TEMA 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
Para los métodos iterativos obtener la solución de las incógnitas, cantidad de iteraciones y el error, para los métodos de factorización obtener las matrices de factorización. 1. Aplicar el Método de Newton Raphson para resolver el sistema de ecuaciones no lineales, con valores iniciales x=2, y=4, z=-1, para una tolerancia de 0.1%. 1 ( , , ) = 2 + − 37 2 ( , , ) ) = − 2 − 5 (,, ) = + + − 3 function F=F(X) x=X(1); y=X(2); z=X(3);
//Ejercicio 1 f1= f1=(x^2)+y-37 37;; f2= f2=x-(y^2)-5; f3= f3=x+y+z-3 ; F=[f1;f2;f3] f1;f2;f3]; endfunction function J=J(X) x=X(1); y=X(2); z=X(3);
//Ejercicio 1 df1x= df1x=2*x; df1y= df1y=1; df1z= df1z=0; df2x= df2x=1; df2y=df2y=-2 2*y; df2z= df2z=0; df3x= df3x=1; df3y= df3y=1; df3z= df3z=1; J=[df1x , df1y ,df1z ; df2x , df2y,df2z ;df3x,df3y,df3z ]; endfunction clc function newtonmultiple function newtonmultiple((X0 X0,, tol tol,, N) //x0 vector inicial i=1; eax( eax(1)=100 100;; eay( eay(1)=100 100;; eaz( eaz(1)=100 100;; X(:,1)=X0 X0;; while (abs abs((eax( eax(i)) ))> >tol tol)) & (abs abs((eay( eay(i)) ))> >tol tol)) & (abs abs((eaz( eaz(i)) ))> >tol tol)) &(i<= <=N N) X(:,i+ ,i+1)=X(:,i) ,i)-J(X(:,i)) ,i))\ \F(X(:,i)) ,i));; eax( eax(i+1)=abs abs(( ((X X(1,i+ ,i+1)-X(1,i)) ,i))/ /X(1,i+ ,i+1)*100 100)); eay( eay(i+1)=abs abs(( ((X X(2,i+ ,i+1)-X(2,i)) ,i))/ /X(2,i+ ,i+1)*100 100)); eaz( eaz(i+1)=abs abs(( ((X X(3,i+ ,i+1)-X(3,i)) ,i))/ /X(3,i+ ,i+1)*100 100)); i=i+1; end printf (' i \t x(i) y(i) z(i) Error x (i) Error y (i).Error z (i) \n' \n'));
for j=1:i; printf ('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %7.5f %12.5f %14.5f %16.5f \n' ,j-1,X(1,j),X(2,j),X(3,j),eax(j),eay(j),eaz(j)); end endfunction
CONSOLA newtonmultiple([2,4,-1],0.1,50) 2. Aplicar el Método de Punto Fijo para resolver el sistema del punto anterior, evaluando sólo uno de los posibles despejes. Utilizar el criterio de convergencia para determinar si el despeje seleccionado lleva a solución.
CONSOLA pfijom([2,4,-1],0.1, 50)
//Punto Fijo Múltiple function g=Gm(X) // Función para el método de punto // fijo multivariado con desplazamientos simultáneos x=X(1); y=X(2); Z=X(3);
//Ejercicio 1 g(1) = sqrt (37-y); g(2) = sqrt (x-5); g(3) = 3-x-y; endfunction clc function pfijom(x0, tol, maxiter) //Función para solucionar sistemas de ecuaciones no lineales //por Punto fijo multivariado i=1; eax(1)=100; eay(1)=100; eaz(1)=100; X(:,1)=x0; while ((abs(eax(i))>tol) | (abs(eay(i))>tol) | (abs(eaz(i))>tol))&(i<= maxiter) X(:,i+1) = Gm(X(:,i)); eax(i+1)=abs((X(1,i+1)-X(1,i))/X(1,i+1)*100); eay(i+1)=abs((X(2,i+1)-X(2,i))/X(2,i+1)*100); eaz(i+1)=abs((X(3,i+1)-X(3,i))/X(3,i+1)*100); i=i+1; end if i>=maxiter then disp('No converge') else printf (' i \t x(i) y(i) z(i) Error x (i) Error y (i) Error z (i) \n'); for j=1:i; printf ('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %7.5f %12.5f %16.5f %19.5f\n' ,j-1,X(1,j),X(2,j),X(3,j),eax(j),eay(j),eaz(j)); end end endfunction
3. Aplicar el método de Gauss- seidel con tolerancia 0.0001 y comparar los resultados con los obtenidos por medio del método LU.
Gauss Seidel
Recordar que en la diagonal no puede haber ceros function [sol, niteraciones, er]=gauss_seidel_matriz( A, b, x0, error_max)
//A es la matriz de coeficientes //b es el vector de soluciones //x0 es el valor inicial en columna // error_max es el error maximo no debe ingresarse en porcentaje D=diag(diag( A)); U=triu( A)-D; L=tril( A)-D; M=-inv(D+L)*U; N=inv(D+L)*b; cont =1; xant =x0; xsig=M*xant +N; while norm(xsig-xant )>error_max cont =cont +1; xant =xsig; xsig=M*xant +N; end sol=xsig; niteraciones=cont; er=norm(xsig-xant ); endfunction
CONSOLA Recordar que en la diagonal no puede haber ceros --> A=[-12 1 -1;-2 -4 2 ; 1 2 2] A = -12. 1. -1. -2. -4. 2. 1. 2. 2. --> b=[20;10; 25] b = 20. 10. 25.
