1
1 1.1
Termod ermodin inam amik ik Matematiksel Matematiksel Ba¸ slangı¸ slangı¸c
1.1.1 A, B, C u¸ u ¨ ¸c farklı de˘gi¸ gi¸sken ske n olm o lmak ak uzere, u¨zere, e˘ ger ger bir de˘gi¸ gi¸sken sken di˘ di ger g˘er iki de˘gi¸ gi¸skeni ske nin n ba˘ bagımsız g˘ımsız olarak t¨ urevlenebi urevl enebilir lir bir b ir fonksiyonu fo nksiyonu ise, A¸sa˘ sa˘gıdaki gıdaki ifadeleri ispatlayınız. (a) (b)
= . ∂A ∂B
∂A ∂C
C
∂B ∂C
B
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um:
A 1
∂C ∂A
∂C ∂A
B
=
−1,
B
A, B, C nin fonksiyonel ba˘glılı˘ glılı˘gını gını f ( f (A,B,C ) = 0 ¸seklinde seklind e g¨ osterelim; osterelim;
∂f ∂A
∂f dA +
∂f dB +
B,C
∂B
∂C
∂f
∂B +
A,C
A,B
dC = 0.
A sabit ise; ∂B
∂f =− ∂C ∂C ∂B = − , ∂C ∂C = − , ∂A ∂A = − . ∂B A,C
A
A,B
∂f ∂C
∂f ∂B
A
benze be nzerr ¸sekilde sek ilde;;
A,B
A,C
∂f ∂A
∂f ∂C
B
B,C
A,B
∂f ∂B
∂f ∂A
C
,
A,C
B,C
Bu u¸ u ¨c¸ e¸sitl si tli˘ i˘gi gi carparsak; c¸arparsak;
∂A ∂B ∂C ∂B
C
∂C
A
∂A
B
=
−1.
elde edilir. Bu denklemlerin ikincisinde A ve C yi yerde˘gi¸ gi¸stir st irir irse sek, k,
∂A = 1 . ∂C B
∂C ∂A
B
elde edilir.
1.1.2 A¸sagıdaki g˘ıdaki ifadelerden hangileri tam diferansiyeldir? (a) dx = (5y (5y + 3z )dy + (3y (3y)dz (4y 2 + 2yz 2yz))dy + (2yz (2yz + y 2 )dz (c) dx = y6 z −2 dy + zdz (b) dx = (4y
2
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: (5y+3z +3z ) (a) ∂ (5y = ∂z
∂ (3y (3y) ∂y
gundan tam diferansiyeldir. (b) ⇒ 3 = 3 oldu˘gundan diferansiyel de˘gildir. gildir. (c) = gildir. tam diferansiyel de˘gildir. ∂ (y 6 z −2 ) ∂z
∂ (4y (4y 2 +2yz +2yz)) ∂z
∂ (z ) ∂y
=
∂ (2yz (2yz+ +y 2 ) ∂y
tam
1.1.3 f ve g sistemin durumuna ba˘glı glı iki fonksiyon ve c bir sabit olmak ¨uzer uz ere, e, a¸sa˘ sagıdaki g˘ıdaki ifadeleri ıspatlayınız.
(a) f + g = f + g (b) cf = cf C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: P s bir sistemin s durumunda bulunma olasılı˘gını gını g¨ostermek ostermek uzere, u ¨ zere, sistemin s durumunda
f P ¸seklinde seklin de tanımlanır. tanıml anır. P (cf ) = f + g (b) cf =
iken aldı˘gı g ı de˘geri geri f s olan f fonksiyonunun ortalaması; f =
P (f + g ) = P f + P g O halde, (a) f + g = P f = cf =c s
s
s
s
s
s s
s
s s
s
s s
s
s s
s
s
s
1.1.4 u2 > u2 oldu˘gunu gunu g¨ osteriniz. osteriniz. C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: 2
∆u = u
ger bir kullanı¸ kullanı¸slı slı ortalama ortalama ifadesi; ifadesi; (∆u (∆u) = − u ∆u = (u − u) = u − u = 0 di˘ger P (P (u )(u )(u − u) bu ifadeye dispersiyon veya da˘ gıtkanlıkta gıtkanlıkta denir. ((∆u ((∆u) > 0) Bu ifade her zaman pozitiftir. (u (u − u) = (u − 2uu + u ) = u − 2uu + u (u − u) = u − u elde edilir. B¨oylece, oylece, u > u i
i
2
i
2
2
2
1.2
2
2
2
2
2
2
2
2
Basit Basit tanı tanımla mlarr ve ve termodi termodinam namik ik yas yasala aları rı
g˘ıdakilerden hangilerinin geni¸s (extensive) hangilerinin yo˘ gun gun (intensiv (intensive) e) parame1.2.1 A¸sagıdakilerden tre oldu˘ gunu gunu belirtiniz? (a) 10 m3 l¨uk uk bir hacim (b) 30 J l¨ uk uk kinetik enerji (c) 90 kPa lık basın¸c (d) 1000 kPa lık gerilme (e) 75 kg lık k¨utle utle (f) um geni ge ni¸¸s (f ) 60 m/s lik hız (g) T¨um parametreleri yo˘ gun gun parametreye k¨ utleyi 75 kg varsayarak ¸ceviriniz. utleyi ceviriniz.
