I. Sub Ring
DEFINISI Suatu himpunan bagian tak kosong S dari suatu ring R, dikatakan suatu sub-ri ng dari R, jika S adalah suatu ring yang relatif terhadap kedua operasi biner penjumlahan dan perkalian yang di definisikan atas R. Karena setiap himpunan dimana himpunan bagian dari himpunan tersebut adalah dirinya sendiri, maka R adalah gelanggang, maka R pasti sub-ring dari R.
Contoh 1. Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. 2. Ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.
TEOREMA 1 Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu himpunan bagian tidak kosong dari S dari ring R adalah sub-ring dari R jika dan hanya jika memenuhi :
, dan
Bukti Syarat perlu. Jika S adalah sub-ring dari ring R Bila a dan b S, maka
() Dan juga
Syarat cukup, Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari ring R sehingga
, dan dengan menggunakan sifat ring, diperoleh:
Dan,
Mengakibatkan:
() ) Dan juga Terbukti, karena S R , S suatu subring dari R Contoh
a Himpunan S b
0
0
: a, b R adalah subring dari R
Penyelesaian Diketahui
S
dari R
a 2 0 a1 0 Ambil sembarang dua unsure A1 berada di S dan A2 b2 0 b1 0 Sehingga
a1 0 a2 0 A1 A2 b 0 b 0 1 2 a a 0 1 2 S b1 b2 0 Selanjutnya
a1 0 a2 0 A1 A2 b1 0 b2 0 a a 0 1 2 S b1 b2 0 Jadi terbukti S adalah subgrup
TEOREMA 2 Syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R adalah sub-ring, dimana: (i)
S + (-S) = S
(ii)
SS S
Dimana (-S) adalah bilangan negative untuk semua anggota S
Bukti Syarat Perlu Jika S adalah sub-ring R, maka S adalah suatu sb grup pada grup penjumlahan di R. Sekarang, jika a+(-b) dapat diubah menjadi bentuk S+(-S), maka
() () () Sehingga :
()
Juga bentuk dari a anggota S diubah, menjadi:
() () Sehingga:
()
()
mengakibatkan
()
Karena S juga suatu sub-ring, maka pada bentuk perkalian menjadi:
Sehingga Syarat cukup
Jika S adalah himpunan tidak kosong dari ring R mengakibatkan, () Maka,`
( ) () () () ()
Juga:
Sehingga
Karena syarat cukup dan perlu terpenuhi untuk S menjadi sub-ring, maka S adalah sub-ring dari ring R
DEFENISI Suatu sub ring S dari suatu ring R dikatakan
Ideal kanan dari R jika a S dan r R maka ar S
Ideal kiri dari R jika a S dan r R maka ra S
Ideal dari R artinya ideal kiri dan ideal kann jika a S, r R maka ar S dan ra S
TEOREMA 1 Andaikan R adalah suatu gelanggang, suatu himpunan bagian tak kosong S dari R dikatakan Ideal dari R jika S memenuhi
Untuk setiap a S dan b S maka a – b S
Untuk setiap a S dan r R maka ar S dan ra S
Bukti Ditunjukkan S adalah ideal dari ring R. Menurut defenisi Ideal, S adalah subring dari R seperti
aS
, r R maka ar S dan ra S
Syarat perlu dan syarat cukup untuk himpunan bagian tak kosong S sebagai t ambahan Untuk a S dan b S maka a – b S akibatnya a S, b S maka a – b S dan
a S, r S maka ar S dan ra R
Selanjutnya Ditunjukkan S adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R dengan membuktikan (i) a S, b S maka a - b S (ii) a S, r R maka ar S dan ra S Jika a dan b adalah dua anggota sembarang dari S Maka untuk (i) a S, b S maka a - b S Juga untuk (ii) a S, b S maka a S , b R maka ab
Demikian juga a S, b S maka a – b S dan ab a S, r S maka ar S dan ra
Contoh 1 Buktikan
x R u
bahwa
a N b
himpunan
y
v
; a, b Z 0 0
adalah
ideal
dari
Ring
; x, y, u, v Z
Penyelesaian
a1 Ambil sebarang A1 b1
0
a2 0 dan A 2 b 0 N 0 2
Maka
