Systèmes asservis

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.









Asservissements Asservissements linéaires

Schéma fonctionnel

Comme deuxième exemple, on choisit un système purement mécanique. F m

ω 2

N 2 k f f

l ω 1

N 1

On veut établir le schéma fonctionnel de ce treuil. On applique une force manuelle F m sur la manivelle de longueur l . On veut déduire à quelle profondeur h profondeur h se trouve le seau de masse m. On tient compte du frottement visqueux k f f sur l'axe principal, mais on néglige les inerties des cylindres, la masse et l'élasticité
















































&2

1

Schéma fonctionnel

2

M 2 +

s –

&2

1 J

1

2

s k f f

A B Fig 3.7 Schéma fonctionnel de l'équation (3.6). On complète en amont de M 2 avec les équations (3.4) et (3.5) et en aval de ω 2 avec (3.7) et (3.10) qui toutes sont valables dans le temps comme dans l'espace de Laplace.
















































Schéma fonctionnel
















































Schéma fonctionnel

3.A TRANSFORMÉE DE LAPLACE 3.A.1 But L'usage fait ici de la transformée de Laplace me peut mieux se comparer qu'à celui fait jadis des logarithmes. Avant l'arrivée des calculatrices et ordinateurs, la multiplications de deux nombres avec nombreux chiffres significatifs était longue et fastidieuse, avec de nombreux risques d'erreur. Pour effectuer le produit de deux nombres A et B, on préférait rechercher dans une table de logarithmes les valeurs de logA et logB. On effectuait la somme des logarithmes, l'opération somme étant dans les logarithmes l'opération correspondant au produit. Il suffisait alors de lire la table l'antilogarithme de cette obtenir le
















































Schéma fonctionnel

x(t ) = L -1[ X ( s)]

(3.A7)

(t ) – • X ( s)

(3.A8)

o

3.A.3 Applications Ici, on n'utilisera en général pas la définition (3.A2) pour le calcul des transformées, mais les tableaux 3.A2 et 3.A3. Cela peut nécessiter d'exprimer certains signaux complexes sous forme de combinaison linéaire de signaux connus. La méthode pour rechercher la solution d'équations différentielles s'énonce comme suit:


















































TRANSFORMÉE DE LAPLACE

Schéma fonctionnel



















































Schéma fonctionnel



















































Schéma fonctionnel



















































Schéma fonctionnel


















































Schéma fonctionnel

3.B TRANSFORMATIONS DE SCHÉMAS FONCTIONNELS











































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Asservissements linéaires

Représentations graphiques

5.3 REPRÉSENTATION DE BLACK 5.3.1 Définition Une fonction complexe peut aussi être représenté par module et argument. G0 ( jω )

=

G 0 ( jω )

exp(arg G0 ( jω ))

(5.5)

Si on prend le logarithme naturel de la relation (5.5), on arrive à séparer module et argument, dont le sens physique respectif a été exposé au chapitre précédent (§ 4.6.1). ln(G0 ( jω )) = ln G0 ( jω ) + j (arg G0 ( jω ))

(5.6)

Plutôt que représenter la fonction complexe ln|G 0( j jω )|)| sur deux axes, des raisons historiques ont conduit à un autre choix pour le diagramme de Black : on représente bel et bien l'argument sur un axe, mais sur l'axe x, et on représente bien le logarithme, mais décimal sur l'autre axe – y – non pas en échelle logarithmique explicite, mais en échelle linéaire logarithmique implicite graduée en décibels.

5.3.2 Méthode de tracé A partir de (5.4), on calcule module et argument pour quelques valeurs de pulsations. On peut calculer les valeurs particulières de pulsations qui provoquent un argument multiple de 90° (identiques à celles des intersections avec les axes sur le diagramme de Nyquist), et aussi celle qui provoque un module unité.









































5.3.3 Assistance de tracé par ordinateur Pour le tracé de Black, on fait appel à deux fonctions qui assurent respectivement le tracé de la réponse harmonique dans le plan de Black et sa superposition par l'abaque de Nichols. >> nichols(num,den,omega) >> ngrid

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l' eig un programme affbla qui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. (1-3*s)*(1+20*s) Diagramme de Black-Nichols: G 0(s)= ---------------------------------------------(1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s)

40

0 dB

30

0.25 dB 0.5 dB

20

-1 dB

1.3 dB

3 dB

10

-3 dB 6 dB

-6 dB

0

-12 dB

-10

-20 dB

-20

-30

-40 dB

-40 -350

-300

-250

Fig. 5.5 Tracé de Black (5.3) obtenu avec affbla.

-200

-150

-100

-50









































5.4 REPRÉSENTATION DE BODE 5.4.1 Définition Pour cette représentation, on présente module et argument sur deux tracés superposés, en fonction de la pulsation. La pulsation est sur une échelle logarithmique et le module sur une échelle implicitement – décibels – ou explicitement logarithmique. Le tracé de la phase – sur une échelle linéaire – est souvent omis. 5.4.2 Méthode de tracé Pour le tracé manuel, on a pris l'habitude de l'approximer par une succession de segments de droite. On trace d'abord le module. On prend l'exemple d'une fonction élémentaire qui n'admet qu'un zéro en – a. G ( s) = s + a

(5.7)

On peut calculer le module de la réponse harmonique, qu'on développe en série de Taylor ou de Laurent. G( j ω ) = j ω + a =

2

2

a + ω = a +

G ( j ω ) = j ω + a = ω

1+

a2

ω 2

ω2

= ω +

2a a2

−

ω 4

8a3

−

+L

a4

2 ω 8 ω 3

+L

(5.8) (5.9)

