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TABUADA NOTÁVEL Os 7 Fundamentos para Aprender Matemática M atemática

John Taylor Paiva John Taylor Paiva • Professor, Matemático e Especialista em Educação, Consultor Imobiliário e Financeiro e Escritor . • Atua como PROFESSOR nas nas áreas de MATEMÁTICA, CÁLCULO, EDUCAÇÃO FINANCEIRA, FÍSICA (Mecânica e Eletrônica), INFORMÁTICA, PROJETOS CULTURAIS e ARTES desde 1988 no desenvolvimento de programas educacionais, e em várias ESCOLAS do PIAUÍ, na cidade de PARNAÍBA e no CEARÁ, nas cidades de JUAZEIRO DO NORTE e FORTALEZA.

TRABALHOS DO AUTOR – 01. TAI – TÉCNICAS TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM INTEGRADA – Processo Processo de ensino-aprendizagem  na versão FIGURATIVO fundamentado nas té cn i cas ca s de d e m emor em or i zação , refundidas para melhor compreensão, aplicação e mais rápida assimilação, na associação de imagens e histórias inusitadas e versão ARTÍSTICO stic os fundamentado em r ecur sos ar tísticos , na associação de músicas, teatro e cordel em rima, prosa e verso; – 02. ARTIFÍCIOS MATEMÁTICOS – BIZUZÃO  Dicas e táticas que facilitam a solução de problemas de Concursos e Vestibulares. – 03. - O SEGREDO DA EDUCAÇÃO PARA SAÚDE FINANCEIRA – Incrível Incrível Guia de Planejamento e Controle Financeiro  Fundamentos de Finanças que habilitam ao conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e Empresarial através do Poderoso Termômetro das Finanças P3 – P3 – Plano Plano de Planejamento Programado. – 04. MANUAL DO PODEROSO TERMÔMETRO DAS FINANÇAS P3 – Plano de Planejamento passo essa poderosa ferramenta ferramenta ”P3” que mede, visualiza e monitora a atual Programado  Conheça passo-a- passo situação financeira possibilitando o conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e Empresarial e habilita a um melhor direcionamento na realização e ascensão pessoal e/ou profissional. – 05. LINGUA MATEMÁTICA – Uma Uma Forma Interessante e Útil de Ler o Mundo  O manual gerencial do dia-a-dia para adquirir habilidades especiais para a tomada de decisões conscientes no cotidiano através de teorias matemáticas com analogias à realidade, problemas curiosos e interessantes. – 06. K-FUNÇÃO – Estratégias para Facilitar a Matemática Financeira , uma Estratégia Formular de Simplificação Financeira  Uma nova maneira de resolver operações comerciais e financeiras, usando uma única função matemática com apenas três variáveis e/ou 10 configurações que substitui todas as outras fórmulas usadas atualmente. – 07. TABUADA NOTÁVEL – Os Sete Fundamentos para Aprender Matemática  A Cartilha do Cotidiano  Temas essenciais para o perfeito entendimento e desenvolvimento d a matemática. – 08. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Básica (Aritmética e álgebra) essencial aplicada em concursos. – 09. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Financeira essencial aplicada em concursos. – 10. QUESTÕES DE PROVAS RESOLVIDAS DE CONCURSOS MILITARES – são 162 questões – EPCAR – AFA AFA – EEAr EEAr – ESA ESA – ExPE ExPE Cex Cex – CN CN – EAM EAM – PM PM – CFO CFO – (EXÉRCITO – MARINHA – AERONÁUTICA – PM) PM)

Coleção a FILOSOFIA ZEN  O Segredo Implícito na filosofia dos Sábios: – 11. DIÁLOGO DAS MENTES  O Segredo que o segredo não revelou numa inédita e alucinante viagem à sede dos pensamentos. – 12. O DIÁLOGO SECRETO  Ensinando o segredo a Mente Visão. – 13. O DIÁLOGO DOS SÁBIOS  Os erros dos grandes filósofos. – 14. A BÍBLIA ENIGMÁTICA  Faz de conta, a brincadeira da imaginação com o sexteto mandamental que pode dar certo. – 15. A ARTE MATEMÁTICA DO SER  Princípios de precisão matemática para o cotidiano, o autoconhecimento para a verdadeira educação. – 16. AS FACETAS DOS TERRÁQUEOS  Engrisilhos e leriados para sintonia e harmonia Interpessoal. – 17. O LÍDER VIRTUAL  Ações para atuação gerencial em táticas simples e básicas. – 18. INFORMÁTICA GERENCIAL  Informática essencial para o gerenciamento pessoal e/ou profissional; O objetivo é dar uma visão geral sobre a informática (INFORmação autoMÁTICA), o computador atual e como tudo funciona, já que ter informação e saber o que fazer com ela é fundamental hoje em dia. – 19. FERRAMENTAS FERRAMENTAS PARA O CORRETOR DE IMÓVEIS – Fundamentos Básicos e Essenciais  para Cálculo de Escala, Área, Avaliação de Imóveis e Viabilidade Econômica e Financeira. – 20. MÉTODO ATOCAR  Princípios Básicos  para o aprendizado de violão em 10 aulas.

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TABUADA NOTÁVEL Os 7 Fundamentos para Aprender Matemática

AGRADECIMENTOS Ao Ser Supremo, o espírito criador e preservador do universo que fertilizou a inspiração com sua inteligência infinita, e possibilitou a intersecção para refundir experiências e transformar em técnicas para facilitar o processo de ensino-aprendizagem. ensino-aprendizagem. A meus pais, esposa, filhos, irmãos, sobrinhos e cunhados que sempre estiveram do meu lado. A meus tios, primos e parentes que sempre que possível condescenderam condescenderam com com meus ideais. A todos meus amigos pela força e incentivo. A todas as pessoas pelo apoio que viabilizou a edição deste livro. A todos os leitores que folhearem e queimarem as pestanas no intuito de pensar esse trabalho como uma ferramenta de estudo.

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John Taylor Paiva

Sumário

FUNDAMENTOS 01 ............................................................... 7 1.1. OS NÚMEROS .............................................................. 7 1.2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO...................................... 8 1.3. MÚLTIPLOS NÚMEROS NATURAIS........................ 9 1.4. DIVISORES NÚMEROS NATURAIS ....................... 10 1.5. MÁXIMO DIVISOR COMUM – MDC ...................... 14 1.6. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – MMC ................... 16 FUNDAMENTOS 02 ............................................................. 20 2.1. POTENCIAÇÃO.......................................................... 20 2.2. CASOS ESPECIAIS ....................................................21 2.3. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO ....................22 FUNDAMENTOS 03 ............................................................. 27 3.1. RADICIAÇÃO............................................................. 27 3.2. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO ....................... 29 3.3. A RACIONALIZAÇÃO ..............................................32 3.4. FATOR RACIONALIZANTE ............................... 33 FUNDAMENTOS 04 ............................................................. 36 4.1. FRAÇÃO ..................................................................... 36 4.2. NOMES das FRAÇÕES ..............................................37 4.3. CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES .......................... 38 4.4. PROPRIEDADE das FRAÇÕES .................................41 4.5. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO................................ 42 4.6. REDUÇÃO de FRAÇÕES ao MESMO DENOMINADOR .............................................................. 42 4.7. COMPARAÇÃO de FRAÇÕES ..................................43 4.8. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ................................. 44 4.9. NÚMEROS DECIMAIS .............................................. 46 4.10. TRANSFORMAÇÃO de FRAÇÃO DECIMAL em NÚMERO DECIMAL ........................................................ 47 4