a1 0 a2 0 A1 A2 b1 0 b2 0 a a 0 1 2 b1 b2 0 Karena (a1 a 2 ), (b1 b2 ) Z jadi A1 A2 z
a 0 x Ambil sebarang A N dan B u b 0 Maka
x y a BA u v b
y
R
v
0
0
xa yb ua vb
0
N
0
Karena ( xa yb), (ua vb) N maka BA N sehingga BA adalahideal kiri dari R
a AB b ax bx
0 x y
0 u
v
ay
N
by
karena AB N maka N bukan ideal kanan Sehingga dapat dibuktikan bahwa N merupakan ideal kiri dari ring R
Contoh 2 Apakah
a N b
himpunan
c
; a, b, c, d Z d
adalah
ideal
p q R ; p , q , r , s Z r s Penyelesaian
a1 c1 a2 Ambil sebarang dua unsur A1 dan A2 b2 b1 d 1
c2
N
d 2
Maka
a1 c1 a2 c2 A1 A2 b d b d 1 1 2
a a 1 2 b1 b2
c1 c 2
N
d 1 d 2
Karena (a1 a2 ), (b1 b2 ), (c1 c2 ), (d 1 d 2 ) z jadi A1 A2 N
a Ambil sebarang A b
c
p q dan B r s d
Maka
a AB b
c p
q
d r s
ap cr bp dr
aq cs
N
bq ds
Karena (ap cr ), (bp dr ), (aq cs), (bq ds) z jadi AB N
p BA r
q a
c
s b
d
pa qb ra sb
pc qd
N
rc sd
Karena ( pa qb), (ra sb), ( pc qd ), (rc sd ) z jadi BA N Sehingga terbukti bahwa N ideal dari R
dari
ring
TEOREMA 2 Jika R adalah ring yang komutatif dan a R, Ra = {ra : r R } adalah ideal dari R Bukti
Ditujukkan r 1 a dan r 2 a Ra , sehingga r 1a r 2 a (r 1 r 2 ) a Ra Karena
r 1 R, r 2 R r 1 r 2 R
Ambil sebarang r R dan ra Ra sehingga
r ( r 1a) ( r r 1 ) a Ra
Karena r R, r 1 R r r R
dan (r 1a) r ( r 1r )a Ra Karena r 1 R, r R r 1 r R
Karena R komutatif maka Ra ideal dari R
DEFENISI Ideal N pada teorema 2 disebut ideal yang principal yang dibangun oleh unsur a. Suatu ring demikian semua idealnya adalah ideal principal disebut sebagai ring ideal principal.
Contoh Dari Z12 diperoleh N1 = Z12 yaitu ideal principal yang dibangun oleh unsur 1 N2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ideal principal yang dibangun oleh unsur 2 N3 = {0, 3, 6, 8} ideal principal yang dibangun oleh unsur 3 N4 ={0, 4, 8} ideal principal yang dibangun oleh unsur 4
DEFINISI Suatu ideal sejati Ra dari ring R dikatakan ideal prima jika un tuk semua x,y є R dengan xy є Ra , maka x є N atau y є N
Contoh 1 Dalam ring bilangan bulat Z, maka ideal pZ adalah suatu ideal prima. Perhatikan semua x,y є Z dengan xy є pZ. Hal ini berakibat xy = kp. Tetapi ini berarti p membagi x atau p membagi y. Dengan perkataan lain, x є pZ atau y є pZ
Contoh 2 Ring Semua ideal sejati N dari Z6 adalah {0, 2, 4} dan {0, 3} merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z6 dengan xy є N,
maka x є N atau y є N
Contoh 3 Ring Semua ideal sejati dari Z12 adalah S1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} S2 = {0, 3, 6, 9} S3 = {0, 4, 8} S4 = {0, 6} Akan dibuktikan Ideal prima dari Z 12
Untuk S1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z 12 dengan xy є S 1,
Untuk S2 = {0, 3, 6, 9} merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z 12 dengan xy є S 2,
maka x є S2 atau y є S 2
Untuk S3 = {0, 4, 8} bukan merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z 12 dengan xy є S 3,
maka x є S 1 atau y є S1
maka x S3 atau y S3
Untuk S4 = {0, 6} bukan merupakan ideal prima karena untuk semua x,y є Z 12 dengan xy є S 4,
maka
x S4 atau y S4
DEFINISI Suatu ideal sejati N dari ring R dikatakan ideal maksimal dari ring R, bila untuk setiap ideal M di R berlaku hubungan M N R
Contoh 1 Ring Semua ideal sejati dari Z6 adalah {0, 2, 4} dan {0, 3} Z6
{0, 2, 4}
{0, 3}
Sehingga {0, 2, 4} dan {0, 3} masing-masing adalah ideal maksimal dari Z 12.
