´ ´ CALCULO III, INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACI ON Universidad Pedag´ ogica ogica y Tecnol´ ogica ogica de Colombia Taller 4
1. C´ alcule alcule las primeras primeras y segundas segundas derivadas derivadas parciales de las siguiente siguientess funciones: funciones: a ) f ( f (x, y) = x2 y
− xy4
d ) z = tan( tan (xy) xy )
b ) f ( f (x, y) = y sen−1 (yz) yz ) c )
e ) u(r, θ) = sen(r sen(r cos θ)
√ f ( f (x, t) = x ln t
f ) ) w = ye = ye (xz)
2. Determine Determine las derivadas derivadas parciales parciales indicadas indicadas a ) f ( f (x, y) = ln(
2
x + y 2 ),
(3, 4) f x (3,
b ) f ( f (x, y) =
x , x + y + y + + z z
f y (2, (2, −1, 0)
3. Mediante derivaci´ on on implicita determine ∂z/∂x determine ∂z/∂x y y ∂z/∂y a ) x2 + 2y 2y 2
− 3z 2 = 7
b ) yz + yz + x x ln(y ln(y) = xz
4. Compruebe Compruebe que la conclusi´ conclusi´ on del Teorema de Clairaut se cumple, es decir u xy = uyx para on a ) f ( f (x, y) = e xy sen y
b ) f ( f (x, y) = ln(x ln(x + 2y 2y)
√
5. Si f Si f ((x, y) = xy 2 z 3 +arcsin(x +arcsin(x z ) obtenga f obtenga f xyz al al orden de derivaci´on on es mejor emplear? xyz . Cu´ 6. Encuentr Encuentree la derivada derivada parcial indicada a ) f ( f (x, y) = x4 sen y
− x3y,
f xxx xxx , f xyx xyx
∂ 3 u ∂r 2 ∂θ
b ) u = e = e rθ sen θ,
2
7. Compruebe que la funci´on on u(x, t) = e−α Calor u Calor u t = α = α 2 uxx .
k2 t
sen(kx sen(kx)) es una soluci´on on de la ecuaci´on on del
8. Determine si cada una de las siguientes funciones es una soluci´on de la ecuaci´on on del Laplace u Laplace u xx + u + uyy = 0 a ) u = x = x3 + 3xy 3xy2 b ) u = e = e −x cos y
c ) u = ln( y
− e−
2
x + y 2 )
sen x
9. Si f Si f y g son funciones de una variable derivables dos veces, muestre que la funci´on on u(x, t) = f = f ((x + at + at)) + g + g((x − at) at) es soluci´ soluci´ on on de la ecuaci´on on de Onda u Onda u tt = a = a 2 uxx .
10. La ley de los gases para una masa fija m de un gas ideal a temperatura T , presi´ on P y volumen V absoluto es P V = mRT , donde R es la constante del gas. Muestre que ∂P ∂V ∂T = −1 ∂V ∂T ∂P 11. La energ´ıa cin´etica de un cuerpo cuya masa m y velocidad v es K = 21 mv2 . Muestre que ∂K ∂ 2 K = K ∂m ∂v 2 12. Determine la ecuaci´on del plano tangente a la superficie dada en el punto especifico. a ) z = 3(x
− 1)2 + 2y2 + 12y + 5,
b ) z = xe xy , c ) z = ln(x
(2, −1, −2)
(2, 0, 2)
− 2y),
(3, 1, 0)
13. Aplique la regla de la cadena para hallar dz/dt a ) z = cos(x + 4y),
x = 5t3 , y = 1/t
b ) z = tan−1 (y/x),
x = e t , y = 1 − e−t
c ) z = ln(
2
x + y 2 + w 2 ),
x = sen t, y = cos t, w = tan t
14. Mediante la regla de la cadena encuentre ∂z/∂s y ∂z/∂t a ) z = x 2 cos(y),
x = s sen t, y = e s t2
b ) z = sen φ cos θ,
φ = s − t, θ = s 2 t
15. Si z = f (x, y), donde x = rcosθ y y = r sen θ, muestre que ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ 2 z 1 ∂ 2 z 1 ∂z + = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂r 2 r2 ∂θ 2 r ∂r conocida como la ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares. 16. Para las siguientes funciones: Determine el gradiente de f y encuentre la razon de cambio de f en el punto P en la direcci´on del vector u. a ) f (x, y) = sen(3x b ) f (x, y) =
− 2y),
x + z 2 xy, y2
√
P (−2, 4), u = ( 3/2, −1/2) P ( 1, −2, 3), u =
1 13 (3i
+ 4 j + 12k)
17. C´ alcule la derivada direccional en el punto dado en la direcci´on del vector v . a ) f (x, y) =
x2
x , + y 2
b ) f (r, s) = tan−1 (rs), c ) f (x,y,z) =
√ xyz,
P (−2, 3), v = (3, 5) P (2, 1), v = (−1, 5) P ( 9, 1, 4), v = (−2, 3, −1)
18. Determine la m´ axima raz´on de cambio de f en el punto dado y la direcci´on en la cual se presenta.
a ) f (x, y) = 4y
√ x, 3
(8, 1)
b ) f (x, y) =
x + y , z
(1, 1, −2)
19. Encuentre la direcciones en las cuales la derivada direccional de f (x, y) = ye−xy en el punto (0, 2) tiene el valor de 1. 20. La segunda derivada direccional de f (x, y) se define como Du2 f (x, y) = Du [Du f (x, y)] Si u = (a, b) es un vector unitario y f tiene segundas derivadas parciales continuas, muestre que Du2 f = f xx a2 + 2f xy ab + f yy b2 y encuentre la segunda derivada direccional de f (x, y) = xe 2xy en la direcci´on del vector v = (2, 3). 21. Determine los puntos criticos, los valores m´ aximo y m´ınimo locales, y punto o puntos silla de las siguientes funci´ones. a ) f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + y
c ) f (x, y) = y cos x, 0
b ) f (x, y) = x 3
d ) f (x, y) = e y (y 2
− 12xy + 8y3
≤x≤π
− x2 )
22. Utilizando multiplicadores de Lagrange, encuentre los valores m´aximo y m´ınimo de la funci´ on sujeta a la restricci´on o restricciones dadas. a ) f (x, y) = 3x + y; x 2 + y 2 = 4 b ) f (x, y) = e xy ; x 3 + y 3 = 16 c ) f (x, y) = x 2 y 2 z 2 ; x2 + y 2 + z 2 = 1
d ) f (x, y) = 3x
− y − 3z; x2 + 2z 2 = 1, x + y − z = 0
e ) f (x, y) = x 2 + y 2 + z 2 ;
x − y = 1, y2 − z 2 = 1
23. Aplicando el metodo de multiplicadores de Lagrange obtenga la soluci´on para cada uno de los siguientes problemas. a ) Determine los puntos sobre la superfi2
c ) Encuentre las dimensiones de la ca-
cie y = 9 + xy que est´an m´as cercanos al origen.
ja con volumen de 1000cm3 que tiene m´ınima ´area superficial.
b ) Encuentre tres n´ umeros positivos cuya
d ) Determine las dimensiones de la caja
suma sea 12 y la suma de sus cuadrados sea tan peque˜ na como sea posible.
rectangular con el mayor volumen si el ´area superficial total es de 64cm2 .
Fecha de entrega: Miercoles 10 de Mayo de 2017.