4.11. TRANSFORMAÇÃO de NÚMERO DECIMAL em FRAÇÃO DECIMAL ......................................................... 47 4.12. PROPRIEDADES dos NÚMEROS DECIMAIS ....... 47 4.13. OPERAÇÕES com NÚMEROS DECIMAIS ............ 48 4.14. DÍZIMA PERIÓDICA ou NUMERAIS PERIÓDICOS ............................................................................................. 50 FUNDAMENTOS 05 ............................................................. 54 5.1. CÁLCULO LITERAL .................................................54 5.2. EXPRESSÕES NUMÉRICAS..................................... 54 5.3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ou LITERAIS ........... 55 5.4. CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.................................................................... 55 5.5. POLINÔMIOS .............................................................56 5.6. A IMPORTÂNCIA das EXPRESSÕES MATEMÁTICAS ............................................................... 61 5.7. OPERAÇÕES com EXPRESSÕES ALGÉBRICAS de MONÔMIOS ...................................................................... 61 5.8. MÉTODO DA CHAVE ...............................................63 5.9. DISPOSITIVO PRATICO DE BRIOT RUFFINI ....... 64 5.10. TEOREMA DO RESTO ............................................ 66 5.11. TEOREMA DE D’ALEMBERT ............................... 66 5.12. RESOLUÇÃO de EXPRESSÃO MATEMÁTICA ... 67 FUNDAMENTOS 06 ............................................................. 70 6.1. OS PRODUTOS NOTÁVEIS...................................... 70 FUNDAMENTOS 07 ............................................................. 74 7.1. FATORAÇÃO ALGÉBRICA ..................................... 74

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FUNDAMENTOS 01 1.1. OS NÚMEROS NÚMERO É a ideia que está associada à quantidade de elementos de um conjunto.

NUMERAL É a palavra ou símbolo usado para representar a ideia (número).

SUCESSIVO É o resultado da soma desse número ao número 1. Número que vem depois do número dado, considerando também o zero. Portanto,

Ex.: O sucessor de 0 é 1. O sucessor de 19 é 20. CONSECUTIVO Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Ex.: 1 e 2 são números consecutivos 7

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ANTECESSOR É o resultado da diferença desse número com o número 1. Número que vem antes do número dado.

Ex.: O antecessor de 2 é 1. O antecessor de 56 é 55. CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA Quando dados dois conjuntos, os seus elementos estão relacionados um a um. A cada elemento de “A” está associado um e somente um elemento de “B”; cada elemento de “B” é correspondente de um e somente um elemento de “A”.

1.2. SISTEMA DE NUMERAÇÃO É o conjunto de regras que permitem ler e escrever qualquer número usando palavras e símbolos.

SISTEMA de NUMERAÇÃO DECIMAL ou SISTEMA DE BASE DEZ É o sistema onde a base é dez, isto é, os elementos são contados de dez em dez. É o sistema de numeração que usamos.

PRINCÍPIO DA POSIÇÃO DECIMAL É usado para expressar um número qualquer no sistema decimal, onde, cada conjunto com um único 8


elemento será associado à unidade, com dez à dezena, etc. Assim, todo algarismo colocado imediatamente à esquerda de outro representa unidade de ordem superior (dez vezes) a aquele.

VALOR RELATIVO do ALGARISMO É o valor do algarismo de acordo com a posição no numeral. Quando é levado em conta o principio da posição decimal.

Ex.: Em 7428, temos: VR(7)=7.000; VR(4)=400; VR(2)=20; VR(8)=8

VALOR ABSOLUTO do ALGARISMO É o valor do algarismo isolado. Quando não é levada em consideração o principio da posição decimal.

Ex.: Em 7428, temos: VA(7) = 7; VA(4) = 4; VA(2) = 2; VA(8) = 8

1.3. MÚLTIPLOS NÚMEROS NATURAIS Numa divisão exata, diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que: a = k . b.

Ex.: 15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 × 5 9

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DETERMINAÇÃO dos MÚLTIPLOS de NÚMERO NATURAL Dados dois números naturais “a” e “b”, quando a = k . b, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis.

Ex.: Múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42,...} SE LIGUE! O número 0 (zero) é múltiplo de qualquer número. E todo número é múltiplo dele mesmo. 1.4. DIVISORES NÚMEROS NATURAIS Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b. Ou seja, existe um número natural

k tal que: b =

a b

.

Ex.: 3 é divisor de 15, pois 3 =

15 5

, logo 15 é

múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

DETERMINAÇÃO dos DIVIDORES de NÚMERO NATURAL Dados dois números naturais “a” e “b”, quando b = 10

a k

, basta fazer k assumir todos os números de 1 até a.


Ex.: Divisores de 18: D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } SE LIGUE! O número 0 (zero) não é divisor de nenhum número natural, exceto dele próprio. E o número 1 (um) é divisor de qualquer número. E todo número é divisor dele mesmo. NÚMEROS PRIMOS É todo número que admite somente dois divisores: a unidade e ele mesmo.

Ex.: 2 é primo pois D(2) = {1,2}; 3 é primo pois D(3) = {1,3};

RECONHECIMENTO de um PRIMO Divide-se o número dado pela sucessão dos números primos, até obter o quociente menor ou igual ao divisor antes de se obter o resto nulo.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Quando o único divisor comum entre eles for o 1 (um). Ou então, quando o MDC entre eles é 1 (um).

Ex.: 5, 7, 27 são primos entre si, pois: 11

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D(5): {1; 5}; D(7): {1, 7} e D(27): {1, 3, 9, 27} e o único divisor comum, é o 1 (um).

DECOMPOSIÇÃO de um NÚMERO em FATORES PRIMOS (a) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo. (b) Com o quociente encontrado, da mesma forma, até encontrarmos o quociente 1 (um).

Ex.: decompor o número 24 em fatores primos: 24  2 12  2 06  2 03  3 01 

Assim: 72 = 23 . 32

DETERMINAÇÃO dos DIVISORES USANDO a DECOMPOSIÇÃO (a) Decompõe-se o número dado em fatores primos. (b) Passa uma reta vertical ao lado da decomposição em fatores primos, e a unidade uma linha acima. 12


(c) A seguir efetua-se o produto do primeiro fator primo pela unidade após colocarmos o resultado na linha abaixo, à direita do fator. (d) Multiplica-se cada um dos fatores por todos os números que estão acima da linha dele, formando-se então o conjunto dos divisores do número dado.

Ex.: determinar o conjunto dos divisores de 24:  1 24  2  2 12  2  4 06  2  8 03  3  3, 6, 12, 24 01 

Logo, D(24): {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} DETERMINAÇÃO da QUANTIDADE de DIVISORES de um NÚMERO (a) Decompomos em fatores primos o número dado. (b) Após, tomamos os expoentes de cada um dos fatores primos (escritos uma única vez), a cada um dos expoentes adicionamos uma unidade.

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John Taylor Paiva

(c) Em seguida multiplicamos os números obtidos, com o que obtemos a quantidade de divisores (QD) do número dado.