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: para metredir, dir, k¨ utle utle iki katına ¸cıkartılırsa cıkartılırsa hacim artar. (a) Geni¸s parametre
(b) Geni¸s parametre para metredir, dir, k¨ utle utle iki katına ¸cıkartılır cıkartılırsa sa kinetik kinetik enerji artar. gun parametredir, basın¸c k¨ utleden utleden ba˘ gımsızdır. gımsızdır. (c) Yo˘gun
(d) Yo˘gun gun parametredir, gerilme k¨ utleden utleden ba˘ gımsızdır. gımsızdır. (e) Geni¸s parametre para metredir, dir, k¨ utle utle iki katına ¸cıkartılırsa cıkartılırsa k¨ utle utle artar. gun parametredir, hız k¨ utleden utleden ba˘ gımsızdır. gımsızdır. (f) (f ) Yo˘gun
(g)
V m
=
10 75
= 0.1333m 1333m3/kg
E m
=
30 75
= 0.40J/kg 40J/kg
m m
=
75 75
= 1.0kg/kg
3
1.2.2 A¸sagıdaki g˘ıdaki b¨ uy¨ uy¨ukl¨ ukl¨ uklerin birimlerini SI birimlerini (kg, m, s) temel alarak ifade ediniz. uklerin ¨ ul u¸c (b) Isı akısı (c) Ozg¨ ul a˘gırlık gırlık (a) G¨u¸ C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: (a) G¨u¸ u¸c=(kuvvet)(hız) c=(kuvvet)(hız) = (N)(m/s) = (kg.m/s (kg.m/s2 )(m/s )(m/s)) = kg.m2 /s3 (b) Isı akısı = ısı transferi/zaman = J/s = N.m/s = kg.m/s2 .m/s = kg.m2/s3 2 ¨ ul (c) Ozg¨ ul a˘gırlık gırlık = a˘gırlık/hacim gırlık/hacim = N/m3 = kg. kg . m/s3 = kg/( kg/ (s2 .m2 ) m
1.2.3 Legendre d¨ on¨ on¨u¸sum¨ u ¨m¨un¨ un¨u kullanarak termodinamik potansiyellerden Helmholtz serbest enerjisine ba˘glı glı termodinamik nicelikler i¸cin cin ifadeler t¨ uretiniz. uretiniz.
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: dE = T dS
bilinen termodinamik termodinamik fonksiyonda fonksiyondan n (termodinami˘ (termodinami˘ gin gin birinci birinci − P dV + µdN bilinen
E = E (V,S,N ) yararlanarak
yasası)
endre d¨ on¨ on¨u¸sum¨ u ¨m¨u yardımıyla F = E siyeli alınırsa dF = dE
F = F ( F (V , T , N ) yeni de˘gi¸ gi¸skenli skenli fonksiyona fonksi yona Leg-
skis iyle ge¸cilebi cilebilir lir.. − T S ili¸skisiyle
Bu ifadenin ifadenin tam diferan diferan--
gin birinci yasasını kullanarak dF = − T dS − SdT termodinami˘gin T dS − P dV + µdN − T dS − SdT dF =
−P dV − SdT + µdN
elde ederiz. F = F ( F (V , T , N ) ifadesininde tam diferansiyeli alınarak dF = (
∂F ∂F ∂F )T,N dV + ( )V,N dT + ( )V,T dN ∂V ∂T ∂N
bu iki ifade kıyaslanırsa; P =
−(
∂F ) ∂V T,N
ve S =
−(
∂F ) ∂T V,N
∂F ve µ = ( ∂N )V,T
1.2.4 Bir boyutta cevresiyle c¸evresiyle T sıcaklı˘gında gında dengede olan harmonik osilat¨ or¨ or¨un un (titre¸ (ti tre¸skenin sken in veya salınıcının) i¸c enerjisini bulunuz. (osilat¨ orlerin orlerin ba˘gımsız gımsız ve ayırt edilebildi˘gini gini varsayınız)