Lorsque la pulsation est plus faible que le paramètre a, on peut prendre le développement limité d'ordre 1 de la série de Taylor. Dans l'autre cas, on peut prendre le développement limité d'ordre 1 de la série de Laurent. a >> ω

Þ

G ( j ω ) ≅ a

(5.10)

ω >> a

Þ

G ( j ω ) ≅ ω

(5.11)

Dans la pratique, on étend l'approximation à l'intervalles "plus grand ou égal", ce qui fait que l'erreur maximale d'approximation a lieu pour ω = a: ell ellee va vaut 2 (ou (ou 3 [dB [dB]). ]).

|G0 ( jω )| 109 a

8 7 6 5 4 3 2









































Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut a et de +1 lorsqu'il vaut ω 1. On applique la même méthode pour un pôle unique en – b. G ( s) =

1

(5.12)

s + b

b|G0 ( j

)|0.91 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.2

ω 0.1 0.1

0. 2

0. 3

0.4 0.5 0.6

0.8

1

2

3

4

5

6 7 8 910

b

Fig. 5.7 Tracé de Bode, module de (5.12) : valeur exacte et approximation par asymptotes.

Le module a donc une pente de 0 lorsqu'il vaut 1/ b et de –1 lorsqu'il vaut ω –1. Pour les fonctions de transfert à pôles et zéros multiples, on tient compte du fait que le module d'un produit est le produit des modules (ou leur somme exprimée en décibels) et le module d'un quotient le quotient des modules. On relève que le module est une fonction continue, y compris aux points de changements de pente. Si des pôles sont proches, leur effet cumulé peut conduire localement à des erreurs supérieures à un facteur 2 . Pour l'argument ou phase, l'approximation n'est pas aussi simple, et il en existe plusieurs. La plus fréquente consiste à multiplier par 90° la pente du module (voir aussi 6.5.2); à la pulsation de cassure, on prend la pente moyenne. Si la partie imaginaire du terme est négative, cela multiplie par –1 la valeur de phase calculée. Soit pour l'exemple (5.7). a >ω → 0 a =ω a <ω → ∞

arg(a + j ω ) ≅ 0 arg(a + j ω ) = 45° arg(a + j ω ) ≅ 90°

(5.13)

Cette méthode n'est que continue par morceaux, elle admet une discontinuité en ω = a. Les autres méthodes sont semblables pour les petites et grandes pulsations, seule l'approximation autour de ω = a est différente en garantissant ici la continuité de la fonction phase. Une méthode approxime autour de ω = a avec une pente de 45° par décade et l'autre par la dérivée de de la phase en ω = a. ω

arg(G ( j ω )) = ϕ (ω ) = arctan( )

(5.14)









































90

45

0 0.1

0.2

0.3 0.4 0.50.6 0.8 1

2

3

4

5 6 7 8 910

Fig. 5.8 Tracé de Bode, phase de (5.7) : valeur exacte et approximations .

Pour les fonctions de transfert à pôles et zéros multiples mais distincts, on tient compte du fait que la phase d'un produit est la somme des phases. Si la distance entre les pulsations de cassure est inférieure à une décade, on détermine la phase de ces points par calcul de la somme des phases cumulées, puis on les relie. Avec deux pôles réels confondus ou deux conjugués complexes, on est tenté d'appliquer la règle en admettant à la pulsation de coupure une variation de la pente d'une valeur –2 (on avait -1 pour le pôle unique). 1

G ( s) =

1 + s

2 δ ω 0

+

s

2

1

(5.16)

ω 02

Plus le coefficient d'amortissement δ est faible, plus l'erreur d'approximation au voisinage de ω 0 est grand, avec de grands risques que le raisonnement sur l'approximation induise des conclusions fausses. Comme le révèle la figure 5.9, le maximum du module n'a pas lieu pour la pulsation naturelle ω 0, mais pour une pulsation voisine appelée pulsation de résonance ω r r. ω r = ω 0 1 − 2 δ 2

(5.17)

On appelle facteur de résonance Qr , la valeur du maximum du module de la réponse harmonique, référée à sa valeur asymptotique pour les petites pulsations. Si le gain statique est 1, le facteur de résonance est égal au module de la réponse harmonique à la pulsation de résonance.










































10


G0 ( jω )

1

δ = 0,1

10

δ = 0,2 δ = 0,3 δ = 0,5

0

δ = 0,7

10

10

-1

-2

0.1

0.2

0.5

1

2

5

10

ω ω 0

arg(G0 ( jω )) 0

δ = 0,1 δ = 0,2 δ = 0,3 δ = 0,5 δ = 0,7

-90











































Pour quelques valeurs particulières du facteur d'amortissement, on récapitule les valeurs respectives du dépassement, du facteur de résonance et de l'erreur d'approximation ∆G en ω 0. D 1[ %] Q r Q δ ∆G [dB] r [dB] 1 0 0 –6 – ∞ 0,7 4,3 1 0 –3 0,5 16,3 1,15 1,3 0 0,3 37 1,74 +5 +4 0,2 53 2,55 +8 +8 0,1 72 5 +14 +14 Fig. 5.10 Tableau de résonance .

