STATISTIKA DISKRIPSI :
Matakuliah Matakuliah ini membahas membahas konsep-konsep konsep-konsep statistika deskriptif dan dan Inferen, Pembahasan meliputi penyajian data, data, ukuran ukuran tendens tendensii sentra sentral, l, ukuran ukuran variab variabili ilitas tas,, teori probabilitas, probabilitas, distr distribusi ibusi sampl sampling, ing, estim estimasi, asi, uji hipotesis, analisis varian dan chi-kuadrat. TUJUAN PEMBELAJARAN (Kompetensi Hard Ski! Setelah menyelesaikan perkuliahan ini, diharapkan mahasiswa dapat menjelaskan : 1. onsep-konsep dasar statistika deskripti! dan in!ern serta penggunaannya ". Pentingnya model statistika statistika sebagai dasar metode metode analisis data. "#t$ome Pem%ea&aran (Kompetensi So't Ski! Setelah memenuhi tujuan pembelajaran matakuliah statistik ini, maka diharapkan mahasiswa dapat : a. Mengembangkan Mengembangkan sendiri sendiri #sel! #sel! learn$ learn$ penggunaan penggunaan konsep dasar dasar statisti statistika ka deskripti! deskripti! dan in!erens in!erens sebagai dasar metode analisis data b. Memiliki kemampuan bekerja secara individu maupun tim #kelompok$, berdiskusi dan lain-lain. BUKU TEKS : ) D&ar*anto PS+ Statistik Sosia Ekonomi+ Ba,ian Pertama+ Ed Edisi -+ .// .) 0#na*an Santosa+ St Statistik+ Pe Pener%it Andi 1o,2akarta+ ./ .//3 -) Ro%ert D Mason da dan Do Do#,as A+ Li Lind+ Te Teknik St Statistika #n #nt#k Bi Bisnis 4 Ekonomi+ Ed Edisi kesem%ian+ Jiid I+ Eran,,a+ 555 PED"MAN PENILAIAN
%%% #67$ & '%S #.67$ & '(S #-67$ & )(*+-" # /7$ & %'(S #67
REN8ANA KULIAH : PERTEMUAN
1
"
/
0
5
6
8
9
1;
11
1"
1
1/
MATERI De'inisi Statistika 1.1 Pengerti Pengertian an Pokok Pokok Stati Statistik stikaa 1." enis-jen enis-jenis is statisti statistika ka 1. eguna egunaan an statist statistika ika 1./ enis enis dan dan sumber sumber data data 1.0 Pengukura Pengukuran n dan pengumpula pengumpulan n data data Merin,kas data : Distri%#si 9rek#ensi dan pen2a&ian 0ra'ik ".1 Pengertian distribusi !rekuensi "." Penyusunan distribusi !rekuensi ". Penyajian ra!ik Deskripsi Uk#ran Pem#satan .1 Pengertian 'kuran Pemusatan ." Mean, Median dan Modus . Mendiskusikan tugas mandiri 1 Uk#ran Dispersi /.1 Pengertian ukuran dispersi /." Macam-macam ukuran dispersi /. *nterprestasi dan kegunaan dispersi /./ 2ispersi 3elati! dan Skweness /.0 Mendiskusikan tugas mandiri " Teori Pro%a%iitas 0.1 Pengertian Probabilitas 0." 4ukum dasar Probabilitas 0. Mendiskusikan tugas mandiri Distri%#si Pro%a%iitas Binomia 5.1 Pengertian 2istribusi inomial 5." Mean dan Standar 2eviasi 2istribusi inomial 5. Mendiskusikan tugas mandiri / Reie* Materi K#ia; 6.1 Mendiskusikan %ugas mandiri 6." Mereview Materi kuliah 1 s7d 5 UJIAN TEN0AH SEMESTER Distri%#si Pro%a%iitas Norma 8.1 Pengertian 2istribusi +ormal 8." (plikasi 2istribusi +ormal 8. Pendekatan 2istribusi +ormal untuk inomial Estimasi Se$ara Statistika 9.1 stimasi %itik dan *nterval 9." Menyusun *nterval keyakinan untuk 3ata-rata 9. Menyusun *nterval keyakinan untuk Proporsi 9./ Mendiskusikan tugas mandiri Pen,#&ian Hipotesis 1;.1 Pengertian Pengujian 4ipotesis 1;." Prosedur Pengujian 4ipotesis 1;. Pengujian 4ipotesis 3ata-rata 1;./ Mendiskusikan tugas 6 Lan&#tan 11.1 Menguji 4ipotesis Perbedaan dua rata-rata dari dua sampel independen dan dua data berpasangan 11." Mendiskusikan tugas mandiri 8 Lan&#tan 1".1 Menguji 4ipotesis Proporsi 1"." Menguji 4ipotesis Perbedaan 2ua Proporsi 1". Mendiskusikan tugas mandiri 9 Anaisis o'
ay (nalysis o!
BAHAN
uku 1, ",
KE0IATAN LUAR KELAS Studi Mandiri
uku 1, ",
%ugas ma mandiri 1 Mengerjakan %ugas meringkas data
uku 1, ",
%ugas ma mandiri "
uku 1, ",
%ugas ma mandiri
uku 1,",
%ugas Mandiri /
uku 1, ",
%ugas ma mandiri 0
uku 1, ",
Studi mandiri
uku 1, ",
Mengerjakan so soal 2istribusi normal
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 6 Mengerjakan soal estimasi
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 8 Mengerjakan soal Pengujian hipotesis %entang rata-rata
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 9 Mengerjakan soal Pengujian hipotesis Perbedaan dua ratarata %ugas Mandiri 1; Mengerjakan soal Pengujian hipotesis Proporsi %ugas mandiri 11 Mengerjakan soal (nalisis varians
uku 1, ",
uku 1, ",
uku 1, ",
Studi Mandiri
REN8ANA KULIAH : PERTEMUAN
1
"
/
0
5
6
8
9
1;
11
1"
1
1/
MATERI De'inisi Statistika 1.1 Pengerti Pengertian an Pokok Pokok Stati Statistik stikaa 1." enis-jen enis-jenis is statisti statistika ka 1. eguna egunaan an statist statistika ika 1./ enis enis dan dan sumber sumber data data 1.0 Pengukura Pengukuran n dan pengumpula pengumpulan n data data Merin,kas data : Distri%#si 9rek#ensi dan pen2a&ian 0ra'ik ".1 Pengertian distribusi !rekuensi "." Penyusunan distribusi !rekuensi ". Penyajian ra!ik Deskripsi Uk#ran Pem#satan .1 Pengertian 'kuran Pemusatan ." Mean, Median dan Modus . Mendiskusikan tugas mandiri 1 Uk#ran Dispersi /.1 Pengertian ukuran dispersi /." Macam-macam ukuran dispersi /. *nterprestasi dan kegunaan dispersi /./ 2ispersi 3elati! dan Skweness /.0 Mendiskusikan tugas mandiri " Teori Pro%a%iitas 0.1 Pengertian Probabilitas 0." 4ukum dasar Probabilitas 0. Mendiskusikan tugas mandiri Distri%#si Pro%a%iitas Binomia 5.1 Pengertian 2istribusi inomial 5." Mean dan Standar 2eviasi 2istribusi inomial 5. Mendiskusikan tugas mandiri / Reie* Materi K#ia; 6.1 Mendiskusikan %ugas mandiri 6." Mereview Materi kuliah 1 s7d 5 UJIAN TEN0AH SEMESTER Distri%#si Pro%a%iitas Norma 8.1 Pengertian 2istribusi +ormal 8." (plikasi 2istribusi +ormal 8. Pendekatan 2istribusi +ormal untuk inomial Estimasi Se$ara Statistika 9.1 stimasi %itik dan *nterval 9." Menyusun *nterval keyakinan untuk 3ata-rata 9. Menyusun *nterval keyakinan untuk Proporsi 9./ Mendiskusikan tugas mandiri Pen,#&ian Hipotesis 1;.1 Pengertian Pengujian 4ipotesis 1;." Prosedur Pengujian 4ipotesis 1;. Pengujian 4ipotesis 3ata-rata 1;./ Mendiskusikan tugas 6 Lan&#tan 11.1 Menguji 4ipotesis Perbedaan dua rata-rata dari dua sampel independen dan dua data berpasangan 11." Mendiskusikan tugas mandiri 8 Lan&#tan 1".1 Menguji 4ipotesis Proporsi 1"." Menguji 4ipotesis Perbedaan 2ua Proporsi 1". Mendiskusikan tugas mandiri 9 Anaisis o' ay (nalysis o!
BAHAN
uku 1, ",
KE0IATAN LUAR KELAS Studi Mandiri
uku 1, ",
%ugas ma mandiri 1 Mengerjakan %ugas meringkas data
uku 1, ",
%ugas ma mandiri "
uku 1, ",
%ugas ma mandiri
uku 1,",
%ugas Mandiri /
uku 1, ",
%ugas ma mandiri 0
uku 1, ",
Studi mandiri
uku 1, ",
Mengerjakan so soal 2istribusi normal
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 6 Mengerjakan soal estimasi
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 8 Mengerjakan soal Pengujian hipotesis %entang rata-rata
uku 1, ",
%ugas Ma Mandiri 9 Mengerjakan soal Pengujian hipotesis Perbedaan dua ratarata %ugas Mandiri 1; Mengerjakan soal Pengujian hipotesis Proporsi %ugas mandiri 11 Mengerjakan soal (nalisis varians
uku 1, ",
uku 1, ",
uku 1, ",
Studi Mandiri
PERTEMUAN I)
)) Pen,ertian Statistik Men#r#t %#k#n2a : D&ar*anto PS . Stati Statisti stik k adalah adalah ilmu ilmu penget pengetahu ahuan an sehubun sehubungan gan dengan dengan pengump pengumpula ulan, n, pengor pengorgani ganisas sasian ian,, penyaji penyajian, an, penganalisaan dan interprestasi data numerical untuk tujuan membantu dalam membuat suatu keputusan yang e!ekti!, e!ekti!, cara-cara cara-cara seperti seperti diatas diatas disebut disebut metode statistik, statistik, sedangkan sedangkan penganalisaan penganalisaan disebut analisis analisis statistik. Men#r#t %#k#n2a : 0#na*an Santoso . Statistik adalah *lmu yang berkaitan dengan data.
Menurut bukunya : Ro%ert D) Mason (Teknik Statistika #nt#k Bisnis 4 Ekonomi! Statistika Statistika adalah ilmu mengumpulkan mengumpulkan,, menata, menata, menyajikan, menyajikan, menganalis menganalisaa dan menginterpr menginterprestas estasikan ikan data angka dengan tujuan membantu pengambilan keputusan yang e!ekti!. Pengertian Statistik dengan Statistika, Statistika, Statistik , umpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel-tabel atau diagram, yang melukiskan atau mengambarkan suatu persoalan. Pengeta tahua huan n yang yang berh berhub ubung ungan an denga dengan n cara cara-c -car araa peng pengum umpul pulan an data data,, pengo pengola lahan han atau atau Statistika, Penge penganalisa dan penarikan suatu kesimpulan.
). Jenis>&enis Statistik Statistik dapat dibedakan menjadi dua #"$ jenis yaitu : 1. Statistik Deskripti' , yaitu statistik yang menggunakan metode numeric dan gra!ik untuk mencari pola dalam suatu kumpulan data, meringkas in!ormasi yang terkandung dalam kumpulan data dan menghadirkan in!ormasi dalam bentuk yang diinginkan. # untuk menggambarkan 7 menganalisa suatu hasil penelitian tetapi tidak digunakan untuk membuat suatu kesimpulan 7 tidak menggunakan data sampel$ ". Statistik In'erensia yaitu statis statisti tik k yang mengun mengunakan akan data data sampel sampel untuk untuk membua membuatt estima estimasi, si, In'erensia, yaitu keputusan, prediksi dan generalisasi terhadap kumpulan data yang lebih besar. (da dua #"$ macam statistik in!erens yaitu : 1. Statistik Parametris ". Statistik +on Parametris Statistik Parametris digunakan untuk menganalisa data interval atau rasio yang diambil dari populasi yang berdistribusi normal Statistik non Parametris digunakan untuk menganalisa data nominal dan ordinal dari populasi yang bebas dari distribusi )- Ke,#naan Statistik 1. Statistik Statistik menggambarka menggambarkan n data data dalam dalam bentuk bentuk tertentu tertentu %anpa adanya statistik, maka data akan menjadi kabur dan tidak jelas ". Statistik Statistik dapat dapat menyederhan menyederhanakan akan data yang yang komplek komplek menjadi menjadi data yang mudah mudah dimengert dimengertii . Statistik Statistik merupakan merupakan teknik teknik untuk membuat membuat perbanding perbandingan an 2eng 2engan an peny penyed eder erha hana naan an data data keda kedala lam m bent bentuk uk rata rata-r -rat ata, a, pros prosen enta tase se maka maka akan akan membandingkan suatu kelompok data dengan kelompok data yang lain.
muda mudah h
Eemen dasar daam statistik meip#ti : - Pop#asi = Parameter , yaitu : himpunan unit-unit #orang, obyek, transaksi$ yang menarik untuk diselidiki atau keseluruhan dari obyek penelitian. -
S2arat>s2arat Data 2ata dapat dikatakan data statistik bila memenuhi syarat yaitu : 1. 2ata yang terkumpul harus berupa angka atau data tersebut harus dapat diukur ". 2ata yang berupa angka tersebut harus disusun secara teratur menurut penggolongannya sesuai dengan yang dikehendaki . 2ata harus menunjukkan adanya si!at dari suatu penelitian, apakah penelitiannya menggunakan populasi ataukah menggunakan sample
Ada d#a (.! tipe ata# si'at data daam statistik : 1. 2ata uantitati!, yaitu data pengukuran yang dapat dikodekan dengan skala numeric ". 2ata ualitati!, yaitu pengukuran yang tidak dapat diukur pada skala numeric, dan dapat diklasi!ikasikan dalam salah satu group atau kategori Data statistik dapat di%edakan men&adi . 2ait# : ) Data intern : yaitu data yang dikumpulkan oleh suatu perusahaan dan hasil pengumpulan data tersebut dapat digunakan oleh perusahaan itu sendiri .) Data ekstern : yaitu data yang diperoleh bukan dari dalam perusahaan melainkan dari luar perusahaan, misalnya dari surat kabar, majalah, internet dan sebagainya Data men#r#t S#m%ern2a : 1. Data Primer , yaitu : 2ata yang diperoleh dari sumbernya langsung, dalam hal ini melalui penelitian yang berasal dari responden ". Data Sek#nder , yaitu : 2ata yang diperoleh dari sumbernya tetapi dari pengumpulan data atau data yang sudah ada dan telah disusun Keema;an Data Sek#nder : - adang tidak relevan dengan kondisi sekarang #harga$ - 2apat dipengaruhi oleh subyekti! peneliti - emungkinan cara pengumpulannya kurang benar Data ditin&a# dari Jenis Data 1. 2ata 2iskrit, 2ata yang berupa bilangan bulat dan tidak dapat berupa angka pecahan #1,",,..$ ". 2ata ontinum, 2ata yang berupa bilangan pecahan # @, 1 @ dst $ Data dii;at dari tin,katann2a 1. Data Nomina , data hanya bisa diklasi!ikasikan kedalam kategori-kategori ?ontoh : menunjukkan nomor urutannya #1. Pria, ". >anita$A (gama urutannya bisa diubah-ubah, sehingga kategori-kategori tersebut dianggap saling lepas #mutually eBclusive$ artinya tidak mungkin seseorang mempunyai dua atau lebih pilihan.
". Data "rdina , menunjukkan tingkatan tetapi tidak mencerminkan jangka waktu lebih dari #%, S2, SMP, SM( $ atau jika 1 menggantikan kategori C*stimewaD, " menggantikan CaikD, dan seterusnya . Data Intera , 2ata yang tidak mempunyai nol mutlak # air mendidih 1;; derajat ? $
/. Data Rasio, 2ata yang mempunyai nol mutlak # 1 meter E 1;; cm $ Pen,#mp#an Data (8oe$tion o' Data! 1. Pengumpulan data secara keseluruhan disebut metode sensus, adalah cara pengumpulan data secara keseluruhan obyek yang diteliti tanpa ada kecualian disebut juga populasi #parameter$, metode ini memerlukan waktu dan biaya yang besar ". Pengumpulan data berdasar sample adalah pengumpulan data hanya sebagian dari data keselurhan. Metode Pen,am%ian sampe 1. 3andom atau Probabilitas sampel #kesempatan sama untuk dipilih$ ". +on 3andom atau udgment sample #kesempatan tidak sama, pilih-pilih$ . %est dan Skala obyekti! #hasil tes$ /. =bservasi tingkah laku #cirri-ciri dari obyek$
Pen2#s#nan Data egiatan penyusunan data dibedakan dalam hal yaitu : 1. Editin, , cara mendeteksi adanya kemungkinan kesalahan, tidak konsisten, tidak ketepatan dari data yang dikumpulkan ". 8assit2 , atau klasi!ikasi atau pengelompokan data sesuai dengan si!at yang dimiliki oleh data . Ta%#asi , mengadakan pengelompokan data sesuai dengan si!at data kedalam susunan kolom-kolom dan baris sehingga mudah ditarik suatu kesimpulan
%ipe-tipe variable diringkas pada diagram sebagai berikut:
2ata
uantitati! atau numerik
ualitati! atau atribut
2iskrit
?ontoh : %ipe mobil yang dimiliki >arna pulpen enis elamin
anyaknya anak, anyaknya pegawai anyaknya unit %< yang terjual
ontinu
obot pengapalan arak tempuh antara penggantian oli arak antara +ew Fork - angkok
PERTEMUAN KE .