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: Bir boyutlu harmonik osilat¨or¨ or¨un un Hamiltonyeni; p2 1 H = + k 0 x2 2m 2 ile verilir. Enerji ¨oz oz de˘ gerleri; gerleri; 1 ε j = ( j + )ω 2
4
burada j=0,1,2,... ve ω =
k0 m
¸sekli se klind nded edir ir.. N e Z
Osilat¨orler orler ba˘gımsız gımsız ve ayırt edilebildi˘ginden; ginden; n j = ise;
∞ Z = e−
−εj
dir. Sistemin b¨ol¨ ol¨u¸sum u ¨m fonksiyonu
kT
(j + 1 2 ) ω kT
j=0 j =0
∞ e−
ω
Z = e− 2kT
jω kT
j=0 j =0
1
ω
= e− 2kT burada; burada;
∞
n n=0 ax
1
− e−
ω kT
= 1 + ax + ax2 + ... = 1−a x kullanıldı. β = = e−
β ω
2
1
−
1 kT
olmak uzere; u ¨zere;
1 e−β ω
˙c enerji ifasesi; I¸ U =
−N ∂lnZ ∂β
oldu˘gundan, gundan, lnZ =
ln(1 − e− − 12 β ω − ln(1
β ω
)
1 N −β ω ωe U = N ω + 2 1 eβ ω 1 1 N ω[ + β ω ] 2 e 1 1 1 N ω [ + ω ] 2 e kT 1
−
−
D¨u¸suk u ¨k sıcaklıklarda, (T (T Y¨uksek uksek sıcaklıklarda,
→ 0) U ≈
1 ω 2
−
dır. Bun Bunun un anlamı osilat¨ osilat¨ orler taban durumdadır. orler
1 U = N ω[ + 2 1+
ω
kT
1 + ...
1 kT = N ω [ + ] 2 ω
− 1]
= N kT bu klaasik sonu¸ctur c tur.. Y¨ uksek enerji seviyeleri doludur. kT >> ∆ε(= ω ) i¸cin uksek cin kuantumlanma onemli o¨nemli de˘gildir. gildir.
1.2.5 Bir atomun ortalama kinetik enerjisini hesaplayınız.
5
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: E = 12 mv 2 = 12 m(vx2 + vy2 + vz2 ) E = 12 m(vx2 + vy2 + vz2 )
∞
m ∞ − v = f ( f (v )v dv = e 2 πk T −∞ −∞ m ∞ − 2 e v dv 2πk T ∞ e− dv = oldu˘gundan gundan 2 x
2 x
x
B
t
αx2
0
1.3.5...(2 ...(2tt 1) 2t
−
dx =
0
2α
2 x
2 mvx
Γ( t+1 ) 2 t+1
2kB T
0
2
vx2 dvx
B
2 mvx 2kB T
∞ x e−
2 mvx
2kB T
x
√ √π t = 1 i¸cin cin
x
Γ( (2+1) ) 2
2( 2km T ) B
(2+1) 2
=
Γ( 32 )
3
2( 2km T ) 2
Γ(t Γ(t + 12 ) =
B
π 2
vx2
m ∞
=2
2πkB T
0
vx2 e
2 x kB T − 2mv kB T dvx =
m
benze be nzerr ¸sekilde sek ilde vy2 kBmT vev z2 kBmT 1 kB T kB T kB T E = m( + + ) 2 m m m
⇒ E = 32 k
B T
1.2.6 E¸s bol¨ o¨l¨u¸sum u ¨ m teorisi gere˘gi gi sistemin Hamiltonyenindeki her bir koordinatın (x veya px ) karesinden ortalama enerjiye 12 kT lik katkı katkı getiri getirir. r. Bu y¨uksek uksek sıcaklıktaki klasik rejimi ¨ c boyutta ideal gaz (b) Bir boyutlu harmonik osilat¨ yansıtır. Bu teoremden hareketle (a) U¸ or or
(c) u¸ u ¨¸c boyutta harmonik osilat¨ or or i¸cin cin ortalama enerjiyi bulunuz. C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: ¨ c boyutta ideal gaz i¸cin (a) U¸ cin Hamiltonyen; P y2 P x2 P z2 H = + + 2m 2m 2m ¸seklindedir. seklindedir. O halde, h alde, ortalama enerji; U =
kB T 2
+
kB T 2
+
kB T 2
=
3kB T 2
N atom i¸cin cin 32 N kB T
olur.
