UNIVERSITAS MERCU BUANA PROGRAM KULIAH KARYAWAN
MATA KULIAH MATERI KU KULIAH MODUL PENYUSUN
: STATISTIKA TEKNIK : UKURAN PE PEMUSATAN ( MEAN, MEDIAN DAN MODUS) : KE VII : IR. SUPRAPTO, M.SI
2
PROGRAM KULIAH KARYAWAN UNIVERSITAS MERCU BUANA JAKARTA
UKURAN PEMUSATAN ( MEAN, MEDIAN, DAN MODUS)
TUJUAN INSTRUKSIONAL: Mahasiswa diharapkan mampu : 1. Menghi Menghitu tung ng berba berbaga gaii ukura ukuran n dispe dispersi rsi untuk untuk data menta mentah h dan dan dalam dalam distribusi frekuensi. 2. Menjela Menjelaskan skan karakter karakteristik istik,, keguna kegunaan, an, keuntunga keuntungan n dan kerugian kerugian dari setiap ukuran dispersi.
DAFTAR ISI : Halaman Judul Tujuan Instruksional Khusus Modul III dan Daftar Isi Ukuran Pemusatan 1. Rata-rata Hitung a). Rata-rata Hitung Populasi b). Rata-rata Hitung Sampel c). Rata-rata Hitung Tertimbang d). Rata-rata Hitung Data Berkelompok 2. Median a). Median untuk Data Tidak Berkelompok b). Median untuk Data Berkelompok 3.Modus
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
2
3
Latihan-latihan Soal Daftar Pustaka
UKURAN PEMUSATAN ( MEAN, MEDIAN, DAN MODUS)
I. RATA-RATA UKUR
Dalam masalah bisnis dan ekonomi seringkali diperlukan data untuk mengetahui rata-ra rata-rata ta persenta persentase se tingkat tingkat perubah perubahan an sepanja sepanjang ng waktu, waktu, misalny misalnyaa rata-ra rata-rata ta persent persentase ase tingkat perubahan perubahan hasil penjualan, produksi, harga dan pendapatan pendapatan nasional 10 tahun yang lalu. Perhatikan data berkala mengenai hasil penjualan suatu perusahaan (dalam jutaan rupiah)
Tahun Penjualan
1996 10
1997 8
1998 12
1999 15
Berapa besarnya rata-rata persentase tingkat perubahan per tahun dari data pen jualan tersebut? tersebut? Nilai Nilai tersebut tersebut dapat dapat diperoleh diperoleh dengan dengan menggunakan menggunakan rumus rumus rata-rata ukur.
G
= n X 1 . X 2 . X 3 ........... X n
Jadi rata-rata ukur suatu kelompok nilai X1, X2, X3, ….Xn merupakan akar pangkat n dari hasil kali masing-masing nilai kelompok tersebut. Untuk mencari rata-rata ukur juga dapat digunakan rumus sebagai berikut : log G
=∑
log X i n
atau
G
log X i = anti log ∑ n
Contoh :
Cari rata-rata ukur dari data berikut : X1 = 2, X2 = 4, X3 = 8
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
3
4 Penyelesaian Penyelesaian :
G
= 3 X 1 . X 2 . X 3
, G = 3 (2)(4)(8) , G
=3
64 = 4 , atau dapat dihitung dengan :
log G = ⅓(log X1 + log X2 + logX3) = 1/3 ( log 2 + log 4 + log 8) = 1/3 ( 0,3010 + 0,6021 + 0,9031) = 1/3 ( 1,8062) = 0,6021 G
= antilog 0,6021 =4
II. HUBUNGAN ANTARA ANTARA RATA-RATA UKUR DENGAN DENGAN BUNGA TERTIMBANG.
Secara umum dapat digambarkan bahwa jika dilakukan suatu investasi awal sebesar Po dan menjadi Pn setelah n tahun , maka rata-rata ukur r yang merupakan rata-rata tingkat kenaikan selama n tahun, maka rata-rata ukur r , yang merupakan rata-rata tingkat kenaikan selama n tahun , dapat diperoleh dengan menggunakan rumus :
Pn = Po ( 1 + r )n
Jika Pn = Rp 175 juta , Po = Rp100 juta dan n = 2 tahun ( tahun tahun pertama sampai dengan tahun ke tiga ), maka : 175 = 100 (1 + r)2 ( 1 + r)2 = r =
175 100
175 100
−1
r = 0,323
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
4
5
Contoh :
Pendapatan nasional suatu Negara pada tahun 1976 adalah US$400 milyar dan pada tahun 1980 menjadi US$500 milyar. Selama 4 tahun, berapa tingkat pertumbuhannya?
Penyelesaian Penyelesaian :
n=4 Pn = Po( 1+r)n 500 = 400 ( 1 + r )4 r =
Misalkan :
4
500
−1
400
p
=
500 4
log p
400
=
1
=
1
=
1
4 4 4
1/ 4
5 = 4
log
5 4
(log 5 − log 4) (0,69897 − 0,60206 )
= 0,02423 p = antilog 0,02423
= 1,0573
maka : r = 1,0573 – 1 = 0,0573 Jadi rata- rata tingkat pertumbuhan Pendapatan Nasional selama 4 tahun adalah 0,0573 atau 5,73% per tahun.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
5
6 III. RATA-RATA HARMONIS
Rata-rata harmonis (R H) dari n angka, X1, X2 , ……..Xn adalah nilai yang diperoleh dengan jalan membagi n dengan jumlah kebalikan dari masing-masing X tersebut di atas. Rumusnya adalah sebagai berikut :
Rh
=
n n
∑ X 1 i =1
i
Contoh :
Seorang pedagang batik di Tegal memperoleh hasil penjualan sebesar Rp 100.000 perminggu perminggu dengan rincian rincian sebagai sebagai berikut berikut :
Minggu pertama dapat menjual 10 helai seharga Rp10.000/helai Minggu ke dua dapat menjual 25 helai seharga 4.000 sehelai Minggu ke tiga dapat menjual 20 helai seharga Rp5.000/helai Minggu ke empat dapat menjual 40 helai seharga 2.500,- sehelai.