On reprend l'exemple déjà traité pour Nyquist Nyquist et Black.










































0,05

ω 1


0,1

0,33

0,5

1

1 1 1 3 ω 3 ω 0 0 0 –90 - 90 2 1 20 ω 20 ω 1+20jω 20 ω 20 ω 0 90 90 90 90 –1 3 1 1 1 1 1 (1+jω ) 0 0 0 0 0 –1 4 1 1 1 1 (1+2jω ) 0,5 ω –1 0 0 0 0 - 90 –1 –1 –1 5 1 1 (1+10jω ) 0,1 ω 0,1 ω 0,1 ω –1 0 0 - 90 -90 - 90 1 20 ω 2 3 |G0(jω )|= )|=Π 6 ω 90 90 0 90 0 argG0(jω )= )=Σ 0 Fig. 5.12 Tableau de construction de la réponse harmonique. 1–3jω

3 ω -90 20 ω 90 ω –1

-90 0,5 ω –1 -90 0,1 ω –1 -90 3 ω –1 –90

5.4.3 Assistance de tracé par ordinateur Pour le tracé de Bode, on peut faire appel à deux fonctions à choix selon qu'on veut exprimer l'axe horizontal selon la fréquence ou la pulsation. >> bode(num,den,omega) >> freqs(num,den,omega)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l' eig un programme affbod qui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. Par rapport à la la fonction standard, on a fait une petite modification qui permet d'afficher la phase comme fonction continue plutôt que comme fonction modulo 2 π , avec des valeurs comprises dans l'intervalle [–180° ,180°]. (1-3*s)*(1+20*s) Diagra Diagram mme de Bode Bode : Go(s)= Go(s)= --------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------1 (1+1*s)*(1+2*s)*(1+10*s) 10 e d u 0 t i l 10 p m A -1

10 -2 10

-1

10

0

10

1

10











































5.5 REPRÉSENTATION DU LIEU DES PÔLES 5.5.1 Fondements théoriques En étudiant un système du deuxième ordre (§ 4.5.2), on a vu que la valeur de ses pôles est déterminante pour son comportement dynamique. On peut généraliser cette affirmation aux systèmes d'ordre plus élevé. En toute généralité, les pôles, tout comme les zéros, sont des nombres complexes qu'on peut représenter dans le plan. Leur emplacement dans le plan com plexe revêt une importance particulière dans l'étude de la stabilité (chap. 6). Dans la pratique, on est souvent placé dans la situation d'un système en boucle fermée Gcf (fig. 5.1) dont on veut étudier le comportement dynamique. On connaît le gain, les pôles et les zéros du système en boucle ouverte G0. Il s'agit donc de tracer l'emplacement des pôles et zéros du système en boucle fermée en en fonction de ce ce qu'on connaît. connaît. G0 ( s) = k 0

N 0 ( s) ( s − z1 )( s − z2 )K ( s − z m ) = k 0 D0 ( s) ( s − p1 )( s − p2 )K (s − pn )

(5.20)

On a vu que, pour des systèmes physiques réels, le degré m du numérateur est plus petit que n, celui du dénominateur. On peut calculer la fonction de transfert en boucle fermée selon (4.12). Gcf ( s) =

Go ( s)

1 + Go ( s)

=

k 0 N 0 ( s) k 0 N 0 ( s) + D0 ( s)

(5.21)

Selon la définition des pôles (§ 4.2.2), 4.2.2), les pôles en boucle boucle fermée sont les racines racines du polynôme dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée, soit les solutions de l'équation caractéristique (5.22). k 0 N 0 ( s) + D0 ( s) = 0

(5.22)

On appelle lieu des pôles du système en boucle fermée, ou lieu d'Evans, l'ensemble des points du plan complexe qui sont solution de l'équation l 'équation caractéristique lorsqu'on fait varier le facteur d'Evans en boucle ouverte k 0 de 0 à +∞. On peut injecter (5.20) dans (5.22). k 0 ( s − z1 )( s − z2 )K ( s − zm ) + ( s − p1 )( s − p2 )K ( s − pn ) = 0

(5.23)

Cette équation a n solutions: les pôles en boucle fermée sont donc en même nombre que les pôles en boucle ouverte. La recherche des solutions de (5.23) doit être entreprise pour chaque valeur de , on n'applique la méthode analytique que si on dispose d'outils informatique











































( s − p1 )( s − p2 )K ( s − pn ) ( s − z1 )( s − z2 )K ( s − z m ) ( s − p1 )( s − p2 )K (s − p n ) (2 k + 1) = arg( ) ( s − z1 )( s − z2 )K ( s − z m )

(5.25)

k 0 =

(5.26)

k ∈ N

Avant d'entrer dans la procédure graphique, il est judicieux ici de préciser le sens géométrique de la relation (5.24).

Im s

s – z j

α j

s – pi

j

Re

β i pi

Fig. 5.14 Vecteurs complexes dans le plan d'Evans .

Chaque terme de (5.24) représente un vecteur pointé en s, un point du lieu des pôles, et ayant pour origine soit un pôle pi du système en boucle ouverte soit un zéro z j du système en boucle ouverte. De cette signification géométrique, on peut tirer deux propriétés du lieu des pôles. La condition des modules : Si pour un point du lieu des pôles, on calcule le produit des longueurs (modules) des vecteurs qui le relient aux divers pôles en boucle ouverte et qu'on divise ce résultat par le produit des longueurs des vecteurs qui le relient aux zéros en boucle ouverte, on obtient le facteur d'Evans k 0 . Cela résulte de (5.25). n

s − p1 s − p2

s− p

∏ s − p i













































On peut citer encore d'autre propriétés. Si on fait tendre k 0 vers zéro dans (5.23), on obtient les points de départ du lieu des pôles en boucle fermée: ce sont les pôles en boucle ouverte. Le lieu des pôles compte donc n branches. ( s − p1 )( s − p2 )K (s − pn ) = 0

(5.29)

Si on fait tendre k 0 vers infini dans (5.23), on obtient des points d'arrivée du lieu des pôles en boucle fermée: ce sont les zéros en boucle ouverte. Les n – m autres points d'arrivée des branches sont situés à l'infini. ( s − z1 )( s − z2 )K ( s − z m ) = 0

(5.30)

Parce que N 0 et D0 sont des polynômes en s à coefficients réels, on en déduit que les lieu des pôles est symétrique par rapport à l'axe réel. Cela permet d'alléger le dessin.