(b) Bir boyutlu harmonik osilat¨or¨ or¨un un Hamiltonyeni; P x2 kx2 H = + 2m 2 ¸seklindedir. seklindedir. O halde, ortalama enerji; U = kB2T + kB2T ¨ c boyutlu harmonik osilat¨or¨ (c) U¸ or¨un un Hamiltonyeni;
N atom i¸cin cin N kB T olur.
P y2 P x2 P z2 kx2 ky 2 kz 2 H = + + + + + 2m 2m 2m 2 2 2
6 O halde, ortalama enerji; U =
kB T 2
+
kB T 2
kB T 2
+
+
kB T 2
+
kB T 2
+
kB T 2
= 3kB T
N atom i¸cin cin
3N kB T olur. ˙ gaz i¸cin cin durum yo˘gunlu˘ gunlu˘gu gu ifadesini u¸ u ¨ c¸ boyutlu uzay i¸cin cin elde ediniz. 1.2.7 Ideal
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: 3
2
d k D(k)dk = gV (2π (2π)3
2
dk D(k)dk = gV 4πk 8π3
D(k)dk = gV k2πdk 2
momentum uzayında, p = k 3
2
d p D( p) p)dp = gV (2π (2π)3
dp D( p) p)dp = gV 48πp π3 3
di˘ger ger bir yol ise; D(k)dk =
dN dk
4
2
D( p) p)dp = gV 2pπ2dp 3
πk 3
N = g (32π )3
N =
L
gL3 4πk 3 38π 38π3 s
D(k)dk =
dN dk
2
= gV k2πdk 2
1.2.8 (a) Relativistik par¸cacık cacık i¸cin cin (b) enerjinin ε = αk oldu˘gunda gunda durum i¸cin cin (c) valans bandındaki bir hol i¸cin cin durum yo˘ gunlu˘ gunlu˘gu gu ifadelerini elde ediniz.
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um:
gılımı gılımı v ile v+dv aralı˘gında gında 1.2.9 Maxwel hız da˘ ilmekt ilmektedir edir.. N toplam toplam par¸cacık cacık sayısıdır. v n tanımlanırsa, n
v
dN N
=
−mv 2
3 4π ( 2πkmB T ) 2 e 2kB T v 2 dv
¸seklin sek linde de ver nin ortalaması v = N − v dN ¸sekl se klin ind de n
1
)! 2kB T n ( n+1 =( ) 2 21 m ( 2 )!
oldu˘gunu gu nu g¨ g ¨oste os teri rini niz. z.
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: hız da˘gılımı, gılımı,
n
v
1 = N
2 3 − mv dN m 2kB T 2 2 = 4π ( ) e v dv N 2πk B T 2 3 − mv m dN = 4N π( ) 2 e 2kB T v 2 dv 2πk B T mv2 3 1 m − n n n 2 ) 2 v e kB T v 2 dv v dN v = 4N π( N 2πk B T mv2 3 m n n+2 − 2kB T 2 v = 4π ( ) v e dv 2πkB T
⇒
Γ(z Γ(z ) =
∞ e− t − dt t z 1
0
Γ(z Γ(z + 1) = z Γ(z Γ(z ) = z ! v=(
mv2 2kB T
=t
2kB T 1 1 )2 t2 m
1 2kB T 1 − 1 dv = ( ) 2 t 2 dt 2 m
v2 =
2kB T t m
n
7 n
v z
−1 =
n+1 2
z=
n+3 2
3 2kB T n+3 m = 4π ( )2( ) 2 2πk B T m
ohalde Γ( z +3 ) = Γ( 2z + 12 + 1) = 2 n
v
∞
t
n+1
2
e−t dt
0
z +1 Γ( z +1 ) 2 2
)! 2kT n ( n+1 =( ) 2 21 m ( 2 )!
1.2.10 Maxwell Boltzmann hız da˘ gılımını kullanarak molek¨ gılımını ullerin en olası hızı ve en olası ullerin enerjisini, ortalama hız ve ortalama s¨ uratini uratini hesaplayınız.