Contoh 2 Ring Semua ideal sejati dari Z12 adalah {0, 2, 4, 6, 8, 10} , {0, 3, 6, 9} , {0, 4, 8} dan {0, 6}. Z12
{0, 2, 4, 6, 8, 10}
{0, 3, 6, 9}
{0, 4, 8}
{0, 6}
Sehingga {0, 2, 4, 6, 8, 10} dan {0, 3, 6, 9} masing-masing adalah ideal maksimal dari Z 12.
TEOREMA Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1, jika N adalah ideal dari R yang mengandung unsur satuan, maka N = R
Bukti Misalkan a є N adalah unsur satuan. Maka ada a -1 є R. Karena N adalah suatu ideal, maka a -1 a = 1 є N. Hal ini berakibat bahwa untuk setiap r є R, maka r = r.1 є N. Jadi N = R
Akibatnya Jika F adalah suatu Field , maka F tidak mempunyai ideal sejati
Bukti Andaikan N adalah sebarang ideal dari Field F . Jika N = {0}, maka N adalah ideal tak sejati dari F. Selanjutnya kita misalkan N ≠ {0}, karena F adalah suatu Field, setiap n є N dengan n ≠ {0} adalah suatu unsur satuan. Teorema sebelumnya menyatakan N = F. Sehingga F tidak mempunyai ideal sejati.
Contoh Z5 adalah sebuah Field dan tidak mempunyai sub ideal sejati karena Z 5 tidak mempunyai sub ring.
DEFINISI
Misalkan R adalah suatu Ring dan N adalah suatu ideal dari R . R/N = { r + N r
R} adalah Ring dengan (r1 +N) +(r2 +N) =(r1 +r2) +N dan
(r1 +N) (r2 +N) =(r1 r2) +N. Ring semacam ini disebut Ring Faktor atau Ring Koisen
Ring Faktor terdiri dari himpunan koset-koset ring tersebut yang diantaranya adalah idealideal. Teorema 1:
Andaikan R adalah suatu Ring dan misalkan N adalah ideal dari R. Bila pada himpunan
R/N = {r + N : r
R} didefinisikan operasi
(r 1 + N) + (r 2 + N) = (r 1 + r 2 ) + N dan
(r 1 + N) (r 2 + N) = r 1 r 2 + N
Untuk semua (r 1 + N), (r 2 + N)
R/N, maka (R/N, +, ∙ ) adalah suatu Ring.
Bukti :
Dik : R/N = {r + N : r
R}
didefinisikan operasi (r 1 + N) + (r 2 + N) = (r 1 + r 2) + N dan
(r 1 + N) (r 2 + N) = r 1 r 2 + N
Adt: merupakan suatu ring . Pembuktian yang diberikan dengan menggunakan definisi Ring, yaitu i.
ii.
merupakan grup komutatif
1. Sifat Ketertutupan
( a, b R/N berlaku a+b R/N)
2. Sifat Assosiatif
( a, b, c R/N berlaku (a+b)+c=a+(b+c))
3. Sifat Identitas
( e R/N e+a=a+e, a R/N)
4. Sifat Invers
( a R/N, !a-1 R/N a+ a-1 = a-1+a = e)
5. Sifat Komutatif
( a, b R/N berlaku a+b = b+a )
merupakan semi grup 1. Sifat tertutup ( a, b R/N berlaku a.b R/N) 2. memenuhi sifat Assosiatif ( a, b, c R/N berlaku (ab)c=a(bc))
iii.
memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan 1. a,b,c R/N berlaku a(b+c) = ab +ac 2. a,b,c R/N berlaku (a+b)c = ac +bc
Bukti:
i. . 1. Ambil sembarang a, b R/N , misal
a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), dengan r 1 , r 2 R
maka diperoleh
a + b = (r 1 + N)+ (r 2 + N) = (r 1+r 2) + N R/N (karena r 1 , r 2R maka (r 1+r 2)+NR/N)
Jadi terbukti
memenuhi sifat tertutup
2. Ambil sembarang a, b, c R/N misal
a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), c= (r 3 + N) .
berlaku (a+b)+c= ((r 1 + N)+ (r 2 + N)) + (r 3 + N) = ((r 1+r 2)+N)+ (r 3 + N) = ((r 1+r 2 )+r 3) + N = (r 1 + (r 2+r 3)) + N = (r 1+ N) + ((r 2+r 3) + N) = (r 1+ N) + ((r 2+N) + (r 3 + N)) = a+(b+c) Jadi sifat assosiatif pada perkalian dipenuhi.
3.ambil sembarang a= r 1+ N R/N, Pilih e = 0+N R/N Sedemikian sehingga
a + e = (r 1 + N)+ (0+N) dan e +a = (0 + N)+ (r 1+N)
= (r 1+0) + N
= (0 +r 1) +N
= r 1+N
= r 1+ N
=a
=a
Jadi e = 0 +N R/N e+a=a+e, a R/N terbukti, artinya sifat identitas pada penjumlahan dipenuhi
4. ambil sembarang a= r 1+ N R/N, Maka ada a-1, sehingga diperoleh a-1 =(-r 1+N ) R/N a + a-1 = (r 1 + N)+ (-r 1+N) dan a-1 +a = (-r 1 + N)+ (r 1+N)
Sedemikian sehingga
= (r 1+(-r 1)) + N
=((-r 1 )+r 1) +N
= 0+N
= 0+ N
=e
=e
Jadi a R/N, !a-1 R/N a+ a-1 = a-1+a = e terbukti artinya sifat Invers dipenuhi
5.
Ambil sembarang a, b R/N , misal
a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), dengan r 1 , r 2 R
maka diperoleh a + b
= (r 1 + N)+ (r 2 + N) = ( r 1+r 2) + N
( karena R ring maka r 1+r 2 = r 2+r 1)
= (r 2+r 1) + N = (r 2 + N) + (r 1+ N) =b+a Jadi a, b R/N berlaku a+b = b+a terbukti artinya sifat komutatif di penuhi Dari 1, 2, 3, 4, 5 disimpulkan bahwa
merupakan grup komutatif
ii. 1. . Ambil sembarang a, b R/N , misal
a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), dengan r 1 , r 2 R
maka diperoleh
a . b = (r 1 + N). (r 2 + N) = (r 1.r 2) + N R/N ( karena r 1 , r 2 R maka (r 1.r 2)+ N R/N
Jadi terbukti
memenuhi sifat tertutup pada perkalian
2. Ambil sembarang a , b, c R/N , misal a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), c= (r 3 + N) . Maka (ab)c = ((r 1 + N) (r 2 + N)) (r 3 + N) = (r 1 r 2 + N) (r 3 + N) = (r 1 r 2)r 3 + N = r 1(r 2 r 3) + N = (r 1 + N) (r 2 r 3 + N) = (r 1 + N) ((r 2 + N) (r 3 + N)) = a(bc)
Sehingga berlakulah sifat asosiatif pada operasi perkalian . Dari 1 dan 2 di simpulkan merupakan semi grup iii.. Ambil sembarang a , b, c R/N , misal
a= (r 1 + N), b= (r 2 + N), c= (r 3 + N) , r 1, r 2, r 3 R
Selanjutnya diperoleh 1.a(b+c)= (r 1 + N) ((r 2 + N) + (r 3 + N)) = (r 1 + N) ((r 2 + r 3) + N) = (r 1 (r 2 + r 3) + N)
= (r 1 r 2 + r 1 r 3) + N = (r 1 r 2 + N) + (r 1 r 3 + N) = (r 1 + N) (r 2 + N) + (r 1 + N) (r 3 + N), = ab + ac Jadi sifat Distributif kiri dipenuhi Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan bahwa (a+b)c =((r 1 + N) + (r 2 + N)) (r 3 + N) =( (r 1+ r 2)+ N) (r 3 + N) = ( (r 1+ r 2)r 3 + N) =( (r 1r 3+ r 2r 3) + N) =( r 1r 3 + N) (r 2r 3 + N) = (r 1 + N) (r 3 + N) + (r 2 + N) (r 3 + N). =ac +bc Jadi sifat Distributif kanan terbukti Dari 1 dan 2 di simpulkan memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan Dari i, ii, iii di simpulkan bahwa merupakan suatu ring. Dan dikenal dengan RING FAKTOR dari R modulo N. Berikut ini kita diskusikan sifat-sifat dari Ring faktor. Berikut ini kita perlihatkan salah satu sifat dari Ring R/N.