5.5.2 Méthode de tracé Le tracé du lieu des pôles se base sur les propriétés décrites au paragraphe précédent et applique les résultats du calcul complexe. On illustre i llustre le propos avec l'exemple (5.3). G0 ( s) =

− 3 ( s − 0,333)( s + 0,05)

( s + 1)( s + 0,5)( s + 0,1)

(5.31)

D'abord, on place dans le plan complexe les pôles ( x) et les zéros ( o) du système en boucle ouverte. ouverte. •

Les pôles sont –1, –0,5 et –0,1; les zéros sont –0,05 et +0,333.













































2π avec q = -1; 0;1 et addition de -π 3− 2 3 − 1 + ( −0,5) + (−0,1) − (−0,05) − (0 ,333 ) ca = = −1833 , 3− 2

• ξ =

(1 + 2 q )

π

=

0; ±

(5.34) (5.35)

Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux pôles, il existe sur ce tronçon un point de séparation cs à partir duquel les branches divergent en devenant conjuguées complexes. Lorsqu'une portion de l'axe réel est comprise entre deux zéros ou entre un zéro et une direction asymptotique (0 ou π), il existe sur ce tronçon t ronçon un point de jonction cs vers lequel les branches conjuguées complexes convergent. Les branches complexes arrivent ou partent aux points cs avec une tangente verticale. Avec les moyens de calcul informatique disponible aujourd'hui, on ne va pas plus loin avec le calcul manuel. On donne cependant quelques propriétés à titre d'information. pour trouver les points de séparation, on cherche les solutions de l'égalité (5.36). m

å

1

j =1 cs − z j

•

n

−å

1

i =1 cs − pi

=0

(5.36)

On résout (5.36) avec un algorithme de bissection en partant de deux points qui encadrent à coup sûr la solution en gardant ensuite à chaque fois l'intervalle cadré par un résultat positif et un négatif. On arrête l'algorithme lorsqu'on atteint une précision qui convient. cs1 = −0,725 cs2 = 1,44 (5.37)

On peut encore calculer la valeur du facteur d'Evans pour un point quelconque pfx du pfx dans (5.24). On peut aussi calculer les intersection avec lieu: il suffit de remplacer s par p des droites remarquables:













































Im 0,5 j –0,725

1,44

Re –1

–0,5

0,5

1

-0,5 j Fig. 5.15 Tracé des pôles de (5.3) .

5.5.3 Assistance de tracé par ordinateur Pour le tracé du lieu des pôles, on fait appel à deux fonctions complémentaires qui assurent respectivement le tracé des pôles en boucle ouverte et celui des pôles en boucle fermée en fonction du gain variable k . >> pzmap(num,den) >> rlocus(num,den,k)

On a aussi développé au Laboratoire d'Automatique de l' eig un programme affevans qui contient tout l'environnement de confort et facilite ainsi l'obtention du résultat. En outre, on affiche sur le même graphique le contour d'Evans défini par la marge de stabilité absolue et












































CHAPITRE 6: STABILITÉ 6.1 DÉFINITIONS 6.1.1 Stabilité statique On est intéressé à ce qu'un système soit stable. Encore faut-il s'entendre sur ce qu'est la stabilité. Une première définition consiste à dire qu'un système abandonné hors état d'équilibre doit atteindre ce dernier en un temps raisonnable. Appliqué à un système en boucle fermée, cela signifie que lorsqu'on applique une consigne nulle, la grandeur réglée sera nulle en un temps raisonnable. De là, on peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne constante, la grandeur réglée sera de même valeur que la consigne en un temps raisonnable. 6.1.2 Stabilité dynamique On peut encore attendre que lorsqu'on applique une consigne variable, la grandeur réglée suive la valeur de la consigne sans trop s'en écarter. 6.1.3 Stabilité d'un système linéaire On se limitera dans ce cours à l'étude de système linéaires ou aisément linéarisables. La stabilité la plus intéressante pour l'automaticien est celle d'un système en boucle fermée. w

+ –

e

Gcf Go












































m

Gcf ( s ) =

k s ∏ ( s − z j ) j =1 n

n

=

c

∑ s − ip

i =1

∏ ( s − pi )

i

(6.3)

i=1

On sait que la réponse libre – exprimée dans le temps – a la même forme mathématique que la réponse impulsionnelle. On sait également que la réponse impulsionnelle peut être calculée par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert (§ 4.4.4). On peut donc obtenir la réponse libre y(t ) par la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert et en utilisant le tableau des transformées. G cf ( s)

–

o

Ÿ

n

y( t ) = ∑ ci e pi t i =1

(6.4)

On constate que la réponse libre est une combinaison linéaire d'exponentielles; la convergence de cette fonction du temps peut être déterminée en étudiant les exposants des exponentielles qui ne sont rien d'autre que les racines du polynôme dénominateur: les pôles du système. Dans les systèmes asservis, seule la stabilité asymptotique est recherchée, où la valeur finale vaut zéro lorsque la consigne vaut zéro. En revanche, un système à régler est considéré comme stable, même pour la stabilité marginale. Même plus, l'instabilité pour pôles multiples ne se rencontre pas pas ave avecc les les syst systèm èmes es phys physiq ique uess réel réels; s; par par exem exempl ple, e, un inté intégr grat ateu eurr éle élect ctri riqu quee est est limité limité par par sa sa tens tensio ionn de saturation et sa véritable fonction de transfert n'est pas une intégration pure, mais une cellule du














