Ex1.: Qual o número de divisores de 72? Sol.: como 72 = 23 . 32  QD(72) = (3 + 1).(2 + 1) = 4 . 3 = 12 1.5. MÁXIMO DIVISOR COMUM – MDC O MDC entre dois ou mais números dados, é o maior dos divisores comuns aos números dados.

DETERMINAÇÃO do MDC de DOIS ou MAIS NÚMEROS PRIMEIRO PROCESSO: Intersecção entre o Conjunto dos Divisores (a) Determinamos o conjunto dos divisores de cada um dos números dados; (b) Determinamos o conjunto dos divisores comuns, ou seja, a intersecção entre os conjuntos de divisores; (c) O MDC entre os números dados é o maior dos divisores comuns aos números dados.

Ex.: Determinar o MDC entre 36 e 42. 14


Sol.: Como: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; D(42) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 42} e D(36)  D(42) = {1, 2, 3, 4, 6} Portanto, o MDC(36, 42) = 6 SEGUNDO PROCESSO: Decomposição em Fatores Primos (a) Decompõem-se os números dados em fatores primos; (b) A seguir, forma-se o produto entre os fatores comuns a ambos, utilizando os fatores com menores expoentes.

Ex.: Determinar o MDC entre 24, 32 e 48. Sol.: Como: 24 = 23.3; 32 = 25; 48 = 24.3; Logo, MDC (24, 32, 48) = 23 = 8 TERCEIRO PROCESSO: Divisões Sucessivas (a) Divide-se o maior dos números dados pelo menor; se a divisão for exata, o MDC é o menor deles. (b) Se não for exata, divide-se o menor número pelo resto obtido anteriormente, e assim sucessivamente 15

John Taylor Paiva

até se obter resto nulo. O ultimo divisor obtido será o MDC entre os números dados.

Ex.: Qual o MDC entre 24 e 32. 

1 3 32  24  8 08  0 

Logo, MDC(24, 32) = 8 1.6. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM – MMC O MMC entre dois ou mais números, é o menor múltiplo comum, diferente de zero.

DETERMINAÇÃO DO MMC DE DOIS OU MAIS NÚMEROS PRIMEIRO PROCESSO: Intersecção entre os Conjuntos de Múltiplos (a) Determinamos o conjunto dos múltiplos de cada um. (b) Determinamos o conjunto dos múltiplos comuns, isto é, a intersecção entre os conjuntos de múltiplos. (c) O MMC entre os números dados, é o menor dos múltiplos comuns aos números dados, diferente de zero. 16


Ex.: Determinar o MMC entre 5 e 6 Sol.: Como: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}; M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} e M(5)  M(6) = {0, 30, ...} Portanto, MMC (5, 6) = 30 SEGUNDO PROCESSO: Decomposição em Fatores Primos (a) Decompõem-se em fatores primos os números dados. (b) A seguir forma-se o produto entre os fatores comuns e não-comuns, utilizando os fatores com maiores expoentes.

Ex.: Determinar o MMC (24, 32, 48) Sol.: 24 = 23 . 3; 32 = 25; 48 = 24 . 3  MMC

(24, 32, 48) = 25 . 3 = 96

TERCEIRO PROCESSO: Decomposição Simultânea (a) Decompomos, simultaneamente, os números dados em fatores primos, onde ao lado direito destes, 17

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traçamos uma reta vertical, onde ficarão os divisores simultâneos. Abaixo de cada número, colocamos o quociente obtido. (b) Nesse processo, devemos seguir a ordem crescente dos números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...}, até que todos os quocientes sejam 1.

Ex.: Determinar o MMC (12, 16, 24) 12, 18  2 3, 6, 9  2 3, 3, 9  3 1, 1, 3  3 1, 1, 1  3

 6,

Logo, (12, 16, 24) = 2.2.2.2.3 = 24.3 = 48

18


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John Taylor Paiva

FUNDAMENTOS 02 2.1. POTENCIAÇÃO É uma multiplicação de fatores iguais.

Ex.: 4 . 4 . 4;

3 . 3 . 3;

2 . 2 . 2 . 2

POTÊNCIA de EXPOENTE NATURAL Dados um número real “a” e um natural n > 1, chama-se potência enésima de “a”, e indica-se por an, o produto de “n” fatores iguais a “a”.

SIMBOLICAMENTE an = a . a . a ... . a Onde “a” é a BASE (o número cuja potência se calcula); “n” o EXPOENTE (o número de ordem da potência, que indica quantas vezes o fator (base) se repete); E a sequência de “a” ... Os “n” fatores.

Ex.: 3.3 = 32  lê-se:

de três) 20

três elevado a 2.ª potência (2.ª potência


ORDEM DA POTÊNCIA A ordem da potência é dada pelo número de fatores.

Ex.: 5 é a 1.ª potência de 5; 5 x 5 é a 2.ª potência de 5; 2.2. CASOS ESPECIAIS a) EXPOENTE 1 (um)  Por

definição, temos:  a1 = a

b) EXPOENTE ZERO  Por

definição, temos:  a0 = 1

SE LIGUE!  00 = !

 05 = 0

e

c) EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO  Temos:

an =

1

a

n

,a≠0

d) EXPOENTE PAR E IMPAR  Quando

temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR , o resultado será positivo. 21

John Taylor Paiva

Se for elevado em qualquer expoente IMPAR , o resultado será negativo.

Ex.:  (-5)2 = (-5) . (-5) = 25  (-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8 e) PARÊNTESES 2  (-5)

≠ -52. No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5. Considera-se -52 = -(5 . 5) = -5

f) POTÊNCIA SUCESSIVA 3

2

3

2

3

5 ≠ (5 ), pois: em 5 efetua-se antes, 23 = 8 obtendo-se 58 e o segundo multiplica-se os expoentes, resultando em 56. Portanto, 58 ≠ 56. 

2

2.3. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 1- PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE É uma potência de mesma base e cujo expoente é a soma dos expoentes das potências que estamos multiplicando, ou seja, conserva-se a base e somam-se os expoentes. 

 am x an = am+n

Ex.: 53 . 57 = 53+7 = 510 22


2- DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE É uma potência de mesma base e cujo expoente é a diferença entre os expoentes das potências em operação, ou seja, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 



a

m

b

n

= am-n

Ex.: 34 : 32 = 34-2 = 32 3- POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA É uma potência cuja base é a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes que figuram no enunciado, ou seja, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 

 (am)n = amxn

Ex.: (52)3 = 52x3 = 56 4- POTÊNCIA DE UM PRODUTO Eleva-se cada fator ao expoente, ou seja, distribuise o expoente para os fatores e multiplicam-se as potências assim obtidas. 

 (a . b)n = an . bn 23

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Ex.: (2 . 3)3 = 23 . 33 5- POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE Eleva-se o dividendo e o divisor a esse expoente. n

 a     =  b 

Ex.:

2

3 5  

=

a

n

b

n

, b≠0

2

3

2

5

6- POTÊNCIA DE BASE FRACIONÁRIA E EXPOENTE NEGATIVO Inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente. n

 a   b     =    b   a  4

n

4

 3   5  Ex.:   =   =  5   3 

5

4

4

4

7- DISTRIBUTIVA DA POTÊNCIAÇÃO EM RELAÇÃO À MULTIPLICAÇÃO Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. Aqui temos o segundo caso: expoentes iguais. 24


GENERALIZANDO, temos: ● am . bm = (a . b)m

Ex.: 65 . 95  6·9·6·9·6·9·6·9·6·9  Então: 65 · 95 = (6 · 9)5

8- DISTRIBUTIVA DA POTÊNCIAÇÃO EM RELAÇÃO À DIVISÃO Esta propriedade acima também é verdade para uma divisão.