SIFAT – SIFAT RING FAKTOR TEOREMA
2 :
Andaikan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Bila N adalah suatu ideal dari R, maka R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan. (1+N) Bukti :
Andaikan R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R. Akan ditunjukkkan bahwa : i) R/N adalah ring komutatif ( r 1+N, r 2+N
R/N, berlaku (r 1+N)(r 2+ N)= (r 2 + N) (r 1 + N))
ii) R/N adalah ring dengan unsur kesatuan ((1+N)R/N (1+N)(r+N) =(r+N)(1+N) = (r+N) , (r+N) R/N) . i) Karena R ring dan N ideal dari R, maka berdasarkan Teorema 1 di atas menjamin R/N adalah suatu ring. Selanjutnya ambil sembarang r 1 + N, r 2 + N Berlaku
R/N,
(r 1 + N) (r 2 + N) = r 1 r 2 + N = r 2 r 1 + N
(karena R ring komutatif maka r 1 r 2= r 2 r 1)
= (r 2 + N) (r 1 + N), ( Definisi operasi perkalian di R/N) Sehingga R/N adalah ring komutatif. ii) ambil sembarang (r+N) R/N dan pilih (1+N) R/N selanjutnya diperoleh (1 + N) (r + N) = (1.r) + N = (r+N)
Jadi untuk semua (r + N)
dan
(r+N)(1+N) = (r.1)+N = (r+N)
R/N, maka (1 + N) adalah unsur kesatuan dari R/N.
Dari (i) dan (ii), maka teorema 2 terbukti.
Teorema 3 :
Andaikan R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, dan misalkan N adalah suatu ideal dari N. R/N adalah suatu field jika dan hanya jika N adalah ideal maksimal.
Bukti :
Andaikan R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R akan dibuktikan 1. R/N adalah field N ideal maksimal 2. N ideal maksimal maka R/N adalah field
1. Misalkan R/N adalah field akan diperlihatkan N ideal maksimal artinya hanya ditunjukkan ada N dimana N M R dan M = R Misalkan M ideal dari N dan N M, b M tetapi b
N, maka b + N adalah elemen
tak nol dari R/N. Karena R/N field maka ada c + N dimana cR, sedemikian sehingga (b+N) (c+N) = 1 + N dengan 1 + N merupakan identitas perkalian di R/ N. Karena bM dan M ideal maka bc M, oleh sebab itu 1 + N = (b+N) (c+N) = bc + N Kita peroleh 1 – bc N M, jadi 1 = (1-bc) + bc M. Maka terbukti M = R. Artinya N ideal maksimal. 2. Misalkan N ideal maksimal dari R/N . Kita perlihatkan R/N adalah suatu lapangan. Karena R komutatif dengan unsur kesatuan, berdasarkan Teorema 2 maka R/N ring komutatif dengan unsur kesatuan (1+N) jadi kita cukup memperlihatkan bahwa setiap (r + N)
R/N adalah unsur satuan. Perhatikan himpunan
S = {sr + n : r Jelaslah bahwa N
R dan n
N}
S. Kita perlihatkan bahwa S adalah suatu ideal dari R.
Untuk sebarang sr 1 + n1, sr 2 + n2
S,
(sr 1 + n1) - (sr 2 + n2) = sr 1 - sr 2 + n1 - n2 = s(r 1 - r 2) + (n1 - n2)
Karena (r 1 - r 2)
R dan (n1 - n2)
perhatikan sebarang unsur r` r`n. Jelaslah bahwa r`r Jadi r`(sr+n)
N, maka (sr 1+n1) - (sr 2+n2)
R dan sr + n
S. Selanjutnya,
S, maka r`(sr+n) = r`sr + r`n = sr`r +
R, kemudian karena N adalah suatu ideal maka r`n
N.