)
MERIN0KAS DATA : DISTRIBUSI 9REKUENSI DAN PEN1AJIAN 0RA9IK Persoalan G persoalan dalam meringkas 7 pengumpulkan data internal maupun data eksternal Data Interna+ 1. %idak tepatnya data antar departemen ". eakuratan data . ika data memerlukan biaya karena jarak tempuh pengambilan data Data Eksterna+ 2ipengaruhi oleh lingkungan luar perusahaan sehingga memungkinkan penggunaan sampel sebagai sasaran penelitian Metode Pen,#mp#an Data+ ". Pengamatan #=bservasi$ . Pertanyaan 7 wawancara #Huestions$ a. arak dekat b. arak jauh c. Melalui surat Jenis>&enis 0ra'ik = Dia,ram Statistik a. 2iagram aris #)ine - ?hart$ b. 2iagram alok #ar G ?hart$ c. 2iagram Pie #Pie G ?hart$ d. 2ll
Pen,ertian Distri%#si 9rek#ensi 2istribusi Irekuensi adalah, Suatu da!tar susunan dari data yang menurut besarnya atau golongannya. 2istribusi ini dapat juga disebut 4istogram, ada " macam distribusi !rekuensi, yaitu distribusi !rekuensi yang belum disusun secara teratur disebut #ungrouped data$ dan yang telah teratur disebut #grouped data$ T#&#an Distri%#si 9rek#ensi , adalah untuk mengetahui 7 memperoleh gambaran yang sederhana jelas dan sistematis mengenai peristiwa yang dinyatakan dalam angka-angka. S2arat Ta%e 9rek#ensi 2an, %aik+ ) %abel !rekuensi hendaknya mempunyai nomor tabel, judul tabel dan satuannya .) anyaknya kelas sedapat mungkin ditentukan dengan menggunakan pedoman STUR0ES -) 4indarkan adanya kelas terbuka #opened class$ karena kelas terbuka tidak ada batasnya 3) Sumber data hendaknya disebutkan, karena bisa digunakan untuk kontrol sewaktu-waktu
(da " Macam 2istribusi Irekuensi 1. 2istribusi Irekuensi 'n roup, yaitu suatu distribusi yang belum disusun secara teratur ". 2istribusi Irekuensi roup, yaitu data yang disusun secara teratur Pen2#s#nan Distri%#si 9rek#ensi 1. 2ari data kasar #3ow 2ata$ maka data disusun secara teratur dari nilai yang terkecil ke yang terbesar #(33(F 2(%($ kemudian masukkan ke distribusi !rekuensi. ?ontoh :
Kons#msi 6? Ma;asis*a PTS Di S#ra%a2a
"; 5" 1 0; 0 5 /8
"6 / /; 10 5 5
0 5 /9 08 15 5/ ;
0" /6 5 / 5 05 55
; 55 0 56 "0 6
6 00 19 06 9 0/ 15
/9 56 0; 1 50 6 55
"" 0 51 9 5
Pen2#s#nan Data daam %ent#k ARRA1 se%a,ai %erik#t :
5 "0 5 /6 00 5
9 "6 5 /8 05 5/
10 ; / 5 /9 06 50
15 ; / 6 /9 08 55
15 1 0 6 0; 51 55
19 1 0 6 0; 5" 55
"; 0 9 0" 5 56
"" 0 /; 0/ 5 56
Dari ARRA1 Data+ maka dapat diketa;#i : 1. (ngka yang paling kecil 5 dan yang terbesar 56 ". 2ari data tersebut maka angka 15 muncul " kali, angka ; juga " kali dan seterusnya .)
Menent#kan J#ma; Keas umlah kelas hendaknya ditentukan sedemikian rupa, sehingga data yang diobservasi dapat masuk seluruhnya. 2alam menentukan jumlah kelas, menggunakan rumus STUR0ES yaitu : K @ -+- o, N
2imana : E umlah kelas + E anyaknya sample penelitian #banyaknya !rekuensi$ , E ilangan konstan untuk kasus diatas : E 1 & , log 05 E 1 & , #1,6/8"$ E 5,659;" dibulatkan menjadi 6 -)
Menent#kan Pan&an, Keas (Intera 8ass! *nterval kelas adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dari suatu kelas dibagi dengan banyaknya kelas. 3umusnya adalah :
+ilai Maksimum G +ilai Minimum ?i E 'ntuk kasus diatas : 56 - 5 ?i E E 8,61 Maka *nterval kelas dibulatkan menjadi 5 6 3) Memas#kkan masin,>masin, 9rek#ensi kedaam keas>keas Setelah diketahui jumlah kelas 6 dan interval kelas 9, maka dapat dipakai angka awal 5 dan kelipatannya 1/, tabel dapat dilihat dibawah, %abel JJ %abulasi onsumsi 05 MahasiswacP%S di Surabaya elas +ilai data yang %abulasi Irekuensi tercakup dalam kelasnya 5 G 1/ 5 9 ** " 10 - " 10 15 15 19 "; "" ***** * 5 "/ - " "0 "6 ; ; 1 1 ***** * 5 - /1 / / ***** ***** ***** *** 18 0 0 0 0 5 5 5 6 6 6 9 /; /" - 0; /6 /8 /9 /9 0; 0; ***** * 5 01 - 09 0" 0/ 00 05 06 08 ***** * 5 5; - 58 51 5" 5 5 5 5/ ***** ***** ** 1" 50 55 55 55 56 56
6)
B#at Ta%e 9rek#ensi
%abel JJ 2istribusi Irekuensi onsumsi 05 Mahasiswa di Surabaya onsumsi Mahasiswa umlah Mahasiswa 5 - 1/ " 10 - " 5 "/ - " 5 - /1 18 /" - 0; 5 01 - 09 5 5; - 58 1" eberapa penjelasan dari tabel diatas : 1. (ngka 1/, ", ... 58 disebut upper classlimit #batas atas kelas$, sedangkan 5, 10, "/ ... 5; disebut lower class limit #batas bawah kelas$ ?)
9rek#ensi Kom#ati' (",ie! (da " macam !rekuensi komulati!, yaitu : a) 9rek#ensi Kom#ati' K#ran, dari (Less t;an! 'ntuk menunjukkan jumlah !rekuensi yang kurang dari nilai tertentu %) 9rek#ensi Kom#ati' Le%i; dari (More t;an! 'ntuk menunjukkan jumlah !rekuensi yang lebih dari nilai tertentu
8onto; : Kom#ati' k#ran, dari :
%abel JJ Irekuensi omulati! Curang 2ariD elas
5
- 1/
10 - " "/ - " - /1 /" - 0; 01 - 09 5; - 58
Irekuensi #!$
%epi elas #?lass oundaries$ 0,0
Irek. omulati! urang dari ;
1/,0
"
",0
8
",0
1/
/1,0
"
0;,0
8
09,0
//
58,0
05
" 5 5 18 5 5 1"
2ari data diatas dapat diringkas menjadi : %abel JJ Irekuensi omulati! urang dari elas-kelas urang dari 0,0 urang dari 1/,0 urang dari ",0 urang dari ",0 urang dari /1,0 urang dari 0;,0 urang dari 09,0 urang dari 58,0
Irekuensi komulati! ; " 8 1/ " 8 // 05
Prosentase ; ,5 1/,"9 "0 06 56,85 68,06 1;;
?ontoh : Irekuensi )ebih 2ari : %abel JJ Irekuensi omulati! C)ebih 2ariD elas
5
Irekuensi #!$
- 1/
%epi elas #?lass oundaries$ 0,0
Irek. omulati! )ebih dari 05
1/,0
0/
",0
/5
",0
"
/1,0
"/
0;,0
18
09,0
1"
58,0
;
"
10 - "
5
"/ - "
5
- /1
18
/" - 0;
5
01 - 09
5
5; - 58
1"
2ari data diatas dapat diringkas menjadi : %abel JJ Irekuensi omulati! )ebih dari elas-kelas )ebih dari 0,0 )ebih dari 1/,0 )ebih dari ",0 )ebih dari ",0 )ebih dari /1,0 )ebih dari 0;,0 )ebih dari 09,0 )ebih dari 58,0 )
Irekuensi komulati! 05 // 8 " 1/ 8 " ;
Prosentase 1;; 95,/ 8",1/ 06,1/ /",85 ",1/ "1,/ ;
0am%ar Histo,ram
agan ;1 Histo,ram dari Distri%#si 9rek#ensi
18 12
6 2
5,5
14,5
23,5
32,5
41,5
50,5
59,5
68,5
Lati;an )
2ata dibawah ini menunjukkan 2istribusi erat badan Mahasiswa tahun ";;6 erat adan #g$ 6; 5; 05 55 56
01 06 5/ 5; 50
0/ /8 05 5; 08
5; 50 5 51 08
08 08 6/ 0/ 65
0/ 09 0 5
61 00 6; 5/
05 01 /9 5;
5; 0" 55 /8
08 51 0/ 5"
2ari data diatas buatlah : a$ 2istribusi Irekuensi dengan pendekatan Sturgess b$ %entukan Panjang kelas #*nterval ?lass$ c$ Masukkan masing-masing kedalam kelas-kelas d$ uat %abel Irekuensinya e$ uat %abel Irekuensi komulati! urang dari !$ uat tabel !rekuensi komulati! )ebih dari g$ uat 2iagram 4istogramnya
Lati;an .) (da 15 data seperti dibawah ini, "6 "6 "6 "8 "6 "0 "0 "8 "5 "8 "5 "8 1 ; "5 "5 2ari data diatas : a$ erapa banyaknya kelas yang anda sarankan b$ erapa interval kelas yang anda sarankan c$ erapa batas bawah yang anda tetapkan untuk kelas pertama d$ Susun nilai-nilai diatas ke dalam distribusi !rekuensi dan tentukan distribusi relati!nya e$ erikan ulasan mengenai bentuk distribusinya
Lati;an -) Sebuah sampel acak berukuran /; diambil dari sebuah penelitian sebagai berikut, 66 18 5 8/ 8 0/ 0; 09 0/ 05 5 "5 0; /1 08 08 0 01 5" / 0" 0 5 5" 5" 50 5; 5; /0 55 8 61 5 08 51 61
a$
/ 51
// 0"
Susunlah data kedalam distribusi !rekuensi, menjadi 6 kelas dan batas bawah kelas pertama adalah 10. erapa interval kelas yang anda tentukan b$ 2i manakah data cenderung mengelompok c$ Paparkan mengenai distribusinya d$ %entukan distribusi !rekuensinya
PERTEMUAN KE Deskripsi Uk#ran Pem#satan = Niai Sentra = Uk#ran Tendensi P#sat -) Pen,ertian Uk#ran Pem#satan = Niai Sentra = Uk#ran Tendensi P#sat -). Mean+ Median dan Mod#s -)- Mendisk#sikan t#,as mandiri -) Pen,ertian Uk#ran Pem#satan = Niai Sentra = Uk#ran Tendensi P#sat 'kuran Pemusatan 7 +ilai Sentral adalah 'kuran 7 +ilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut #rata-rata hitung$ Ma$am Rata>Rata daam Statistik 1. 3ata-rata hitung #(rithmatic Mean$ ". Median atau +ilai tengah #Me$ . Modus atau Mode #Mo$ /. 3ata-rata uadrat #Huadratic Mean$ 0. 3ata-rata 4armoni #4armonic Mean$ 5. 3ata-rata 'kur #eometric Mean$
1.
Arit;mati$ Mean Arit;mati$ Mean (Rata>rata ;it#n,!+ 2ari sekumpulan nilai adalah sama dengan jumlah seluruh nilai dibagi dengan jumlah pengamatannya #observasinya$ Ada - ma$am rata>rata ;it#n, a. 3ata-rata hitung untuk data tidak berkelompok b. 3ata-rata hitung untuk data berkelompok c. 3ata-rata hitung tertimbang #>eighted (rithmetic Mean$ 8onto; : Rata>rata ;it#n, #nt#k data tidak %erkeompok X E
X 1 X " X X / ...... X 0 n
2imana : X E 3ata-rata hitung untuk sampel E umlah K E +ilai pengamatan n E umlah Pengamatan sampel # + untuk populasi$ L E 3ata-rata hitung untuk populasi 8onto; : Rata>rata ;it#n, #nt#k data %erkeompok Ada . ma$am rata>rata ;it#n, data %erkeompok a) Metode Panjang #)ong Method$ Metode Pendek #Short Method atau ?oding Method$ %) 8onto; Metode Pan&an, (Lon, Met;od! %abel JJ 2istribusi Irekuensi onsumsi 05 Mahasiswa di Surabaya elas umlah +ilai Mahasiswa #!$ %engah #M$ 5 - 1/ " 1; 10 - " 5 19 "/ - " 5 "8 - /1 18 6 /" - 0; 5 /5 01 - 09 5 00 5; - 58 1" 5/ 05
IBM "; 11/ 158 555 "65 ; 658 "/"
X
E
fm
U E
X E
untuk sampel
n
fm N "/" 05
untuk populasi
E /1,8"
8onto; Metode Pendek (S;ort Met;od! )angkah-langkah menghitung nilai mean dengan metode pendek elas umlah Penyimpangan Mahasiswa #!$ Standard #d$ 5 - 1/ " - 10 - " 5 -" "/ - " 5 -1 - /1 18 ; /" - 0; 5 1 01 - 09 5 " 5; - 58 1" 05
d E
I B d -5 -1" -5 ; 5 1" 5 ;
m x ; i
2imana : d E penyimpangan standart m E nilai tengah dari suatu kelas X o E mean terkaan #diambil dari nilai kelas yang paling tinggi !rekuensinya$ i E luas kelas 8onto; : Pen2impan,an standard (dC! m1 xo 1; 6 E E G 9 i
d1 E
d" E
19 6 9 "8 6
d E
d/ E
9 6 6 9
EG"
E G1
E;
dst..nya 2ari tabel tersebut diatas, maka dapat dihitung nilai mean dengan metode pendek #short metod$ sebagai berikut :
X
E
X ;
fd N i & n
; 9 E /1,8" E 6 & 05
8onto; Rata>rata Hit#n, Tertim%an, (ei,;ted Arit;meti$ Mean!
Perhitungan rata-rata hitung tertimbang dilakukan dengan mengalikan tiap-tiap data dengan timbangan #bobot$ yang telah ditentukan +=.
1 " / 0
=2 M
M(%(')*(4
M0;1 M0;" M0; M0;/ M0;0
P3P(((+ (.'.)(+'%(+ P+('2*%(+ M+. '(+(+ (. M(+(M+
*ndeks Prestasi .)
SS +*)(* #==%$
E
/8 10
10
( ( ?
==% K +*)(* 1" 1" 9 5 9 /8
E ,"
MEDIAN (Me! ata# (Md! Median disebut juga rata-rata letak (positiona meas#re! karena perhitungannya didasarkan pada letak dari nilainya. Median didapatkan dengan menyusun nilai-nilai variabel dalam bentuk array dan kemudian didapatkan nilai tengahnya. Men,;it#n, Median (Me! #nt#k Data 2an, Tidak Berkeompok Setelah nilai disusun dari kecil kebesar #array$ maka posisi median dapat kita tentukan sebagai berikut : ) Unt#k J#ma; Pen,amatan (n! 0an&i
ika n ganjil maka median sama dengan
n 1 "
.) Unt#k J#ma; pen,amatan (n! 0enap Perlu diperhatikan +ilai-nilai diskrit dan kontinu. 4al ini berlainan karena nilai diskrit #bilangan bulat$ sedangkan nilai kontinu #bilangan pecahan$ dapat mengambil sembarang nilai. 8onto; Diskrit)
Median sama dengan nilai " B1
/ B"
/ B
0 B/
n" "
5 B0
5 B5
6 B6
8 B8
karena n E 8 #genap$ maka median sama dengan nilai B0 8onto; Kontin#) Median sama dengan +ilai rata-rata dari dua nilai yang terletak ditengah-tengah dibagi "
0;O B1
6;O B"
65O B
Median #Me$ E
89O B/
65O 89O "
9O B0
1;;O B5
E 8",0O
Men,;it#n, Median (Me! #nt#k Data Berkeompok %abel JJ 2istribusi Irekuensi onsumsi 05 Mahasiswa di Surabaya onsumsi Mhs mlh Mhs #!$ Irek omulati! 5 - 1/ " " 10 - " 5 8 "/ - " 5 1/ 2iantara kelas ke ke / - /1 18 " /" - 0; 5 8 01 - 09 5 // 5; - 58 1" 05 05
Sesuai dengan batasan median tersebut, maka bisa ditentukan dengan memeriksa kolom dua, bahwa setengah dari jumlah !rekuensi E
n
"
E
05 "
E "8
%erjadi diantara batas kelas ke /, yaitu # G /1 $, lebih detailnya menggunakan rumus dibawah ini,
n F LMD " i 2engan rumus : Me E L & MD f MD 2imana : Me E +ilai mediam yang hendak dihitung
L
E atas bawah nyata kelas yang mengandung median
n
E umlah !rekuensi dalam distribusi
MD
f
LMD
F
MD
i
E Irekuensi kumulati! sebelum batas bawah kelas yang mengandung median
E Irekuensi dari kelas yang mengandung median E )uas kelas
2ari kasus diatas didapat : 05 9 E 9,0 1/ Me E ",0 & " 18
2ari kasus diatas Mediannya diketahui sebesar 9,0 Diagram ?? Letak Nilai Median dalam Grafik Interpolasi
Frek Kom 56 44 38 32
"8 14 8 2 5,5
14,5
23,5
32,5 41,5 50,5 59,5 68,5 Median = 40,27
-)
M"DUS ata# M"DE ( Mo! Modus adalah +ilai data yang memiliki !rekuensi terbesar atau nilai data yang paling sering muncul. ?ontoh : %abel JJ Perhitungan Modus pada distribusi Irekuensi elas Irekuensi %epi elas
#!$ 5
- 1/
#?lass oundaries$ 0,0
" 1/,0
10 - "
5 ",0
"/ - "
5 ",0
- /1
18 /1,0
/" - 0;
5 0;,0
01 - 09
5 09,0
5; - 58
1" 58,0
R#m#s Mod#s (Mo! :
d 1 i Mo E L & d 1 d " Mo
2imana : Mo E Mode yang akan dihitung !1 E Irekuensi dari kelas yang terletak diatas kelas yang mengandung mode !" E Irekuensi dari kelas yang terletak dibawah kelas yang mengandung mode !Mo E Irekuensi dari kelas yang mengandung mode L E atas bawah nyata kelas yang mengandung mode i E )uas kelas #*nterval elas$ Mo
erdasarkan data diatas maka, d1 E
f
-
f 1
E 18 G 5 E 1"
d" E
f
-
f "
E 18 G 5 E 1"
Mo
Mo
d 1 i Mo E L & d 1 d " Mo
1" 9 E ",0 & /,0 E 6 Mo E ",0 & 1" 1" adi Modus 7 Mode #Mo$ dari kasus diatas sebesar E 6
PERTEMUAN KE 3 /. 0eometri$ Mean (rata>rata #k#r!
Si'at>si'at pentin, 0eometri$ Mean 1. eometric Mean didasarkan pada seluruh nilai pengamatan, berarti M dipengaruhi oleh semua nilai variabel. 2alam hal ini terdapat nilai-nilai ekstrim pengaruhnya dapat diperkecil bila dibandingkan pada arithmetic mean. ". M hanya dipergunakan untuk rata-rata nilai-nilai positi!, ika terdapat nilai negati!, maka M tidak berarti.