GENERALIZANDO, temos: ●

a

n

b

n

Ex.:

 a 

n

= 

 b 

8

4

5

4



 Então:

8 8 8 8

. . .

5 5 5 5

8

4

5

4

 8   5 

4

= 

25

John Taylor Paiva

26


FUNDAMENTOS 03 3.1. RADICIAÇÃO É a operação inversa da Potenciação, porque a operação inversa de elevar a uma potencia, é extrair uma raiz.

SIMBOLICAMENTE  Símbolo

de Raiz Quadrada ( Radical)

 bn = a  “b” é a raiz enésima de “ a” e por sua vez, “a” é a potência enésima de “ b”. Ou seja, “b” é o número que multiplicado por ele mesmo “n” vezes resulta “a”. n

a b

ONDE: b = raiz; a = radicando; n = índice Ex.: 9 = 3  32 = 9  Quer dizer, como 32 = 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9, porque 3 2 = 9. Isto é, deve-se procurar qual o número que multiplicado por ele mesmo duas vezes resulta nove. RAIZ ENÉSIMA de um NÚMERO REAL “a”

Para determinar a raiz enésima de um número real qualquer, temos: 27

John Taylor Paiva

1.º CASO – O ÍNDICE “n” É PAR a) QUANDO O NÚMERO REAL “a” é POSITIVO (a > 0) 

n

a

Ex.:

=b 49

= 7, pois 72 = 7.7 = 49

b) QUANDO O NÚMERO REAL “a” é NEGATIVO (a < 0) Ɇ

Ex.:

n

a  4 não se define em R.

4  81 não

se define em R.

2.º CASO – O ÍNDICE “n” É IMPAR  a expressão tal que bn = a.

n

a é um único número real “ b”

LEITURA A leitura do Radical é feita de acordo com o índice.

Ex.: 16 28

 Raiz

quadrada de dezesseis


3

8  Raiz

cúbica de oito

3.2. PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 1. PRODUTO das RAÍZES A Raiz enésima de um produto “ a.b” é igual ao produto das raízes enésimas dos fatores, se a  0 e b  0. 

● n ab =

n

a

. n b

Ex.: 4.9 = 4 .

9

2. QUOCIENTE das RAÍZES a

A raiz enésima de um quociente “ ”, para a  0 e b

b  0, é igual ao quociente das raízes enésimas dos termos da divisão. 

●

Ex.:

a n

b

25 9

=

=

n

a

n

b

2

5

2

3

ou

5 3  

2

29

John Taylor Paiva

3. SIMPLIFICAÇÃO de RADICAIS Multiplicando-se ou dividindo-se o índice de um radical e o expoente do radicando por um mesmo número não-nulo, o valor do radical não se altera. ● n am =

n.p

a

m.p

, a  0

Ou ● n a m = a m:p , a  0, p  0 e “p” divisor comum de “m” e “n”. n : p

Ex.:

3

= 8 =

7

3

3.5 6

71.5

23

=

=

15

6:3

75

23:3

=

2

4. POTENCIAÇÃO de RADICAIS Para elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. ●

 a

m

n

= n a m , a  R + , n  Z+ , m  Z.

Ex.:  8  = 4

2

4

(23 )2

=

4

26

=

4

24

.22 =

2 4 22

=

2 2

5. RADICIAÇÃO de RADICAIS Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices dos radicais e conserva-se o radicando. 30


●

m n

Ex.:

a= 3

64

VEJA:

3

a , a  R + , m e n  Z+.

m.n

=

3.2

64

=

64

3

= 8

6

=

26

3

= 2

23

=2

6. EXTRAÇÃO de um FATOR do RADICANDO – (POTÊNCIA de um EXPOENTE RACIONAL) ● .n am = am/n , a  R + , n  Z+ , m  Z.

Ex.: 101/2 =

10

7. INTRODUÇÃO de um FATOR no RADICANDO Basta escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.

Ex.: dados 2.3.5, introduzir o fator 2: 2

3

5

=

3

23.5

=

3

8.5

=

3

40

RADICAIS SEMELHANTES Quando apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Ex.:

3 5

e 2

5

4 3 2 , 3 3 2 e 7 3 2 31

John Taylor Paiva

REDUÇÃO de RADICAIS ao MESMO ÍNDICE 1. Achar o m.m.c. dos índices; 2. O m.m.c. encontrado será o índice dos radicais procurados. 3. Divide-se o m.m.c. pelo índice do radical dado e multiplica-se o resultado pelo expoente do radicando. Ex.: Obtenha radicais semelhantes com mesmo índice: 5 e 2 . 3

Sol.:

4

3

5

=

12

54

e

4

2

=

12

23

3.3. A RACIONALIZAÇÃO Veja:

3 2

Numerais deste tipo, ou seja, frações

que apresentam radical em denominador tornam complicados determinados cálculos. Então é conveniente converter estas frações em outras equivalentes que não apresentem radical em denominador. O processo utilizado para fazer esta conversão recebe o nome de Racionalização de denominador.

CASO I  O denominador é constituído por um único termo. 32


1.º TIPO: o denominador contém radical de índice 2  Multiplicam-se ambos os termos da fração pelo radical de índice 2 do denominador. 5

Ex.: 4

3

3. 3

4 2



3 2

5 3





3 2. 2



5 3 32

4 2 3 22





5 3 3

4 2 4 2 2 2   3.2 6 3

2.º TIPO: o denominador contém radical de índice diferente de 2  Multiplicam-se ambos os termos da fração por um radical de mesmo índice, cujo radicando tenha a mesma base e expoente igual à diferença entre o índice e o expoente do radicando já existente. Ex.:

5 4

2



5 4 23 4

2.4 23

6 5 23



5 4 23 4

24

54 8  2

6 5 23

65 8 6 5 8 35 8      5.2 10 5 55 22 55 22 .5 23 55 25 6

3.4.

FATOR RACIONALIZANTE

Radical pelo qual os termos da fração são multiplicados.

CASO II  O denominador é constituído por uma soma ou diferença de dois termos, dos quais pelo menos um contém radical de índice 2. 33

John Taylor Paiva

1.º TIPO: o denominador é constituído por uma soma indicada  Multiplicam-se ambos os termos da fração pela diferença entre os mesmos termos da soma. Ex.: 

2



5 1

2( 5  1)  4

2 2 2



2( 5  1) ( 5  1)( 5  1)



2( 5  1) 5 1

5 1 2

3(2  2) (2  2)(2  2)



3(2  2) 3(2  2)  42 2

2.º TIPO: o denominador é constituído por uma diferença indicada  Multiplicam-se ambos os termos da fração pela soma dos mesmos termos da diferença. Ex.1: 

34

15  3



6( 15  3) ( 15  3)( 15  3)

6( 15  3) 6( 15  3)   3 15  3 15  3 2

Ex.2: 

6

14 3 2



14(3  2) (3  2)(3  2)

14(3  2)  2(3  3) 7



14(3  2) 92


35

John Taylor Paiva

FUNDAMENTOS 04 NÚMEROS FRACIONÁRIOS ou FRAÇÃO e DECIMAIS 4.1. FRAÇÃO É uma ou mais partes da unidade. Nós adquirimos a noção de número fracionário dividindo uma coisa, considerada como um todo, em partes iguais e tomando apenas uma ou algumas dessas partes. O todo é chamado de UNIDADE e cada uma das partes em que foi dividido é representada por um numeral chamado FRAÇÃO.

