Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik dan Perencanaan Universitas Mercu Mercu Buana
2 MODUL 2
STATIS STATISTI TIKA KA DAN PROBAB PROBABILITAS ILITAS (2 sks) sk s) 2.1.
MATERI KULIAH :
Pengertian tentang dasar probabilitas dan nilai harapan.
2.2. 2.2.
POKOK BAHA SAN :
Pengertian probabilit pro babilita as dan dan nilai harapan harapan Oleh Ir. Nunung Widyanings ih,Pg.Dip.(Eng) ih,Pg.Dip.(Eng)
2.3
PROBAB PROBAB ILITAS DAN NILAI HARAPAN
2.4
DEFINISI DARI PROBAB ILITAS ILITA S
Dasar dari teori statistika adalah perumusan dari masalah probabilitas. Berbicara tentang probabilitas maka kita menunjukan pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa-peristiwa lainnya (trial).
Definisi 1: Suatu peristiwa peristiwa A, jika terjadi suatu peristiwa s dan suatu peristiwa lain f , dimana seluruh kemungkinan peristiwa tersebut adalah s+f, maka probabilitas dari peristiwa A adalah:
Pr(A) =
s s + f
Definisi 2: Suatu peristiwa A, terjadi suatu peristiwa s dalam n trial, maka probabilitas peristiwa A dalam satu kemungkinan peristiwa dimana relative frequency a dalah s/n maka:
Pr(A) =
s n
dim ana n → ∝
Aturan-aturan tambahan:
Statistika Statistika d an Probabilitas/Teknik Probabilitas /Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
2
1. 0 ≤ Pr(A) ≤ 1 untuk suatu peristiwa A 2. Pr(A) = 0 peristiwa A tidak mungkin terjadi 3. Pr(A) = 1 peristiwa A terjadi 4. Jika kemungkinan terjadi m peristiwa, dimana A 1 , A 2 ,.....A m maka; m
∑ Pr(A i ) = 1 (dengan kata lain peristiwa A pasti terjadi) i =1
5. Jika terjadi 2 peristiwa A dan B, maka probabilitas bahwa peristiwa satu terjadi atau kedua atau keduanya maka : Pr(A atau B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A dan B) Kombinasi beberapa peristiwa
1. Peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif (mutually exclusive). Dua peristiwa A dan B disebut saling eksklusif bila mereka tidak bisa terjadi bersama-sama.
Pr(A dan B) = 0
2. Probabilitas berkondisi (probabilitas bersyarat = conditional probability). Dua peristiwa A dan B disebut probabilitas berkondisi bila peristiwa A terjadi setelah peristiwa B. Pr(A/B) =
Pr(AdanB) Pr(B)
3. Independent Dua peristiwa A dan B disebut independent bila probabilitas peristiwa satu dengan lainnya tidak saling tergantung. Maka A dan B adalah independent bila:
Pr( A ) = Pr(A ) B Contoh: 1. Suatu jalan raya yang panjangnya 100 km, dinyatakan;
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
3
A = suatu kecelakaan dalam kilometer antara 0 sampai 30 B = suatu kecelakaan dalam kilometer antara 20 sampai 60
Dengan demikian,
P(A) =
30 100
dan P(B) =
40 100
10 P(A/B) =
100 = 10 40 40 100
2. Suatu persimpangan jalan terbagi atas 3 jurusan dimana persimpangan 1 menuju ring road kearah Timur, 2 persimpangan menuju ring road lain yang menuju arah Barat. Probabilitas dimana seseorang menuju ring road atau menuju arah Timur adalah:
Pr(ring road atau Timur) = Pr(ring road) + Pr(Timur) − Pr(ring road dan Timur) =
2 5
+
3 5
−
1 5
=
4 5
Contoh diatas;
Pr(ring road/ menyusuri jalan) ≠ Pr(ring road)
Sehingga pemakai jalan dalam memilih arah akan menggunakan jalan yang menuju ring road dan menyusuri jalan, dimana hubungan keduanya adalah saling ketergantungan (dependent).
Contoh lain adalah; bila pemakai jalan mendekati persimpangan dan memutuskan akan membelok kekiri atau kekanan. Pada hal ini dalam penyelidikan; kita memiliki warna setiap mobil dimana bila kita tidak mengharapkan tidak adalagi warna merah yang membelok kekiri. Maka:
Pr(kiri / merah) = Pr(kiri) ,
Jadi berbelok kekiri dan warna merah adalah tidak saling bergantung (independent). Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
4
2.5.
NILAI HARAPAN: VARIABEL ACAK (DISCRETE VARIABLES).