Misalnya : Pertambahan G pertambahan dinyatakan dalam B1, B", B .... Bn maka, rumusnya adalah : X X E n
dimana : X E rata-rata pertambahan X E jumlah pertambahan n E !rekuensi berapa kali bertambah ?ontoh :
esar umlah umulati! %abungan 3p. 1.0;;,;; 3p. 1.0;;,;; ".;;;,;; .0;;,;; 1.;;;,;; /.0;;,;; 0;;,;; 0.;;;,;; 1.;;;,;; 5.;;;,;; 1.60;,;; 6.60;,;;
anuari Iebruari Maret (pril Mei uni
3ata-rata pertambahan uang
esar tabungan pada bulan-bulan berikutnya dapat diramalkan dengan menggunakan rumus : an E
a
;
& n # X $
2imana : an E besar tabungan pada bulan ke n a; E besar tabungan pada bulan awal n E !rekuensi berapa kali bertambah X E nilai rata-rata pertambahan erapa besar uang
a
;
& n # X $
E 3p. 1.0;;,;; & 11 #3p. 1."0;,;;$ E 3p. 10."0;,;;
3ata-rata ukur dari sekumpulan nilai pengamatan K1, K", K .... Kn adalah sama dengan hasil perkalian nilai-nilai tersebut pangkat satu dibagi jumlah pengamatannya. E # K1.K".K.......Kn$ 1 7 n 2imana :
atau E
n
# X 1$# X "$# X $.......# Xn$
E rata-rata ukur Ki E nilai pengamatan n E jumlah pengamatan Metode sederhana untuk menghitung rata-rata ukur dengan )ogaritma )og E
)og E
log X 1 log X " log X ....... log Xn n
log X n
E antilog
log X n
?ontoh : 4itunglah rata-rata ukur dari indeks harga grosir dari 8 kelompok k omoditi utama : 1;6, 1", 1";, 115, 1;, 1"5, 115 dan 1"" awab : %abel JJ *ndeks 4arga elompok omoditi 'tama *ndeks 4arga #K$ )og Ki 1;6 ",;"9/ 1" ",1";5 1"; ",;69" 115 ",;5/0 1; ",119 1"5 ",1;;/ 115 ",;5/0 1"" ",;85/ umlah 15,5089 #Ireund and >illiams,196 :58$ )og E
log X E 15,5089 E ",;8"/ 8
n
E antilog ",;8"/ E 1";,9 Apa%ia den,an Ratio (tin,kat pert#m%#;an!+ rata>rata #k#r din2atakan den,an r#m#s :
P E P #1 & r$ t
t
;
dimana : Pt E jumlah penduduk pada akhir periode waktu t PoE jumlah penduduk pada awal periode waktu t r E tingkat pertambahan penduduk per tahun ?ontoh : Pada tahun 199; penduduk *ndonesia adalah 96 juta jiwa dan pada tahun ";;; sebanyak 119 juta jiwa. erapa persen rata-rata pertambahan penduduk negara kita tiap tahun J awab : 119 E 96 #1 & r$ 1; 119 96
#1 r $1;
1,""5; E #1 & r$ 1; log 1,""58 E 1; log #1 & r$ ;,;8866018 E 1; log#1 & r$
log#1 & r$ E ;,;;8866018 #1 & r$ E antilog ;,;;8866018 E 1,;";50 r E ;,;";50 atau ",1O adi Pertambahan Penduduk *ndonesia tiap tahun adalah ",1O 'ntuk data yang berkelompok #2istribusi Irekuensi$ rata-rata ukur dinyatakan dengan berikut : )og E
rumus sebagai
f log m n
2imana : E rata-rata ukur ! E !rekuensi m E selisih nilai tengah dan #pertambahan dari selisih batas atas$ n E jumlah !rekuensi ?ontoh : 2ata dibawah ini menunjukkan penggolongan usia reproduksi dari 1;; sample wanita yang telah kawin yang diteliti : %abel JJ Penggolongan 'sia 3eproduksi dari 1;; sampel olongan ! m )og m ! B log#m$ 'sia 10 G 19 10 16 1,";/0 18,/0560 "; G "/ "; "" 1,/"/" "5,8/8/; "0 G "9 "8 "6 1,/15 /;,;68;8 ; G / 16 " 1,0;010 "0,08600 0 G 9 1; 6 1,058"; 10,58";; /; G // 5 /" 1,5""0 9,690; /0 - /9 / /6 1,56"1; 5,588/; umlah 1;; 1/,;8;58 awab : )og E
f log m E 1/,;8;58 E 1,/;8;58 1;;
n
E antilog 1,/;8;58 E "5,96 adi rata-rata Penggolongan 'sia 3eproduksi dari 1;; sampel adalah "5,96
0. HARM"NI8 MEAN (Rata>rata Harmonis! Data tidak %erkeompok Harmoni$ Mean ;an2a dapat mem%erikan &a*a%an 2an, tepat #nt#k ma$am soa tertent#) n
4E 1
1
x1
x "
1
x
....
n
4E
1
x
2imana : 4 E rata-rata harmonis K E nilai pengamatan
1
x
n
ika pembilang tetap, sedangkan penyebutnya berubah-ubah, maka rata-rata harmonis akan lebih tepat. 'ntuk sebaliknya maka lebih tepat kalau menggunakan rata-rata hitung lainnya.
n E jumlah pengamatan ?ontoh : Seseorang selama lima bulan berturut-turut menghabiskan 3p. 5.;;;,;; per bulan untuk membeli telur ayam, 4arga telur ayam per kg mulai bulan pertama sampai bulan kelima berturut-turut adalah 3p. 60;,;;A3p. 1.;;;,;;A 3p. 1.";;,;;A 3p. 1.0;;,;; dan 3p. ".;;;,;;. erapa rata-rata harga telur ayam per kg selama lima bulan tersebut : awab : n
4E 1 x1
4E
1
8 5;;;
x "
1
x
5 5;;;
....
0 0 5;;;
1 E
x
60;
n
/ 5;;;
1
5;;;
1 1;;;
E
0 1 1";;
0 "5
1 10;;
1 ";;;
E 3p. 1.10/,;;
5;;;
adi rata-rata telur ayam per kg adalah 3p. 1.10/,;; Unt#k Data Berkeompok+ rata>rata ;armonis diper,#nakan r#m#s :
4E
f f m
?ontoh : Seperti contoh tabel sebelumnya menghitung rata-rata 4armonis usia 3eproduksi dari 1;; sampel %abel JJ Penggolongan 'sia 3eproduksi dari 1;; sampel f olongan ! m 'sia m 10 G 19 10 16 ;,88"/ "; G "/ "; "" ;,9;91 "0 G "9 "8 "6 1,;6; ; G / 16 " ;,01" 0 G 9 1; 6 ;,"6; /; G // 5 /" ;,1/"9 /0 - /9 / /6 ;,;801 umlah 1;; ,808; awab :
4E
f f E m
1;; ,808;
E "0,9"
ila dikerjakan dengan (rithmatic Mean hasilnya "8,;0 sehingga kesimpulannya : jika angka-angka yang positi! hubungan antara arithmatic mean, eometric Mean serta 4armonic Mean secara umum dapat dinyatakan bahwa : X Q Q 4 Si'at>si'at pentin, dari Harmoni$ Mean 1. %idak dapat ditentukan bila salah satu nilai variabelnya adalah ; ". rata-rata yang digunakan bila rasio akan dirata-ratakan dan pembilang dari rasio yang dihitung adalah sama. #khusus perhitungan pergerakan harga-harga$
PERTEMUAN KE 6
UKURAN STATISTIK UKURAN LETAK UNTUK DATA KUANTITATI9 ) KUARTIL (dalah : +ilai yang memisahkan tiap-" "0 persen !rekuensi dalam distribusi #H1, H", H$ yang membagi nilai-nilai yang sama banyaknya. H1 : #uartil pertama$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi "0 persen !rekuensi di atas distribusi dari 60 persen dibagian bawah distribusi. H" : #uartil kedua$ yang membatasi 0; persen !rekuensi dibagian atas distribusi dari 0; persen !rekuensi di bagian bawah distribusi #sama dengan nilai median$ H : #kuartil ketiga$ yang membatasi 60 persen !rekuensi dibagian atas dari "0 persen bagian bawah
ambar :
Menent#kan etak Niai k#arti ika jumlah seluruh nilai #n$ cukup besar, maka secara umum dapat menentukan bahwa median adalah letak nilai ke #n & 1$7" sehingga : H1 adalah letak nilai yang ke 1 #n & 1$7/ H" adalah letak nilai yang ke " #n & 1$7/ H adalah letak nilai yang ke #n & 1$7/ 8onto; : Data 2an, tidak %erkeompok
" B1
" B"
/ B
0 B/
5 B0
5 B5
8 B6
H1 sama dengan K yang ke 1 #6&1$7/ E " yaitu B", sehingga H1 E " H" sama dengan K yang ke " #6&1$7/ E " yaitu B/, sehingga H" E 0 H sama dengan K yang ke #6&1$7/ E " yaitu B5, sehingga H E 5 8onto; : Data 2an, %erkeompok
x / F LQ & Qx f Q1
Q E L x
H1
dimana : B E 1, ",
E nilai kuartil pertama yang hendak kita cari
L
E batas bawah nyata kelas yang mengandung H1
n
E jumlah !rekuensi dalam distribusi
Qx
F Q L
a
E !rek meningkat sebelum batas bawah kelas yang mengandung H1
f 1
E !rekuensi dari kelas yang mengandung H1
i
E luas kelas
Q
Q E L 1
a
i
1 / F LQ & i dan untuk H" dan H Q1 f Q1 1
?ontoh : %abel JJ Menghitung +ilai uartil 'pah per minggu dari "5; buruh elas #3ibuan rupiah$ ".; G .9 /.; G 0.9 5.; G 6.9 8.; G 9.9 1;.; G 11.9 1".; G 1.9 1/.; G 10.9 15.; G 16.9 18.; G 19.9
umlah uruh #!$ 1" 19 9 6; 0" "/ "1 10 8 + E"5;
Irekuensi Meningkat c! 1" 1 6; 1/; 19" "15 "6 "0" "5;
awab : 'ntuk menghitung H1 terlebih dahulu menentukan kelas yang mengandung H1, yaitu n7/ atau "5;7/ E 50 emudian lihat c! #komulati! !rekuensi$ ada diantara 1 dengan 6; namun lebih condong ke 6;, kita lihat kekiri pada kelas yang mengandung H1 adalah kelas 5.; G 6.9 Masukkan angka-angka yang sudah kita tentukan kedalam 3umus H1 50 1 H1 E 0.90 & H1E0.90 & 1.6/ H1E 6.59 " 9 'ntuk menghitung H", terlebih dahulu harus menentukan kelas mana yang mengandung H", dengan " " menghitung n atau #"5;$ E 1;, kita lihat kekomulati! !rekuensi mendekati angka 1/;, kita bergerak / / kekiri untuk melihat kelas yang mengandung H", setelah itu masukkan kedalam rumus :
1; 6; " H" E 6.90 & 6;
H" E 6.90 & 1.61
H" E 9.55
.
'ntuk menghitung H,
n atau / #"5;$ E 190, komulati! !rek mendekati angka 19", kelas yang /
mengandung H adalah antara #1;.;-11.9$ dan #1".; G 1.9$
190 19" " H E 11.90 & "/
.)
H E 11.90 & ;."0
H E 1".";
KUINTIL
(dalah membagi nilai Gnilai menjadi lima bagian yang sama banyaknya uintil pertama #
Q
n1
Q ,Q ,Q ,Q n1
n"
n
n/
$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi "; persen !rekuensi di
bagian atas distribusi dari 8; persen !rekuensi di bagian bawah distribusi uintil kedua #
Q
n"
$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi /; persen !rekuensi di bagian
atas distribusi dari 5; persen !rekuensi di bawah distribusi uintil ketiga #
Q
n
$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 5; persen !rekuensi di bagian
atas distribusi dari /; persen !rekuensi di bawah distribusi
uintil keempat #
Q
n/
$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 8; persen !rekuensi di
bagian atas distribusi dari "; persen !rekuensi di bawah distribusi
2iagram #gambar $
Menent#kan etak niai k#inti
Q Q Q Q
n1 n" n
n/
adalah letak nilai yang ke 1 yaitu #n & 1$70 adalah letak nilai yang ke " yaitu #n & 1$70 adalah letak nilai yang ke yaitu #n & 1$70 adalah letak nilai yang ke / yaitu #n & 1$70
8onto; : data tidak %erkeompok Penghasilan per bulan 19 tenaga pengajar di suatu (kademi adalah sebagai berikut : #dalam satuan 3p. 1;;.;;;$ /.0 0 0 5 5 5.0 8 8 8.0 1; 1; 11 1" 1/ 1/ 10 15 16 18 B1 B" B B/ B0 B5 B6 B8 B9 B1; B11 B1" B1 B1/ B10 B15 B16 B18 B19
Q Q Q Q
n1
n"
n
n/
sama dengan nilai K yang ke 1 yaitu : sama dengan nilai K yang ke " yaitu : sama dengan nilai K yang ke yaitu : sama dengan nilai K yang ke / yaitu :
19 1 0 19 1 0 19 1 0 19 1 0
E / terdapat pada B/ yaitu sama dengan 5 E / terdapat pada B8 yaitu sama dengan 8 E / terdapat pada B1" yaitu sama dengan 11 E / terdapat pada B15 yaitu sama dengan 10
Unt#k data %erkeompok+ niai k#inti di;it#n, den,an r#m#s :
Q
nx
E
x 0 F LQ & Qnx f Qnx
L
dimana : Hn1 )Hn1 n I)Hn1 ! Hn1 i
nx
i
dimana : B E 1, ",
E nilai kuintil pertama yang hendak dihitung E batas bawah nyata dari kelas yang mengandung Hn1 E jumlah !rekuensi dalam distribusi E !rek meningkat sebelum batas bawah kelas yang mengandung Hn1 E !rek dari kelas yang mengandung Hn1 E luas kelas
%abel JJ Menghitung +ilai uartil 'pah per minggu dari "5; buruh elas umlah Irekuensi #3ibuan rupiah$ uruh #!$ Meningkat c! G .9 1" 1" G 0.9 19 1 G 6.9 9 6; 8.; G 9.9 6; 1/; 1;.; G 11.9 0" 19" 1".; G 1.9 "/ "15 1/.; G 10.9 "1 "6 15.; G 16.9 10 "0" 18.; G 19.9 8 "5; + E"5;
awab :
Q Q Q Q
0" 1 " E 0.90 & n1 9 n" n
n/
Q
n1
E 0.90 & 1.;8
Q
n1
E6.;
E E E
) DESIL (dalah nilai 21, 2", 2, 2/, 20, 25, 26, 28, 29 sedemikian rupa sehingga membagi sepuluh bagian yang sama banyaknya 2esil pertama #21$ adalah suatu nilai dari distribusi yang membatasi 1; persen !rekuensi di bagian atas distribusi dari 9; persen !rekuensi di bagian bawah distribusi 2esil kelima #20$ adalah suatu nilai dari distribusi yang membatasi 0; persen !rekuensi d i bagian atas distribusi dari 0; persen !rekuensi di bagian bawah distribusi 2esil ke sembilan #29$ adalah suatu nilai dari distribusi yang membatasi 9; persen !rekuensi di bagian atas distribusi dari 1; persen !rekuensi di bagian bawah distribusi 2iagram #ambar$
Menent#kan etak Niai Desi+ Unt#k data 2an, tidak %erkeompok ?ontoh : 10 "0 "5 "6 "8 "9 ; ; ; 1 1 B1 B" B B/ B0 B5 B6 B8 B9 B1; B11
0 0 B10 B15
8 B16
8 B18
B1"
/ B1
/ B1/
9 B19
21 sama dengan nilai K yang ke 1 yaitu
19 1 1;
E " terletak pada B" sebesar "0 dst
Menent#kan etak Niai Desi , Unt#k data %erkeompok
x n F E L & L x 1; D f D x
D
x
i
dimana : B E 1, ", ....................... ,9
D x
'ntuk contoh gunakan data sebelumnya tentang upah per minggu dari "5; buruh 1
Menghitung 21, maka lebih dulu menghitung 1;
# "5;$
sama dengan "5, dengan memeriksa kolom c!
#komulati!$ terletak diantara nilai 1" dan 1 #terkandung pada 1$ sehingga kelas #/.;-0.9$ yang mengandung 21 "5 1" " E .90 & E .90 & 1./6 E 0./" 1 1 1 19
D
0" 1 " E 0.90 & " 9
D dst
D D
"
D
E 0.90 & 1.;8
D
"
E 6.;
/) PERSENTIL (dalah nilai P1, P", P, ...........................P99, sedemikian rupa sehingga membagi menjadi seratus bagian yang sama banyaknya. Persentil pertama #P1$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi satu persen !rekuensi dibagian atas distribusi dari 99 persen !rekuensi dibagian bawah distribusi. Persentil sembilan puluh sembilan #P99$ adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 99 persen !rekuensi dibagian atas distribusi dari satu persen !rekuensi dibagian bawah distribusi 8ara men,;it#n, Niai Persenti data tidak %erkeompok
P1 E adalah letak nilai yang ke 1 yaitu
n 1 1;;
cara sama dengan yang lain
8ara men,;it#n, Niai Persenti data %erkeompok
X n F L P x 1;; f P
P @ L x
i
P x
x
dimana : B E 1, ", RRRRR..99
8onto; Kas#s:
%abel JJJ Menghitung +ilai Persentil +ilai 'jian Statistik 5; Mahasiswa +ilai Irekuensi ?! #komulati! !rekuensi ".; G ".9 / / .; G .9 /8 0" /.; G /.9 116 159 0.; G 0.9 "0 /;/ 5.; G 5.9 1/; 0// 6.; G 6.9 /; 08/ 8.; G 8.9 9 5" 9.; G 9.9 6 5; 5;
ika hendak menghitung nilai P1; dari distribusi diatas maka kita cari 1; persen dari n sebanyak 5; yaitu 5, dengan melihat c! #komulati! !rek$ maka 5 berada #terkandung pada c! 159$ jadi kelas /.; G /.9 yang mengandung P1;
5 0" 1 P1; E .90 & 116
P1;E .90 & ;.;9
P1;E /.;/
1"5 0" 1 P"; E .90 & 116
P";E .90 & ;.5
P";E /.08
dst
PERTEMUAN KE ? DISPERSI+ SKENESS DAN KURT"SIS Dispersi adaa; : Pengukuran penyebaran nilai-nilai pengamatan di sekitar tendensi pusat. Ske*ness adaa; : 'kuran simetris atau tidak suatu distribusi #derajat kemiringan dari suatu distribusi$ K#rtosis adaa; : 2erajat keruncingan dari pada distribusi !rekuensi. H#%#n,an antara %er%a,ai #k#ran tendensi p#sat 1. 2alam distribusi !rekuensi simetris sempurna #per!ectly symetrical$ nilai mean, median dan mode adalah sama #nilai kurna simetris sempurna nilai mean, median dan mode terletak pada satu titik ditengah
ambar diagram #urva Simetris$
". 2alam suatu distribusi !rekuensi yang mempunyai dua mode #bimodal$ dan kurvanya simetris, nilai mean dan median sama dan berhimpit pada satu titik ditengah-tengah, sedangkan modenya terletak di kiri kanan titik mean dalam jarak yang sama. ambar diagram #urva imodal$
. 2alam distribusi !rekuensi tidak simetris #asymetry$ nilai mean, median dan mode tidak sama atau terpisah satu sama lainnya a. 2istribusi meruncing ke arah nilai tinggi, mean akan mempunyai nilai yang tertinggi kemudian diikuti median dan mode, distribusi demikian disebut : uling Positi! #?ondong kekiri$ karena ujungnya memanjang kearah positi! ambar diagram #uling Positi!$
b. 2istribusi meruncing ke arah nilai rendah, mode akan mempunyai nilai yang tertinggi kemudian dibawahnya diikuti mean dan median, distribusi demikian disebut : uling +egati! #condong kekanan$ karena ujungnya memanjang kearah nilai negati!. ambar diagram #uling +egati!$
Terdapat d#a &enis Pen,#k#ran Dispersi 2ait# : e! Pen,#k#ran Dispersi A%so#t !$ Pengukuran 2ispersi 3elati! Ada ima ma$am pem%a;asan Uk#ran Dispersi A%so#t antara ain : 1. )uas Penyebaran #3ange$ ". Simpangan uartil #Huartile 2eviation$ . Simpangan Presentil #Percentile 2eviation$ /. Simpangan rata-rata #(verage 2eviation$ 0. Simpangan baku #Standard 2eviation$
L#as Pen2e%aran (Ran,e! 'kuran ini paling sederhana yaitu selisih antara n ilai pengamatan terbesar dengan nilai pengamatan terkecil yang terdapat pada sekumpulan nilai. Simpan,an K#arti (#artie Deiation! (dalah sebaran antar kuartil #interTuartile range$ dibagi dua. (dapun interTuartile range ialah : jarak antara kuartile pertama #H1$ dengan kuartil ketiga #H$ adapun rumus nya adalah : *nterTuartile 3ange E H G H1 Q Q1 H2 E "
Pada contoh yang lalu nilai-nilai kuartil adalah : H1 E 6.59 H2 E
1"."; 6.59 "
H"E 9.55
HE1".";
E "."5
Simpan,an Persenti (Per$entie Deiation! (dalah : Sebaran antar persentil #interpercentile range$ dibagi dua. (dapun *nterpercentile 3ange ialah : arak antara persentil ke 1; #P1;$ dengan esembilan puluh #P9;$
P2 E
P
9;
P 1; "
Pada contoh yang lalu nilai persentil adalah : P2 E
6.0 /.;/ "
E 1.6/0
P1; E /.;/ sedangkan P9;E 6.0
Simpan,an Rata>rata (Aera,e Deiation! = Mean Deiation (2 E
X X n
)angkah-langkah yang harus ditempuh untuk mencari (verage 2eviation #(2$ 1. %entukan dahulu nilai X #nilai mean$ ". Selisih antara K dengan X dan seterusnya tentukan harga mutlaknya . umlahkan semua harga mutlak tersebut /. 4asil jumlah tersebut dibagi dengan n #jumlah !rekuensi$ 0. Masukkan kedalam rumus 8onto; : Data 2an, tidak %erkeompok
%abel JJJ Pengeluaran Mingguan untuk pembelian ahan Makanan dari 1; keluarga eluarga
Pengeluaran Mingguan #1.;;; 3p$ 6./ /.6 .6 9.; 8./ /.; 0.1 0./ 5.5 0.9 5;."