TERMOS DA FRAÇÃO NUMERADOR  Indica quantas partes iguais são tomadas. DENOMINADOR  Indica em quantas partes iguais a unidade, ou seja, o todo foi dividido. a)

3 5



» São tomadas três partes iguais

(numerador). » O todo foi dividido em cinco partes iguais (denominador).

36


b)

7 5



» São tomadas sete partes iguais

(numerador). » Cada unidade foi dividida em cinco partes iguais (denominador).

LEITURA NÚMEROS FRACIONÁRIOS 1.º Caso: O denominador é 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9. Lê-se: meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo e nono. 2.º Caso: O denominador é 10, 100, 1.000 etc. Lê-se: décimo, centésimo, milésimo, décimo milésimo, centésimo milésimo, milionésimo. 3º Caso: O denominador não é 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 nem potência de dez (10,100, 1000, etc.) Lê-se: diz o número e em seguida a palavra avos. 4.2. NOMES das FRAÇÕES FRAÇÕES DECIMAIS As frações que apresentam como denominador o dez ou uma potência de dez (10, 100, 1.000, etc.). 37

John Taylor Paiva

FRAÇÕES ORDINÁRIAS São as demais frações.

4.3. CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES FRAÇÃO PRÓPRIA Quando o numerador é menor do que o denominador. Ela é um numeral que representa uma parte do objeto tomado como unidade.

Ex:

3 4

< 1.

FRAÇÃO IMPRÓPRIA Quando o numerador é maior do que o denominador. Ela é um numeral que representa uma quantidade maior que a unidade.

Ex.:

6 5

> 1.

FRAÇÃO APARENTE Quando o numerador é múltiplo do denominador, isto é, o numerador é divisível pelo denominador. Ela é um numeral de um número natural.

38


Ex.:

8 4

= 2.

NUMERAL MISTO É uma fração com a parte inteira. Lê-se: primeiramente, a parte inteira do numeral acompanhada da palavra inteiro(s) e, em seguida, lê-se a parte fracionária. 1

Ex.: 2

3



7 3

unidade

unidade

unidade 1

2 inteiros

3

Cada uma das unidades representadas acima foi dividida em 3 partes iguais. Observe que inteiras e mais

1 3

7 3

é o mesmo que duas unidades

da unidade. Portanto, a fração

a dois inteiros mais

1 3

e escrevemos

7 3

7 3

é igual

1

=2 . 3

39

John Taylor Paiva

O número 2

1 3

é composto de uma parte inteira (2)  1 

e de uma parte fracionária   e, por isso, é chamado  3 

“Número Misto”.

FRAÇÃO EQUIVALENTE Duas ou mais frações são equivalentes quando apresentam a mesma parte do inteiro. 2 3 4 6 8 12

Indicação: 2 3

4

8

6

12

≈ ≈

As figuras representam o mesmo objeto dividido em 3, 6 e 12 partes. Os objetos podem ser representados pelos numerais

2 3

;

4 6

e

frações equivalentes. 40

8 12

. Tais frações são denominadas


O RECONHECIMENTO de DUAS FRAÇÕES EQUIVALENTES Duas frações são equivalentes quando o produto do numerador da 1.ª com o denominador da 2.ª é igual ao produto do denominador denominador da 1.ª com com o numerador numerador da 2.ª.

4.4. PROPRIEDADE das FRAÇÕES 1- Multiplicar (ou dividir) o numerador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, ela ficará multiplicada (ou dividida) pelo número. Ex.: 73 . 2 = 67  67 é 2vez > 

3

: 3 = 7

1 7



3 7

1

3 é 3vez . < 7 7

2- Multiplicar (ou dividir) o denominador de uma fração por um número qualquer, diferente de zero, o valor da fração ficará dividido (ou multiplicado) por esse número. Ex.: 

2

. 2 = 12

2

: 4 = 12

2 3

 24 2

2

é 2vez < 24

 é 4vez >

2 12

2 12

.

41

John Taylor Paiva

3- Multiplicar (ou dividir) ambos os membros de uma fração por um mesmo número diferente de zero, o valor da fração são se altera. Ex.: 27 =

4

= 14

8

= 28

16 56

= ...

4.5. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÃO Significa em reduzir a uma fração equivalente cujos termos sejam primos entre si. A divisão não é mais possível. A fração obtida é chamada de Fração Irredutível. (Quando o m.d.c. entre o numerador e o denominador denominador é 1).

1.º PROCESSO – Dividir sucessivamente os termos da fração fração por um divisor comum, comum, diferente de 1 = Ex.: 24 36 fração irredutível).

12 18

=

6 9

=

2 3

(São primos entre si –

Dividir ambos os membros da 2.º PROCESSO – Dividir fração pelo M.D.C. entre eles.

Ex.:

24

= 36

2 3

 M.D.C.

(24, 36) = 12

4.6. REDUÇÃO de FRAÇÕES ao MESMO DENOMINADOR Basta extrair o M.M.C. entre os denominadores, o qual será o denominador comum. A seguir, divide-se o 42


M.M.C. obtido pelo denominador de cada uma das frações, e o resultado obtido multiplica-se pelo numerador – ou ou seja: constroem-se frações equivalentes às frações dadas.

Ex.: 23 , 34 , (60 : 3).2 ).2 60

Logo:

;

40

4 5

 M.M.C.

(60 : 4).3 ).3 60

, 60

45

, 60

;

(3, 4, 5) = 60

(60 : 5).4 60

48 60

4.7. COMPARAÇÃO de FRAÇÕES 1.º Caso: Frações com o mesmo Denominador  Será maior a que tiver o MAIOR numerador. Ex.:

4 5 2



5

4 5

>

2.º Caso: Frações com o mesmo Numerador Será maior a que tiver o MENOR denominador. Ex.:

2 5



3 5



3 7

3 5

>

3 7

3.º Caso: Frações com Numeradores e Denominadores diferente  Reduz-se a um dos casos anteriores. 43

John Taylor Paiva

4.8. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 1) ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO de FRAÇÕES 1.º Caso: Frações com o mesmo Denominador  Conserva-se o denominador comum e adicionam-se ou subtraem-se os numeradores. Ex.1: 27 + 17 = Ex.2: 27 - 17 =

2

1 7

1

2

7

=

=

3 7

2 7

2.º Caso: Frações com o Denominador diferentes  Determina-se o M.M.C. entre ao denominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores, e recai-se no primeiro caso. 9 10  9 19 + = = 15 Ex.1: 23 + 35 = 10 15 15 15

9 1 10  9 = = Ex.2: 23 - 53 = 10 15 15 15 15

2) MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO de FRAÇÕES MULTIPLICAÇÃO  O produto de várias frações é obtido pela multiplicação dos numeradores entre si e dos denominadores entre si. Ex.: 44

2 3

.

5 7

. 13 =

2.5.1 3.7.3

=

10 63


SE LIGUE! N multiplicação, podemos simplificá-la antes de efetuar a multiplicação. A simplificação pode ser feita com numerador e denominador da mesma fração ou com numerador de uma fração e denominador de outra. Ex.:

1 3 5

x

17 4 1

x

16

4

3 1



1 5

x

17 1

x

4



1

68 5

* A simplificação só pode ser feita na multiplicação.