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: en olası hız; df ( f (v ) dv
v =vp =
|
0
⇒ 2v e p
v p =
−mv 2 2kB T
−
mv p3 −2kmvT 2 e B =0 kB T
2k T B
m
2 − 2mv kB T
f ( f (v ) = v 2 e
ortalama v = v ¸seklind sek lindee de g¨osterilebilir. osterilebilir. Ortalama hız;(v hız;(v = (vx , vy , vz ))
∞ ∞ ∞ | mv2 | m 3 vx = ( )2 vx e 2kB T dvx dvy dvz = 0 2πk B T −∞ −∞ −∞
vy = vz = 0 b¨oylece oylece v = 0 ortalama s¨ urat urat
∞ vf ( vf (v )dv ∞ −
3 m v = 4π ( )2 2πkB T
3 m v = 4π ( )2 2πkB T
t=
mv2 2kB T
0
3
v e
mv 2 2kB T
dv
0
de˘gi¸ gi¸simi simi yapılarak ve gama integrali yardımıyla,
v =
8k T B
πm
elde edilir. 3 V
ol¨u¸sum u ¨ m fonksiyonu a bir sabit olmak ¨uzere uzere Z = eaT 1.2.11 Bir sistemin b¨ol¨ ildi˘gine gine g¨ore; ore; Sistemin basıncını, entropisini ve i¸c enerjisini hesaplayınız?
C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: 3 V
Z = eaT
¸seklind sek lindee ver-
8 serbest enerji, F =
−k
B TlnZ
F =
aT 3 V
ln(e ) −k T ln( = −ak T Termodinami˘ gin gin birinci yasasından dE = T dS − P dV Legendre d¨ on¨ on¨u¸sum¨ u ¨m¨u yardımıyla F = E −T S dF = = dE −T dS −S dT dF = = T dS − P dV −T dS − S dT dF = = −P dV −SdT B
B
ve
F = F ( F (V, T ) T )
∂F dF = ( ∂V )dV + ( ∂F )dT ∂T V T
P = S = E = F + T S
4
4 B T V
⇒ E = −ak
∂F −( ∂V
−( ∂F ∂T
V
T
) = akB T 4
) = 4akB T 3 V
+ 4ak 4akB T 4V = 3akB T 4V
Enerjiyi bulmak i¸cin cin ikinci bir yol: β =
1 kB T
E =
olmak uzere u ¨ zere
− ∂lnZ ∂β
kullanarakta kullanarakta elde edilebilir. edilebilir.
1.2.12 C ¸ oz¨ ¨ oz¨ um um: ˘ ˙ ˘ ˘ BURAYA BU RAYA KADAR KA DAR AS¸ AGIDAK I˙ IFADELER DI˙ GER SORULARDA LAZIM OLACAGI ˙ ¸ IN ˙ YAZILDI IC Diatomik Diatomik gazlarda; gazlarda;
P y2 P x2 P z2 H oteleme + + oteleme = 2m 2m 2m z ekseni y¨on¨ on¨undeki undeki d¨ onmeyi onmeyi ihmal edersek, H donme donme
Ly2 Lx2 = + 2I x 2I y
gıl koordinat olamak uzere, u ¨zere, z iki atom arasındaki ba˘gıl H titresim titresim
(P )2z kz 2 = + 2m 2
Bir manyetik sistem i¸cin cin dalgalanmadalga lanma-duyarlılı duyarlılık k ili¸skisi, skisi, B¨ol¨ ol¨u¸sum u ¨m fonksiyonu;Z fonksiyonu;Z = olmak uzere, u ¨ zere, T sıcaklı˘gında gında ortalama enerji,
E = P ε
i i
i
e− i
εi kB T
9 burada olasılık, olasılık, P i = Z −1 e−βE
E = Z −1
ε e− i
βε i
i
∂Z ∂lnZ =− M = Z 1 ∂H ∂H ¨ Oz-ısı ve enerji dalgalanması, ∂lnZ =− E = − Z 1 ∂Z ∂β ∂β Maxwell Boltzmann da˘ gılımı gılımı = Gibbs da˘gılımı gılımı = Kanonik da˘gılım gılım = Klasik da˘gılım gılım
2
˙ Klasik Istatistik Mekani˘ gi gi
2.1 Termal denge, Mekanik denge, Termodinaik denge ¸sartları sartları nelerdir.
3
˙ Kuantum Istatistik Mekani˘ gi gi
3. 1 1 Mikro ve makro durum nedir? 2 Termodinamik de˘gi¸ gi¸skenler skenler nelerdir? bildiklerinizi yazınız ure¸ ure¸cler cler hakkında bilgi veriniz? 3 Termodinamik s¨
4 Termodinamik yasalarını kısaca a¸cıklayınız cıklayınız ˙ fizikte kullanılan da˘gılımlar gılımlar nelerdir ve hangi durumlarda kullanılır. 5 Istatistik ˙ 6 Istatistik fizikteki topluluklar hakkında bilgi veriniz.
7 Klasik ve Kuantum istatistik mekani˘gin gin sınırlarını sınırlarını belirtiniz. belirtiniz. cacıkları hakkında hakkında bilgi veriniz. veriniz. 8 Fermi ve Bose par¸cacıkları
Referanslar