( ? 2 I 4 *
X E
(2 E
X E
5;."
n
X X n
E
1;
1.8 -1." -"." ".98 ".8 -".;" -;.9" -;.5" ;.08 -;.1" ;
X X
1.8 1." "." ".98 ".8 ".;" ;.9" ;.5" ;.08 ;.1" 1/.5/
E 5.;"
1/.5/ 1;
K - X
E 1./5
8onto; : data %erkeompok
(2 E
f m X n
%abel JJJ Menghitung Simpangan 3ata-rata 'pah per minggu elas #3ibuan rupiah$ ".; G .9 /.; G 0.9 5.; G 6.9 8.; G 9.9 1;.; G 11.9 1".; G 1.9 1/.; G 10.9 15.; G 16.9 18.; G 19.9
umlah uruh #!$ 1" 19 9 6; 0" "/ "1 10 8 + E"5;
m
fm
m -
m
X
f m
X
X
".90 /.90 5.90 8.90 1;.90 1".90 1/.90 15.90 18.90
0./ 9/.;0 "61.;0 5"5.0 059./ 1;.8 1.90 "0/."0 101.5 "5"6
-6.10 -0.10 -.10 -1.10 ;.80 ".80 /.80 5.80 8.80
6.10 0.10 .10 1.10 ;.80 ".80 /.80 5.80 8.80
80.8; 96.80 1"".80 8;.0; //."; 58./; 1;1.80 1;".60 6;.8; 660.;;
X
(2 E
E
fm E n
f m X
"5"6 "5;
660
E
n
E 1;.1;
"5;
E ".98
Simpan,an Bak# (Standard Deiation! (dalah 'kuran dispersi yang sering digunakan dalam analisis statistik, dinyatakan dengan s untuk sampel
dan dinyatakan F untuk populasi, sedangkan
s
"
disebut ragam #variance$ untuk sample dan F " untuk
populasi ?ontoh Simpangan aku data tidak berkelompok.
s E X X untuk sampel kecil "
n 1
s E X X untuk sampel besar n lebih besar sama dengan ; "
n
%abel JJJ Menghitung Simpangan aku 'pah per minggu dari 11 buruh #dlm 3upiah$ uruh 'pah #K$ K- X X X " ( ? 2 I 4 *
X E
s
108.0; 11
E
11.1; 11.0; 1".;; 1"."; 1"./0 1.0; 1/.;; 15.;; 16."0 18.0; ";.;; 108.0;
-.1 -".91 -"./1 -"."1 -1.95 -;.91 -;./1 1.09 ".8/ /.;9 0.09
1;.9051 8./581 0.8;81 /.88/1 .9/15 ;.8"81 ;.1581 ".0"81 8.;505 15.6"81 1."/81 9.0"/1
E 1/./1
X X
"
E
n 1
9.0"/1 11 1
E .;5
Simpan,an Bak# #nt#k Data Berkeompok
s
s
E
f m X
E
f m X
"
n 1
untuk sampel kecil
"
untuk sampel besar
n
%abel JJJ Menghitung Simpangan 3ata-rata 'pah per minggu
elas #3ibuan rupiah$ ".; G .9 /.; G 0.9 5.; G 6.9 8.; G 9.9 1;.; G 11.9 1".; G 1.9 1/.; G 10.9 15.; G 16.9 18.; G 19.9
s
E
m
umlah uruh #!$ 1" 19 9 6; 0" "/ "1 10 8 + E"5;
f m X
"
E
m -
m X
"
f m X
"
X
".90 /.90 5.90 8.90 1;.90 1".90 1/.90 15.90 18.90
50.80;;
n
fm
"5;
0./ 9/.;0 "61.;0 5"5.0 059./ 1;.8 1.90 "0/."0 101.5 "5" 6
-6.10 -0.10 -.10 -1.10 ;.80 ".80 /.80 5.80 8.80
01.1""0 "5.0""0 9.9""0 1.""0 ;.6""0 8.1""0 ".0""0 /5.9""0 68.""0
51./6;; 0;.9"60 85.9660 9".060; 6.06;; 19/.9/;; /9.9/;; 6;.860 5"5.08;; 50.80 ;;
E .60
Sat#an Bak# (Standard Unit! 2igunakan untuk membandingkan dua atau lebih distribusi dalam statistik. ?ontoh : 2alam bulan yang sama Perusahaan ( memperoleh keuntungan sebesar 3p. ";.;;;,- sedangkan sebesar 3p. 10.;;;,- , setelah diadakan penelitian lebih lanjut ternyata rata-rata keuntungan perusahaan ( sebesar 3p. 15.;;;,- dengan simpangan baku sebesar 3p. /.;;;,-sedangkan sebesar 3p. 1".;;;,- dengan simpangan baku 3p. ".0;;,awab : z
z
X X s
X
untuk sampel
untuk populasi
Perusahaan ( E z
Perusahaan E z
";;;; 15;;; /;;; 10;;; 1";;; "0;;
E 1.;
E 1."
esimpulan : erdasarkan perhitungan diatas ternyata perusahaan ( berada di atas 1.; simpangan baku, sedangkan perusahaan berada di atas 1." simpangan baku, sehingga perusahaan yang mempunyai nilai U lebih besar dari pada perusahaan ( #perusahaan lebih ba ik$ UKURAN DISPERSI RELATI9
'ntuk menentukan sistem manakah yang lebih seragam perlu didasarkan pada dasar pengukuran yang sama yakni dengan apa yang disebut koe!isien variasi #coe!!icient o! variation$
s X
. 1;;
dimana : < E oe!isien variasi s E Simpangan aku X E nilai mean
?ontoh : Mana yang lebih teliti antara dua mesin cetak pembuat bola plastik, mesin ( menghasilkan diameter rata-rata ";.; cm dengan simpangan baku ;.8;, sedangkan mesin menghasilkan diameter rata-rata ";.0; dan simpangan baku ;.90 J
'ntuk ukuran dispersi relati! yang lain adalah : range X
.1;; A
AD X
.1;; A
Q Q1 QD .1;; .1;; A Q Q1 Median
K#ra LorenG urva )orent adalah suatu metode gra!is untuk mengukur deviasi dari nilai rata-rata #average$. urva ini merupakan kurva persentase kumulati!. Misalnya persentase penduduk dikombinasikan dengan persentase pendapatan #kekayaan$, persentase kelompok usaha dikombinasikan dengan persentase pro!it #keuntungan$. ?ontoh : %abel JJ Penduduk dan Pendapatan per ulan 2ari ota ( dan ota
Orang 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000
Kota A Pendapatan / buan !5 100 150 225 325 3!5 450 600 850 1850 5000
Kota B Pendapatan / Orang buan 50 80 !0 120 30 60 25 140 100 200 45 200 30 140 80 460 20 120 50 480 500 2000 Kota A
Orang
Pendapatan pendapatan- kum-penddata-asal kum-dtaslpersen-dtasl asl asal pers-kuml 100 100 10" !5 !5 1,5" 100 200 20" 100 1!5 3,5" 100 300 30" 150 325 6,5" 100 400 40" 225 550 11,0" 100 500 50" 325 8!5 1!,5" 100 600 60" 3!5 1250 25,0" 100 !00 !0" 450 1!00 34,0" 100 800 80" 600 2300 46,0" 100 900 90" 850 3150 63,0" 100 1000 100" 1850 5000 100,0"
Dia,ram K#ra Lorent
Ske*ness Suatu distribusi !rekuensi yang tidak simetris mungkin berat ke sebelah k anan dinamakan Skewness negati!, jika sebaliknya maka dinamakan skewness positi!. Fang dapat menentukan atau dapat dijadikan ukuran tentang simetris atau tidak dari suatu distribusi ialah : letak dari nilai mean, median dan modus #mode$ (da beberapa cara dalam pengukuran skewness : ) Metode Kar Pearson 2idasarkan atas perbedaan antara nilai mean dan mode #makin besar perbedaan menunjukkan ketidak simetrisnya distribusi tersebut$ 2inyatakan dalam rumus :
X -
Mo
Sk E
#3umus *$ s
2imana : Sk E ?oe!!icient o! Skewness X E +ilai Mean Mo E +ilai Modus #Mode$ ?ontoh : 2ari distribusi upah per minggu "5; buruh suatu pabrik telah di hitung ukuran tendensi pusatnya dan simpangan bakunya sebagai berikut : X E 1;.1;A Mo E 9.""A s E .60 adi Sk E
1;.1; 9."" .60
E ;."
erdasarkan pengalaman tentang hubungan antara nilai mean, median dan mode yang dinyatakan dalam : X
- Mo E # X - Md$, maka rumus koe!isien skewness dapat juga dinyatakan sebagai berikut :
# X - Mo$ Sk E
#3umus **$ s
2ari distribusi upah per minggu "5; buruh pabrik tersebut, nilai median telah kita ketahui sebesar 9. 55, maka koe!isien skewnessnya adalah : Sk E
#1;.1; 9.55$ .60
E ;.0
iasanya peneliti lebih senang menggunakan koe!isien skewness yang kedua #karena kesulitan menentukan niali modusnya$
.)
Metode Bo*e2
2alam menentukan coe!!icient o! Skewness, owley mendasarkan pad a nilai-nilai kuartil :
Sk E
#Q Q "$ #Q " Q1$ #Q Q "$ #Q " Q1$
Pada distribusi yang simetris, H-H" E H"-H1 Pada distribusi yang tidak simetris, H-H" Q H"-H1 #Skewness positi!$ Pada distribusi yang tidak simetris, H-H" V H"-H1 #Skewness negati!$ ?ontoh : 2ari distribusi upah per minggu dari "5; buruh suatu pabrik telah dihitung nilai-nilai kuartilnya. H1 E 6.59 A H" E 9.55 A H E 1"."; adi Sk E
#1"."; 9.55$ #9.55 6.59$ #1"."; 9.55$ #9.55 6.59$
E
".0/ 1.96 ".0/ 1.96
E
;.06 /.01
E ;.1
R#m#s Bo*e2 ini e%i; serin, dipakai dari pada r#m#s PEARS"N -)
Metode / 5/ Persenti
1; G 9; persentil coe!!icient o! skewness dinyatakan dengan rumus seperti di bawah ini :
Sk E
# P 9; P 0;$ # P 0; P 1;$ # P 9; P 1;$
?ontoh : 2ari data %abel 5." tentang nilai ujian matematika 5; murid kita dapat menghitung nilai P1;, P0; dan P9; P1; E /.;/
10 159 1 E 0.06 P0; E /.90 & "0 056 0// 1 E 6.0 P9; E 5.90 & /; Sk E
#6.0 0.06 $ #0.06 /.;/$ #6.0 /.;/$
E
;./ .;/9
E ;.1"
'kuran yang lebih baik skewness didasarkan atas momen ketiga. 'ntuk sampai pada pengertian momen ketiga, perlu diketahui pengertian momen pertama dan kedua. Momen pertama adalah rata-rata kuatnya penyimpangan pertama dari nilai mean # X $, sedang momen kedua adalah rata-rata kuatnya penyimpangan dari nilai mean. (pabila jumlah penyimpangan dari aritmatic mean adalah nol, maka rata-rata dari penyimpangan tersebut juga akan sama dengan nol. Simpangan baku adalah akar dari momen kedua. Momen ketiga adalah rata-rata dari kuatnya penyimpangan ketiga dari nilai mean, jika jumlah penyimpangan negati! lebih besar dari pada jumlah penyimpangan positi!, maka skewness mengarah ke nilai-nilai yang lebih kecil. Menghitung Skewness dengan momen ketiga untuk data tidak berkelompok, %abel JJ Menghitung Momen dari (ritmatic Mean 'pah Mingguan dari 11 uruh #3ibuan 3upiah$ uruh ( ? 2 I 4 *
'pah #K$ 11.1; 11.0; 1".;; 1"."; 1"./0 1.0; 1/.;; 15.;; 16."0 18.0; ";.;; 108.0;
M E
# X X $
#K- X $ -.1 -".91 -"./1 -"."1 -1.95 -;.91 -;./1 1.09 ".8/ /.;9 0.09 ;
#K- X $ " 1;.9051 8./581 0.8;81 /.88/1 .8/15 ;.8"81 ;.1581 ".0"81 8.;505 15.6"81 1."/81 9.0"/1
#K- X $ -5."5/6 -"/.5/"" -1.9960 -1;.699 -6.0"90 -;.605 -;.;589 /.;196 "".9;5 58./169 16/.5659
#K- X $ / 1";.;51 61.6;86 .6/; ".80// 1/.6069 ;.5806 ;.;"8 5.91 50.;09 "69.8"9 965.//8
160.96;0 1.09",0"/
n
2imana : M E Momen etiga +ilai Momen ketiga adalah suatu ukuran dari jumlah absolut dari skewness dan 1 merupakan ukuran skewness relati!