S. Dengan cara yang sama,kita dapat memperlihatkan bahwa (sr+n)r`
S. Jadi, S adalah ideal dari R. Karena N adalah ideal maksimal dari R dan N maka S = R. Sehingga unsur kesatuan 1
S. Misalkan 1 = sr + n` dengan n’
S, N,
maka (1 + N) = sr + n` + N = sr + N = (s + N) (r + N) Hal ini berakibat bahwa setiap unsur tak nol dari R/N adalah unsur satuan. Sehingga R/N adalah suatu lapangan (field).
Teorema 4
:
Andaikan R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan misalkan N adalah ideal dari R. R/N adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika N adalah ideal prima. Bukti :
Diketahui R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, N adalah ideal dari R, akan dibuktikan R/N adalah daerah integral jika dan hanya jika N Ideal prima, a rtinya: i)
R/N adalah daerah integral
ii)
N ideal prima
i.
N ideal prima R/N adalah daerah integral
) Misalkan R/N adalah daerah integral (RTPN, Ring komutatif dengan unsur
kesatuan). Akan ditunjukkan N adalah ideal prima ( atau
).
Ambil sembarang a,b a+N
dan
R dan ab
R/N dan b + N
R/N
N dari a,b
N. Dari a,b
R maka
Selanjutnya , kita peroleh (a+N) (b+N) = ab + N = 0+N , karena R/N daeral integral Maka a+N = 0+N = N atau b+N = 0+N=N artinya a
N atau b
N.
Artinya, N ideal prima terbukti. ii.
) Diketahui N ideal prima dan R Ring komutatif dengan unsur kesatuan.
Akan ditunjukkan R/N merupakan daerah integral. Artinya :
- R/N Ring Komutatif - R/N Ring dengan unsur kesatuan - R/N RTPN
Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan N ideal dari R. Berdasarkan teorema 2 maka R/N merupakan Ring Komutatif dengan unsur kesatuan 1+N. Selanjutnya kita tinggal menunjukkan bahwa R/N RTPN. Artinya apabila (a + N) (b + N) = 0 + N maka harus diperlihatkan a + N = 0 + N atau b + N = 0 + N. Misalkan (a + N) (b + N) = 0 + N maka ab + N = 0 + N = N. Hal ini berarti ab N karena N ideal prima maka a N atau b N sehingga a+N = N=0+N atau b+N = N=0+N. Jadi R/N merupakan RTPN terbukti. Karena R/N ring komutatif, Ring dengan unsur kesatuan, dan RTPN maka R/N merupakan Daerah Integral
CONTOH -
CONTOH SOAL
Contoh 1 :
Perhatikan Ring Z12 dengan ideal maksimal N = {0, 3, 6, 9}. Maka Z12/N = {N, 1 + N, 2 + N} adalah suatu ring Dengan tabel Cayley dari operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah sebagai berikut : +
N
1+N
2+N
N
N
1+N
2+N
1+N
1+N
2+N
N
2+N
2+N
N
1+N
.
N
1+N
2+N
N
N
N
N
1+N
N
1+N
2+N
2+N
N
2+N
1+N
Dari tabel di atas kita ketahui bahwa R/N adalah suatu lapangan (field) dan juga R/N adalah suatu daerah integral. Akibat dari Teorema 3 dan Teorema 4 :
Setiap ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah ideal prima. Bukti :
Jika N adalah ideal maksimal dari gelanggang komutatif R dengan unsur kesatuan, maka Teorema 3 mengakibatkan R/N adalah suatu lapangan (Field). Sehingga R/N juga suatu
daerah integral. Selanjutnya, Teorema 4 menjamin N adalah suatu ideal prima.