DIVISÃO  Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda. Ex.:

2 6 15 6 4 2x4 8 : x    5 4 5 15 5 5x5 25

Ex.:

1 3 7 4 28 2 :  x  3 4 3 3 9

45

John Taylor Paiva

4.9. NÚMEROS DECIMAIS São todos os números caracterizados pela presença de uma virgula.

Ex.: 0,3 e 0,12. Veja que 0,3 e

3 10

são numerais diferentes do

mesmo número e que a virgula separa a parte inteira da parte decimal.

LEITURA dos NÚMEROS DECIMAIS Lê-se a parte inteira (se tiver), seguida do nome “unidades” e depois a parte decimal, seguida da posição decimal de seu último algarismo da direita.

Ex.: 0, [décimos] [centésimos] [milésimos] [décimos milésimos] ... 0,4  quatro décimos; 0,0012  doze décimos de milésimos 7,342  sete unidades e trezentos e quarenta e dois milésimos.

46


4.10. TRANSFORMAÇÃO de FRAÇÃO DECIMAL em NÚMERO DECIMAL Escreve-se o numerador da fração com tantas casas decimais quantas forem os zeros do denominador.

Ex.:

2 10

4 1000

= 0,2  1 casa decima, 1 zero

= 0,004  3 casa decima, 3 zero

4.11. TRANSFORMAÇÃO de NÚMERO DECIMAL em FRAÇÃO DECIMAL O numerador é o número decimal sem a virgula e sem os zeros iniciais; o denominador é o número 1 (um) seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número.

Ex.: 3,25 =

325 100

4.12. PROPRIEDADES dos NÚMEROS DECIMAIS 1- Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou retira-se um ou mais zeros de sua parte decimal. Ex.: 0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,700... 47

John Taylor Paiva

2- Ao multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 etc., a virgula se desloca uma, duas, três, etc. casas decimais para a direita. Ex.: 27,342 . 10 = 273,42 27,342 . 100 = 2734,2

3- Ao se dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a virgula se desloca uma, duas, três, etc. casas decimais para a esquerda. Ex.: 27,342 : 10 = 2,7342 27,342 : 100 = 0,27342

4.13. OPERAÇÕES com NÚMEROS DECIMAIS ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO  Colocam-se os números decimais uns sob os outros, de modo que as vírgulas fiquem uma embaixo da outra. A seguir igualam-se as casas decimais completando-as com zeros e, efetua-se a adição ou subtração. Ex.: 13,273  2,48 = 13,273 + 2,48 15,753

48

13,273 - 2,48 10,793


MULTIPLICAÇÃO  Considere-se como se fossem números naturais, e após obtermos o produto levaremos em conta as casas decimais, tantas quantas as do multiplicando com as do multiplicador. Ex.: 243,5 x 2,53 =

243,5 2,53 7305 12175 4870 . 616,055

* 1 casa + 2 casas = 3 casas

DIVISÃO  Efetua como se fossem naturais, reduzindo-se tanto o dividendo como o divisor a numerais contendo o mesmo n.º de casas decimais; e cortando-se as vírgulas. Se após igualarmos as casas decimais o dividendo for menor do que o divisor, coloca-se no quociente um zero, seguido de uma virgula e acrescentando-se zero no dividendo, e assim efetua-se a operação.

Ex.: 432,32:211,6 = (Aproximação: 0,01) 43232 0091200 06560

 21160 2,04

Ex.: 2,3:11,42 = (Aproximação: 0,001) 49

John Taylor Paiva

 1142 0,201

2300 001600 0458

CONVERSÃO de FRAÇÃO ORDINÁRIA em NÚMERO DECIMAL Divide-se o numeral correspondente numerador pelo numeral correspondente denominador.

Ex.:

3 4

ao ao

= 0,75

CONVERSÃO de NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO ORDINÁRIA Transforma-se o numeral decimal em fração decimal e, em seguida, faz-se a simplificação.

Ex.: 0,6 =

6 10

=

3 5

4.14. DÍZIMA PERIÓDICA ou NUMERAIS PERIÓDICOS São os numerais decimais em que há repetição periódica e indefinida de um ou mais algarismos.

Ex.: 50

6 11

= 0,5454...


Veja que sempre se repetem os algarismos 5 e 4. O resto nunca será zero. =

0,54 =

0,[54] = 0,(54)

PERÍODO Parte que se repete indefinidamente. No exemplo anterior é “54”.

DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES Quando o período começa logo após a virgula.

Ex.: 1,55... Ex.: 2,33... DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA Quando o período não aparece logo após a virgula.

Ex.: 1,244... Ex.: 0,266... FRAÇÃO GERATRIZ É a fração que dá origem a uma dízima periódica. 51

John Taylor Paiva

Ex.: A geratriz do n.º 1,666... é

52

5 3


53

John Taylor Paiva

FUNDAMENTOS 05 5.1. CÁLCULO LITERAL Na Álgebra, procuraremos com o auxilio de Letras, representar ou traduzir em linguagem Matemática as operações estudadas em Aritmética.

VARIÁVEL ou INCÓGNITA A letra que representa qualquer número ou um conjunto de números.

Ex.: 2x onde “x” poderá representar qualquer número. Então 2x estará representando o dobro desse número. 

CONSTANTE OU COEFICIENTE O número que representa uma quantidade que no caso do exemplo anterior é o valor dois.

5.2. EXPRESSÕES NUMÉRICAS São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Ex.: 7 + 5 + 4 (6 + 8) – 10 54

5 + 20 – 87 (5 . 4) + 15


5.3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ou LITERAIS São expressões matemáticas que apresentam letras e/ou números.

Ex.: 2a + 7b

(3c + 4) – 5

23c + 4

TERMO ALGÉBRICO ou LITERAL Todo produto de constantes e variáveis.

5.4. CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS RACIONAL NÃO contém variável sob radical NEM variável elevada à expoente fracionário. Ex.:

3

.x + 5 = 4

x2 +

4

1 x + =0 2 3

IRRACIONAL CONTÉM variável sob radical OU variável elevada à expoente fracionário. Ex.:

x  1

= 3

1 1 2 x  5 x 2

=4

55

John Taylor Paiva

INTEIRA NÃO contém variável em denominador NEM variável elevada à expoente negativo. Ex.:

x  3 2x  1  3 4 5

x  2 x  3  8 ab ab

FRACIONÁRIA CONTÉM variável em denominador OU variável elevada à expoente negativo. Ex.:

x  1 x  3  5 x  3 x  2

x 2  3 x 1  4  0

5.5. POLINÔMIOS É uma expressão algébrica de dois ou mais termos, onde os expoentes são números naturais, ou seja, é toda expressão algébrica racional inteira.

DENOMINAÇÃO Conforme a quantidade de termos, o polinômio recebe denominação especial. As expressões podem ser dos tipos: Monômio, Binômio, Trinômio, etc.

Ex.: m(x,y) = 3 xy b(x,y) = 6 x2y - 7y 56

f(x) = a x2 + bx + c


MONÔMIOS Quando não apresenta as operações de adição e subtração entre constantes e variáveis, ou seja, constituída por um único termo algébrico.