1 E
M M
"
'ntuk perhitungan 1 perlu diketahui terlebih dahulu momen kedua dimana :
M "
"
X X
E
"
E M" E
9.0"/1
n
M
E
1
E
16.096;0
E 9.0"/1 #untuk sampel kecil$
E 16.096;0 #untuk sampel kecil$
9.0"/1
16.096;0
11 1
"
9.0"/1
E
;9.50515 818.;"09
E ;.69
esimpulan : %anda positi! dari nilai momen ketiga berarti bahwa distribusi tersebut kemiringannya mengarah ke nilai-nilai yang lebih besar. +ilai 1 yang lebih besar menunjukkan kemiringan yang lebih besar baik ke kanan atau kekiri. 'ntuk distribusi yang simetris nilai 1 akan sama dengan ; #nol$
Ske*ness Data Berkeompok elas #3ibuan rupiah$ ".;G .9 /.;G 0.9 5.;G 6.9 8.; G 9.9 1;.; G 11.9 1".; G 1.9 1/.; G 10.9 15.; G 16.9 18.; G 19.9
M "
M
E
E
umlah uruh #!$ 1" 19 9 6; 0" "/ "1 10 8 + E"5;
fd N
"
n
fd N n
fd
d
-/ - -" -1 ; 1 " / ;
fd N - n
-/8 -06 -8 -6; ; "/ /" /0 " -11;
fd N
"
fd N
19" 161 105 6; ; "/ 8/ 10 1"8 95;
-658 -01 -1" -6; ; "/ 158 /;0 01" -00/
"
fd N . fd N - n
4itung +ilai Skewness 3elati! # 1 $
n
"
fd N & " n
fd N /
;6" 109 5"/ 6; ; "/ 5 1"10 ";/8 89"8
Pertem#an ke dan PR"BABILIT1 SEDERHANA Probability atau probabilitas adalah merupakan suatu peristiwa untung-untungan atau kemungkinan terjadinya suatu peristwa atau hasil yang dapat terjadi. ?ontoh : ika melambangkan jumlah hasil yang diharapkan terjadi, sedang + merupakan jumlah seluruh hasil yang dapat terjadi dari suatu kejadian. 3umus yang digunakan : P # E $
E N
dimana : ; W P#$ W 1
2ari rumus diatas bahwa probabilitas tidak mungkin negative dan paling besar akan sama dengan 1 #satu$. ika P#$ E ; maka dapat diartikan bahwa peristiwa pasti tidak akan terjadi, sedang P#$ E 1 peristiwa tersebut pasti terjadi ?ontoh : 2alam percobaan probabilitas tunggal dimana sekeping mata uang yang mempunyai sisi gambar dan sisi angka dilemparkan sekali, maka probabilitas keluarnya sisi gambar akan : P#gambar$ E @ P#bukan gambar$ E P#angka$ E 1 G @ E @ P#gambar & angka$ E p#gambar$ & P#angka$ E @ & @ E 1 Pro%a%iitas ma&em#k : ) Si'at Independen .) Si'at m#t#a2 e$#sie Si'at Independen : 2ua peristiwa dikatakan bebas atau independ ent, jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa yang lain. 3umus :
P#( atau $ E P#($ . P#$ ?ontoh : Probabilitas bahwa si C(D akan lulus statistic E ;,/ sedangkan si CD akan lulus matematik E ;,8 maka probabilitas keduanya akan terjadi bersama-sama : P#( dan $ E P#($ . P#$ E ;,/ . ;,8 E ;,"
Si'at M#t#a2 E$#sie Suatu peristiwa yang saling meniadakan. ika dua peristiwa ( dan , maka hubungan keduanya bila peristiwa ( terjadi, maka peristiwa tidak mungkin terjadi dan 3umusnya adalah : P#( dan $ E P#($ & P#$ ?ontoh : ika probabilitas bahwa seorang akan meninggal karena penyakit #($, #$, #?$ masing-masing ;,01 A ;,"" dan ;,1 maka probabilitas seseorang tersebut akan meninggal karena salah satu penyakit tersebut adalah : P#( atau atau ?$ E P#($ & P#$ & P#?$ E ;,01 & ;,"" & ;,1 E ;,85
PERISTIA DEPENDENT E
P#7($ E Peristiwa akan terjadi apabila peristiwa ( telah terjadi. (tau terjadinya peristiwa harus didahului terjadinya peristiwa ( (turannya adalah : P#( dan $ E P#($ . P#7($ P#( $ E P#($ . P#7($ P # A B $ P#7($ E P # A$
(tau P#( dan $ E P#$ . P#7($ P#( $ E P#$ . P#7($ P # A B $ P#(7$ E P # B$
?ontoh : %iga bola putih dan satu bola merah dimasukkan kedalam sebuah peti dan diguncang-guncang hingga merata. ila seorang secara random dan berturut-turut memilih 1, " bola dari dalam peti tersebut serta bola pertama tidak boleh dikembalikan sebelum bola kedua diambil, maka berapakah probabilityanya kedua bola yang terpilih tersebut putih semuaJ awab : ika ( merupakan peristiwa bola putih terpilih pada pemilihan yang pertama dan merupakan yang kedua, bila tiap bola mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih maka P#($ E X Probability peristiwa dengan syarat peristiwa ( telah terjadi adalah P#7($ E "7 Sehingga probability pemilihan bola pertama menghasilkan bola putih menjadi : P#( dan $ E P#($ . P#7($ E X . "7 E 571" E ;,0 'ntuk peristiwa yang tidak termasuk dalam ketiga aturan diatas sebelumnya, dan peristiwa ini sering disebut peristiwa *+?)'S*< Fang dirumuskan sebagai : P#( atau $ E P#($ & P#$ G P#( dan $ ?ontoh : 4asil penelitian lembaga konsumen disuatu kota menunjukkan bahwa ada merk obat yang paling laris yaitu (, dan ? 2ari hasil penelitian ternyata menunjukkan ;O konsumen obat batuk menggunakan merk (, ";O menggunakan merk dan 10O menggunakan merk ? /O menggunakan merk ( dan , 5O menggunakan merk dan ?, "O menggunakan merk ( dan ?, dan 1O menggunakan ketiga merk tersebut. Penggunaan tidak saling meniadakan. (pabila salah satu konsumen obat batuk tersebut dipilih secara random, maka berapakah probability yang menggunakan merk ( atau atau keduanya. P#( atau $ E P#($ & P#$ G P#( dan $ E ;, & ;," G ;,;/ E ;,/5
Perm#tasi+ Kom%inasi dan Pro%a%iitas Permutasi digunakan untuk menghitung jumlah cara menyusun suatu obyek dengan memperhatikan urutannya. Pada permutasi urutan obyek diperhatikan sehingga (,,? tidak sama dengan ?,,(
PERMUTASI DAN K"MBINASI 2alam matematika modern, permutasi dan kombinasi mempunyai peranan yang penting. %erutama dalam menentukan banyaknya alternati! yang mungkin terjadi didalam pengambilan suatu peristiwa. Pada dasarnya persoalan diatas sama dengan persoalan mencari jumlah, cara menyusun atau mengatur kelompok obyek tertentu. 2idalam matematika persoalan diatas dinamakan permutasi dan kombinasi.
PERMUTASI (dalah : penyusunan obyek-obyek yang ada kedalam suatu urutan tertentu. ?iri utama permutasi adalah : obyek G obyek yang ada harus dapat dibedakan antara satu dengan yang lainnya. =leh karena itu bila obyek yang ada tidak dapat dibedakan, maka obyek tersebut tidak dapat dipermutasikan. ?ontoh : n ( n @ 'aktoria ! n ( n > ! ( n . ! ( n - ! ............. sehingga menjadi n E n # n G 1 $
?ontoh : / E 1 . " . . / E "/
ingat ; E 1
?ontoh : (da berapa carakah tiga mahasiswa dapat ditempatkan pada kursi yang tersedia ika ketiga mahasiswa tersebut (, , ? kemudian kita nyatakan dalam bentuk ruang yang kosong, maka dalam ruang yang kosong tersebut dapat disusun menjadi 5 cara yaitu : ( ( ? ?
? ? ( (
? ( ? (
?ontoh : (pabila kita ingin menyusun penempatan empat buku yang berbeda dalam sebuah rak buku, maka berapa carakah kempat buku tersebut dapat kita susun. awabnya : / E 1 . " . . / E "/ cara (tas dasar perhitungan diatas maka permutasi dapat dihitung dengan cara yang dinamakan KAEDAH PEN00ANDAAN UMUM dengan permutasi seluruh obyek dapat dirumuskan sebagai berikut : n Pn @ n
3umus diatas digunakan apabila permutasi dilakukan atas seluruh obyek. Sedangkan apabila permutasi dilakukan atas sebagian obyek dan tanpa adanya pengulangan atas obyek yang dikendaki, maka dapat dirumuskan sebagai berikut : n Pr
nS #n r $S
?ontoh : Pada suatu pemilihan calon pengurus suatu organisasi terdapat enam orang calon. Pemilihan tersebut akan memilih tiga orang pengurus dengan susunan ketua, Sekretaris dan bendahara. (da berapa carakah dari susunan pengurus itu mungkin dapat dipilih. awab : 2ari soal diatas adalah contoh permutasi atas sebagian obyek yaitu sebanyak orang, dari seluruh obyek sebanyak 5 orang. 2engan demikian susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah : 5 P E
5S #5 $S
E
1."../.0.5 1.".
E 1"; cara
?ontoh : 2alam suatu ruangan ujian terdapat / buah kursi, sedangkan pada suatu waktu tertentu terdapat 8 orang mahasiswa yang akan ujian. (da berapa carakah yan g dapat diperoleh bila kita ingin menyusun tempat duduk dari mahasiswa yang mengikuti ujian tersebut. #selesaikan sendiri$
PERMUTASI KELILIN0 = LIN0KARAN Permutasi keliling termasuk dalam permutasi khusus. Permutasi keliling adalah permutasi dari sejumlah obyek yang membentuk suatu lingkaran. ila suatu kelompok obyek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran, permutasi yang bersangkutan sebetulnya mempersoalkan kedudukan relati! obyek-obyek bila melintasi lingkaran dalam arti yang tertentu.
?ontoh : (?2 (2? (?2 (?2 (2? (2?
2ari gambar tersebut diatas ternyata dari keempat orang mahasiswa dapat disusun atau mengambil tempat pada meja bundar dalam 5 cara. Sehingga banyaknya permutasi keliling dari n obyek akan sebanyak : # n G 1 $ cara. ?ontoh : Sekelompok mahasiswa terdiri dari 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar (da berapa carakah ketujuh mahasiswa tersebut dapat diatur keliling meja bundar yang disediakan : awabnya : # n G 1 $ E # 6 G 1 $ E 1 . " . . / . 0 . 5 E 6"; cara
?ontoh G contoh soal : 1.
(da berapa banyak cara 0 buah kelereng yang berbeda warna dapat dideretkan dalam satu baris J
".
(da berapa banyak cara 1; orang dapat ditempatkan dalam suatu meja yang hanya tersedia / tempat duduk
.
Sembilan orang yang terdiri dari 0 pria dan / wanita akan diurutkan dalam satu baris dan dikehendaki wanita menempati urutan bernomor genap, ada berapa caraJ
/. 0.
5.
6.
4itunglah a$ 8P
b$ 5P/
c$ 10P1 d$ P
%erdapat / buku matematika yang tidak sama, 5 buku !isika yang tidak sama, dan " buku statistik yang tidak sama. (da berapa cara penyusunan yan g mungkin terjadi, bila : a$ Masing-masing kelompok ilmu #subyek$ harus disusun bersama #menjadi satu$ (da berapa cara dapat dipakai untuk menempatkan 6 orang disekeliling meja, jika a$ Mereka dapat duduk dimana saja. b$ 2ua orang tertentu tidak duduk bersebelahan a$ 2ari angka 0 sampai 9 digunakan untuk memberikan kode bagi kelompok yang terdiri dari 0 angka. (da berapa banyak kode grup dapat dibuat apabila pengulangan tidak diperkenankanJ b$ 'ntuk grup yang hanya terdiri dari angka, ada berapa banyak kode grup dapat disusun apabila pengulangan tidak diperkenankanJ c$ Seperti pertanyaan #a$ apabila pengulangan diperkenankan d$ Seperti pertanyaan #b$ apabila pengulangan diperkenankan
K"MBINASI
erbeda dengan permutasi dimana yang dipentingkan adalah urutan dari pada kedudukan suatu peristiwa, maka pada kombinasi urutan dari pada kedudukan peristiwa tidak diperhatikan. Misal : Pada permutasi urutan huru! (?2 tidak sama dengan (?2 tetapi keadaan tersebut akan sama artinya untuk kombinasi. R#m#s Kom%inasi adalah :
C r
n
E
nS r S# n r $S
?ontoh : 2alam suatu ruang tunggu terdapat 6 #tujuh$ orang yang akan konsultasi, dimana satu dengan yang lain belum saling mengenal. Supaya tidak terjadi kebisuan dalam ruang tersebut mereka lalu saling berkenalan. 2ari perkenalan yang terjadi, berapa jabatan tangan kemungkinan dari 6 orang tersebut J awab : pada soal ini harus diselesaikan dengan kombinasi. ila ( telah berjabat tangan dengan maka tidak akan berlaku lagi berjabat tangan dengan (, oleh karena itu ( akan sama dengan (, sehingga kombinasi ini merupakan kombinasi " obyek yang diambil dari 6 obyek berbeda. 6?" E
6S "S#6 "$S
E "1 cara yang dapat dilakukan.
K"MBINASI DARI K"MBINASI
alau dari himpunan unsur ( yang terdiri dari m unsur dan himpunan unsur yang terdiri dari n unsur, dibentuk suatu kombinasi yang terdiri dari p unsur ( dan T unsur , maka banyaknya kombinasi yang dapat disusun akan :
m
C p C q
n
E
mS pS# m p$S
.
nS qS# n q$S
2ari rumus diatas dapat dikatakan kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian antara suatu peristiwa yang satu dengan peristiwa yang lain atau sering disebut juga kombinasi dengan aUas perkalian. ?ontoh : 2alam berapa cara dapat dibentuk sebuah panitia terdiri dari orang yang dipilih dari / pasang suami istri bila : a$ Semuanya boleh dipilih b$ Panitia harus terdiri dari " wanita dan 1 pria 2ari soal diatas dapat diselesaiakan sebagai berikut : a$ dari panitia tidak diperhatikan urutan anggota-anggotanya, sehingga masalah akan memilih obyek dari 8 obyek yang ada pemilihan ini dapat dilaksanakan dalam : 8? E
8S E 05 cara S#8 $S
b$ 2ua wanita dapat dipilih dalam : /?" E
/S "S# / "$S
E 5 cara
Satu pria dapat dipilih dalam : /?1 E
/S 1S# / 1$S
E / cara
Sehingga menurut aUas perkalian atau kombinasi akan diperoleh dalam E /?" . /?1 E "/ cara
?ontoh :
2ari 5 orang mahasiswa dan / orang mahasiswi akan disusun kelompok belajar, maka hitunglah banyaknya kombinasi yang dapat dibentuk dari mahasiswa dan mahasiswi tersebut : 2ari persoalan diatas adalah mengenai kombinasi dari kombinasi. 2ari 5 orang mahasiswa harus terdiri dari orang, maka kemungkinannya : 5? E
5S S#5 $S
E "; cara
2ari / orang mahasiswi harus terdiri dari " orang, maka kemungkinannya : /?" E
/S "S# / "$S
E 5 cara
Seperti penyelesaian soal sebelumnya, maka dari asas perkaliannya didapat : 5? . /?" E "; . 5 E 1"; cara
?ontoh soal : 1. (da berapa banyak cara suatu panitia yang terdiri dari 0 orang harus dipilih dari 9 orang J ". 4itunglah a$ 6?/ b$ 5?0 c$ /?/ . Suatu turnamen pertandingan catur diikuti oleh "; orang peserta. Setiap peserta harus bertanding dengan peserta lainnya. Seorang yang memenangkan pertandingan paling banyak itulah yang dianggap sebagai juara. erapa banyak pasangan yang mungkin dijadwalkan /. (da berapa banyak cara 1; obyek dapat dikelompokkan dalam " grup yang masing-masing terdiri dari / dan 5 obyek 0. 2ari 0 orang matematis dan 6 orang ahli !isika akan dibentuk sebuah panitia yang terdiri dari " orang matematis dan orang ahli !isika. 2alam berapa cara hal ini bisa dilakukan apabila : a$ Setiap orang matematis dan setiap orang ahli !isika dapat masuk b$ Seorang ahli !isika tertentu harus menjadi anggota panitia c$ 2ua orang matematis tertentu tidak dapat menjadi anggota panitia
PERTEMUAN KE 5 DAN /
DISTRIBUSI TE"RITIS = PR"BABILITAS (da " macam distribusi probabilitas, yaitu distribusi probabilitas variable diskrit dan distribusi probabilitas variable kontinyu. Fang termasuk distribusi variable diskrit yaitu distribusi inomial dan distribusi Poisson, sedangkan distribusi kontinyu yaitu distribusi normal yang merupakan asumsi dasar konsep distribusi sampling.
DISTRIBUSI HIPER0E"METRIK )
.)
Pen,ertian Distri%#si Hiper,eometrik 2istribusi hipergeometrik termasuk distribusi teoritis yang menggunakan variable diskrit dengan dua kejadian. Perbedaan utama antara distribusi binomial dengan distribusi hipergeometrik adalah pada cara pengambilan samplenya. Pada distribusi binomial pengambilan sample dilakukan dengan pengembalian, sedangkan pada distribusi hipergeometrik pengambilan sample dilakukan tanpa pengembalian. R#m#s Distri%#si Hiper,eometrik
k
P#K E B$ E h #BA +, n, k$ E
N k
C x C n x C n N
2imana : + E ukuran populasi n E ukuran sample k E banyaknya unsure yang sama pada populasi B E banyaknya peristiwa sukses
8onto; soa : Sebuah kotak berisi 0; bola, 0 diantaranya pecah. (pabila diambil / bola, berapa probabilitas dua diantaranya pecah J
Penyelesaian : + E 0; A n E / A k E 0 A B E " 0
P#K E "$ E
0; 0
C " C / " C /0;
E
99;; ";;;
E ;.;/
2istribusi hipergeometrik dapat diperluas, jika dari populasi yang berukuran + terdapat unsure-unsur yang sama, yaitu k1,k",k dan dalam sample berukuran n terdapat unsure-unsur yang sama pula, maka dapat dirumuskan :
P#KE B1,B",R$ E
C xk 11C xk "" C n N
?ontoh soal : 2ari penelitian golongan darah mahasiswa pada sebuah universitas, diketahui bahwa dari 1; mahasiswa terdapat " mahasiswa bergolongan darah (, 0 bergolongan darah dan bergolongan darah =. apabila diambil 5 mahasiswa, berapa probabilitas seorang mahasiswa memiliki golongan darah (, " memiliki golongan darah dan " golongan darah =J Penyelesaian : + E 1;, terdiri dari k1 E ", k" E 0, k E n E 0, terdiri dari B1 E 1, B" E ", B E " "
P#K E 1, ", "$ E
0
C 1 C " C " 1;
C 0
Pertem#an ke
E
5; "0"
E ;."/
DISTRIBUSI BIN"MIAL 2alam distribudi probability kita kenal dua macam variable random, yaitu variable diskrit dan kontinue. Pada distribusi probability dengan variable random diskrit adalah distribusi probability poisson atau sering disingkat dengan distribusi G distribusi binomial dan poisson . Pada distribusi probability inomial dapat diartikan sebagai suatu peristiwa akan terjadi sebanyak K kali didalam percobaan sebanyak + kali. sukses sebanyak K kali ini maka kegagalan dari percobaan ini akan #+ G K$ (tas dasar tersebut maka dapatlah ditulis rumus binomial distribusi sebagai berikut : N P#K,+$ E # X $ . p X . #1 G P$
N
# X $ E
N X
N S X S# N X $S
?atatan : + E +.#+-1$.#+-"$ RRRRRRRR.. ; E 1 1 E 1 0 E 1."../.0 ?ontoh : 4itunglah probability untuk mendapatkan / gambar burung dalam 1; kali lemparan dari satu koin. awab : + E 1; P#/,1;$ E
KE/
PEHE@
1;S 1 " / .1 " 5 E ;," /S#1; /$S
?ontoh : ita melempar 1; dadu sebanyak satu kali. erapakah probabilitynya nampak mata 5 sebanyak 8 kali J awab : + E 1; P#8,1;$ E
KE8
sebuah dadu nampak mata 5 E 175
1;S 8 1 5 . 0 5 " E ;,;;;;18 8S#1; 8$S
?ontoh : Seorang mahasiswa menghadapi 5 pertanyaan pilihan berganda, setiap pertanyaan memiliki 0 alternati! jawaban. ika dalam menjawab pertanyaan, mahasiswa tersebut berspekulasi maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah : 1$ untuk menjawab benar, P#$ E 170 "$ untuk menjawab salah, P#S$ E 1- P#$ E /70 Misalkan susunan 0 jawaban benar adalah S maka : P#S$ E P#$ P#$ P#$ P#$ P#$ P#S$ E 170 170 170 170 170 /70 0 1 1 / E 0 0 %ernyata probabilitas 0 jawaban benar dari 5 pertanyaan adalah sama untuk susunan manapun. anyaknya kemungkinan susunan 0 benar dan 1 salah dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi. C xn
nS xS# n x $S
asus diatas memiliki n E 5 dan B E 0, sehingga terdapat 5 susunan atau cara
'ntuk menentukan probabilitas menjawab 0 pertanyaan benar P#0$ adalah dengan menjumlahkan 5 probabilitas dari kombinasi banyaknya susunan jawaban benar, C 0 E 5 susunan. arena probabilitas setiap susunan adalah sama maka probabilitas menjawab 0 pertanyaan benar #P#0$$ dapat pula dihitung dengan 5 mengalikan C 0 dengan probabilitas salah satu susunannya. 0
1
1 / P#0$ E C . E ;.;;10/ 0 0 5 0
2engan melakukan cara yang sama seperti diatas, untuk menghitung probabilitas menjawab dengan jawaban benar maka dapat dibuat distribusi binomial, dari peristiwa diatas. ml !a"a#an $enar %&' 0 1 2 3 4 5 6 #uma$
(%&' 0,2621 0,3932
0,00154 1,0000
3umus 2istribusi inomial a$ 3umus inomial suatu Peristiwa n
P#KEB$ E b#BAn,p$ E C x . P x . q n x 2imana : B E anyaknya peristiwa sukses n E anyaknya percobaan p E Probabilitas peristiwa sukses T E 1 G p Probabilitas peristiwa gagal ?ontoh soal : 1. Sebuah dadu dilempar keatas sebanyak / kali. %entukan probabilitas dari peristiwa berikut : a$ Mata dadu 0 muncul 1 kali b$ Mata dadu genap muncul " kali c$ Mata dadu " atau 5 muncul sebanyak / kali Penyelesaiannya: a$ arena dadu memiliki 5 sisi, maka setiap sisi memiliki probabilitas 175 PE175 T E 075 n E / B E 1 #muncul satu kali$ / 1 P#KE1$ E C 1 p q
1
1 0 E / E ;.85 5 5
b$ Mata dadu genap ada yaitu ", / , 5 sehingga : P E 75 E @ A T E @ A n E / A B E " /
"
P#K E "$ E C " p q
"
"
"
1 1 E 5 E ;.60 " "
c$ Muncul mata dadu " atau 5 sebanyak / kali, sehingga : P E "75 A T E "7 A n E / A B E / / / ; P#K E /$ E C / p q
/
;
" " E 1 E ;.;1" 5
?ontoh : ". Sebuah mesin yang memproduksi semacam alat, ternyata terdapat 0O rusak. ika secara acak diambil 1; buah dari alat tersebut untuk diselidiki, berapa probabilitas akan terdapat : a$ dua rusak b$ tidak ada yang rusak Penyelesaian : n E 1; A p E ;.;0 A T E ;.90 1; " 8 " 8 a$ P#KE"$ E C " p q E /0 #;.;0$ #;.90$ E ;.;60
1; ; 1; b$ P#KE;$ E C ; p q E 1 #;.;0$ ; #;.90$ 1; E ;.099
PR"BABILITAS BIN"MIAL KUMULATI9 Probabilitas binomial kumulati! adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses Probabilitas binomial kumulati! dapat dihitung dengan menggunakan rumus : n
P E
C . p n x
x
n x .q
x ;
n
E
p# X x$ E P#KE;$ & P#KE1$ & P#KE"$ & RR.P#KEn$ x ;
?ontoh Soal : Sebanyak 0 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah ;.6 4itunglah probabilitas : a. paling banyak " orang lulus b. yang akan lulus antara " sampai orang c. paling sedikit / diantaranya lulus Penyelesaian : a. n E 0 A p E ;.6 T E ;. B E; A 1 dan " P#KW "$ E P#KE;$ & P#KE1$ & P#KE"$ E 1#;.6$ ; #;.$ 0 & 0#;.6$ 1 #;.$ / & 1;#;.6$ " #;.$ E ;.15 b dan c dikerjakan sendiri
RATA>RATA+
Secara umum nilai rata-rata #L$, varians #Y " $ dan simpangan baku #Y$ dapat dicari berdasarkan distribusi probabilitasnya, dengan pendekatan sebagai berikut : Secara singkat nilai rata-rata, varians dan simpangan b aku distribusi binomial dapat dihitung dengan rumus : 1. rata-rata #L$ E n . p ". varians #Y " $E n . p . T . simpangan baku #Y$ E
n. p.q
?ontoh soal : 1. Suatu distribusi binomial memiliki n E 5, p E 17/ , T E X. %entukan nilai rata-rata, varians dan simpangan bakunya. Penyelesaian: 3ata-rata #L$ E n . p E 5 . Z E 1.0
n. p.q
E
1 .1"0
E 1.;5
". Pada lemparan / mata uang logam sebanyak 0; kali, terdapat distribusi sebagai berikut : K !