X adalah varibel acak dimana dapat diambil dari N angka kemungkinan:
x1 , x 2 ....... x N Maka, probabilitas bahwa X akan memberikan angka x i (i = 1, 2, ........., N) dengan Pr( x i )
a. Sehingga, Nilai Harapan (expected value) dari variabel acak X adalah,
N
∑
E ( X ) =
x
i
Pr
( x
i
)
i = 1
dimana: juga disebut nilai rata-rata dari X, dapat dituliskan menjadi;
= E X
b. Varians (variance) dari X adalah:
N
Va r(X)=
∑ xi
2
Pr(x i )−E X
2
i =1
atau dapat juga dituliskan sebagai berikut
Var(X)= E[ X − E[ X]2
2
Dimana E X dikenal sebagai purata kuadrat (mean-square) dari X
Secara dimensional, varians X juga dikenal seperti populasi varians, dan bisa dituliskan lagi sebagai berikut:
2
σ
= Var(X) Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
5
Maka akar pangkat dua dari varians, atau deviasi standar ( standard deviation):
σ =
Var(X)
Contoh 2.2.
Suatu data beberapa kerata tertunda keberangkatannya per hari dalam tahun 1996, dimana terdiri dari 2 rute jalur yaitu arah Barat dan Timur: No. kereta yang tertunda 0
1
2
Timur
32
301
32
Barat
83
199
83
Maka bahwa hanya 1 kereta yang tertunda dari arah Timur pada suatu hari di tahun 1996 adalah:
Pr(X T )=
301 365
Jadi Nilai Harapan dari kereta dari arah Timur yang akan tertunda per hari adalah:
E XT = 0 x
32 365
+1 x
301 365
+2 x
32 365
=1
demikian juga Nilai Harapan kereta api dari arah Barat yang tertunda juga E X B = 1
Sehingga berdasarkan Nilai Harapan (atau mean), maka dapat disimpulkan bahwa terlihat tidak ada perbedaan diantara kedua arah tersebut tetapi bila kita hitung variansnya maka didapat:
32 2 301 2 32 2 64 Var(X )=[02 x +1 x +2 x ]-1 = T 365 365 365 365 dan
Var(X B )=
166 365
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
6
2.6.
NILAI HARAPA N: VARIAB EL MENERUS (CONTINUOUS VARIAB LES).
Dengan cara yang sama, nilai purata ( mean value) untuk suatu variabel acak yang kontinu (menerus) adalah: ∝
E (X) = μ = ∑ xf ( x) dx −∝
dan ∝
2
σ
= Var(X) = ∑ xf ( x) dx − μ
2
−∝
2.7.
CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAK AN SPSS
Frequencies Statistics BERAT N
Valid
40
Missing
0
Mean
146.05
Std. Error of Mean
2.19
Median
145.50
Mode
135
Std. Deviation
13.82
Variance
190.97
Skewness
.086
Std. Error of Skewness
.374
Kurtosis
-.206
Std. Error of Kurtosis
.733
Range
58
Minimum
118
Maximum
176
Sum
5842 BERAT
Frequency Valid
Percent
Valid Percent
Cumulative Percent
118
1
2.5
2.5
2.5
119
1
2.5
2.5
5.0
125
1
2.5
2.5
7.5
126
1
2.5
2.5
10.0
128
1
2.5
2.5
12.5
132
1
2.5
2.5
15.0
135
3
7.5
7.5
22.5
136
1
2.5
2.5
25.0
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
7
138
2
5.0
5.0
30.0
140
2
5.0
5.0
35.0
142
2
5.0
5.0
40.0
144
2
5.0
5.0
45.0
145
2
5.0
5.0
50.0
146
2
5.0
5.0
55.0
147
2
5.0
5.0
60.0
149
1
2.5
2.5
62.5
150
2
5.0
5.0
67.5
152
1
2.5
2.5
70.0
153
1
2.5
2.5
72.5
154
1
2.5
2.5
75.0
156
1
2.5
2.5
77.5
157
1
2.5
2.5
80.0
158
1
2.5
2.5
82.5
161
1
2.5
2.5
85.0
163
1
2.5
2.5
87.5
164
1
2.5
2.5
90.0
165
1
2.5
2.5
92.5
168
1
2.5
2.5
95.0
173
1
2.5
2.5
97.5
176
1
2.5
2.5
100.0
Total
40
100.0
100.0
Bar Chart - BERAT 3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0 y c n e .5 u q e r F 0.0 118
128 125
138 135
145 142
150 147
156 153
163 158
173 165
BERAT
Graph Histog ram-Berat Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
8
10
8 8
6 6
4 4
4
4 3
2 2
2
2
2
2
Std. Dev = 13.82 Mean = 146.1
1 N = 40.00
0 120.0
130.0 125.0
140.0 135.0
150.0 145.0
160.0 155.0
170.0 165.0
175.0
BERAT
2.8.