Pôles

tous réels négatifs

complexes à part partie ie réel réelle le négative

un seul pôle pôle nul nul

Réponse libre

x

Propriété Propriété stabilité asymptotique

x

x

stabilité asymptotique

x

x

stabilité marginale














































6.2

CRITÈRES ALGÉBRIQUES

6.2.1 Critère de Routh Pour cette section, l'approche l'approche est purement purement algébrique et ne requiert requiert pas de représentation graphique. Le polynôme dénominateur du système en boucle fermée est écrit sous sa forme développée et on utilise les propriétés des polynômes pour tirer des conclusions concernant les racines, mais sans les calculer explicitement. Les racines de ce polynôme sont les pôles du système, étudiés à la section 6.1. Df ( s) = a n s n

+

a n −1s n−1 +L+ a 1s + a 0

=

0

(6.7)

On construit d'abord un tableau de n lignes et (n+1)/2 colonnes, arrondi à l'entier supérieur. Les éléments des deux premières lignes sont les coefficients du polynômes. Pour le reste du tableau, on définit le terme de la ligne li gne i et la colonne j. Ai,j

=

Ai−1,1 Ai− 2, j+1

−

Ai − 2,1 Ai −1, j+1

Ai−1,1

(6.8)














































6.2.2 Critère de Hurwitz Pour appliquer ce critère, il faut d'abord construire une matrice carrée de dimension n. Elle contient les coefficients du polynôme dès le deuxième, en ordre décroissant disposés dans la diagonale principale. Dans une colonne, les termes supérieurs au terme de la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre décroissant. Les termes inférieurs à la diagonale contiennent les coefficients suivants du polynôme en ordre croissant. L L

0

L

0

a n-1

a n-3

a n-5

an

a n -2

a n -4

M

M

0

a n-1

a n -3

0

M

M

an

M

0

M

M

0

M

M

M

0

0

0

O O

a0

M

M

a1 a2

0

M

a0

M

a1 a2

0

a3 L L

a4

a0














































6.3

CRITÈRE DE NYQUIST

6.3.1 Critère de Nyquist simplifié Pour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système en boucle ouverte stable; c'est dire que sa fonction de transfert Go(s) ne contient pas de pôles à partie réelle négative. Plutôt qu'une démonstration mathématique rigoureuse, on préfère une description plus intuitive faisant appel à un générateur de fonction sinusoïdale permettant d'injecter un signal dans le système jusqu'à ce qu'à l'instant t 0, on renvoie la sortie du système sur son entrée.

F

ω t) a sin( ω

w=0

+ –

t 0 e

u

C

Fig. 6.6 Système pouvant être bouclé par un commutateur.

Go














































Le cas limite de stabilité permet de définir le point critique en fonction de la réponse harmonique. Go ( j ω π ) = −1

(6.12)

Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le plan complexe la réponse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé par rapport au point critique "–1". Si |G( j jω π)| > 1, le système système est instable, instable, si |G( j jω π)| < 1, le système est stable. La réponse harmonique est un fonction complexe du paramètre réel pulsation ω . Si on représente Go( j jω ) pour des pulsations variant de 0 à ∞, on obtient la représentation de Nyquist. Le critère de Nyquist simplifié ou critère du revers s'énonce ainsi: Si, en parcourant la courbe de réponse harmonique en boucle ouverte dans les sens des pulsations croissantes, on laisse le point «–1» à gauche, le système G cf (s) (s) en boucle fermée est stable.

1/ A A

Im
















































6.3.3 Marge de phase La marge de phase permet d'indiquer la qualité de la stabilité en exprimant la distance – angulaire – par rapport au point critique –1. L'intersection de la réponse harmonique avec le cercle unité a lieu pour une pulsation notée ω 1, car le module pour cette pulsation vaut 1. ϕm =

arg(Go ( j ω1 )) )) + π

6.3.5 Valeurs de marge

avec

Go ( j ω1 )

=

1

(6.14)
















































6.4

CRITÈRE DE BLACK

6.4.1 Critère de Black: énoncé Le critère du revers peut aussi être exprimé dans le plan de Black. ici le point «–1» devient le point <0 dB; –180°>. Pour pouvoir appliquer le critère, les conditions sont les mêmes que pour le critère de Nyquist: le système en boucle ouverte ne doit compter aucun pôle à partie réelle réelle positive. Un système linéaire Gcf (s) (s) en boucle fermée est stable si, en parcourant le lieu de Black de sa réponse harmonique en boucle boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique <0 dB; –180°> à droite
















































+ +

ω 6

+

ω x ω r
















































6.5

CRITÈRE DE BODE

6.5.1 Critère du revers. Le critère du revers s'énonce comme suit dans le plan de Bode, ou dans l'espace fréquentiel: Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réponse harmonique en boucle ouverte |G 0(jω )| coupe l'axe de module unité pour une phase )) supérieure à –180°. arg(G0(jω

6.5.2 Relation de Bode et Bayard. L'expression L'expression (5.5) de la réponse harmonique peut être appliqué à la fonction G ( j jω ). ).
















































Si l'intersection de la réponse harmonique en boucle ouverte et de l'axe à 10 0 a lieu avec une pente de –1, le système en boucle fermée est stable, avec –2, il est en limite de stabilité. Il est judicieux d'affiner le critère en exprimant la qualité de la stabilité: "à quelle distance de la pente –2" doit-on placer l'intersection de l'axe avec avec la pente –1?