;
1 1;
" 0
16
/ 10
ika K E gambar angka, tentukan probabilitas sukses keluarnya gambar angka tersebut #p$ Penyelesaian : n E 0 A f E 0; [
X E
f . X E f
#;$ 1;#1$ 0#"$ 16#$ 10#/$ 0;
[
karena X E #K$, sedang #K$ E #L$ maka #L$ E ".5" L E n . p atau p E
n
E
".5" 0;
E ;.;0"/
PERTEMUAN KE . DISTRIBUSI P"ISS"N 1. Pen,ertian dan $irri>$iri Distri%#si Poisson
E ".5"
2istribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi atau distribusi teoritis yang memakai variable random diskrit. 2istribusi Poisson memiliki cirri-ciri sebagai berikut : a. anyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah. b. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daearah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daearah tersebut c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan. ?ontoh : Peristiwa datangnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu disuatu ruas jalan. 2ari peristiwa tersebut, dapat diamati hal-hal berikut : 1. %ingkat kedatangan rata-rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data masa lalu ". %ingkat kedatangan rata-rata kendaraan per satuan waktu adalah kostan . banyaknya kedatangan kendaraan dalam suatu interval waktu tertentu merupakan peristiwa independent #bebas$ /. Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu adalah sangat kecil, dan dapat dikatakan mendekati nol #;$ Distri%#si Poisson %an2ak di,#nakan daam ;a : Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari : 1. anyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 0 menit di suatu ruas jalan ". anyaknya bakteri dalam 1 tetes atau 1 liter air . banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku /. banyaknya kecelakaan mobil dijalan tol selama minggu pertama bulan R Men,;it#n, distri%#si %inomia apa%ia niai n %esar (n O -/! dan p ke$i (p /)! R#m#s Distri%#si Poisson a. R#m#s pro%a%iitas Poisson s#at# peristi*a
P#K E B$ E
x e
xS
2imana : E rata-rata terjadinya suatu peristiwa e E bilangan alam E ".618"8 Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang meng ikuti proses Poisson dirumuskan : P#K E B$ E
e # t $ x xS
2imana : @ %ingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu t E banyaknya satuan waktu B E banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu
?ontoh soal : 1. Sebuah took alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu %) /; > setiap hari 0 buah. ika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut : a. ; lampu %) b. lampu %) Penyelesaian :
@ 0 A e 0 E ;.;;56/
a. P#KE;$ E
b. P#KE$ E
0 ; e 0 ;S 0 e 0 S
E
E
1#;.;;56/$ 1
E ;.;;56/
1"0#;.;;56/$ 5
E ;.1/
Soal ". 2alam sebuah majalah yang terdiri dari 1"; halaman terdapat 8; kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halamn-halaman majalah tersebut. 4itung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka : a. tidak terdapat salah cetak b. / kata yang salah cetak Penyelesaian : n E 8; A p E 171"; E n . p
E 8; . 171"; E ;.56 a. P#KE;$ E
b. P#KE/$ E
#;.56$ ; e ;.56 ;S
E ;.01"
1#;.56$ / e ;.56 /S
E
#;.";"$#;.01"$ "/
E ;.;;/
Soal . 3uang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak / orang per hari. edatangan pasien mengikuti proses Poisson. a. erapa probabilitas kedatangan " pasien per hari b. erapa probabilitas kedatangan " pada siang sajaJ Penyelesaian : t E 1 A E / A B E " a. P#KE"$ E
tE
1"
"/
b.
1 "
e
/ x1
# /.1$ " "S
E
# ;.;18$#15$ "
E ;.1/50
A E / A B E "
P#KE"$ E
e
/ x
1 "
1 " #;.10$# /$ #/. $ E E ;."61 " " "S
PR"BABILITAS DISTRIBUSI P"ISS"N KUMULATI9 Probabilitas dari peristiwa lebih dari satu. Probabilitas Poisson kumulati! dapat dihitung dengan rumus : n
PP E
x
x ;
?ontoh Soal.
e
x1
1. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan alampu %) /; > setiap hari 0 buah. Permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi Poisson. b. %entukan probabilitas penjualan paling banyak " lampu b. (ndaikan persediaan #stock$ lampu sisa , berapa probabilitas permintaan lebih dari lampuJ Penyelesaian : @ 0 A e 0 E #".6"$ 0 E ;.;;56/ "
p# X x$ E P#KE;$ &P#KE1$&P#KE"$ E ;.1"0
a. P#KE;, 1, "$ E
x ;
n
b.
P#K\$ E 1 -
P # X x$ E 1 G #P#KE;$&P#KE1$&P#KE"$&P#KE$ E ;.60 x ;
Soal ". Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata-rata " kali sebulan. Penurunan mesin lebih dari / kali menyebabkan rencana produksi tidak tercapai. ika penurunan mesin mengikuti proses Poisson, berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapaiJ Penyelesaian : " A e " E ;.10 /
P#K \ /$ E 1-
P # X x$ E 1 G #P#KE;$&P#KE1$&P#KE"$&P#KE$&P#KE/$$ x ;
E 1 G ;.9/0 E ;.;00
Distri%#si Poisson se%a,ai pendekatan distri%#si Binomia 2engan 3umus : P#K E B$ E
# n. p $ x .e np
xS
2imana : np E rata-rata distribusi binomial ?ontoh Soal : Sebuah konveksi pakaian menggunakan "; mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit mengalami dan memerlukan perbaikan adalah ;.;". tentukan probabilitas dari mesin yang akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan, gunakan pendekatan Poisson dan binomialJ Penyelesaian : a. Pendekatan Piosson n E "; A p E ;.;" A B E P#KEB$ E
P#KE$ E
#np$ x e np
xS
# "; x ;.;" $ .e ;./ S
E ;.;;6"
b. Pendekatan inomial n E "; A p E ;.;" A B E A T E 1-;.;;"E ;.98 n x n x P#KEB$ E C x . P .q
E
";S S# "; $S
.#;.;"$ .#;.98$
16
E #1.1/;$#;.;;;;;8$#;.61$
E ;.;;50
8onto; soa
PERTEMUAN KE -
DISTRIBUSI N"RMAL Pen,ertian dan $irri>$iri Distri%#si Norma 2istribusi +ormal adalah : salah satu distribusi teoritis dari variable random kontinu. 2istribusi normal sering disebut distribusi auss, sesuai nama pengembangnya yaitu arl auss. 2istribusi +ormal memiliki bentuk !ungsi sebagai berikut :
1
f # x$
"
.e
1 # x $ " . "
dimana : B E nilai data ] E ,1/ Y E simpangan baku L E rata-rata B e E ".618"8 ^ ".6" 2istri 2istribus busii +ormal +ormal merupa merupakan kan distri distribus busii yang simetr simetris is dan berben berbentuk tuk genta genta atau atau loncen lonceng. g. Pada Pada bentuk bentuk tersebut ditunjukkan hubungan ordinat pada rata-rata dengan berbagai ordinat pada berbagai jarak simpangan baku yang diukur dari rata-rata ambar 7 kurva normal
urva tersebut dipengaruhi oleh rata-rata #L$ dan simpangan baku #Y$. ika rata-rata #L$ besar dan simpangan baku #Y$ besar, maka kurvanya makin rendah #platikurtik$. ika rata-rata #L$ dan simpangan baku #Y$ kecil, maka kurvanya makin tinggi #leptokurtic$. 2ari bentuk distribusi normal dapat diketahui si!at-si!at distribusi normal, yaitu sebagai berikut : 1$ entuk entuk distribusi distribusi normal normal adalah bentuk bentuk genta atau lonceng lonceng dengan satu satu puncak #unimoda #unimodal$ l$ "$ 3ata-r 3ata-rata ata #L$ #L$ terleta terletak k di tengah-te tengah-tenga ngah h $ +ilai rata-r rata-rata ata sama dengan dengan median median sama dengan modus modus yang memberikan memberikan pola simetr simetris is /$ 'jung'jung-uju ujung ng sisi kurvanya kurvanya sejajar sejajar dengan sumbu sumbu horiUo horiUonta ntall #sb-K$ #sb-K$ dan tidak akan pernah pernah memotong sumbu tersebut 0$ 2ata sebagian sebagian besar besar ada di tengahtengah-tengah tengah dan sebagi sebagian an kecil ada di di tepi, yaitu yaitu : d$ arak arak _ 1Y mena menampu mpung ng 58O atau atau 58."5 58."5O O data data d$ arak arak _ "Y "Y menam menampun pung g 90O atau atau 90./5O 90./5O data data c$ arak _ Y menampung 99O atau 99.6/O data Distri%#si Norma Standar eluarga distribusi normal memiliki jumlah yang banyak sekali, akibat pengaruh rata-rata dan simpangan baku. (kan tetapi untuk u ntuk mencari probabilitas suatu interval dari da ri variable random kontinu dapat dipermudah dengan menggunakan bantuan distribusi normal standar. 2istribusi +ormal Standar Standar adalah distribusi normal yang memiliki memiliki rata-rata #L$ E ; dan simpangan baku #Y$ E1 entuk !ungsinya adalah : f # Z $
1 "
1
.e
. z " "
ambar kurva:
2ari bentuk kurva distribusi normal standar tersebut, dapat diketahui si!at-si!at distribusi tersebut yaitu: 1$ kurva kurva sime simetri triss terha terhadap dap sumb sumbu uy "$ mempun mempunyai yai tit titik ik terti tertinggi nggi #;,
1 "
, dengan
1 "
E ;./
$ cekung kebawah kebawah untuk untuk interval interval B E -1 sampai sampai B E &1 &1 dan cekung keatas keatas untuk untuk nilai nilai B diluar interval tersebut /$ melu meluas as atau meleb melebar ar tanpa tanpa batas batas ke kiri kiri dank e kanan kanan serta serta mende mendeka kati ti sumbu sumbu B secara cepat begitu bergerak dari B E ; ke kiri maupun ke kanan 0$ luas seluruh seluruh daerah dibawah dibawah kurva kurva dan dan diatas diatas sumbu sumbu B sebesar sebesar 1 unit unit
untuk mengubah distribusi normal umum menjadi distribusi normal standar gunakan nilai ` #standar unit$ bentuk rumusnya adalah :
`E
X
2imana : ` E variable variable normal standar K E nilai variable random L E rata-rata variable random Y E simpangan baku variable random +ilai ` #standar units$ adalah angka atau indeks yang menyatakan penyimpangan suatu nilai variable random #K$ dari rata-rata #L$ dihitung dalam satuan simpangan baku #Y$ Penggunaan urva +ormal Standar 'ntuk menentukan luas daerah dibawah kurva normal standar, telah dibuat da!tar distribusi normal standar, yaitu table luas kurva normal standar dengan nilai-nilai ` tertentu. 2engan da!tar tersebut bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari. arena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap L E ; maka luas garis tegak pada titik nol kekiri ataupun kekanan adalah ;.0 dan diartikan : P#`Q ;$ E ;.0 luas daerah dibawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan : P#;V`Vb$ ?ontoh : (kan dihitung nilai : P#; V ` V ".1$ langkah-langkahnya : 1$ ".1 ".1 E ".1 ".1 & ;.; ;.; "$ dengan table table luas kurva normal normal standar standar,, dicari ".1 pada pada kolom ` #kolom #kolom paling kiri$ kiri$ dan ;.; pada pada baris pertama #baris paling atas$ $ pertemuan pertemuan baris baris ".1 dan kolom kolom ;.; merupakan merupakan nilai nilai ` dari P#; P#; V ` V ".1$ yaitu yaitu ;./8/ ;./8/ ?ontoh : 2engan menggunakan table, hitunglah nilai dari : a. P#-1 P#-1.6 .60 0 V ` V ;$ b. P#1." V ` V ".1"$ c. P#-; P#-;./ ./0 0 V ` V ;.50 ;.50$$ Penyelesaian : a. arena kurva kurva simet simetris ris pada pada L E ;, maka P#-1.60 P#-1.60 V ` V ;$ E P#; V ` V 1.60$ dari table table diperol diperoleh eh nilai nilai untuk P#; V ` V 1.60$ E ;./099 adi , P#-1.60 V ` V ;$ E ;./099
b. P#1." V ` V ".1"$ dapat diubah menjadi : P#; V ` V ".1"$ G P#; V ` V 1."$ E ;./8; G ;./;55 E ;.;65/
c. P#-;./0 P#-;./0 V ` V;.50$ V;.50$ dapat dapat diubah diubah menjadi menjadi : P#; P#; V ` V ;./0$ ;./0$ & P#; V ` V ;.50$ ;.50$ E ;.165 & ;."/"" E ;./108
'ntuk menentukan luas daerah kurva normal # yang bukan baku$ dilakukan trans!ormasi dengan menggunakan nilai `. ?ara trans!ormasinya ialah sebagai berikut : 1$ Menghi Menghitun tung g nilai nilai ` sampa sampaii dua decim decimal al "$ Menggam Menggambar bar kurv kurvaa norma normall standa standar r $ Meletakkan Meletakkan nilai nilai ` pada sumbu K, kemudian kemudian menarik menarik garis garis vertical vertical yang memotong memotong kurva
/$ +ilai yang yang terdapat dalam dalam da!tar merupakan merupakan luas daerah daerah antara antara garis tersebut tersebut dengan garis garis vertical vertical di titik nol 0$ 2alam da!tar da!tar distribus distribusii normal standar standar,, mencari tempat tempat harga ` pada kolom paling paling kiri hanya sampai sampai satu decimal dan mencari decimal keduanya pada baris paling atas 5$ 2ari ` dikolom dikolom kiri maju maju ke kanan dan dari ` di baris atas atas turun kebawah, kebawah, sehingga sehingga didapat didapat bilangan bilangan yang merupakan luas daerah yang dicari 'ntuk mencari nilai `, apabila luas kurva diketahui maka dilakukan langkah sebaliknya. ?ontoh : 1. 4itungl 4itunglah ah P#9; P#9; V K V 110$ 110$ untuk untuk L E 1;0 dan Y E 1; Penyelesaian : K1 E 9; dan K" E 110 `E
`1 E
X
untuk K1 E 9;A
9; 1;0 1;
E - 1.0
'ntuk K" E 110A `" E
110 1;0 1;
E 1
2engan demikian P#9; V K V 110$ ^ P#-1.0 V ` V 1$ P#-1.0 V ` V 1$ E P#-1.0 P #-1.0 V ` V ;$ & P#; V ` V 1$ E ;./" & ;./1 E ;.66/0 adi, P#9; V K V 110$ E ;.66/0
?ontoh : Sebuah perusahaan perusahaan memproduksi memproduksi bola lampu yang ketahanannya ketahanannya berdistribusi berdistribusi normal dengan rata-rata rata-rata 8"0 jam dan simpangan baku /0 jam. a$ erapa persen lampu yang ketahananya antara 8;; dan 85; jam J b$ erapa banyak lampu yang tahan lebih dari 90; jam, jika diproduksi 0;;; lampuJ Penyelesaian : E 8"0 jam dan Y E /0 jam a. K1 E 8;; jam K" E 85; jam `1 E
`" E
8;; 8"0 /0
85; 8"0 /0
E -;.00
E ;.68
2idapat P#-;.00 V ` V ;.68$ P#-;.00 V ` V ;.68 E P#-;.00 V ` V ;$ & P#; V ` V ;.68$ E ;.";88 & ;."8" E ;./911 adi terdapat /9.11O lampu yang ketahanannya antara 8;; dan 85; jam b. K Q 90; jam
`E
90; 8"0 /0
E ".68
2iperoleh : P#` Q ".68$ P#` Q ".68$ E P#` Q ;$ G P#; V ` V ".68$ E ;.0 G ;./96 E ;.;;"6 adi terdapat ;.;;"6 B 0.;;; E 1.0 atau 1/ lampu yang tahan lebih dari 90; jam, apabila diproduksi lampu sebanyak 0;;; buah
Rata>rata+
2istribusi +ormal memiliki rata-rata, rata LE
X n
b.