--> x0=[0 ;0; 0]
x0 = 0. 0. 0. --> gauss_seidel_matriz(A,b,x0,0.0001 ) ans = -2.1999931 3.5999775 10.000019 --------------------------------------METODO LU --> A=[-12 1 -1;-2 -4 2 ; 1 2 2] A = -12. 1. -1. -2. -4. 2. 1. 2. 2. --> b=[20;10; 25] b = 20. 10. 25.
--> [L,U]=lu(A); --> x=U\(L\b) x = -2.2 3.6 10.
4. Aplicar la factorización de Cholesky y LU. Comparar los métodos, ¿cuál recomendaría usted?
Cholesky
--> A=[3 2 1 ; 2 3 2 ; 1 2 3] A = 3. 2. 1. 2. 3. 2. 1. 2. 3.
--> b=[1;0;0] b = 1. 0. 0.
--> T=chol(A); --> X=T\(T'\b) X = 0.625 -0.5 0.125 Factorización LU --> A=[3 2 1 ; 2 3 2 ; 1 2 3] A = 3. 2. 1. 2. 3. 2. 1. 2. 3. --> b=[1;0;0] b = 1. 0. 0.
--> [L,U]=lu(A); --> x=U\(L\b) x = 0.625 -0.5 0.125 5. Determinar los valores de las corrientes i 1, i2, i3, aplicando el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi con tolerancia 0.0001. Comparar las soluciones obtenidas con cada método.
Recordar que en la diagonal no puede haber ceros Gauss --> A=[10 8 0 ; 0 -8 5 ; 1 -1 -1 ] A = 10. 8. 0. 0. -8. 5. 1. -1. -1.
--> b=[180;-50;0] b = 180. -50. 0.
--> x0=[0 ;0; 0] x0 = 0. 0. 0.
--> gauss_seidel_matriz(A,b,x0,0.0001) ans = 11.411731 8.2352797 3.1764517 Jacobi --> jacobi_matriz(A,b,x0,0.0001) ans = 11.411783 8.2353478 3.1765507 6. Aplicar el método de Jacobi con tolerancia 0.0001 y comparar los resultados con los obtenidos por medio del método de cholesky.
Jacobi
--> A=[4 1 1 0 1; 1 3 1 1 0; 1 1 5 -1 -1; 0 1 -1 4 0; 1 0 -1 0 4] A =
4. 1. 1. 0. 1. 1. 3. 1. 1. 0. 1. 1. 5. -1. -1. 0. 1. -1. 4. 0. 1. 0. -1. 0. 4.
--> b=[6;6;6;6;6] b = 6. 6. 6. 6. 6. --> x0=[0;0;0;0;0] x0 = 0. 0. 0. 0. 0. --> jacobi_matriz(A,b,x0,0.0001) ans =
0.4516097 0.7096907 1.677386 1.7419091 1.806435 Cholesky
--> A=[4 1 1 0 1; 1 3 1 1 0; 1 1 5 -1 -1; 0 1 -1 4 0; 1 0 -1 0 4] A = 4. 1. 1. 0. 1. 1. 3. 1. 1. 0.
1. 1. 5. -1. -1. 0. 1. -1. 4. 0. 1. 0. -1. 0. 4. --> T=chol(A); --> X=T\(T'\b) X = 0.4516129 0.7096774 1.6774194 1.7419355 1.8064516
7. Aplicar el método de gradiente y el método de gradiente conjugado con tolerancia 0.0001 y comparar los resultados obtenidos con cada método.
Gradiente
--> A=[4 1 -1 1 ;1 4 -1 -1;-1 -1 5 1; 1 -1 1 3] A = 4. 1. -1. 1. 1. 4. -1. -1. -1. -1. 5. 1. 1. -1. 1. 3. --> b=[-2;-1;0;1] b = -2. -1.
0. 1. --> x=[0;0;0;0] x = 0. 0. 0. 0. --> metodo_gradiente(A,b,x,0.0001) ans = -0.7533777 0.0410428 -0.2807803 0.691709 Gradiente Conjugado
--> A=[4 1 -1 1 ;1 4 -1 -1;-1 -1 5 1; 1 -1 1 3] A = 4. 1. -1. 1. 1. 4. -1. -1. -1. -1. 5. 1. 1. -1. 1. 3. --> b=[-2;-1;0;1] b = -2. -1. 0. 1.
--> x0=[0;0;0;0] x0 = 0. 0. 0. 0. --> m_gradiente_conjugado(A, b, x0,0.0001 ,50) ans = -0.7534247 0.0410959 -0.2808219 0.6917808