6.5.4 Relation entre plan fréquentiel et comportement temporel. Le critère de Bode s'applique à un système en boucle fermée fondamental du 2 e ordre, dans lequel la boucle ouverte contient une intégration pure.


















































On obtient bien un système fondamental du deuxième ordre, qu'on peut comparer à celui



































































































A partir de la relation (6.28), on peut exprimer le rapport de pulsation qu'il faut observer


















































Si on met en regard les figures 6.14 et 6.15, on constate qu'on ne peut pas


















































6.6

CRITÈRE D'EVANS


































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































SAth7A.doc








































SAth7B.doc

7.B 7.B ANNE ANNEXE XE:: RÉGUL RÉGULAT ATEU EURS RS ANA ANALO LOGI GIQU QUES ES 7.B.1 Généralités Pour réaliser un régulateur analogique, on adoptera un montage à amplificateur qui permet de réaliser la fonction de transfert transfert souhaitée dans dans une large gamme d'utilisation. d'utilisation.

ui

i p1

–

i p2

+

ucm

Fig. 7.B01 Amplificateur opérationnel. ucm

= −

(7.B01)

A ui

Hypothèses Hypothèses simplificatrices: • Amplification infinie A = ∞. • Courants de polarisations nuls i pi = 0. Impédance de sortie nulle. • Impédance Impédances d'entrée infinies. • Impédances On souligne que la sortie ucm est comprise entre – usat et +usat. Pour plus d'information, on se reporte au cours d'électronique [29].

7.B.2 Montage inverseur Z e

Z f f

ue

– +

ucm

R0

Fig. 7.B02 Amplificateur opérationnel en montage inverseur.

Pour déterminer la relation entre l'entrée et la sortie, on calcule le quotient des impédances de contre réaction et d'entrée. Les impédances (ou les admittances) sont calculées en appliquant les règles de calcul des circuits RLC.








































GR ( s) = −

Z f ( s) Z e ( s)

SAth7B.doc

(7.B03)

On obtient un quotient de polynômes en s, comme les fonctions de transfert des régulateurs décrits dans ce chapitre. Toutefois, le signe «–» dû au montage inverseur devra être corrigé par un moyen adéquat. On doit encore tenir compte du fait que la fonction de transfert du régulateur est exprimé en fonction des grandeurs physiques (consigne, mesure et signal de commande) alors que celle du montage à amplificateur opérationnel l'est en fonction des signaux électriques (tensions) qui représentent ces grandeurs. On ne doit pas oublier le facteur d'échelle correspondant. correspondant. La résistance R0 est destinée à égaliser les courants de polarisation. On la calcule à partir des admittances à basse fréquence Y f0 f0 et Y e0 e0, obtenues en posant s = 0. Les amplificateurs opérationnels de conception récente peuvent se contenter d'une résistance R0 nulle. 1 (7.B04) = Ye0 + Y f0 R 0

7.B.3 Régulateurs classiques On propose ici quelques montages à amplificateurs opérationnels, basés sur le montage inverseur et réalisant les régulateurs étudiés aux sections 7.3 à 7.6. Le régulateur P est obtenu en choisissant comme impédances des résistances.

Fig. 7.B03 Régulateur P.

On a les relations: R1 Re

(7.B05)

R e R1 R e + R1

(7.B06)

GR ( s) R 0

=

= −








































SAth7B.doc

Le régulateur PI est obtenu en une cellule RC pour l'impédance en contre-réaction.

Fig. 7.B04 Régulateur PI.

On a les relations: G R ( s) = − R0

=

Re

1 + sR1 C 1 s Re C 1

(7.B07) (7.B08)

On choisit arbitrairement un des composants, en général C 1 car les valeurs de capacité par décade sont en général moins nombreuses que pour les résistances. On peut calculer les autres d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.21) et (7.B07). Le régulateur PID est obtenu en plaçant deux cellules RC, séparées par un suiveur, pour l'impédance en contre-réaction.








































SAth7B.doc


=

(1 + sR1 C1 )(1 + sR2 C 2 ) s Re C 1

(7.B09) (7.B10)

Re

On choisit arbitrairement les capacités. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.26) et (7.B09). On peut aussi omettre le suiveur entre les deux cellules RC, ce qui simplifie la réalisation mais complique le calcul car les deux circuits RC sont alors couplés. On ne peut donc pas ajuster indépendamment les deux constantes de temps.

Fig. 7.B06 Régulateur PID: montage à un seul ampliop.

On a la relation: G R ( s) = −

(1 + sR1 C1 )(1 + sR2 C2 ) + sR2 C 1 s Re C 1

(7.B11)

Plutôt que d'exécuter des calculs fastidieux, on peut recourir à l'abaque 7.B07 pour déterminer les composants.










































SAth7B.doc










































SAth7B.doc

Pour un régulateur PD, on pourrait mettre une cellule RC comme impédance d'entrée, mais on préfère la placer sur la contre-réaction pour conserver une impédance d'entrée constante constante en fonction de la fréquence. fr équence.

Fig. 7.B08 Régulateur PD.


=

R1 Re

Re R1 Re + R1

R C (1 + s 1 1 ) 4

(7.B12) (7.B13)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12).

Pour un régulateur AP ou RP, on prend un régulateur PD précédé d'un filtre passif du premier ordre. Les cellules du régulateur sont ainsi bien découplées, ce qui ne serait pas le cas en plaçant simplement une capacité en parallèle sur la contre-réaction. L'ajustage des deux constantes de temps est ainsi indépendant. On accepte d'avoir une impédance d'entrée variable










































SAth7B.doc

Fig. 7.B09 Régulateur AP ou RP.

On a les relations: R1 C 1 + s 1 R1 4 G R ( s) = − R C Re 1 + s e e 4 R0

=

Re R1 Re + R1

(7.B14)

(7.B15)

On choisit arbitrairement la capacité. On peut calculer les résistances d'après les paramètres de régulateur régulateur qu'on veut réaliser, en identifiant (7.30) et (7.B12). (7.B12). Un régulateur I n'a qu'une capacité comme contre-réaction.










































SAth7B.doc

Un comparateur se construit également sur la base du montage inverseur.

Fig. 7.B11 Comparateur.