Ex.: -6x2y3 Onde o coeficiente = -6 e a parte literal = x2y3

GRAU DE UM MONÔMIO É indicado pela soma dos expoentes da parte literal.

Ex.: O monômio 2x2y3 é do 5.° grau. SE LIGUE! Pode-se, no entanto, indicar o grau de um monômio em relação a uma determinada letra. Ex.: O monômio 2x2y3 é do 2.° grau em relação a “x ” e do 3.° grau em relação a “ y ”. GRAU DE UM POLINÔMIO É indicado pelo termo de maior grau.

Ex.: O polinômio 2x2y – 3x2y3 + 5xy é do 5.° grau.

57

John Taylor Paiva

SE LIGUE! Podemos também determinar o grau de um polinômio em relação a uma das variáveis. O maior grau da variável considerada indica o grau do polinômio. Ex.: O polinômio 2x2y4 – 3x3y + 4xy2 é do 3.° grau em relação a “x ” e do 4.° grau em relação a “ y ”. POLINÔMIO HOMOGÊNEO É o polinômio que tem todos os termos do mesmo grau.

Ex.: 2x2y3 – 3x3y2 + 5x4y + 7x5 é homogêneo do 5.° grau. POLINÔMIO COMPLETO Em relação a uma letra, quando ele contém todas as potências dessa letra, desde a de maior grau até a de grau zero.

Ex.: 2x3y2 – 3xy4 + 5x2y5 – xy3 + 2x5y + 7x7 É completo em relação a “y”, porque contém todas as potencias dessa letra, desde a do 5.° grau (5x2y5), até a de grau zero (7x 7), inclusive. É incompleto em relação a “x”, porque não contém os termos do 6.° grau, do 4.° grau e zero, em relação a “x”. 58


SE LIGUE! Podemos completar um polinômio incompleto, em relação a uma letra, acrescentando-se os termos das potências dessa letra que estejam faltando, termos esses com coeficientes nulos. Ex.: Completar o polinômio: 5x5 – 3x + 4x3 – 7 Sol.: 5x5 – 3x + 4x3 – 7 + 0x4 + 0x2 POLINÔMIO ORDENADO Em relação a uma letra, quando os termos desse polinômio, se dispõem numa ordem natural crescente ou decrescente das potências dessa letra.

Ex.: 2xy5 – 4x3y3 + 3x4y – 2x5 Está ordenado decrescentemente em relação à letra “x”.

Ex.: 5x4 + 3x2 – 2x – 8 decrescentemente.



Ordenado

Ex.: – 8 – 2x + 3x2 + 5x4 crescentemente.



Ordenado

VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos. 59

John Taylor Paiva

Ex.: Se p(x,y) = 3x2y  P/ x = 7 e y = 2  p(7,2) = 3 . 72 . 2 = 294

TERMOS SEMELHANTES São termos que possuem a mesma parte literal.

Ex.: -3a e 4a são termos semelhantes. REDUÇÃO de TERMOS SEMELHANTES Quando tivermos dois ou mais termos semelhantes, reduzimos todos a um único termo somando ou subtraindo os coeficientes e conservando a parte literal.

Ex.: 2x2 – 4x2 + 5x2 = 3x2 ELIMINAÇÃO de PARÊNTESES em MONÔMIOS Deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro dos parênteses com o uso da regra dos sinais.

Ex.: a) -(4x)+(+7x)=-4x+7x=3x b) +(4x)+(-7x)=4x-7x=- 3x

60


5.6. A IMPORTÂNCIA das EXPRESSÕES MATEMÁTICAS No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Ex.: São encontradas em fórmulas matemáticas e no cotidiano, como por exemplo, na compra de um livro e dois lápis, se V é o total de dinheiro disponível e T é o troco, então temos uma expressão do tipo V - (1x+2y) = T. 5.7. OPERAÇÕES com EXPRESSÕES ALGÉBRICAS de MONÔMIOS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Faz-se a eliminação dos parênteses e a seguir a redução dos termos semelhantes, se existirem.

Ex.: 4x+(3x – 2)=4x+3x – 2=7x – 2 8x – (2x+4)=8x – 2x – 4=6x – 4

VEJA que na subtração troca-se os sinais dos termos nos parênteses. MULTIPLICAÇÃO Efetuam-se a multiplicação dos coeficientes observando com muito cuidado a regra de multiplicação 61

John Taylor Paiva

dos sinais, e, após das partes literais, obedecendo às regras de potenciação.

Ex.: (3x) . (4xy) = 12x2y MULTIPLICAÇÃO de MONÔMIO por POLINÔMIO Efetua-se a multiplicação do monômio por todos os termos do polinômio (Propriedade Distributiva).

Ex.: 2x2 . (3x + 2x2 – 4x3) = 6x3 + 4x4 – 8x5 DIVISÃO Para dividir monômios, devem-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, e, após das partes literais, obedecendo as regras de potenciação.

Ex.: a) (12x5) : (2x3) = 6x2 DIVISÃO de um POLINÔMIO por um MONÔMIO Efetua-se a divisão de cada um de todos os termos do polinômio pelo monômio.

Ex.: 12x3 – 18x2 + 4x por 3x = (12x3 – 18x2 + 4x) : (3x) 62


DIVISÃO de um POLINÔMIO por POLINÔMIO Nesta divisão podemos utilizar alguns métodos.

5.8. MÉTODO DA CHAVE Ex.: 3x2 – 2x – 10 por x – 3 a) Divida o 1.º termo do dividendo (3x 2) pelo 1.º termo do divisor (x) e obtenha o 1.º termo do quociente (3x). b) Multiplique o 1.º termo do quociente (3x) pelos termos do divisor, colocando os produtos com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes. Reduza os termos semelhantes.

Ex.:

3 x 2  2 x  10

x  3

3 x 2  9 x 7 x  10  7 x  21

3 x  7

11  resto

RESUMINDO D = Dividendo; Q = Quociente

d = Divisor;

R = Resto;

D = d . Q + R gr(R) < gr(d) ou R(x) = 0 63

John Taylor Paiva

Ou seja, o Grau do Resto é menor que o grau de divisor ou o Resto é igual a zero. 5.9. DISPOSITIVO PRATICO DE BRIOT RUFFINI É um método muito simples e pratico para efetuar a divisão de um polinômio D(x) por um binômio do 1.° grau, da forma ax + b.

REGRA 1. Escrevemos numa mesma linha, separados por um traço vertical todos os coeficientes do dividendo D(x) escrito na forma completa e ordenada e logo abaixo, no inicio da segunda linha a raiz do divisor d(x); 2. Repetimos o 1° coeficiente do dividendo D(x) na segunda linha, ao lado da raiz, logo após o traço, que será o 1.° coeficiente do quociente Q(x); 3. Multiplicamos a raiz pelo 1.° coeficiente do quociente obtido e adicionamos o resultado ao 2.° coeficiente do dividendo, obtendo assim, o 2.° coeficiente do quociente Q(x); 4. Repetimos a última sequência para os coeficientes restantes.