Berapa harga rata-rata kain tersebut ?
Penyelesaian : Untuk menghitung rata-rata haega batik per helai digunakan rumus rata-rata harmonis R H
=
n n
1
∑ X i =1
i
=
4 1 1 1 1 + + + 10.000 4.000 5.000 2.500
=
400.000 95
= 4.210,53
Jadi harga rata-rata batik per helai adalah Rp 4.210,53,( Rata-rata harmonis jarang digunakan).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
6
7 IV. UKURAN LETAK A. KUARTIL Definisi:
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi 4 bagian yang sama. K 1 sampai 25% data, K 2 sampai 50% dan K 3 sampai 75%.
Rumus letak kuartil: DATA TIDAK BERKELOMPOK
K 1
DATA BERKELOMPOK
= [1(n + 1)]/4
K 2
= [2(n + 1)]/4
K 3
= [3(n + 1)]/4
n − ( f ) ∑ i o Qi = Lo + c 4 f q
0
K 1
K 2
K 3
0 %
2 5 %
5 0 %
7 5 %
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
n 1 0 0 %
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
7
8 CONTOH KUARTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
1
Kimia Farma Tbk.
160
2
United Tractor Tbk .
285
3
Bank Swadesi Tbk .
300
4
Hexindo Adi Perkasa Tbk.
360
5
Bank Lippo
370
6
Dankos Laboratories Tbk.
405
7
Matahari Putra Prima Tbk.
410
8
Jakarta International Hotel Tbk.
450
9
Berlian Laju Tangker Tbk.
500
10
Mustika Ratu Tbk.
550
11
Ultra Jaya Milik Tbk.
500
12
Indosiar Visual Mandiri Tbk.
525
13
Great River Int. Tbk.
550
14
Ades Alfindo Tbk.
550
15
Lippo Land Development Tbk.
575
16
Asuransi Ra Ramayana Tb Tbk.
600
17
Bank Buana Nusantara Tbk.
650
18
Timah Tbk.
700
19
Hero Supermarket Tbk.
875
Soal : Carilah kuartil : K 1, dan K 3 dari data di atas.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
8
9 CONTOH KUARTIL DATA BERKELOMPOK
Interval
Frekuen si
160 - 303
2
304 - 447
5
Frekuensi Kumulatif 0
2
Tepi Kelas
159,5
303,5
447,5 448 - 591
9
7
592 - 735
3
16
19 736 - 878
1 20
591,5
735,5 878,5
Hitung Q2 dan Q3
B. DESIL Definisi:
Desil adalah ukuran letak yang membagi 10 bagian yang sama. D1 sebesar 10% D2 sampai 20% D9 sampai 90%
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
9
10
Rumus Letak Desil: DATA TIDAK BERKELOMPOK
D1
= [1(n+1)]/10
D2
= [2(n+1)]/10
DATA BERKELOMPOK
Di
n − ( f ) 10 ∑ i o = Lo + c f d
0%
20%
40%
60%
80%
100%
0
D2
D4
D6
D'8
n
C. PERSENTIL Definisi: Ukuran letak yang membagi 100 bagian yang sama. P1 sebesar 1%, P2 sampai 2% P99 sampai 99%
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
10
11 Rumus Letak Persentil: DATA TIDAK BERKELOMPOK P1
DATA BERKELOMPOK
= [1(n+1)]/100
P2
= [2(n+1)]/100
P99
= [99(n+1)]/100
n − ( f ) 100 ∑ i o P i = Lo + c f p
1 %
3 %
…
…
…
9 9 %
P1
P 3
…
…
…
P9 9
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
11
12 CONTOH PERSENTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
1
Kimia Farma Tbk.
160
2
United Tractor Tbk .
285
3
Bank Swadesi Tbk .
300
4
Hexindo Adi Perkasa Tbk.
360
5
Bank Lippo
370
6
Dankos Laboratories Tbk.
405
7
Matahari Putra Prima Tbk.
410
8
Jakarta International Hotel Tbk.
450
9
Berlian Laju Tangker Tbk.
500
10
Mustika Ratu Tbk.
550
11
Ultra Jaya Milik Tbk.
500
12
Indosiar Visual Mandiri Tbk.
525
13
Great River Int. Tbk.
550
14
Ades Alfindo Tbk.
550
15
Lippo Land Development Tbk.
575
16
Asuransi Ra Ramayana Tb Tbk.
600
17
Bank Buana Nusantara Tbk.
650
18
Timah Tbk.
700
19
Hero Supermarket Tbk.
875
Carilah persentil 15, 25, 75 dan 95 CONTOH PERSENTIL DATA BERKELOMPOK Carilah P22, P85, dan P96!
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
12
13
Interval
160 303
304 447
Frekuensi
Frek. Kumulatif
2
0
5
2
159,5
303,5
7
448 591
9
592 735
3
736 878
Tepi Kelas
447,5
591,5
16
735,5
19 1
878,5
20
n − ( f ) 100 ∑ i o P i = Lo + c f p Lo = nilai batas bawah dari kelas yang mengandung persentil ke i n = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi ( f i ) o = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang memuat presentil
∑
ke i f p = frekuensi dari kelas yang memuat presentil kei c = besarnya kelas interval yang memuat presentil ke i
-oOo-
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Ir. Suprapto M.Si.
STATISTIK INDUSTRI
13