On a les relations: U e

= −

Rc U Rw w

−

Rc U Ry y

(7.B17)

K w et K y les constantes qui lient les grandeurs de consigne et de mesure On désigne par K aux tensions U w et U y qui les représentent. Uw

=

Kw w

et

Uy

= −

Ky y

(7.B18)

On peut alors exprimer la l a tension représentant l'écart de réglage en fonction de celui-ci. U e

= −

R R ( c K w w − c K y y ) R R w

y

(7.B19)

On choisit arbitrairement la résistance de contre-réaction, puis on calcule les deux autres résistances.









































Asservissements linéaires Uw

= −

SAth7B.doc

et

Kw w

Uy

=

Ky y

(7.B22)

Fig. 7.B12 Comparateur combiné avec un PI.

On a les relations: U cm

=

1 + s R1C 1 R w C 1 s R1 K w

R w C 1 T i = R1 K w

=

w−

R y C 1 R1 K y

1 + s R1C 1 s

R y C 1

y

(7.B23)

R1 K y

(7.B24)












































SAth7B.doc

7.B.4 Montage à bascule

Fig. 7.B13 Amplificateur opérationnel en montage à bascule.

Pour un tel montage, la sortie est toujours en saturation, tout changement de signe, même infime, de la tension différentielle provoque le basculement de la sortie vers l'autre saturation. ucm ucm2 ue u b – uh u b

u b+uh












































SAth7B.doc

7.B.5 Régulateurs tout–ou–rien. Le montage à bascule décrit au paragraphe précédent permet de réaliser un régulateur à deux positions. Si on ne veut pas l'hystérèse, il suffit de choisir R1 = ∞. Dans ce type de montage aussi, on a plus de composants que d'équations, ce qui nécessite un choix arbitraire de deux résistances. Pour un régulateur à trois positions, on combine deux montages à bascules et un additionneur. ucm –ucm2 ue u b2 – uh2 u b2 u b2+uh2

u b1 – uh1

u b1 u b1+uh1

–ucm1 Fig. 7.B14 Relation entrée–sortie pour un régulateur à trois positions.












































SAth7B.doc












































CHAPITRE 8: DIMENSIONNEMENT DE RÉGULATEURS 8 .1

INTRODUCTION

On rappelle la structure d'un système réglé, formé du système à régler S proprement dit avec son organe de commande OCM et du régulateur R . v w

F +

R

ucm

OCM

u

S

–

Fig. 8.1 Système asservi.

Le but du dimensionnement est de calculer un régulateur – compte tenu du système à régler – qui garantisse que le système asservi F (encadré en trait mixte) remplisse les conditions de fonctionnement requise par le cahier des charges. On peut trouver deux descriptions du comportement dynamique: Description dans le temps: La réponse indicielle (variation de la sortie du système dont l'entrée varie comme une fonction échelon unité) ne doit pas admettre de dépassement supérieur à D1max et son temps de réponse à 5 % doit être inférieur à trmax.

(t ) D












































Au chapitre 6, on a étudié la stabilité et plus généralement le comportement dynamique dynamique d'un système en boucle fermée connu en fonction de la variation de certains de ses paramètres. Au chapitre 7, on a fait l'inventaire des régulateurs classiques et de leurs effets. Les méthodes décrites dans ce chapitre – choix du type de régulateur et calcul de ses coefficients – utilisent largement les notions mises en place aux chapitres précédents; on peut les classer en quatre catégories: 1. On ne dispose pas d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler, mais seulement de mesures sur celui-ci. On applique alors des méthodes pragmatiques qui ont fait leur preuve pour certaines catégories de comportements dynamiques des systèmes asservis (sect. 8.2). 2. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On compense les pôles dominants de sa fonction de transfert à l'aide des zéros du régulateur qu'on choisit, puis on détermine le gain de ce régulateur en raisonnant dans le plan fréquentiel (critère de Bode) ou dans le plan de Nyquist (critère de la marge de phase) (sect. 8.3). Ces critères supposent un raisonnement fondé sur l'approximation du systèmes asservi par un système fondamental du premier ordre. 3. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose les deux pôles dominants de la fonction de transfert du système système asservi, approximé par un système système fondamental du deuxième ordre, ils sont choisis d'après le comportement dynamique dynamique requis et le régulateur est construit de manière géométrique (sect. 8.4). 4. On dispose d'un modèle mathématique fiable pour le système à régler. On impose la réponse harmonique du système asservi, optimisée pour s'inscrire dans le gabarit requis (module et argument). On en calcule la fonction de transfert du régulateur (sect. 8.5). Dans tous les cas, on commencera par une définition claire de la structure de réglage en détaillant les différents éléments et on aura recours en général à la linéarisation autour du point de fonctionnement fonctionnement nominal. On commencera par dimensionner les régulateurs des boucles intérieures intérieures lorsque la structures structures prévoit plusieurs plusieurs boucles de de réglage (sect. (sect. 8.A).














































8.2 8.2

Dimensionnements

CRITÈ ITÈRES EXP EXPÉRIME IMENTAUX

8.2.1 Mesures typiques Dans certains cas, il n'est pas possible de déterminer facilement un modèle analytique de l'installation à régler. On n'a donc pas une connaissance mathématique, mais il faut bien avoir une certaine connaissance du système pour dimensionner son régulateur. Celle-ci est obtenue par une mesure sur l'installation réelle. La plus simple à mettre en œuvre est l'essai indiciel . u(t) = ε (t) (t)

S

Fig. 8.4 Essai indiciel: schéma-bloc.

On observe la réponse indicielle mesurée. (t ) (t )

(t)














































w(t) = 0

Dimensionnements

+ –

g

S

(t)

Fig. 8.6 Essai en limite de pompage: schéma-bloc.