64


ILUSTRAÇÃO Coeficientes de D(x) Raiz De d(x)

Coeficientes de Q(x)

Resto R(x)

Ex.: Dividir: D(x) = x3 + 3x2 – 2x – 6 por d(x) = x - 2 +

2

1

3

-2

-6

1

5

8

10

x

Como pelo método de Descartes temos: gr(Q) = gr(D) – gr(d), vem: gr(Q) = 3 – 1  gr(Q) = 2 Portanto, o polinômio quociente é do tipo: Q(x) = ax2 + bx + c  Q(x) = x2 + 5x + 8 65

John Taylor Paiva

Pela condição: gr(R) < gr(d), podemos concluir: R(x) = 10

5.10. TEOREMA DO RESTO O resto da divisão de um polinômio P(x) por (x – a) é R = P(a).

Ex.: O resto da divisão de P(x) = 2x 2 + 3x 2 – 3x – 2 por:

a) (x – 1) é P(1) = 2 . 13 + 3 . 12 – 3 . 1 – 2  P(1) =0 Aqui, verificamos que 1 é raiz de P(x)

b) (x + 1) é P(-1) = 2 . (-1)3 + 3 . (-1)2 – 3 . (-1) – 2  P(-1) = 2 SE LIGUE! Como consequência do teorema do resto temos: 5.11. TEOREMA DE D’ALEMBERT Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0.

Ex.: O polinômio P(x) = 3x3 – 10x2 + 2x + 3: a) É divisível por (x – 3), pois: P(3) = 3 . 33 – 10 . 32 + 2 . 3 + 3 = 0 66


b) Não é divisível por (x – 1), pois: P(1) = 3 . 13 – 10 . 12 + 2 . 1 + 3 = -2 ≠ 0. 5.12. RESOLUÇÃO de EXPRESSÃO MATEMÁTICA Nas operações em uma expressão numérica ou algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação 2. Multiplicação ou Divisão 3. Adição ou Subtração SE LIGUE!: Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }. Vejam algumas: Ex.1: (-3a) + [(5a) – (-4a) + (-a)] = -3a + [5a + 4a – a] = -3a + 5a + 4a – a = 5a

Ex.2: (6a) – [(-8b) – (5a) – (-2b)] = 6a – [-8b – 5a +2b] = 6a + 8b + 5a – 2b = 11a + 6b 67

John Taylor Paiva

Ex.3: (8x2) – {(-3y2) – [(7x2) – (6y2)]} = 8x2 – {-3y2 – [7x2 – 6y2]} = 8x2 – {-3y2 – 7x2 + 6y2} = 8x2 + 3y2 + 7x2 – 6y2 = 15x2 - 3y2

Ex.4:

68

 1   1   ax  4     2 ax      

 2   3      ay ay  5   10         

=



 1 1 ax   ax  4  2

=



1 ax 4

=



1 1 2 3 ax  ax  ay  ay 4 2 5 10

-

3  2   5 ay  10 ay    

2 3  1  ay   ax  ay  5 10  2 

=

1 13 ax  ay 4 10


69

John Taylor Paiva

FUNDAMENTOS 06 6.1. OS PRODUTOS NOTÁVEIS São produtos que surgem com frequência no cálculo algébrico. Para obter esses produtos, podemos utilizar a propriedade distributiva. No entanto, podemos obtê-los de forma menos trabalhosa se usarmos algumas regras (identidades) especiais.

1- QUADRADRO de um BINÔMIO-SOMA (Da SOMA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Ex.: (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4 2 - QUADRADO de um BINÔMIODIFERENÇA - (Da DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Ex.: (x – 4)2 = x2 – 2.x.4 + 42=x2 – 8x + 16 3 - PRODUTO de um BINÔMIO-SOMA PELO SEU BINÔMIO DIFERENÇA - (Da SOMA PELA DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b).(a – b) = a2 – b2 70


Ex.: (x + 3).(x – 3) = x2 – 32 = x2 – 9 4 - O CUBO de um BINÔMIO-SOMA (CUBO da SOMA de DOIS TERMOS) REGRA  (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Ex.: (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 5 - CUBO de um BINÔMIO-DIFERENÇA (CUBO da DIFERENÇA de DOIS TERMOS) REGRA  (a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 Ex.: (x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8 6 – PRODUTO DE DOIS BINÔMIO-SOMA COM O SEGUNDO TERMO DIFERENTE REGRA  (x + a).(x + b) =.x2 + x(a + b) + ab Ex.: (x + 2).(x + 3) = x2 + 5x + 6 7 – SOMA DE DOIS TERMOS ELEVADOS AO CUBO REGRA  a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Ex.: x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) 71

John Taylor Paiva

8 – SOMA DE DOIS TERMOS ELEVADOS AO CUBO REGRA  a3 – b3 = (a – b).(a2 + ab + b2) Ex.: x3-8 = (x – 2).(x2 + 2x + 4)

72


73

John Taylor Paiva

FUNDAMENTOS 07 7.1. FATORAÇÃO ALGÉBRICA É a operação que permite transformar uma expressão num produto indicado equivalente a esta expressão.

Ex1.: Decompor o número 90 em fatores primos. 90 = 2 x 32 x 5  Forma fatorada do número.

Ex2.: 2x + 6 = 2(x + 3) (a) FATOR COMUM EVIDÊNCIA



FATORES EM

Separamos o fator comum e formamos um produto de dois fatores, onde um dos fatores é o fator comum e o outro, que será colocado entre parênteses, obtido pela divisão do polinômio pelo fator comum.

Ex.: ax + ay = a(x + y) DETERMINAÇÃO DO PRODUTO INDICADO EQUIVALENTE (a) Escreve-se o fator comum; (b) Abrem-se parênteses e escrevem-se os quocientes da divisão de cada termo da expressão pelo 74


fator comum, fechando-se o parêntese após o último quociente.

DETERMINAÇÃO do FATOR COMUM (a) Isola-se a parte numérica da variável; (b) Extrai-se o M.D.C. da parte numérica, que será a parte numérica do fator comum; (c) Escrevem-se as letras que constam de todos os termos da expressão, com os seus menores expoentes, que será o fator comum literal (a parte variável do fator comum).

Ex.: 2x2y + 8x3y2 – 4x2y3 = 2x2y.(1 + 4xy – 2y2) m.d.c. (2,8,4) = 2 (numérica) e x2y (literal)  Fator comum  2x2y

Veja:

2 x 2y 1 2 x 2y

8x 2y 2  4 xy 2x 2y

4x 2y 2  2y 2 2 2x y

Ex.: 3a4x2 – 9a3x3 + 3a2x4 = 3a2x2 (a2 - 3ax + x2) m.d.c. (3,9,3)=2 (numérica) e (literal) a2x2  Fator comum  3a2x2 3a4 x 2 3a2 x 2

 a2

9a3 x 3 3a2 x 2

 3ax

3a2 x 4 3a2 x 2

 x 2

75

John Taylor Paiva

(b) FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO Agrupamos em vários grupos e se aplica quando não existe fator comum para todas as parcelas, mas partes da expressão (grupos) possuem.

Ex.: 3a2 + ac + 6ab + 2bc = a(3a + c) + 2b(3 a + c) = (3a + c) (a + 2b). Ex.: ax + ay + bx = by = a(x +y) + b(x + y) = (x + y) (a + b). (c) OS PRODUTOS NOTÁVEIS Todos os produtos notáveis vistos anteriormente estão aqui incluídos.

(d) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio.

Ex.: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

x 2  x

e

4 2

 O dobro do produto das raízes 2 . x . 2 = 4x, logo o trinômio é um quadrado perfeito.

Ex.: a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 76

tabuada notavel.pdf

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