"
# X $
"
n
c. Simpan,an Bak# :
# X $
"
n
Pertem#an ke 3 ESTIMASI = PERKIRAAN Masalah perkiraan atau estimasi ada dua hal yang perlu dibahas yaitu : 1. P"INT ESTIMASI Point stimasi mempunyai arti menetapkan suatu nilai sebagai taksiran dari pada parameter. %etapi penentuan ini kurang memuaskan, karena nilai yang ditentukan terlampau optimis, dimana seakan-akan mengandung suatu kebenaran yang pasti,rupakan perkiraan.
?ontoh : Seorang peneliti menyimpulkan berdasarkan pengamatan bahwa rata-rata pendapatan pengemudi angkot sehari sebesar 3p. 0;.;;;,- dengan demikian pendapatan pengemudi angkot sehari relative sebesar 3p. 0;.;;;,-. Pada hal kenyataannya ada yang lebih besar dari itu atau bahkan lebih rendah. ". INTER
ESTIMASI RATA>RATA 'ntuk parameter rata-rata dan standard deviasi diketahui dengan populasi tidak terbatas, penggunaan dari estimasi rata-rata harus diperhatikan terlebih dahulu jumlah sample yang dipergunakan dalam penelitian yang dilakukan. (pakah penelitian yang dilakukan menggunakan sample kecil atau menggunakan sample besar. Sample kecil bila jumlah n V ;, sedangkan sample besar n \ ;. ESTIMASI RATA>RATA Sampe Ke$i 'ntuk sample kecil menggunakan table S%'2+% t dan harus menggunakan derajat kebebasan yang dinamakan 2egrees o! Ireedom yang besarnya d! E n G 1, sedangkan rumus dari rata-rata sample kecil adalah :
X t
1 "
D n
Sedangkan dari pengembangan rumus tersebut akan berubah menjadi :
1
D
X t " n
X t
1 "
D n
?ontoh 1: Mahasiswa (, dan ? melakukan pengamatan mengenai lamanya usia pakai batu bateray merk CKD yang digunakan pada kalkulatornya masing-masing. Menurut mereka dari keempat batu bateray merk CKD rata-rata bias dipakai selama 1";; jam dengan simpangan baku sebesar ";; jam, dengan menggunakan con!idence interval sebesar 99O, saudara diminta untuk mencari rata-rata sebenarnya dari batu bateray merk K tersebut. awab : Persoalan diatas adalah masalah estimasi dengan menggunakan sample kecil, oleh karena itu harus menggunakan table t yang digunakan akan sebesar 0,8/1 dan perhitungan rata-ratanya adalah : 3ata-rata E 1";; _ 0,8/1
";; "
E 1";; _ 08/,1
2ari perhitungan diatas maka dapat dikatakan bahwa daya tahan dari batu bateray merk CKD yang sebenarnya paling cepat akan sebesar 510.9 jam dan paling lama akan sebesar 1.68/,1 jam ?ontoh ": Suatu penelitian mengetahui pendapatan rata-rata pegawai kota. 2ari suatu sample yang digunakan sebanyak "0 pegawai ternyata pendapatan kotor rata-rata sebesar 3p. 860.;;;,- dengan standard deviasi sebesar 3p. 0.;;;,- bila dikehendaki ?on!idence *nterval sebesar 90O maka berapakah besar taksiran kotor rata-rata pegawai kota tersebut dalam sehari : 'ntuk menyelesaikan soal tersebut supaya digunakan rata-rata dengan sample kecil dengan populasi tidak terbatas J ESTIMASI RATA>RATA UNTUK SAMPLE BESAR
stimasi rata-rata untuk sample besar harus menggunakan table ` dan rumus yang harus digunakan adalah :
X Z
1 "
D n
Sedangkan pengembangan rumus diatas menjadi :
1
D
X Z " n
X Z
1 "
D n
?ontoh 1: Sebuah biro pariwisata mengadakan penelitian tentang kepariwisataan *ndonesia dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata para wisatawan asing dalam kunjungan di *ndonesia. una kepentingan diatas, suatu sample random yang terdiri dari 1;; orang wisatawan asing dipilih untuk diwawancarai dari suatu populasi tidak terhingga dari semua wisatawan asing yang datang. 2ari wawancara diatas diketahui bahwa rata-rata pengeluaran sehari sebesar 3p. 8;;.;;;,- tiap wisatawan dengan standar deviasi sebesar 3p. 1;.";;,- dari hasil wawancara diatas digunakan interval keyakinan sebesar 90O erapakah estimasi pengeluaran para wisatawan asing tersebut J
n E 1;; A x !p8;;.;;;, A S2 E 3p. 1;.";;,- A E ;.;0 A ` E _ 1.95
x 1,95
D n
E L E 8;;.;;; _ 1,95
1;.";; 1;;
E 8;;.;;; _ 1999,"
Sehingga dari perhitungan diatas dapat dikatakan bahwa rata-rata pengeluaran para wisatawan asing sehari paling sedikit sebesar 3p. 698.;;;,8 2an paling banyak 3p.8;1.999,"
ESTIMASI RATA>RATA UNTUK PARAMETER RATA>RATA DAN STANDARD DE
3umus untuk sample kecil :
[ 1 D X t " n
N n N 1
3umus Sample esar :
[ 1 D X Z " n
N n N 1
?ontoh : Pengemudi ecak disurabaya sebanyak 8;;; orang untuk keperluan penelitian diambil sample random sebanyak "5 orang, 2ari "5 orang tersebut diwawancarai tentang pendapatan bersih mereka sehari. 2ari wawancara ternyata rata-rata pendapatan bersihnya 3p. ;.;;;,- per hari dengan standard deviasi sebesar 3p. 5.0;;,- ika dalam penelitian tersebut digunakan E 0O maka berapa estimasi rata-rata pendapatan bersih pengemudi becak di kota Surabaya. awab : + E 8;;;
n E "5
X ;.;;;
S2 E 3p. 5.0;;
t E _ ",;5;
N n
[ 1 D X Z " n
N 1
L E ;;;; _ ",;5;
8;;; "5
50;;
8;;; 1
"5
E ;;;; _ "5"1,88
2ari hasil perhitungan dapat disimpulkan bahwa pendapatan bersih sehari pengemudi becak di kota Surabaya paling tinggi sebesar 3p "5"1,88 dan paling rendah 3p. "6.68,11 ?ontoh ". aryawan pabrik C(?D sebanyak 9;; orang diambil sample random sebanyak 1;; orang. aryawan tersebut diwawancarai tentang pendapatan bersih mereka sehari. 2ari hasil wawancara diketahui bahwa pendapatan bersih mereka sehari 3p. 1;.9;;,- dengan standar deviasi sebesar 3p. .0;;,- ila dalam wawancara digunakan tingkat kepercayaan sebesar 90O, maka hitunglah estimasi pendapatan bersih sehari karyawan pabrik tersebut. awab :
ESTIMASI PR"P"RSI stimasi proporsi akan digunakan apabila dihadapkan pada data yang diskrit, sedang rumus estimasi proporsi pop#asi 2an, tidak diketa;#i : P E p _ `@
P #1 p$ n
'ntuk rumus estimasi proporsi populasi terbatas : P E p _ `@
P #1 p$ n
.
N n N 1
2imana : P E proporsi dari parameter p E proporsi statistic + E jumlah seluruh populasi n E jaumlah sample yang digunakan Sedang untuk mencoba p statistic dapat diperoleh dengan cara p E
x n
dimana B E nilai yang ada dari sample
yang diketahui dari hasil penelitian. 2engan demikian dua rumus diatas dapat dirubah masing-masing menjadi :
x
P E p _ `@
n
#1
x n
$
dan
n
x
P E p _ `@
n
#1 n
x
$ n .
N n N 1
?ontoh 1: 2inas kesehatan kota ingin mengetahui prestasi penduduk kota dewasa yang merokok paling tidak satu bungkus sehari. Sebuah sample random sebanyak ;; orang perokok diwawancarai. 2an ternyata 5 orang menyatakan paling sedikit merokok satu bungkus sehari. uatlah interval keyakinan sebesar 90O guna menduga proporsi penduduk kota yang merokok paling tidak satu bungkus sehari. awab :
n E ;;
B E 5 x
P E p _ `@
n
#1
pE x n
x n
E
5 ;;
E ;.1"
` E _ 1.95
$
n
?ontoh ". Seorang pengusaha sabun ingin mengetahui konsumsi sabun mandi oleh para mahasiswa di Surabaya. 2ari sample yang terdiri dari 1;; mahasiswa ternyata 50O menyatakan memakai sabun merk C)'KFD, sedang sisanya merk lain. 2ari keterangan diatas hitunglah estimasi proporsi dari mahasiswa yang memakai sabun C)'KFD, bila digunakan interval keyakinan 90O ?oba kerjakan
?ontoh . Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan layanan yang diberikan oleh para pegawainya. 2ari ";;; orang nasabah diambil random sample sebanyak "0; orang nasabah dan ternyata ada 5; orang menyatakan tidak puas atas pelayanan yang diberikan. ila dalam memperkirakan tersebut digunakan tingkat kepercayaan sebesar 90O, buatlah perkiraan interval persentase para nasabah yang tidak puas akan pelayanan tersebut. ?oba kerjakan
Pertem#an ke 6 UJI HIP"TESIS 4ipo berarti dibawah atau lemah sedangkan thesa atau thesis yang berarti teori yang disajikan sebagai bukti. 2engan demikian secara umum dapat diartikan bahwa hipotesa adalah suatu pernyataan yang si!atnya masih lemah kebenarannya, untuk itu perlu dibuktikan terlebih dahulu supaya diperoleh kebenaran tersebut. Suatu hipotesa akan diterima apabila bahan-bahan penelitian membenarkan pernyataan itu. 2an suatu hipotesa akan ditolak apabila berlawanan dengan kenyataan. 2alam pengujian suatu hipotesa secara teoritis dikenal sebutan hipotesa nihil. *stilah nihil dalam suatu hipotesa dapat diartikan sebagai tidak ada perbedaan atau tidak ada hubungan antara peristiwa yang satu dengan yang lain. R#m#san Hipotesa : 'ntuk menghasilkan hipotesa yang baik harus dirumuskan dengan suatu syarat tertentu. arena rumusan hipotesa yang tidak memenuhi syarat akan sangat menyulitkan dalam analisa. Syarat yang harus diperhatikan :
1. 4arus menggunakan kalimat yang jelas, sistematis dan cukup pendek, supaya tidak mengaburkan maksud yang terkandung dalam hipotesa ". 4arus berupa kalimat pernyataan, jadi bukan mempergunakan suatu kalimat pertanyaan. . 4arus menggunakan kalimat tunggal, jadi harus dihindari kalimat yang berinduk dan beranak
UJI t sat# rata>rata 2alam uji t satu rata-rata dalam penyelesaian soal dapat dilakukan melalui tiga kemungkinan yakni untuk uji satu ekor pada pihak kiri saja ataupun kanan saja dan uji dua ekor untuk pihak kiri dan kanan +amun dalam uji t disamping ditentukan besarnya tingkat signi!ikasinya masih harus dicari pula besarnya derajat kebebasannya #degree o! !reedom$ dengan menggunakan rumus d! E n -1 'ji t pada pihak kiri akan dilakukan apabila hipotesa menyatakan kecil dari atau kurang dari, sedangkan pada pihak kanan apabila hipotesa menyatakan lebih dari atau besar dari. Pengujian yang dilakukan pada salah satu pihak kiri saja ataupun kanan saja ini dinamakan pengujian yang telah diarahkan. ?ontoh Pihak kiri : Misal : digunakan %ara! sikni!ikan 0O A banyaknya sample E 1; %t 0O d! E 9 ketemu )-urva :
d! E n-1 E 9
'ji pihak kanan : Misal : digunakan %ara! sikni!ikan 0O A banyaknya sample E 1; %t 0O d! E 9 ketemu )-urva :
d! E n-1 E 9
2alam gambar berikut adalah penggambaran pada uji dua ekor pada pihak kiri dan kanan 'ji Pihak kiri dan kanan Misal : digunakan %ara! sikni!ikan 0O A banyaknya sample E 1; %t ",0O d! E 9 ketemu Q .+.?. urva :
d! E n-1 E 9
Pada uji t dua pihak perlu diperhatikan bahwa, apabila ditentukan tara! signi!ikan sebesar 0O dengan jumlah dengan jumlah sample sebanyak 1;, maka didalam table pada table ",0O dengan derajat kebebasan 9, maka akan didapat nilai kritis sebesar _ ","5" 2engan melihat nilai kritis tersebut, maka hipotesa nihil akan diterima bila t observasi #t-hitung$ berada pada interval besar E -","5" atau kecil sama dengan ","5" pada table. 2iterimanya hipotesa nihil berarti hipotesa alternative ditolak. 2an dalam kesimpulan statistic digunakan kalimat tidak ada perbedaan yang signi!ikan atau tidak ada perbedaan yang sangat signi!ikan. Sebaliknya hipotesa nihil ditolak bila t observasinya lebih besar dari ","5" atau lebih kecil dari -","5" #jika hipotesa nihil ditolak, maka hipotesa alternative diterima$. Sehingga kesimpulannya : ada perbedaan yang signi!ikan atau ada perbedaan yang sangat signi!ikan. ?ontoh 1. Seorang pimpinan perusahaan industri sepeda motor menyatakan bahwa tiap liter bensin dapat digunakan oleh sepeda motor produksinya menempuh jarak rata-rata sejauh /; km, 'ntuk menguji pernyataan itu penelitian dilakukan terhadap sample sebanyak "; sepeda motor hasil produksinya. 2ari hasil penelitian ternyata rata-rata tiap liter bensin dapat dipergunakan menempuh jarak 8,8 km dengan standar deviasi sebesar 1,8 km, benarkah pernyataan pimpinan perusahaan itu J gunakan tara! signi!ikan sebesar 90O terhadap alternative rata-rata daya tempuh tiap liter bensin kurang dari /; km awab : Proses menjawab perlu diperhatikan urutannya, karena kekeliruan dalam urutan akan dapat berakibat kekeliruan di dalm pembuatan kesimpulan.
4; % L E /;
a$ 41 % L V /;
b$ %ara! signi!ikan 0O d! E n G 1 E "; G 1 E 19 tt ;,;0 d! E 19 ditabel tertulis E 1,6"9 c$ ambar
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila t observasi \ t table E - 1,6"9 4o ditolak bila t observasi V t table E - 1,6"9
e$ 4itungan :
to
x
to E
s 7 n
8,8 /; 1,8 7
";
E - ",981
!$ esimpulan : 4o ditolak sebab to E - ",981 V t table E - 1,6"9 41 diterima #(da perbedaan yang signi!ikan. adi pernyataan dari pimpinan perusahaan industri sepeda motor tersebut tidak benar$ Soal ". 'niversitas CKD mengadakan penelitian terhadap siswa SM( negari di Surabaya, penelitian dilakukan untuk mengetahui rata-rata berat badan siswa tersebut. etua proyek penelitian mempunyai anggapan bahwa ratarata berat siswa SM( tersebut lebih besar dari 0" kg. dilakukan penelitian sebanyak "0 siswa untuk ditimbang, dari hasil penelitian ternyata rata-rata berat badan siswa adalah 0,5 kg dengan standart deviasi seberat ,/ kg. bila dari penelitian tersebut digunakan tara! signi!ikan sebesar 0O, menurut saudara benarkah pernyataan kepala proyek tersebut JJJ awab :
4; % L E 0"
a$ 41 % L Q 0"
b$ %ara! signi!ikan 0O d! E n G 1 E "0 G 1 E "/ tt ;,;0 d! E "/ ditabel tertulis E 1,611 c$ ambar
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila t observasi W t table E 1,611 4o ditolak bila t observasi Q t table E 1,611
e$ 4itungan :
to
x
to E
s 7 n
0,5 0" ,/ 7
"0
E ".0
!$ esimpulan : 4o ditolak sebab to E ",0 Q t table E 1,611 41 diterima #(da perbedaan yang signi!ikan. adi pernyataan dari pimpinan proyek tersebut benar$
Soal . epala biro penelitian suatu perguruan tinggi berpendapat bahwa rata-rata beaya transport dari rumah ke tempat kuliah seorang mahasiswa sehari sebesar 3p. 5;;;,- untuk menguji pendapatnya penelitian dilakukan dengan menggunakan sample sebanyak "6 mahasiswa. 2ari hasil penelitian ternyata rata-rata beaya transport sehari sebesar 3p. 50;;,- dengan standard deviasi sebesar 3p. 10;;,-. ila dalam penelitian tersebut digunakan tara! signi!ikan sebesar 0O, enarkah apa yang dikatakan oleh kepala biro penelitian tersebut JJJ awab :
4; % L E 5;;;
a$ 41 % L 5;;;
b$ %ara! signi!ikan 0O d! E n G 1 E "6 G 1 E "5 tt ;,;"0 d! E "5 ditabel tertulis E _ ",;05 c$ ambar two tail
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila t observasi W t table E ",;05 atau tt E -",;05 W to W ",;05 4o ditolak bila t observasi Q t table E ",;05
e$ 4itungan :
to
x s 7 n
to E
50;; 5;;; 10;; 7 "6
E 1,6"
!$ esimpulan : 4o diterima sebab to E 1,6" V t table E ",;05 41 ditolak #%idak ada perbedaan yang signi!ikan. adi pernyataan dari kepala biro penelitian tersebut benar$
UJI sat# rata>rata Seperti pada uji t diatas, maka pada uji ` rata-rata dengan mengguakan sample besar, table yang digunakan adalah ta%e ata# ta%e k#ra norma) 2alam pengujian satu rata-rata ini dapat dilakukan pada pihak kiri atau kanan saja, dan dapat pula dilakukan pengujian pada pihak kiri dan kanan. erbeda dengan uji satu rata-rata dengan menggunakan sample kecil maka dengan menggunakan sample besar tanpa memakai derajat kebebasannya #d!$, tetapi masih tetap juga menggunakan tara! signi!ikan sesuai dengan yang diinginkan oleh peneliti. Pengujian pada sebelah kiri akan dilakukan apabila hipotesa menyatakan lebih kecil atau kurang dari, sedang pada pihak kanan apabila hipotesa menyatakan lebih dari atau lebih besar dari. Pengujian yang dilakukan pada salah satu pihak kiri saja
atau kanan saja dinamakan pengujian yang telah diarahkan. Sedang cara penggambarannya pada uji pihak kiri atau kanan saja seperti berikut ini :
UJI Pi;ak Kiri+
Misal : %ara! signi!ikan yang digunakan sebesar 0O ` table E 1.50 #lihat pada luas kurva normal sebesar ;,/0;0$ ambar :
UJI Pi;ak Kanan+
Misal : %ara! signi!ikan yang digunakan sebesar 0O ` table E 1.50 #lihat pada luas kurva normal sebesar ;,/0;0$ ambar :
U&i D#a Ekor (t*o tai! Misal : %ara! signi!ikan yang digunakan sebesar 0O ` table E _ 1.95 #lihat pada luas kurva normal sebesar ;,/60;$ ambar :
3umus uji ` :
Zo
x s 7 n
dimana : `o E ` dari hitungan [ x E rata-rata statistic
rata-rata parameter
n E jumlah sample
S E standard deviasi statistik
?ontoh 1: Seorang *bu asrama berpendapat bahwa rata-rata beaya mondok mahasiswa di Surabaya setiap bulannya tidak sama dengan 3p. 5;;;;,'ntuk membuktikan pendapatnya penelitian dilakukan secara random terhadap sample 1;; mahasiswa yang mondok. 2ari hasil penelitian ternyata rata-rata beaya mondok mahasiswa setiap bulannya sebesar 3p. 9;;;;,dengan standard deviasi sebesar 3p. 80;;;,- bila dalam penelitian diatas digunakan tara! signi!ikan 0O, 'jilah apakah benar pendapat dari ibu asrama tentang rata-rata beaya mondok mahasiswa di Surabaya JJ awab : a$ 4; % L E 5;;;; 41 % L 5;;;; b$ %ara! signi!ikan 0O `tabel E _ 1,95
c$ ambar two tail
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila `table E - 1,95 V `o V 1,95 4o ditolak bila `o V ` table E - 1,95 atau `o Q `tabel E 1.95
e$ 4itungan :
Zo
x
`o E
9;;;; 5;;;; 80;;; 7 1;;
s 7 n
E ,0"9 atau ,0
!$ esimpulan : 4o ditolak sebab `o E ,0 Q ` table E 1,95 41 diterima #(da perbedaan yang signi!ikan. adi pernyataan dari *bu asrama tersebut benar$
Soal ". Seorang pejabat berpendapat bahwa rata-rata modal yang dimiliki oleh perusahaan jenis sedang lebih dari 3p. 11;.;;;.;;;,- 'ntuk menguji kebenaran anggapan tersebut, kemudian diteliti sebanyak 10; perusahaan jenis sedang yang dijadikan sample. 2ari hasil penelitian ternyata rata-rata modal yang dimiliki oleh perusahaan jenis sedang sebesar 3p. 111.";;.;;;,- dengan standard deviasi 3p 6";;;;;,- 2engan menggunakan tara! signi!ikan sebesar 0O, maka ujilah kebenaran dari anggapan pejabat tersebut JJ
awab : a$
4; % L E 11;;;;;;; 41 % L Q 11;;;;;;;
b$ %ara! signi!ikan 0O `tabel E 1,5/ c$ ambar one tail
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila `o V `tabel E 1,5/ 4o ditolak bila `o Q ` table E 1,.5/
e$ 4itungan :
Zo
x s 7 n
`o E
111";;;;; 111;;;;;; 6";;;;; 7 10;
E ",;/
!$ esimpulan : 4o ditolak sebab `o E ",;/ Q ` table E 1,5/ 41 diterima #(da perbedaan yang signi!ikan. adi pernyataan dari pejabat tersebut benar$
Soal .