LATIHAN.
1. Suatu kantong belok kanan sepanjang 60 ft direncanakan pada suatu persimpang jalan. Misalkanlah bahwa hanya ada dua jenis kendaraan yang akan menggunakannya; tipe A akan menempati 15 ft dari kantong, sedangkan tipe B 30 ft.
a. Tentukanlah semua kombinasi yang mungkin dari tipe A dan B yang menunggu kesempatan belok kanan dari kantong. b. Kelompokanlah kemungkinan kemungkinan ini ke dalam peristiwa1, 2, 3 dan 4 kendaraan yang menunggu untuk belok ke kanan.
2.
Penurunan yang mungkin dari tiga perletakan jematan yang diperlihatkan dalam gambar adalah sebagai berikut:
tumpuan A – 0 inci, 1 inci, 2 inci tumpuan B – 0 inci, 2 inci, tumpuan C – 0 inci, 1 inci, 2 inci.
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
9
a. Tentukanlah ruangsampel yang memberikan semua penurunan yang mungkin dari tiga tumpuan; misalnya ( 1,0,2) berarti A menurunkan 1 inci, B menurunkan 0 inci, dan C menurunkan 2 inci. b. Jika E adalah peristiwa penurunan diffrensial 2 inci antara dua himpunan yang berdekatan, tentukanlah titik-titik sampel dari E.
3.
Telah diamati bahwa kendaraan-kendaraan yang mendekati suatu persimpangan tertentu dalam arah yang diketahui cenderung dua kali lipat untuk terus lurus ke depan ketimbang belok ke kanan ; juga belok kiri berkecendrungan setengah dari belok kanan.
a. berapakah semua kemungkinan (yakni arah yang berbeda-beda yang dapat diambil oleh kendaraan?
b. berapakah probabilitas untuk belok ke kanan jika seluruh kendaraan secara pasti akan membelok?
4.
Masalah penurunan (settlement) dari suatu portal baja dapat diidealisir sebagai berikut: A dan B menyatakan dua pondasi telapak yang duduk pada tanah. Masing-masing pondasi boleh jadi tetap pada tinggi semula atau mengalami penurunan 5 cm. Probabilitas penurunan dalam masing-masing pondasi adalah 0,1. Namun, probabilitas bahwa satu pondasi akan turun, dengan catatan bahwa yang lainnya telah turun, adalah 0,8.
a. Kondisi yang mungkin dari kedua pondasi b. Probabilitas penurunan yaitu, salah satu dari A dan B akan turun, c. Jika kita berminat di dalam peristiwa E.
5.
Pondasi dari suatu banguna tinggi bisa runtuh akibat kapasitas dukung, atau akibat penurunan yang berlebihan. Misalkanlah B dan S menyatakan masing-masing ragam keruntuhan. Jika P(B) = 0,001, P(S) = 0,008; dan P(B/S) = 0,1, yaitu probabilitas keruntuhan dalam kapasitas dukung di mana telah terjadi penurunan yang berlebihan, maka tentukanlah a. Probabilitas keruntuhan pondasi b. Probabilitas bahwa bangunan telah mengalami penurunan yang berlebihan namun tidak ada keruntuhan dalam kapasitas dukung.
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
10
6. Ada du arus yang melewati suatu lokasi pabrik industri. Tingkatan dari oksigen yang dipisahkan (DO atau dissorered oxygen) dalam air di hilir merupakan penunjuk dari derajad pencemaran akibat pembuangan limbah lokasi industri itu. A menyatakan peristiwa bahwa aliran a tercemar, dan B peristiwa bahwa aliran b tercemar. Dari penguuran yang dilakukan atas tingkatan DO dari masing-masing arus sepanjang tahun yang lalu, ditetapkan bahwa dlam satu hari tertentu a. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran a juga tercemar dimana aliran b telah tercemar. b. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran b juga tercemar bila aliran a telah tercemar.
7.
Hitunglah simpangan baku dari data berikut: x = upah bulanan karyawan suatu perusahaan, dalam ribuan rupiah.
1. x1 = 50, x2 = 50, x3 = 50, x4 = 50, x5 = 50 (kelompok karyawan pertama) 2. x2 = 50, x2 = 40, x3 = 30, x4 = 60, x5 = 70 (kelompok karyawan kedua) 3. x3 = 100, x2 = 40, x3 = 80, x4 = 20, x5 = 10 (kelompok karyawan ketiga)
Statistika d an Probabilitas/Teknik Sipil/FTSP/Universitas Mercu Buana/Modul ke 2
