassetes (T.C.). Algunos tienen control
remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnologí as nombradas. Si se vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con (T.C) pero sin (C.R): a) ¿Cuántos equipos que tení an alguna de éstas tecnologí as se vendieron? b) ¿Cuantos
equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuántos equipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron?