Seorang peneliti social beranggapan bahwa rata-rata pendapatan kepala keluarga setiap bulannya kurang dari 3p. /1;;;;,- 'ntuk meneliti pendapat tersebut diambil sample sebanyak 0;; orang kepala keluarga untuk diteliti. %ernyata dari hasil penelitian yang dilakukan rata-rata pendapatan tiap kepala keluarga sebulan sebesar 3p. /;;;;;,- dengan standard deviasi 3p 10;;;;,- dan menggunakan tara! signi!ikan sebesar 0O, maka ujilah pendapat dari peneliti tersebut JJ
awab : a$ 4; % L E /1;;;; 41 % L V /1;;;; b$ %ara! signi!ikan 0O `tabel E - 1,5/ c$ ambar one tail
d$
riteria penolakan dan penerimaan 4o 4o diterima bila `o Q `tabel E - 1,5/ 4o ditolak bila `o V ` table E - 1,.5/
e$ 4itungan :
Zo
x s 7 n
`o E
/;;;;; /1;;;; 10;;;; 7
0;;
E - 1,/9;6
!$ esimpulan : 4o diterima sebab `o E - 1,/91 Q ` table E - 1,5/ 41 ditolak #%idak ada perbedaan yang signi!ikan. adi pendapat dari peneliti tersebut tidak benar$
PERTEMUAN KE ? ANALISIS DERET AKTU
2igunakan untuk Prediction, Iorcasting suatu permasalahan dengan memperkirakan sesuatu pada waktu yang akan datang. 2eret waktu atau %ime Series berhubungan dengan data statistik yang dikumpulkan, diselidiki dan dicatat dalam batas-batas atau interval waktu tertentu #tahunan, triwulanan, bulanan, mingguan maupun harian$ 2alam deret waktu perubahan yang terjadi dipengaruhi oleh !aktor-!aktor yang dikelompokkan dalam / komponen yakni : 1. %rend Sekuler #Seculer trend$, trend jangka panjang ".
Metode Be%as Metode ini sangat sederhana dan tidak perlu perhitungan hanya membutuhkan gambar 7 gra!ik berdasarkan data yang ada. 2an menghasilkan trend yang kasar. ra!iknya adalah : Dia,ram Menent#kan Trend den,an Metode Be%as
ualitas
%ahun
Metode Seten,a; Rata>rata Metode ini juga sangat sederhana dan mudah perhitungannya. (dapun langkah-langkahnya adalah : a. agilah data deret waktu menjadi dua bagian. ika jumlah tahunnya ganjil dapat membagi ke dalam dua bagian yang sama dengan tidak memasukkan #menghilangkan$ tahun yang berada di tengah b. 4itunglah semitotal setiap bagian dengan jalan mejumlahkan nilai-nilai deret waktu dalam tiap-tiap bagian. c. 2ari tiap bagian tersebut kemudian dicari rata-ratanya d. )etakkan nilai rata-rata tesebut di tengah-tengah masing-masing bagian e. 4ubungkan kedua nilai rata-rata tersebut dengan garis lurus, dan garis lurus inilah trend-nya
?ontoh : +ilai penjulan bersih dari suatu perusahaan makanan dan minuman, dinyatakan dalam ratusan ribu rupiah, seperti contoh dibawah ini.
Men,;it#n, Trend den,an Meode Seten,a; Rata>.
(omer 1 2 3 4 5 6 ! 8 9 10 11 12 13 14
)a$un 1981 1982 1983 1984 1985 1986 198! 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
Pen&uan 'etenga$ Ber*+$ 'em+tota ata-rata 12! 134 1!6 165 1155 165 159 1!9 215 232 238 322 389 2329 332,!143 368 394 386
'ntuk menentukan nilai trend pada tahun yang lain #selain tahun 198/ dan 1991$ kita perlu menghitung ratarata kenaikan per tahun # annual trend increment $. enaikan total selama 6 tahun #198/ G 1991$ adalah : ".61/ G 150 E 156,61/ sehingga rata-rata annual trend incrementnya adalah 156,16/ : 6 E ",909 Sekarang kita dapat menentukan nilai trend untuk tahun-tahun lainnya, contoh nilai trend tahun 198" adalah : 150 G " # ",909$ E 116,;8" +ilai trend tahun 1988 E 150 & / #",909$ E "5;,85 dan seterusnya. erapakah trend tahun 199; dan 199/ JJ 0ra'ik Trend den,an Metode Seten,a; Rata>rata Penjualan ersih
%ahun 8onto; Unt#k ta;#n 0 anjil )a$un 1981 1982 1983 1984 1985 1986 198! 1988 1989 1990 1991
Pen&uaan
)a$un
Pen&uaan
38 40 46 49 51 55 61 63 69 !2 80
'em+ tota
224
'etenga$ ata-rata
44,8
d+ko*ongkan
245
69
(tau
1981 1982 1983 1984 1985 1986 198! 1988 1989 1990 1991
38 40 46 49 51 55 61 63 69 !2 80
'em+ tota
2!9
'etenga$ ata-rata
46,5
d++kutkan
400
66,!
Metode Rata>rata Ber,erak iasanya digunakan tahun atau 0 tahun rata-rata bergerak #Moving (verage$
)a$un
Pen&uaan
1981 1982 1983 1984 1985 1986 198! 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994
12! 134 1!6 165 159 1!9 215 232 238 322 389 368 394 386
3 ta$un 3 t$ rata-2 )ota Bergerak Bergerak 43! 4!5 500 503 553 626 685 !92 949 10!9 1151 1148
145,! 158,3 166,! 16!,! 184,3 208,! 228,3 264,0 316,3 359,! 383,! 382,!
0ra'ik Trend den,an Metode Rata>rata Ber,erak Penjualan ersih
%ahun
Metode K#adrat Terke$i (Least S#are Metode! %aksiran trend dihitung dengan ketentuan bahwa jumlah deviasi kuadrat antara tiap nilai deret waktu dengan nilai trend adalah : Minimum 'ntuk tujuan ini kita pergunakan persamaan garis lurus #straight line eTuation$ yang dinyatakan dengan : 3umus : F E a & b.B 2imana : B E Periode waktu F E dapat berupa nilai penjulan, produksi, persediaan dll a E nilai F apabila B E ; b E besarnya perubahan variabel F yang terjadi pada setiap perubahan 3umus untuk mendapatkan nilai a dan b #short method$ a
"
b E
n
X" X "
?ontoh : Metode )uadrat *erke+il dengan !umla n gan!il )a$un
Pen&uaan
.e+a*+ dm ta$un
2
)rend
1989 1990 1991 1992 1993
3 5 4 ! 6 25
a
" E n
"0 0
-2 -1 0 1 2 0
E 0
bE
-6 -5 0 ! 12 8
4 1 0 1 4 10
3,4 4,2 5 5,8 6,6 25
X" 8 ;.8 X 1;
F E 0 & ;.8.K
"
Men,,#nakan Persamaan Norma )a$un 1989 1990 1991 1992 1993
Pen&uaan .e+a*+ dm ta$un 3 0 5 1 4 2 ! 3 6 4 25 10
2 0 5 8 21 24 58
)rend 0 1 4 9 16 30
" n.a # X X" a X # X
"
"0 E 0 a & 1; b 08 E 1; a & ; b b E ;.8
a E ./
Persamaan yang didapat :
F E ,/ & ;.8 K
ambar ra!ik %rend dengan Metode uadrat %erkecil
Men,;it#n, Trend 0aris L#r#s den,an Metode K#adrat Terke$i (n 0enap! )a$un 1985 1986 198! 1988 1989 1990
Pen&uaan .e+a*+ dm ta$un 3 -5 5 -3 4 -1 ! 1 6 3 9 5 36 0
2
-15 -15 -4 ! 18 45 42
25 9 1 1 9 25 !0
1. erapa %rend untuk tahun 1991 dan 1990 J ". uat Persamaan dengan persamaan normal J
)rend
PERTEMUAN KE 6 DERET AKTU DEN0AN RATA>RATA TIAP TRIULAN
?ontoh : 4asil penjualan perusahaan kembang gula (?, rata-rata tiap triwulan selama 5 tahun dinyatakan dalam jutaan rupiah adalah sebagai berikut : %abel JJ 4asil Penjualan %riwulanan Perusahaan embang ula (? #utaan 3upiah$ %ahun %w1 %w" %w %w/ 3ata-" K KF K" F
1988 1989 199; 1991 199" 199
a
" E n
/0 5
F E 6.0 & ;.9.B
/ / 5 8 11
E 6.0
/ / 5 8 8 1
bE
0 5 0 8 1; 1"
/ 5 0 1; 1/ 15
x$ E x "
5 6;
/ 0 0 8 1; 1 /0 E ;.9
-0 - -1 1 0 ;
-"; -10 -0 8 ; 50 5
"0 9 1 1 9 "0 6;
%rend .; /.8 5.5 8./ 1;." 1".; /0.;
%rend 1988 E 6.0 & 1989 E 6.0 & 199; E 6.0 & 1991 E 6.0 & 199" E 6.0 & 199 E 6.0 &
;.9 #-0$ E ;.9 #-$ E ;.9 #-1$ E ;.9 #1$ E ;.9 #$ E ;.9 #0$ E
.; #rata-rata triwulan$ /.8 5.5 8./ 1;." 1".;
Modi!ikasinya : %rend %riwulanan : F E a &
%rend ulanan : F E a
# 1"
#
/
.B
.B
Sehingga %rend triwulan dari contoh diatas : F E 6.0 & 1998 %w1 E 6.0 G " #;.""0$ %w" E 6.0 G "1 #;.""0$ %w E 6.0 G 19 #;.""0$ %w/ E 6.0 G 16 #;.""0$
E E E E
;.9 .K /
"."0 ".660 .""0 .560 1".;;;
3ata-ratanya E
1".;;; /
E .;
2an seterusnya
TREND PARAB"LI8
%rend tidak selalu dilukiskan dengan garis lurus. (pabila sederetan data secara jelas menyimpang dari garis lurus, kita harus mempertimbangkan menggunakan pendekatan dengan kurva bentuk lainnya. (da kemungkinan bentuk kurvanya mengikuti tipe parabolic yang disebut juga se$ond de,ree po2nomia 2engan rumus : F E a & b & c K " 'ntuk mendapatkan konstanta a, b dan c kita pergunakan persamaan normal sebagai berikut : " n.a # X %. X " X" a X # X " % X
X
"
" a
X
"
# X % X /
Seperti pada trend garis lurus dengan metode least sTuare, K menunjukkan deviasi tahun yang dinyatakan dengan ....., -,-",-1,;,1,", atau G0,-,-1,1,,0 tergantung pada jumlah tahunnya genap atahu ganjil. 2engan Persamaan +ormal " n.a % X "
X" # X X " a X
"
"
"
% X /
onstanta b dapat dihitung dengan persamaan normal ke ", sedang konstanta a dan c secara simultan dapat dihitung dari persamaan 1 dan 2imana : a E nilai F bila KE;
b E trend increment # trend kenaikan $ c E perubahan pada kecondongan per unit K, yaitu 1 tahun ?ontoh : %abel JJ +ilai Penjualan %ahunan Perusahaan %egel Sampurna %ahun 198; G1985 #utaan 3upiah$ %ahun K F KF K" K"F K K/ 198; - 6 -"1 9 5 -"6 81 1981 -" 9 -18 / 5 -8 15 198" -1 1 -1 1 1 -1 1 198 ; "; ; ; ; ; ; 198/ 1 19 19 1 19 1 1 1980 " 16 / / 58 8 15 1985 10 /0 9 10 "6 81 ; 1;; /5 "8 / ; 195 Mencari +ilai b
X" # X
"
/5 E "8.b
bE
/5 "8
E 1.5/
Mencari +ilai c " n.a % X "
X
"
" a
X
1;; E 6a & "8 c / E "8a & 195 c cE
55
8/
"
% X "
/ /;; E "8a & 11" c 1 / E "8a & 195 c 55 E -8/ c
E - ;.69
Mencari +ilai a 1;; E 6a & "8 c
1;; E 6.a &"8 #-;.69$
1;; E 6a G ""
F E 16./ & 15/.K -;.69.K "
Per;it#n,an Trend :
198; E 16./ & 1.5/ #-$ G;.69 #-$ " 1981 E 16./ & 1.5/ #-"$ G;.69 #-"$ " 198" E 16./ & 1.5/ #-1$ G;.69 #-1$ " 198 E 16./ & 1.5/ #;$ G;.69 #;$ " 198/ E 16./ & 1.5/ #1$ G;.69 #1$ " 1980 E 16./ & 1.5/ #"$ G;.69 #"$ " 1985 E 16./ & 1.5/ #$ G;.69 #$ "
E 0./; E 1;.99 E 10.;; E 16./ E 18."8 E 16.00 E 10."/
Metode Men,;it#n, Seasona Inde : Ada %er%a,ai metode men,;it#n, seasona inde 2akni : 1. Metode Monthly %otals ". Metode simple average . Metode ratio to trend /. Metode ratio to moving average ) Metode Mont;2 Totas ?ontoh :
%abel JJ +ilai Penjualan Perusahaan rondong agung C +ikmatD #2alam utaan rupiah$ %ahun %w1 %w" %w %w/ 1980 " / 5 5 1985 / 5 5 1" 1986 / 5 8 1/ 1988 / 8 1; 15
6a E 1""
a E 16./
1989
5 ";
8 "
1" /"
18 55
umlah E 15; 3ata-" E /;
Seasona Inde n2a adaa; : ";
.1;;O E
0;
.1;;O E /; /" %w E .1;;O E /; 55 1;;O E %w/ E /;
8;
%w1 E %w" E
.)
/; "
1;0 150
Metode Simpe Aera,e
%w
80 " / 5 5 18
%w1 %w" %w %w/
4arga 85 86 / / 5 5 5 8 1" 1/ "8 "
%ahun 1980 1985 1986 1988 1989
a
88 / 8 1; 15 8
F 18 "8 " 8 // 15;
#
0
n
89 5 8 1" 18 //
/.; 5./ 8./ 1."
K -" -1 ; 1 " ;
" E 15; E "
%rend *ncreme ;.;;;; ;.860 ;.660; 1.15"0
3ata-"
KF -5 -"8 ; 8 88 5"
X" E X "
5" 1;
Sisa /.;;;; 5.;1"0 6.5"0; 1".;60 "9.560;
Seasonal *ndeB 0/ 81 1; 15"
K " / 1 ; 1 / 1;
5."
%rend %ahunannya : F E " & 5.".K ila dirubah ke dalam trend triwulannya, menjadi : FE
a /
# 15
. X
FE
" /
5." 15
. X
F E 8 & /)-6.K
2alam hal ini trend incement nya adalah ;.860 # E b$ Pada tabel diatas trend incrementnya berjalan secara meningkat selama / triwulan yaitu : ;, ;.860, ;.660;, 1.15"0 3ata-rata dari sisa adalah "9.560; dibagi dengan / sama dengan 6./1860 Seasonal *ndeB-nya adalah : #nilai sisa dibagi dengan hasil total sisa dibagi /$ %w1 E
/ 6./1860 5.;1"0
.1;; E 0/
.1;; E 81 6./1860 6.5"0; .1;; E 1; %w E 6./1860 1".;60 .1;; E 15" %w/ E 6./1860
%w" E