Contoh 2
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu ideal dari Z6. Tunjukkan Z 6/K adalah merupakan Ring Faktor.?
Penyelesaian: Ada dua koset dari K dalam Z6, yaitu : K
= { 0, 2, 4} dan
K + 1= {1, 3, 5 } Maka Z6/K = {K, (K+1) } Karena anggota himpunan Z 6/K finit, maka digunakan table Cayle, sebagai berikut:
Tabel 2 menunjukkan penjumlahan dan perkalian unsur-unsur dari Z 6/K
Selanjutnya dari tabel, kita akan membuktikan bahwa Z 6/K merupakan ring Faktor. Artinya harus ditunjukkan bahwa Z 6/K memenuhi syarat-syarat Ring. Adapun Syarat-syaratnya sebagai berikut: 1. ( Z6/K , + )
merupakan grup komutatif
a) Sifat Ketertutupan
( a, b Z6/K berlaku a+b Z6/K)
Dari table terlihat hasil operasi dari anggota Z6/K berada dalam Z6/K. Jadi sifat ketertutupan dipenuhi b) Sifat Assosiatif
( a, b, c Z6/K berlaku (a+b)+c=a+(b+c))
Sifat Assosiatif pada operasi penjumlahan berlaku pada Z 6, maka berlaku juga pada Z6/K
c) Sifat Identitas
( e Z6/K e+a=a+e, a Z6/K)
Dari table terlihat ada e = K+0 a+e=e+a,a Z6/K ( a Z6/K, !a-1 Z6/K a+ a-1 = a-1+a = e)
d) Sifat Invers
Dari table terlihat bahwa K inversnya K, dan K=1 inversnya K+1 e) Sifat Komutatif
( a, b Z6/K berlaku a+b = b+a )
Dari table operasi penjumlahan terlihat unsur-unsur di Z 6/K simetri terhadap diagonal utamanya, maka (Z6/K,+) berlaku sifat komutatif
2. (Z6/K, ∙ )
memenuhi sifat Assosiatif
( a, b, c Z6/K berlaku (ab)c=a(bc))
Sifat Assosiatif pada operasi perkalian berlaku pada Z 6, maka berlaku juga pada Z6/K
3. (Z6/K, +, ∙ ) memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a.
a,b,c
Z6/K berlaku a(b+c) = ab +ac
Sifat Distributif Kiri berlaku di Z6, maka berlaku juga pada Z6/K b.
a,b,c
Z6/K berlaku (a+b)c = ac +bc
Sifat Distributif kanan berlaku di Z6, maka berlaku juga pada Z6/K Contoh : Z12 = {0, 1, 2, 3, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12. IDEAL
RING FAKTOR
P = { 0, 6 }
Z12 / P = { P, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4,10}, {5,11} }
Q = { 0, 4, 8 }
Z 12 / Q = {Q, {1,5,9}, {2,6,10}, {3,7,11}}
R = { 0, 3, 6, 9 }
Z 12 / R = {R,{1,4,7,10}, {2,5,8,11}}
S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }
Z 12 / S = {S, {1,3,5,7,9,11}}
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala berkah dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Makalah ini berjudul “ SUB RING, IDEAL DAN RING FAKTOR ”. Tulisan ini dibuat sebagai tugas mata kuliah
Struktur Aljabar pada Program Studi Pendidikan Matematika Pascasarjana UNIMED. Terima kasih yang sebesar-besarnya penulis persembahkan kepada Ibu Dr. Izwita Dewi, M.Pd sebagai Dosen Pengampu mata kuliah yang telah membuka cakrawala
berpikir penulis. Dan ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman kelas Reguler A Semester 2 Prodi Pendidikan Matematika. Sebagai hasil makalah mahasiswa, tentu saja makalah ini masih banyak kekurangan maupun keraguan di dalamnya. Untuk itu kami berharap kepada seluruh pihak untuk memberi saran dan kritikan guna memperbaiki tulisan ini.
Medan, april 2011 Penulis
Kelompok 1