On augmente le gain de l'amplificateur jusqu'à amener le système en boucle fermée en oscillation entretenues. Le système système est alors en limite de stabilité: on parle d'un essai en limite de pompage. Lorsque le système est dans cette situation, on relève le gain g0 ajusté ainsi que la période T 0 de l'oscillation.














































Dimensionnements

8.2.2 Critère de Ziegler–Nichols Ziegler–Nichols On définit ce critère sur la forme "somme-gain" (7.25) de la fonction de transfert d'un régulateur PID qu'on rappelle en (8.2). 1

G R ( s) = K P (1 + s T J

(8.2)

s T D )

+

L'objectif du critère de Ziegler–Nichols est minimiser l'énergie de réglage, représentée par le critère de performance IAE. Celui-ci laisse libre le choix du type de régulateur. Comme on l'a vu au chapitre 7, on élimine le régulateur P si on veut garantir un écart statique nul et on choisit une composante D si on veut un temps de réglage court, et qu'on est dans un environnement pas trop bruité. Les paramètres de régulateurs ont été optimisés de manière expérimentale sur un grand nombre d'essais.

Régulateur

Kp

P PI

Tg/Tu 0,9 Tg/Tu

TJ ∞

3,3 Tu

TD 0 0














































Dimensionnements

Régulateur

Kp

P PI PID

0,3 Tg/Tu 0,35 Tg/Tu 0,6 Tg/Tu

TJ ∞

1,2 Tg Tg

TD 0 0 0,5 Tu

Dimensionnement de Chien-Hroner-Reswick Chien-Hroner-Reswick après après essai indiciel. Fig. 8.11 Dimensionnement

8.2.4 Identification de processus On peut aussi établir un modèle analytique du système à régler à partir d'un essai indiciel sur celui-ci, comme le propose par exemple la méthode de Strejc (annexe 8.B) ou d'essais harmoniques sur le système seul en boucle ouverte. Il existe des stratégies plus avancées de modélisation et de validation de modèle, qui seront présentées de manière plus approfondie au chapitre 9. On opère par développement successifs du modèle en le comparant sur les plans fréquentiel et temporel avec le système réel jusqu'à superposition des comportements dynamique dynamique et harmonique de la réalité et de son modèle.














































8.3

CRITÈ CRITÈRE RES S SUR SUR LA RÉPO RÉPONS NSE E HAR HARMO MONI NIQU QUE E EN EN BOU BOUCL CLE E OUVERTE

8.3.1 Méthode de Bode Pour guider l'exposé, on part de l'exemple d'un système à régler (organe de commande compris) du 3e ordre sans zéro. On choisit un régulateur PID dans l'intention de compenser par les zéros du régulateur les pôles principaux du système système à régler. Gs ( s ) =

K s (1 + s T1 )(1 + s T2 )(1 + s T 3 )

avec T1 ≥ T2 G R ( s) =

>>

(8.3)

T 3

(1 + s Tn )(1 + s T v ) s T i

On calcule la fonction de transfert en boucle ouverte.

(8.4)
















































Le critère de Bode porte sur le rapport de deux pulsations: ω c qui est à la jonction d'un segment de pente –1 et d'une de pente –2 sur la réponse harmonique en boucle ouverte et la pulsation ω 1 pour laquelle le module de cette réponse harmonique vaut 1. On a vu qu'il existe une relation entre le rapport de ces deux pulsations et le dépassement sur la réponse indicielle du système asservi. Ainsi, pour obtenir un dépassement de 4,3 % (réponse indicielle optimale), le tableau 6.A1 nous rappelle que ce rapport doit valoir 2. G

( jω 1 )

=

1= G (j

1

)

=

K s

(8.8)
















































plus petite que T 2, qu'on a délibérément négligée dans l'élaboration du modèle mathématique, ou même que l'on ignore en raison d'une connaissance trop superficielle du système à régler. Celle-ci amènerait une instabilité du système asservi si on s'avisait d'augmenter par trop le gain en boucle ouverte. De plus, il ne faut pas oublier que des gains élevés peuvent conduire à une saturation de la sortie du régulateur, ce qui rend caduc le raisonnement basé sur un fonctionnement linéaire. Système Gs ( s) = (1

K s T )(1

T

)

Régulateur Tn PI

T1

Ti

Tv

2 K s T p

0
















































En résumé, la procédure pour le critère de Bode est la suivante, sur un système à régler décrit par une fonction de transfert rationnelle, dont tous les pôles et zéros sont à partie réelle négative: • On compense la ou les constante(s) de temps dominante(s) (pôle(s) dominant(s)) par la ou les constante(s) de temps du régulateur (zéro(s)). • On ne compense jamais la plus petite des constantes de temps connues. • On multiplie le produit du gain statique et de la petite constante de temps par le rapport des pulsations lu sur sur le tableau 6.A1 en en regard du dépassement dépassement souhaité. souhaité.
















































On se souvient que le rapport de pulsation est lié à la marge de phase, c'est pourquoi on a représenté la valeur de la phase de m petites constantes de temps et de l'approximation (8.20) qui n'est autre que le développement développement limité d'ordre 1 du polynôme d'ordre m.

G ( s)

=

1 (1 + s Tk / m) m















































Asservissements Asservissements linéaires 103 GPID( j jω )

102

101

GPI( j jω )


















































On calcule le système à régler pour le régulateur suivant, G's1: mise en série du premier


















































8.3.3 Petit retard pur


















































8.3.4 8.3.4 Système Système à régle réglerr avec avec comporte comportemen mentt intégr intégral. al.


















































log|G( j j )|


















































log|G( j j )|

























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































Systèmes asservis

Recommend Documents